Baixe 8Res. tópicos de física e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! 169Tópico 3 – Resultantes tangencial e centrípeta Considere a situação seguinte, referente aos exercícios de 1 a 5. No esquema abaixo aparece, no ponto P, um carrinho de massa 2,0 kg, que percorre a trajetória indicada da esquerda para a direita. A acelera- ção escalar do carrinho é constante e seu módulo vale 0,50 m/s2. As setas enumeradas de I a V representam vetores que podem estar relacionados com a situação proposta. I P V IV III II 1 A velocidade vetorial do carrinho em P é mais bem representa- da pelo vetor: a) I; b) II; c) III; d) IV; e) V. Resolução: A velocidade vetorial é sempre tangente à trajetória e orientada no sentido do movimento. Vetor I Resposta: a 2 Se o movimento for acelerado, a componente tangencial da for- ça resultante que age no carrinho em P será mais bem representada pelo vetor: a) I; b) II; c) III; d) IV; e) V. Resolução: No movimento acelerado, a componente tangencial da força resultan- te tem sentido igual ao de V . Vetor I Resposta: a 3 Se o movimento for retardado, a componente tangencial da for- ça resultante que age no carrinho em P será mais bem representada pelo vetor: a) I; b) II; c) III; d) IV; e) V. Resolução: No movimento retardado, a componente tangencial da força resultan- te tem sentido oposto ao de V . Vetor V Resposta: e 4 A intensidade da componente tangencial da força resultante que age no carrinho em P vale: a) zero; b) 2,0 N; c) 1,0 N; d) 0,50 N; e) 0,25 N. Resolução: | a t | = | γ | = 0,50 m/s2 | F t | = m | a t | = m | γ | | F t | = 2,0 · 0,50 (N) | F t | = 1,0 N Resposta: c 5 Analise as proposições seguintes: I. Ao longo da trajetória, a componente tangencial da força resultan- te que age no carrinho tem intensidade variável. II. Ao longo da trajetória, a componente tangencial da força resultan- te que age no carrinho é constante. III. Ao longo da trajetória, a velocidade vetorial do carrinho tem inten- sidade variável. IV. Quem provoca as variações do módulo da velocidade do carrinho ao longo da trajetória é a componente tangencial da força resultan- te que age sobre ele. Responda mediante o código: a) Todas são corretas. d) Somente III e IV são corretas. b) Todas são incorretas. e) Somente II, III e IV são corretas. c) Somente I e II são corretas. Resolução: I – Incorreta. | F t | = 1,0 N (constante) II – Incorreta. F t varia em direção III – Correta. O movimento é uniformemente variado. IV – Correta. Resposta: d Considere o enunciado abaixo para os exercícios de 6 a 8. Abandona-se um pêndulo no ponto A, representado na f igura. Este desce livremente e atinge o ponto E, após passar pelos pontos B, C e D. O ponto C é o mais baixo da trajetória e despreza-se a infl uência do ar. A B C D E 6 No ponto B, a componente da força resultante que age na esfera pendular, na direção tangencial à trajetória, é mais bem caracterizada pelo vetor: a) b) d) c) e) Nenhum dos anteriores. Resolução: Ponto B: movimento acelerado. F t tem a mesma direção e o mesmo sentido de V . Resposta: a Tópico 3 170 PARTE II – DINÂMICA 7 No ponto C, a componente da força resultante que age na esfera pendular, na direção tangencial à trajetória, é mais bem caracterizada pelo vetor: a) b) d) c) e) Nenhum dos anteriores. Resolução: Ponto C: local de transição de movimento acelerado para movimento retardado. a t = 0 ⇒ F t = 0 Resposta: e 8 No ponto D, a componente da força resultante que age na esfe- ra pendular, na direção tangencial à trajetória, é mais bem caracteriza- da pelo vetor: a) b) d) c) e) Nenhum dos anteriores. Resolução: Ponto D: movimento retardado. F t tem a mesma direção de V , porém sentido oposto. Resposta: d 9 Na f igura a seguir, está representada uma partícula de massa m em determinado instante de seu movimento curvilíneo. Nesse ins- tante, a velocidade vetorial é v , a aceleração escalar tem módulo α e apenas duas forças agem na partícula: F 1 e F 2 . Trajetória θ F1 F2 v No instante citado, é correto que: a) o movimento é acelerado e F 1 = m α; b) o movimento é retardado e F 1 = m α; c) o movimento é acelerado e F 1 + F 2 cos θ = m α; d) o movimento é retardado e F 1 + F 2 cos θ = m α; e) o movimento é retardado e F 1 + F 2 sen θ = m α. Resolução: O movimento é retardado, pois a resultante de F 1 e F 2 na direção tan- gencial à trajetória tem sentido oposto a V . F t = m α F 1 + F 2 cos θ = m α Resposta: d 10 (Cesgranrio-RJ) Uma nave Mariner permanece alguns meses em órbita circular em torno de Marte. Durante essa fase, as forças que agem sobre a nave são, em um referencial inercial ligado ao centro do planeta: c) e) b) a) d) Resolução: O movimento da nave é circular e uniforme sob a ação da força gravi- tacional que faz o papel de resultante centrípeta. Resposta: c 11 Um avião de massa 4,0 toneladas descreve uma curva circular de raio R = 200 m com velocidade escalar constante igual a 216 km/h. Qual a intensidade da resultante das forças que agem na aeronave? Resolução: No movimento circular e uniforme, a resultante das forças que agem no avião é centrípeta. v = 216 km/h = 2163,6 m/s = 60 m/s, m = 4,0 t = 4,0 · 103 kg e R = 200 m F cp = m v 2 R ⇒ Fcp = 40 · 103 (60)2 200 (N) Donde: F cp = 7,2 · 104 N = 72 kN Resposta: 72 kN 12 Considere um carro de massa 1,0 · 103 kg percorrendo, com ve- locidade escalar constante, uma curva circular de 125 m de raio, conti- da em um plano horizontal. Sabendo que a força de atrito responsável pela manutenção do carro na curva tem intensidade 5,0 kN, determine o valor da velocidade do carro. Responda em km/h. Resolução: F cp = F at ⇒ m v 2 R = Fat 1,0 · 103 v2 125 = 5,0 · 10 3 Donde: v = 25 m/s = 90 km/h Resposta: 90 km/h 173Tópico 3 – Resultantes tangencial e centrípeta (08) Incorreta. F cp varia em direção ao longo do trecho BC, portanto é variável. (16) Correta. ΔV = V D – V A VD Teorema de Pitágoras: VA |ΔV|2 = V2 + V2 |ΔV | = V 2 Resposta: 21 19 Considere uma partícula de massa M descrevendo movimento circular e uniforme com velocidade de intensidade v. Se o período do movimento é igual a T, a intensidade da força resultante na partícula é: a) M v T ; d) π M v T ; b) 2M v T ; e) 2π v T . c) 2π M v T ; Resolução: A força resultante no MCU é centrípeta; logo: F cp = M v 2 R (I) MCU: v = ΔsΔt = 2 π R T R = v T 2 π (II) Substituindo (II) em (I): F cp = M v 2 v T 2 π F cp = 2 π M vT Resposta: c 20 Um ponto material de massa 4,0 kg realiza movimento circular e uniforme ao longo de uma trajetória contida em um plano vertical de 7,5 m de raio. Sua velocidade angular é ω = 1,0 rad/s e, no local, |g | = 10 m/s2. No ponto A indicado na f igura, além da força da gra- vidade P , age no ponto material somente uma outra força, F . Carac- terize F , calculando sua intensidade e indicando graf icamente sua orientação. O ω A P g Resolução: A força F somada vetorialmente com P deve originar uma resultante centrípeta, conforme indica a f igura a seguir. F + P = F cp 0 A F Fcp P g Teorema de Pitágoras: F2 = P2 + F2 cp F2 = (m g)2 + (m ω2 R)2 F2 = (4,0 · 10)2 + (4,0 · 102 · 7,5)2 ⇒ F = 50 N Resposta: 0 A F |F | = 50 N 21 A partícula indicada na f igura descreve uma trajetória circu- lar de raio R e centro O. Ao passar pelo ponto A, verif ica-se que sobre ela agem apenas duas forças: F 1 e F 2 . θ O A F1 F2 v Sendo m a massa da partícula e v a sua velocidade vetorial em A, é correto que: a) F 1 = m v 2 R ; b) F 2 = m v 2 R ; c) F 1 + F 2 = m v 2 R ; d) F 1 + F 2 cos θ = m v 2 R ; e) F 1 + F 2 cos θ + F’ = m v 2 R , em que F’ é a força centrífuga. Resolução: Na direção radial: F 1 + F 2r = m v 2 R F 1 + F 2 cos θ = m v 2 R Resposta: d 174 PARTE II – DINÂMICA 22 Um bloco de massa 4,0 kg descreve movimento circular e uni- forme sobre uma mesa horizontal perfeitamente polida. Um f io ideal, de 1,0 m de comprimento, prende-o a um prego C, conforme ilustra o esquema: 1,0 m C Se a força de tração no f io tem intensidade 1,0 · 102 N, qual a velocidade angular do bloco, em rad/s? Resolução: F cp = T ⇒ m ω2 R = T 4,0 ω2 1,0 = 1,0 · 102 ω = 5,0 rad/s Resposta: 5,0 rad/s 23 Na f igura abaixo, uma esfera de massa m = 2,0 kg descreve so- bre a mesa plana, lisa e horizontal um movimento circular. A esfera está ligada por um f io ideal a um bloco de massa M = 10 kg, que permanece em repouso quando a velocidade da esfera é v = 10 m/s. m r M Orifício Sendo g = 10 m/s2, calcule o raio da trajetória da esfera, observando a condição de o bloco permanecer em repouso. Resolução: (I) Equilíbrio de M: T = M g ⇒ T = 10 · 10 (N) T = 100 N (II) MCU de m: T = m v 2 R ⇒ 100 = 2,0 (10)2 R R = 2,0 m Resposta: 2,0 m 24 A f igura representa duas esferas iguais, E 1 e E 2 , que, ligadas a f ios inextensíveis e de massas desprezíveis, descrevem movimento circular e uniforme sobre uma mesa horizontal perfeitamente lisa: L L (1) (2) E1 E2 Desprezando o efeito do ar e supondo que E 1 e E 2 se mantenham sempre alinhadas com o centro, aponte a alternativa que traz o valor correto da relação T 1 /T 2 , respectivamente das forças de tração nos f ios (1) e (2): a) 2; b) 3 2 ; c) 1; d) 2 3 ; e) 1 2 . Resolução: MCU de E 1 : T 1 = m ω2 2 L ⇒ T 1 2 = m ω 2 L (I) MCU de E 2 : T 2 – T 1 = m ω2 · L (II) De (I) e (II): T 2 – T 1 = T 1 2 ⇒ T2 = 3 T 1 2 ∴ T 1 T 2 = 23 Resposta: d 25 E.R. Um carro percorre uma pista circular de raio R, contida em um plano horizontal. O coef iciente de atrito estático entre seus pneus e o asfalto vale μ e, no local, a aceleração da gravidade tem módulo g. Despreze a infl uência do ar. a) Com que velocidade linear máxima o carro deve deslocar-se ao longo da pista, com a condição de não derrapar? b) A velocidade calculada no item anterior depende da massa do carro? MCU P C Fn Fat Resolução: a) Na f igura, estão representadas as forças que agem no carro: A reação normal da pista (F n ) equilibra o peso do carro (P ): F n = P ⇒ F n = m g (I) Já a força de atrito ( F at ) é a resultante centrípeta que mantém o carro em movimento circular e uniforme (MCU): F at = F cp ⇒ F at = m v 2 R (II) Como não há derrapagem, o atrito entre os pneus do carro e o solo é do tipo estático. Assim: F at ≤ F atd ⇒ F at ≤ μ F n (III) Substituindo (I) e (II) em (III), vem: m v 2 R ≤ μ m g ⇒ v ≤ μ g R Logo: v máx = μ g R b) A velocidade calculada independe da massa do carro. 175Tópico 3 – Resultantes tangencial e centrípeta 26 (Unesp-SP) Numa calçada de uma rua plana e horizontal, um patinador vira em uma esquina, descrevendo um arco de circunfe- rência de 3,0 m de raio. Admitindo-se g = 10 m/s2 e sabendo-se que o coef iciente de atrito estático entre as rodas do patim e a calçada é μ e = 0,30, a máxima velocidade com que o patinador pode realizar a ma- nobra sem derrapar é de: a) 1,0 m/s. c) 3,0 m/s. e) 9,0 m/s. b) 2,0 m/s. d) 5,0 m/s. Resolução: A força de atrito que a calçada aplica nas rodas do patim faz o papel da resultante centrípeta: F at = F cp = m V 2 R A velocidade escalar máxima ocorrerá quando a força de atrito tiver intensidade máxima: µ e m g = m V2 máx R V2 máx = µ e g R V máx = µ e g R V máx = 0,30 · 10 · 3,0 (m/s) V máx = 3,0 m/s Resposta: c 27 Um carro deverá fazer uma curva circular, contida em um plano horizontal, com velocidade de intensidade constante igual a 108 km/h. Se o raio da curva é R = 300 m e g = 10 m/s2, o coef iciente de atrito estático entre os pneus do carro e a pista (μ) que permite que o veículo faça a curva sem derrapar: a) é μ ≥ 0,35; b) é μ ≥ 0,30; c) é μ ≥ 0,25; d) é μ ≥ 0,20; e) está indeterminado, pois não foi dada a massa do carro. Resolução: Atrito estático: F at F atd ⇒ F at µ · F n (I) F at = F cp ⇒ F at = m v 2 R (II) F N = P ⇒ F N = m g (III) Substituindo (II) e (III) em (I), temos: m v2 R µ m g ⇒ µ v2 g R Sendo V = 108 km/h = 30 m/s, g = 10 m/s2 e R = 300 m, temos: µ (30) 2 10 · 300 ⇒ µ 0,30 Resposta: b 28 (UFPel-RS – mod.) Um estudante, indo para a faculdade em seu carro, desloca-se num plano horizontal, no qual descreve uma trajetória curvilínea de 48 m de raio, com uma velocidade constante em módulo. Entre os pneus e a pista, o coef iciente de atrito estático é de 0,30. v2 D ir eç ão in ic ia l Direção final B A 0 v1 Considerando-se a f igura, a aceleração da gravidade no local, com mó- dulo de 10 m/s2, e a massa do carro de 1,2 t, faça o que se pede: a) Caso o estudante resolva imprimir uma velocidade de módulo 60 km/h ao carro, ele conseguirá fazer a curva? Justif ique. b) A velocidade escalar máxima possível, para que o carro possa fazer a curva, sem derrapar, irá se alterar se diminuirmos sua massa? Explique. Resolução: a) Cálculo da velocidade máxima do carro na curva: F at F atd ⇒ m V 2 R µe m g V µ e g R ⇒ V máx = µ e g R V máx = 0,30 · 10 · 48 (m/s) V máx = 12 m/s = 43,2 km/h O carro não conseguirá fazer a curva (irá derrapar), pois V V máx (60 km/h 43,2 km/h). b) V máx independe de m. Respostas: a) Não, pois a velocidade do carro (60 km/h) é maior que a máxima permitida (43,2 km/h); b) Não, pois a velocidade máxima independe da massa do carro. 29 E.R. Na f igura seguinte, um carrinho de massa 1,0 kg descreve movimento circular e uniforme ao longo de um trilho envergado em forma de circunferência de 2,0 m de raio: B A 2,0 m O g A velocidade escalar do carrinho vale 8,0 m/s, sua trajetória pertence a um plano vertical e adota-se |g | = 10 m/s2. Supondo que os pontos A e B sejam, respectivamente, o mais alto e o mais baixo do trilho, determine a intensidade da força que o trilho exerce no carrinho: a) no ponto A; b) no ponto B. 178 PARTE II – DINÂMICA O 1,0 m g A lata passa pelo ponto mais alto dos loopings com velocidade de 5,0 m/s e adota-se, no local, |g |= 10 m/s2. Desprezando as dimensões da lata e do bloco, determine a intensidade da força vertical que o blo- co troca com o fundo da lata no ponto mais alto dos loopings. Resolução: No ponto mais alto dos loopings, temos: F n + P = F cp ⇒ F n = m v 2 R – m · g F n = 2,0 5,0 2 1,0 – 10 ⇒ F n = 30 N Resposta: 30 N 35 E.R. No esquema abaixo, um homem faz com que um balde cheio de água, dotado de uma alça f ixa em relação ao recipiente, realize uma volta circular de raio R num plano vertical. A g Sabendo que o módulo da aceleração da gravidade vale g, respon- da: qual a mínima velocidade linear do balde no ponto A (mais alto da trajetória) para que a água não caia? Resolução: Ao passar em A com a mínima velocidade admissível, a água não troca forças verticais com o balde. Assim, a única força vertical que nela age é a da gravidade, que desempenha o papel de resultante centrípeta: Ponto A: P = F cp m g = m v2 mín R Donde: v mín = g R Nota: • v mín independe da massa de água. O A R P = Fcp v 36 A ilustração abaixo representa um globo da morte, dentro do qual um motociclista realiza evoluções circulares contidas em um plano vertical. O raio da circunferência descrita pelo conjunto moto-piloto é igual ao do globo e vale R. A g O ponto A é o mais alto da trajetória e por lá o conjunto moto-pi- loto, que tem massa M, passa com a mínima velocidade admissível para não perder o contato com a superfície esférica. Supondo que a aceleração da gravidade tenha módulo g, analise as proposições a seguir: (01) No ponto A, a força vertical trocada pelo conjunto moto-piloto e o globo é nula. (02) No ponto A, a força resultante no conjunto moto-piloto tem in- tensidade M g. (04) No ponto A, o peso do conjunto moto-piloto desempenha a fun- ção de resultante centrípeta. (08) No ponto A, a velocidade do conjunto moto-piloto tem módulo g R . (16) Se a massa do conjunto moto-piloto fosse 2M, sua velocidade no ponto A teria módulo 2 g R . Dê como resposta a soma dos números associados às proposições corretas. Resolução: (01) Correta. O conjunto moto-piloto não comprime o globo. (02) Correta. A única força atuante no conjunto moto-piloto no ponto A é a força peso (M g), que é a resultante. (04) Correta. No ponto A: F t = 0 e F cp = P (08) Correta. m v2 m ín R = m g ⇒ vmín = g R (16) Incorreta. A velocidade no ponto A independe da massa do conjunto moto-piloto. Resposta: 15 37 (Unicamp-SP) Uma atração muito popular nos circos é o “Globo da Morte”, que consiste em uma gaiola de forma esférica no interior da qual se movimenta uma pessoa pilotando uma motocicleta. Considere um globo de raio R = 3,6 m. 179Tópico 3 – Resultantes tangencial e centrípeta C D A B R O g a) Reproduza a f igura, fazendo um diagrama das forças que atuam sobre a motocicleta nos pontos A, B, C e D sem incluir as forças de atrito. Para efeitos práticos, considere o conjunto piloto + motoci- cleta como sendo um ponto material. b) Qual a velocidade mínima que a motocicleta deve ter no ponto C para não perder o contato com o interior do globo? Adote |g | = 10 m/s2. Resolução: a) Diagrama de forças: C D A B O FC FD FA FB PP P P em que: F = força aplicada pelo apoio P = peso do conjunto b) Ponto C: F C = 0 F cp = P ⇒ m V2 mín R = m g V mín = g R ⇒ V mín = 10 · 3,6 (m/s) V mín = 6,0 m/s Respostas: a) 0 F: força aplicada pelo apoio P: peso do conjunto C A D B FC FD FB FA P P P P b) 6,0 m/s Na f igura a seguir, vemos, de cima, um antigo toca-discos apoiado sobre uma mesa horizontal. Sobre o prato do aparelho, que em opera- ção gira no sentido horário, foi colocada uma pequena moeda M, que não escorrega em relação à superfície de apoio. V I IIIIIIV M O toca-discos é ligado e, depois de funcionar normalmente duran- te certo intervalo de tempo, é desligado. O gráf ico a seguir mostra a variação da intensidade v da velocidade tangencial de M em função do tempo t. 0 t1 t2 t3 t v Com base neste enunciado, responda aos três testes seguintes: 38 Qual das setas numeradas de I a V melhor representa a força resultante em M num instante do intervalo de 0 a t 1 ? a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V. Resolução: Intervalo de 0 a t 1 : movimento circular acelerado. Seta ll MovimentoM Ft Fcp F Resposta: b 39 Qual das setas numeradas de I a V melhor representa a força resultante em M num instante do intervalo de t 1 a t 2 ? a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V. Resolução: Intervalo de t 1 a t 2 : movimento circular e uniforme. Seta III MovimentoM FcpF = Resposta: c 180 PARTE II – DINÂMICA 40 Qual das setas numeradas de I a V melhor representa a força resultante em M num instante do intervalo de t 2 a t 3 ? a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V. Resolução: Intervalo de t 2 a t 3 : movimento circular e retardado. Seta lV MovimentoMFt Fcp F Resposta: d 41 Na f igura, está representado um pêndulo em oscilação num plano vertical. O f io é inextensível e de massa desprezível e o ar não infl uencia signif icativamente o movimento do sistema. Na posição C, o f io apresenta-se na vertical. Nas posições A e E, ocorre inversão no sentido do movimento. A B D C E Reproduza o esquema do pêndulo desenhando nas posições A, B, C, D e E cinco setas representativas das forças resultantes F A , F B , F C , F D e F E na esfera pendular. Resolução: Os desenhos abaixo independem do sentido do movimento do pên- dulo. A B DC E FA FB FC FD FE Resposta: A B C E D FB FC FE FD FA 42 Uma partícula de massa 3,0 kg parte do repouso no instante t 0 = 0, adquirindo movimento circular uniformemente acelerado. Sua aceleração escalar é de 4,0 m/s2 e o raio da circunferência suporte do movimento vale 3,0 m. Para o instante t 1 = 1,0 s, calcule a intensidade da força resultante sobre a partícula. Resolução: (I) MUV: v = v 0 + α t v = 4,0 · 1,0 (m/s) ⇒ v = 4,0 m/s (II) F cp = m v 2 R ⇒ Fcp = 3,0 (4,0)2 3,0 (N) F cp = 16 N (III) F t = m α ⇒ F t = 3,0 · 4,0 (N) ⇒ Ft = 12 N (IV) Teorema de Pitágoras: F2 = F2 t + F2 cp F2 = (12)2 + (16)2 ⇒ F = 20 N F O Ft Fcp Resposta: 20 N 43 Considere um satélite artif icial em órbita circular em torno da Terra. Seja M a sua massa e R o raio de curvatura de sua trajetória. Se a força de atração gravitacional exercida pela Terra sobre ele tem inten- sidade F, pode-se af irmar que seu período de revolução vale: a) M R F ; d) 4π 2 M R F ; b) 2π M R F ; e) Não há dados para o cálculo. c) 2π M R F ; Resolução: F = F cp ⇒ F = M V 2 R (I) V = 2 π R T (II) Substituindo (II) em (I), temos: F = M R 2 π R T 2 F = (2 π)2 M R2 R · T2 ⇒ T = (2 π) 2 M R F T = 2 π M RF Resposta: b 44 (Unifesp-SP) Antes de Newton expor sua teoria sobre a força da gravidade, defensores da teoria de que a Terra se encontrava imóvel no centro do Universo alegavam que, se a Terra possuísse movimento de rotação, sua velocidade deveria ser muito alta e, nesse caso, os ob- jetos sobre ela deveriam ser arremessados para fora de sua superfície, a menos que uma força muito grande os mantivesse ligados à Terra. Considerando-se o raio da Terra igual a 7 · 106 m, o seu período de rota- ção de 9 · 104 s e π2 = 10, a força mínima capaz de manter um corpo de massa 90 kg em repouso sobre a superfície da Terra, num ponto sobre a linha do Equador, vale, aproximadamente: a) 3 N. d) 450 N. b) 10 N. e) 900 N. c) 120 N. 183Tópico 3 – Resultantes tangencial e centrípeta Resolução: θ F Fcp P cos θ = P F ⇒ cos θ = 1 n (I) sen2 θ + cos2 θ = 1 sen2 θ + 1 n2 = 1 sen θ = 1 n n2 – 1 (II) tg θ = F cp P ⇒ sen θ cos θ = m v 2 R m g Donde: R = cosθ sen θ v 2 g (III) Substituindo (I) e (II) em (III), temos: R = 1 n 1 n n2 – 1 v 2 g R = 1 5 3 2 – 1 · (40) 2 10 (m) Donde: R = 120 m Resposta: 120 m 52 (Fuvest-SP) Um avião voa horizontalmente sobre o mar com ve- locidade constante de módulo V, a ser determinado. Um passageiro, sentado próximo ao centro de massa do avião, observa que a super- fície do suco de laranja, que está em um copo sobre a bandeja f ixa ao seu assento, permanece paralela ao plano da bandeja. Estando junto à janela e olhando numa direção perpendicular à da trajetória do avião, o passageiro nota que a ponta da asa esquerda do avião tangencia a linha do horizonte, como mostra a f igura A. O piloto anuncia que, devido a um problema técnico, o avião fará uma curva de 180° para retornar ao ponto de partida. Durante a curva, o avião incli- na-se para a esquerda, de um ângulo θ = 30°, sem que haja alterações no módulo de sua velocidade e na sua altura. O passageiro, olhando sempre na direção perpendicular à da velocidade do avião, observa que a ponta da asa esquerda permanece durante toda a curva apon- tando para um pequeno rochedo que afl ora do mar, como represen- tado na f igura B. O passageiro também nota que a superfície do suco permaneceu paralela à bandeja e que o avião percorreu a trajetória semicircular de raio R (a ser determinado) em 90 s. Percebe, então, que com suas observações, e alguns conhecimentos de Física que adquiriu no seu colégio, pode estimar a altura e a velocidade do avião. Céu Mar Asa esquerda do avião Mar Rochedo Asa esquerda do avião Figura A Figura B Note e adote: π = 3; sen 30° = 0,50; cos 30° = 0,86; tg 30° = 0,60 Módulo da aceleração da gravidade: g = 10 m · s–2 As distâncias envolvidas no problema são grandes em relação às dimensões do avião. a) Encontre uma relação entre θ, V, R e g para a situação descrita. b) Estime o módulo V da velocidade do avião, em m/s ou km/h. c) Estime o valor da altura H, acima do nível do mar, em metros, em que o avião estava voando. Resolução: a) Durante a curva, o avião pode ser apresentado como fazemos a seguir. Sx θ θ Sy S P = força da gravidade (peso) S = força de sustentação do ar R B H C Rochedo Mar A força de sustentação S , aplicada pelo ar, é perpendicular às asas do avião. A componente vertical S y equilibra o peso e a componente horizon- tal S x faz o papel de resultante centrípeta. No triângulo retângulo destacado, temos: 184 PARTE II – DINÂMICA tg θ = S x S y = F cp P ⇒ tg θ = m V2 R m g tg θ = V 2 g R b) O avião descreve um arco de comprimento π · R (meia-volta) em 90 s. Portanto: V = ΔsΔt = π R Δt = 3 R 90 ⇒ V = R 30 R = 30 V (SI) Substituindo o valor de R na expressão tg θ, temos: tg θ = V 2 g 30 V ⇒ 0,60 = V g 30 V = 0,60 10 30 (m/s) V = 180 m/s = 648 km/h c) O valor do raio da curva f ica determinado por: R = 30 · V R = 30 · 180 ⇒ R = 5 400 m Retomando-se a f igura anterior e considerando-se o triângulo re- tângulo ABC, calculamos a altura H do avião. tg θ = HR ⇒ 0,60 = H 5 400 Donde: H = 3 240 m Respostas: a) tg θ = V 2 g R ; b) 180 m/s ou 648 km/h; c) 3 240 m 53 No esquema a seguir, representa-se um pêndulo cônico ope- rando em condições ideais. A esfera pendular descreve movimento circular e uniforme, num plano horizontal, de modo que o afasta- mento angular do f io em relação à vertical é θ. Sendo g o módulo do campo gravitacional do local e r o raio da circunferência descrita pela esfera pendular: r θ θ g a) calcule o período de revolução do pêndulo; b) discuta, justif icando, se o período calculado no item anterior seria modif icado se o pêndulo fosse levado para um outro local, de ace- leração da gravidade igual a g 4 . Resolução: a) tg θ = F cp m g = m ω2 r m g ω2 = g r tg θ (I) ω = 2 π T ⇒ ω2 = (2 π) 2 T2 (II) De (I) e (II), vem: (2 π)2 T = g r tg θ ⇒ T = 2 π rg tg θ b) Como T é inversamente proporcional à raiz quadrada de g, reduzin- do-se a intensidade da aceleração da gravidade a g 4 , T dobra. Respostas: a) T = 2 π r g tg θ ; b) O período f icaria multiplicado por 2, já que ele é inversamente proporcional à raiz quadrada da intensidade da aceleração da gravidade. 54 (Mack-SP) Na f igura, o f io ideal prende uma partícula de massa m a uma haste vertical acoplada a um disco horizontal que gira com velocidade angular ω constante. Sabendo que a distância do eixo de rotação do disco ao centro da partícula é igual a 0,10 3 m e que g = 10 m/s2, calcule a velocidade angular do disco. ω 60° m g Resolução: Fcp 60° P T tg 60° = F cp P tg 60° = m ω 2 R m · g 3 = ω2 0,10 3 10 ω = 10 rad/s Resposta: 10 rad/s 55 (Unicamp-SP) As máquinas a vapor, que foram importantíssimas na Revolução Industrial, costumavam ter um engenhoso regulador da sua velocidade de rotação, como é mostrado esquematicamente na f i- gura abaixo. As duas esferas afastavam-se do eixo em virtude de sua rotação e acionavam um dispositivo regulador da entrada de vapor, controlando assim a velocidade de rotação, sempre que o ângulo θ atingia 30°. Considere hastes de massas desprezível e comprimento L = 0,2 m, com esferas de massas m = 0,18 kg em suas pontas, d = 0,1 m e 3 1,8. Adote g = 10 m/s2. θ FT Fcp mg 185Tópico 3 – Resultantes tangencial e centrípeta Articulação ω m d θ L Eixo de rotação m a) Faça um diagrama indicando as forças que atuam sobre uma das esferas. b) Calcule a velocidade angular ω para a qual θ = 30°. Resolução: a) F P em que: P = força da gravidade (peso) F = força aplicada pela haste b) (I) sen θ = R – d L R – d = L sen 30° R – 0,1 = 0,2 · 1 2 R = 0,2 m d θ L R (II) tg θ = F cp P tg θ = m ω 2 R m g Donde: ω = g tg θ R Sendo g = 10 m/s2, tg θ = 33 1,9 3 = 0,6 e R = 0,2 m, vem: ω = 10 · 0,6 0,2 (rad/s) Donde: ω 5,5 rad/s F P Fcp θ Respostas: a) P = força da gravidade (peso) F = força aplicada pela haste F P b) 5,5 rad/s 56 Em alguns parques de diversões, existe um brinquedo chamado rotor, que consiste em um cilindro oco, de eixo vertical, dentro do qual é introduzida uma pessoa: R Suporte ω g De início, a pessoa apoia-se sobre um suporte, que é retirado automa- ticamente quando o rotor gira com uma velocidade adequada. Admita que o coef iciente de atrito estático entre o corpo da pessoa e a parede interna do rotor valha µ. Suponha que o módulo da aceleração da gra- vidade seja g e que o rotor tenha raio R. Calcule a mínima velocidade angular do rotor, de modo que, com o suporte retirado, a pessoa não escorregue em relação à parede. Resolução: Equilíbrio na vertical: F at = m g F at µ F N m g µ F n (I) Fat Fn mg 188 PARTE II – DINÂMICA (I) sen 60° = r R r = 3 2 R (II) tg 60° = F cp P 3 = m ω 2 r m g ⇒ ω2 = 3 g r ω2 = 3 g 3 2 R ⇒ ω = 2 g R Resposta: 2 g R 62 Um automóvel está em movimento circular e uniforme com ve- locidade escalar v, numa pista sobrelevada de um ângulo θ em relação à horizontal. Sendo µ o coef iciente de atrito estático entre os pneus e a pista, R o raio da trajetória e g a intensidade do campo gravitacional, determine o valor máximo de v, de modo que não haja deslizamento lateral do veículo. θ C Resolução: θ θ θ Faty Fat Fny Fn Fnx Fatx C P • Equilíbrio na vertical: F ny = F aty + P F n cos θ = µ F n sen θ + m g Do qual: F n = m g cos θ – µ sen θ (I) Carro em movimento circular e uniforme na iminência de escorregar rampa acima: F nx + F atx = F cp F n sen θ + µ F n cos θ = F cp Do qual: F n (sen θ + µ cos θ) = m v2 máx R (II) Substituindo (I) em (II), temos: m · g cos θ – µ sen θ (sen θ + µ cos θ) = m v2 máx R Donde: vmáx = R g (sen θ + µ cos θ) cos θ – µ sen θ Resposta: R g (sen θ + µ cos θ) cos θ – µ sen θ 63 (Fuvest-SP) Um brinquedo consiste em duas pequenas bolas A e B, de massas iguais a M, e um f io fl exível e inextensível: a bola B está presa na extremidade do f io e a bola A possui um orifício pelo qual o f io passa livremente. Para operar adequadamente o dispositivo, um jovem (com treino) deve segurar a extremidade livre do f io e girá-la de maneira uniforme num plano horizontal, de modo que as bolas reali- zem movimentos circulares e horizontais, de mesmo período, mas de raios diferentes. Nessa situação, como indicado na f igura 1, as bolas permanecem em lados opostos em relação ao eixo vertical f ixo, que apenas toca os pontos O e Q do f io. Na f igura 2, estão indicados os raios das trajetórias de A e B, bem como os ângulos que os dois segmentos do f io fazem com a horizontal. α θ A BR1 R2 Q Figura 2 O A B O Q Figura 1 Note e adote: Os atritos e a infl uência do ar são desprezíveis. A aceleração da gravidade tem módulo g = 10 m/s2. sen θ 0,4; cos θ 0,9 e π 3. Determine: a) a intensidade F da força de tração, admitida constante em toda a extensão do f io, em função de M e g; b) a razão K = sen α / sen θ entre os senos dos ângulos indicados na f i- gura 2; c) o número de voltas por segundo que o conjunto deve realizar no caso de o raio R 2 da trajetória descrita pela bola B ser igual a 0,10 m. Resolução: Esquema de forças nas bolas A e B: Mg F F F Mg θ θ α R1 R2 B A 189Tópico 3 – Resultantes tangencial e centrípeta a) Equilíbrio de B na vertical: F sen θ = M g ⇒ F 0,4 = M g F = 2,5 M g b) Equilíbrio de A na vertical: F sen α = F sen θ + M g 2,5 M g sen α = 2,5 M g 0,4 + M g 2,5 sen α = 2,0 ⇒ sen α = 0,8 K = sen α sen θ ⇒ K = 0,8 0,4 ⇒ K = 2 c) Movimento circular e uniforme de B: (I) F cpB = F cos θ ⇒ M ω2 R2 2 = 2,5 M g cos θ ω2 0,10 = 2,5 · 10 · 0,9 ⇒ ω = 15 rad/s (II) 2 π f = ω ⇒ 2 3 f = 15 f = 2,5 Hz Respostas: a) F = 2,5 M g; b) K = 2; c) 2,5 Hz 64 Com relação à força centrífuga, aponte a alternativa incorreta: a) É ela que “puxa” o nosso corpo para fora da trajetória quando faze- mos uma curva embarcados em um veículo qualquer. b) Numa mesma curva, sua intensidade cresce com o quadrado da velocidade do corpo. c) Tem a mesma intensidade que a força centrípeta, porém sentido oposto. d) É uma força de inércia, que só é def inida em relação a referenciais acelerados. e) É a reação à força centrípeta. Resposta: e 65 Considere a Lua (massa M) em sua gravitação em torno da Terra. Admita que, em relação à Terra, a órbita da Lua seja circular de raio R e que sua velocidade vetorial tenha intensidade v. Analise os esquemas abaixo nos quais estão representadas forças na Lua com suas respectivas intensidades. Lua Terra M v2 R M v2 R M v2 R M v2 R Esquema I Lua Terra Esquema II Lua Terra Esquema III Ilustração com tamanhos e distâncias fora de escala. Para um referencial na Terra e um na Lua, os esquemas corretos são, respectivamente: a) I e II; b) I e III; c) II e III; d) I e I; e) II e II. Resposta: a 66 Considere um cilindro oco de raio R, como o esquematizado a seguir, em rotação em torno de um eixo vertical com velocidade angu- lar igual a ω. Uma pessoa de massa m está acompanhando o movimen- to do sistema apenas encostada na parede interna do cilindro, porém na iminência de escorregar. As forças horizontais F 1 (reação normal da parede) e F 2 (F 2 = – F 1 ) têm sentidos opostos e estão aplicadas no cor- po da pessoa. ω R F2 F1 A respeito dessa situação, analise as proposições abaixo: (01) Diminuindo-se a velocidade angular do cilindro aquém do valor ω, a pessoa escorrega em relação à parede, deslocando-se para baixo. (02) Aumentando-se a velocidade angular do cilindro além do valor ω, a pessoa escorrega em relação à parede, deslocando-se para cima. (04) Em relação a um referencial externo, f ixo no solo, não deve ser considerada F 1 . F 2 é a resultante centrífuga, de intensidade dada por m ω2 / R. (08) Em relação a um referencial externo, f ixo no solo, não deve ser considerada F 2 . F 1 é a resultante centrípeta, de intensidade dada por m ω2 R. (16) Em relação a um referencial interno, f ixo no cilindro, devem ser consideradas F 1 e F 2 , ambas com intensidade dada por m ω2 R. F 2 é a força centrífuga que equilibra F 1 . Dê como resposta a soma dos números associados às proposições corretas. Resposta: 25