02 - Fundamentosda Matematica II 2ed

02 - Fundamentosda Matematica II 2ed

(Parte 1 de 5)

3ª edição FUNDAMENTOSDAMATEMÁTICAII

SOMESB Sociedade Mantenedora de Educação Superior da Bahia S/C Ltda.

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Vice-Presidente William Oliveira

Superintendente Administrativo e Financeiro Samuel Soares

Superintendente de Ensino, Pesquisa e Extensão Germano Tabacof

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FTC-EAD Faculdade de Tecnologia e Ciências – Ensino a Distância

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Autor Adriano Pedreira Cattai

Rui de Jesus Santos

Gerente de Ensino Jane Freire

Supervisão Ana Paula Amorim

Coordenador de Curso Geciara da Silva Carvalho

Revisão Final Adriano Pedreira Cattai Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento.

Edição em LATEX2ε Adriano Pedreira Cattai Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento.

Revisão de Texto Carlos Magno Coordenação João Jacomel

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Sumário Funções Afim, Quadráticas, Exponenciais e Logarítmicas 6

Funções Afins e Quadráticas 6

1.1 Função Par7
1.2 Função Ímpar7
1.3 Função Crescente8
1.4 Função Decrescente8
1.5 Função Sobrejetora8
1.6 Função Injetora8
1.7 Função Bijetora9
1.8 Função Inversa9
1.9 Função Periódica9
1.10 Exercícios Propostos10

Definições Elementares 6

1.1 O Gráfico da Função Afim13
1.12 Sinal de uma Função Afim15
1.13 A Inversa da Função Afim16
1.14 Apêndice 1: Modelagem Matemática17
1.15 Apêndice 2: Crescimento e Decrescimento17
1.16 Exercícios Propostos18

A Função Afim 1

1.17 A Função Quadrática21
1.18 Raízes de uma Função Quadrática2
1.19 Extremo de uma Função Quadrática2
1.20 Sinal de uma Função Quadrática23
1.21 Aplicações24
1.2 Exercícios Propostos25

A Função Quadrática 20

Funções Exponenciais e Logarítmicas 28

2.1 Apresentação28
2.2 Potências29
2.2.1 Potência de Expoente Natural29
2.2.2 Propriedades das Potências29
2.3 Equações Exponenciais31
2.4 A Função Exponencial32
2.4.1 Representação Gráfica32
2.5 Inequações Exponenciais3
2.6 Aplicações34
2.7 Exercícios Propostos35

Função Exponencial 28 3

Fundamentos da Matemática I

2.8 Apresentação36
2.9 Logaritmos: Definição e Propriedades37
2.9.1 Propriedades38
2.10 Equações Logarítmicas39
2.1 A Função Logarítmica40
2.12 Gráfico da Função Logarítmica41
2.13 Inequações Logarítmicas41
2.14 Exercícios Propostos42

Função Logarítmica 36 Funções Trigonométricas e Outras Elementares 43

Funções Trigonométricas 4

3.1 Relações Trigonométricas Fundamentais4
3.2 Arcos Côngruos47

Trigonometria 4

3.3 As Funções Seno e Cosseno48
3.4 Outras Funções Trigonométricas50
3.5 Exercícios Propostos52

Funções Trigonométricas 48

Outras Funções Elementares 53

4.1 Apresentação53
4.2 Função Potência53
4.3 Funções Definidas por mais de uma Sentença54
4.4 Função Modular5
4.5 Função Polinomial56
4.6 Função Recíproca57
4.7 Exercícios Propostos59

Outras Funções Elementares 53

5.1 Etapa 160
5.2 Etapa 261
5.3 Etapa 362

Atividade Orientada 60 4

Apresentação de Disciplina Caro aluno,

Damos-lhe boas vindas ao curso de Fundamentos de Matemática I.

Ao colocarmos este material à disposição de educadores e de alunos que se preparam para o magistério, é nossa intenção destacar alguns dos temas usualmente vistos no ensino médio, a exemplo das funções elementares: afim, quadrática, exponencial e logarítmica. Buscamos, tanto quanto possível, ilustrá-los mediante exemplos e interessantes aplicações que, sem dúvida alguma, tornarão mais instigantes e agradáveis de estudá-los. Conforme verá, adotamos uma abordagem bem simples e elementar. Evitamos o emprego de fórmulas, mesmo nas demonstrações, preferindo, ao invés disso, um constante apelo ao raciocínio lógico-dedutivo na obtenção de nossos resultados.

Ao longo do texto, inserimos questões para reflexão. Sugerimos que pare, ao encontrá-las em sua leitura, e as considere com bastante atenção. Incluímos, também, exercícios resolvidos e atividades complementares, bem como, no final deste trabalho, um bloco de atividades orientadas como parte de sua de avaliação individual.

E, é claro, registramos nossa gratidão, ainda que previamente, por quaisquer observações ou comentários sobre o trabalho, para que possamos aprimorá-lo continuamente. Uma boa leitura, portanto, e boa sorte na carreira que escolheu.

Prof. Rui Santos 5

Fundamentos da Matemática I

Funções Afim, Quadráticas, Exponenciais e Logarítmicas

Funções Afins e Quadráticas

Definições Elementares

Na disciplina Fundamentos de Matemática I, a definição de uma função real a uma variável foi apresentada da seguinte forma:

Uma função real é um objeto matemático que, a cada número x de um subconjunto A dos números reais, associa um único número f (x) de um subconjunto B dos números reais. Em outras palavras:

O conjunto A é chamado de domínio da função f ; o conjunto dos números reais contido em B que estão associados por f é chamado o conjunto imagem (ou simplesmente, a imagem) de f ; e o conjunto B é chamado de contradomínio da função.

As seguintes notações foram estabelecidas:

1. f : A → B para dizer que se trata da função real cujo domínio é o conjunto A.

2. x 7→ f (x) para dizermos que f associa o número f (x) ∈ B ao número x ∈ A.

3. Dom(f ) representa o domínio de f , e CD(f ) o contra-domínio.

4. Im(f ) representa a imagem de A, e se C ⊂ A, indicaremos por f (C) o conjunto dos números f (x), com x ∈ C, que é chamado de imagem de C.

Neste primeiro tema, detalharemos duas funções especiais, a saber: a Função Afim e a Função Quadrática. Antes disto, vejamos as seguintes definições:

1.1 Função Par

Um exemplo bem simples de função par é f (x) = x2. Seu gráfico é exibido ao lado. xy a- y=f(x)

De fato, o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo. Ou ainda: f (−x) = (−x)2 = x2 = f (x).

1.2 Função Ímpar

Nota 1. Uma função pode não satisfazer uma destas duas definições. De fato, seja a função definida por h(x) = x − x2. Assim,

Nota 2. Qualquer função com domínio simétrico em relação à origem pode ser escrita como soma de uma função par com uma função ímpar:

em que a função fP(x) é uma função par e fI(x) é uma função ímpar. Verifique! Se considerarmos a função h(x) = x − x2, exibida acima, então,

Fundamentos da Matemática I 1.3 Função Crescente

Uma função f é crescente se ∀ a,b ∈ Dom(f ),a < b, então f (a) < f (b).

xy ba f(x) f(b)

1.4 Função Decrescente

Uma função f é decrescente se ∀ a,b ∈ Dom(f ),a < b, então f (a) > f (b).

xy ba f a( ) f(x) f(b)

1.5 Função Sobrejetora

Uma função é sobrejetora quando todo o contradomínio possui um elemento correspondente em seu domínio, isto é, o conjunto imagem e o contradomínio são coincidentes. Em símbolos, se f : A → B, então:

1.6 Função Injetora

Uma função f : A → B é injetora se, e somente se, elementos distintos no domínio possuem, como imagem, elementos distintos no contradomínio. Em símbolos:

Nota 3. Uma outra maneira de exibir esta mesma condição é a através da sua contra-positiva, ou seja,

y=f(x) Esta expressão afirma que cada elemento y da imagem da função f provém de um único elemento x do seu domínio. Uma maneira visual de interpretar este fato é pelo chamado teste da linha horizontal. Se a linha interceptar o gráfico da função em mais de um ponto, então existem pontos distintos no domínio tal que suas imagens são iguais.

1.7 Função Bijetora

Uma função é bijetora se é, simultaneamente, injetora e sobrejetora. Deixamos a representação simbólica deste conceito como exercício.

1.8 Função Inversa

Este é um conceito aplicável somente às funções bijetoras. Seja f : A → B uma função bijetora, ou seja, para cada y ∈ B, existe exatamente um valor x ∈ A tal que y = f (x). Assim, podemos definir uma função g : B → A tal que x = g(y). A função g definida desta maneira é chamada função inversa de f , a qual denotaremos por f −1. Em outras palavras:

1.9 Função Periódica

Dizemos que uma função f é periódica se existe um número real p 6= 0 tal que f (x + p) = f (x) para todo x ∈ Dom(f ). O menor número p que satisfaz f (x + p) = f (x) é chmado de período da função f . O gráfico de uma função periódica se repete a cada intervalo de comprimento |p|.

Fundamentos da Matemática I

Na disciplina Fundamentros da Matemática I, veremos que as funções f (x) = sen(x) e g(x) = cos(x) são funções periódicas de período 2π. A figura ao lado ilustra o gráfico de uma função periódica de período 4.

1.10 Exercícios Propostos

1.2. Verifique que a correspondência entre os valores x e y = f (x), dados pelos conjuntos abaixo, não definem uma função.

1.4. Decida se cada função é par, ímpar ou nem par e nem ímpar.

1.5. Mostre que as funções abaixo não são nem pares e nem ímpares, e expresse-as como uma soma de uma função par com uma função ímpar.

1.6. Dada uma função qualquer f : [−a,a] → R, mostre que:

(a) a função g definida por g(x) = f (x) + f (−x) é uma função par;

(b) função h definida por h(x) = f (x) − f (−x) é uma função ímpar. 1.7. Suponha f e g duas funções dadas. Então, definem-se as seguintes funções:

(i) os domínios das funções do item (i) 10

1.8. Ao analisar a função real f definida por f (x) = x2 + 4x − 12, podemos afirmar que f é injetora? Justifique a resposta.

Gabarito

A Função Afim

Chama-se função afim a toda função f : R → R definida por f (x) = ax + b, em que a e b são números reais. Lembra-se de algo além deste conceito? Talvez se recorde que os coeficientes "a"e "b"são comumente, e nesta ordem, chamados coeficientes angular e linear. E das condições de crescimento e decrescimento desta função, sua inversa e condições de existência, e outras propriedades e aplicações? Revisitaremos este e outros temas aqui - em parte porque vale a pena preencher possíveis lacunas ou, eventualmente, corrigir uma ou outra imperfeição que assimilamos ao longo de nosso percurso; além disso, este, afinal é o objeto de seu trabalho como educador. Começaremos com uma situação bem típica, como escolher uma operadora de telefonia. Suponha - e isto não é mais que uma suposição - que as operadoras Telemar e Embratel lançaram ao mercado os seguintes produtos:

Qual destas opções é mais vantajosa?

Como resposta, experimente descrever cada um desses planos em termos de uma expressão que forneça o montante pago em função do tempo de assinatura.

Você sabia?

A este trabalho, que busca uma expressão conveniente para a descrição de uma determinada situação, chamamos modelagem matemática. E isto, em campos tão diversos quanto a Medicina, a Engenharia de Tráfego, otimização, etc., tem sido um campo bem fértil para pesquisas.

Você deve ter obtido expressões do tipo: f (t) = 70t+430e g(t) = 50t+690,respectivamente. É possível que não se sinta seguro quanto a como se obtiveram estas expressões; neste caso, queira consultar o Apêndice 1, “Modelagem matemática”. Apresentamos ali, um passo a passo com explicações um pouco mais detalhadas sobre esse exemplo específico. Aliás, incluiremos, sempre que necessário, uma seção, ou apêndice, com pormenores adicionais sobre certos cálculos, conceitos, etc. Sinta-se à vontade para consultá-los.

Fundamentos da Matemática I

Examinemos a primeira expressão.

X Observe que o coeficiente linear, 430, corresponde, precisamente, ao valor inicialmente pago, antes sequer do primeiro mês de contrato. Em termos mais genéricos, isto nos fornece uma interessante interpretação para o coeficiente linear numa função afim. Ele corresponde ao valor da função f (t) avaliado em t = 0.

X Quanto ao coeficiente angular, suponhamos que após uma longa pechincha, o gerente da empresa de telefonia concorda em alterar sua proposta, concedendo um coeficiente angular realmente promocional. Imagine, então, que a nossa nova função é:

Compare-a com a anterior, f (t) = 70t + 430. O que acha que muda no decorrer do contrato? Obviamente, a taxa de crescimento de nosso montante é menor. E isto nos leva a uma óbvia, mas fundamental, conclusão:

O coeficiente angular, numa função afim, é o único fator que determina o seu crescimento ou decrescimento.

Nos exemplos que acabamos de ver, ambas as funções em que ambos os coeficientes angulares são positivos, são crescentes, porém, observe que a velocidade ou taxa de crescimento mudou.

No apêndice 2, “Crescimento e Decrescimento”, ilustramos com mais detalhes a influência do coeficiente angular sobre a taxa de crescimento ou decrescimento de uma função afim. Queira consultá-lo, se necessário.

A propósito, o que você supõe que acontece se o coeficiente angular for negativo ou nulo?

Agora é a sua vez!

X O movimento de um ponto sobre um eixo chama-se uniforme quando ele percorre espaços iguais em tempos iguais. Sua velocidade é, por definição, o espaço percorrido na unidade de tempo. Formule estas definições matematicamente, e obtenha explicitamente a posição f (t) do ponto em termos de uma função de t e do ponto de partida.

X Uma corrida de táxi custa m reais por km rodado, mais uma taxa fixa de n reais, chamada bandeirada.

Formule, matematicamente, o custo de uma corrida como função do número x de quilômetros percorridos.

Um pouco de história

Foi por volta de 1.360 d.C. que um matemático parisiense chamado Nicole Oresme teve um pensamento brilhante:

“por que não traçar uma figura que representasse a maneira pela qual as coisas variam?”

Ali estava um primeiro esboço do que conhecemos hoje como representação gráfica de funções. Este processo era conhecido, então, como “a latitude das formas”. Oresme usava os termos latitude e longitude dum modo equivalente à ordenada e à abscissa, e sua representação gráfica assemelhava-se à nossa geometria analítica. Naturalmente, seu uso de coordenadas retangulares, ou cartesianas, não era novo, mas a sua representação gráfica de uma quantidade variável, sim.

1.1 O Gráfico da Função Afim

Oresme sabia, já em 1.360 d.C., que a ‘latitude das formas’, ou gráfico, de uma função afim era uma reta. Aliás, não apenas o gráfico de uma função afim é uma reta, mas, reciprocamente, a toda reta no plano corresponde uma, e apenas uma, função.

O gráfico da função f (x) = ax + b é uma reta.

Prova: Suponhamos inicialmente que o gráfico não seja uma reta, ou seja, existem três pontos A, B e C distintos dois a dois, do gráfico de f que não estão alinhados, conforme figura.

Sejam (x1,y1) , (x2,y2) e (x3,y3), respectivamente, as coordenadas cartesianas destes pontos. Nestas condições, temos

Subtraindo membro a membro, obtemos:

Observe que y3 − y2

AD = tgα.

e, então tgβ = tgα, ou seja, devemos ter α = β e, portanto, os pontos A, B e C estão necessariamente alinhados. Isso conclui a nossa prova.

Transcrevemos, agora, um resultado fundamental da Geometria Plana que, aplicado ao nosso trabalho, simplifica, em muito, a representação de uma função.

Dados dois pontos distintos no plano, P1 e P2 existe uma única reta que os contém.

Temos, portanto, que dada uma função afim f (x) bastam dois pontos (x1,f (x1)) e (x2,f (x2)) para representá-la graficamente. Naturalmente, podemos tomar uma seqüência de pontos, construindo uma

tabela e enumerando infinitos valores x1, x2, x3,, xp, ..., e suas respectivas imagens. É claro, porém,

Fundamentos da Matemática I que segundo o resultado acima, todos estes, não importa quais deles tomemos, estarão sobre a mesma reta.

Uma dica

Lembre-se do que já dissemos sobre o coeficiente linear b: ele indica o valor da função f (x) avaliado em x = 0.

Isto equivale a dizer que o gráfico de f (x) = ax +b passa pelo ponto (0,b). x y y=ax+b

Queremos, agora, chamar a atenção para o inverso deste processo; isto é, dado um gráfico - neste caso, uma reta no plano - o nosso trabalho será obter a função afim correspondente. Isto tem numerosas e interessantes aplicações. O exemplo seguinte ilustra este fato.

Sabe-se, com base em observações, que o peso de uma criança, na faixa de zero a seis meses, varia linearmente, isto é, o gráfico da função peso P(t) é uma reta. Suponha que aos dois e aos cinco meses a criança apresenta o quadro ao lado:

Mês Peso

P (pesoemgramas) P2

Note que isto corresponde a dois pontos no plano, a saber,

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