Baixe Aula 08 Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática e outras Notas de aula em PDF para Direito, somente na Docsity! Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. F elipe Lessa - Aula 8 AULA 8: 6. Álgebra. 11. Raciocínio Matemático (parte I) Numeração; Números naturais: múltiplos, divisores, divisibilidade e restos; M.D.C. e M.M.C. SUMÁRIO I. Numeração......................................................................................... 2 I. 1 Representação numérica em uma base b ......................................6 I. 2 Conversão entre bases numéricas................................................ 7 II. Números naturais: múltiplos, divisores, divisibilidade e restos..........14 III. M.D.C. e M.M.C...............................................................................23 IV. Restos. ............................................................................................28 V. Mais Questões Comentadas. ..............................................................31 VI. Lista das Questões Apresentadas. ....................................................47 Pessoal, na primeira parte de nosso curso (7 primeiras Aulas), estudamos o Raciocínio Lógico propriamente dito. Podemos considerar que estas primeiras 7 Aulas foram a primeira parte de nosso Curso. Hoje, podemos dizer que estamos entrando na segunda fase de nosso Curso. Da Aula 8 até a Aula 13, estudaremos os seguintes tópicos do Edital: "Álgebra"; e"Raciocínio Matemático". - Mas, Professor! Seis Aulas para tratar de apenas dois tópicos do Edital? Não é exagero não? - Não é não, caro Aluno! Repare que o Edital é muito abrangente, ou seja, pode cair qualquer coisa de Matemática Básica. Eu tomei o cuidado de ser bem abrangente nessas seis Aulas que virão justamente porque o Edital não é claro. Segundo o Edital, cai tudo de Matemática básica!!!!! Como nós não temos tempo de ver toda a teoria, nessas 6 Aulas eu vou dar uma passada na parte teórica de alguns assuntos chave (caso você tenha alguma dúvida específica) e a minha ideia é que você tenha contato com a maior quantidade possível de exercícios da ESAF de Matemática Básica. Ou seja: foque nos exercícios resolvidos e, caso tenha dúvida, recorra à parte teórica e aos vídeos! "O único lugar onde o sucesso vem antes do trabalho é no dicionário. Albert Einstein" Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 1 de 55 Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. F elipe Lessa - Aula 8 I. Numeração Olá queridos Alunos! Vamos falar de números? Os números estão sempre presentes na nossa vida. Uma das primeiras coisas que nós aprendemos é contar. Lembro, como se fosse hoje, que quando minha filha, ainda com menos de 2 anos, contou de 1 a 10, foi a maior alegria lá em casa! Pois é! O mundo nos ensinou assim: os números que conhecemos e fazem parte do nosso dia-a-dia são formados pelos algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 e com eles podemos formar qualquer número para representar qualquer quantidade. Assim, se eu te perguntar quantas laranjas há abaixo, você vai me responder correndo: 3! E eu te direi: está auase correta a sua afirmação! O que ninguém nunca te ensinou, caro Aluno, é que você estava aprendendo a contar na base 10, ou na base decimal. Assim, para sua resposta estar completamente certa, você deveria me responder: 3, na base 10, professor! Mas não precisamos ser tão puristas a esse ponto, não é verdade? Imagine você na feira perguntando o preço do tomate e o feirante te respondendo: - É dez na base 10 por cinco na base 10, Doutor! (Traduzindo: são 10 tomates por 5 reais) Fique calmo: não, não há essa necessidade na linguagem corriqueira. O mundo adotou a convenção de usar a numeração na base decimal e tudo, ou quase tudo, que se fala hoje em numeração é na base 10. Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 2 de 55 Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. F elipe Lessa - Aula 8 OU XYZ x 10° Z x 10° = Z x 1011U Y x 101 = 10Y x 102 X x 102 = 100X XYZ = Z x 10o + Y x 101 + X x 102 = 100X + 10Y + Z Gabarito: Letra D Apesar da base decimal estar amplamente difundida e utilizada por aí, eu poderia, por alguma razão específica, querer contar as coisas sem usar os 10 algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9) que todo mundo usa. O pessoal da informática, por exemplo, para contar bits e bytes, utiliza apenas dois algarismos: 0 e 1. É a chamada base 2 ou sistema binário. Assim, se eu mostrar aquela mesma foto das laranjas e perguntar para uma pessoa da área de informática, ela poderá me responder: - Eu vejo 11 laranjas na foto. O que não estará totalmente errado, porque o número 11 na base 2 é igual ao número 3 na base decimal que conhecemos. Faltaria a ele apenas dizer: 11, na base 2, laranjas na foto. Curiosidade: existe uma frase clássica do pessoal de informática, que ilustra bem essa nossa conversa de bases de numeração: Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 5 de 55 Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. F elipe Lessa - Aula 8 "Existem 10 tipos de pessoas no mundo: as que entendem binário e as que não." Esta frase só é possível de ser entendida se a pessoa conhecer o sistema binário e souber que 10 na base 2 é igual a 2. I. 1 Representação numérica em uma base b Assim como o pessoal da informática utiliza a base 2 para contar as coisas, outras pessoas, inclusive a sua BANCA EXAMINADORA, podem querer contar coisas em uma outra base b qualquer. Nesta base, os algarismos a serem utilizados são aqueles de 0 até b - 1. Por exemplo: na base 10 (decimal), usamos de 0 a 9; na base 2 (binário), usamos de 0 a 1; na base 7, usamos de 0 a 6. E assim por diante... Resumindo Base Numérica Algarismos utilizados Base 2 0, 1 Base 3 0, 1, 2 Base 4 0, 1, 2, 3 Base 5 0, 1, 2, 3, 4 Base 6 0, 1, 2, 3, 4, 5 Base 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Base 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Base 9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Base 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Para se indicar em que base numérica está determinado número, podemos escrever o índice b da base ao lado do número, assim: 1 1 2 = (base 2) - lembram das laranjas? 456 = (base 6) 405 = (base 5 ) 1324 = (base 4) 310 = (base 10) Para os números na base 10, ou decimal, que são aqueles com os quais já nos acostumamos, convencionou-se a omitir a informação da base. Se não, ia ser aquela conversa de doido na feira, - Mas peraí, Professor! O I I 2 eu já entendi que é igual a 3 por causa do exemplo da laranja. Mas e os outros: 456, 40s e 1324? Como é que eu vou saber a que número na base decimal eles correspondem? - Espere um momento, Aluno! Este é o nosso próximo assunto! Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 6 de 55 Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. F elipe Lessa - Aula 8 I. 2 Conversão entre bases numéricas Feita a explicação inicial, vamos ao que cai em prova! Interessar-nos-á (nossa, falei bonito né?!?) a conversão entre bases numéricas! Transformar de uma base b qualquer para a nossa conhecida base decimal OU transformar da base decimal para a base b. CAIU na prova! Nos sistemas de numeração posicionai, cada dígito da sequência que representa o número pode ser interpretado como o coeficiente de uma potência da base, onde o valor do expoente depende da posição do dígito na sequência. Trocando em miúdos: • 456 Posição 1 Posição 0 4 5 61 60 45e = 5x60 + 4x61 = 5 + 24 = 29 OU x 6o 5 x 6 ° = 5 x 61x 6 4 x 61 = 24 456 = 5 x 60 + 4 x 61 = 29 • 405 Posição 1 Posição 0 4 0 51 50 405 = 0x50 + 4x51 = 0 + 20 = 20 Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 7 de 55 Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. F elipe Lessa - Aula 8 Assim, 10112 + 1012 = 11 + 5 = 16 Gabarito: Letra E Mais questão da ESAF... Questão 3 - ESAF - ATEng (Pref RJ)/2010 A seguir estão representados pelo sistema binário, formado apenas pelos algarismos 0 e 1, os números naturais de 0 a 16 em ordem crescente: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000. Qual é o número que corresponde ao binário 111011? a) 59 b) 60 c) 58 d) 61 e) 62 SOLUÇÃO: Vocês devem ter reparado que antes de pedir o que ela queria na questão, a ESAF deu uma enrolada né? O enunciado da questão poderia muito bem ter sido tão somente: "Qual é o número que corresponde ao binário 111011?". Pois bem, vamos calcular 1110112. Posição 5 Posição 4 Posição 3 Posição 2 Posição 1 Posição 0 1 1 1 0 1 1 25 24 23 22 21 20 Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 10 de 55 11101 x 2o x 21 x 22 x 2 x 2 x 25 *- 1 x 20 1 x 21 -> 0 x 22 -> 1 x 23 -► 1 x 24 -> 1 x 25 Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. F elipe Lessa - Aula 8 1110112 = 1x2o + 1X21 + 0x22+ lx 2 3 + lx 2 4 + lx 2 5 = = 1 + 2 + 0 + 8 + 16 + 32 Assim, 1110112 =59 Gabarito: Letra A Muito bem. Já aprendemos a converter de uma base b qualquer para a base decimal, muito fácil né? Basta fazer o somatórios dos múltiplos das potências de b . Mas e o contrário? E se eu tiver um número na base decimal e quiser saber o seu valor na base b , por exemplo? Como fazer? CAIU na prova! Também é muito fácil, nobre aluno! E só dividir o número por b e depois ir dividindo os quocientes obtidos sucessivamente por b, até que o resultado da divisão seja igual a 0. O número na base b será a concatenação dos restos obtidos. Exemplifico: Escreva 118 na base w.. Dessa forma, 118 = 11101102 Quer fazer a prova real? Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 11 de 55 Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. F elipe Lessa - Aula 8 11101102= 0x20 + 1X21 + 1x22+ 0x23 + 1x24 + 1x25+ 1x26 = 0 + 2 + 4 + 16 + 32 + 64 = 118 Assim, 118 = 11101102 Exemplifico de novo: Escreva 57 na base 6. Dessa forma, 57 = 1336 Quer fazer a prova real? 1336 = 3x60 + 3x61 + 1x62 = 3 + 6 + 36 = 57 Assim, 57=1336 Perceberam como é fácil? Que tal mais uma questão de prova? Questão 4: FCC - AJ TRF4/TRF 4/Apoio Especializado/Contadoria/2010 Sabe-se que, no Brasil, nas operações financeiras é usado o sistema decimal de numeração, no qual um número inteiro N pode ser representado como: N = an.10n + an-1.10n-1 + an-2 .10n-2 +... + a2 .102 + a 1 .101 + a0 .10°, em que 0 < ai < 10 , para todo 0 < i < n. Nesse sistema, por exemplo, 8903 = 8.103 + 9.102 + 0.101 + 3.100 Suponha que, em férias, Benivaldo visitou certo país, no qual todas as operações financeiras eram feitas num sistema de numeração de base 6 e cuja unidade monetária era o "delta". Após ter gasto 2014 deltas em compras numa loja e percebendo que dispunha exclusivamente de cinco notas de 100 reais, Benivaldo convenceu o dono da loja a aceitar o pagamento na moeda brasileira, dispondo-se a receber o troco na moeda local. Nessas condições, a quantia que ele recebeu de troco, em deltas, era a) 155. b) 152. c) 145. d) 143. e) 134. Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 12 de 55 Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. F elipe Lessa - Aula 8 Começamos sempre dividindo pelo menor número primo possível. Quando não der mais, passamos para o próximo: 200 2 100 2 50 2 25 5 5 5 1 = 2x2x2x5x5 = 23x52 Assim, o número 200 pode ser escrito como 2x2x2x5x5 ou 23x52. Exemplo: Decomponha em fatores primos o número 4.200. Começamos sempre dividindo pelo menor número primo possível. Quando não der mais, passamos para o próximo: 4200 2 2100 2 1050 2 525 3 175 5 35 5 7 7 1 = 2x2x2x3x5x5x7 = 23x3x52x7. Assim, o número 4.200 pode ser escrito como 2x2x2x3x5x5x7 ou 23x3x52x7. Divisores de um número natural Os divisores de um número são todos aqueles números que ao dividirem tal número, deixam resto "0". Por exemplo, 5 é divisor de 25, pois 25^5=5 e resto 0. É uma divisão exata. Por óbvio, o conjunto dos divisores de um número é um conjunto finito. O número 1 é divisor de todos os números e todo número é divisor de si mesmo. Como já vimos anteriormente, os números que só possuem 2 divisores, o "1" e ele mesmo, são chamados primos. Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 15 de 55 Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. F elipe Lessa - Aula 8 Para saber a quantidade de divisores de um número qualquer, basta fazer a multiplicação de todos os expoentes da sua decomposição em fatores primos, adicionado, cada um de + 1. Assim, o número total de divisores de 4.200 é (3+1)x(1 + 1)x(2+1)x(1 + 1) = 48, pois 4.200=23x3x52x7. O número total de divisores de 200 é (3+1)x(2+1) = 12, pois 200=23x52. O número total de divisores de 100 é (2+1)x(2+1) = 9, pois 100=22x52. Agora, para saber QUEM são os divisores de um número natural, há um macete. Vamos fazer com o 100 e você extrapolará para qualquer outro. A primeira coisa a fazer é reescrever a fatoração do número 100 e colocar o número 1 logo acima, pois como vimos, o 1 é divisor de todo mundo! 100 2 50 2 25 5 5 5 1 Os demais divisores são encontrados pela multiplicação do fator primo da linha imediatamente posterior por todos os outros divisores. Assim: 100 50 25 5 1 / / ; / 1 2 2, 4 5, 10, 20 25, 50, 100 Assim, o conjunto dos divisores de 100 é D (100) = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100} Você pode checar que são 9, conforme já havíamos calculado. Questão 5: FJG - ACE (TCM-RJ)/TCM-RJ/Tecnologia da Informação/2011 Um orfanato costuma levar para passear suas 72 crianças. O passeio é feito em grupos pequenos, sempre com o mesmo número de participantes de cada vez, e os grupos são formados por mais Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 16 de 55 Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. F elipe Lessa - Aula 8 de 5 e menos de 20 participantes por vez. Desse modo, o número de maneiras diferentes pelas quais podem ser reunidas essas crianças é de: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 SOLUÇÃO: Temos que achar os divisores de 72. 72 36 18 9 3 1 Z 1 2 2 2 4 2 8 3 3, 6, 12, 24 3 9, 18, 36, 72 D(72) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72} O número de divisores compreendido entre 5 e 20 é igual 5. Gabarito: Letra C Divisibilidade Para facilitar nossa vida, existem alguns critérios para você bater o olho em um número e afirmar com certeza se ele é ou não divisível por outro. Para a decomposição em fatores primos, é fundamental que você saiba estas regrinhas. Divisibilidade por 2 : Um número será divisível por 2 se for par. Divisibilidade por 3 : Um número será divisível por 3 se a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3. Divisibilidade por 4 : Um número será divisível por 4 se for terminado em 00 ou se o número formado pelos seus dois últimos algarismos for divisível por 4. Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 17 de 55 Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. F elipe Lessa - Aula 8 Observe que o resto da divisão por 3 é 0, ou seja, deve ser um número divisível por 3. Descartamos a opção A. Sobram apenas B: 81 e D: 87 Observe que o resto da divisão por 5 é 2. Descartamos a opção B, pois 81+5 deixa resto 1. Sobra D: 87. Gabarito: Letra D Questão 7: FCC - AFTM SP/Pref SP/Gestão Tributária/2012 Considere a multiplicação abaixo, em que letras iguais representam o mesmo dígito e o resultado é um número de 5 algarismos. R A M O S x______ 9 S O M A R A soma (S + O + M + A + R) é igual a a) 25. b) 27. c) 29. d) 31. e) 33. SOLUÇÃO: Ora, se o número S O M A R é resultado de uma multiplicação por 9, é porque ele é divisível por 9. Para ser divisível por 9, a soma dos valores absolutos dos algarismos que compõem o número deve ser divisível por 9. Analisando as respostas, a única que é divisível por 9 é a 27. Gabarito: Letra B Múltiplos de um número natural Estão lembrados de quando começaram a estudar matemática e tinham que decorar tabuada? Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 20 de 55 9x0 = 0 9x1 = 9 9x2 = 18 9x3 = 27 Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. F elipe Lessa - Aula 8 9x9 = 81 9x10 = 90 Pois então, estes são os 11 primeiros múltiplos de 9 Diz-se, portanto que o número 27 é múltiplo de 9 porque é divisível por 9. Percebem como os conceitos de múltiplos e divisores estão intimamente relacionados? Ademais, podemos afirmar o seguinte: Um número X só é múltiplo de outro Y se e somente se X for divisível por Y. Questão 8: ESAF - AUFC/TCU/1999 Em uma escola de música, exatamente 1/4 do número total de vagas é destinado para cursos de violino, e exatamente 1/8 das vagas para os cursos de violino são destinadas para o turno diurno. Um possível valor para o número total de vagas da escola é: a) 160 b) 164 c) 168 d) 172 e) 185 SOLUÇÃO: Seja N o total de vagas. Seja V o total de vagas para violino. V = (1/4)xN (I) Seja D o total de vagas para violino diurno. D = (1/8)xV (II) De (I), sei que N = 4V De (II), sei que V = 8D Substituindo o valor de V, temos que N = 4x(8D) = 32D Chegamos à conclusão que N é um múltiplo de 32. Das opções de resposta, a única que é múltiplo de 32 é a letra A. 160 = 32 x 5. Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 21 de 55 Gabarito: Letra A Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. F elipe Lessa - Aula 8 Questão 9: CESGRANRIO - Tec (INSS)/INSS/2005 A razão entre o número de homens e de mulheres, funcionários da firma W, é 3/5. Sendo N o número total de funcionários (número de homens mais o número de mulheres), um possível valor para N é: a) 46 b) 49 c) 50 d) 54 e) 56 SOLUÇÃO: Seja M o número de mulheres. Seja H o número de homens N = M + H (i) (H/M) = (3/5) (ii) De (ii), vem que 3M=5H, ou M = (5H/3) Substituindo em (i), vem que N = (5H/3) + H ou: 3 x N Como H tem que ser um número natural, N deve ser divisível por 8. O único múltiplo de 8 nas respostas é o 56. Gabarito: Letra E Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 22 de 55 Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. F elipe Lessa - Aula 8 SOLUCAO: 6 2 10 2 15 3 3 3 5 5 5 5 1 6 = 2x3 1 10 = 2x5 1 15 = 3x5 6 10 15 x 3 x5 MMC = 2x3x5 = 30 Um macete para calcular o MMC mais rápido é fazer a decomposição em fatores primos simultaneamente, até achar tudo 1. Depois é só multiplicar. Assim: 6 10 15 2 3 5 15 3 1 5 5 5 1 1 1 MMC = 2x3x5 = 30 Gabarito: Letra A O MDC é o produto dos fatores comuns com os menores expoentes. 16500 = 22 x 3 x 53 x 11 368550 = 2 x 34 x 52 x 7 x13 3583125 = 32 x 54 x 72 x13 MDC (16500, 368550, 3583125) = 3x52 No MDC, só entram os fatores comuns a todos (3 e 5) e com o menor expoente! Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 25 de 55 Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. F elipe Lessa - Aula 8 Questão 11: FCC - AuxJ TRF2/TRF 2/Administrativa/2007 Um auxiliar judiciário foi incumbido de arquivar 360 documentos: 192 unidades de um tipo e 168 unidades de outro. Para a execução dessa tarefa recebeu as seguintes instruções: - todos os documentos arquivados deverão ser acomodados em caixas, de modo que todas fiquem com a mesma quantidade de documentos; - cada caixa deverá conter apenas documentos de um único tipo. Nessas condições, se a tarefa for cumprida de acordo com as instruções, a maior quantidade de documentos que poderá ser colocada em cada caixa é a) 8 b) 12 c) 24 d) 36 e) 48 SOLUÇÃO: Questão fácil, simples, objetiva e direta. Precisamos achar um número que divida tanto o 192 quanto o 168 e que este número seja o maior possível, que será justamente o número máximo de documentos por caixa. Estamos falando do... MDC! 192 96 48 24 12 6 3 1 2 2 2 2 2 2 3 192 = 26x3 192 = 2 6x 3 168 = 23 x 3 x 7 MMC = 23x3 = 24 168 84 42 21 7 1 2 2 2 3 7 168 = 23x3x7 Um macete para calcular o MDC mais rápido é fazer a decomposição em fatores primos simultaneamente, até achar tudo 1. Depois é só Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 26 de 55 Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. F elipe Lessa - Aula 8 multiplicar os fatores nas linhas onde houve divisão em TODOS os elementos. Assim: 192 168 2 (Ambos foram divididos por 2) 96 84 2 (Ambos foram divididos por 2) 48 42 2 (Ambos foram divididos por 2) 24 21 2 12 21 2 6 21 2 3 21 3 (Ambos foram divididos por 3) 1 7 7 1 1 MDC = 23x3 = 24 Há ainda uma outra regrinha prática para cálculo do MDC. Basta dividirmos o maior pelo menor e depois os restos sucessivamente, até chegarmos numa divisão exata. O resto que proporcionar divisão exata é o MDC. Vejamos: 192+168 = 1 , com resto 24 168+24 = 7, com resto 0 (divisão exata) -->>> MDC = 24 Gabarito: Letra C Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 27 de 55 Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. F elipe Lessa - Aula 8 121 r X deixa resto 4 349 r X deixa resto 11 (daí você já conclui que X é > 11, certo caro Aluno?) Então, a soma dos restos das parcelas individuais é igual a 15 (4 + 11). (121 + 349) r X deixa resto 2 Logo, 15 r X também deve deixar resto 2 Analisando as opções de resposta, X só pode ser igual a 13 Gabarito: Letra D Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 30 de 55 Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. F elipe Lessa - Aula 8 V. Mais Questões Comentadas... Questão 13: FCC - AFF (TCE-SP)/TCE-SP/Sistemas/2008 O número 1001011, do sistema binário de numeração, no sistema decimal de numeração equivale a um número x tal que a) 0 < x < 26 b) 25 < x < 51 c) 50 < x < 75 d) 74 < x < 100 e) x > 99 SOLUÇÃO: Posição 6 Posição 5 Posição 4 Posição 3 Posição 2 Posição 1 Posição 0 1 0 0 1 0 1 1 26 25 24 23 22 21 20 10010112 = 1x2o + 1X21 + 0x22+ 1x23 + 0x24 + 0x25 + 1x26 = 1 + 2 + 8 + 64 = 75 Assim, 10010112 =75 Gabarito: Letra D Questão 14: FCC - AJ TRT4/TRT 4/Apoio Especializado/Tecnologia da Informação/2011 No Brasil, o sistema monetário adotado é o decimal. Por exemplo: 205,42 reais = (2 x 102 + 0 x B. 01 + 5 x 100 + 4 x 10-1 + 2 x 10-2) reais Suponha que em certo país, em que a moeda vigente é o "mumu", o sistema monetário seja binário. O exemplo seguinte mostra como converter certa quantia, dada em "mumus", para reais: 110,01 mumus = (1 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20 + 0 x 2-1 + 1 x 2-2) reais = 6,25 reais Com base nessas informações, se um brasileiro em viagem a esse país quiser converter 385,50 reais para a moeda local, a quantia que ele receberá, em "mumus", é: a) 10 100 001,11._________________________________________ Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 31 de 55 Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. F elipe Lessa - Aula 8 b) 110 000 001,1. c) 110 000 011,11. d) 110 000 111,1. e) 111 000 001,11. SOLUCAO: Esta questão já é um pouco mais complicadinha, pois envolve algarismos depois da vírgula. Mas não há com o que se preocupar: é como se eles fossem a posição -1, -2, -3 etc do número e o algarismo que ocupa essa posição deverá multiplicar a base elevada a essa potência, como o enunciado explica bem. Bem, para acharmos o equivalente de 385,5 em binário, fazemos assim: 385,5 = 385+0,5. Ou seja, vamos calcular o binário da parte inteira, 385, e da parte decimal, 0,5, separadamente. Depois somamos. Assim, 385 = 1100000012 Falta calcular 0,5 em binário. Ora você deve reparar que 0,5 = V2 = 2-1 Repare então que 0,5 = 1 x 2-1 Isto significa que, em binário, a posição -1, depois da vírgula, é igual a 1. Nossa resposta então é: 110000001,12 Gabarito: Letra B Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 32 de 55 Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. F elipe Lessa - Aula 8 Questão 17: ESAF - AUFC/TCU/Controle Externo/Controle Externo/2002 Sabe-se que todo o número inteiro n maior do que 1 admite pelo menos um divisor (ou fator) primo. Se n é primo, então tem somente dois divisores, a saber, 1 e n. Se n é uma potência de um primo p, ou seja, é da forma ps, então 1, p, p2, ..., ps são os divisores positivos de n. Segue-se daí que a soma dos números inteiros positivos menores do que 100, que têm exatamente três divisores positivos, é igual a: a) 25 b) 87 c) 112 d) 121 e) 169 SOLUÇÃO: Os inteiros positivos que têm somente 3 divisores têm algumas características peculiares. Vamos estuda-los. Seja N um número que só tem 3 divisores. D(N) = {1, x, N} Ora, a primeira conclusão a que chegamos é que x só pode ser um número primo pois, caso contrário, ele poderia ser decomposto como um produto de fatores primos e esses fatores também seriam divisores de N. Assim: D(N) = {1, p, N} Ora, se p é divisor de N, o quociente N/p é inteiro e, por conseguinte, é também um divisor de N. Mas como N só pode ter 3 divisores, a única hipótese em que isso é possível é quando o quociente N/p é igual ao próprio p. Dessa forma: (N/p)=p O que nos leva a N = p2, ou seja o nosso número N é o quadrado de um número primo. Temos que procurar os quadrados (p2) dos números primos (p) que são menores do que 100 e têm, exatamente, 3 divisores: 1, p, p2 Os números primos (p) são: 2, 3, 5, 7, 11, ... Os seus quadrados são (p2) menores que 100 são: 4, 9, 25, 49 Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 35 de 55 Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. F elipe Lessa - Aula 8 Note que os divisores desses números são apenas 3. D(4) = {1, 2, 4} D(9) = {1, 3, 9} D(25) = {1, 5, 25} D(49) = {1, 7, 49} Sua soma é: 4 + 9 + 25 + 49 = 87 Gabarito: Letra B Questão 18: CESGRANRIO - Tec (BACEN)/BACEN/Área 1/2009 Existe uma regra prática de divisibilidade por 7 com o seguinte procedimento: Separa-se o último algarismo da direita. Multiplica-se esse algarismo por 2 e tal resultado é subtraído do número que restou sem o algarismo à direita. Procede-se assim, sucessivamente, até se ficar com um número múltiplo de 7, mesmo que seja zero. Veja os exemplos a seguir: 12) 23.457 é múltiplo de 7 2 3 4 5 7 - 1 4 ( 7 x 2 = 1 4 ) 2 3 3 1 - 2 ( 1x2 = 2) 2 3 I - ______ 2__________________ (1x2 = 2)_______ 2 1 (que é múltiplo de 7) Seja a um algarismo no número a13.477.307. O valor de a para que este número seja divisível por 7 é a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 2-) 2.596 não é múltiplo de 7 2 5 9 6 - ________ 1 2_______________ ( 6 x 2 = 12)_____________ 2 4 7 - 1 4_____________________( 7 x 2 = 14)_____________ 1 0 (que não é múltiplo de 7) Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 36 de 55 Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. F elipe Lessa - Aula 8 SOLUCAO: A 1 3 4 7 7 3 0 7 A 1 3 4 7 7 3 0 | 7 x 2 = 14 __________ 1 4 A 1 3 4 7 7 1 16 x 2 = 12 ________ 1 2 A 1 3 4 7 519 x 2 = 18 ______ 1_8 A 1 3 4 517 x 2 = 14 1 4 A 1 3 311 x 2 = 2 2 A 1 3|1 x 2 = 2 2 A 111 x 2 = 2 2 (A1 - 2) é múltiplo de 7. Posso escrever o número A1 como 10A + 1, estão lembrados? E toda vez que um número for múltiplo de outro N, posso escrever ele na forma N.k, onde k é uma constante inteira. Então: (10A + 1) - 2 = 7k 1 0A - 1 Testando as opções de resposta, 1, 3, 5, 7 e 9, a única que nos leva a um k inteiro é quando A = 5. Gabarito: Letra C Questão 19: FCC - Tec MPU/MPU/Apoio Especializado/Controle Interno/2007 Seja X o menor número positivo que multiplicado por 7 resulta em um número cujos algarismos são todos iguais a 5. O número X a) é um quadrado perfeito. b) é menor que 60 000. c) é divisível por 9. d) é tal que o produto 7X tem 5 algarismos. e) tem a soma dos algarismos igual a 30. Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 37 de 55 Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. F elipe Lessa - Aula 8 Assim, a menor freqüência que o tipo C pode ter é de: a) 10 dias; b) 12 dias; c) 24 dias; d) 36 dias; e) 40 dias. SOLUÇÃO: Seja X a frequência de checagem de C. A questão está nos informando que o mmc (4, 6, X) = 120. Ora, vamos decompor os números em fatores primos: 4 = 22 6 = 2x3 120 = 23x3x5 Como o MMC pega todos os fatores com os maiores expoentes, concluímos que 23 e o 5 pertencem à fatoração do número X e o 3 PODE pertencer, uma vez que ele está no MMC e já está na fatoração do 6 Logo, os valores possíveis para X são: X = 23x5 = 40 ou X = 23x3x5=120 Analisando as alternativas, X = 40 Gabarito: Letra E Questão 23: FCC - EPP (SEPLA DR SP)/SEPLADR (SP)/2009 Na Assembleia Legislativa de um estado, 1/6 dos deputados são filiados ao partido A, 1/8 ao partido B, 1/9 ao partido C e 1/12 ao partido D, sendo os restantes filiados ao partido E. A partir desses dados, é correto concluir que a quantidade de deputados desse estado filiados ao partido E é, no mínimo, igual a a) 55 b) 37 c) 33 d) 25 e) 19 SOLUÇÃO: Seja N o total de filiados: N é filiado ao partido A Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 40 de 55 N 8 é filiado ao partido B N ? é filiado ao partido C N 12 é filiado ao partido D Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. F elipe Lessa - Aula 8 Para achar o restante, fazemos o total menos as quantidades já filiadas aos demais partidos. N N N N Nestas questões de fração, temos que calcular o MMC dos denominadores. 6 8 9 12 2 3 4 9 6 2 3 2 9 3 2 3 1 9 3 3 1 1 3 1 3 1 1 1 1 MMC = 23x32=72 ̂ 1 2 N 9 N 8 N 6 N _ 7 2 N - 3 5 N _ 3 7 N E - N ~ ~TZ~ 7 2 " 72 " 72 _ 72 _ ""72"" 37N 72E E ~ ~T2 " N ~ “37“ Como N deve ser um número natural, para que a divisão acima também seja um número natural, N deve ser múltiplo de 37. Analisando as respostas, ficamos com o próprio 37. Gabarito: Letra B Questão 24: FCC - AJ TRT6/TRT 6/Judiciária/"Sem Especialidade"/2012 Os Jogos Pan-americanos ocorrem de 4 em 4 anos, as eleições gerais na Índia ocorrem de 5 em 5 anos e o Congresso Internacional de Transportes a Cabo ocorre de 6 em 6 anos. Se esses eventos aconteceram em 1999, a próxima vez que os três voltarão a ocorrer num mesmo ano será em a) 2119._________________________________________________ Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 41 de 55 Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. F elipe Lessa - Aula 8 b) 2059. c) 2044. d) 2029. e) 2023. SOLUCAO: MMC(4,5,6) 4 5 6 2 2 5 3 2 1 5 3 3 1 5 1 5 1 1 1 MMC = 22x3x5 = 60 1999 + 60 = 2059 Gabarito: Letra B Questão 25: FCC - TJ TRF4/TRF 4/Administrativa/"Sem Especialidade"/2010 Suponha que, sistematicamente, três grandes instituições - X , Y e Z - realizam concursos para preenchimento de vagas: X de 1,5 em 1,5 anos, Y de 2 em 2 anos e Z de 3 em 3 anos. Considerando que em janeiro de 2006 as três realizaram concursos, é correto concluir que uma nova coincidência ocorrerá em a) julho de 2015. b) junho de 2014. c) julho de 2013. d) janeiro de 2012. e) fevereiro de 2011. SOLUÇÃO: Vamos transformar em meses. X -> 1,5 anos = 18 meses Y -> 2 anos = 24 meses Z -> 3 anos = 36 meses MMC(18,24,36) 18 24 36 9 12 18 9 6 9 9 3 9 2 2 2 3 Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 42 de 55 Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. F elipe Lessa - Aula 8 Para saber quantas vezes cada um apareceu, basta dividir o tempo total de aparição pelo tempo de cada anúncio, a saber 18: A: 90 t 18 = 5 aparições B: 108 t 18 = 6 aparições C: 144 t 18 = 8 aparições Total de aparições: 5 + 6 + 8 = 19 Gabarito: Letra E Questão 28: CESGRANRIO - Tec Adm (BNDES)/BNDES/2013 Seja x um número natural tal que o mínimo múltiplo comum entre x e 36 é 360, e o máximo divisor comum entre x e 36 é 12. Então, a soma dos algarismos do número x é a) 3 b) 5 c) 9 d) 16 e) 21 SOLUÇÃO: Vamos decompor o 36 36 2 18 2 9 3 3 3 1 36 = 22x32 Vamos decompor o MMC = 360 360 2 180 2 90 2 45 3 15 3 5 5 1 360 = 23x32x5 Vamos decompor o MDC 12 Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 45 de 55 36 = 22x32 MMC (36, x) = MDC (36, x) = 12 2 6 2 3 3 1 12 23x32x5 22x3 Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. F elipe Lessa - Aula 8 22x3 Vamos lembrar das propriedades do MMC O MMC é o produto de todos os fatores, com os maiores expoentes. Se o MMC entre 36 (22x32) e x é 23x32x5, posso inferir que 23 é fator de x e que 5 é fator de x. Então, x é, no mínimo, da forma 23x5. Ainda nada podemos afirmar sobre a presença ou não do fator 3 na fatoração de x. Vamos continuar analisando lembrando das propriedades do MMC 0 MDC é o produto dos fatores comuns com os menores expoentes. Se o MDC entre 36 (22x32) e x é 22x3, posso inferir que 3 é fator de x. Como o 3 já aparece elevado ao quadrado no 36, ele deve estar elevado a 1 em x. Então, x é igual 23x3x5 = 120 A soma dos algarismos de x é igual a 3 Gabarito: Letra A Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 46 de 55 Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. F elipe Lessa - Aula 8 VI. Lista das Questões Apresentadas Questão 1: FJG - CAM (Pref RJ)/Pref RJ/2002 O algarismo das unidades de um número de dois algarismos é y e o das dezenas é x. Colocando-se um algarismo z à direita desse número, obtém-se o seguinte número: a) 1000x + 100y + 10z b) 1000x + 10y + z c) 100y + 10x + z d) 100x + 10y + z Questão 2 - (TTN - 1997 / ESAF) Nos sistemas de numeração posicional, cada dígito da seqüência que representa o número pode ser interpretado como o coeficiente de uma potência da base, onde o valor do expoente depende da posição do dígito na seqüência. Entre tais sistemas, um dos mais importantes é o binário, ou de base 2, que utiliza apenas os dígitos 0 e 1 na notação dos números. Por exemplo, o número que corresponde ao 11 do sistema decimal, é indicado por 1011 no sistema binário, pois 11 (decimal) é igual a (1 x 23) + (0 x 22) + (1 x 21) + (1 x 20) Assim, o resultado, expresso no sistema decimal, da adição dos números binários 1011 e 101 será igual a a) 15 b) 13 c) 14 d) 12 e) 16 Questão 3 - ESAF - ATEng (Pref RJ)/2010 A seguir estão representados pelo sistema binário, formado apenas pelos algarismos 0 e 1, os números naturais de 0 a 16 em ordem crescente: 0, 1, 10, 11, 100, 10íj, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000. Qual é o número que corresponde ao binário 111011? a) 59 b) 60 c) 58 d) 61 e) 62 Questão 4: FCC - AJ TRF4/TRF 4/Apoio Especializado/Contadoria/2010 Sabe-se que, no Brasil, nas operações financeiras é usado o sistema decimal de numeração, no qual um número inteiro N pode ser representado como: Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 47 de 55 Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. F elipe Lessa - Aula 8 d) 54 e) 56 Questão 10: ESAF - Ag Exec (SUSEP)/SUSEP/2006 Obtenha o mínimo múltiplo comum entre 6, 10 e 15. a) 30 b) 60 c) 90 d) 120 e) 150 Questão 11: FCC - AuxJ TRF2/TRF 2/Administrativa/2007 Um auxiliar judiciário foi incumbido de arquivar 360 documentos: 192 unidades de um tipo e 168 unidades de outro. Para a execução dessa tarefa recebeu as seguintes instruções: - todos os documentos arquivados deverão ser acomodados em caixas, de modo que todas fiquem com a mesma quantidade de documentos; - cada caixa deverá conter apenas documentos de um único tipo. Nessas condições, se a tarefa for cumprida de acordo com as instruções, a maior quantidade de documentos que poderá ser colocada em cada caixa é a) 8 b) 12 c) 24 d) 36 e) 48 Questão 12: FGV - ACI (SEFAZ RJ)/SEFAZ RJ/2011 Quando o número 121 é dividido por um certo divisor, o resto da divisão é 4. Quando o número 349 é dividido pelo mesmo divisor, o resto da divisão é 11. Quando a soma dos números 121 e 349 é dividida pelo mesmo divisor, o resto é 2. O valor do divisor é a) 15. b) 19. c) 9. d) 13. e) 17. Questão 13: FCC - AFF (TCE-SP)/TCE-SP/Sistemas/2008 O número 1001011, do sistema binário de numeração, no sistema decimal de numeração equivale a um número x tal que a) 0 < x < 26 b) 25 < x < 51 c) 50 < x < 75 d) 74 < x < 100 Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 50 de 55 Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. F elipe Lessa - Aula 8 e) x > 99 Questão 14: FCC - AJ TRT4/TRT 4/Apoio Especializado/Tecnologia da Informação/2011 No Brasil, o sistema monetário adotado é o decimal. Por exemplo: 205,42 reais = (2 x 102 + 0 x 101 + 5 x 10o + 4 x 10-1 + 2 x 10-2) reais Suponha que em certo país, em que a moeda vigente é o "mumu", o sistema monetário seja binário. O exemplo seguinte mostra como converter certa quantia, dada em "mumus", para reais: 110,01 mumus = (1 x 22 + 1 x 21 + 0 x 2o + 0 x 2-1 + 1 x 2-2) reais = 6,25 reais Com base nessas informações, se um brasileiro em viagem a esse país quiser converter 385,50 reais para a moeda local, a quantia que ele receberá, em "mumus", é: a) 10 100 001,11. b) 110 000 001,1. c) 110 000 011,11. d) 110 000 111,1. e) 111 000 001,11. Questão 15: FCC - Tec (BACEN)/BACEN/2006 Suponha que, num banco de investimento, o grupo responsável pela venda de títulos é composto de três elementos. Se, num determinado período, cada um dos elementos do grupo vendeu 4 ou 7 títulos, o total de títulos vendidos pelo grupo é sempre um número múltiplo de a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 Questão 16: FCC - AFF (TCE-SP)/TCE-SP/Sistemas/2008 Dos 50 funcionários que participaram de um curso sobre a utilização de sistemas aplicativos das atividades meio e fim do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo, sabe-se que: - todos eram formados em Ciência da Computação ou em Engenharia de Software, mas apenas em um dos cursos; - 1/5 do número de mulheres eram formadas em Engenharia de Software e 7/8 do número de homens eram formados em Ciência de Computação. Assim sendo, nesse curso, o total de participantes formados em Engenharia de Software era Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 51 de 55 Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. F elipe Lessa - Aula 8 a) 23 b) 17 c) 13 d) 9 e) 7 Questão 17: ESAF - AUFC/TCU/Controle Externo/Controle Externo/2002 Sabe-se que todo o número inteiro n maior do que 1 admite pelo menos um divisor (ou fator) primo. Se n é primo, então tem somente dois divisores, a saber, 1 e n. Se n é uma potência de um primo p, ou seja, é da forma ps, então 1, p, p2, ..., ps são os divisores positivos de n. Segue-se daí que a soma dos números inteiros positivos menores do que 100, que têm exatamente três divisores positivos, é igual a: a) 25 b) 87 c) 112 d) 121 e) 169 Questão 18: CESGRANRIO - Tec (BACEN)/BACEN/Área 1/2009 Existe uma regra prática de divisibilidade por 7 com o seguinte procedimento: Separa-se o último algarismo da direita. Multiplica-se esse algarismo por 2 e tal resultado é subtraído do número que restou sem o algarismo à direita. Procede-se assim, sucessivamente, até se ficar com um número múltiplo de 7, mesmo que seja zero. Veja os exemplos a seguir: 1*) 23.457 é múltiplo de 7 2 3 4 5 7 - 1 4 ( 7 x 2 = 1 4 ) 2 3 3 | - 2 ( 1 x 2 = 2) 2 3 1 - 2 ( 1 x 2 = 2) 2 1 (que é múltiplo de 7) 2a) 2.596 não é múltiplo de 7 2 5 9 6 1 2 (6 x 2 = 12) *1 2 4 7 - I 4_____________________( 7 x 2 = 14)_____________ 1 0 (que não é múltiplo de 7) Seja a um algarismo no número a13.477.307. O valor de a para que este número seja divisível por 7 é a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 52 de 55