Baixe Geometria Analítica e Vetores - Paulo Winterle e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! VETORES e O 2000 by Pearson Education do Brasil ados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização, por escrito, da Pearson Education do Brasil. Todos os direitos reservi Produtora Editorial: Marileide Gomes Capa: Conjunto Comunicação Editoração Eletrônica: ERJ Composição Editorial e Artes Gráficas Ltda. Dados de Catalogação na Publicação Winterle, Paulo Vetores e Geometria Analítica São Paulo : Pearson Makron Books, 2000. ISBN: 85-346-1109-2 2006 Direitos exclusivos para a língua portuguesa cedidos à Pearson Education do Brasil, uma empresa do grupo Pearson Education Av. Ermano Marchetti, 1435 CEP: 05038-001 - Lapa - São Paulo — SP Fone (11) 2178-8686 Fax (11) 3611-0444 e-mail: vendas pearsoned.com Agradecimentos A Deus pelo dom da eterna vida e pela vocação na apaixonante carreira docente. À Lia, minha esposa, pelo amor, paciência e muito apoio nas centenas de horas durante os meses de preparação deste livro. Aos editores da Makron Books que sempre acreditaram em mim. Aos milhares de ex-alunos, com os quais muito aprendi. Aos colegas pelo incentivo. Ao colega e grande amigo Nivaldo Almeida Fonseca pela força e valiosas sugestões. Ao colega Valmir Balbinot com quem aprendi muito a fazer figuras e que tem sua con- tribuição neste trabalho. Ao colega Airton Cabral de Andrade pelas inserções de aplicações na Físi Aos jovens empreendedores da Empresa Conjunto Comunicação: André Corrêa, Raul Merch e Rodrigo Rey, que souberam “bolar” uma capa cheia de energia e humanismo que a Matemática contém. a. E, por fim, dois agradecimentos muito especiais. Em primeiro lugar à colega e querida amiga Vera Regina da Rocha Bauer pelo grande e cuidadoso trabalho de revisão do conteúdo e por suas valiosas contribuições na melhoria deste texto. Um muito obrigado é pouco, Vera. E à colega Rita Maria Silvia Carnevale pela minuciosa revisão do texto e por ótimas sugestões na apresentação deste trabalho. Um abraço bem forte, Rita. Finalizando, ciente de que o sucesso de toda inicia conhecimentos muito depende das contribuições daqueles a apelo a todo usuário — aluno ou professor — deste texto: se da mesma forma, se não gostou dele. Opiniões, críticas e sugestã com toda a certeza, contribuirão para o aperfeiçoamento de s Para suas apreciações, dirija-se diretamente para winterle.vc ou es- creva para a Editora, que me repassará as manifestações que re p Sumário Agradecimentos .......... cerecerarenm one MO Para início de Conversa .............VIl Vetores ....... O TRATAMENTO GEOMÉTRICO . Noção Intuitiva E Casos Particulares de Vetores . Operações com Vetores Ângulo de Dois Vetores Problemas Propostos....... o p= LE O TRATAMENTO ALGÉBRICO ..... 18 Vetores no Plano ................ 18 Igualdade de Vetores... 21 Operações com Vetores aoi 4 7 Vetor Definido por Dois Pontos Pónto MEIO sapo emas Paralelismo de Dois Vetores .......... 28 Módulo de um Vetor... .29 Vetores no Espaço . 32 Igualdade, Operações, Vetor Definido por Dois Pontos, Ponto Médio, Paralelismo, Módulo de um Vetor .... 37 Problemas Propostos ........ic 40 xiv Vetores e Geometria Analítica Cônicas .......ccseemes RR) As Seções Cônicas .. .159 PARÁBOLA . Definição Elementos E Equações Reduzidas . Translação de Eixos Outras Formas da Equação da Parábola . Equações Paramétricas : Problemas Propostos... o HIPÉRBOLE Definição . Elementos s Equações Reduzidas Outras Formas da Equação da Hipérbole .199 Equações Paramétricas .............. 202 Problemas Propostos Curiosidades ....... ELIPSE . Definição Elementos . Equações Reduzidas . 179 Outras Formas da Equação da Elipse .. 183 Equações Paramétricas Problemas Propostos . Superfícies Quádricas .........213 Introdução ............. m2A3 Superfícies de Revolução . 24 Elipsóides 215 Hiperbolóides . 218 Parabolóides Superfícies Cônicas Superfícies Cilíndri Problemas Propostos Bibliografia ., ese seis esse 3] Com o propósito de garantir uma maior clareza para o leitor, a abordagem do estudo de vetores será feita por meio de dois tratamentos que se completam: geométrico e algébri- co. A grande vantagem da abordagem geométrica é de possibilitar predominantemente a visualização dos conceitos que são apresentados para estudo, o que favorece seu entendi- mento. Posteriormente, os mesmos assuntos e ainda outros serão abordados sob o ponto de vista algébrico, mais formal e abstrato. O TRATAMENTO GEOMÉTRICO Noção Intuitiva Existem dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais. As escalares são aquelas que ficam completamente definidas por apenas um número real (acompanhado de uma unidade adequada). Comprimento, área, volume, massa, temperatura, densidade, são exemplos de grandezas escalares. Assim, quando dizemos que uma mesa tem 3m de comprimento, que o volume de uma caixa é de 10 dm” ou que a temperatura ambiente é de 30ºC, estamos de- terminando perfeitamente estas grandezas. Existem, no entanto, grandezas que não ficam completamente definidas apenas pelo seu módulo, ou seja, pelo número com sua unidade correspondente. Falamos das grandezas vetoriais, que para serem perfeitamente caracterizadas necessitamos conhecer seu módulo (ou comprimento ou intensidade), sua direção e seu sentido. Força, velocidade, acelera- ção, são exemplos de grandezas vetoriais. Antes de apresentar um exemplo mais palpável de grandeza vetorial, precisamos ter bem presente as idéias de direção e de sentido. A Figura 1.1(a) apresenta três retas. A reta r, determina, ou define, uma direção. A reta r, determina outra direção, diferente da dire- ção de r;. Já a reta 14, por ser paralela a rj, possui a mesma direção de r,. Assim a noção de direção é dada por uma reta e por todas as que lhe são paralelas. Quer dizer, retas pa- ralelas têm a mesma direção. 2 Vetores e Geometria Analítica Na Figura 1.1(b) a direção é definida pela reta que passa pelos pontos A e B. O des- locamento de uma pessoa nessa mesma direção pode ser feito de duas maneiras: no sentido de A para B ou no sentido contrário, de B para A. Portanto, a cada direção podemos asso- ciar dois sentidos. Fica claro então que só podemos falar em “sentidos iguais” ou em “sen- tidos contrários” caso estejamos diante da direção. (a) (b) Figura 1.1 Agora vamos a um exemplo. Consideremos um avião com uma velocidade constante de 400 km/h, deslocando-se para nordeste, sob um ângulo de 40º (na navegação aérea, as direções são dadas pelo ângulo considerado a partir do norte (N), em sentido horário). Esta grandeza (velocidade) seria representada por um segmento orientado (uma flecha — Figura 1.2), sendo o seu módulo dado pelo comprimento do segmento (no caso, 4cm, e cada lem corresponde a 100 km/h), com a direção e o sentido definidos pelo ângulo de 40º. O senti- do será indicado por uma seta na extremidade superior do segmento. Observemos que no caso de o ângulo ser 220º (40º + 180º), a direção continua sendo a mesma, porém, o sentido é o oposto. Este exemplo de grandeza vetorial sugere a noção de vetor. Abstendo-se da idéia de grandezas vetoriais, diríamos que o vetor é representado por um segmento orientado (um segmento está orientado quando nele se escolhe um senti- do de percurso, considerado positivo). u RR ' 1 : v a u (a) d) Figura 1.9 Figura 1.10 Cap. 1 Vetores 5 f) Dois vetores Tev (Figura 1.9(a)) são ortogonais, e indica-se por u L v, se al- gum representante de u formar ângulo reto com algum representante de v. A Figura 1.9(b) apresenta dois repre- sentantes de u e v, com origem no ponto A, formando ângulo reto. Considera-se o vetor zero ortogonal a qualquer vetor. £) Dois ou mais vetores são coplanares se existir algum plano onde estes vetores estão representados. É importante obser- var que dois vetores u e v quaisquer são sempre coplanares, pois basta consi- derar um ponto P no espaço e, com ori- gem nele, traçar os dois representantes de u e v pertencendo ao plano 7 (Figura 1.10) que passa por aquele ponto. No caso de u e v serem não paralelos como nesta figura, estes vetores determinam a “direção” do plano 7, que é a mesma de todos os planos que lhe são paralelos. Três vetores poderão ser coplanares (Fi igura 1.11(a)) ou não (Figura 1.11(b)). o bo (a) (b) Figura 1.11 6 Vetores e Geometria Analítica Exémplos A Figura 1.12 é constituída de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho). De- cidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações: A B c D E o. a) h ACHHI o) PNLAM dj q b) ) JO/ LD p) IACI=IFPI h E o BC p ATMFG q IA=IMEI p a d) BL KW) AB LEG 1) IAJ=IACI K F e DE=-ED 1 AMIBL s) IAOlI=2INPI 9 AO=MG m)PELEC + IAMI=IBLI » I H q g) KN-=FH n) PN 1 NB Figura 1.12 Respostas DV DV DE DV ME PDV 9YV DV DV DV DV Dr qQVv DV o) F DV DF DV Vo DEF “A Figura 1.13 representa um paralelepípedo retângulo. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações: H G e : o c A B Figura 1.13 a) DH = BF e) IACI=IHFI b) AB =-HG f) IAGI=IDFI o) ABI CG e) BG // ED d) AF L BC h) AB, BC e CG são coplanares Cap. 1 Vetores 7 i) AB, FG e EG são coplanares m) AB, DC e CF são coplanares » EG, CB e HF são coplanares n) AE é ortogonal ao plano ABC k) AC, DB e FG são coplanares o) AB é ortogonal ao plano BCG 1 AB, BG e CF são coplanares p) DC é paralelo ao plano HEF Respostas a) V eo v DV m) V b) F Bv pv n) V o v g F k V o) V a V h) F Db F Pp) V Operações com Vetores Adição de Vetores Consideremos os vetores u e v, cuja soma u + v pre. tendemos encontrar. Tomemos um ponto A qualquer (Fi gura 1.14) e, com origem nele, tracemos um segmento | orientado AB representante do vetor u. Utilizemos a ex- tremidade B para traçar o segmento orientado BC repre- sentante de v. O vetor representado pelo segmento orientado de origem A e extremidade C é, por definição, o Figura 1.14 vetor soma de u e v , isto é, u+v=AC ou AB + BC = AC Sendo u // v, a maneira de se obter o vetor u + v éa mesma e está ilustrada na Figura 1.15(a) (u e v de mesmo sentido) e na Figura 1.15(b) (u e v de sentidos contrários). El | (a) (b) Figura 1.15 10 Vetores e Geometria Analítica 4) Provar que as diagonais de um paralelogramo têm o mesmo ponto médio. Solução Consideremos o paralelogramo ABCD de dia- gonais AC e BD e seja M o ponto médio de AC (Figura 1.19), equivale dizer que AM = MC. Vamos provar que M é também ponto médio de BD. Pela figura, tem-se A B BM = BC + CM (definição de soma) AD + MA (igualdade de vetores) MA + AD (propriedade comutativa) MD (definição de de soma) Ora, como BM = MD, conclui-se que M é ponto médio de BD. D c Figura 1.19 Multiplicação de Número Real por Vetor Dado um vetor v = Ô e um número real à + 0, chama-se produto do número real à pelo vetor v, o vetor tal que a) módulo: lav | = Iarll VI, isto é. o comprimento de av é igual ao comprimento de v multiplicado por | o. |; b) direção: av é paralelo a v: c) sentido: av e v têm o mesmo sentido se o > 0, e contrário se o < 0. Sea=0ou v=0, então av =0 A Figura 1.20 apresenta o vetor ve alguns de seus múltiplos. Cap. 1 Vetores 11 Observações a) Considerando o ponto O como origem de v, v * 0, e de todos os vetores 0tv que lhe são paralelos (Figura1.21), se fizermos ct assumir todos os valores reais, teremos repre- sentados em uma só reta todos os vetores paralelos a v.. Ea =— -v o 2Y avo 4v Figura 1.21 Por outro lado, supondo u // v, v £ O, sempre existe um número real o tal que u=av. Por exemplo, na Figura 1.22, onde Pp gui D A B E DC está dividido em cinco segmentos 1 x»+—> congruentes (de mesmo comprimento), em relação ao vetor AB (1AB |=2), tem-se Figura 1.22 AC=2AB 2 BD=-2AB CD=-2AB 2 b) Vimos em Casos Particulares de Vetores, Figura 1.8, página 4, que a cada vetor v, v £ 0, é possível associar dois vetores unitários paralelos a v. O vetor unitário > v lvl v . - = ou — de mesmo sentido de v é o versor de v. lvl Por exemplo, selvl=5,o versor de v é unf<s selvil=—,oversorde v é 3v; w|m ex -y se lv |= 10,0 versor de-v ET 12 Vetores e Geometria Analítica Exemplo Seja o vetor v O. Determinar o vetor paralelo a v tal que a) tenha o mesmo sentido de v e módulo 5; b) tenha sentido contrário ao de v e módulo 10. Solução Rr A partir de um vetor arbitrário v0 (Figura 1.23) é sempre A : : o v possível associar os dois vetores paralelos e unitários: —- lvl o» y : - y ; a é gasto E (mesmo sentido de v ) e -—— (sentido contrário ao de v). Im lvl Logo, tem-se as soluções: Figura 1.23 go, tem-se as soluções: E . 5v 10yv d=> e b)-—— lvl lvl Seu e v são vetores quaisquer e ct e À números reais, a multiplicação de número real por vetor admite as propriedades: , D(aB)v = cupv) ID (24 Bv =0v + By Dou +v)=au+av o IV) Iv=v A Figura 1.24 ilustra a propriedade III para o = 2, isto é, + Mu +v)=2u +2v. 2u =, Figura 1.24 Exemplos ” Representados os vetores u, v e á y w como na Figura 1.25(a), obter graficamente o vetor x tal que 4 x =2u-3v + dg 2 (a) (b) Solução: Figura 1.25) Figura 1.25 « Cap. 1 Vetores 15 4) O paralelogramo ABCD (Figura 1.30) é determinado D M pelos vetores AB e AD, sendo M e N pontos médios dos lados DC e AB, respectivamente. Determinar: a) AD + AB d) AN + BC E pin ” b BA+DA e MD + MB N E co) AC-BC 9 BM-LDC o Figura 1.30 5) Apresentar, graficamente, um representante do vetor u-yv noscasos: (a) (b) (c) (d) 6) Determinar o vetor x nas figuras: z ” ” . - 5 x u u X z - q x U s x ” v 7 (a) (b) (c) (d) 7) Dados três pontos A, B e € não-colineares, como na Figura 1.31, representar o vetor x nos casos: . a) x =BA+2BC «4 c)x=3AB -2BC b) x =2CA +2BA 95 Eae Figura 1.31 16 8) o 10) 11) 12) Vetores e Geometria Analítica Dados os vetores u e v da Figura 1.32, mostrar, em um gráfico, um representante do vetor aju-v bv-u o) -v -2u d) 2u -3V No triângulo ABC (Figura 1.33), seja AB =a e AC =b. Construir um representante de cada um dos vetores - 1- a d)a+>b ) ) 2 a-b - Ir b e) 2a->b ) 2 À 2 -a 1- E -a-2b e) 3 f) ae Dados os vetores a, be € (Figura 1. 34), apresentar, graficamente, um Epoca do vetor x tal que a) x =4a - 2b -. b) (a+b+c)+x=0 Jasrc+x=2b Na Figura 1.35 estão representados os vetores coplanares u 5 vew. Indicar, na própria figura, os vetores a) ave bw tal que u =av +bw b) au e pw tal que v =eu +Bw Teria sido possível realizar este | exercício no caso de os vetores u, ve w serem não” tcoplanares?” Figura 1.32 c / A = B ê Figura 1.33 a as de o Figura 1.34 w om u Figura 1.35 Sabendo que o ângulo entre os vetores u e v é de 60º, determinar o ângulo formado pelos vetores aue-v b)-ue2v c-ue-v d)3uesv Cap. 1 Vetores 17 13) Dados os vetores coplanares u,vew representados na A Figura 1.36, determinar a) um representante do vetor x + y. sendo EE um = 0» = q u x=u +2vey=v-2u; b) o ângulo entre os vetores 3vew; 59 c) o ângulo entre os vetores Que-w. as 14) Demonstrar que os pontos médios dos lados de um quadrilátero qualquer são vértices de um paralelogramo. 15) Demonstrar que o segmento de extremos nos pontos médios dos Ea Ts lados não-paralelos de um trapézio é paralelo às bases e igual à sua semi-soma. a 16) No triângulo ABC (Figura 1.37), tem-se BM = Be e — f— cs nes B c BN= q BC. Expressar os vetores AM e AN em fun- NM ção de AB e AC. Figura 1.37 Respostas de Problemas Propostos Da v e) F DV m)V b) F 9 F DF n) F o V gv k V o) V DV h v Dv Dav dv g F »y b) F e) F h) V W v er 9 F 7 F 3) a) AE d) AB g) AH; j) AC b) AC e) AO h) AD o AC f) AD 7 AO 4) a) AG O co) AB e) MN b) CA d) AM f) BD 6) a) u-v b) cu -v q v-u d)u+v 11) Não 12) a) 120º b) 120º ce) 60º d) 60º 13) b) 75º c) 60º 16) AM=L(AB+AC) e AN=SAB+7ÃC 20 Vetores e Geometria Analítica vetores ortogonais e unitários, neste caso, são simbolizados por ie j. ambos com origem em O e extremidades em (1,0) e (0, 1), respectivamente, (Figura 1.40), sendo a base Es (o, dj ) chamada canônica. Portanto, i= (1,0) e j= (0,1). Daqui por diante, trataremos somente da base canônica. Figura 1.40 Dado um vetor v qualquer do plano (Figura 1.41), existe uma só dupla de números xeytalque E ss. o Os múmeros x e y são as componentes de * na base canônica. A primeira componente é chamada abscissa de v ea segunda componente véa ordenada de v. O vetor v em (2) será também representa- do por v=(xy) (3) dispensando-se a referência à base canônica C. Figura 1.41 A igualdade (3) sugere a definição: Vetor no plano é um par ordenado (x, y) de números reais. O par (x, y) é chamado expressão analítica de v . Para exemplificar, veja a seguir alguns vetores e suas correspondentes expressões analíticas: 31 -5j =(3,-5) 47 =(4,0) 3) =(0,3) 0 =(0,0) Cap. 1 Vetores 21 Observação A escolha proposital da base (, R ) deve-se exclu- sivamente à simplificação. A cada ponto P(x, y) do plano xOy corresponde o vetor v=0P=xi + vi (Figura 1.42). Quer dizer, as coordenadas do ponto extremo P são as próprias componentes do vetor OP na base canônica. Em geral, deixa-se de indicar nos eixos os vetores i e j como se vê nessa figura. | Figura 1.42 De acordo com as considerações feitas, o plano pode ser encarado como um conjunto de pontos ou um conjunto de vetores. Igualdade de Vetores Dois vetores u =(x,,Y/)e v =(x>,y>) são iguais se, e somente se, X=X €Yj=Y>. escrevendo-se u = Exemplo O vetor u =(x+1, 4) é igual ao vetor v =(5, 2y-6)sex+1=5e2y-6=40ux=4e y=5. Assim, se u =v, entãiox=4,y= Seu=v=(5, 4). Operações com Vetores Sejam os vetores u=(x,,y/)e v =(x,,y;))e oe R. Define-se: Du+v =(X+X2,Y1/+Y2) 2) ou = (0x, Oy) Portanto, para somar dois vetores, somam-se as correspondentes coordenadas, e para multiplicar um número real por um vetor, multiplica-se cada componente do vetor por este número. As Figuras 1.43(a) e 1.43(b) ilustram as definições das operações dadas acima. 22 Vetores e Geometria Analítica Figura 1.43 Considerando estes mesmos vetores, tem-se ainda: -u=(IDu =(x,,-yj) U= u+(v)=(X,yD)+(x,,-Y2)=(X1-X2,Y17Y2) As definições anteriores e as operações algébricas dos números reais permitem de- monstrar as propriedades: a) para quaisquer vetores u, ve w, tem-se u+v=v+u (UA DA W=uU + +w) u+0=u u+(u)=0 b) para « quaisquer vetores u ev eos números reais oe À, tem-se Up v)=(op)v (+ fu =au + pu o(u + v)=0u +0v Iv=v Sugerimos como exercício ao leitor, demonstrar estas propriedades. Exemplos 1) Dados os vetores us (2,-3)e vs (-1, 4), determinar 3u +2v e3u -2v. Solução 3U +27 =3(2,3)+2-1,4)=(6,-0)+(2,8)=(6-2,-9+8)=(4,-1) 3u -2v =3(2,-3)-2(-1, 4) = (6,-9)+ (2, -8)=(6+2,-9-8)=(8,-17) 2) Determinar o vetor x na igualdade 3x +2u = 5 v+ x. sendo dados u = (3, -1)e v=(2,4. Cap. 1 Vetores 25 Figura 1.46 Por outro lado, sempre que tivermos v=AB ou v=B-A podemos também concluir que B=A+v ou B=A+AB isto é, o vetor v “transporta” o ponto inicial A para o ponto extremo B. Retornando à Figura 1.46, onde v =(3, 1), tem-se B=Ã+ v (LDO, DO D=C+v=(1,9+(3,D=(4,3) P=0+v=(0,0)+(3,D=(3,1) Ainda uma ilustração: na Figura 1.47, os vértices do triângulo são os pontos A(4, 1), B(5,3)e C(3,5) eos vetores u, v e w indi- cados são u=AB=B-A=(1,2) BO sÊ.Beçi,? w=CA=A-C=(1,-4) Observamos ainda que u+v+w=0=(0,0. Fi 1.47 Exemplos jrrio 1) Dados os pontos A(-1, 2), B(3, -1) e C(-2, 4), determinar o ponto D de modo que co = LAB. Z 26 Vetores e Geometria Analítica Solução Seja D(x, y). Então, CD=D-C=(xy)-6249)=(x+2,y-4) AB =B-A=(3,1-EL2=(4,-3) Logo, na (+ 2, y-4)5 5883) Ed («+2y-9=0, E) Pela condição de igualdade de dois vetores, tem-se K+2=2 3 y-4=-> 2 E E =. 5 sistema cuja solução é x =ley= Portanto, D(0, >. Observação Este problema poderia, também, ter sido resolvido da seguinte maneira: da condição CD = + AB ouD-C= + AB, vem D=C+ LAB e 1 8 5 D=(-2,4)+ 74 3B=(2,9)+(2, 22-10; 5 2) Sendo A(-2,4) e B(4 ,1) extremidades de um segmento, determinar os pontos F e G que dividem AB em três segmentos de mesmo comprimento. Solução Pela Figura 1.48 tem-se P=FO-GH- LAB Mas A F G B AB =B-A=(4,1)-(2,4)=(6,:3) Figura 1.48 Ima +AB=- (6,3)=(2,-1 3 tre Portanto, P=A+ TAB =(2,4)+(2,-1)=(0,3) G=F+ 5 AB =(0,3)+(2,-D=(2,2) 3) Sendo A(2, 1) e B(5, 2) vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD e M(4, 3) o ponto de interseção das diagonais, determinar os vértices C e D. Solução Em Adição de Vetores, Exemplo 4, página 10, demonstrou-se que as diagonais de um paralelogramo têm o mesmo ponto médio, isto é, AM = MC e BM = MD. Então, pela Figura 1.49 tem-se C=M+ MC =M+ AM D=M+ MD =M+ BM (ou: A+ BC) Mas, AM =M-A=(2,2) BM =M-B=(1,1) Portanto, o C=(4,3)+(2,2)=(6,5) D=(4,3)+(1, 1)=(3,4) Ponto Médio Seja o segmento de extremos A(x,,y,) e B(x5,Y52) (Figura 1.50). Sendo M(x, y) o ponto médio de AB, podemos expressar de forma vetorial como AM = MB ou G-xpy-y)=(x2-X, y2-9) e daí Rute Ro=k (E Yeda Sar) Resolvendo em relação a x e y, temos Qx=x+x, e ly=y+y, ou Figura 1.49 Figura 1.50 30 Vetores e Geometria Analítica Exemplo O versor de v = (3, 4) é ..v. de todos os vetores múlti- - 2 6-8] 0 So A 6BO 8,34) pvl 10 10 10 SC) Exemplos 1) Dados os pontos A(2, -1) e B(-1, 4) e os vetores u= (-1,3)e v=(-2, -1), determinar aflul o) 12u -3vI b) lu + v I d) a distância entre os pontos A e B Solução a) tul=((12 +43 =(1+9=10 b) Porser u + v=(-1,3)+(2,-1)= (3, 2), temos lu+vi = 163,21 =4(32+22 =/9+4=13 c) Porser2u -3V =2(-1,3)-3(-2,-1) = (2, 6) + (6, 3) = (4, 9), temos pu -3vl=[(4, 9l=16+81=/97 d) Por ser AB =B-A= (-1, 4) -(2,-1)=(-3,5), temos d(AB)=IABI = (3,5) =9+25 = 34 2) Determinar, no eixo Ox, um ponto P que seja eqiidistante dos pontos A(-1,-2) e B(5,-4). Solução O ponto procurado é do tipo P(x, 0). Deve-se ter d(P, A)=d(P,B) ou IPAI=IPBI Mas, K PA =A-P=(1-x,-2)e PB=B-P=(5-x 4) logo =x, DI=5-x, 4 ou 1-0 +22 =V6-0 +04? ou 1+2x+x244=25-10x+x?+16 e x=3 Portanto o ponto é P(3, 0). 3) Dado o vetor v =(-2, 1), achar o vetor paralelo a v que tenha a) o mesmo sentido de v etrês vezes o módulo de v à b) sentido contrário ao de v e a metade do módulo dev $ c) o mesmo sentido de v e módulo 4; d) sentido contrário ao de v e módulo 2. Solução a) Basta multiplicar o vetor por 3: 3 v= 3-2, D)=(-6,3) b) Basta multiplicar o vetor por 5: ad v = (2, D=(, = 2 c) Um vetor unitário obtido a partir de vé ves 2 - IE ( Dt A sucovamrie v). tvi 4410 5 5 agua! Vetores 31 Uma vez que o vetor procurado deve ter módulo 4 e mesmo sentido de v, basta multi- plicar o versor por a cep o d) Uma vez que o vetor so deve ter módulo 2 e sentido contrário ao de v, basta multiplicar o versor por -2: 21 4.2 A (er). 550 5 5 32 Vetores e Geometria Analítica Vetores no Espaço Vimos em Vetores no Plano que a base canônica (i + j ) no plano determina o sistema cartesiano ortogonal xOy e que a um ponto P(x, y) qualquer desse plano corresponde o vetor OP =xi+y5 , Ísto é, as próprias coordenadas x e y do ponto P são as componen- tes do vetor OP na base canônica (Figura 1.42), página 21. : No espaço, de forma análoga, considerare- mos a base canônica (i. j, k) como aquela que irá determinar o sistema cartesiano ortogo- nal Oxyz (Figura 1.53), onde estes três vetores unitários e dois a dois ortogonais estão represen- tados com origem no ponto O. Este ponto e a direção de cada um dos vetores da base determinam os três eixos cartesianos: o eixo Ox ou eixo dos x (das abscissas) corresponde ao vetor io eixo Oy ou eixo dos y (das ordenadas) Figura 1.53 corresponde ao vetor j e o eixo Oz ou eixo dos z (das cotas) corresponde ao vetork. As setas nessa figura indicam o sentido positivo de cada eixo, chamado também de eixo coordenado. Cada dupla de vetores da base, e, consequentemente, cada dupla de eixos, determina um plano coordenado. Portanto, temos três planos coordenados: o plano xOy ou xy, O plano xOz ou xz e o plano yOz ou yz. As Figuras 1.54(a) e 1.54(b) dão uma idéia dos planos xy e xz, respectivamente. z z a (a) (b) Figura 1.54 Cap. 1 Vetores 35 c) PFAB distam 2 unidades do plano yz e estão à frente dele, são pontos de abscissa x=2, isto é, são pontos do tipo (2, y, Z). É muito importante que o leitor tenha presente os casos especiais dos pontos pertencentes aos eixos e aos planos coordenados, ilustrados na Fi- j gura 1.57. Esta figura mostra que o [558 eixo dos x pode ser descrito como o sto) conjunto dos pontos do tipo (x, 0, 0), É ou seja, daqueles que têm y = 0ez = 0, enquanto que o plano xy como o con- junto dos pontos do tipo (x, y, 0). ou seja, daqueles que têm z = 0. y=0 Comentários análogos faríamos 1 para os outros eixos e planos coorde- nados indicados nessa figura. x=0 Ei (0,0,7) e (0,7) es ! Ao desejarmos marcar um ponto no espaço, digamos A(3, -2, 4), procedemos assim (Figura 1.58): 1º) marca-se o ponto A'(3, -2, 0) no plano xy; 2º) desloca-se A' paralelamente ao eixo dos z, 4 unidades para cima (se fosse -4 seriam 4 uni- dades para baixo) para obter o ponto A. Os três planos coordenados se interceptam segundo os três eixos dividindo o espaço em oito regiões denominadas octantes (Figura 1.59). A cada octante correspondem pontos cujas coordena- das têm sinais de acordo com o sentido positivo adotado para os eixos. O primeiro octante é cons- tituído dos pontos de coordenadas todas positivas. Os demais octantes acima do plano xy se sucedem em ordem numérica, a partir do primeiro, no senti- Figura 1.58 do positivo. Os octantes abaixo do plano xy se sucedem na mesma ordem a partir do quinto que, por convenção, se situa sob o primeiro. 36 Vetores e Geometria Analítica Figura 1.59 A Figura 1.60 apresenta os pontos A, B, Ce D situados acima do plano xy e todos de cota igual a 2, enquanto os pontos A', B, C'e D' estão abaixo desse plano e têm cota -2: ponto A(6, 4, 2), situado no 1º octante ponto B(-5, 3, 2), situado no 2º octante ponto C(-6, -5, 2), situado no 3º octante ponto D(5, -3, 2), situado no 4º octante ponto A(6, 4, -2), situado no 5º octante ponto B'((-5, 3, -2), situado no 6º octante ponto C'(-6, -5, -2), situado no 7º octante ponto D'(5, -3, -2), situado no 8º octante Cap. 1 Vetores 37 Figura 1.60 Igualdade — Operações — Vetor Definido por Dois Pontos — Ponto Médio — Paralelismo — Módulo de um Vetor As definições e conclusões no espaço, relativas aos títulos acima, são análogas às do plano: 1) Dois vetores u= (xp yr Z))e v= (X5.Y2, Z2) São iguais se, e somente se, *y = os Yy= do 6 2] “lo II) Dados os vetores u =(X,Yp Z))e v =(x5.Y2, Z))e ae R, define-se: u+v =(X+X9,Y/+Yo,2Z4+292) au =(0x,, Oy, OZ) HI) Se A (x,y, Z))eB(x5,Y2,Z2) são dois pontos quaisquer no espaço, então AB =B-A=(X2-XpYo-Yi2Z0-21) Já vimos que: se v =B-A, então B=A+V. 40 Vetores e Geometria Analítica 4) Seja o triângulo de vértices a(s, 1, 2), BE, 5, -6) e C(1, -1, -2). Calcular o compri- mento da mediana do triângulo relativa ao lado AB. Solução A mediana em questão, de acordo com a Figura 1.64, é o segmento que tem como extremi- dades o ponto médio M de AB co vértice oposto C. Então, o comprimento da mediana é o módulo do vetor MC. g a Jo RR 6, MG,2,4 Ro B e 8 Á a ME =C-M=(1,-1,2)-(3,2,-4)=(2,:3,2) Portanto Figura 1.64 MCI= [022 +03" +27? = V4+9+4 =V17 Problemas Propostos 1) Dados os vetores u =die 35, v=i- j ew =2i + . determinar a)2u -V c) qu-2v-w E Es . qe i= bv-u+2w 0) BM agi Sim 2) Dados os vetores u =(3,-1)e v = (-1, 2), determinar o vetor x tal que a) 4u-v)+ a =20-X b)3x -(2v -U)=24% -3u) 3) Dados os pontos A(-1, 3), B(2, 5), C(3. -1) e O(0, 0), calcular a) OA - AB b) OC - BC c) 3BA -4CB 4) Dados os vetores u= (2, 4), v= (5, De w = (-12, 6), determinar a, € a, tais que w=aju+av 5) Dados os pontos A(3, -4) e B(-1, 1) e o vetor v= (-2, 3), calcular a) (B-A)+2V o B+AB-A) b(A-B)-v d) 3V-HA-B) 6) Sejam os pontos A(-5. 1) e B(1, 3). Determinar o vetor y = (a, b) tal que a) B=A+2V b) A=B+3Y Construir o gráfico correspondente a cada situação. n 8) 9) 10) 11) 12 Cap. 1 Vetores 41 Representar no gráfico o vetor AB eo correspondente vetor posição, nos casos: a) A(-1,3)e B(3,5) c) A(4,0) e B(0, -2) b) ACI, 9) e B(4, 1) d) AG, De B(3, 4) Qual o ponto inicial do segmento orientado que representa o vetor v = (-1, 3), saben- do que sua extremidade está em (3, 1)? Representar graficamente este segmento. No mesmo sistema cartesiano xOy, representar a) os vetores u = (2, -1) e v= (-2, 3), com origem nos pontos Afl, 4) e B(1, -4). res- pectivamente: b) os vetores posição de vev. Sejam os pontos P(2, 3), Q(4, 2) e R(3, 5). a) Representar em um mesmo gráfico os vetores posição de u, v e w de modo que Q=P+u,R=Q+ VeP=R+4w. b) Determinar usvAw. Encontrar o vértice oposto a B, no paralelogramo ABCD, para a) A(3, -1), B(4, 2) e C(5,5) b) AG, 1), B(7,3) e CG, 4) Sabendo que A(1, -1), B(5, 1) e C(6, 4) são vértices de um paralelogramo, determinar o quarto vértice de cada um dos três paralelogramos possíveis de serem formados. 13) Dados os pontos A(-3, 2) e B(5, -2), determinar os pontos M e N pertencentes ao 14) 16) segmento AB tais que AM = : AB e AN = ê AB. Construir o gráfico, marcando os pontos A, B, M, N e P, devendo P ser tal que AP = E AB. Sendo A(-2, 3) e B(6, -3) extremidades de um segmento, determinar a) os pontos C, D e E que dividem o segmento AB em quatro partes de mesmo com- primento; b) os pontos F e G que dividem o segmento de AB em três partes de mesmo comprimento. O ponto P pertence ao segmento de extremos A(x,,y,) e B(x,,Y2) e a distância dele ao ponto A é a terça parte da distância dele ao ponto B. Expressar as coordena- das de P em função das coordenadas de A e B. Dados os vetores u =(1,-1), v= (3,4) e w = (8, -6), calcular a) lul IA gl2u -wl D— lvl b lvl lu + vil DIw -3ul h|E lul 42 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) Vetores e Geometria Analítica Calcular os valores de a para que o vetor u = (a, -2) tenha módulo 4. EI Es Calcular os valores de a para que o vetor u = (a, 5 seja unitário. Provar que os pontos A(-2, -1), B(2, 2), C(-1, 6) e D(-5, 3), nesta ordem, são vértices de um quadrado. Encontrar um ponto P de eixo Ox de modo que a sua distância ao ponto A(2, -3) seja iguala 5. Dados os pontos A(-4, 3) e B(2, 1), encontrar o ponto P nos casos a) P pertence ao eixo Oy e é egiiidistante de A e B; b) P é equidistante de A e B e sua ordenada é o dobro da abscissa; c) P pertence à mediatriz do segmento de extremos A e B. Encontrar o vetor unitário que tenha (1) o mesmo sentido de ve (II) sentido contrário a v, nos casos: a) v=-1 +5 bd) v=3i- 5 9 v=(1, 43) 9 V=(0,4) Dado o vetor v = (1, -3), determinar o vetor paralelo a v que tenha: a) sentido contrário ao de v e duas vezes o módulo de v : b) o mesmo sentido de v e módulo 2; c) sentido contrário ao de v e módulo 4. Traçar no mesmo sistema de eixos os retângulos de vértices a) A(0,0, 1), B(0. 0, 2), C(4,0, 2) e D(4,0, 1) b) AQ, 1,0), B(2, 2, 0), C(O, 2, 2) e D(O, 1,2) Traçar o retângulo formado pelos pontos (x, y, z) tal que a)x=0,I<y <4 e0<z7<4 b-l<x<2,0<y<3 ez=3 Construir o cubo constituído dos pontos (x, y, z), de modo que a)4<x<2, I<y<s3e0<z<2 b)-2<x<0,2<y<4e 4<7<2 Construir o paralelepípedo retângulo formado pelos pontos (x,y,z), de modo que 1<x<3,3<y<5e0<7<4. Quais as coordenadas dos oito vértices do paralelepípedo? Calcular a distância do ponto A(3, 4, -2) a) ao plano xy; d) ao eixo dos x; b) ao plano xz; e) ao eixo dos y; c) ao plano yz; f) ao eixo dos z. 47 48 49) Cap. 1 Vetores 45 b) A(2,1,-1), BG, -1,0)e C(1, 0,4) c) AC1,4, -3), B(2,1,3)e C(4, -1,7) Sabendo que o ponto P(m, 4, n) pertence à reta que passa pelos pontos A(-1, -2, 3) e B(2, 1, -5), calcular me n. Encontrar o vértice oposto a B, no paralelogramo ABCD, para a) A(-1,0,3), B(1, 1,2)e C(3, -2,5) b) A(4,0, 1), B(5, 1,3) e C(3, 2,5) Verificar se são tório os nd vetores: EURO . LE Determinar o valor de n para que o vetor y =(n, “Ta) seja unitário. u=(1, 11) e v=(— Determinar o valor de a para que u= (a, -2a, 2a) seja um versor. Dados os pontos A(1, 0, -1), Ba, 2, e €(I, 2, 0), determinar o valor de m para que Ivl=7, sendo v=mAC + BC. Determinar o valor de y para que seja egiiilátero o triângulo de vértices A(4, y, 4), B(10, y, De C(2,0, -4). Obter o ponto P do eixo das abscissas egiiidistante dos pontos A(3, -1, 4)eB(1, 2, 3). Obter um ponto P do eixo das cotas cuja distância ao ponto A(-1, 2, -2) seja igual a 3. Dado o vetor v = (2, -1, -3), determinar o vetor paralelo a v que tenha a) sentido contrário ao de v e três vezes o módulo de v; b) o mesmo sentido de vy e módulo 4; c) sentido contrário ao de v e módulo 5. Respostas de Problemas Propostos RC) b) (55,4) o) 1-5) a Bs) 15 5, 23 DIDO DC -) 3) a) (4,1) b) Es c) (5,-30) 4) a=le a;=2 5) ad (58, 11) b) (6,-8) o) (69,11) d) (14, 19) Dav=(3D v=(2.-5) 8) (4,-2) 10) b)Q 11) a) D(C2,2) b) DG, 2) 46 Vetores e Geometria Analítica 12) (2,2), (0,-4) e (10,€ 72 13) MG, 0), NG» “3 E 3 14) a) C(0, 2» a b FS.L ) G 15) 3 4 16) g) Es 5) ! h 1 179) 0) 600 . 0) 21) a) P(0,5) b) P(5, -10) o) P(x,3x+5), xe R BE Lol ol,; mist V2' 20 2º 2 10" 10 10" 10 143 13 o Ga ego d) (0, 1) e (0, -1) 2 6 4 12 23) a)(2,6 Disse a o ) a) (2,6) ao Pagão) 27) Vértices da base inferior: (1, 3, 0), (1,5, 0), (3,3,0) e (3,5, 0) Vértices da base superior: (1, 3, 4), (1,5, 4),(3,3,4)e(3,5,4) 28) a) 2 3 e) 13 b)4 d) 245 95 29) B(2, -3, 2), C(3, -3, 2), D(3, -1, 2), E(3, -1, 5), F(2, -1, 5), G(2, -3, 5), H(3, -3, 5) 30) em relação a Oxyz: O(0, 0, 0), A(3, 0, 0), B(3, 4, 0), C(0, 4, 5), D(3, 0,5) e 0(3,4,5) em relação a O'x'y'z': O(c3, -4, -5), A(O, -4, -5), B(0, 0, -5), C(-3, 0, 0), D(O, -4, 0) e 0(0,0,0) 31) a) (5,7,-9) b) (0, -6,2) o) (1,7,9) d) (5,-3,-14) 6 32) N(1,-2,-— ) NC 5 ) 33) D(-2, -6, 8) 34) a= ars =4 4 2 4 35 =(>,>,-— ) a) x= 6 3 E b) n22 a,)=3,a3=1 37) €(6, -1,3) e D(I, -9, 7) 38) (4, -1,-6), (6,1,2)e (2,3,0) 39) (9,7,11) 40) a) (0,-1, ça 2,3, (4,5, > 2) Ro. b)( 3 3 3 do Ss 3 3 41) a) (1,2,4) É (9, -7,-4) c) (5,-4,3) 42) a) (x,0,0) e) (x,y, 0) e) (x,0,7) b) (0,0, 2) 9) (0, y, 2) D (x,7,0) 43) são paralelos: u, vet 44)a=9eb=-15 45) D(0, 1,0) 46) a) sim b) não c) sim 47) m=5 e n=-13 48) a) D(1,-3,6) b) D(2,1,3) 49) v é unitário 50) + 51) + vi= alt 52) 3ou «dê 5 53) +2 54) P(3,0,0) 55) P(0,0,0) ou P(0,0,-4) 4 10 56) a) (-6,3,9) DAE) e) Cm Cap. 1 Vetores 47 g) (0,0,7) h) (0, y,0) 5 a 15 To) 50 Vetores e Geometria Analítica 3) Dados os vetores u =(4,0 je v Elosds a ens-pontos A (4, 1,)eB(3,2, -1), determinar o valor de ct tal que u + BA)=5. E Solução BA-A-B=(1,3,3) v+BA=(02,3)+(1,3,3)=(0+1,-1,6) Substituindo e resolvendo a equação dada, vem Eu -D.(a+1,-1,6)=5 a(o + 1) + 0-1) - 1(6 Propriedades do Produto Escalar Para qua isquer vetores u, v e w eo número real a, é fácil verificar que: O v= Vo. u n u.(VAw)=u.v+ u . w e (u+v). w=u .w+ v .w ID o(a + v)= (au). v=u «(av) IV) u.u>0seuz0 e u.u=0, seu =0=(0,0,0). v) u.u=lul? De fato, vimos que o módulo do vetor U= (x, y, Z) é dado por lul=yW+y)+22. Tendo em vista que u.u =(Ky De (myD= x)+ y+?, conclui-se que lul=vu.u ou de modo equivalente u. u=IuP. Demonstraremos a propriedade II, deixando a cargo do leitor as demais. Se U=(X.Y1,21), V =(X2.Y2,29)6 W =(X3,93,23), então Cap.2 Produto Escalar 51 u. (+ wW= (x, Y1 21) (Xo +X3, Yo + Ya Zo +23) =x (x, +X9))+yy(Y2 + Ya) +2/(25 +25) =X,X +XjX3 +Yiya +Y1Y3 +ZZ> +Z|Z; =(4X2 +12 +2/22)+(XX3 + YjY3 2425) =u.v+u. w Exemplos 1) Sendolul=4,Ivl=2eu. =3, calcular (3u -2v).(cU+4V) Solução QGu-2v).(u+4v)=3u . (u+4v)-2v.(cu+4v) =-3u.u+l2u.v+2v.u - 8v.v =-3lul2+14u. v - 8IvI? =-34(4)? +14(3) - 8(2)? =-48+42 -32 =38 » Mostrar que lu +vP=luP+2u.v +IvÊ Solução lu+VÊ =(0+V). (04) =u.(U+W+v.(u+V) =u.U+U.VAV.U+V.v =lu +2u. v+IvÊ Observação De forma análoga demonstra-se que lu-vÊ=IuP-2u.v +IvÊ 3) Provar que (u+v). (u-v)=luP-IvÊ Solução (u+w.(u-w=u.(u -v+v.(u-v) =u.u-U.v+v.u-v.v 4 =lul2 Iv? 52 Vetores e Geometria Analítica Definição Geométrica de Produto Escalar Seu e v são vetores não-nulos e 6 o ângulo entre eles, então D. v=lulivicos 6 (2) A | Aplicando a a lei dos co-senos ao triângulo ABC da Figura 2.1, temos ju - vÊ=luP+IvÊ-2lullvicos O (3) Por outro lado, de acordo com o exemplo 2 (item anterior): o ja = vÊ=luP+IvP-20.v (4 / Comparando as igualdades (3) e (4): A luP+IvÊ-20.v =luP+IvÊ-2ullvicos O E e, daí Es <+ u.v =lullvicos8, 0º<0< 180º Figura 2.1 Conclusão: O produto escalar de dois vetores não-nulos é igual ao produto de seus módulos pelo co-seno do ângulo por eles formado. Exemplo Sendo lul=2, Iv |=3 e 120º o ângulo entre u ev, calcular a) u.v blu + vil ou -vI Solução a) Pela relação (2), tem-se u.v=lul Iyicos 120º =(0X3)(-5)=-3 b) Vimos que lu + vP=luP+2u.v + Iv Então, lu + VÊ=2+43943=7 e, portanto, lu + vi=7 c) De forma análoga tem-se lu - vP=IuP-2u.v + IVÊ =2 343? =19 e, portanto lu - vi= 419 Cap.2 Produto Escalar 55 O sistema x-y=0 (1,1,-1) b +2=0 : tem infinitas soluções do tipo A y=xez=x Logo, os vetores ortogonais a vi e va são da forma u = (x, X, =x) Y ou u= x(1,1,-1), x € R, isto é, são todos múltiplos de (1, 1, -1), con- Figura 2.5 forme sugere a Figura 2.5. 4) Demonstrar que as diagonais de um losango são perpendiculares entre si. Solução c Lembremos que todo losango é um paralelogramo cujos lados têm o RE mesmo comprimento. Consideremos o losango ABCD (Figura 2.6). uv Devemos mostrar que D B AC.DB =0 Fazendo AB = u e AD= v. pela figura vemos que v a AC=u+veDB=u v. Logo, A AC.DB =(u+v).(u-v)=luÊ-IvÊ=0 (5) ; E Tê Figura 2.6 pois lu l= Iv. 5) Provar, utilizando o produto escalar, que o ângulo inscrito em uma semicircunferência éreto. Solução Observemos que, considerados os vetores u e v como na Figura 2.7, os vetores u+ve u-v determinam o ângulo inscrito na semicircunferência. Portanto, de maneira análoga ao exemplo anterior, visto em (5), temos E gÊd a dia (u+v).(u-v)=luP-IvÊ=0 pois lu = Iv | (medida do raio). 56 Vetores e Geometria Analítica Cálculo do Ângulo de Dois Vetores Da igualdade u.v =lulivicos 8, vem “1 = tulivi (6) fórmula a partir da qual se calcula o ângulo 6 entre os vetores u e v não-nulos. Exemplos 1) Calcular o ângulo entre os vetores u =(1,1,4)e v=(1,2,9. Solução cogu ev GOD d+2+8 9 1 2 jullvi vVi+I+16V1+4+4 Vi8V9 32.3 V2 2 Logo. B=arccos E =45º 2) Sabendo que o vetor v= (2, 1, -1) forma ângulo de 60º com o vetor AB determinado pelos pontos A(3, 1, -2) e B(4, 0, m), calcular m. Solução De acordo com a igualdade (6), tem-se cos 60º = A. Iv ABI Como cos 60º = + e AB =B-A=(1,-1,m+2), vem (2, 1,4). (L Im +2) 1 2 Vaqi+41 Vi+ltm? +4m+4 1. 2-1-m-2 2 6 Jm? +4m+6 Tãz de > ==? x V6m? +24m +36 à 1+2m+m? 4 6m?+24m+36 Cap. 2 6m? +24m+36=4+8m +4m? 2m? +16m+32=0 m? +8m+16=0 Portanto, m = -4 (raiz dupla) 3) Determinar os ângulos internos ao triângulo ABC >sendo A(3, -3, 3), B(2, -1,2) e C(1,0, 2). Solução Observemos que no triângulo ABC da Figura 2.8, o ângulo A é fe determinado pelos vetores AB e AC. Logo, cosA-AB-AC €1,2-D. (2,3, 1) 2 2+6+1 1 9 =0,982 ABIACI Vi+4+1/449+1 a “odiado À are cos(- 57) = 105% E Analogamente, Figura 2.8 . BA.BC W2D.(14,10) 120 coB=="[""[ = >D"D"" === — IBAIIBC! vVI+4+1Vi+1H0 62 N3 B = arc cos (SB = 150º A CA.CB (3 3D.(L-,0) 243 5 = 09449 cosC= "= = CANCEL V44941VivI£O viãv> V2 É = arc cos (—>=) = 19'7'. Notemos que A+B+Ê=I80º ET Ângulos Diretores e Co-senos Diretores de um Vetor Seja o vetor v=xi+ y j +2zk não-nulo. Ângulos diretores de v são os ângulos o, À e y que v forma com os vetores 1, j e k, respectivamente (Fi- gura 2.9). Co-senos diretores de v são os co-senos de seus ângulos diretores, isto é, cos q, cos B e cos 7. Figura 2.9 60 Vetores e Geometria Analítica x cos60º=— ou lvl Como Iv |=4, isto é, Vx? +3258 R vem 2) +y?=16 y=12 W=+ 243 Tendo em vista que B (ângulo de v com /) é obtuso (90º < B < 180º), na igualdade cos B = E o valor de y é negativo. v Portanto, v=(2, 3, 0) Projeção de um Vetor sobre Outro Sejam os vetores u ev nãonulose Bo ângulo entre eles. Pretendemos decompor um dos vetores, digamos v » tal que V= vi + Vo sendo vi//u e vodu. A Figura 2.10 ilustra as duas situações possíveis, podendo ser 6 um ângulo agudo (Figura 2.10 (a)) ou obtuso (Figura 2.10 (b)). Figura 2.10 Cap.2 Produto Escalar 61 Es o a sta projzv Ora, sendo v///u, temos v; = Qu ecomo vz =v-vi=v-cu éorogonala u, vem (v-qu). u=0 ou v.u-gueu =0 u u.u Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Escalar Se em (10) o vetor u é unitário du = 1), te; proj=v =(v.u)u pois u.u=luÊ=] e, portanto, Iprojzvl=(v.u)ul= IV culo! ou tprojeVi=Iv.ul Logo, o comprimento do vetor projeção de v sobre 4, sendo U unitário, é igual ao módulo do produto escalar de v por u. Exemplos 1) Determinar o vetor projeção de v= (2,3, 4) sobre u=(1,-1,0). =IuÊ=(1)" cen? +0=2 = 11 ju=(50, A, D=6 > 0) 2) Dados os vetores ve (1,3, -5) e ue (4, -2, 8), decompor v como v = Vi +Va, sendo vilia e vodu. Solução a) Pela Figura 2.10 e por (10), temos =)u u.u v =projev=( Como v.u =1(4)+302)-5(8)=-42 9 u.u =4 a ai vem v 1=É(4, 2, B=-=(4 2 P=(2,1,-4) b) Sendo v = vi +vo, tem-se Vos vo vi =(1,3,-5)-(2,1,-4)=(3,2,-1) Observamos que va 1u pois Vou =3(4)+2(-2)-1(8)=0 3) Sejam os pontos A(-1, -1, 2), B(2, 1, 1)e C(m, -5. 3). a) Para que valor de m o triângulo ABC é retângulo em A? b) Determinar o ponto H, pé da altura relativa ao vértice A. Solução a) Sendo À ângulo reto, os vetores AB e AC (Figura 2.11) são ortogonais, isto é, AB.AC =0. Solução a) Wy=IFlldicos Como 6 = 0º (ângulo entre Fe d), vem Wo = (LONJCIO)(1) = 100 b) Wr =IFilldicos O Como 8 = 180º (ângulo entre E e d), vem Wr, = (8N)X(10m)(-1) =-80 3 Cap.2 Produto escalar 65 o) Wo=IPlldicos 6 Como 6 = 90º (ângulo entre P e d ). vem Fy E F A B B Figura 2.13 Wo = (3NJAOm)(0) = d) We =IFxlldicos O Como 8 = 90º (ângulo entre Fx e d), vem Wi, = (GNJX1Om)(0) = 03 Neste exemplo, o trabalho resultante Wp das quatro forças pode ser calculado de duas maneiras: a) pela soma algébrica dos trabalhos realizados pelas forças: Wr= We+ WE + W5+ WE ou E fo Wa = 1001-801 +0]+0]=20J b) pelo trabalho realizado pela força resultante Fr: Fr= F + É +P+ Fw (soma de vetores) Como P + Ex -0, conclui-se que Ir [=2N Logo, Wa=IFrlldicos 6 (9=0º) ou Wa = (2NX10m)(1) = 20 J 2) Calcular o trabalho realizado pela força F para des- locar o corpo de A até B (Figura 2.14), sabendo que IFI=10N, IABl=Idl= 20m e O = 36,9º. Figura 2.14 tores e Geometria Analítica Solução A Força F (Figura 2.15) é decompostaem F =8i +6j, en onde $=IFlcos6, 6=IFIsen0 e d=201 +05. 10N EN O trabalho realizado pela força F pode ser calcu- lado por W =F E d (produto escalar) W=(81 +6]).(201 +0)) W= 160] B as Figura 2.15 ou por Wa=lFlldicos 6 W = (10NJX(2Om(cos 36,9º) W= 160) Problemas Propostos 1) Dados os Vetores u =(2,-3,-])e v =(1, -1, 4), calcular a2u. Q(u+v). (u- v) b) (1+3V).(V-20) 9) (=D) 2) Sejam os Vetores u= =0Q, a, -1), v= (3,1,-De w = (2a - 1, -2, 4). Determinar a de modo que u . v=(U+v). (VA wo. 3) Dados os pontos A (4; 0, -1); BY2, -2, 1) eC(1,3,2)e os vetores u= 2,1, De v =(-1, -2,3), obter o vetor x tal que a)3x +27 =X + (AB. u)v b) (BC.v)X=(u. v)v -3x. 4) Determinar o vetor v, » Paralelo ao vetor u = =02, -1, 3), tal que v.u=-42 5) Determinar o vetor v, sabendo que lvi=5, vé ortogonal ao eixo Ox, v.w=6e w=i+ 25. 6) Determinar o vetor v. ortogonal ao eixo Oy, v. vi =8 é v 5 v =-3, sendo =(3,1,-De v2 =(1,1,1). 7) Dados os vetores u =(1,2,-3), v 2,0,-De w =(3, 1, 0), determinar o vetor x “talque x ii nS-16, x. v=0 e x à w=3. 8) Sabendo que lul=2, Ivi=3 eu.v=-1, calcular aj(u-3v).u Q(U+V).(v-40) bQv-u). (v) Gu +4v). (Qu -5v) Cap.2 Produto escalar 67 9) Calcular U.V+U.w+v.w, sabendo que u+vAw E 0, lul=2, Iv |=3elw ja 5: 10) Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo egiiilátero cujo lado mede 20 cm. Calcular AB . AC e AB. CA. 11) O quadrilátero ABCD (Figura 2.16) é um losango de lado 2. Calcular: a) AC.BD d) AB.BC b) AB. AD e) AB.DC c) BA.BC f) BC.DA 12) Calcular lu + vi lu - vi e(u+v). (u- v). sabendo que lul=4, Ivi=3 o ângulo entre u ev é de 60º, 13) Sabendo que lul= 42; Ivi=3e que u ev formam ângulo Figura 2.16 3; : de e rad, determinar ajiQu -v).(u-2v)] b)lu -2vI 14) Verificar para os vetores u= (4,-1,De v= (3,2, -2) as desigualdades a) lu.vi < lullvl (Desigualdade de Sciarz) b) lu + VI<SIul+ lvl (Desigualdade Triangular) 15) Qual o valor de à para que os vetores a =0i+2) -4k eb =2i+(1 -20)j +3k “sejam ortogonais? > 16) Dados os vetores a= (2, 1, 0), b= (a +2,-5,2) ec E= Co, 8, 01), determinar o valor de o para que o vetor a + b seja ortogonal ao vetor c-a. Dados os pontos A(-1, 0, 5), B(2, -1, 4) e C(I, 1, 1), determinar x tal que AC e BP sejam ortogonais, sendo P (x, O, x - 3). 18) Provar que os pontos A(-1, 2, 3), B(-3, 6, 0) e C(-4, 7, 2) são vértices de um triângulo retângulo. Dados os pontos A(m, 1, 0), B(m - 1, 2m, 2) e C(1, 3, -1), determinar m de modo que o triângulo ABC seja retângulo em A. Calcular a área do triângulo: 20) Encontrar os vetores unitários paralelos ao plano yOz e que são ortogonais ao vetor v=(4,1-2). 21) Determinar o vetor u tal que lul=2,0 ângulo entre uev= (11,0) é45ºe u é E 19 ortogonal a w= (1,1,0). 70 Vetores e Geometria Analítica 46) Determinar um par de vetores unitários e ortogonais entre si, em que um deles seja paralelo a v=6i+ so: 47) Determinar, aproximadamente, o ângulo entre os pares de vetores au=(,1)ev=(4,-2) =. bu=(1,-Dev=(4,2) Qu=(1,1) ev=(1,1) 48) Dados os vetores u Te j ev=2i + + determinar o módulo e o ângulo que os seguintes vetores formam com o vetor i : au c) u+v e) v-u b) v du-v 49) Determinar o valor de a para que seja 45 º o ângulo entre os vetores = Qua v=(L,a). 50) Para cada um dos pares de vetores vev + encontrar o vetor projeção ortogonal de v sobre u e decompor v como soma de vi com Vas sendo vi HM u e vu. du=(1,0)ev=(4,3) Qu=(4,3)ev=(1,2) bu=(LDev=(25) | Respostas de Problemas Propostos 9 a)2 b)21 o-4 d) 4 5 )a=> ) a z 12 3) )(3,6,-9) b)(5,-S,1 ) a)( ) 65 q ) 4) (6,3, -9) 5) (0,3,4) ou (0,3,-4) 6) 2,0,-1) 7 x=(2,3,4) 8) a)7 b) 38 o)-4 d)-181 9) -19 10) 200 e -200 11) a)0 b)2 o-2 d)2 4 D-4 12) 437, 13€7 13) a)37 b) «/50 15) -5 16) 3 ou -6 17) x as z 18) BA.BC =0 19) m=le são : 20) ( ) ou (0, - 2% E = = 21) (4, 2) ou (1,4, 2) 22) a) Dentre os infinitos possíveis: (1, 1, -1) 1/1 1 b) Um deles: (—=, —=, -—=) ê 3" 3 4 As c) Um deles: (E E Ea 23) 10e10 25) a) 120º b)150º 26) 45º e 135º 27) À =5057,B=5PI,C=n7 28) 0ou-18 29) 30. No s E ; 30) arc cos — = 49º6' 21 31) a)0 oo ea? £) arc cos E = 5444" bjo d) av2 e aJ3 D(2,0),a”) h) arc cos G =70º31" 32) 33) 34) 35) 36) 1.6 2 o o =arc cos (est B =arc cos 5) 2107 Y=arc cos É = 65º a= (2,1, 1) Não, cos” 45º+cos? 60º+cos? 90º * 1 (543, 0,5) 3 Load Lo 22 2 3 72 Vetores e Geometria Analítica 37) 38) 39) 40) 41) 42) 43) 44) 45) 46) 47) 48 49) 50) a= (245, 0, 5) a) (443, -4,0) b) (0,1, 4/3) (-2,1,4) 8s 4 8 6 E om ia adm Gra Be Cs ) 417,35, 2k = 2 2. q 10 4 1 a) vi=(-— Fa” 3 3 b) vi= (1, Dev>=(2,0,-2) o) vi=(3,0,0)e v2 = (0,5, 4) d) vi= (0, 0, o)(ue v são ortogonais) e w= À v 9 51 87 94 =3 b) > 2 H(> aim | 56 Ê 9 Gg" 26º 2») 8 E b)-6 a) 3 ) 3 4 34 a 2 3 a Gr) vs bD(—=—. o) € = ) e ( ) ori JD e( Ei l 1 Seade 1 1 des Coma 354: 43 34 43 G qo e EC ” ou G que ço a 1 o ) arc cos (—)=53º b) -—) = 108 a) arc cos (q) arc cos ( Ao a) 2, 45º DAS, are cos () = 117 5 1 b) 4/5, arc cos (=) = 26º e) 45, arc cos (=) = 63º E 5 c)3,0º 1 3ou -— 3 T T E 86, E 34 a) vi=(4,0), v2=(0, 3) e vi= ERC vao ç =017,2033 b) vi=(5, 5), Vo= (5, Dorado ME 3 2 ) c) 90º Cap.3 Produto Vetorial 75 a) O produto vetorial de u por v também é indicado por Av elêse“u vetorial v ”, Observemos que a definição de u x dadaem (1) pode ser obtida do desenvolvimento segundo o Teorema de Laplace (item d das Preliminares) substituindo-se a, b e c pelos vetores unitários i , j e k, fato que sugere a notação GPS : uXv=|x y 2 : a o a : (O & Y o. o ' " O símbolo à direita de (2) não é um determinante, pois a primeira linha contém veto- res em vez de escalares. No entanto, usaremos esta notação pela facilidade de memoriza- ção que ela propicia no cálculo do produto vetorial. Exemplo Calcular u x v para v=5 Solução Ti tm 43/- I|5 3|- 5'4l- uxv =|5 4 3 1 |) 5 E ; 5] 101 - 4 as =(4 Dig NETO DÊ =47 -2j - 4k Dispositivo prático para o cálculo de uxv Dispõe-se os dois vetores em linha, e repete-se pela ordem, as duas primeiras colunas. As três componentes de u x v são dadas pelos três determinantes, conforme está indicado a seguir. A vantagem do dispositivo é que não se corre o risco de esquecer a troca de sinal do determinante intermediário. 76 Vetores e Geometria Analítica 4 ARE ano? / a Levando-se em conta as considerações feitas sobre as proprieda- des dos determinantes, concluímos de imediato que: 19) vxu =-(uxv), isto é, os vetores vxueuxv são opostos (Figur: 1), pois a troca de ordem dos vetores no produto vetorial uxv implica troca de sinal de todos os determinantes de ordem 2, ou seja, troca de sinal de todas as suas componentes. Por outro lado, como uxvavxu conclui-se que produto vetori- al não é comutativo (ao contrário do produto escalar: u. v = v .u 3: Portanto, no produto vetorial a ordem dos fatores é importante. 2)u Xxv = 0 se, e somente se, u ul v, pois neste caso, todos os determinantes de ordem 2 têm suas linhas constituídas por elementos proporcionais. Estão aí também incluídos os casos particulares: D uxu = 0 (determinantes de ordem 2 com linhas iguais) IH) ux O = O (determinantes de ordem 2 com uma linha de zeros) Exemplos d de produto vetorial de vetores paralelos: aux(u)=0 a (u- v)x( v- u)=0 b)Qu)x(7U)=0 au +3v)x|6u +9v) = 0 Q(uxv)x(vxu) = O D(Su)x0 =0 Sabemos que um vetor está bem definido quando conhecemos sua direção, seu senti- do e seu comprimento. A seguir passaremos a definir o vetor uxvnocasodeu ey serem não-nulos e não-paralelos. Características do Vetor u x vV Consideremos os vetores u =(X,YpZ/)e v =(X9,Y2:29). a) Direção de uxy E ne O vetor u X v é simultaneamente ortogonal a u e v Cap.3 Produto Vetorial 77 Tendo em vista que dois vetores são ortogonais quando o produto escalar deles é zero, basta mostrar que (uxv). u=0 e (uxv). v=0 Temos, então = = yi Z ge dy (uxvw.u = o me! A ye)! Z y2 22 [5 22 X2 32 Rj cdi a = [| JM A X Yo 2 = 0 (primeira e segunda linhas iguais). 2 2 q Ux Logo, ux v é ortogonal a E V, De forma análoga, demonstra-+ se gue (u uxv ). v= 0. Como o vetor v x u tema mesma direção de uxyv > (apenas seus sentidos são opostos), também ele é ortogo- nal tanto a u ompr av.A Figura 3.2 apresenta os veto- ( ' resuxvevxu ortogonais ao plano x determinado por u e v . Vxu Figura 3.2 Exemplo j Dados os vetores u =(3,1,2)e v= (-2,2,5), tem-se , =(1,-19,8) no mu A Pe B 5 e (UxV.u=(1, 19, 8). (3, 1, 2)=3-19+16=0 (Ux. v=(1, 19, 8).(-2, 2,5)=-2-38+40=0 e 80 Vetores e Geometria Analítica Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Vetorial Observando que no paralelogramo determinado pelos vetores não-nulos u e v (Figura 3.5), a medida da base é lul e da altura é lv | sen 8,a área A deste pa- ralelogramo é = (base) (altura) = lu llv | sen 6 ou seja, A=luxvl (1) Figura 3.5 O resultado dado « em mM poderá ser expresso por: “a área do paralelogramo deter. minado pelos vetores ue v énumericamente igual ao comprimento do vetor u x vº Vamos comprovar este resultado por meio de um exemplo particular formando os vetores u=2i ev=3) j . Temos, então ij uxv=|2 0 0/=(0,0,6)=6k 030 e lu x vl=6 A Figura 3.6 mostra claramente que o paralelogramo determinado por u e v tem 6 u.a. (unidades de área) e o vetor u xv tem 6 u.c. (unidades de comprimento). Quer dizer, numericamente estas medidas são iguais. Para encerrar o estudo do produto vetorial, as con- clusões finais: bo ) produto ve vetorial não é associativo, isto é, em geral Figura 3.6 (uxv)x wu x(Vxw) Basta considerar, por exemplo, (GxDxi =kxi En enquanto que ix xj)=i x0=0 2) Para quaisquer vetores u, v , W eo escalar 0, são válidas as propriedades D ux(V+w)=(uxv)+(uxw)e (U+v)x w =(UXW)+(VXW) ID a(UxV)=(0u)xv=ux(av) ND u.(Vxw)=(UxV). w As demonstrações destas propriedades, todas ligadas à aplicação da definição (1) e de propriedades dos determinantes além das citadas no texto, deixamos a cargo do leitor como desafio. Exemplos 1) Determinar o vetor x, tal que x seja ortogonal ao eixo dos y e U=XXv, sendo u=(Ll-Dev=(2,-1,1). Solução Como x + Oy, ele é da forma x =(x,0,7). Então, u=X XV equivale a 15 K (LL = oz -1 x 2 ou Pela condição de igualdade de dois vetores resulta o sistema z=1 x+2z=1 -x =-] cuja solução éx = lez=1. Portanto, x= (1,0, 1). 2) Sejam os vetores u= (1, -1,-4) e = (3, 2, -2). Determinar um vetor que seja a) ortogonala u e b)ortogonala u e v e unitário; c) ortogonala u e v e tenha módulo 4; EVEICIEs o «lala <s d) ortogonal a e tenha cota igual a 7. es e Geometria Analítica Solução a) Sabe-se que o vetor u x v é simultaneamente ortogonal a u e v. Como multipli- car um vetor por um número real não altera a sua direção, todos os vetores do tipo o( u xv ), o. e R, são também ortogonais a u e v - Portanto, este problema tem infini- tas soluções. FR uxv=|1 1 4|=(10,-10,5) à 2 = Logo, as infinitas soluções são o(10, -10,5), ce R. Observação Se chamarmos de x = (x, y, z) todos os vetores ortogonais a u e v, estas mesmas solu- ções seriam obtidas resolvendo-se o sistema: x.U=0 x-y-42=0 XV =0 ou 3x+2y-22=0 b) A partir de uUxv (ou de qualquer o (u x v), o * 0), obtém-se dois vetores unitários: - UXV (0,40,5) 2 21 u=5"[=5 2 =(É,.2,5) luxvi 15 3 3'3 e ts= rot o ER é 1 3º 3º 3” c) Para obter um vetor de módulo 4 que seja ortogonal a uev, basta multiplicar por 4 um vetor unitário: 2 21 8804 4 DG o. Gra DG 33) ou 221 884 ME, SsoJ=(tê, É) E 363 33) d) Dentre as infinitas soluções (10, -10, 5) = (100, -100, 50), deseja-se aquela cuja cota é 7. Então, 50. = 7, ou seja, o = : Logo, temos a solução 5 (10, -10, 5) = (14, -14,7.