Geometria Básica Volume I, Manuais, Projetos, Pesquisas de Matemática

Baixe Geometria Básica Volume I e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Matemática, somente na Docsity! Módulo 1 Volume | 1 TO pd edição Dirce Uesu Pesco Roberto Geraldo Tavares Arnaut | Geometria Básica ad, b,  Universidades Consorciadas Governo do Estado do Rio de Janeiro Secretário de Estado de Ciência e Tecnologia Governador Alexandre Cardoso Sérgio Cabral Filho UENF - UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIRO Reitor: Almy Junior Cordeiro de Carvalho UERJ - UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO Reitor: Ricardo Vieiralves UNIRIO - UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO Reitora: Malvina Tania Tuttman UFRRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO Reitor: Ricardo Motta Miranda UFRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Reitor: Aloísio Teixeira UFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Reitor: Roberto de Souza Salles Geometria Básica SUMÁRIO Volume 1 - Módulo 1 Prefácio ________________________________________________________7 Aula 1 – Conceitos Básicos __________________________________________ 11 Aula 2 – Congruência de Triângulos __________________________________ 47 Aula 3 – Polígonos Convexos _______________________________________ 61 Aula 4 – Ângulos em uma Circunferência ______________________________ 73 Aula 5 – Quadriláteros Notáveis_____________________________________ 93 Aula 6 – Pontos Notáveis de um Triângulo ____________________________ 115 Aula 7 – Complementos _________________________________________ 129 Aula 8 – Segmentos Proporcionais __________________________________ 141 Aula 9 – Triângulos Semelhantes __________________________________ 155 Aula 10 – Triângulo Retângulo _____________________________________ 179 Aula 11 – Polígonos Regulares _____________________________________ 201 Aula 12 – Áreas de Superfícies Planas ________________________________ 223 Exercícios Propostos – _________________________________ 245 Exercícios Resolvidos – ________________________________ 253 Uma das equivalências do 5◦ postulado é que dado uma reta r e um ponto P /∈ r, pode-se passar uma e somente uma reta s passando por P e paralela a r. Lobachevsky substituiu o 5◦ postulado pelo seguinte: Por um ponto exterior a uma reta pertencente a um plano passam duas retas que não a cortam. Assim como os geômetras anteriores, Lobachevsky tinha esperança de descobrir uma contradição na afirmação que se despreende do novo postulado. Não chegou a contradição alguma e concluiu que existe, uma Geometria dis- tinta da Euclidiana onde não tem lugar o 5◦ Postulado de Euclides. Esta Geometria hoje, chama-se Geometria de Lobachevsky ou hiperbólica. Os geômetras que se seguiram a Lobachevsky demonstraram que não tem contradição a Geometria de Euclides tão pouco tem a Geometria de Lobachevsky. São válidos resultados nas duas teorias como igualdade de triângulo, relação entre lados e ângulo dos triângulos, etc. Os teoremas que usam o axioma das paralelas de Lobachevsky tem enunciados bem diferentes. Na Geometria Euclidiana temos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180◦. Na Geometria de Lobachevsky temos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é menor que 180◦. Na Geometria Euclidiana existe um número infinito de triângulos se- melhantes iguais a ele. Na Geometria de Lobachevsky tem que se em dois triângulos os ângulos são iguais, então os triângulos são iguais. A continuada falta de reconhecimento com as suas descobertas e com publicação de suas obras, ”Novos fundamentos de geometria”em 1835-1838, ”Investigações geométricas sobre a teoria das paralelas”em 1840 e ”Pange- ometria”em 1855 tanto o abalaram que Lobachevsky nada mais publicou. A parte do leão do crédito pelo desenvolvimento da Geometria não-Euclidiana pertence pois a Lobachevsky. As informações históricas foram obtidas em ”História da Matemática, de Carl B. Boyer-publicada pela editora Edgard Blucher em 1974, traduzida por Elza F. Gomide e também na Revista do Professor de Matemática publi- cada pela Sociedade Brasileira de Matemática. CEDERJ 8 Estrutura do livro A primeira parte da disciplina Geometria Básica engloba os seguintes conteúdos em ordem cronológica de apresentação: Conceitos Básicos, Con- gruência de Triângulos, Poĺıgonos Convexos, ângulos em uma Circunferência; Quadriláteros Notáveis, Pontos Notáveis de um Triângulo, Segmentos Pro- porcionais, Triângulos Semelhantes, Triângulo Retângulo e Triângulo Qual- quer, Poĺıgonos Regulares e Comprimento de uma Circunferência, e áreas de Superf́ıcies Planas. O livro apresenta contéudos em forma de aulas de 01 a 12. E final- mente, um conjunto de Exerćıcios Programados e suas soluções aplicados no segundo semestre do ano de 2008, para este conteúdo. A organização da disciplina é de duas aulas a ser abordada semanal- mente, exceto a aula 01 que corresponde a primeira semana de aula. Apresentação e Objetivos Este livro é resultado da experiência do Professor Roberto Geraldo nas disciplinas lecionadas no Departamento de Geometria da Universidade Fe- deral Fluminense e também de sua experiência de mais de 20 anos com o ensino médio. O livro foi produzido no segundo semestre de 2008 quando da coor- denação da disciplina Geometria Básica, juntamente com a Professora Dirce Uesu Pesco, sendo direcionado a alunos do primeiro semestre do curso de Licenciatura em Matemática da UFF/CEDERJ/UAB. O objetivo da disciplina é desenvolver a visão geométrica e espacial, a introdução ao tratamento axiomático, a argumentação lógica bem como o uso do racioćınio geométrico na resolução dos problemas. E esta é parte essencial para a formação do conhecimento matemático necessário ao licenciado de Matemática. Método de estudo Para sua orientação e organização na disciplina procure consultar fre- quentemente o Cronograma e o Guia da disciplina de Geometria Básica, dispońıvel na Plataforma para sua impressão e consulta. Segue algumas su- gestões para um programa de estudo pessoal: 9 CEDERJ Estude regularmente. Faça, para cada semana, um resumo contendo os resultados apresentados nas respectivas aulas. Destaque as palavras- chave. Consulte a tutoria para tirar dúvidas. Anote todas as suas dúvidas e dificuldades que encontrou no conteúdo da semana para esclarecê-las na tutoria. Organize seu tempo. Faça uma agenda semanal adequada para você, considerando o tempo para ler as aulas de cada disciplina, resolver e- xerćıcios resolvidos e propostos, bem como tempo para outras atividades extra-curriculares, como trabalho e diversão. Consulte a bibliografia recomendada. é muito importante consultar diferentes abordagens do mesmo conteúdo para uma visão avançada, adquirindo assim um conhecimento amplo e global. Faça parte de um grupo de estudo. Que oferece muitas vantagens como compromisso, motivação e troca de conhecimento. Roberto Geraldo Tavares Arnaut, Dirce Uesu Pesco. CEDERJ 10 Conceitos Básicos MÓDULO 1 - AULA 1 Medida de um Segmento: Para medir segmentos, tomamos um segmento como unidade e a partir dáı, podemos medir qualquer outro segmento. CD = 2 m(AB) 7. Postulado do Transporte de Segmentos: Dados um segmento AB e uma semi-reta de origem A′, existe sobre essa semi-reta um único B′ tal que A′B′ ≡ AB. Definição: Pontos colineares são pontos que pertencem à uma mesma reta. 8. Dados três pontos colineares e distintos dois a dois, um deles, e apenas um, está entre os outros dois. 9. Dados dois pontos distintos A e B de uma reta r, existe sempre um ponto C que está entre A e B, e um ponto D tal que A está entre D e B. 13 CEDERJ Conceitos Básicos 10. Se B está entre A e C, então m(AC) = m(AB) + m(BC) 11. Uma reta pertencente a um plano, divide-o em duas regiões chamadas semiplanos sendo r a reta origem dos dois semiplanos. Teorema é uma proposição aceita como verdadeira mediante demonstração. Corolário é um resultado imediato de um teorema. Pontos coplanares são pontos que pertencem a um mesmo plano. 12. Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles. Posições relativas entre duas retas distintas: Duas retas r e s são: 1) concorrentes se sua interseção é um ponto. 2) paralelas se são coplanares e não tem ponto em comum. 3) reversas se não são coplanares. CEDERJ 14 Conceitos Básicos MÓDULO 1 - AULA 1 Exerćıcios Resolvidos 1. Assinale Verdadeiro (V) ou Falso (F). a) Por um ponto passam infinitas retas.( ) b) Por três pontos dados passa uma só reta.( ) c) Três pontos distintos são colineares.( ) d) Duas retas coplanares e distintas são concorrentes ou paralelas.( ) e) Duas retas que não têm ponto em comum são paralelas.( ) Solução: a) ( V ), axioma. b) ( F ), por três pontos passam três retas. c) ( F ), três pontos distintos não são colineares. d) ( V ), 15 CEDERJ Conceitos Básicos Ângulos Definição: Ângulo geométrico é a reunião de duas semi-retas de mesma origem e não colineares. Notação: AÔB, onde O é o vértice. As semi-retas −→ OA e −−→ OB são os lados do ângulo. Axioma 13: Um ângulo pode ser medido por meio de um instrumento chamado transferidor, que tem o grau como unidade. O número de graus de um ângulo é a sua medida. A medida de um ângulo geométrico é um número real α, tal que 0 < α < 180. Notação: AÔB: ângulo geométrico m(AÔB): medida do ângulo AÔB Se −−→ OD é uma semi-reta que divide AÔB, então m(AÔD) + m(DÔB) = m(AÔB). Nota: 1) O ângulo de 180 é chamado raso e é quando os lados são semi-retas opostas. CEDERJ 18 Conceitos Básicos MÓDULO 1 - AULA 1 2) O ângulo de 0 é quando os lados coincidem. 3) Toda vez que houver referência a ângulo, entenda-se ângulo geométrico. 4) Dois ângulos são chamados congruentes se têm a mesma medida, na mesma unidade. Exemplo: Os ângulos AB̂C e DÊF na figura são congruentes. Notação: AB̂C ≡ DÊF. Setor angular, interior de um ângulo, exterior de um ângulo Definição: Seja um ângulo AÔB num plano α e consideremos os semiplanos α1 de origem na reta ←→ OA que contém o lado −−→ OB e α2, de origem na reta ←→ OB e que contém −→ OA conforme a Figura 1. O conjunto dos pontos comuns aos semiplanos α1 e α2 denominamos de setor angular. A Figura 2 mostra um setor angular. 19 CEDERJ Conceitos Básicos Definição: Um ponto que pertence ao setor angular e não pertence ao ângulo diz-se ponto interior ao ângulo AÔB. Definição: Um ponto do plano do ângulo que não pertence ao setor angular diz-se ponto exterior ao ângulo. O ponto D, na figura, é exterior ao ângulo AÔB. Definição: Ângulos que possuem o mesmo vértice e um lado comum são de- nominados ˆangulos consecutivos. Os ângulos AÔB e AÔC são consecutivos. Definição: Dois ângulos consecutivos que não possuem ponto interior comum são denominados ângulos adjacentes. Os ângulos AÔB e BÔC são adjacentes. CEDERJ 20 Conceitos Básicos MÓDULO 1 - AULA 1 Denominamos m(AÔB) = X e m(A’ÔB’) = Y. Temos que: m(AÔA’) = 180 ⇒ m(BÔA’) = 180− X (1) m(BÔB’) = 180 ⇒ m(BÔA’) = 180− Y (2) De (1) e (2) vem: 180− X = 180−Y ⇒ X = Y Logo, AÔB = A’ÔB’. Definição: Duas retas são perpendiculares se são concorrentes e formam ângulos adjacentes suplementares congruentes. Na figura a seguir, r e s são perpendiculares. Decorre da definição que duas retas perpendiculares formam 4 ângulos retos. Definição: Mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular a este segmento que passa pelo ponto médio desse segmento. A figura mostra a reta m, mediatriz do segmento AB. 23 CEDERJ Conceitos Básicos Axioma 14: Postulado de transporte de ângulos. Dado um ângulo AÔB e uma semi-reta O′A′ de um plano, existe sobre esse plano e num dos semi- planos que −−→ OA′ permite determinar, uma única semi-reta −−→ OB′ que forma com −−→ OA′ um ângulo A’ÔB’ congruente ao ângulo AÔB. Sistema de unidades angulares a. Sistema sexagesimal Unidade: grau, notação: m → m graus. Definição: Um grau é 1 90 de um ângulo reto. Submúltiplos do grau são o minuto e o segundo. 1 = 60′ e 1′ = 60′′. b. Sistema decimal Unidade: grado, notação: m gr → m grados. Definição: Um grado é 1 100 de um ângulo reto. Relação entre esses dois sistemas Temos que: 1◦ = 1 90 do ângulo reto 1gr = 1 100 do ângulo reto ⇒ 90◦ ←→ 100gr CEDERJ 24 Conceitos Básicos MÓDULO 1 - AULA 1 Exerćıcios Resolvidos 1. Estabeleça a correspondência dos itens a seguir com as figuras de 1 a 5. a) bissetriz de um ângulo; b) ângulos complementares; c) ângulos suplementares; d) ângulos adjacentes e complementares; e) ângulos adjacentes e suplementares. Resposta: a) 3; b) 5, c) 2; d) 1; e) 4. 2. Determine o ângulo entre as bissetrizes de dois ângulos adjacentes e complementares. Solução: Considere dois ângulos AÔB e BÔC adjacentes e comple- mentares. 25 CEDERJ Conceitos Básicos Gabarito 1. a) 133◦, b) 145◦40′. 2. a) 1 5 (90◦ − α), b) 1 10 (180◦ − α). 3. 79◦30′. 4. 30′. 5. Demonstração. 6. 68◦. Triângulos Definição: Triângulo é a união de três segmentos cujas extremidades são três pontos não colineares. A figura ao lado mostra um triângulo. Os pontos A, B e C são os vértices, e os segmentos AB, AC e BC são os lados do triângulo. Denotamos por ΔABC um triângulo de vértices A, B e C . Definição: Chama-se peŕımetro de um triângulo o número que exprime a soma das medidas dos três lados. Notação: 2p. Definição: Os pontos comuns aos interiores dos ângulo BÂC, AB̂C e AĈB são pontos interiores ao triângulo ABC. Na figura,o ponto P é interior ao triângulo. Os ângulos BÂC, AB̂C eAĈB são os ângulos internos do triângulo. CEDERJ 28 Conceitos Básicos MÓDULO 1 - AULA 1 Definição: A união de um triângulo com o seu interior é chamada região triangular. Os pontos que não pertencem à região triangular são os pontos exteriores ao triângulo. Na figura, Q é um ponto exterior ao triângulo. Definição: Num triângulo, lado oposto a um ângulo é o lado que une os vértices dos dois outros ângulos, lado adjacente a dois ângulos é o lado que une os vértices desses dois ângulos. Na figura, o lado BC é oposto ao ângulo BÂC, e o lado BC é adjacente aos ângulos AB̂C e AĈB. Definição: Ângulo externo a um triângulo é aquele que é adjacente e suple- mentar a um de seus ângulos internos. Na figura ao lado, o ângulo AĈD é um ângulo externo ao triângulo ABC. 29 CEDERJ Conceitos Básicos Classificação dos triângulos Podemos classificar os triângulos de dois modos: 1 Quanto aos lados: – Equilátero: os que têm os três lados congruentes. – Isósceles: os que têm dois lados congruentes. – Escaleno: os que têm os três lados não congruentes entre si. CEDERJ 30 Conceitos Básicos MÓDULO 1 - AULA 1 Solução: a) ( F ), pois possui seis ângulos externos. b) ( F ), pois existe triângulo isósceles que é triângulo retângulo, por exemplo. c) ( V ), basta que o ângulo formado pelos lados congruentes seja obtuso. d) ( V ), basta que possua os três lados congruentes. 33 CEDERJ Conceitos Básicos Retas paralelas Lembre-se de que já vimos a definição de retas paralelas em posições relativas entre duas retas distintas e também o postulado 4. (Postulado de Euclides). Definição: Duas retas r e s de um mesmo plano interceptados pela transversal t formam oito ângulos. Os pares de ângulos, um com vértice em A e o outro em B, conforme figura, são denominados: ângulos correspondentes: ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ 1̂ e 5̂ 4̂ e 8̂ 2̂ e 6̂ 3̂ e 7̂ ângulos alternos internos { 4̂ e 6̂ 3̂ e 5̂ ângulos alternos externos { 1̂ e 7̂ 2̂ e 8̂ ângulos colaterais externos { 1̂ e 8̂ 2̂ e 7̂ ângulos colaterais internos { 4̂ e 5̂ 3̂ e 6̂ Vamos considerar verdadeira a propriedade a seguir, mas depois que estudarmos congruência, podemos demonstrar tal propriedade. CEDERJ 34 Conceitos Básicos MÓDULO 1 - AULA 1 Propriedade: Uma reta transversal a duas retas paralelas formam ângulos que obedecem às relações seguintes: 1 Os ângulos correspondentes e os ângulos alternos são congruentes. 2 Os ângulos colaterais são suplementares. Seja t uma transversal as retas r e s e r ‖ s. a = e, b = f, c = g, d = h (correspondentes) c = e, d = f, a = g, b = h (alternos internos e alternos externos) c+ f = d+ e = b+ g = a+ h = 180◦ (colaterais) Nota: As rećıprocas das propriedades 1e 2 são verdadeiras. Exerćıcios Resolvidos 1. Na figura, as retas a e b são paralelas. Calcule o valor de x. 35 CEDERJ Conceitos Básicos 2. Em cada figura, a seguir, as retas r e s são paralelas. Calcule o valor de x. 3. Seja na figura r ‖ s, calcule o valor de x. 4. Na figura a seguir, calcule x. CEDERJ 38 Conceitos Básicos MÓDULO 1 - AULA 1 Gabarito 1. a) x = 70◦, b) x = 20◦, c) x = 44◦, d) x = 110◦. 2. a) 17◦30′, b) 100◦. 3. x = 90◦. 4. a) x = 95◦, b) x = 60◦. Ângulos no triângulo Teorema Angular de Tales: A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180◦. Prova: Seja ΔABC e considere uma reta r ‖ AB passando por C . Dáı, m(AĈD) = m(BÂC) (ângulo alterno interno) m(EĈD) = m(CB̂A) (ângulo correspondente) Como um ângulo raso tem 180◦, vem: Ĉ +  + B̂ = 180◦ Corolário: Em todo triângulo, qualquer ângulo externo tem medida igual à soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele. Prova: Seja o ΔABC, considere Ĉe ângulo externo em relação ao vértice C . 39 CEDERJ Conceitos Básicos Temos que: {  + B̂ + Ĉ = 180◦ (1) Ĉe + Ĉ = 180◦ (2) Subtraindo (1) de (2) vem:  + B̂− Ĉe = 0⇒ Ĉe =  + B̂ De forma similar B̂e =  + Ĉ, onde B̂e é o ângulo externo em relação ao vértice B e Âe = B̂ + Ĉ, onde Âe é o ângulo externo em relação ao vértice A. Exerćıcios Resolvidos 1. No triângulo ABC da figura, calcule o valor de X . Solução: Temos por Tales que: X + 2X + 3X = 180◦ ⇒ 6X = 180◦ ⇒ X = 30◦ 2. No triângulo ABC da figura, calcule o valor de x. Solução: Pelo resultado do ângulo externo, vem: 2x+3x = 110◦ ⇒ 5x = 110◦ ⇒ x = 22◦ CEDERJ 40 Conceitos Básicos MÓDULO 1 - AULA 1 Logo, { a + b+X = 180◦ 180◦ − 2a+ 180◦ − 2b+ 70◦ = 180◦ ⇒ { a + b+X = 180◦ (1) −2a− 2b = −250◦ (2) De (2) temos que 2a+ 2b = 250◦ ⇒ a + b = 125◦ (3) Substituindo (3) em (1) vem: 125◦ +X = 180◦ ⇒ X = 180◦ − 125◦ = 55◦ Logo, m(BP̂C) = 55◦ Exerćıcios Propostos 1. Na figura a seguir, P é a interseção das bissetrizes internas em B̂ e Ĉ. Calcule a medida do ângulo BP̂C sabendo que o ângulo  mede 80◦. 2. Na figura a seguir, calcule a soma dos quatro ângulos α̂, β̂, γ̂ e θ̂. 3. Na figura a seguir, P é a interseção da bissetriz interna de B̂ com a externa de Ĉ. Calcule o ângulo BP̂C em função de Â. 43 CEDERJ Conceitos Básicos 4. Na figura a seguir, o triângulo ABC é retângulo em  e isósceles. Sendo BD = BE e DÂC = 30◦, calcule a medida do ângulo AB̂D. Nota: Nesta questão use o fato de que em um triângulo isósceles os ângulos da base são congruentes. Este fato será provado na Aula 2. 5. Na figura a seguir, calcule o ângulo α̂. Dica: Use o resultado do ângulo externo de um triângulo. 6. O triângulo ACD da figura é isósceles de base AD. Sendo 42◦ a medida do ângulo BÂD e 20◦ a medida do ângulo AB̂C, calcule a medida do ângulo AĈD. CEDERJ 44 Conceitos Básicos MÓDULO 1 - AULA 1 7. Seja AÔB um ângulo e r uma reta do seu plano que contém O e situ- ada na região não convexa. Seja −−→ OX e −−→ OY as bissetrizes dos ângulos agudos −→ OA e −−→ OB que formam com r. Se AÔB mede 150◦, calcule o ângulo XÔY. 8. Na figura, P é a interseção da bissetriz interna de B com a bissetriz externa de C. Calcule o ângulo BP̂C em função do ângulo Â. Gabarito 1. m(BP̂C)= 130◦. 2. A soma pedida é 540◦. 3. m(BP̂C)= m(Â) 2 . 4. m(AB̂D)= 15◦. 5. m(α̂)= 33◦. 6. m(AĈD)= 56◦. 7. m(XÔY)= 165◦. 8. m(P̂ )=  2 . 45 CEDERJ Congruência de Triângulos Exemplo: Os triângulos ABC e A’B’C’ da figura são congruentes pelo caso LAL. Esquema de aplicação.⎧⎪⎨⎪⎩ AB ≡ A’B’  = Â’ AC ≡ A’C’ =⇒ LAL ΔABC ≡ ΔA’B’C’ =⇒ Definição ⎧⎪⎨⎪⎩ B̂ = B̂’ BC ≡ B’C’ Ĉ = Ĉ’ Os demais casos serão teoremas que inicialmente vamos apresentá-los. Alguns desses casos serão provados e alguns serão deixados como exer- ćıcios. 2 Caso (ALA) Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois ângulos e o lado adjacente a esses ângulos, então eles são congruentes. Exemplo: Os triângulos ABC e A’B’C’ da figura são congruentes pelo caso ALA. Esquema de aplicação.⎧⎪⎨⎪⎩ B̂ = B̂’ BC ≡ B’C’ Ĉ = Ĉ’ =⇒ ALA ΔABC ≡ ΔA’B’C’ =⇒ Definição ⎧⎪⎨⎪⎩ AB ≡ A’B’  = Â’ AC ≡ A’C’ CEDERJ 48 Congruência de Triângulos MÓDULO 1 - AULA 2 3 Caso (LLL) Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados, então eles são congruentes. Exemplo: Os triângulos ABC e A’B’C’ da figura são congruentes pelo caso LLL. Esquema de aplicação.⎧⎪⎨⎪⎩ AB ≡ A’B’ AC ≡ A’C’ BC ≡ B’C’ =⇒ LLL ΔABC ≡ ΔA’B’C’ =⇒ Definição ⎧⎪⎨⎪⎩  = Â’ B̂ = B̂’ Ĉ = Ĉ’ 4 Caso (LAAo) Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo adjacente e um ângulo oposto a esse lado, então eles são congruentes. Exemplo: Os triângulos ABC e A’B’C’ da figura são congruentes pelo caso LAAo. Esquema de aplicação.⎧⎪⎨⎪⎩ BC ≡ B’C’ B̂ = B̂’  = Â’ =⇒ LAAo ΔABC ≡ ΔA’B’C’ =⇒ Definição ⎧⎪⎨⎪⎩ Ĉ = Ĉ’ AB ≡ A’B’ AC ≡ A’C’ 5 Caso (Caso Especial) Se dois triângulos retângulos têm ordenadamente congruentes um cateto e a hipotenusa, então eles são congruentes. 49 CEDERJ Congruência de Triângulos Exemplo: Os triângulos retângulos ABC e A’B’C’ da figura são con- gruentes pelo caso especial. Aplicação nos problemas Se, ao resolver um problema, sabe-se que os elementos de dois triângulos verificam as condições de um dos casos de congruência: 1) pode-se afirmar que os triângulos são congruentes. 2) conclui-se dáı que os outros elementos desses triângulos, que não se co- nhecem, são dois a dois congruentes. Exerćıcios Resolvidos 1. Em cada grupo de triângulos, verificar os congruentes e indicar o caso de congruência. CEDERJ 50 Congruência de Triângulos MÓDULO 1 - AULA 2 4. Prove que em um triângulo isósceles a mediana relativa à base é também bissetriz e altura. Solução: Seja o triângulo isósceles de base BC. Tracemos a mediana AM relativa à base e provemos que AM é bissetriz e altura. Considere os triângulos ABM e ACM, então:⎧⎪⎨⎪⎩ AB ≡ AC por ser isósceles do ΔABC BM ≡ CM (Definição de mediana) AM ≡ AM lado comum Pelo caso (LLL), temos Δ ABM ≡ Δ ACM. Da congruência desses dois triângulos decorrem: 1) BÂM ≡ CÂM e dáı AM é bissetriz. 2) AM̂B ≡ AM̂C e que são ângulos adjacentes, congruentes e suple- mentares, então são retos. Logo AM ⊥ BC e portanto AM é altura. 5. Dado um triângulo isósceles ABC de base BC, considere as bis- setrizes internas BD e CE desse triângulo. Prove que BD ≡ CE. Solução: Seja o triângulo isósceles ABC de base BC e as bissetrizes internas BD e CE. 53 CEDERJ Congruência de Triângulos Considere os triângulos BCD e CBE. Temos que:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ AB̂C ≡ AĈB (ângulos da base) Exerćıcio 3 BC ≡ BC (comum) =⇒ ALA ΔBCD ≡ ΔCBE BĈE ≡ CB̂D (metade dos ângulos da base) e dáı BD ≡ CE (definição de triângulos congruentes) 6. Demonstre o caso LLL. Solução: Hipótese: ⎧⎪⎨⎪⎩ AB ≡ A’B’ AC ≡ A’C’ BC ≡ B’C’ Tese: ΔABC ≡ ΔA’C’B’ Considere os triângulos ABC e A’B’C’. Transportemos o ΔA’B’C’ de modo que o lado B’C’ coincida com BC, ficando o vértice A’ no semiplano oposto ao de A, em relação a reta ←→ BC. Unimos os pontos A e A’, cujo segmento interceptará a reta suporte de lado BC num ponto D, conforme figura. CEDERJ 54 Congruência de Triângulos MÓDULO 1 - AULA 2 Dessa construção e sendo: AB ≡ A’B’ e AC ≡ A’C’ resulta que os triângulos ABA’ e ACA’ são isósceles e, portanto BÂA’ ≡ BÂ’A e CÂA’ ≡ CÂ’A Concluimos dáı que BÂC ≡ B’Â’C’ ou seja,  = Â’ Logo pelo caso LAL, temos: Δ ABC ≡ Δ A’B’C’ 7. Demonstre o caso LAAo. Solução: Sejam os triângulos ABC e A’B’C’ da figura e suponhamos BC ≡ B’C’, B̂ = B̂’ e  = Â’. Vamos provar que Δ ABC ≡ Δ A’B’C’. Para provar essa congruência, basta provar que AB ≡ A’B’, recaindo no caso LAL. Transportemos então o Δ A’B’C’ sobre o Δ ABC, caindo o lado B’C’ sobre seu congruente BC de modo a coincidirem os ângulos B̂ e B̂’. Seja D a nova posição do ponto A’, e provemos que D coincide com A. 55 CEDERJ Congruência de Triângulos 5. Sobre os lados de um triângulo equilátero, tomam-se três pontos D, E e F conforme figura. Sendo AD ≡ BE ≡ CF, prove que o triângulo DEF é equilátero. 6. Na figura, o triângulo ABD é congruente ao triângulo CBD. Calcular x e y. 7. Na figura, o triângulo ABC é congruente ao triângulo CDE. Determine o valor de x e y. 8. Prove que a bissetriz relativa à base de um triângulo isósceles é também mediana e altura. 9. Na figura, o triângulo PCD é congruente ao triângulo PBA. Determine os valores de x, y e a razão entre os peŕımetros dos triângulos PCA e PBD. CEDERJ 58 Congruência de Triângulos MÓDULO 1 - AULA 2 10. Na figura, sendo BF = CD,m(AB̂C) =m(FD̂E) em(BÂC) =m(DÊF), prove que AC = EF . 11. Prove o caso ALA. 12. Prove o caso especial de congruência. Gabarito 1. a) ΔI ≡ ΔII Caso LAAo. b) ΔI ≡ ΔIII Caso LAL. 2. Demonstração. 3. Demonstração. 4. Demonstração. 5. Demonstração. 6. x = 16 e y = 8. 7. x = 9 e y = 5. 8. Demonstração. 9. x = 10, y = 9 e a razão entre os peŕımetros dos triângulos PCA e PBD é 1. 10. Demonstração. 11. Demonstração. 12. Demonstração. 59 CEDERJ Poĺıgonos Convexos MÓDULO 1 - AULA 3 Classificação Os poĺıgonos convexos, quanto ao número de lados n (n ≥ 3) classificam-se em: triângulo n = 3 eneágono n = 9 quadrilátero n = 4 decágono n = 10 pentágono n = 5 undecágono n = 11 hexágono n = 6 dodecágono n = 12 heptágono n = 7 ... ... octógono n = 8 icoságono n = 20 Diagonal Definição: Chama-se diagonal de um poĺıgono convexo todo segmento que une dois vértices não consecutivos. Exemplo: Na figura o segmento AD é uma diagonal do poĺıgono ABCDEF. Peŕımetro Definição: O peŕımetro de um poĺıgono é a soma das medidas dos lados desse poĺıgono. Notação: 2p. Ângulos Definição: Chama-se ângulo interno de um poĺıgono convexo o ângulo for- mado por dois lados do mesmo vértice. Exemplo: Na figura, o ângulo AB̂C. 63 CEDERJ Poĺıgonos Convexos Definição: Chama-se ângulo externo de um poĺıgono convexo o ângulo for- mado por um lado qualquer e o prolongamento do lado adjacente. Exemplo: Na figura anterior, o ângulo BĈF. Poĺıgono regular Definição: Chama-se poĺıgono regular todo poĺıgono convexo que tem: (a) todos os lados congruentes entre si. (b) todos os ângulos congruentes entre si. Exemplos: Um triângulo equilátero. Um quadrado. Número de diagonais O número d de diagonais distintas de um poĺıgono convexo de n (n ≥ 3) lados é: d = n(n− 3) 2 . Considere o triângulo, n = 3: Temos que o número de diagonais que sai de cada vértice é: 0. Ou seja, dv = 3− 3 = 0. Considere o quadrilátero, n = 4: O número de diagonais que sai de cada vértice é 1, ou seja, dv = 1 = 4− 3 CEDERJ 64 Poĺıgonos Convexos MÓDULO 1 - AULA 3 Considere o poĺıgono convexo de n lados: temos que o número de diagonais que sai de cada vértice é n− 3, dv = n− 3. Como cada diagonal tem extremidades em dois vértices, cada diagonal foi contada duas vezes. Dáı, o número d de diagonais é: d = n(n− 3) 2 . Exerćıcios Resolvidos 1. Calcule o número de diagonais de um pentadecágono convexo. Solução: Temos n = 15⇒ d = 15(15− 3) 2 = 90. 2. Qual é o poĺıgono convexo que possui 65 diagonais? Solução: Temos que d = 65⇒ 65 = n(n− 3) 2 ⇒ n2 − 3n = 130 ⇒ n2 − 3n− 130 = 0 n = 3±√9 + 520 2 = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 3 + 23 2 = 13 3− 23 2 = −10 (não serve). Logo, o poĺıgono pedido é o poĺıgono de 13 lados. 65 CEDERJ Poĺıgonos Convexos Ângulos de um poĺıgono regular Seja um poĺıgono regular de n lados, e considere as medidas dos ângulos internos de ai e as medidas dos ângulos externos de ae. Então: ai = 180◦(n− 2) n e ae = 360◦ n . Exerćıcios Resolvidos 4. Calcule a soma das medidas dos ângulos internos de um eneágono convexo. Solução: Temos n = 9 e Si = (9− 2)180◦ = 1260◦. 5. Calcule a medida do ângulo externo de um octógono regular. Solução: Temos n = 8 e ae = 360◦ 8 = 45◦. 6. Calcule a medida do ângulo interno de um decágono regular. Solução: Temos n = 10 e ai = 180(10− 2) 10 = 18 · 8 = 144◦. 7. O ângulo interno de um poĺıgono regular é nove vezes o seu ângulo externo. Qual é esse poĺıgono? Solução: Temos ai = 9 · ae ⇒ 180(n− 2) n = 9 360◦ n ⇒ n− 2 = 18⇒ n = 20. Portanto, o poĺıgono é o icoságono. 8. As mediatrizes de dois lados consecutivos de um poĺıgono regular formam um ângulo de 24◦. Determine o número de diagonais desse poĺıgono. Solução: Considere o ângulo de 24◦ entre as mediatrizes de dois lados consecu- tivos do poĺıgono regular. CEDERJ 68 Poĺıgonos Convexos MÓDULO 1 - AULA 3 Temos que no quadrilátero M1BM2O a soma dos ângulos internos é 360◦, então Ai + 90 ◦ + 90◦ + 24◦ = 360◦ ⇒ Ai = 156◦ = 180 ◦(n− 2) n ⇒ 156◦n = 180◦n− 360◦ ⇒ 24n = 360⇒ n = 15. Dáı, o número de diagonais é d = 15(15− 3) 2 = 90. 9. A figura, mostra um pentágono convexo ABCDE. Sendo AE paralelo a BC, calcule o valor de Ĉ + D̂ + Ê. Solução: Vamos determinar a soma dos ângulos internos desse pentágono con- vexo. Si = 180 ◦(5− 2) = 540◦ Como AE ‖ BC, temos que  e B̂ são ângulos colaterais internos. Então,  + B̂ = 180◦. Logo,  + B̂ + Ĉ +D̂ +Ê = 540◦ e  + B̂ = 180◦ ⇒ Ĉ +D̂ +Ê = 540◦ − 180◦ = 360◦. Dáı, Ĉ +D̂ +Ê = 360◦. 69 CEDERJ Poĺıgonos Convexos 10. Prolongando-se os ladosAB e CD de um poĺıgono regularABCDE · · · , obtém-se um ângulo de 132◦. Qual é esse poĺıgono? Solução: Seja o poĺıgono regular e prolongue os lados AB e CD obtendo-se um ângulo de 132◦. No ΔHBC vem: 132◦ + 180◦ −Ai + 180◦ −Ai = 180◦ 2Ai = 312 ◦ ⇒ Ai = 156◦ = 180 ◦(n− 2) n ⇒ 156◦n = 180◦n− 360◦ ⇒ 24◦n = 360◦ ⇒ n = 15. Portanto, o poĺıgono é o pentadecágono. Exerćıcios Propostos 1. Calcule a soma das medidas dos ângulos internos de um undecágono convexo. 2. A soma dos ângulos internos de um poĺıgono convexo é 1080◦. Calcule o número de diagonais desse poĺıgono. 3. Num quadrilátero convexo, a soma de dois ângulos internos consecu- tivos mede 190◦. Determine o maior dos ângulos formado pelas bis- setrizes internas dos dois outros ângulos. 4. Na figura, os ângulos a, b, c e d medem, respectivamente, x 2 , 2x, 3x 2 e x. O ângulo e é reto. Qual é a medida do ângulo f? CEDERJ 70 Ângulos em uma Circunferência MÓDULO 1 - AULA 4 Aula 4 – Ângulos em uma Circunferência Circunferência Definição: Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo desse plano é uma constante positiva. A figura representa uma circunferência γ de centro em O e raio de medida R, ou seja, γ = {P ∈ γ OP = R} Cı́rculo Definição: Ćırculo é a reunião de uma circunferência com o seu interior. A figura, representa um circulo γ de centro em O e raio de medida R, ou seja, γ = {P ∈ γ OP ≤ R} Elementos de um ćırculo Seja o ćırculo de centro O da figura. Temos: AO - raio AB - diâmetro CD - corda CMD - arco Sendo R a medida do raio, temos : AO = R e AB = 2 R. 73 CEDERJ Ângulos em uma Circunferência Posições relativas de reta e circunferência Seja uma reta r, uma circunferência γ de centro em O e raio R, e d a distância do centro O à reta r. A reta e a circunferência podem ocupar entre si uma das três posições: 1 posição: A reta r é secante à circunferência γ, isto é, a reta tem dois pontos distintos comuns com a circunferência nos pontos A e B. Note que d < R e r ∩ γ = {A, B}. 2 posição: A reta r é exterior à circunferência γ, isto é, r não tem ponto comum com γ. Todos os pontos da reta r são exteriores à circunferência γ. 3 posição: A reta r é tangente à circunferência γ, isto é, a reta tem um só ponto comum com a circunferência, e os outros pontos da reta são exteriores à circunferência. Note que d = R e r ∩ γ = {A}. CEDERJ 74 Ângulos em uma Circunferência MÓDULO 1 - AULA 4 Teorema: Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio que tem uma extremidade no ponto de tangência. A rećıproca é verdadeira. Nota: Vamos provar este teorema na Aula 6. Ângulo central Definição: Ângulo central de uma circunferência é o ângulo que tem o vértice no centro da circunferência. Na figura, o ângulo AÔB é um ângulo central da circunferência de centro O. O arco  AB situado no interior do ângulo AÔB é denominado arco correspon- dente. Medida do ângulo central e do arco correspondente Se tomarmos para unidade de arco (arco unitário) o arco definido na circun- ferência por um ângulo central unitário (unidade de ângulo), temos: A medida de um arco de circunferência é igual à medida do ângulo central correspondente. Considerando a circunferência de centro O: 1) Se m(AÔB) = 30◦, então m(  AB)= 30◦, e reciprocamente; AÔB = 30◦ ⇔  AB= 30◦. 2) Se m(CÔD) = 120◦, então m(  CD)= 120◦ e reciprocamente; CÔD = 120◦ ⇔  CD= 120◦. 75 CEDERJ Ângulos em uma Circunferência No 3 caso: Sendo C o ponto de interseção de −→ PO com a circunferência e sendo: BP̂C = α1, BÔC = β1, AP̂C = α2 e AÔC = β2, temos pelo 1 caso que β1 = 2α1 e β2 = 2α2 ⇒ β1 − β2 = 2(α1 − α2)⇒ β = 2α. Dáı α = β 2 e como β =  AB, vem que α =  AB 2 . Ângulo de segmento Definição: Ângulo de segmento é o ângulo que tem o vértice em uma circun- ferência, um lado secante e o outro tangente à circunferência. A figura mostra um ângulo de segmento AP̂B. O arco  PB no interior do ângulo AP̂B é denominado arco correspondente. Teorema: A medida de um ângulo de segmento é igual a metade da me- dida do arco correspondente. Prova: Seja a figura, sendo α a medida do ângulo de segmento AP̂B e β a medida do arco correspondente  AB, temos que provar que α = β 2 . Temos que o ângulo AP̂C é reto, e como o arco  PBC é uma semi-circunferência, temos que m(AP̂C) = m(  PC) 2 (1). Por outro lado m(  BPC) = m(  BC) 2 (2). CEDERJ 78 Ângulos em uma Circunferência MÓDULO 1 - AULA 4 Subtraindo as duas relações, vem: m(AP̂C) - m(  BPC) = m(  PC) 2 − m(  BC) 2 ⇒ m(AP̂B) = m(  PC)−m(  BC) 2 ⇒m(AP̂B) = m(  PB) 2 , ou seja, α = β 2 . Obs: Note que consideramos o ângulo α agudo. Faça o teorema com α reto e obtuso. Exerćıcios Resolvidos 1. Na figura, o arco  ADB mede 110◦. Calcule o valor de x. Solução: Sendo x a medida do ângulo inscrito AĈB vem: x = m(  ADB) 2 = 110◦ 2 = 55◦. 2. Na figura, o ângulo AB̂C mede 75◦. Calcule a medida do arco  ADC. 79 CEDERJ Ângulos em uma Circunferência Solução: AB̂C é ângulo inscrito ⇒ m(AB̂C) =m(  ADC) 2 ⇒ m(  ADC) = 2 · 75◦ = 150◦. Logo m(  ADC) = 150◦. 3. Na figura, o ângulo BĈD mede 100◦. Calcule a medida do ângulo AB̂D. Solução: O ângulo AB̂D é um ângulo de segmento, então m(AB̂D)= m(BĈD) 2 = 100◦ 2 = 50◦. Note que BĈD =  BD, já que o ângulo BĈD é central. Dáı m(AB̂D) = 50◦. Definição: Ângulo excêntrico interno é o ângulo formado por duas secantes que se interceptam no interior da circunferência, fora do centro. Na figura, α é um ângulo excêntrico interno. 4. Considere a figura anterior. Mostre que α =  AB +  CD 2 . CEDERJ 80 Ângulos em uma Circunferência MÓDULO 1 - AULA 4 α =  AB −  AC 2 α =  AMB −  ANB 2 7. Na figura, o arco  AEB mede 140◦, e o arco  CFD mede 30◦. Calcule o valor de x. Solução: O ângulo x é excêntrico externo, usando o exerćıcio 6, vem: x = 140◦ − 30◦ 2 = 55◦. 8. Considere uma circunferência de centro O e um diâmetro AB. Tome um ponto C, qualquer dessa circunferência, distintos de A e B. Calcule a medida do ângulo AĈB. Solução: De acordo com o enunciado, temos a figura: 83 CEDERJ Ângulos em uma Circunferência O diâmetro AB divide a circunferência em duas semi-circunferências de medida 180◦, cada uma. Sendo AĈB inscrito, temos: m(AĈB) = 180◦ 2 = 90◦. 9.Mostre que em um triângulo retângulo a mediana relativa à hipotenusa tem medida igual à metade da medida da hipotenusa. Solução: Seja ABC o triângulo retângulo e AO a mediana relativa à hipotenusa BC. Vamos mostrar que AO = BC 2 . De fato, o ângulo BÂC, sendo reto, está inscrito em uma circunferência e seus lados AB e AC passam pelos extremos B e C de um diâmetro dessa circunferência. (exerćıcio 8). Temos que AO = BO = CO = BC 2 como raios de uma mesma circun- ferência. Dáı AO = BC 2 . Definição: Um quadrilátero convexo é chamado inscrito em uma circun- ferência se os quatro vértices pertencem a essa circunferência. 10. Mostre que, em todo quadrilátero convexo inscrito em uma circun- ferência, os ângulos opostos são suplementares. CEDERJ 84 Ângulos em uma Circunferência MÓDULO 1 - AULA 4 Solução: Seja o quadrilátero ABCD inscrito na circunferência conforme a figura. Denotamos por α = BÂD e β = BĈD. Vamos mostrar que α + β = 180◦. De fato, m(  BCD) = 2α e m(  BAD) = 2β e como m(  BCD) +m(  BAD) = 360◦ vem: 2α + 2β = 360◦ ⇒ α + β = 180◦. Obs: A rećıproca do exerćıcio 10 é verdadeira. 11. Na figura, AB e AD são tangentes a circunferência de centro O. Sabendo-se que o arco  BMD mede 190◦, calcule a medida do ângulo BÂD. Solução: Considere a figura dada no enunciado. Temos que: m(  BMD) +m(  BND) = 360◦ ⇒ m(  BND) = 360◦ − 190◦ = 170◦. Do (exerćıcio 6 OBS) vem: BÂD =  BMD −  BND 2 = 190◦ − 170◦ 2 = 10◦. 85 CEDERJ Ângulos em uma Circunferência AD +BC = x+ w + y + z (2) De (1) e (2): AB + CD = AD +BC. Este resultado é conhecido como Teorema de Ptolomeu ou Hiparco. Exerćıcios Propostos 1. Nas figuras, calcule o valor de x. 2. Nas figuras, calcule o valor e x. CEDERJ 88 Ângulos em uma Circunferência MÓDULO 1 - AULA 4 3. Na figura, o arco  ACB mede 100◦, e o arco  DEF mede 36◦. Calcule a medida do ângulo AP̂B. 4. Na figura, o arco  CMD mede 120◦, e o arco  ANB mede 24◦. Calcule a medida do ângulo AP̂B. 5. Nas figuras, calcule o valor de x. 6. Na figura, AB e AC são tangentes à circunferência e BÂC = 80◦. Calcule a medida do arco  BMC . 89 CEDERJ Ângulos em uma Circunferência 7. Na figura, sendo M o ponto médio da hipotenusa BC do triângulo ABC, e AM = 10, calcule x e y. 8. Na figura, o quadrilátero ABCD é a circunscrit́ıvel à circunferência de centro O. Sendo AB = 10, BC = 8 e CD = 6, calcule AD. 9. Na figura, os segmentos AB, CE e CF são tangentes à circunferência de centro O. Sendo CE = 4, calcule o peŕımetro do triângulo ABC. 10. Seja a circunferência de centro O, representado na figura. Determine o valor de x. CEDERJ 90 Quadriláteros Notáveis MÓDULO 1 - AULA 5 Aula 5 – Quadriláteros Notáveis Paralelogramo Definição: É o quadrilátero convexo que possui os lados opostos paralelos. A figura mostra um paralelogramo ABCD. Teorema 1: Se ABCD é um paralelogramo, então: i) Os lados opostos são congruentes. ii) Os ângulos opostos são congruentes. iii) Dois ângulos consecutivos são suplementares. iv) As diagonais cortam-se ao meio. Prova: Seja o paralelogramo ABCD da figura: i) Tracemos a diagonal BD e consideremos os triângulos (I) e (II), assim formados. Temos:⎧⎪⎨⎪⎩ 1̂ ≡ 4̂ (alternos internos) BD ≡ BD (comum) 3̂ ≡ 2̂ (alternos internos) =⇒ ALA ΔI = ΔII ⇒ ⎧⎪⎨⎪⎩ AB ≡ CD e BC ≡ AD ii) Se ΔI = ΔII (item i), então  ≡ Ĉ, pois são ângulos opostos a lados congruentes em triângulos congruentes. Por outro lado: 1̂ ≡ 4̂⇒ m(1̂) = m(4̂) 2̂ ≡ 3̂⇒ m(2̂) = m(3̂) ⇒ { m(1̂) +m(2̂) = m(4̂) +m(3̂)⇒ m(B̂) = m(D̂)⇒ B̂ ≡ D̂ 93 CEDERJ Quadriláteros Notáveis iii) Seja o paralelogramo ABCD. Temos que: AB ‖ CD e AD ‖ BC ⇒ ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ Â+ B̂ = 180◦ B̂ + Ĉ = 180◦ Ĉ + D̂ = 180◦ D̂ +  = 180◦ (ângulos colaterais internos) iv) Seja o paralelogramo ABCD, tracemos as diagonais AC e BD, que se cortam em um ponto M. ⎧⎪⎨⎪⎩ 1̂ ≡ 4̂ (alternos internos) AB ≡ CD (item i) 3̂ ≡ 2̂ (alternos internos) =⇒ ALA ΔI = ΔII ⇒ ⎧⎪⎨⎪⎩ AM = MC e BM = MD ⇒ M é ponto médio das diagonais AC e BD. OBS: Todo quadrilátero convexo que gozar de uma das propriedades acima será um paralelogramo e gozará de todas as outras propriedades. Teorema 2: Se um quadrilátero convexo tem dois lados opostos paralelos e congruentes, então esse quadrilátero é um paralelogramo. Prova: Seja ABCD um quadrilátero convexo com AD ‖ BC e AD ≡ BC. CEDERJ 94 Quadriláteros Notáveis MÓDULO 1 - AULA 5 Tracemos a diagonal AC e sejam os triângulos (I) e (II). Temos: ⎧⎪⎨⎪⎩ AC ≡ AC (comum) 2̂ ≡ 3̂ (alternos internos) AD ≡ BC (hipótese) =⇒ LAL ΔI ≡ ΔII ⇒ 1̂ ≡ 4̂ Logo, os lados AB e CD do quadrilátero são paralelos. Dáı, AD ‖ BC e AB ‖ CD ⇒ ABCD é um paralelogramo. Exerćıcios Resolvidos 1. Em um paralelogramo ABCD, o ângulo  mede 50◦. Determine os outros três ângulos desse paralelogramo. Solução: Seja ABCD um paralelogramo e  = 50◦. Usando (ii) e (iii) do teorema 1, vem:  + B̂ = 180◦ e  = Ĉ e B̂ = D̂ ⇒ B̂ = 130◦, Ĉ = 50◦ e D̂ = 130◦. 2. Determine o ângulo entre as bissetrizes de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo. Solução: Seja ABCD o paralelogramo da figura e −−→ AM e −−→ BM as bis- setrizes dos ângulos consecutivos  e B̂. 95 CEDERJ