Lívro Noções de Probabilidade e Estatística - Magalhães parte 2 (1)

Lívro Noções de Probabilidade e Estatística - Magalhães parte 2 (1)

(Parte 1 de 10)

t68Capítulo 6: Variáveis Aleatórías Contínuas ruxilia na atribuição de probabilidades. Assim, paÍa a variável aleatória contínua

X representando a profundidade do lençol de água, a função densidade f é dada )0r r(,) : { t:',para2}<r<100;pafar ( 20 our > 100.

Tendo em vista que, nesse exemplo, a função densidade é bastante ;imples, a probabilidade de que a profundidade do lençol esteja em qm dado rrtcrvalo pode ser calculada com o uso de áreas de figuras planas. Assi\r, para rbter a probabilidade de uma profundidade pelo menos igual a 25, mas injerior a

,, portanto, P(25 < X < 29) : 4180.

Considerando o caso geral, vamos nos ocupar agora em formalizaÍ as déias discutidas anteriormente. Faremos isso através da definição apresentada a eguir.

)efinição 6.1: Função densidade de probabilidade

Dizemos que /(r) é uma função contínua de probabilidade ou função ensidade de probabilidade para uma variável aleatória contínua X, se satisfaz tuas condições:

i) Í(r) ) 0, para todo r e ( - o, o); i) A área definida por f (r) é igual a 1.

(t. I Introdução

Com o auxílio do cálculo diferencial e integral, podemos caracterizar a condição i) através de r6I f@)dr:1.J-- Da mesma forma, para calcular probabilidades, temos que para a 1 b, f(r) dr ; a integral, acima, indica a írea sob a função / definida pelo intervalo [4, b]. Note que, pela forma como atribuímos as probabilidades no caso contínuo, teremos áreazero sob qualquer valor individual, isto é, P(X: k): O para qualquer k. Portanto, em se tratando de variáveis aleatórias contínuas, a probabilidade de ocorrência de um valor isolado é sempre zero e, consequentemente, as probabilidades calculadas sobre os intervalos lu,,bl,la,b), (o,b) e (a, b) são as mesmas, para qudisquer valores de a e b.

Exemplo 6.2: Arqueólogos estudaram uma certa região e estabeleceram um rnodelo teórico para a variável C, comprimento de fósseis da região (em cm). Suponha que C é uma variável aleatória contínua com a seguinte função densidade de probabilidade:

tG): se0(c120; caso contrário.

É imediato observar que /(c) é positiva. Através do gráfico da função, apresentado a seguir, podemos verificar com auxílio da fórmula da área de trapézio que área sob lk): ao : an x 2o : 1. 2

Concluímos que /(c) é efetivamente uma densidade. Tendo em vista a forma simples de /(c), o cálculo de probabilidades de interesse para esse exemplo poderá ser feito sem dificuldades através de áreas'

169 P(o<x<b): I-::

{y'*""D

170 Capítulo 6: Variáveis Aleatóriqs&t Introduçao

ë, rssim, temos que P(C < B) : 7lZS. tr

Exemplo 6.3; Num teste educacional com crianças, o tempo para arealização de Umit bateria de questões de raciocínio verbal e lógico é medido e anotado para ser €ttttlparado com um modelo teórico. Este teste é utilizado para identificar o descnvolvimento das crianças e auxiliar a aplicação de medidas corretivas. o ütodelo teórico considera T, tempo de teste rem minuto,s, como uma variável alcatória contínua com função densidade de probabilidade dada por:

h(t-+), se8(ú<L0; h, se10(t<15; 0, caso contrário.

o gráfico da função densidade é apresentado a seguir. Deve ser notado que, pela tlcrÍ'inição de /(ú), ela se anula parat ( 8 ou ú > 15.

A probabilidade de um fóssil, escorhido ao acaso nessa região, ap.comprimento inferior a. s-"- poa" ,", ã"rc"r"a" diretamenteìo granco oadensidade de probabitiauo",.ãrï;;ï figura a seguir:

Í(t):

J (t)

O cálculo da probabilidade envoÌve a soma de duas áreas:

172Capítulo 6: Variáveis Aleatórias Contínuas solicitamos ao leitor que verifique que a função /(ú") satisfaz a definiçáo de densidade. Para calcular P(9 < T < 72), vamos obter a área sob /(Í) no intervalo (9, 12]:

Segue, sem maiores dificuldades, que P(9 < f < L2): 7116, valor esse obtido pela soma do trapézio definido no intervalo (9, 10) com o retângulo determinado pelo intervalo [10, 12] (veja a figura).

Através do uso de integral, essa mesma probabilidade seria calculada da seguinte forma:

P(e< T<12): ["yçr10, Jg

: /n"

: In" r12l(t)dt+ | r(òdt Jto t r72q

^rt

- 4) dt + J,, *ot

: !(t- 4úì I'o * 1,1"40\2 -")ln'20"1,0

-_r_B0'20

(t.l Introdução173

A aplicação da integral foi dividida em duas partes, pois a função f(t) é diferente nos intervalos (9,10) e [10,12]. tr

Vamos, agora, apresentar as expressões para valor esperado, mediana, rnoda e variância no caso contínuo. A interpretação de cada uma dessas grandezas ó semelhante àquela discutida no caso discreto. Algumas das expressões são irlteradas devido à nova forma de atribuição de probabilidades.

Definição 6.2: Medidas de posição para varídveis aleatórias contínaas

O valor esperado ou média da variável aleat1tia contínua X, com função tlensidade dada por Í("),ê' dada pela expressão:

B(x) : ,: I:" f @) d,r.

A mediana é o valor Md qte tem a propriedade de: P(X > Md) > 0,5 e P(X,( Md) > 0,5'

A moda é o valor Mo tal qu'e, l@o):maxf(r)'

Observe que a definição de mediana é idêntica ao caso discreto. A média tcve su4 expressão alterada com a substituição da somatória pela integral e de pi ltor f (r)d,r.Para a moda, precisamos tomar o máximo da função densidade e, como antes, ela não é necessariamente única. A notação para o caso contínuo será iì mesma utilizada para as variáveis aleatórias discretas.

Definição 6.3: Variância para variáveis aleaÍórias contínuas Para uma variável aleatória x com densidade r @), a variância é dada por o, : f* {* - 1t)z f (r)dr. tr

Como no caso discreto, a variância é a medida de dispersão mais utilizada na prática. Aqui podemos, também, utilizar a expressão alternativa o2 : E(x2) - F2 , com E(X 2) sendo calculado como: Capítulo 6: Variáveis Aleatórias6,1 Introdução

E(x') : /_i* r@) d,rl::hrá* r)dc: Itcsultando na equação do 2o. grau:

L c2 l2o__t +o z l*u

, r@): {ÍT!:l/f;, :: ;,=1";l r l2o

* ^'l*u: o'5'

Vamos determinar a média e a variância de C. Temos,

"2o 7 c t -sPo t ct2or: l-"+(7+r\rtr-- 7 "tlto , L "'fro " n( 10 + 1) dc - _!_i_l n *ïl :

20 - 35 aoo : lo - nTIo:To":T'

Para a variância, calculamos primeiro E(C2):

,t,: ! tl'o * 7 "tl'o -4oo4lo ,aoslo : ,,

, fttt i,no ob: E(C'\ ' 500 235\2 275' ) - t-t- : ì-- ( r,) : ï :30,56cm2.

Logo, o desvio padrão é oc _ /fifi: b,5J cm.A moda segue diretamente do gráfico da futer a mediana nôrqmnc ;-::r---,-. tnção-densidade e é igual a 20,iilffi ï,ïltlï":*l:::J::':iiïi";irï'ïffi l'ilã:","ilïi,io',ï;lJli:ï ï ï,ï, iï :ï.:ï,ïl:',':: -":

;;*;; ;ï; ï Ïï :ffi ; ïiil" ï:ïlc ct e r a c o r d ç ã o d a d e ri n ç ao o " Á"àì.ï ", uï r;;:", J":, ;ïn"** :,

Md2+2oMd-4oo:0, ctr.ia solução é Md : 12,36 (o outro valor é abandonado por ser negativo). tr

As propriedades do valor esperado e da variância apresentadas para vtrriáveis aleatórias discretas permanecem válidas e a verificação pode ser feita alravés das propriedades da integral. A distribuição conjunta de duas ou mais vuriáveis aleatórias contínuâs é definida através da função densidade conjunta de prubabilidade. As idéias básicas são as mesmas do caso discreto, porém requerem t melhor conhecimento de cálculo diferencial e integral, envolvendo integrais dtrplas. Não desenvolveremos esse tópico e recòmendamos ao leitor interessado a eonsulta às referências.

l,lxcrcícios da Seção 6.1:

l. Verifique se as expressões a seguir são funções densidade de probabilidade (assuma que elas se anulam fora dos intervalos especificados).

*f(r)-3r, se 0( r1L.t--''' lr. /(r) : r2/2, r ) 0. ,. ' c. Í(r) : (r - 3)12, 3 S r S {-/?/ d. f (r) :2,0 I r z-2. l-/

Lf@)- -rj se-7r<z<0.

2. o tempo, em minutos, de digitação de um texto por secretárias experientes é rurna variável aleatória contínua X. Sua densidade é apresentada a seguir.

se0 ( r 12;se2(r<6: caso contrário.

E(c'): f'0",frf fi*r1

:1oo* T:T ErrlÍio,

{!t o desvio padrão é' a raiz quadrada..da variância e, como já menci lÏ1,ïiiï1ïã1'J;:"#3#'#ì:uniaaaËJ".n"aioud";;;l;;"i'oiiËnu,,{u"n

Exemplo 6'4: A variâver c apresentada no Exemp ro 6.2tinha a ..gui7ì" rdensidade: r,v Lvrilpru t).2 Unna ,

,( t." ("): { tf, +r1, se o( c12o; I O, câso contrário.

P(C>Md):s,5. ï(r):

'.qlll!.F

176Determine: (ltpltttlo ô: VuricÍveis Alecttórius CctntínuaE e{auaupoì: I

a. P(X > J).{,,

tb. p(l. ;ç < 4).'c.P(X <BlX>r)., - d. Um número b tal que,F(y s b): 0,6!_e. o vator esperado, à variância " árn"a;d" X. L \3' A quantia gasra anuarmenre, em mirhões g" r.1i:, na manurençao o ugr)tro.rnuma cidade do inrerior e r"pr"r"ntJãi""tu uuriau"r I, com densidad/ar.r, ,.",ffu):{i,-t, se 0,5{yq2.( U, caso contrário. Obtenha:

a. P(y < 0,8). b. P(Y > 1,51I'> 1).

c. O valor esperado e a variância de )..d. A medianadey.

4' o grrifico abaixo representa a densidade de uma variáver areatória x.

a. Obtenha o valor a" ol " ,/,..,.Ir.I)ctcr.min? p(X > 0l-r. s).'

tr. C"'irlcute A4d(X), E(X) e Vor(X) ã.2 Príncipais Modelos Contínuos

5. Numa certa região, fósseis de pequenos animais são freqüentemente encontrados e um arqueólogo estabeleceu o seguinte modelo de probabilidade para o comprimento, em centímetros, desses fósseis.

41 r 18: 8(z(10; 10(r(1;

( h",

Í(*):J i" * *' [ il,' a. Faça um gráfico da função densidadé; ''- b. Para um fóssil encontrado nessa região, determine a probabilidade do comprimento ser inferior a 6 centímetros? E de ser superioi a 5 mas inferigr a 10,5 cm? ( c. Encontre o valor esperado para o comprirnento dos fósseis da região.

6.2 Principais Modelos Contínuos

Apresentamos, nesta seção, os principais modelos teóricos para variáveis ttlcatórias contínuas. Vimos que, para caracterizar completamente uma variável ttlcatória contínua, precisamos fornecer sua função denìidade de probabilidade

11rrc, segundo sua definição, é uma função positiva e com integral iguãt a t.

DcfiniçQo 6.4: Modelo Uniforme Contínuo uma variável aleatória x tem distribuição (Iniforme contínua no irrtcrvalo fa,bl, a < b, se sua função densidade de próbabilioáoe o dada por:

caso contrário.

a1r1 caso contrário.

Usaremos a notação X - [J[a,b] para t lrriforme Contínuo no intervalo considerado. queXsegueomodelo

Note que não há restrição de valores paÍa cL e b, exceto o fato de a < b. Af rigura 6.I mostra a densidade do modelo U[a,b], para a)b > 0. tr t78Capítulo 6: Variáveis Aleatórias

Figura 6.7: Densidade Ilnifurme Contínua.

o modelo uniforme pressupõe que os valores possíveis para a variál aleatória têm todos a mesma probabilidade de ocorrência. seu válor esperado sua variância são obtidos através do cálculo de integrais, de tal forma que:

b2+ab+a2 -t logo, b2+ab+a2o2 : E(xz) - p, :-(+)'

Exemplo ó.5.' com o objetivo de verificar a resistência à pressão de água, oi técnicos de qualidade de uma empresa inspecionam os tubos ãe pvc produzidos os tubos inspecionados têm 6 metros de comprimento e são submetidos a pressões até, o aparecimento do primeiro vazamento, cuja distância a uma dagextremidades (fixada à priori) é anotada para fins de análise posterior. Escolhe-se um tubo ao acaso para ser inspecionado. Queremos calcular a probabilidade de que o vazamento esteja, no máximo, a I metro das extremidades.

vamos denotar por x a variável areatória que indica a distâncie correspondente ao vazamento. Admitindo igual probabilidade de ocorrência em

"-! ô,2 Principais Modelos Contínuos179 torlos os pontos, temos que X - U[0,6], com função densidade de probabilidade clncla por r@) : {',3; lï,ï=*ï,ã.1;

Para calcular a probabilidade de X e {[0,1]U [5,6]], podemos obter as drças dos dois retângulos hachuriados na figura a seguir. l@) segrrc, sem maiores dificuldades, que a probabilidade desejadaê 113. Esse mesmo cálculo poderia ser feito através de integrais da seguinte

P(x e {[0,1] u [5,6]]) :

Note que os intervaloj [0, 1] e [5,6] são disjuntos e, portanto, a

P(0<x<1)+P(5<x<6) l"'*0. * l,"uo.

rrl r16_l -L -l6lo' 6ls 1651

6-o+6-6:5' plob.rbilidadeiltlcrvalo. áu ,u uniáo é, ffsoma das piobabilidades de ocorrência de cada;[iElf\/l

Definição 6.5: fuIodelo Exponencial Uma variável aleatória contínua X,segue o modelo Exponencial "o_ puram.tro ,

A densidade está

X - Exp(a) para

Capítulo 6: Varitiveis Alecttórias o assumindo valores não) 0 se sua densidade é) 0: negati representada graficamente na Figura 6.2 e adotaremos a notÉindicar que X tem distribuiçã" ËÇ;;;;ju, o" parâmerro c.

r@):f ae-o*, rI o, ", caso contrário.

Fígura 6.2 : Densídade Exponencial. Í(x)

para calcular probabilidades com aintegrll correspondente, jâ qu" não-t".1ïo. exenrplos considerados até aqui. arri., -'^'

Exponencial, precisamos resolver g as figuras geométricas simples doJ

Note que a inclusão acirna.

Para obter a ;rnrÍos, porém, não

P(n < X < b) : -[,," oe-.,:I;dr : - "-a:t:1rt : s-ítn, *

"-art ou não dos extremos a e ó não altera o cálculo efetuado média e a variância, véìmos fazer esse

6,2 I'rincipais Modelos Contínuost81 êxprcssões finais. Temos, para X - Exp(a),

F:Ila e o2:I/az.

Exe ntplo 6.6: IJma indústria fabrica lâmpadas especiais que ficam em operação efiptinuamente. A empresa oferece a seus clientes a garantia de reposição, caso a lâlnpada dure menos de 50 horas. A vida útil dessas lâmpadas é modelada através drr clistribuição Exponencial com parâmetro 1/8000. Determine a proporção de trucas por defeito de fabricação. ' Cada lâmpada terá seu tempo de duração definido pela particular feirlização da variável aleatória. Isto é, a vida útil da lâmpada pode ser pensada ç(JlÌìo um valor escolhido de acordo com a densidade Exponencial de parâmetro l/t1000. Representemos, pela variável aleatória T, o tempo de vida da lâmpada, e assirn 7 - Exp(I18000). A probabilidade desejada será

P(T <50) : /t'#"- #'dt- 1 - s-*s : 0,006.

l)ussa forma, a proporção de trocas por defeito de fabricação será de nlrloximadamente 0,67o. Esse número é relativamente pequeno, o que não ê, lfprpresa, tendo em vista que, como o parâmetro é a:1/8000, a duração média drrs lâmpadas é Lr - If a':8000 horas. tr

A distribuição Exponencial tem sido amplamente utilizada nas áreas de l'Ísicn, engenharia, computação e biologia, entre outras. Variáveis como a vida útil dc equipamentos, tempos de falha, tempos de sobrevivência de espécies e irrlcrvalos entre solicitações de recursos são algumas das quantidades que têm sitlo modeladas, com bons resultados, pela Exponencial. Essa densidade tem, nincla, a vantagem de ter propriedades matemáticas interessantes, conforme

' ;:,:;;:ï"ïïïÏ ;","0", em minuto s, entre emi s sões c onsecurivas de rurra fonte radioativa é uma variável aleatória com distribuição Exponencial de lrrrrâmetro a : 0,2. Vamos calcular a probabilidade de haver uma emissão em um irrtcrvalo inferior a 2 minutos. Temos, n2P(x <D: Jno,z"-}'2:r 4*: - s-012t:13 = - "-0'a + 1 :0,3.

Calculemosl ugoro, a probabilidade do intervalo ser superior ou igual a 7, sirbencJo-se que ele é superior ou igual a 5 minutos.

será necessário aplicar a integração porcatculo e, apenas, apresentamos os

P(x > Tlx > s1 : P(x 2 7, x > s)r1x 2 s) ïi0,2 "-o'2t: 4,=Êì--J;0,2s-0,2t: 4,

P(x>t+slx)s):P(x>ú*s,x).çìP(X > s)

L'tt1tÍtttItt ô; Vuriúveitt AIeutórias _P(x>7)P(x>st -

.Ïtï"q e-o''d,r-7õ-- J" ae-''"4,_ - r-"'ln._ e-a(i+")

-a-ôzl& - - . - 1." e-4"

:0,67 . e-1'4:- e-7por ou,.o lado' p(x > 2) pode ser carcurada pero comprementarP(x < 2)' resurtando em 0,62. N"í";r;; iguardade J"*Jü,"res, sugere quP(x > 7lx > 5): P(x >2).

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