Livro Completo de Matematica

Livro Completo de Matematica

(Parte 1 de 3)

1. CONJUNTOS NUMÉRICOS5
1.1. Conjunto dos números naturais (IN)5
1.2. Conjunto dos números inteiros (Z)5
1.3. Conjunto dos números racionais (Q)6
1.4. Conjunto dos números irracionais6
1.5. Conjunto dos números reais (IR)7
1.6. Teoria dos Conjuntos7
1.6.1. Símbolos7
1.6.2. Símbolos das operações8
1.6.3. Conceitos de conjuntos8
2. POLINÔMIOS10
2.1. Grau de um Polinómio:10
2.1. Valor numérico10
2.2. Alguns exercícios resolvidos:10
2.3. Polinómios iguais12
2.4. Divisão de polinómios12
Se D(x) é divisor de P(x) ⇔ R(x)=013
2.5. Teorema do resto13
2.6. Teorema de D’Alembert14
2.7. O dispositivo de Briott-Ruffini16
2.8. Produtos Notáveis17
2.9. ALGUNS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:18
3. Radiciação19
3.1. Potenciação de Radicais19
3.2. Racionalização de denominadores19
3.3. A recorrência de François Viète no cálculo da raiz quadrada de um número21
4. Função de 1º grau23
FUNÇÃO MODULAR39
PROBABILIDADE45
Matrizes52
Binômio de Newton67
Triângulo de Pascal68
Matrizes e determinantes74
Logaritmos7
FUNÇÃO LOGARÍTMICA79
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS81
INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS81
Equações Trigonométricas84
Inequações Trigonométricas86
Progressões94
Progressões Aritméticas94
Progressões Geométricas97
Limites9
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO105

Índice geral ORIGEM DO CONCEITO DE 1

Equações Diferenciais110
Integrais113
Funções Logarítmica e Exponencial126
FUNÇÕES INVERSAS126
EXPOENTES IRRACIONAIS130
134
DERIVADAS DE POTÊNCIAS RACIONAIS DE X137
DIFERENCIAÇÃO LOGARÍTMICA139
DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS141
Geometria Espacial150

1. CONJUNTOS NUMÉRICOS 1.1. Conjunto dos números naturais (IN)

Um subconjunto importante de IN é o conjunto IN*:

IN*={1, 2, 3, 4, 5,...} o zero foi excluído do conjunto IN. Podemos considerar o conjunto dos números naturais ordenados sobre uma recta, como mostra o gráfico abaixo:

1.2. Conjunto dos números inteiros (Z)

O conjunto IN é subconjunto de Z. Temos também outros subconjuntos de Z: Z* = Z-{0}

Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = {0,1,2,3,4,5,...} Z_ = conjunto dos inteiros não positivos = {0,-1,-2,-3,-4,-5,...}

Observe que Z+=IN. Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma recta, conforme mostra o gráfico abaixo:

IN={0, 1, 2, 3, 4, 5,...} Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

b a

1.3. Conjunto dos números racionais (Q)

Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de fracção (com o numerador e denominador ∈ Z). Ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as fracções positivas e negativas.

Exemplos:

Assim, podemos escrever:

É interessante considerar a representação decimal de um número racional , que se obtém dividindo a por b.

Exemplos referentes às decimais exactas ou finitas:

Exemplos referentes às decimais periódicas ou infinitas: Toda decimal exacta ou periódica pode ser representada na forma de número racional.

1.4. Conjunto dos números irracionais

Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escrito na forma de fracção (divisão de dois inteiros). Como exemplo de números irracionais, temos a raiz quadrada de 2 e a raiz quadrada de 3:

Um número irracional bastante conhecido é o número pi=3,1415926535...

racionais. números são exemplo,por ,2 3 ,1 ,5 3 ,1 ,4

7525,14
55,02
7428571428571,07
63,03

1.5. Conjunto dos números reais (IR)

Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais, definimos o conjunto dos números reais como:

O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos:

Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. Como subconjuntos importantes de IR temos: IR* = IR-{0}

IR+ = conjunto dos números reais não negativos IR_ = conjunto dos números reais não positivos

Obs: entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por exemplo:

1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,9 ; 1,99 ; 1,99

Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais:

5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,9 ; 5,99 ; 5,99

Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais:

1.6. Teoria dos Conjuntos

1.6.1. Símbolos

: pertence : existe : não pertence : não existe

: está contido: para todo (ou qualquer que seja)

: não está contido: conjunto vazio

IR=Q ∪ {irracionais} = {x | x é racional ou x é irracional}

: contém N: conjunto dos números naturais

: não contém Z : conjunto dos números inteiros / : tal que Q: conjunto dos números racionais

: implica que Q'= I: conjunto dos números irracionais

: se, e somente seR: conjunto dos números reais

1.6.2. Símbolos das operações

: A intersecção B

: A união B a - b: diferença de A com B a < b: a menor que b

: a menor ou igual a b a > b: a maior que b

: a maior ou igual a b

: a e b

: a ou b

1.6.3. Conceitos de conjuntos

Conjunto vazio: é um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por { } ou .

Subconjuntos: quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou seja AB. Observações:

Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja ;

O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja

União de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto representado por , formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja:

Intersecção de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção dos conjuntos A e B ao conjunto representado por , formado por todos os elementos pertencentes a A e B,

simultaneamente, ou seja:

Diferença de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A-B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não

pertencem a B, ou seja

Produto Cartesiano: dados os conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano A com B, ao conjunto AxB, formado por todos os pares ordenados (x, y), onde x é elemento de A e y é elemento de B, ou seja

Número de subconjuntos de um conjunto: se um conjunto A possuir n elementos, então existirão 2n subconjuntos de A.

2. POLINÔMIOS

Definição

an-1.xn-1 + an-2.xn-2 ++ a2x2 + a1x + a0.

Uma função polinomial ou simplesmente polinómio, é toda função definida pela relação P(x)=anxn +

an, an-1, an-2,, a2, a1, a0 são números reais chamados coeficientes.

Onde: n ∈ IN x ∈ C (nos complexos) é a variável.

2.1. Grau de um Polinómio:

Grau de um polinómio é o expoente máximo que ele possui. Se o coeficiente an≠0, então o expoente máximo n é dito grau do polinómio e indicamos gr(P)=n. Exemplos: P(x)=5 ou P(x)=5.x0 é um polinómio constante, ou seja, gr(P)=0. P(x)=3x+5 é um polinómio do 1º grau, isto é, gr(P)=1. P(x)=4x5+7x4 é um polinómio do 5º grau, ou seja, gr(P)=5.

Obs: Se P(x)=0, não se define o grau do polinómio.

2.1. Valor numérico

O valor numérico de um polinómio P(x) para x=a, é o número que se obtém substituindo x por a e efectuando todas as operações indicadas pela relação que define o polinómio. Exemplo:

Observação: Se P(a)=0, o número a chamado raiz ou zero de P(x). Por exemplo, no polinómio P(x)=x2-3x+2 temos P(1)=0; logo, 1 é raiz ou zero desse polinómio.

2.2. Alguns exercícios resolvidos:

1º) Sabendo-se que –3 é raiz de P(x)=x3+4x2-ax+1, calcular o valor de a.

a) do 3ºgraub) do 2º grauc) do 1º grau Resposta:

Para o polinómio ser do 3º grau, os coeficientes de x2 e x3 devem ser diferentes de zero. Então: m2-1≠0 => m2≠1 => m≠1

para o polinómio ser do 2º grau, o coeficiente de x3 deve ser igual a zero e o coeficiente de x2 diferente de zero. Então:

m+1≠0 => m≠-1 Portanto, o polinómio é do 2º grau se m=1.

para o polinómio ser do 1º grau, os coeficientes de x2 e x3 devem ser iguais a zero. Então:

m+1=0 => m=-1 Portanto, o polinómio é do 1º grau se m=-1.

3º) Num polinómio P(x), do 3º grau, o coeficiente de x3 é 1. Se P(1)=P(2)=0 e P(3)=30, calcule o valor de P(-1).

Resolução:

Temos o polinómio: P(x)=x3+ax2+bx+c. Precisamos encontrar os valores de a.b e c (coeficientes). Vamos utilizar os dados fornecidos pelo enunciado do problema:

Temos um sistema de três variáveis:

Resolvendo esse sistema encontramos as soluções: a=9, b=-34, c=24

Portanto o polinómio em questão é P(x)= x3+9x2-34x+24. O problema pede P(-1):

2.3. Polinómios iguais

Dizemos que dois polinómios A(x) e B(x) são iguais ou idênticos (e indicamos A(x)≡B(x)) quando assumem valores numéricos iguais para qualquer valor comum atribuído à variável x. A condição para que dois polinómios sejam iguais ou idênticos é que os coeficientes dos termos correspondentes sejam iguais. Exemplo:

Resolução:

Eliminando os parênteses e somando os termos semelhantes do segundo membro temos: x2-2x+1 ≡ ax2+ax+a+bx2+bx+cx+c

1x2-2x+1 ≡ (a+b)x2+(a+b+c)x+(a+c) Agora igualamos os coeficientes correspondentes:

Substituindo a 1ª equação na 2ª: 1+c = -2 => c=-3. Colocando esse valor de c na 3ª equação, temos: a-3=1 => a=4. Colocando esse valor de a na 1ª equação, temos: 4+b=1 => b=-3. Resposta: a=4, b=-3 e c=-3.

Obs: um polinómio é dito identicamente nulo se tem todos os seus coeficientes nulos.

2.4. Divisão de polinómios

Sejam dois polinómios P(x) e D(x), com D(x) não nulo. Efectuar a divisão de P por D é determinar dois polinómios Q(x) e R(x), que satisfaçam as duas condições abaixo:

Nessa divisão: P(x) é o dividendo. D(x) é o divisor. Q(x) é o quociente. R(x) é o resto da divisão.

ca cba ba

)()(
)(D)(

xQxR xxP

Obs: Quando temos R(x)=0 dizemos que a divisão é exacta, ou seja, P(x) é divisível por D(x) ou D(x) é divisor de P(x).

Exemplo:

Determinar o quociente de P(x)=x4+x3-7x2+9x-1 por D(x)=x2+3x-2. Resolução: Aplicando o método da chave, temos:

Verificamos que:

Divisão de um polinómio por um binómio da forma ax+b

Vamos calcular o resto da divisão de P(x)=4x2-2x+3 por D(x)=2x-1. Utilizando o método da chave temos:

Observe que R(x) = 3 = P(1/2) Portanto, mostramos que o resto da divisão de P(x) por D(x) é igual ao valor numérico de P(x) para x=1/2, isto é, a raiz do divisor.

2.5. Teorema do resto

Note que –b/a é a raiz do divisor.

2341)(2x 1)2x-(x 2)-3x(x1-9x7x-x++++≡++
3
224
12324 2

O resto da divisão de um polinómio P(x) pelo binómio ax+b é igual a P(-b/a).

)(12
23
15
462
1952
)(12 23
23197

xRx x x x x xQxxxxx

Se D(x) é divisor de P(x) ⇔ R(x)=0

Exemplo: Calcule o resto da divisão de x2+5x-1 por x+1. Resolução: Achamos a raiz do divisor: x+1=0 => x=-1 Pelo teorema do resto sabemos que o resto é igual a P(-1): P(-1)=(-1)2+5.(-1)-1 => P(-1) = -5 = R(x) Resposta: R(x) = -5.

2.6. Teorema de D’Alembert

Exemplo: Determinar o valor de p, para que o polinómio P(x)=2x3+5x2-px+2 seja divisível por x-2. Resolução:

Resposta: p=19.

Divisão de um polinómio pelo produto (x-a)(x-b)

Vamos resolver o seguinte problema: calcular o resto da divisão do polinómio P(x) pelo produto (x-a)

(x-b), sabendo-se que os restos da divisão de P(x) por (x-a) e por (x-b) são, respectivamente, r1 e r2. Temos:

a é a raiz do divisor x-a, portanto P(a)=r1(eq. 1)
b é a raiz do divisor x-b, portanto P(b)=r2(eq. 2)
E para o divisor (x-a)(x-b) temos P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + R(x)(eq. 3)

O resto da divisão de P(x) por (x-a)(x-b) é no máximo do 1º grau, pois o divisor é do 2º grau; logo: R(x)=cx+d

x=a => P(a) = c(a)+d(eq. 4)
x=b => P(b) = c(b)+d(eq. 5)

Da eq.3 vem: P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + cx + d Fazendo: Das equações 1, 2, 4 e 5 temos:

Resolvendo o sistema obtemos:

Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio ax+b se P(-b/a)=0 rdca

ba ba arar x r xR ba ba arar d r c

com ,e

Observações: 1ª) Se P(x) for divisível por (x-a) e por (x-b), temos:

P(b)= r2 =0 Portanto, P(x) é divisível pelo produto (x-a)(x-b), pois:

2ª) Generalizando, temos:

Exemplo:

Um polinómio P(x) dividido por x dá resto 6 e dividido por (x-1) dá resto 8. Qual o resto da divisão de P(x) por x(x-1)?

0 é a raiz do divisor x, portanto P(0)=6(eq. 1)
1 é a raiz do divisor x-1, portanto P(1)=8(eq. 2)
E para o divisor x(x-1) temos P(x)=x(x-1) Q(x) + R(x)(eq. 3)

Resolução:

O resto da divisão de P(x) por x(x-1) é no máximo do 1º grau, pois o divisor é do 2º grau; logo: R(x)=ax+b

x=0 => P(0) = a(0)+b => P(0) = b(eq. 4)
x=1 => P(1) = a(1)+b => P(1) = a+b(eq. 5)

Da eq.3 vem: P(x)=x(x-1) Q(x) + ax + b Fazendo: Das equações 1, 2, 4 e 5 temos:

Logo, b=6 e a=2. Agora achamos o resto: R(x) = ax+b = 2x+6 Resposta: R(x) = 2x+6.

00 )(1221=+=

arar x r xR

2.7. O dispositivo de Briott-Ruffini

Serve para efectuar a divisão de um polinómio P(x) por um binómio da forma (ax+b). Exemplo: Determinar o quociente e o resto da divisão do polinómio P(x)=3x3-5x2+x-2 por (x-2).

Resolução:

Observe que o grau de Q(x) é uma unidade inferior ao de P(x), pois o divisor é de grau 1. Resposta: Q(x)=3x2+x+3 e R(x)=4.

Para a resolução desse problema seguimos os seguintes passos: 1º) Colocamos a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo ordenadamente na parte de cima da “cerquinha”. 2º) O primeiro coeficiente do dividendo é repetido abaixo. 3º) Multiplicamos a raiz do divisor por esse coeficiente repetido abaixo e somamos o produto com o 2º coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste. 4º) Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do 2º coeficiente e somamos o produto com o 3º coeficiente, colocando o resultado abaixo deste, e assim sucessivamente. 5º) Separamos o último número formado, que é igual ao resto da divisão, e os números que ficam à esquerda deste serão os coeficientes do quociente.

Decomposição de um polinómio em factores Vamos analisar dois casos:

1º caso: O polinómio é do 2º grau.

De uma forma geral, o polinómio de 2º grau P(x)=ax2+bx+c que admite as raízes r1 e r2 pode ser decomposto em factores do 1º grau, da seguinte forma:

Exemplos: Fatorar o polinómio P(x)=x2-4.

Resolução:

Fatorar o polinómio P(x)=x2-7x+10. Resolução:

RESTOQ(x) QUOCIENTE DO ESCOEFICIENT

43 1 3
2)2.(31)2.(1 5)2.(3
21 5 3 2

P(x) DE ESCOEFICIENTDIVISOR DO RAIZ −+−↓

2º caso: O polinómio é de grau maior ou igual a 3.

Conhecendo uma das raízes de um polinómio de 3º grau, podemos decompô-lo num produto de um polinómio do 1º grau por um polinómio do 2º grau e, se este tiver raízes, podemos em seguida decompô-lo também.

Exemplo: Decompor em factores do 1º grau o polinómio 2x3-x2-x. Resolução:

2x3-x2-x = x.(2x2-x-1) colocando x em evidência Fazendo x.(2x2-x-1) = 0 obtemos: x=0 ou 2x2-x-1=0. Uma das raízes já encontramos (x=0).

As outras duas saem da equação: 2x2-x-1=0 => r1=1 e r2=-1/2. Portanto, o polinómio 2x3-x2-x, na forma factorada é:

Generalizando, se o polinómio P(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 admite n raízes r1, r2,..., rn, podemos decompô-lo em factores da seguinte forma:

Observações: Se duas, três ou mais raiz forem iguais, dizemos que são raízes duplas, triplas, etc.

Uma raiz r1 do polinómio P(x) é dita raiz dupla ou de multiplicidade 2 se P(x) é divisível por (x-r1)2 e não por (x-r1)3.

2.8. Produtos Notáveis

É muito comum nas expressões algébrica o aparecimento de certos produtos. Para simplificar o trabalho nos cálculos será muito útil a aplicação dos produtos notáveis. Veja a tabela abaixo:

2.9. ALGUNS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:

3. Radiciação 3.1. Potenciação de Radicais

Observando as potências, temos que:

De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o radicando àquele expoente. Exemplos:

Divisão de Radicais Segundo as propriedades dos radicais, temos que:

De um modo geral, na divisão de radicais de mesmo índice, mantemos o índice e dividimos os radicais: Exemplos:

Se os radicais forem diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo índice e depois efectue a operação. Exemplos:

3.2. Racionalização de denominadores Considere a fracção: que seu denominador é um número irracional.

Vamos agora multiplicar o numerador e o denominador desta fracção por , obtendo uma fracção equivalente:

Observe que a fracção equivalente possui um denominador racional. A essa transformação, damos o nome de racionalização de denominadores.

A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de um fracção com denominador racional, equivalente a uma anterior, que possuía um ou mais radicais em seu denominador. Para racionalizar o denominador de uma fracção devemos multiplicar os termos desta fracção por uma expressão com radical, denominado factor racionalizante, de modo a obter uma nova fracção equivalente com denominador sem radical.

Principais casos de racionalização: 1º Caso: O denominador é um radical de índice 2: Exemplos:

é o factor racionalizante de , pois . = = a 2º Caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2. Exemplos:

é o factor racionalizante de

é o factor racionalizante de

é o factor racionalizante de é o factor racionalizante de

Potência com expoente racional Observe as seguintes igualdades:

ou Igualmente podemos transformar uma potência com expoente fraccionário em um radical.

De modo real, definimos:

, com a R ,m, n, N, a >0, n>0, m>0 Podemos também transformar um radical com expoente fraccionário:

Propriedade das potências com expoentes racionais As propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas para os expoentes inteiros. Sendo a e b números reais e positivos e os expoentes números racionais, temos que:

Exemplo:

3.3. A recorrência de François Viète no cálculo da raiz quadrada de um número

Vamos supor que queiramos calcular a raiz quadrada de um número “x” e que não tivéssemos os recursos hoje disponíveis. François Viète, matemático francês, desenvolveu um método muito interessante para resolver este problema. Supondo que, para calcular a raiz quadrada de um número “x”, nós “chutássemos” o resultado. Viète partiu da premissa de que a raiz quadrada de uma número qualquer “x”, é composto pela parte que corresponde ao nosso acerto “R” e uma outra corresponde ao erro “E”, que eventualmente cometeríamos ao tentar “chutar” o valor da raiz

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