Análisis Matemático-Problemas y Ejercicios (B. Demídovich) Mir, Notas de estudo de Matemática

Baixe Análisis Matemático-Problemas y Ejercicios (B. Demídovich) Mir e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! G. Baranenkov, B. Demidovich, V. Efimenko, S. Kogan, 6. Lunts, É. Porshneva, E. Sichova, 8, Frolov, R. Shostak y A. Yanpolshi PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE ANALISIS MATEMATICO Revisado por el profesor B. Demidovich Segunda edición EDITORIAL MIR º Mosch 1967 PROLOGO En el presente libro, los problemas y ejercicios de análisis matemático se ban escogido de acuerdo con el programa máximo del curso general de matemáticas superiores que se estudia en los centros de ensefianza técnica superior. Contiene más de 3000 problemas sistematizados en capítulos (I—-X) y abarca la totali- dad de las partes que constituyen el curso de matemáticas superiores de los mencionados centros de ensefianza (excepto la geometria analítica). Se ha prestado especial atención a las partes que, por ser más importantes, requieren una mayor práctica (determinación de límites, técnica de diferenciación, construcción de las gráficas de las funciones, técnica de integración, aplicación de las inte- grales definidas, series y resolución de ecuaciones diferenciales). Teniendo en cuenta que en algunos centros de ensofianza superior se explican capítulos suplementarios al curso de mate- máticas, los autores han incluido problemas de teoría de los campos, del método de Fourier y de cálculos aproximados. La práctica pedagógica demuestra que el número de problemas que se ofrecen, no sólo es más que suficiente para cubrir las necesidades de los estudiantes para reforzar prácticamente el conocimiento de los capítulos correspondientes, sino que también da al profesor la posibilidad de hacer una selección variada de los problemas dentro de los límites de cada capítulo y de elegir los necesarios para las tareas de resumen y los trabajos de control, Al principio de cada capítulo se da una breve introducción teórica y las definiciones y fórmulas más importantes relativas a la parte correspondiente del curso, Al mismo tiempo se ofrecen ejemplos de resolución de los problemas típicos más interesantes. 8 Introduceión al análisis 4º. Funciones invorsas. Si la ecuación y =; (x) admite solución única respecto a la variablo x, es decir, si existe una función z=g (y) tal, que y = f[g(y)], la función z=s (y), o siguiendo las notaciones usuales g(x), se Ilama inversa con relación a y=[(z). Es evidente que g[i(2]= ==, es decir, que las funciones f(z) y g(z) son reciprocamente inversas. En el caso general, la ecuación y=(z) detorminará una función mul- tiforme invorsa 2=f-1 (y) tal, que y (11 (4) para todas las y, que sean valores de la función f (x). Ejemplo 2. Determinar la inversa de la función g=1—2"*, (1) Solución. Resolviendo la ecuación (1) respecto à x, tendremos: 2s=1—y y = nm dB(t>1) *) Cm (3 Es evidente que el campo do definición de la función (2) será: = v<1. E Funciones compuestas o uni as La función y de x, dada por una cadena de igualdades = f (4), donde u= q (x), etc,, se llama compuesta O función de funciôn. La función dada por una ecuación que no está resuolta con respecto a la variablo dependiente, recibo el nombro de implícita, Por ejomplo, la ocuación 2º-+-y=1 determina a y como función implícita de x. 6º. Representación gráfica de las funciones. El con- junto de puntos (z, y) de un plano XOY, cayas coordenadas estén relacionadas entre sí por la ecuación y=j(z), se denomina gráfica do dicha función. 1**. Domostrar, que si a y b son números reales lel-|bll<te—bis|al+ |]. 2. Demostrar las siguientes igualdades: a) labl=jaltóh o) |G]=lgf (00); b) laP=as; a) Vê=lal. 3. Resolver las inecuaciones: aje-ti<3 c|l+ri|l<1; b) je+1|>2; d) je-l|<|e+1]. 4. Hallar f(—1), 1(0), f(L), 102), 103) y HA), si fi) =283— — 62º + 11z—6, 5. Hallar f(0), f (5). ft—o, 5 (5) j To si f(g)= VITA a t *) Ig z= logo x, como siempre, designa el logaritmo decimal del número x. Concepto de la función 9 6. Sea j (2) = are cos (lg 2). Hallar f (55), (1 v f(10). 7, La función f(x) es lineal. Hallar dicha función, si H—n)=2 y f(2Q)=—3. 8. ltos ta función entera y racional de segundo grado f(x), si (0)=1, (1)=0 y f 5. 9. Se sabe que f(4)=—2 y f(5)=6. Hallar el valor apro- ximado de f(4, 3), considerando que la función f(x), en el seg- mento 4<z<5, es lineal (interpolación lineal de funciones). * 40. Escribir una sola fórmula que exprese la función O, si 2<0, e, si 250, & Hao)= empleando el signo de valor absoluto. Determinar el campo de existencia de las siguiontes funciones: 41.4) yp=V2+t; y=V2+Ft. 12. gol 18.) v=VE>2, db) y=aV202 tam, epi 45. g=Vazio-= E 16.0 y=Vz=%. 7 v=e5. 18. re ãe. 19, y=are cos g 20. y=aresen (1 3) â 21. v=VsenZz. 22. Sea f(a)= 24! — 32º — 52! 4 62-— 10, Hallar ab AH v Ult 23. La función f(x), determinada en el campo simétrico —I<e<l, se denomina par, si j(—m=f(x), e impar, si H-D=>1(). 10 Introduceión al análisis Detorminar, cuáles de las siguientes funciones son pares y cuáles impares: a) Hola); ») H)=VIGIFA-VIDITE: 9 H)-VierD+y EO; 9) Mm=Ig E; f—r? 9 H=lg(s+VTro). 24%. Demostrar que cualquier función j (x), determinada en cl intervalo —I<<z<]!, puede representarse como la suma de una función par y otra impar. 25. Demostrar que el producto de dos funciones pares o de dos impares es una función par, mientras que el producto de una función par por otra impar es una función impar. 26. La función f(x) so llama periódica, si existe un número positivo 7 (período de la junción) tal, que f(z+T)=f(2) para todos los valores de x pertenecientes al campo de existencia de la función f(z). Determinar cuáles de las funciones que se enumeran a conti- nuación son periódicas y hallar el período mínimo 7 de las mis- mas: a) f(x)=10 sen 3x; b) f(x)=asenÃs+bcosha; o) Hla)=Viga; d) f(x)=sen?z; e) J(x)=sen (Vx). 27, Expresar Ja longitud del segmento y=MN y el área S de la figura AMN como función de z=AM (tig. 1). Construir las gráficas de estas funciones. 28. Las densidades lineales (es decir, la masa de una unidad de longitud) de una barra AB=L (fig. 2) en sus porciones AC = Lj, CD=t,y DB=lIs(h+lp-+ l4=1) son respectivamente iguales a q, qdo y q3. Expresar la masa m de una porción variable AM = de esta misma barra, como función de 7. Construir la gráfica de esta función. 29. Hallar q [p(2)] y WIp(2)) Si q()=2" y (= 30. Hallar MF (2, si f()=; x Representación gráfico de las junciones elementales 13 S 2, Representación gráfica de las funclones elementales La construcción de las gráficas do lag funciones y==f(x) se ofectúa, on jo fundamental, marcando una red suficientemente nutrida do puntos Milan vi) donde yi=[(«1) (i=0,1,2,...), y uniendo después estos últi- mos ontre sí con una línea, cuyo carácter debo tener cn cuenta Ja posición de los puntos intermedios. Para hacor las operaciones se recomienda el empleo de la regla de cálculo. Fig.3 La construcción de gráficas facilita el estudio de las curvas de las funciones elomentales más importantes (véaso el apéndico VI). Partiendo de la gráfica v=ite) (1 con ayuda de construeciones geométricas elemontales obtenemos las gráfica de las funciones: ) wi==—f(c), que es la represontación simétrica de la gráfica IP respecto al eje 0X; l 2) yp=/ (—=), que es la representación simétrica de la gráfica F respecto al eje O 3) ya=f(x—a), que es la misma gráfica T dosplazada à lo largo dol ejo OX on la magnitud a: 4) y;=bf(2), que es la propia gráfica F desplazada a lo largo del eje Oy en la magnitud é (Lig. 3). Ejemplo. Construir la gráfica do Ja función y=sen (a— z) E Solución. La línea buscada es la sinusoido y=:senz, desplazada a lo largo del eje OX, hacia la derecha, en Ja magnitud + (fig. 4). Construir las gráficas de las funciones lineales (líneas rectas): 44. y=hke, si b=0, 4,2, +, —4, —2 14 Introducción al análisis 45. y=2+b, sidb=0,1,2, —1, —2. 46. v=1,52-+2, Construir las gráficas de las siguientes funciones racionales enteras de 2º grado (parábolas): 47, y=02",sia=1,2,1/2, —1, —2,0. 48. y=2-pe, sic=0,14,2, —1. 49, y=(2—w), siz—0,1,2, —1. 50. u—yol-(e-t)2, si yo=0,1,2, —A. 51. y=at-br+e, si! )a=1, b=—2, c=3; Ba=—2, b=6, e=0. 52. y=2+e-—a?, Hallar los puntos de intorsección de esta parábola con el eje OX. fa Sei 2-F) RES ZON ENG Te tda Ar i Figá Construir las gráficas de las siguientes funciones racionales enteras de grado superior al segundo: 53*, y=2º (parábola cúbica) 54. y=24+(2—1P. 55. y=2º— Ir 42, 56. y=al, 57. y==222— 4", Construir las gráficas de las funciones homográficas siguientes (hipérbolas): 58", v=7. 59. v=15. =—2 60. =. 61%. y=y +rõs simw=1, yw=—1, m=6. Representación gráfica de las funciones elementates 45 2-3 62*. ves Construir las gráficas de las siguientes funciones racionales fraccionarias: 63. v=2+L, 64 v= 65”. v=5. 66. v=d. 67. v= (curva de Agnesi). 68. s==57 (serpentina de Newton). 69. y=2+ s a 7. p=a? +> (tridente de Newton). Construir las gráficas de las funciones irracionales siguientes: ur y=Vr. 72 y=VE. 73. y=V (parábola de Neil). 7% y=+2Vz (parábola semicábica). 15% v=45V25— (elipse). 7%. y—-+ V23—1 (hipérboia). 7. y ] 4 78 y= + ay 79. y=aVD-—. Construir las gráficas de las siguientes funciones trigonomé- tricas: 80%, y=seng. 83. y=otga. 84%. y=co0sz. 84". y=secg. 82*. y=tga. 85*. y=cosec a. 22 cisoide de Diocles). 18 Introducción al análisis 141*. 142+, 143%. 144, círculo), 145". 146. 147. 148. 149. 150. q=t, y=t? (parábola semicúbica). g=1Ocost, y=sent (elipse). g=10cos't, y=10sen%t (astroide). g=a(cost-+isent), y=a(sent—tcost) (desarrollo del z =7e av Te (folium de Descartes). s=—" =, yesasl = (semicircunferencia). vira vire s=2tp2!, y=2!—2 (rama de una hipérbola). g=2cost, y=2sen?t (segmento de recta). g=t—t3, y=2—8. r=a(2cost—cos2!), y=a(2sent—sen2t) (cardioide). Construir las gráficas de las siguientes funciones, dadas en forma implícita: 151*. 152. 153º. 154. 155. 156*. 457*. 158*, 159%. 160º. 161. 22 + yê=25 (circunferencia). cy=12 (hipérbola). y=2z (parábola). ao Eme 1 (elipse). y=2"(100— 2º). E q tyi=a3 (astroide). s-+y=10lgy. 2º =cosy. Es VE yi= errei? (espiral logarítmica). 2B+yp—3y=0 (folium de Descartes). Hallar la fórmula de transición de la escala de Celsio (C) a la de Fahrenheit (F), si se conoce que 0ºG corresponde a 32º F y 100ºG a 212º, Construir la gráfica de la función obtenida. 162. En un triángulo, cuya base es b=10 y su altura A=6, está inscrito un rectângulo (fig. 5). Expresar la superficie de dicho rectângulo y como función de su base z. Construir la gráfica de esta función y hallar su valor máximo. Limites 19 163. En cl triângulo ACB, el lado BC=a, el AC=by el ángulo variable x ACB =x (fig. 6). A x | = E b ————— a: Fig5 Fig.6 Expresar y = área. A ABC como función do x. Construir la grá- fica de esta función y hallar su valor máximo. 164. Resolver gráficamente las ecuaciones: a) 20º— br + 2=0; a) 10%=a; b) 28-Lr—1=0; e) z=1+0,9sena; c) Ig z=0, iz; 1) cige=a (O<ca< a). 165. Resolver gráficamente los sistemas de ecuaciones: a) 2y=10, 2+y Db) 2y=06, 2!-+y"=13; e f-rpty=4, y—27=0; d) 22-+9=10, 2+y=6; e) y=senr, y=cosz (O<r<2n). $ 8 Limites 4, Límito do una sucesión. El número a recibe el nombre de límite de la sucesidn zp Za «o Tas» lim gp=a, noo si para cualquier e >0 existo un número N=N (e) tal, que lza—aj<e para nDA. Ejemplo 1. Demostrar que mAtio ty 2* Jim nao n+1 20 Introdueción al análisis Solución. Consideremos la diferencia ati, 4 nt apt" Valorando su magnitud absoluta, tendremos: Mt 1 an =ga< (3 si De esta forma, para cada número positivo e se puede encontrar un número N=—1 tal, que para n>N se cumplo la desigualdad (2). Por consiguiente. el número 2 es límite de la sucesión zn=(2n+8)/n 1), es decir, se vorifica la fórmula (1). 2º Limite de una función. Se dice que la lunción j(7>A cuando za (A y a-son unos números), o que lim f()=4, xa si para cualquier e >0 existo un número d-=8 (2) >0 tal, que Ji(o)—4|<e para O<tz—a|<ô. Análogamente lim f(3)=4, 200 si li()—4|<e para [2] > N (8). “También sê emploa la notación convencional lim fta)=00, xa que indica, que |f(2)]>E para 0<|z—«|<6 (E), donde E es un número positivo arbitrario. 3, Límites laterales. Sia<ay za, so escribo convencional- mente 2» a —0; análogamente, si z>a y 2 — a, se escribirá así; 2 > a +0. Los números Ha-0= tm flo) y Hat lim fe) se llaman, respectivamente, limite a le isquierda de la funcióu f (x) en el punto « y límiie a la derecha de la función f(x) en el punto a (si es que dichos números existen). Para que exista el límite de la función f(z) cuaudo a — a, 05 necesario y suficiento que se verifique la igualdad fla—O)=f(2+0). Si oxiston el lim fi(z) y el Him fo(z), tionen lugar los siguientes za aa teoremas: 1) Jim [fa (2) + fa (2))= lim fy (2) ++ lim fo (2); z+a ama + Limites 23 Al buscar el límite de la razón de dos polinomios enteros respecto a x, cuando z co. es conveniente dividir previamente los dos términos de la razón por z?, donde n es la mayor potencia de estos polinomios. En muchos casos puede omplearse un procedimionto análogo, cuando se trata de iracciones que contienen expresiones irracionales. Ejempio 1 jim CEB gm (2-5) (2+5) (1-5) Do: 23.4 E dm pa so ssa Eferapiio! & Minipa iii ao P 23510 aco vVus 181. bm Gg A Dae O 182. lim e 187. tm ÉE. 188. lim Ee 188, lnçõo- 184. lim Ses 189. lim LEA. 185. lim SEttP ema, 190. 5 Si P(z) y O (2) son polinomios enteros y P (a) £ 0 0 Q (a) -£0, el limite de la fracción racional im Blz) Jim ara Q (2) se halla directamente. SiP(e)=0 (0)=0, so recomionda simplificar Ia fracción se , por e) binomio z—a, una o varias veces. Ejemplo 3 vaaêcda= lim ESBEdI = im SiS 6 19. lim ST. 195, lim cita, 192, lim Ee to 196. lim teia, 198. lim im 197. lim festas . = 22—2e É 194. Vin er 198. im, 24 Introducción al análisis Las expresiones irracionalos se reducen, en muchos casos, a una forma racional introduciendo una nueva variable, Ejemplo 4. Hallar tim VIE 250 Y1+ Solución. Suponiendo 1te=y8, tenemos: = VIE o — Mm ja VE q 5 jin çO 250 7 mv a VI 2 190. tim VE! 204. mdEsA, = a V2—1 mão. dim VE-8 202. lim 2564 Vzm4 ao Otro procedimiento para hallar el límite de una expresión irracional es el do trasladar la parto irracional del numerador al denominador o, al contrario, del denominador al numerador. Ejemplo 5. =lm— 22 = ara (rma)(V2 + Va) = lim (2>0). 1 1 ava VarVa 2Va = 2 V—dF6— V2F22—8 203. aim q 210. Dn Cm dRRo 204. lim — . 24. lim (Vara-V 3). 8 V 22 apo 205. 212. lim [Vitera-a). apos 206. lim 3 V5 Fa 218. lim (/2=5258-0). sé 1— (50 xepoo iTs 24 tim a(VEFi—s). x-poo 245. Tim (24 /1—23). 207. 208. 209. Limites 25 Al hacer ol cálculo de los Iímites, en muchos casos se emplea la fórmula q Sen lim === 240 E y se supone quo se sabe que, lim sen 2=sena y lim cosa =cosa. ama Eid E o sonbz o [Sendo sur Ejemplo 6 lim = lim (ESSE 5)=1.5=5. 216. a) lim EE; 228. lim(l—a)tg SE. ms amd 2 SER, 229. limctg 2 >-s). by lim O. lim ctg zetg (5 2) 247. lim Send ; 20 E 230. E sen 5x 28. lim onto” 28. lim f=2e0sz à ade 249. lim SESE Hen a Sen dar 1 cos — cos 282. Jim. SOEmer corno 220. lim (nen 5 2:40 n qa 9238. lim 82802, 224. lim is08= e 2 ae O 234. lim SD SEE da a — om ae o aê aretg 22 223. lim SSEmsoso do Li x—>a er . j=a? 224. Jim, ta . 206 ema * pd . p—sen 2x 295. tim Set sn =, 287. in não h=>0 296. a dmemene con TE “ — . 238. lim ———. mA Tiga lin É 4 im lv os 227. a) limesen; 280, lim io. b) lim sen. 240. lim Vitsena— Vicsons, z x-+0 z a-+00 28 Introducción al análisis Ejemplo 40. Demostrar que lim Je (Lz) (0) x—+0 T Soluciómn. Tenemos: m 20 tim fm (40) 1/8]= In [lim (1+2)/]= In et. A nO x+0 La fórmula (x) so emplea, frecuentemente, en la resolución de problemas. 260*. limn(/a—1) (40). ai 261. lim SE er a x) 262. 263. 253. Jim [In (22-+1)— In (2 +2)). 254, lim 1801410) 50 de ali TE 256. lim (Em EE). 256. lim zIIn(2+1)— Ina]. sa 257. lim Jn teca =) is 258". mé 250 259%. lim E 1 (00). (VéanseT los ejercicios 103 y 104). Hallar los devo límites laterales: 264. a) lim a-—00 Var E Dio aa 265. a) lim thz; a-+—00 b) lim thz, mto donde thz= Rena pe 266. a) lim Ti 2+—0 + 1pe* 267. a) lim Bl+eo, a-+—oo ê b) Him Etta, amoo 268. a) lim timel, x+—0 b) lim Lenz E ax=++0 269. (a) lim; 22. ant=o Ta— T ; a— Di Tea it 270. a) lim E; dim, b) lim Es Limites 29 Construir las gráficas de las funcionos: 2. v= lim (cost" a). 272". v=lim pia q (220). 273. y=lim/2+e. areroo 274. y=lim (aretg nx). neo 215. v=limyiFa” (2>0). topos 276. Convertir en ordinaria la siguiente fracción periódica mixta u=0,13555..., considerândola como el límite de la correspondiente fracción finita. 277, êQué ocurrirá con las raíces do la ecuación cuadrada a bo tc=0, si el coeficiente a tiende a cero, y los coeficientes b y c son constantes, siendo b 0? 278. Hallar el límito del ângulo interno de un polígono regu- lar de n lados si n — co. 279. Hallar el límite de los perímetros de los polígonos regu- lares de n lados inscritos en una circunferencia de radio R y de los circunscritos a su alrededor, si n—> 00, 280. Hallar el límite de la suma de las longitudes de las ordenadas de la curva y=e*cosaz, trazadas en los puntos 2=0, 1, 2,...,n, Sin-— 00. 281. Hallar el límite de las áreas de los cuadrados construidos sobre las ordenadas de la curva y=2r* como bases, donde x=1,2,3,...,n, con la condición de que n-—> 00, 282. Hallar el límite, cuando n->o0, del perímetro de la línea quebrada MoM, ... Mn, inscrita en la espiral logarítmica r=e"º, si los vértices de esta quebrada tienen, respectivamente, los ángulos polares nx M=0, p= co =. 30 Introducción al análisis 283. El segmento 4B=:a (fig. 7) está dividido en n partes iguales. Sobre cada una de ellas, tomándola como base, se ha construido un triângulo isósceles, cuyos ángulos en la base son iguales a «45º. Demostrar, que el límite del perímetro de la línea quebrada así formada es diferente de la longitud del seg- mento AB, a pesar de que, pasando a límites, la línea quebrada «se confunde geométricamente con el segmento AB». A B a —————w Fig? Fig.8 284. Bl punto C, divide al segmento AB=l en dos partes iguales; ei punto C, divide al segmento AC, en dos partes tam- bién iguales; el punto C; divide, a su vez, al segmento Col, em dos partes iguales; e! C, hace lo propio con el segmento CaCs y así sucesivamente. Determinar la posición límite del punto Ca cuando n —» 00, 285. Sobre los segmentos obtenidos al dividir el cateto a de un triângulo rectângulo en n partes iguales, sc han construido rectíngulos inscritos (fig. 8). Determinar el límite del área de la figura escalonada así constituida, si n—» oo. 286. Hallar las constantes k y b de la ecuación ' SAN lim (ee pb— ES) =0. (1) Esclarecer el sentido geométrico de la igualdad (1). 287*, Un proceso químico so desarrolla de tal forma, que el incre- mento de ia cantidad de substancia en cada intervalo do tiempo t, de una sucesión infinita de intorvalos (ix, (1) T) (1=0,1,2, ...)J.es proporcional a la cantidad de substancia existente al comienzo del intervalo y a la duración do dicho intervalo. Suponiendo que en cl momento inicial la cantidad de substancia era Qo, determinar la cantidad qt que habrá de la misma después de transcurrir un intervalo do tiempo £, si el incremento do la cantidad de subs- tancia se realiza cada encava parte del intervalo de tiempo 1=—. a Hallar Qr= lim QÉ. Soo Infinitésimos e infinitos E b) Verve; o)tga—sen z. Vavo; 294, Demostrar que la longitud de un arco infinitésimo de una circunferencia de radio constante, es equivalente a Ja longitud de la cuerda que tensa. 295. cSon equivalentes, un segmento infinitósimo y la semicir- cunferencia infinitésima construida sobre él, como diâmetro? Fig.9 Aplicando el teoroma sobre la razón de dos infinitésimos, hallar: 2 «m SOR BE sen da im nz 296. lim essas e 298. lim — . arcsen : im COS T—COS 2x edi Ml 300. Demostrar que cuando « — 0, las magnitudes 5 yViyz— son equivalentes entre sf. Empleando este resultado, mostrar que, cuando |z] es pequeão, se verifica la igualdad aproximada Vifemi+s. (1) Aplicando la fórmula (1), hallar aproximadamente: a) V 1,06; b) V0,97; e) V TO; d) V 120 y comparar los valores así obtenidos con los que se dan en las tablas. 301. Demostrar que, cuando z—>0, se verifican las igualdades aproximadas siguientes, con precisión hasta los tórminos de orden 22, sl pad es 3 TF b) VEFemerã (0>0); 3—1016 3 Introducción al análisis o) (d+)! x 1+nz (nr, es un número natural); a) Ig (140) = Mg, donde M=lge=0,43429... Partiendo de estas fórmulas, calcular aproximadamente: És o ES 1. TE. Dra Da 3 q O vas; 5) 1,04%; 6) 0,934 7) Ig 144. Comparar los valores así obtenidos con los que se dan en las tablas. 302. Demostrar que, cuando z— oo, la función racional entera P(g)=ag" tas... ta (2050) es una magnitud infinitésima, equivalente al término superior açã”. 303. Supongamos que z— co. Tomando a z como maguitud infinita de 1º orden, determinar el orden de crecimiento de Jas funciones: a) 22— 10074000; q) VerVã so. y—s Dm: d) Vea. $ 5. Gontinuldad de las funciones 4º. Dofinición de continuidad. Lu Iunción f(x) se lama con- tinua para = (o «on cl punto E»), si: 1) dicha función está determinada en el peste, t, es decir, existe el número (E); 2) existo y es finito cl límito lim í (e; 3) esto límito os igual al valor de 1a función én el punto É. a es decir, , lim 7 (x)= f (8). (D ao Haciondo la sustitución E e=E+AE, donde AE =» 0, se puedo escribir la condición (1) de la forma: lim Af(B)= lim [H(E-HAB—Í(BI=0, (2 aE>0 ai50 es docir, la función f (x) es continua en el punto E, cuando, y sóto cuando, em esto punto, a un incremento infinitésimo del argumento corresponde un incromento infinitésimo de la función. Si la función os continua en cada uno do los puntos de um campo determinado (intervalo, segmento, otc.), se dice que Os continua en este campo. Ejemplo 1. Demostrar que la función v=senz es continua para cualquior valor do! argumento =. Continuidad de las funciones 3 Solución. Se ticno: Ay=sen (z-+42)-—sen 2=2 sen AE cos Como Ar sen Se sa Ba mta [mf jo 2 para. cualquier valor de x, tendremos: lim Ay=0. Axo0 Por consiguiente, la función sen z es continua para —coCz< co. 2º Puntos de discontinuidad de una funciór. Sô dice que una funeiém f (a) es discontinua em el punto xo, quê perteneco al campo e existencia de la funeión o que es punto frontera de dicho campo, si en este punto no se verifica la condición de continuidad de la función. Ejomplo 2 La función o=qÊa (fig. 10, a) es discontinua en e) punto x=1. Esta función no está definida en cl punto z=1 y como quiera que so elija e! número f(t), la función complotada (a) no será continua en el punto c=1. Si la función f (x) tione límites finitos: im, HG) =1 (200) y dim, He)=f (ro+0), pero los tres números f(z9), f(zy—0) y f(zo+0) no son iguales entre sí, entonces, xp recibe el nombre de punto de discontinuidad de Fã especie. En particular, si 1 (mo—0)=H(x+0), zo se Hama punto de disconiinuidad evitable, Para que la función f(x) sea continua en el punto zy Os necesario y suficiente que 1 (xo) = f (xo —0)=7 (xo-+0). senz Bjemplo 3. La funeión f(s)=MLF tione discontinuidad de 17º espo- cie em el punto 2=0, Efectivamente, aquí t(+o= tim Sc q apo É y H—0= lim CRE, ao) a Ejemplo 4 La función y=E (2), dondo E (x) representa la parte ontera del número x (es decir, E (2) es un número entero que satisface a la igualdad: Em 38 Introducctón al análisis 313. Una función está dada por las fórmulas fa) - ml cuando r 2, A cuando 2=2. tCómo debe elegirse el valor de la función 4=f(2), para que la función f(x), completada de esta forma, sea continua cuando z=2? Construir la gráfica de la función y= f(x). 314. El segundo miembro de la igualdad Ha)=1—esen + carece de sentido cuando «=. eCómo elegir el valor de f(0) para que la función f(x) sea continua en este punto? 315. La función 1 f(x)=arctg sÕs carece de sentido cuando z=2. éPucde elegirse el valor de f(2) de tal forma, que la función completada sea continua cuando q=2 316. La funcióu f(x) es indeterminada en el punto z=0. Determinar f(0) de tal forma, que f(x) sea continua en este punto, si: a) fo= d) fi SE, o) f (a) = Etta =tn (ia E : n— tor (r es un número natural); ez d) Hy="5—: e) Ha)=a!son À; f) fla)=zcig a. Averiguar si son continuas las funciones: 7 y= E. 320. p=. Ipes cond 318. y= TF” 321. a) y=sen— 319. u= Vifesms, b) y=zsenT Continuidad de las funciones E 29 z si Y ed 322. 4=-m 326. y=(1 +ajarctg 7 - + 323. y=In (cosa). 327. y= e, ces. 324. =| te 7). 328. yue E, 325. y=arcig. é Apet* a? cuando 7<[3, º 330. y= E | 2x 4-1 cuando «> 3. Construir la gráfica de esta función. 331. Demostrar, que Ja función de Dirichlet x(z), que es igual a cero cuando x es irracional e igual a 1 cuando x es racio- nal, es discontinua para cada uno de los valores de 2. Averiguar si son continuas y construir la gráfica de las siguientes funciones: 332. y=lim z +00 1 mma (2>0). 333. y—lim (x arctg nz). nosos 334. a) y=sgnz, Db) y=zsgnz, c) y=sgn(senz), donde la función sgnz se determina por las fórmulas: ( +14, si 2>0, sgnz= 0, si 2z=0, t ct si g<0. 335. a) v=2—E(x), Db) y=2E(x), donde E(x) es la parte entera del número z. 336. Dar un ejemplo quo demuestre que la suma de dos fun- ciones discontinuas puedo ser una función continua. 337%, Sea « una fracción propia positiva que tiende a cero (O<La<<1). éSe puede poner en la-igualdad EA+)=E(i—U)+A, que se verifica para todos los valores de «, el límite de la can- tidad a? 40 Introducción al análisis 338. Domostrar, que la ecuación 2—3r4+1=0 tiene una raíz real en el intervalo (1, 2). Calcular aproximada- mente esta raíz. 339. Demostrar, que cualquier polinomio P(x) de grado impar Liene por Jo menos una raíz real. 349. Demostrar, quo la ecuación tgr= tiene una infinidad de raíces reales. Cálculo directo de derivadas as se llaman respectivamente derivadas a La izquierda o a la derecha de la fun- <ión j(z) en el punto z. Para que exista f(x) es necesario y suficiente que = f (a). Ejemplo 4. Hallar f- (0) y fi (0) para la función He=zl. Solución. Por definición, tenemos que g Lázt f(O)= liga, ae ada O o ag] no im + 40 axo dE 4º. Derivada infinita. Si en un punto determinado tenemos que +A)— lim LEHAD- IO e, sa E <e dice, que la función continua f (2) tiene dorivada infinita on é] pento 2. En este caso, la tangente a la grática de la función y=f (2) será porpendi- cular al eje 0X. Ejemplo 5. Hallar f'(0) para la-función . v= 3/2. Solución. Tenemos: a Az g 1 “(0)= lim É = lim 55=>=00. ro axo Az axo Aad 341. Hallar el incremento de la función y = 2, correspondiente al paso del argumento: a)doz=1 a m=2; b) de s=1t a m=1,; c) dez=1 a z=1i+h. 342. Hallar Ay para la función y=/£, si: a) 2=0, Az= 0,001; b) 2=8, Ar= —9; c) z=a, Ar=h. 343. Por qué, para la función y=274-3 se puede determinar el"incremento Ay, conociondo solamente que el incremento corres- pondiente es Ar=5, mientras que para la funciôn y=z? no puede hacerse lo mismo? 344. Hallar cl incremento Ay y la razóm AL para las funciones: a) v=Êm cuando z=1 y Az=0,4; é Dijerenciación de funciones b) y=VZ cuando z=0 y Az=0,0001; c) v=lgx cuando z=-100.000 y Az = — 90.000. 345. Hallar Ay y AL, correspondientes a la variación del argu- mento desde z hasta x Az, para las siguientes funciones: a) y=a24-D; Dy=V2 D) y=2": e) y=25 c) v= 5: D) y=lmz. 346. Hallar el coeficiente angular de la secante a la parábola y=21—2º, si las abscisas de Jos puntos de intersección son: 0) t=1, to=2 b) 2,=1, 220,9; SJ m=1, m=1-+A. a é“Hacia qué Jímite ticude el coeficiente angular de la secante en el último caso, si A —» 0? 347. eCnál es la velocidad media de variación de la función y=2* en el segmento I«iz<ç4? 348. La ley del movimiento de un punto es s=28431+45, donde la distancia s se da en centímetros y el tiempo £, en segun- dos. éA qué será igual la velocidad media de este punto durante el intervalo de tiempo comprendido entro t=1 y t=5? 349. Hallar la pondiente media de la curva y=2* en el seg- mento | <u<o5. 350. Hallar la pendiente media de la curva y=/(z) on el seg- mento [x, v4-Az). 351. Quê se entiende por pendiente de la curva y=f(z) on un punto dado 2? 352. Definir: a) la volocidad media de rotación; b) la velocidad instantánea de rotación, 353. Un cuerpo calentado e introducido en un medio cuya temperatura sea menor, se enfríia. Qué debe entenderse por: a) ve- locidad media de enfriamiento; b) velocidad de enfriamiento en un momento dado? 354. Qué debe entenderse por velocidad de reaeción de una substancia en una reacción quimica? 355. Sea m=j(x) la masa de una barra heterogénea en el segmento (0, 2]. «Qué debo entenderse por: a) densidad lineal media de la barra en el segmento [x, «+ Az]; b) densidad lineal de la barra en el punto x? Derivación por medio de tablas 45 356. Hallar la razón A para la función v=>, en el punto «=2, sia) Av=1; b) Av=0,1; e) Av=0,01. A qué será igual la derivada y” cuando v=2? 357%, Hallar la derivada de la función y=tg x. Ay 358. Hallar y' = lim > para las funciones: Au) AE a) p=2"; od u=Vz; b) v=33 d) y=ctgr. 359. Calcular f (8), si H()=V2. 360. Hallar f (0), 1 (1) y f (2), si fm)=r(2— 1 (r—2p. 361. cEn qué puntos la derivada de la función f(x)=2? coin- cide numéricamente con el valor de la propia función, es decir, Hm=F (0)? 362. La ley del movimiento de un punto es s=5t?, donde Ja distancia s viene dada en metros y el tiempo £, en segundos. Ha- War la velocidad del movimiento en el instante t=3. 363. Hallar el coeficiente angular de la tangente a la curva y=0,14º, trazada en el punto cuya abscisa es r=2. 364. Haltar el coeficionte angular de la tangente a la curva v=senz en el punto (x; 0). 365. Hallar el valor de la dorivada de la función f()=+ en el punto x= x, (29550). 366*, cA qué son iguales los coeficientes angulares de las tan- 1 s A gentes a las curvas y= € y=2*, en el punto do su intersección? Hallar el ángulo entre estas tangentes. 367**, Demostrar que las siguientes funciones no tienen deri- vadas finitas en los puntos que se indican: a) y=V 2 em el punto 2=0; b) y=/Z—1 en el punto 2 e) y=|cosz| en los puntos a= “tia (E=0, 4, 2,00) 2, Derlvaclón por medio de tablas 1º. Roglas principales para hallar la derivada. Si c es una conslante y u=q(z) y v=1p(z) son funciones derivables, se tione: 1) ()'=0; 3) (uu) =u +”; 2 (m/=1; 4) (cu)! =cu': as Diferenciación de funciones D. Funciones hiperbólicas e hiperbólicas inversas 401. y=zshg. 405. y=arctgr— Arth 2. 402. s= 2. 406. y=arcsenz Arsh x. 403. y=tha—e. 407, = Arch, 3cthz Arcth x 404, p=" 408. y="5Da + E. Funciones compuestas Hallar las derivadas de las siguientes funciones (en los Nº 409 — 466, es necesario aplicar la regla para derivar funciones compuostas de un argumento intermedio): 409**, y=(1 437 — 5x?)%0, Solución. Designemos 1432-522 vi 808, us u; ontonces y=u39. Tondremos: 3— 102; x ui,=80u20.(3— 102) 30 (1437 — Sot)t8.(3— 100). 410. y=— (= , MA. Hy)=(2a+3by)?. 412. y=(3 +22), 3 1 1 =GQe=ipo M—ipo GP * 444. y=V1—2, 415. y=/ Te. 416. y= (ati — ati, 417. y=(3—2 sena). Solución. y'=5(3-—2sen z)t-(3—2 sen z)'=5(3—2sen z)t(— 2. cos 2)= =—10 cos (8—2 sen «3. “8. y=tge—Stgtatotgio. 419. y=Vctgz— Votga. 420. y=224-5cos'z. 421%. z=coseç? 1 4-secêt. E 4 422. Ho)= goes Derivación por medio de tablas 428. y= 1 — A V=Jeosz” tosa” 424. y= 1/20 E 425. y=/ sena ed = coss x 6 ge DETRE. 427. y=Varetg x— (arcsen x). 428. VE 429. j= 52 TE. 430. v=y/ Ze 241 +In'z. 431. y=sen3e+cosg+tgV 7. 49 Solución. y'=cos3e-(82/—sen E (5) + (V7)'=3 cos 3e — 5 £ 2 Vzcost Vã 432. v=sen(2! br +) +tgã. 433. f(x) =cos (ax + B). 434, f(t)=sentsen (t-+q). 1 +cos2r 495 4=Tegsdo * o 436. f(m)=actgro. 1 = —gsnz+ 487. y= —ge0s (5x?) —+ cos q?. 438. y=arcsen2z. Solución. ve Ovos 439. y=arcsen 4. 446. f()=tsen2!. 440. f(x) =arceos VT. 447. y=arecos €*. as. y=arctg +. 448. y=In(22+7). 442. y—arectg E g 449. y=lg sen g. as, y= Ses, 450. y=In (12%. tah. v=. 451. y=Intz— In (Ina). 445. y= 0% 44016 50 Diferenciación de funciones 452. y=In(e*4- 5sene— 4arcsen a). 453. y=aretg (In a) +In (arctg 2). 454. y= Vaz ELA n(V 241). E. Funciones diversas 455**, y= sen? dx cos? z : 156. y= —sp- o 457. y= TE TG GH . 458. 459. 460. 461. 462. 468. v= 5 = Fo. 49/z 464. y=5 o abs. y= A (a 2a. 466. y= (E) E a—bar , 9 3 2 Ju q 167. U=56 57 ER A TRA 468. y=(a+m)Vi—s. 469. y=Via4a) (140) (240). 70. 2= ur V 7. “A. 10) = Bar) (Õt +9VH+2. 472. = 473. v=n(ViFE-)—-m(ViFE SAS: HT A. v= 008" 2 (Seo? e —5). Derivación por medio de tablas 53 524. 4d if — Ped apr i o 526. y= p8resenêz 1 (4 grecos3a)?. sena 1 sen3ar 527. p= gos | é a, 525. y= 7 1 nã teG+2—V3 te Z+2+V3 529. y=arctglnz. 528. = 530. y=lnarcsen z + 5 In?x-+areseninz. 531. y=arctg ni a z = 532. y= *earetg vasto = p 533. y=In Ary me +2aretg Vsenz. 1—Vsena 534. 4 v=5n nl nã + aretg e. 585. Ha=SIn(lta)-SIn(a! —a troço mi 536. Ho) = Sem ni 537, y=shº24, 538. y= e ch pa. 539, y=th3 27. 540. y=Insh2z. aê 54. y=Arsh 7. 542. y=Archlng. 543. y = Arth (tg 2). 544. y= Arcth E a). 545. pm Arth Es Fa sá Diferenciación de funciones 1 1 546. u=5 (2º —1) Anthem. 547. v=(Ge Sasha Lay TT =, 548. Hallar y, si: a) y=|zk; b) y=e|2]. Construir la gráfica de las funciones y e y. 549. Hallar 3, si v=lm|2] (20). 550. Hallar Fº (x), si ra=[ 551. Calcular f' (0), si f(m)=e*cos3a. 3sen32)—e-*cos 3x; ed(—3sen)— cos0= —1, 1—z cuando 2<,0, es cuando v>0. Solución. f'(x)= FO= 552. f(a)=In(1 4x) paresen 5. Hallar f (1). me dy 558. y= tg! 72. Hallar (Do 554. Hallar 7; (0) y $.(0) para las funciones: a) f(x)=V sen (23); b) f(x) =aresen a ; 9) tij=—. 250; H(0)=0; 146% d) He)=aseni, 250; 1(0)=0; o) Ha)=esenL, 2540; f(0)=0. 555. Dada la función f(x)=e*, hallar f (0) + =7' (0). 556. Dada la función f(m)=VT+z, hallar f (3) +(v—3) f (3). 557. Dadas las funciones j()=tgz y p(m=In(i—s), fo) hallar 7 Derivación por medio de tablas 5 558. Dadas las funciones f()=1—z y p(x)= hallar o 559, Demostrar que la derivada de una Íunción par es una función impar y la de una función impar, es par. 560. Demostrar que la derivada de una función periódica es una función también periódica. 561. Demostrar que la función y=ze"* satisface a la ecuación sy =(1—2)y. ae —senS, 2 as 562. Demostrar que la funciórn u=ze *? satistacea la ecuación ay = (12) y. 563. Demostrar que la función y= satisfaco a la 4 1prTinz ecuación xy =y (yIne—1). F. Derivada logarítmica Se lama derivada logarítmica de una función y=[f(z), a la derivada dei logaritmo de dicha función, es decir, or ft) Ui = = er La logaritmación previa de las funciones facilita en algunos casos el cálculo de sus derivadas. Ejempio. Hallar la derivada de la función exponencial compuesta u=u", donde u=q (2) y v=p (2). Solucióu. Tomando logaritmos, tondremos: lag="Inu. Derivando los dos micmbros de csta igualdad con respecto a z uy) =! Inu» (Inv), o Dra Ls um Inupo us, de donde pesa? La v=u(rinut Eu), o sea, poi 564. Hallar y”, si sm 4— v=v TRA sen? x cos? x. 58 Diferenciación de funciones de donde ro May Voy! 581. Hallar la derivada x, si a) y=3242*; b) y="— sent; co) y=0, 1x + ese, Calcular la derivada y' = E dadas en forma paramétrica: se, [2=2U—41, o a) = 583 Í pa E ENS lu=(5i4) feat = geo 584. 4 cad) ly = FR Es dat u TES 585. dae U=Tga 586. Es Ly= a=VETI, 587. t+ Uva 588. E u=a(sent—tcost). 589. E y=bsentt. = 3 590. [r=acostt, “ly=bsentt, —— do las funciones y siguientes, Derivadas de funciones que no están dados explicitamente 59 591. 592. 593. f e=a (Inte +cost—sent) , y=a(sent+-cost). 595. Calcular c para ter, st “de p: fa=a(t—sent), v=a(l—cost). Solución SL. fsnt ( dr a(i—cost) g=ilnt, 596. Hallar E para t=1, si Int ai a. [z=ecost, 597. Hailar para t= 7, si dl ani6 598. Demostrar que la función y, dada por las ecuaciones paramétricas s=243E, v=2+28, satisiace a Ja ecuación [My ay 3 v= (e) 2 (ão) 599. Para z=2 se cumple la igualdad gi=227, <Se deduco de ésto que (02% = (207 para r=2? 60 Dijerencinción de funciones 600. Sea y=Va?—2?, cSe puede derivar miembro a miembro la igualdad aty=a? Hallar la derivada y' =“ de las siguientes funciones impli- da citas y:! 604, 27-54 -+10=0. 612. arctg (+ y)=2. Epis 613. P=gy. 602. ata =! n 603, 2º +y!=a?. 614, Ina+e Z=e. 604, pai p= 615. Ing £= 605. VE+Vi=Vã. a 606. VaLVR=V. 616. arctg = ln (2º + 93. eae é : FE to *. 607. y'— E 617. VET yi=caretg o 608. y—0,3seny =. 618. 2 =y*, 609. a cos! (z+4-y)=b. 619. Hallar y” .em el punto 610. tgy=zy. M (14;14), si Qy=1 + ay', 614. ay +artg o e Solución. Derivando, tenemos: 2y'= y=1, obtonemos 2y'=14-3y', de donde y' 620. Haltar las derivadas y' de las funciones y, que se dan a conti- nuación, en las puntos que se indican: a) (2+9))=27(x—y) cuando z=2 e y=1; b) ye" = e“! cuando 2=0 o y=4; 3 32y?y'. Iaciendo r=1 e e) g=z+ln * cuando s=1 ey=1. $ 4, Aplicaclones geométricas y mecânicas de la derivada 1º. Ecuaciones de la tangontey de la normal. De la inter- pretación geométrica de la derivada se deduce, que la ecuación de la tangente à la curva y=/(2) 0 F (x, y)=0 on el punto M (x, Yo) es: vm Uo=vo (e— 20), dondo yo es ol valor de la derivada y' en el punto M (xo, yo). La recta, porpendicular a la tangento, quo pasa por el punto de contacto de ósta com la curva, recibe e] nombre de normal a dicha curva. Para la normal tendre- mos la Siguiente ecuación: axo voly—yo) =0. Aplicaciones geométricas y mecânicas de la derivada 63 628. Determinar el coeficiente angular de la tangente a la curva q34yº--zy—7=0 en el punto (1; 2). 629. efin qué punto de la curva y2=243 la tangente es per- pendicular a Ja recta 4z—3y4+2=0? 630, Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la parábola v=Vz en el punto cuya abscisa os g=4, Solución. Tenemos y'= : de aquí que, el coeficiente angular to NS 87 de la tangento será é [71,4 =". Como el punto do contacto Licno las coordenadas s==4 é y=—2, la ecusción de la tangente es p—2 o bien, z— 4y+4=0. ln virtud de la condición de perpendicularidad, el coeficiente angular de la normal es; h=—4, de dondo la ecuación de la normal es y—2=—4(2—4), 0 bien, dz+y—18>0, 631. Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva y=2 422 4:—3 en el punto (—2; 5). 632. Hallar las ecnaciones de la tangente y do la normal a la curva y=V2—1 en el punto (1; 0). 633. Hallar las ccuaciones de las tangentes y de las normales a las siguientes curvas en los puntos que se indican: a) y=tg2x en el origen de coordenadas; es 2 c) y=arecos3r en el punto de intersección con el eje OF; d) y=Inz en el punto de intersceción con el eje OX; e) y=e!-** en Jos puntos de intersección con la recla y= 634. Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva b) y=aresen en cl punto de intersección con cl ojo 0X; 1-+t do 3 1 Uy= ata en el punto (2; 2). 635. Escribir la ccuación de la tangento a Ja curva v=teost, y=isent en el origen de coordenadas y en el punto =. 64 Diferenciación de funciones 636. Escribir las ecuaciones de la tangente y de Ja normal a la curva q? +27-—6=0 en el punto cuya ordenada es y=3. 637. Escribir la ecuación de la tangente a la curva 28 L-y'— —22y=0 en el punto (4; 1). 638. Escribir las ecuaciones de las tangentes y de las normales a la curva y=(2—1)(r—2)(z—3) on sus puntos de interseceión con el eje de abscisas. , 639. Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva yi=47º + 6xy en el punto (1; 2). 640*. Demostrar que el segmento de tangento a la hipérbola zy=a*, comprendido entre los ejes de coordenadas, está dividido en dos partes iguales por el punto de contacto. 641. Demostrar que cn la astroide 2% + 3º/3=a?/s el segmento tangente, comprendido entre los ejes de coordenadas, tiene magni- tud constante e igual a a. 642. Demostrar que las normales a la envolvente de la circun- ferencia g=a(cost-+tsent), y=a(sent—-tcost) son tangentos a la circunferencia «2 +-y!=a?. 643. Hallar el ángulo de intersección de las parábolas v=(2—2 0 y=—4+-6r—a?. 644. eQué ángulo forman entre sí las parábolas y=2º e y=aº al cortarse? 645. Demostrar que las curvas y=427" +27 8 ey=2' x 410 son tangentes entre sí en el punto (3; 34). cOcurrirá lo mismo en el punto (—2; 49 646. Demostrar que las hipérbolas a=e ya —yi=b se cortan entre sí formando un ángulo recto. 647. Se da la parábola y*=4x. Calcular la longitud de los segmentos tangente, normal, subtangente y subnormal en el punto As 2): é eus. Haliar la longitud del segmento subtangente de la curva y=2º en cualquier punto de la misma. 649. Demostrar que la longitud del segmento normal a cual- quier punto do la hipérbola equilátera 4? — 3º = a? es igual al radio polar de dicho punto. 650. Demostrar que la longitud del segmento subnormal do la hipérbola 2º--y?==a?, en un punto cualquiera de la misma, es igual a la abscisa do dicho punto. 651. Demostrar que los segmentos subtangentes de la elipse 2 a á += y de la circunferoncia zº-+y?=a?, en los puntos de Aplicaciones geométricas y mecânicas de ta derivada 85 abscisas iguales, son iguales entre sí. <Qué procedimiento de cons- trucción de la tangente a la elipse se desprende de lo antedicho? 652. Hallar la longitud de los segmentos tangente, normal, subtangente y subnormal a la cicloide g=a(t—sent) y=a(i—cost) en un punto cualquiera i= to. 653. Hallar el ángulo que forman entre sí la tangente a la espiral logarítmica r= aço y el radio polar del punto de contacto. 654. Hallar el ángulo entre la tangente y el radio polar del punto de contacto para la lemniscata r?=a?cos2q. 655. Hallar las longitudes de los segmentos polares: tangente, normal, subtangente y subnormal y el ángulo que forman entre sf la tangente y el radio polar del punto de contacto para la espi- ral de Arquímedes r=ey en el punto de ángulo polar q=27. 656. Hallar las longitudes de los segmentos polares: subtan- gente, subnormal, tangente y normal, y el ángulo que forman entre sí la tangente y el radio polar para la espiral hiperbólica r=2 en un punto arbitrario P=Qo r=To 657. La ley del movimiento de un punto sobre el eje OX es e=3—. Hallar la velocidad del movimiento de dicho punto para los instan- tes p=0; 4=1 y t=2 (x se da en centímetros; £, en segundos). 658. Por el eje OX se mueven dos puntos que tienen respecti- vamente las leyes de movimiento 2=10045 3 E ia, donde t>0. éCon qué velocidad se alejarán estos puntos, el uno del otro, en el momento de su encuentro (x se da en centímetros; t, en segundos)? 659. Los extremos de un segmento AB=5 m. se deslizan por las rectas perpendiculares entre sí OX y OY (fig. 16). La veloci- dad de desplazamiento del extremo A es igual a 2 m/seg. dCuál será la velocidad de desplazamiento del extremo B en el instante 5-1016 e Diferenciación de funciones 3 a o sus dorivadas y;. =S, Vão, « . . pueden calcularse sucesivamente por x las fórmulas: ee ME, ng rr Pak Ve! Var Udo = Co + ME io» tor Para la derivada de 2º ordon se cumple la fórmula 1 EU Tilt Var Rr Ejemplo 2. Hallar y”, si Í v=a cost, v=bsent. Solución. Tonemos: , êsmê) beost 5d iê “Tacos; —asento at y b dom = est); Do sm» — (acostp —asent alsondt” A. Derivadas de órdenes superiores de funciones explícitas. Hallar las derivadas de segundo grado de las funciones siguientes: 667. y=2º+T2º— Gr 4.4. 668. y=e". 669. y=sen?z. 670. y=Iny/ Tra. 671. y=In(24+V 22). 672. f(m)=(1-+2º)-aretg z. 673. y = (arc sen a)?. 4. y> a 674. y=ach-. . 675. Demostrar, que la función p= tt? satisface a la ecuación diferencial 1 +yº=2yy”. 676. Demostrar, que la función ye fato satisface a la ecua- ción diferencial y'— 2y +y=e*. 677. Demostrar, que la función y=C,e*J-Coe** para cual- quier valor de las constantes C, y C> satisface a la ecuación VW +3y +29=0. Derivadas de órdenes superiores ee 678. Demostrar, que la función y==c"*sendr satisfaco a la ecuación y'—4y' +29y=0. 679. Hallar y”, si y=2º Sr! (Tg —2, 680. Hallar f” (3), si f(n)=(20—-3). 681. Hallar yY para la función y=In (1 4-2). 682. Hallar yY! para la función y=sen 2x. 683. Demostrar, que la función y=e“cosz satisface a la ecua- ción diferencial yY!--4y=0, 684. Hallar f (0), (0)! f(0) y 77(0), si f(a)=e" senz. 685. La ecuación del movimiento de un punto sobre el eje OX, es 2=1004+5:—0,00188. Hallar la velocidad y la aceleración de dicho punto para tos instantes to=0; =1; ta=10, 686. Por la circunferencia x? + y?=a? se mueve un punto M con una velocidad angular constante w. Hallar ta loy del movi- miento de su proyección M, sobre el eje OX, si en el momento H M DM; Mo X Fig. 18 t=0 el punto ocupaba la posición Mo(a, 0) (fig. 18). Hallar la velocidad y la aceleración del movimiento del punto Mi. tA qué es igual la velocidad y la aceleración del punto M, en el momento inicial y en el momento en que pasa por el origen de coordenadas? êCuáles son los valores absolutos máximos de la velocidad y de la aceleración del punto M,? 687. Hallar la derivada de orden n-ésimo de la función y=(az+b)”, donde n es un número entero. 688. Hallar las derivadas de orden n-ésimo de las funciones: db) y=VT. ay= 0 Diferenciación de functones 689. Hallar la derivada n-ésima de las funciones: a) y=seng; b) y-=cos2z; G) p=0* 9 y=In(142); 1 6) b=20 , po-TE: £) y=senta; h) y=In(az+5). 690. Empleando la fórmula de Leibniz, hallar ytm, si: a) y=2:€; b) p=2".0*", es yv=(1-—a)cosz; e) yv=2 Ing. 691. Hallar (0), si f()=In×. 1—s í B. Derivadas de órdenes superiorês, de funciones dadas en forma paramétrica y de funciones implicitas. 2, Hallar -2£ para las funciones siguientes: dat e=lnt, a=urctgt, a = arcsent, 692. : : E suo a[ila ca nat Evicà 693. a) t=acost, g=a(t—sent), y=asont, y=a(t—cost); b g=acost, ) v=a(sent—tcost), ) y=asenêt; y=a(cost--tsent). egosi, av=arctgt, 694. a) | BECO, ra l y=sen?t; ES ol yet, Diferenciales de primer orden y de órdenes superiores 73 tendremos que el incremento do la ordenada de la tangente AT=dy y el sogmento AN = Ay. Ejemplo 1. Hallar el incremento y la diferencial de la función y=3a—e. Solución. 1º” procedimiento: Ay=3(z4+-A2)p—(2--A2)—322-+x o bien, Ay=(62—1) Az+3 (Azv)3. Por consiguiente, dy= (62 —1) Az= (6r— 1) de. 2º procedimiento: y'=62—1; dy=y' de (6r— 1) do. Ejemplo 2. Calcular Ay y dy de la función y=="322—, para 7 y 42=0,01. Solución. Ay=(82—1).Az--3 (Ag)2=:5-0,014-3-(0,01)2= 0,0503 y dy=(62—1) Az=5-0,01==0,0500. 2º. Propicdades fundamentales de las diferenciales: 4) de=0, donde e= constante, 2) dz=Az, donde z es la variable independiente. 3) d(cu)=cdu. 4) aque v)= du + do. 5) d(um)=udv-+vdu. oa (5) is Elisa dv 7 dit) = (u) du. E 9º Aplicación dela diforencial para los cálculos aproximados. Cuando el valor absoluto dei incremento Az de la varia- ble indepondiento x es pequefo, la diferencial dy do la función y=/(2) y el incremento Ay de dicha función son aproximadamento iguales entre st Ayasdy, (0). es decir, Hetan—f(z) me f' (x) do, do donde fiz+az)a for (o) do. (D. Ejemplo 3 iEn cuánto aumentará aproximadamente 6l lado de un cuadrado, si su área aumonta de 9 m? a 9,1 m2? Solución. Si r es el área del cuadrado e y el lado del mismo, ten- aremos que v= VE. Por las condiciones del problema: z=9; Az=0,1. Calculamos aproximadamento el incremento Ay del lado del cuadrado 1 2v9 Ay dy=y'Ar— «0,1=0,016 m. Tá Diferenciación de funciones 4º, Diforenciales de órdones superiores. Se Ilama diferen- cial de segundo orden a la diferencial de la diferencial de primer orden: diy=a (dy). De forma análoga se determinan las diferenciales de tercer orden y de órde- nes sucesivos. Siy=f(z) y 2 es la variable indepondionte, so tiene Py=y' (de, dy y" (da?) dy = pe (dept, Cuando y==f (u), donde u=-9 (x), se tiene: dy==y" (du 24 y' du, dy y” (du)3-+- By" dudu Ay! du, etc. (En este caso, las apóstrofes designan derivación con respecto a la variable u). 712. Hallar el incremento Ay y la diferencial dy de la función y=52+2º para r=2 y Az=0,001. 713. Sin calcular la derivada, hallar d(1—s) para z=1 y Az= —+. 714. El área S de un cuudrado, cuyo lado es igual a x, viene dada por la fórmula $=x?. Hallar ol incromento y ka diferencial de esta función y determinar el valor geométrico de esta última. 715. Dar la interpretación goométrica del incremento y de la diferencial de las siguientes funciones: a) del área del círculo S =x2º; b) del volumen del cubo v = 2º. 716. Demostrar, que cualquiera que sea x, el incremento de la función y=2*, correspondiente al incremento de x en una magni- tud Az, es equivalente a la expresión 2ºAzIn2, cuando Az— 0. 717. éPara qué valor de x, la diferencial de la función y= a? no equivale al incremento de esta misma función cuando Az — 0? 718. <Tiene diferencial la función y=|2] para 2=0? 719. Empleando la derivada, hallar la diferoncial de la función x z y=c08%, para L==p y Ar=3- 720. Haliar la diferencial de la función vas 2 == para x=9 y Ar= —0,01. Diferenciales de primer ordem y de órdenes superiores 7% 7214. Calcular la diferencial de la función v=tga a gu vg Ages E o para t=—2 Y E Hallar las diferenciales de las siguientes funciones, para cual- quier valor de la variable independiente y de su incremento: 722. 724, y= arcsen— : 725. y=arctg a 726. y=e-*. 727. y=slnz—s. 1—z 728. y=n E 729. r=ctg q + cosec q. 730. s= arctg é. 734. Hallar dy, si 224 22y—yi=a?. Solución. Teniendo en cuenta la invariabilidad de la forma de la diferencial, tenemos: 2ede4+2(ydr+rdy)—2ydy=0. De donde dy= EV gas 2—y Hallar las diferenciales de las siguíentes funciones, dadas de forma implícita: 732. (e + (22 +yP=1. 733. y=e 2. 784. mV=+yº =arctg + . 7,35. Hallar dy en el punto (4; 2), si y)— y=62º. 736. Hallar el valor aproximado del sen 31º. Solución. Tomando s=arc30º=% y Ar=urotº= ao, por la fór- z mula (1) (véase 3º tendremos que, sen 34º = sen 30º 7a cos 30º = 0,500+ +00. VE 0515, 78 Diferenciación de funciones cEs válido para esta función el teorema de Rolle en el segmento t0, 4]? 758. éSo cumplen las condiciones del teorema de Rolle para la función io)=tez en el segmento (0, mn]? 759. Sea Io=e(e +) (243) (243). Demostrar que la ecuación ft)=0 tienc tres raícos reales. 760. La couación e'=142, evidentemente, tiene una raíz, z=0. Demostrar que esta ecuación no puede tener otra raíz real. 761. Comprobar si se cumplen las condiciones del teorema de Lagrange para la función fa=a—as en el segmento [—2, 1] y hallar el correspondiente valor inter- medio de E. Solución. La función f(a) los valores do z, % fa) lenemos j()—f(—2) a—a% es continua y derivable para todos De dondo, por la fórmula de Lagrange, 214 (E), os decir, f(E)=—2. Por consiguiento, 1— 382 sirve solamente el valor f="—1, para el que se cumple la duna TaRi a<E<I. 762. Comprobar si se cumplen las condiciones del teorema de Lagrange y hallar el correspondiente punto intermedio & para la función fa) = 2% en el segmento [—1, 1]. 763. En el segmento de la parábola y = 2? comprendido entro los puntos 4 (1;14)y B(3; 9) hallar un punto cuya tangente sea paralela a la cuerda AB. 764. Aplicando el teorema de Lagrange, demostrar la fórmula sen (zx+h)—senz=A cost, donde e<LE<]r+h. 765. a) Comprobar si se cumplen las condiciones del teorema de Cauchy para las funciones j(2)=2!+2 y P(s)=2º—1, en el segmento [1,21 y hallar É; b) ídem para f(z)=sena y F(zx)=cosz, en el segmento [9 3]. Fórmula de Taylor 79 8. Formula de Taylor Si una función f(z) es continua y tiene derivadas gontinuas hasta de grado (n--1) inclusive, en el segmento a<z<b (o b<e<ça), y pará cada punto interior del mismo existe una derivada finita [0(z). en esto segmento se verifica la fórmula de Taylor fe= posta 4 ES pq ERÊ pr çoj 4. ENE Rn 2 om stat =" jon (E) donde E=a+0(2—0) y OCO <1. En el caso particular, ch que a =0 tenemos ie (mao de Masjanvin); He)=(0+ cf (0) +! (+. dq a JRR (+55 pm (8). donde E=0z, OO <L1. 766. Desarrollar el polinomio f(x) =? — 27243745 en poten- cias enteras y positivas del binomio «—2. Soluciómn f(za)=32-42+3; f(m)=br—s; P()=6 fo()=0 para n>4. De donde: 1Q=1; (D=7 1 (D=8 1" (2)=6 Por consiguiento: E st pt pãa psd (om) fe TE 9 (EE o bien 28 DL Bep5=M47(e— tarte dp. 767. Desarrollar la función f(x)=-e* en potencias del binomio x-|-1, hasta el término que contenga (z +13. Solución. fº(z)=e* para todas las x, po(-A=l. Por consi- guiente: fai t Ee) A feias s ao T ren At O DA tira, donde Ee —1-10 (2-1); desde 7068. Desarrollar la función Hslinz en potencias de x —1, hasta el término con (z—1)2. 769. Desarrollar la función f(x)=senz on potencias de x, hasta el término de x? y hasta el término de 2º. 770. Desarrolar la función f(z)=e* cen potencias de z hasta el término de qº-1. 7714. Demostrar que la diferencia entre sen (a -h) y sena+-hcosa no es mayor de She so Diferenciación de funciones 772. Determinar el origen de las fórmulas aproximadas: a Vitrm LS, tej<1, db) VirIm 1+pe- ças, le|<A4 y valorar el error de las mismas. 773. Valorar el error de la fórmula 1 4 1 em 2+atata a 774. Un hilo pesado, bajo la acción de la gravedad, se comba formando la catenaria y=ach=. Demostrar que para valores peguofios de |z| la forma que toma el hilo puedo representarse aproximadamento por la parábola a? dah” 775%. Demostrar que cuando |x|< a, con una precisión hasta do (E), se verifica la igualdad aproximada 839, Regla de L'Hôpltal-Bernoulll para el galeulo de limites Indeterminados 4. Cálculo de Iímites indeterminados do las formas zy =. Sean las funciones uniformes j(z) y q(z) dorivables para 0<|z—a|<h, sin que la dorivada q' (2) se reduzca a cero. Si j(z) Y p(z) son infinitamente pequeãos o infinitamente grandes cuando z— a, es decir, si a fracción He) representa en el punto g=a elx) una expresión indoterminada do la forma + o SD, tendremos que tim LD = nm LO, aa P(Z) ama (2) a condición de que oxista el límite de esta fracción do las derivadas (regla de L'Hôpital-Bernoulli), Esta regla es aplicable también en el caso en que a=00. Pta) “a Si la fracción — 0) vuolvo a dar una oxpresión indeterminada en el punto z=a, de una de las dos formas antes indicadas y Flo) y plz) satisfacen 4 todas las condiciones que se formularon para f(x) y q(2) Regla de L'Hôpital-Bernoulli para el cáloulo de límites indeterminados 83 ln (senma) insenz a o gê— 222— 242 Solución io Fio ro 177. lim Ee Eq SME 2-0 778. lim —=8.., a+1 4 — seno 2 o é cha—t As. lim cosa * 780, lim ffe—sen e 786. lim lin cena o sectam2tgz 781, lim ETECÊE gui 4 o tgz 782. lim WE a Solución lim(1—cosa)ctgz=lim nO n+0 x lim cos = lim ÉBE. (= 20 xp) COS 7 787. (1— cosz) ctg x. -cosajcosz | (1—c088) sen e) Senz 788. lim (1 a)tg SO. 792. lim 2" sen É, n>0. amd amoo e 789. lim arcsen x ctg x. 793. limnzn(e—1). m—+0 x+1 1 pasa : z 790, Jim (a"0%), 20. 794. lim (i-m)- 791, lim sent a xesoo fel O 1 elne>e+to solución. lim (Er )-lin E. = 1 1 gfine—t — =lim —£ =lim— BE um E -=t. *4 Ina (2—1) id lns— + at ta Em 1 5 795. lim (Es =) - E 1 1 796. 1 Rs E IP Ea 212) sm75 | : z z ; 797. lim (Gisa): 798, Jima. [id 84 Diferenciación de funciones Solución. Tonemos: zt=y; lIny=zlnz; lim loy=limzine= =+0 250 1 =tim E tim =, de donde lim y=1, o sea, lim at=1. 240 À x50 0 1. 250 = az t Es 799. Jim 2% 804, lim gi? q=spoo x 3 to ZE 800. lim aftins, 805. lim (te =) 2, x50 xe 1 801. lim asenz, 806. lim (ctg PF. ed E oa ZE 802. lim (1-0) 2. 807. dim (L)'*, x j ao0 NT 803. lim (4 at). 808. lim (ctg ajsenz, ae) 20 809. Demostrar que los límites: atsen À 9 ig ei . g-sens d) lim Tsenz =4 no pueden hallarse por la regla de L"Hôpital — Bernoulli. Hallar estos límites directamente. Dg Fig. 20 810*. Demostrar que el área de un segmento circular con un ângulo central « pequefio, que tienc la cuerda A8=b y la sagita CD=h (fig. 20), es aproximadamente igual a 2 Sm bh con un error relativo tam pequefio como se desee, cuando q —> O. Capítulo III EXTREMOS DE LAS FUNCIONES Y APLICAGIONES GEOMETRICAS DE LA DERIVADA $ 1. Extremos de las funclones de un argumento, 4. Crecimiento y decrecimiento de las funciones. La función y = (x) se llama creciente (decreciente) en un intervalo determi- nado (segmento), cuando para unos puntos cualesquiera x, y xp de dicho intervalo (segmento), de la desigualdad 2; < x, se deduco la desigualdad f(x) <f(to) (fig. 21,0) (f(m)D>ftro) (fig. 21,0). Si la función f(x) es continua en el segmento fe. b] y f(2)>0 (f (7)<0) para a<z<5, la función f(x) crece (decrece) en dicho segmento (a, 6]. En casos más simples, el campo de existencia de la función f(x) se puede di; r en un número finito de intervalos do crecimionto y decreci- miento do la función (intervalos de monotonia). Estos intervalos están limi- tados por los puntos críticos de = (donde f' (z)=0 o no existe ' (2). Fiomplo Í. Investigar ol crecimiento y decrecimiento de la función g=2—22+5. Solución. Hallamos la derivada W'=Ze—2=2(2—1). (4) De donde y'=0 para z=í. En el eje numérico obtencmos dos intervalos do monotonta: (--co, 1) y (1, +00). De la fórmula (1), tenomos: 1) si —00<L <a<1, so tiene y' <0 y, por consiguiento, la función f(z) decrece en el intervalo (—co, 1); 2) si 1<z<+o0, so tiene y' 2>0 y, por consiguiente, la función f (z) crece en el intervalo (t, +ou) (fig. 22). Ejemplo 2. Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función a =p" Solución. En este caso, z= —2 es ol punto do discontinuidad de la y función e y'= =p cuando x == —2. Por consiguiente, la función y decreco on los intervalos coz <<—2y —2<2< oo, Ejemplo 3. Investigar ol crecimiento y decrecimiento do la junción 1 1 > 25-23 = Be. Soluciómn. Aquí, y=zt—s. (2 Resolviendo la ecuación 24--z2=0, hallamos los puntos z=—41, z9=0 y. 23=1, en los que la derivada y' so anula. Como quiera que y” puede 88 Extremos de las funciones y aplicaciones geométricas de la derivada cando z=h, tenemos '>0. Por consiguiente, z3=0 es un punto mínimo do la función y, además Yn=0 (fig. 24). La investigación del comporta- miento de la función en el punto z;=—1 se puede efectuar también por medio de la segunda derivada v'= 2 a yz” Aquí y” <O para z;7=—1 y, por consiguiente, x,= —1 es un punto máximo de la función. 3 Valores mínimo y máximo absolutos. El valor mínimo (máximo) absoluto de una función continua f(x) en un segmento dado [a, b] Fig M Fig. 25 se alcanza en los puntos críticos do la función o en los extromos de dicho segmento. Riemplo 5. Hallar los valores mínimo y máximo absolutos de la función Jos puntos criticos de la función y son: z;=—1 y zy—1. Comparando los valores do la función en estos puntos con los valores de la función en los extremos del intervalo dado vens vm=8u(—1S)=apuu(2s)=uç. Megamos a la conelusión (fig. 25), de que ct valor mínimo absoluto do la función m=1 se alcanza en el punto z==1 (en el punto mínimo) y el máximo Extremos de las funciones de un argumento 89 absoluto M=41 z en el punto 2=25 (en el punto extremo derecho dei segmento). Determinar log intervalos de decrecimiento y crecimiento de las funciones: 811. y=1—47— 22, 812. y=(2— 23º, 813. y=(2 447. 814. y=2"(2—3). 8t5. v= E. a 1 816. = A. 7. = 818. y=(2—3)Vz. 819. p= E j/z. 820. y=z+seng. 821. y=<zlnz. 822. y= aresen (À x). 823. y=2e%-tz, 824. y= sã, x 825. y= c- Averiguar los extremos de las funciones siguientes: 826. y=2" 144746. Solución. Hallamos la derivada de la función dada p'=2z+4. Igualamos y a cero y obtenemos el valor crítico del argumento, z 2 Como y' < 0 cuando « <—2 e y' >0 cuando «>—2, tenemos que z= —2esun punto mínimo de la función, adémás, Ymn=4. El mismo resultado se obtiene recurriendo ai signo do la segunda derivada on el punto crítico: y"=2>0. 827. y=242—42, 828. y=2º-— 3a! | 3x42. 829. y=22º492!— 12745. Solución. Hallamos la derivada v'=622462—12=6(22-tr—2), Igualando a cero Ja derivada 4”, obtenemos los puntos críticos z,=——2 y zo=1. Para determinar el caráctor del extremo calculamos la segunda 90 Extremos de las funciones y aplicaciones geométricas de la derivada derivada y"=6 (221), Como v'(—2)<0, el punto z;=—2 es un punto máximo de la función y, siendo Ymgy=20. Análogamento, tenemos que v"(1)D>0; por lo que zy=1 es un punto mínimo de la función y, siéndo Ymin = —é 830. y=a"(2— 1232. 840, y=2 cosZ+3eos F. 834. y=e(e- (rp. 84. y=e—n (+29). 832. = 842, y=2lnz. asa. y= Tete, 843. p=elnte. 834. p= E-00ca, 844. p=chez. 835. ms. 845. y=2e*. dd = pes 86. v= ss 846. p= ate, x ex 887. = qa 847. y= O. 838. y=V(3— 1%. 848. y=2—arctg x. 839. y=2sen2x-p-sen 4x. Dotorminar los mínimos y máximos absolutos de las siguientes funciones en los segmentos que se indican (cuando los segmentos no se indican, los mínimos y máximos absolutos de las funciones deben determinarse en todo el campo de existencia): 849. v=TEa 850. v=V2(10—4). 85. 852. y=arecosz. =sentz 4-costz. 853. y=<º en el segmento [—1, 9). 854. y=20º4 322— 12041: a) en el segmento [— 1, 5]; b) en ol segmento [— 10, 12]. 855. Demostrar que para los valores positivos de x se cumple la desigualdad ativa , Extremos de las funciones de un argumento 93 880. Inscribir un rectângulo de mayor área posible en el seg- mento de la parábola y?=-2pz cortado por la recta r=2a. 881. Hallar el punto de la curva v=m5 en el que la tan- gente forme con el eje OX el ángulo de mayor valor absoluto posible. 882. Un corredor tiene que ir desde el punto 4, que se encuen- tra en una de las oritlas de un rio, al punto B, que se halla en la otra. Sabiendo que la. velocidad de movimiento por la orilla es k veces mayor que la del movimiento por el agua, determinar dz fa 8 q Fig. 28 bajo qué ángulo deberá atravesar el río, para Hegar al punto B en el menor tiempo posible. La anchura del río es h; la distancia entre los puntos 4 y B (por la orilla), es d. 883. En el segmento recto AB=a, que une ontre si dos focos luminosos 4 (de intensidad p) y B (de intensidad q), haltar ol punto menos iluminado M (la iluminación es inversamente pro- porcional al cuadrado de la distancia al foco luminoso). 884. Una lámpara está colgada sobre el centro de una mesa redonda de radio r. c4 qué altura deberá estar la lámpara, sobre la mesa, para que la iluminación de un objeto que se encuentro em el borde sea la mejor posible? (La iluminación es directamente proporcional ai coseno del ángulo de incidencia de los rayos lumi- nosos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco de luz). 885. De un tronco redondo, de diâmetro d, hay que cortar una viga de sección rectangular. Qué anchura x y altura y deberá tener esta sección para que la viga tenga la resistencia máxima posible: a) a la compresión y b) a la flexión? Observación. La resistoncia de la viga a la compresión es pro- porcional al área de su sección transversal, mientras quo a la flexión es al producto do la anchura do esta sección por el cuadrado de su altura. 886. Una barra uniforme AB, que puede girar alrededor del punto, 4 (fig. 28), soporta una carga do Q kg a la distancia de a em del punto 4 y se mantiene en equilibrio por medio de una Íuerza , 94 Extremos de las funciones y apliceciones geométricas de la derivada vertical P, aplicada en su extremo libre B, Cada cm de longitud do la barra pesa q kg. Determinar la longitud x de la misma, de tal forma, quo la iuerza P sea la mínima posible y hallar Pmsn- 887%, Los centros do tres esferas perfectamente elásticas 4, B y C están situados en línea recta. La esfora 4, de masa M, choca a una velocidad v con la esfera B, la cual, recibiendo una determinada velocidad, choca a su vez con la esfera C, cuya masa es m. éQué masa deberá tener la esfera B para que la velocidad de la esfera C sea la mayor? 888. Si tenemos N pilas eléctricas idénticas, con ellas pode- mos formar baterías por procedimientos distintos, uniendo entre si grupos de n pilas en serie y, después, los grupos así formados, (en número 2) en derivación. La intensidad de la corriente que proporciona una batería de este tipo se determina por la fórmula 2 Nre NR né? donde e es la fuerza electromotriz de una pila, r es su resistencia interna, y R es su resistencia externa. Determinar para qué valor de n es mayor la intensidad de la corriente quo proporciona la batería. 889. Determinar quó diámetro y deberá tener la aberlura cir- cular de una presa, para que el gasto do agua por segundo Q sea el mayor posible, si Q=cyVi-—y, donde h es la profundidad del punto inferior de la abertura (tanto À, como el coeficiente empírico c, son constantes). 890. Si xy 2g -.., Uns SON los resultados de mediciones igual- mente precisas de la magnitud «, su valor más probable será aquél, para el cual la suma de Jos cuadrados de los errores 9 (u— a)? tenga el valor mínimo (principio de los cuadrados mínimos). Demostrar que el valor más probable de la magnitud x es la media aritmética de los resultados de las mediciones. & 2, Direcelon de la concavidad, Puntos de Inflexion 4º. Goncavidad de la gráfica de una función. So dice que la gráfica de una función diforonciable y=/ (x) es cóncava hacia abajo en el intervalo (a, b) (o cóncava hacia arriba en el intervalo (ay, 04) Si para a<z<b el arco de la curva está situado debajo (o correspondiente- Dirección de la concavidad. Puntos de inflexión 95 mente, para aq <z<b;, encima) de la tangonte trazada on cualquier punto del intervalo (a, ) (o del intervalo (ay d9)) (fig. 29). La condición suficion- te para que en la gráfica y=f(z) la concavidad osté dirigida hacia abajo (o hacia arriba), es quo se verifique on el intervalo corrospondiente la desigualdad fm<o (a) >0). En lugar de decir que la gráfica es cóncava hacia abajo, suelo decirse, que tiene su convexidad dirigida hacia arriba. Do forma análoga, para la gráfica cóncava hacia arriba, se dice también que tiene su convezidad diri- gida hacia abajo. 2º. Puntos de inflexión. El punto (zo, (xr), em que cambia de sentido la concavidad de la gráfica de la función, so llama punto de inflezión (fig. 29). Para la abscisa del punto de infloxión xp, de la gráfica-de la función y=f (2), la segunda derivada 7º (z9)==0 0 f" (x) no oxiste. Los puntos en que | (2)=0 o f(x) no existe, se llaman puntos críticos de 2º especie. El punto crítico de 2% especio xp os la abscisa del punto do inflexión, si f(x) conserva signos constantes, y contrarios entre sí, on los intervalos zo—)<r<zo y xo<z<zo+ô, dondo Ô es un númoro positivo determi- nado, y no será punto do infloxida, si los signos de /” (x) en los intervalos antedichos son iguales. Ejemplo 4. Determinar los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de la curva de Gauss peer, Solución. Tenemos: v'=—2aera? ut = (4a? 9) e, Igualando a cero la segunda derivada y”, hallamos los puntos críticos de 2º especie E emio gg É 4 VE =: Estos puntos dividen al ejo numórico —co<Ly<L--c0 en tres intorvalos: I(—co, 2x4), (2, 29) y Ml(ao, 400). Los signos de y” serán, respectiva- mente, --, — y + (do lo quo es fácil convencerso, tomando, por ejemplo, 98 Extremos de las funciones y aplicaciones geométricas de la derivada por consiguiente, la asíntota derecha será la recta y=z. Análogamente, cuando x > —co, tenemos: ho= lim Lo; ao do= lim (y+e)=0, x+—00 De esta forma, la asíntota izquiorda es y=—« (fig. 32). La investigación de las asínlotas do esta curva puedo simplificarse si se tiono en, cucnta su simeLria. Ejomplo 2. Hallar las asíntotas de la curva y=e+ina, Solución. Como lim y=—co, smepo la recta «0 será una asíntota vertical (inferior). Investigamos la curva para hallar solamente la asíntota oblicua derecha (ya que z>0). Tenemos: += lim Lo matos d= Jim (y—-2)= lim Inz=00 apos u+too Por consiguiente, esta curva no ticno asíntotas oblicuas. Si la curva viene dada por las ecunciones paramétricas z= q (1); y—y (1), en primer lugar se investiga si el parâmetro é tione valores para los que ( NOSSAS - ds ( ? x Ad del BN Sax, =freccedêeçes: Fig 32 una de las Iunciones q(t) o «p(t) se hace infinila, mientras que” la otra siguo siendo finita. Cuando p(ig=00 y p(to) la curva tieno una asíntota horizontal, y=c. Si p(fg)=co y q(t)=e, la curva tiene una asíntota vertical, = Cuando q (t9)=p(t))=o, al mismo tiempo que “ in DO a a =: lim vo =; lia Db ()—ke(gi=, la curva tendrá una asíntota oblicua, y=hz-+-d.  Construcción de las gráficas de las funciones por sus puntos característicos 99 Si la curva so da en forma de ecuación polar r=/(q), sus asíntotas se pueden ballar par la regla anterior, reduciendo la ecuación de la curva a la forma paramétrica por las fórmulas: e=rcosp=(p)cosq; y=rson p=] (q) sen q. Hallar las asíntotas de las curvas: 904. p= Agr 908, p=2 24255 - 902. v=5D850" 909. y= “+32. 903. v=5Ê. MO. 904. p=. ER 905. y= 21. na. p= RE. 906. 93. y=In(1 42). 907. y 94. c=t; ymt+2 arclgt. 915. Eallar la asíntota de la espiral biperbólica =. $a Gonstrucelon de tas gráficas de las funciones por sus puntos característicos Al construir la gráfica de una función es necesario, ante todo, hallar el campo de definición de la misma y determinar su comportamionto en ta frontera de este campo de definición. Es conveniente tambión sefialar previamente ciertas peculiaridades de las funcionos (si es que las ticnen), como son: la simetria, periodicidad, permanencia del signo, monotonia, etc. Después, hay que encontrar los puntos de discontinuidad. los puntos extremos de la función, los puntos do inflexión, Jas asíntotas, etc. Los elementos hallados permiten establecer el caráeter general de la grá- fica de la función y obtener su discão matemático verdadero. Ejomplo f. Construir la gráfica de la función = pa: Solución. a) La función existe en todas partes, menos cn los pun tos r=+ 1. La función es impar, por lo que la gráfica do la misma será simétrica con respecto at punto O (0; 0). Esta circunstancia simplifica Ja construe- ción de la gráfica. b) Los puntos de discontinuidad son z=—1 y 2z=1, al mismo tiempo que lim A v=Fcy lim y=co, por consiguionte, las reetas = + 1 a- 4 y 1170 son asíntotas verticales de la gráfica. 7 400 Etremos-de las: funciones y aplicaciones geométricas de la derivada c) Buscamos-las asíntotas-oblicuas. Tenemos: k= lim L=o, apo £ by= lim p=09, apos por consiguiente, no existe asíntota oblicua derecha. Como la gráfica es simétrica, tampoco existirá asíntota oblicua izquierda. Fig3 d) Hallamos los puntos críticos do 1a y 22 especie, es decir, aquollos puntos en que so anula o no existo la primera, o correspondientemente, la segunda derivada do la función dada, Tenemos: 2-3 “cpa = e 2r(9ma2) e timamiaia 2) CPE e Las derivadas y e y” dejan de existir únicamento cuando z= 1, es decir, sólo eu aquellos puntos en que tampoco existe la propia función y, por seto, serán puntos eríticos sólo aquellos en que y' o p” so anulan. De (1) y (2), se deduce: v'=0 para c=+ V3; v"=0 para 2=0 y 2=43. De esta forma, y' conserva constante el signo en cada uno do los intervalos (—co, — 3), (—V3, —1), (—1, 1, (14, VD y (VB +00),