Resolução De Exercícios -... newton gualter- Completa - tópicos apêndice

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(Parte 1 de 2)

381Apêndice

1E.R. Uma mangueira tem em sua extremidade um esguicho de boca circular cujo diâmetro pode ser ajustado. Admita que essa mangueira, operando com vazão constante, consiga encher um balde de 30 L em 2 min 30s. a) Se a área da boca do esguicho for ajustada em 1,0 cm, com que velocidade a água sairá da mangueira? b) Reduzindo-se o diâmetro da boca do esguicho à metade, com que velocidade a água sairá da mangueira nessa nova situação?

Resolução: a) A vazão (Z) através da boca do esguicho é calculada por:

Z = A v = ΔV Δt

Sendo A = 1,0 cm = 1,0 · 10 m; ΔV = 30 L = 30 · 10 m e Δt = 2,5 min = 150 s, calculemos a velocidade v de escoamento da água.

1,0 · 10 v = 30 · 10 b) Como a área do círculo é diretamente proporcional ao quadrado do seu raio, ou do seu diâmetro A = π R = π D 4, se reduzirmos o diâmetro à metade, a área será reduzida à quarta parte. Assim, aplicando-se a Equação da Continuidade, vem:

A’ v’ = A v ⇒ A4 v’ = A · 2,0

Da qual:

v’ = 8,0 m/s

2 (UFPE) A velocidade do sangue na artéria aorta de um adulto, que possui em média 5,4 litros de sangue, tem módulo aproximadamente igual a 30 cm/s. A área transversal da artéria é cerca de 2,5 cm. Qual o intervalo de tempo, em segundos, necessário para a aorta transportar o volume de sangue de um adulto?

Resolução:

Z = A v ou Z = ΔV Δt

Logo: A v = ΔV

⇒ Δt = ΔV Δv

Δt = 5,4 · 10

2,5 · 30 (s)

Donde:Δt = 72 s Resposta: 72 s

3 (Unama-AM) Uma piscina, cujas dimensões são 18 m × 10 m × 2 m, está vazia. O tempo necessário para enchê-la é 10 h, através de um conduto de seção A = 25 cm. A velocidade da água, admitida constante, ao sair do conduto, terá módulo igual a: a) 1 m/s c) 3 cm/min e) 5 km/s b) 2 km/s d) 4 m/s

Resolução: (I) Capacidade da piscina:

ΔV = a b c ΔV = 18 · 10 · 2 (m)

ΔV = 360 m

(I) Vazão:

Δt ou Z = A v

Logo: A v = ΔV Δt

25 · 10 v = 360 10 · 3600

Donde:v = 4 m/s

Resposta: d

4 (UFPA) Considere duas regiões distintas do leito de um rio: uma larga A, com área de seção transversal de 200 m, e outra estreita B, com 40 m de área de seção transversal. A velocidade das águas do rio na região A tem módulo igual a 1,0 m/s. De acordo com a Equação da Continuidade aplicada ao fluxo de água, podemos concluir que a velocidade das águas do rio na região B tem módulo igual a: a) 1,0 m/s c) 3,0 m/s e) 5,0 m/s b) 2,0 m/s d) 4,0 m/s

Resolução:

Z = Z ⇒ A v = A v

40 v = 200 · 1,0

Donde: v = 5,0 m/s

Resposta: e

5 (UFJF-MG) Um fazendeiro decide medir a vazão de um riacho que passa em sua propriedade e, para isso, escolhe um trecho retilíneo de 30,0 m de canal. Ele observa que objetos flutuantes gastam em média 60,0 s para percorrer esse trecho. No mesmo lugar, observa que a profundidade média é de 0,30 m e a largura média, 1,50 m. A vazão do riacho, em litros de água por segundo, é: a) 1,35 c) 225 e) 450 b) 3,65 d) 365

Resolução: (I) Cálculo da intensidade da velocidade da água no canal:

v = Δs

Δt ⇒ v = 30,0 m60,0 s v = 0,50 m/s

(I) Cálculo da vazão: Z = Av ⇒ Z = L p v

Z = 1,50 · 0,30 · 0,50 (m/s)

Z = 0,225 m/s = 225 L/s

Resposta: c

Apêndice

382PARTE I – ESTÁTICA

6E.R. O aneurisma é uma dilatação anormal verificada em um trecho de uma artéria pela distensão parcial de suas paredes. Essa patologia, de origem congênita ou adquirida, pode provocar o rompimento do duto sanguíneo com escape de sangue, o que em muitos casos é fatal. Trata-se do que popularmente se denomina derrame. Admita que uma pessoa tenha um aneurisma de aorta, de modo que a área da seção reta de sua artéria dobre. Considere o sangue um fluido ideal, de massa específica 1,2 g/cm, escoando inicialmente com velocidade de 20 cm/s. Devido ao aneurisma, qual a variação da pressão estática do sangue no local da lesão, expressa em unidades do SI?

Resolução: I. Pela Equação da Continuidade:

Z = Z ⇒ A v = A v

⇒ 2 A v = A 20

Assim:

v = 10 cm/s = 0,10 m/s

I. Pelo Teorema de Bernoulli aplicado a um mesmo ponto do interior da artéria, tem-se:

p + µ v

2 = C (Constante) p + µ v2 = p + µ v2

⇒ p – p =

2 (v – v )

Δp = 1,2 · 10 2 (0,20 – 0,10) (Pa) ⇒Δp = 18 Pa

7 (ITA-SP) Durante uma tempestade, Maria fecha as janelas do seu apartamento e ouve o zumbido do vento lá fora. Subitamente o vidro de uma janela se quebra. Considerando-se que o vidro tenha soprado tangencialmente à janela, o acidente pode ser mais bem explicado pelo(a): a) princípio de conservação da massa. d) princípio de Pascal. b) princípio de Bernoulli. e) princípio de Stevin. c) princípio de Arquimedes.

Resolução: Em virtude de o vento aumentar a velocidade da massa de ar, a pressão externa à janela diminui, de acordo com o princípio de Bernoulli. A diferença entre a pressão interna (maior) e a externa (menor) quebra a janela, fazendo com que os fragmentos de vidro sejam jogados para fora.

Resposta: b

8 O ar de um furacão sopra sobre o telhado de uma casa com velocidade de módulo igual a 108 km/h. A densidade do ar vale 1,2 kg/m. A diferença entre a pressão do lado interno e do lado externo do telhado vale: a) zero b) 500 Pa c) 520 Pa d) 540 Pa e) 560 Pa

Resolução:

v = 108 km/h = 30 m/s

Trata-se de uma aplicação direta do Teorema de Bernoulli para pontos no mesmo nível horizontal.

p + µ v2 = p + µ v

Sendo v 0 (o ar dentro da casa está praticamente em repouso) vem:

p – p = µ v2 ⇒ Δp =

1,2 (30) 2 (Pa)

Δp = 540 Pa

Resposta: d

9 (Unicamp-SP) “Tornado destrói telhado de ginásio da Unicamp. Um tornado com ventos de 180 km/h destruiu o telhado do ginásio de esportes da Unicamp [...] Segundo engenheiros da universidade, a estrutura destruída pesa aproximadamente 250 toneladas.” (Folha de S.Paulo, 29/1/95) Uma possível explicação para o fenômeno seria considerar uma diminuição de pressão atmosférica, devida ao vento, na parte superior do telhado. Para um escoamento ideal de ar, essa redução de pressão é dada por : ρ v

2 , em que ρ = 1,2 kg/m é a densidade do ar e v é a in- tensidade da velocidade do vento. Considere que o telhado do ginásio tem 5400 m de área e que estava simplesmente apoiado sobre as paredes. Adote g = 10 m/s. a) Calcule a variação da pressão externa devida ao vento. b) Quantas toneladas poderiam ser levantadas pela força devida a esse vento? c) Qual a menor intensidade da velocidade do vento (em km/h) que levantaria o telhado?

Resolução: a) Deve-se utilizar a expressão dada, que nada mais é que o Teorema de Bernoulli.

Δp = ρ v

Sendo ρ = 1,2 kg/m e v = 180 kmh = 180 m3,6 s = 50 ms, vem:

Δp = 1,2 (50)

2 (N/m) ⇒Δp = 1,5 · 10 N/m b) FA = Δp ⇒ M g

A = Δp

5400 = 1,5 · 10 ⇒M = 810 · 10 kg = 810 toneladas c) (I) Δp’ = F’A ⇒ Δp’ = M’ g

· 10 (N/m)

(I) ρ v’

= Δp’ ⇒ 1,2 v’

Respostas: a) 1,5 · 10 N/m; b) 810 toneladas; c) 100 km/h

383Apêndice

10 (UFBA) Um fenômeno bastante curioso, associado ao voo dos pássaros e do avião, pode ser visualizado através de um experimento simples, no qual se utiliza um carretel de linha para empinar pipas, um prego e um pedaço circular de cartolina.

O prego é colocado no centro da cartolina e inserido no buraco do carretel, conforme a figura. Soprando de cima para baixo pelo buraco superior do carretel, verifica-se que o conjunto cartolina-prego não cai.

2,0 cm

Considere a massa do conjunto cartolina-prego igual a 10 g, o raio do disco igual a 2,0 cm e a aceleração da gravidade local com módulo igual a 10 m/s. A partir dessas informações, apresente a lei física associada a esse fenômeno e calcule a diferença de pressão média mínima, entre as faces da cartolina, necessária para impedir que o conjunto caia.

Resolução: (I) A lei física associada ao fenômeno é o Princípio de Bernoulli. Devido ao jato de ar que sopra de cima para baixo ao longo do eixo do carretel, reduz-se a pressão sobre a face de cima do disco de cartolina. Com isso, ele fica sujeito a um esforço resultante de pressão dirigido de baixo para cima que o mantém suspenso, sem cair.

Δp A = m g

Δp = m g m g

Δp = 10 · 10 · 10 π (2,0 · 10) (N/m)

1 (ITA-SP) Considere uma tubulação de água que consiste de um tubo de 2,0 cm de diâmetro por onde a água entra com velocidade de módulo 2,0 m/s sob uma pressão de 5,0 · 10 Pa. Outro tubo de 1,0 cm de diâmetro encontra-se a 5,0 m de altura, conectado ao tubo de entrada. Considerando-se a densidade da água igual 1,0 · 10 kg/m e desprezando-se as perdas, calcule a pressão da água no tubo de saída. Adote g = 10 m/s.

Resolução: (I) Equação da Continuidade:

Z = Z ⇒ A v = A v π R v = π R v v = R v ⇒ v =

v = 8,0 m/s

(I) Teorema de Bernoulli:

p + µ v2 = p + µ v2 + µ g (h – h ) p +

1,0 · 10 · (8,0)

2 = 5,0 · 10 + 1,0 · 10 · (2,0) 2 + 1,0 · 10 · 10 (–5,0)

Donde: p = 4,2 · 10 Pa

Resposta: 4,2 · 10 Pa

12 (UFSM-RS) As figuras representam secções de canalizações por onde flui, da esquerda para a direita, sem atrito e em regime estacionário, um líquido incompressível. Além disso, cada secção apresenta duas saídas verticais para a atmosfera, ocupadas pelo líquido até as alturas indicadas.

As figuras em acordo com a realidade física são: a) I e I. c) I e IV. e) I e I. b) I e IV. d) I e IV.

Resolução: Nos trechos de maior diâmetro (tubos mais “grossos”), a intensidade da velocidade de escoamento do líquido é menor e a pressão estática é maior. Por isso, nesses trechos, o líquido atinge alturas maiores nos tubos verticais (tubos de Venturi), como ocorre nas situações das figuras I e II. Tal fato pode ser explicado pelo Teorema de Bernoulli.

Resposta: a

13E.R. Considere a tubulação hidráulica esquematizada abaixo por onde escoa água em regime permanente. Os pontos 1 e 2 indicados, pertencentes a uma mesma horizontal, estão situados sob dois tubos verticais abertos em que se observa no líquido um desnível de altura h. No local, a aceleração da gravidade tem intensidade g.

h g

Supondo conhecidas as áreas A e A as seções retas S e S , respecti- vamente, e considerando a água um fluido ideal, determine a intensidade da velocidade do líquido no ponto 1.

384PARTE I – ESTÁTICA

Resolução: I. Equação da Continuidade:

Z = Z ⇒ A v = A v

Assim:

v = A

(I)

v I. Teorema de Bernoulli:

p + µ v

2 = p + µ v 2 µ g h + P + µ v

2 = µ g h + P + µ v 2

Da qual:

g (h – h ) + v

(I)

Observando-se que h – h = h e substituindo-se (I) em (I), vem:

g h + v

A v

2 g h = v A A – 1

Assim:

v =

2 g h

A – 1

14 Na tubulação horizontal esquematizada na figura a seguir, o líquido escoa com vazão de 400 cm/s e atinge a altura de 0,50 m no tubo vertical. A massa específica do líquido, admitido ideal, é 1,0 g/cm.

A = 2,0 cm

A = 1,0 cm 0,50 m

Adotando-se g = 10m/s e supondo-se o escoamento em regime permanente, pede-se para calcular a pressão efetiva no ponto 1, que é a diferença entre a pressão estática nesse ponto e a pressão atmosférica.

Resolução:

(I) Cálculo de v e v :

A v = Z ⇒ 2,0 v

= 200 cm/s = 2,0 m/s

A v = Z ⇒ 1,0 v

= 400 cm/s = 4,0 m/s

(I) Cálculo de P = P – P :

Teorema de Bernoulli:

µ v2 = P + µ v2 µ v2 = µ g h + P + µ v

P – P = µ g h + µ2

(v – v )

P = 1,0 · 10 · 10 · 0,50 +

1,0 · 10

2 (4,0 – 2,0) (N/m)

Donde: P = 1,1 · 10 N/m

Resposta: 1,1 · 10 N/m

15E.R. Em uma caixa-d’água cilíndrica de eixo vertical a superfície livre de água atinge uma altura H. Faz-se um pequeno furo na parede lateral da caixa, a uma altura h, por onde a água extravasa, projetando-se horizontalmente, conforme ilustra a figura. No local, a resistência do ar é desprezível e a aceleração da gravidade tem intensidade g.

gH h

Sendo D o alcance horizontal atingido pela água, determine: a) o máximo valor de D; b) os valores de h para os quais se obtêm alcances horizontais iguais.

Resolução: a) A intensidade da velocidade de escoamento da água através do furo é v, dada pela Equação de Torricelli:

v = 2 g (H – h)(I)

O movimento das gotas d’água a partir do furo é uniformemente variado na vertical; logo:

Δy = v t + α2 t ⇒ h = g

Da qual:

(I)

t = 2hg

O movimento das gotas d’água a partir do furo é uniforme na horizontal; logo:

(I)

Δx = v t ⇒ D = v t Substituindo-se (I) e (I) em (II), segue que:

D = 2 g (H – h) 2 h g

Assim:

D = 2 (H – h) h

Chamemos de y o radicando (H – h) h. y = (H – h) h

385Apêndice

A função y = f (h) é do Segundo grau e sua representação gráfica é um arco de parábola com concavidade voltada para baixo, conforme aparece a seguir:

0 H hy H

Observando-se que y = 0 para h = 0 e h = H, tem-se:

Para h = H2

⇒ y ⇒ D

Logo: D = 2 H – H2 H

Donde: D = H b) Alcances horizontais iguais são obtidos para um mesmo valor de y, isto é, quando y = y .

Analisando-se o gráfico anterior, vem:

0 H hy H y = y h h a

D = D ⇒ y = y

Nesse caso:

= H2 – a e h = H2

A figura a seguir ilustra o exposto.

D = D v

y =– aH
y =+ aH

16 Na figura a seguir está esquematizado um grande tanque aberto cheio de água até uma altura H apoiado sobre uma superfície horizontal.

h D

Faz-se um pequeno furo na parede lateral do reservatório, a uma altura h em relação à sua base, por onde jorra um filete d’água com velocidade horizontal de intensidade v. No local, a resistência do ar é desprezível e a acelereção da gravidade tem módulo igual a g. Sendo D o alcance horizontal da água, determine em função de H, h e g: a) o valor de v; b) o valor de D.

Resolução: a) O desnível d entre a superfície livre de água e o orifício é d = H – h. Aplicando-se a equação de Torricelli, vem:

v = 2 g d ⇒v = 2 g (H – h) b) (I) Cálculo do tempo de queda (t ) da água:

Na vertical: MUV

Δy = v t + α2 t ⇒ h = g 2 t

Donde: t = 2 h

(I) Cálculo do alcance horizontal da água: Na horizontal: MU Δx = v t ⇒ D = v t

Substituindo-se os valores de v e de t , vem:

D = 2 g (H – h) 2 h g

Do qual:D = 2 (H – h) h

Nota: D independe de g. Respostas: a) 2 g (H – h); b) D = 2 (H – h) h

17 (Unirio-RJ) Um menino deve regar o jardim de sua mãe e pretende fazer isso da varanda de sua residência, segurando uma mangueira na posição horizontal, conforme a figura abaixo.

386PARTE I – ESTÁTICA

Durante toda a tarefa, a altura da mangueira, em relação ao jardim, permanecerá constante. Inicialmente, a vazão de água, que pode ser definida como o volume de água que atravessa a área transversal da mangueira na unidade de tempo, é ϕ . Para que a água da mangueira atinja a planta mais distante no jardim, ele percebe que o alcance inicial deve ser quadruplicado. A mangueira tem em sua extremidade um dispositivo com orifício circular de raio variável. Para que consiga molhar todas as plantas do jardim sem molhar o resto do terreno, ele deve: a) reduzir o raio do orifício em 50% e quadruplicar a vazão de água. b) manter a vazão constante e diminuir a área do orifício em 50%. c) manter a vazão constante e diminuir o raio do orifício em 50%. d) manter constante a área do orifício e dobrar a vazão de água. e) reduzir o raio do orifício em 50% e dobrar a vazão de água.

Resolução:

(I) Vasão: ϕ = Δv

Δt = Av

Logo: v = ϕA 1

(I) Tempo de queda da água:

MUV: Δy = v t + x2 t

H = g 2 t ⇒ t

= 2 Hg

(I) Alcance horizontal da água:

MU: D = v t 3

2 H g

R 2 H g

Sendo H e g constantes, pode-se quadruplicar D mantendo-se ϕ cons- tante e reduzindo-se R à metade (redução de 50%).

Resposta: c

18 (Unirio-RJ) Uma bomba-d’água enche o reservatório representado na figura a seguir até a altura H. Assim que a água atinge esse nível, a tampa T de um escoadouro é aberta. A tampa está a uma altura y do fundo do reservatório e sua vazão é igual à da bomba, que permanece ligada o tempo todo. Sabendo que a água sai horizontalmente pela tampa, determine a expressão para o alcance máximo, A , atingido

pela água e a altura y do escoadouro.

(Parte 1 de 2)

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