Álgebra Linear Coleção Schaum (4ª ed.) - Seymour Lipschutz e Marc Lipson

Álgebra Linear Coleção Schaum (4ª ed.) - Seymour Lipschutz e Marc Lipson

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Álgebra Linear

Álgebra Linear

Ál ge bra Li

r

nea Qu arta e d ição

Ál ge bra Li

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nea Qu arta e d ição

Quarta edição Quarta edição

Seymour Lipschutz e Marc Lipson

Seymour Lipschutz e Marc Lipson

Mais de 600 problemas resolvidos

Explicações concisas de todos os conceitos da disciplina

Informação pertinente sobre sistemas algébricos, polinomiais e aplicações matriciais

Mais de 40 milhões de estudantes confi aram na Coleção Schaum para ajudá-los a entender e exercitar a matéria estudada. Cada livro desenvolve passo a passo todo o conteúdo essencial da disciplina, de uma forma muito didática. Inúmeros exemplos, problemas resolvidos e exercícios práticos para testar as habilidades adquiridas são algumas das características presentes em todos os livros da Coleção.

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Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas

Mais de 2400 fórmulas e tabelas

L767a Lipschutz, Seymour.

Álgebra linear [recurso eletrônico] / Seymou Lipschutz,

Marc Lars Lipson ; tradução: Dr. Claus Ivo Doering.–4.ed. – Dados eletrônicos. – Porto Alegre : Bookman, 2011. (Coleção Schaum)

Editado também como livro impresso em 2011. ISBN 978-85-407-0041-3

1. Matemática. 2. Álgebra linear. I. Lipson, Marc Lars. I. Título.

CDU 512

Catalogação na publicação: Ana Paula M. Magnus – CRB 10/2052

SEYMOUR LIPSCHUTZ é professor da Temple University e também já lecionou no Instituto Politécnico do Brooklyn. Recebeu seu Ph.D. em 1960 pelo Courant Institute da Universidade de Nova York. É um dos autores mais profícuos da Coleção Schaum. Em particular, entre outros, escreveu Beginning Linear Algebra, Probability, Discrete Mathematics, Set Theory, Finite Mathematics e General Topology.

MARC LARS LIPSON é professor da Universidade de Virgínia, tendo antes trabalhado na Universidade de Geórgia. É Ph.D. em Finanças desde 1994 pela Universidade de Michigan. Também é o coautor de Matemática Discreta e Probability, com Seymour Lipschutz.

Tradução técnica

Dr. Claus Ivo Doering

Professor Titular do Instituto de Matemática da UFRGS

Seymour Lipschutz, Ph.D. Marc Lars Lipson, Ph.D.

Versão impressa desta obra: 2011

Reservados todos os direitos de publicação, em língua portuguesa, à ARTMED® EDITORA S.A. (BOOKMAN® COMPANHIA EDITORA é uma divisão da ARTMED® EDITORA S. A.) Av. Jerônimo de Ornelas, 670 - Santana 90040-340 Porto Alegre RS Fone (51) 3027-7000 Fax (51) 3027-7070

É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, no todo ou em parte, sob quaisquer formas ou por quaisquer meios (eletrônico, mecânico, gravação, fotocópia, distribuição na Web e outros), sem permissão expressa da Editora.

SãO PAULO Av. Embaixador Macedo Soares, 10.735 - Pavilhão 5 - Cond. Espace Center Vila Anastácio 05095-035 São Paulo SP Fone (1) 3665-100 Fax (1) 3667-1333

SAC 0800 703-3444

Obra originalmente publicada sob o título Schaum's Outline: Linear Algebra,4/Ed. ISBN 007-154352-X

Copyright© 2009 by the McGraw-Hill Companies, Inc., New York, New York, United States of America. All rights reserved.

Portuguese-language translation copyright© 2011 by Bookman Companhia Editora Ltda., a Division of Artmed Editora S.A. All rights reserved.

Capa: Rogério Grilho (arte sobre capa original) Preparação de original: Renata Ramisch Editora Sênior: Denise Weber Nowaczyk Projeto e editoração: Techbooks

Nos últimos anos, a Álgebra Linear se tornou parte essencial do conhecimento matemático básico exigido de matemáticos e professores de Matemática, engenheiros, cientistas da computação, físicos, economistas e estatísticos, entre outros. Essa exigência reflete a importância e as múltiplas aplicações desse assunto.

Este livro foi desenvolvido para ser usado como livro-texto na disciplina de Álgebra Linear mas também pode ser usado como suplemento para outros livros. Apresenta uma introdução à Álgebra Linear que se mostrará útil a todos os leitores, independentemente de suas áreas de especialização. Incluiu-se mais material do que pode ser abordado na maioria dos cursos iniciais. Fizemos isso para tornar o livro mais flexível, para torná-lo um livro de referência útil e para estimular um maior desenvolvimento do material.

Cada capítulo começa com afirmações claras das definições, princípios e teoremas pertinentes, junto com material descritivo e ilustrativo adicional. A isso se segue um conjunto de exercícios graduais resolvidos e problemas complementares. Os problemas resolvidos servem para ilustrar e ampliar a teoria e fornecem a repetição de princípios básicos tão vital para o aprendizado. Várias demonstrações, especialmente as de todos os teoremas essenciais, estão incluídas entre os problemas resolvidos. Os problemas complementares servem como uma revisão completa do conteúdo de cada capítulo.

Nos três primeiros capítulos, tratamos de vetores no espaço euclidiano, álgebra de matrizes e sistemas de equações lineares. Esses capítulos proporcionam a motivação e as ferramentas computacionais básicas para as investigações abstratas de espaços vetoriais e transformações lineares que seguem. Depois de capítulos referentes a produto interno e ortogonalidade e determinantes, apresentamos uma discussão detalhada de autovalores e autovetores, dando condições para a representação de um operador linear por uma matriz diagonal. Isto leva naturalmente ao estudo das várias formas canônicas, especialmente a triangular, a de Jordan e a racional. Nos últimos capítulos, estudamos funcionais lineares e o espaço dual V*, bem como formas bilineares, quadráticas e hermitianas. No último capítulo, tratamos de operadores lineares em espaços com produto interno.

As principais alterações desta quarta edição ocorreram nos apêndices. Expandimos o Apêndice A relativo a produtos tensorial e exterior de espaços vetoriais, incluindo demonstrações de existência e unicidade desses produtos. Acrescentamos apêndices relativos a estruturas algébricas, inclusive módulos e polinômios sobre um corpo e no Apêndice Miscelânea incluímos a inversa generalizada de Moore-Penrose, utilizada em várias aplicações, como na Estatística. Também introduzimos novos problemas resolvidos e complementares.

Finalmente, gostaríamos de agradecer à equipe da Coleção Schaum da McGraw-Hill, especialmente a Charles

Wall, por sua constante cooperação. SEYMOUR LIPSCHUTZ MARC LARS LIPSON

Prefácio

Sumário

CAPÍTULO 1 Vetores em Rn e Cn, Vetores Espaciais 9

1.1 Introdução 1.2 Vetores de Rn 1.3 Soma de vetores e multiplicação por escalar 1.4 Produto escalar (ou interno) 1.5 Vetores aplicados, hiperplanos, retas e curvas em Rn 1.6 Vetores de R3 (Vetores espaciais), Notação ijk 1.7 Números complexos 1.8 Vetores de Cn

CAPÍTULO 2 Álgebra de Matrizes 35

2.1 Introdução 2.2 Matrizes 2.3 Soma de matrizes e multiplicação por escalar 2.4 O símbolo de somatório 2.5 Multiplicação de matrizes 2.6 Transposta de uma matriz 2.7 Matrizes quadradas 2.8 Potências de matrizes, polinômios matriciais 2.9 Matrizes invertíveis (ou não singulares) 2.10 Tipos especiais de matrizes quadradas 2.1 Matrizes complexas 2.12 Matrizes em blocos

CAPÍTULO 3 Sistemas de Equações Lineares 65

3.1 Introdução 3.2 Definições básicas, soluções 3.3 Sistemas equivalentes, operações elementares 3.4 Sistemas Quadrados e pequenos de equações lineares 3.5 Sistemas em forma triangular e escalonada 3.6 Eliminação gaussiana 3.7 Matrizes escalonadas, forma canônica por linhas, equivalência por linhas 3.8 Eliminação gaussiana, formulação matricial 3.9 Equação matricial de um sistema de equações lineares 3.10 Sistemas de equações lineares e combinação linear de vetores 3.1 Sistemas homogêneos de equações lineares 3.12 Matrizes elementares 3.13 Decomposição LU

CAPÍTULO 4 Espaços Vetoriais 120

4.1 Introdução 4.2 Espaços vetoriais 4.3 Exemplos de espaços vetoriais 4.4 Combinações lineares, conjuntos geradores 4.5 Subespaços 4.6 Espaços gerados, espaço linha de uma matriz 4.7 Dependência e independência linear 4.8 Base e dimensão 4.9 Aplicações a matrizes, posto de uma matriz 4.10 Somas e somas diretas 4.1 Coordenadas

CAPÍTULO 5 Transformações Lineares 172

5.1 Introdução 5.2 Aplicações, funções 5.3 Transformações lineares 5.4 Núcleo e imagem de uma transformação linear 5.5 Transformações lineares singulares e não singulares, isomorfi smos 5.6 Operações com transformações lineares 5.7 A álgebra A(V) dos operadores lineares

CAPÍTULO 6 Transformações Lineares e Matrizes 203

6.1 Introdução 6.2 Representação matricial de um operador linear 6.3 Mudança de base 6.4 Semelhança 6.5 Matrizes e transformações lineares arbitrárias

CAPÍTULO 7 Espaços com Produto Interno, Ortogonalidade 234

7.1 Introdução 7.2 Espaços com produto interno 7.3 Exemplos de espaços com produto interno 7.4 Desigualdade de Cauchy-Schwarz, aplicações 7.5 Ortogo- nalidade 7.6 Conjuntos ortogonais e bases 7.7 Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt 7.8 Matrizes ortogonais e positivas 7.9 Espaços complexos com produto interno 7.10 Espaços vetoriais normados (opcional)

CAPÍTULO 8 Determinantes 272

8.1 Introdução 8.2 Determinantes de ordens 1 e 2 8.3 Determinantes de ordem 3 8.4 Permutações 8.5 Determinantes de ordem arbitrária 8.6 Propriedades de determinantes 8.7 Menores e cofatores 8.8 Cálculo de determinantes 8.9 Adjunta clássica 8.10 Aplicações a equações lineares, Regra de Cramer 8.1 Submatrizes, menores e menores principais 8.12 Matrizes em blocos e determinantes 8.13 Determinantes e volume 8.14 Determinante de um operador linear 8.15 Multilinearidade e determinantes

CAPÍTULO 9 Diagonalização: Autovalores e Autovetores 300

9.1 Introdução 9.2 Polinômios de matrizes 9.3 Polinômio característico, teorema de Cayley-Hamilton 9.4 Diagonalização, autovalores e autovetores 9.5 Cálculo de autovalores e autovetores, diagonalização de matrizes 9.6 Diagonalização de matrizes reais simétricas e formas quadráticas 9.7 Polinômio mínimo 9.8 Polinômios característico e mínimo de matrizes em blocos

CAPÍTULO 10 Formas Canônicas 3

10.1 Introdução 10.2 Forma triangular 10.3 Invariância 10.4 Decomposição em somas diretas invariantes 10.5 Decomposição primária 10.6 Operadores nilpotentes 10.7 Forma canônica de Jordan 10.8 Subespaços cíclicos 10.9 Forma canônica racional 10.10 Espaço quociente

CAPÍTULO 1 Funcionais Lineares e o Espaço Dual 357

1.1 Introdução 1.2 Funcionais lineares e o espaço dual 1.3 Base dual 1.4 Espaço bidual 1.5 Anuladores 1.6 Transposta de uma transformação linear

CAPÍTULO 12 Formas Bilineares, Quadráticas e Hermitianas 367

12.1 Introdução 12.2 Formas bilineares 12.3 Formas bilineares e matrizes 12.4 Formas bilineares alternadas 12.5 Formas bilineares simétricas, formas quadráticas 12.6 Formas bilineares simétricas reais, Lei da Inércia 12.7 Formas hermitianas

CAPÍTULO 13 Operadores Lineares em Espaços com Produto Interno 385

13.1 Introdução 13.2 Operadores adjuntos 13.3 Analogia entre A(V) e C, operadores lineares especiais 13.4 Operadores autoadjuntos 13.5 Operadores ortogonais e unitários 13.6 Matrizes ortogonais e unitárias 13.7 Mudança de bases ortonormais 13.8 Operadores não negativos e positivos 13.9 Diagonalização e formas canônicas em espaços com produto interno 13.10 Teorema espectral

APÊNDICE A Produtos Multilineares 404 APÊNDICE B Estruturas Algébricas 411 APÊNDICE C Polinômios Sobre um Corpo 419 APÊNDICE D Miscelânea 423 LISTA DE SÍMBOLOS 428 ÍNDICE 429

1.1 INTRODUÇÃO

A noção de vetor pode ser motivada ou por uma lista de números e índices, ou por meio de certos objetos da Física. Vejamos ambas maneiras.

Para isso, vamos supor que o leitor esteja familiarizado com as propriedades elementares do corpo dos números reais, denotado por R. Além desse corpo, vamos revisar algumas propriedades do corpo dos números complexos, denotado por C. No contexto de vetores, os elementos de nossos corpos numéricos são denominados escalares.

Mesmo que neste capítulo nos restrinjamos a vetores cujos elementos provenham de R e, mais tarde, de C, muitas das nossas operações também são aplicáveis a vetores cujas entradas sejam provenientes de algum corpo arbitrário K.

Lista de números Digamos que os pesos (em kg) de oito universitários sejam dados pela lista

78, 63, 73, 62, 8, 73, 81, 97.

Utilizando apenas um símbolo, digamos, w, e índices subscritos distintos, podemos denotar os oito valores dessa lista, como segue.

w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8 Observe que cada índice denota a posição do valor na lista. Por exemplo,

w1  78, o primeiro número, w2  63, o segundo número da lista,

Uma lista de valores como essa,

w  (w1, w2, w3,, w8),

é denominada tabela linear ou vetor.

Vetores na Física

Muitas grandezas físicas, como temperatura e velocidade escalar, possuem apenas “magnitude”. Essas grandezas podem ser representadas por números reais e são denominadas escalares. Além dessas, também existem grandezas, como força e velocidade, que possuem tanto “magnitude” quanto “direção” e “sentido”. Essas grandezas são denominadas vetores e podem ser representadas por setas que começam em algum ponto referencial O dado, sendo dotadas de comprimento, direção e sentido apropriados.

Agora vamos supor que o leitor também esteja familiarizado com o espaço R3, em que todos os pontos são representados por ternos ordenados de números reais. Suponha que para o ponto referencial O mencionado esco-

Vetores em Rn e Cn ,

Vetores Espaciais

Capítulo 1

ÁLGEBRA LINEAR10

lhamos a origem dos eixos de R3. Então, cada vetor é determinado de maneira única pelas coordenadas de seu ponto final e vice-versa.

Existem duas operações importantes associadas aos vetores da Física, a soma de vetores e a multiplicação por escalar. Vejamos a definição dessas operações e as relações entre essas operações e os pontos finais dos vetores.

(i) Soma de vetores. O vetor resultante u v de dois vetores u e v é obtido pela lei do paralelogramo, que diz que u v é a diagonal do paralelogramo formado por u e v. Além disso, se (a, b, c) e (a', b', c') forem os pontos finais dos vetores u e v, então o ponto final do vetor u v será dado por (a a', b b', c c'). Essas propriedades podem ser vistas na Figura 1-1(a). (i) Multiplicação por escalar. O múltiplo ru de um vetor u por um número real r é o vetor de mesma direção de u que é obtido multiplicando-se o tamanho de u por r e mantendo o mesmo sentido se [r > 0] ou invertendo o sentido se [r < 0]. Além disso, se (a, b, c) for o ponto final do vetor u, então (ra, rb, rc) é o ponto final do vetor ru. Essas propriedades podem ser vistas na Figura 1-1(b).

Matematicamente, identificamos o vetor u com (a, b, c) e escrevemos u (a, b, c). Além disso, o terno ordenado (a, b, c) de números reais é denominado ponto ou vetor, dependendo da interpretação. Generalizamos essa

noção e dizemos que uma ênupla (a1, a2,, an) de números reais é um vetor. Entretanto, para os vetores de R3

denominados vetores espaciais, podemos usar notação especial (Seção 1.6).

1.2 VETORES DE Rn

O conjunto de todas as ênuplas de números reais, denotado por Rn, é chamado de espaço n-dimensional. Uma ênupla específica de Rn , digamos,

u  (a1, a2,, an),

é denominada ponto ou vetor. Os números ai são denominados coordenadas, componentes ou entradas de u. Além disso, quando trabalhamos com o espaço Rn , usamos o termo escalar para os elementos de R.

O vetor (0, 0,, 0), cujas entradas são todas 0, é denominado vetor nulo, ou vetor zero, e costuma ser denotado

Dizemos que dois vetores u e são iguais, e escrevemos u , se possuírem o mesmo número de componentes e se os componentes correspondentes forem iguais. Embora os vetores (1, 2, 3) e (2, 3, 1) contenham os mesmos três números, esses vetores não são iguais, porque as entradas correspondentes não são iguais. por 0.

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