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Guias e Dicas
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ALGUMAS APLICAÇÕES DO SOFTWARE GEOGEBRA AO ENSINO DA GEOMETRIA ANAL, Notas de estudo de Engenharia Aeroespacial

Aplicações do Geogebra

Tipologia: Notas de estudo

2013

Compartilhado em 10/09/2013

sergio-oliveira-11
sergio-oliveira-11 🇧🇷

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Baixe ALGUMAS APLICAÇÕES DO SOFTWARE GEOGEBRA AO ENSINO DA GEOMETRIA ANAL e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Aeroespacial, somente na Docsity! UFES - Universidade Federal do Espírito Santo Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT ALGUMAS APLICAÇÕES DO SOFTWARE GEOGEBRA AO ENSINO DA GEOMETRIA ANALÍTICA Autor: Prof. Ms. Paulo Cezar Camargo Guedes Orientador: Prof. Dr. Valmecir Antonio dos Santos Bayer Vitoria - ES 09 de abril de 2013 PAULO CEZAR CAMARGO GUEDES APLICAÇÃO DO SOFTWARE GEOGEBRA AO ENSINO DA GEOMETRIA ANALÍTICA Um trabalho dedicado a oferecer aos professores, em exercício de sala de aula, um material que estimule seus alunos a compreender e assimilar com mais facilidade as principais propriedades do ponto, da reta e da circunferência no plano cartesiano. Dissertação apresentada ao PROFMAT – Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional do Centro de Ciências Exatas da Universidade Federal do Espírito Santo, como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Matemática, sob a orientação do Professor Doutor Valmecir Antonio dos Santos Bayer. Vitória - ES 09 de abril de 2013 AGRADECIMENTOS A DEUS, acima de tudo e em primeiro lugar, por ter me dado condições de frequentar e concluir mais esta etapa da minha vida com saúde, paz e sabedoria. Aos meus dois filhos, Jéssica e Paulo Henrique, que souberam suportar esses dois anos de dedicação e entrega, sem poder passear com eles, sem viajar nas férias, sem ter a minha presença aos sábados cujo cansaço me impediu de curtirmos, juntos, momentos extraordinários. À minha esposa, Vanessa, que, com muita paciência e sabedoria, dispensou-me o seu incondicional apoio em todos os momentos difíceis, tendo, ainda, a sensibilidade de compensar a minha ausência junto aos meus filhos. Aos meus pais, que me deram a educação necessária para perseverar no alcance deste ideal e também por serem exemplos de vida, mostrando-me sempre o caminho a ser traçado, a escolha certa a ser feita e, acima de tudo, dando-me apoio nas decisões a serem tomadas. Aos professores do PROFMAT, que nos incentivaram, com toda a dedicação, a concluir esta etapa, auxiliando-nos no que foi preciso. Ao Colégio Salesiano Jardim Camburi, na pessoa da Diretora Pedagógica Claúdia Maria Bunilha da Silva, que me cedeu o espaço necessário para aplicar e testar as atividades práticas deste trabalho. PENSAMENTO Verdades da Profissão de Professor Ninguém nega o valor da educação e que um bom professor é imprescindível. Mas, ainda que desejem bons professores para seus filhos, poucos pais desejam que seus filhos sejam professores. Isso nos mostra o reconhecimento que o trabalho de educar é duro, difícil e necessário, mas que permitimos que esses profissionais continuem sendo desvalorizados. Apesar de mal remunerados, com baixo prestígio social e responsabilizados pelo fracasso da educação, grande parte resiste e continua apaixonada pelo seu trabalho. A data é um convite para que todos, pais, alunos, sociedade, repensemos nossos papéis e nossas atitudes, pois com elas demonstramos o compromisso com a educação que queremos. Aos professores, fica o convite para que não descuidem de sua missão de educar, nem desanimem diante dos desafios, nem deixem de educar as pessoas para serem “águias” e não apenas “galinhas”. Pois, se a educação sozinha não transforma a sociedade, sem ela, tampouco, a sociedade muda. Paulo Freire RESUMO Ao lecionar a geometria analítica nas turmas do 3ª ano do Ensino Médio, sempre observava que a maioria dos alunos não se lembrava das principais propriedades da geometria plana, e tinha muita dificuldade em fazer a analogia entre esta e o plano cartesiano. Visando a melhorar esse aprendizado, pensei em uma proposta de intervenção que fizesse o aluno trabalhar, de uma forma mais prazerosa, esse conteúdo. Com o advento da computação e do software GeoGebra, tentei elaborar aulas práticas, em dupla ou individual, para que eles pudessem revisar e aprofundar os principais conceitos da geometria analítica plana. Esse trabalho foi então elaborado de forma a fazer com que os alunos pudessem visualizar e aprofundar os conhecimentos previamente estudados no Ensino Fundamental e nas séries iniciais do Ensino Médio, visando a uma revisão mais aprofundada. Ele foi planejado com questões de modo a que o aluno analisasse certas propriedades previamente escolhidas, discutisse os resultados obtidos, a partir de algumas indagações, elaborasse argumentos que comprovassem as observações obtidas e descrevesse, de forma clara e sucinta, as relações e condições para explicar os conceitos e propriedades estudadas. Palavras-chave: Geometria analítica – estudo e ensino e Software gratuito. 11 Introdução 1. INTRODUÇÃO Este trabalho surge como elemento de reflexão e apoio mediante as dificuldades que os professores encontram para trabalhar a geometria analítica plana. Ele tem a intenção de mostrar uma forma de facilitar a compreensão dos conceitos previamente estudados, utilizando o computador como recurso pedagógico, no processo de aprendizagem junto aos seus alunos. Em pleno século XXI com o uso da informática e todo avanço tecnológico, percebe-se ainda na prática docente algumas fragilidades nessa área, onde o professor, possivelmente, no seu processo de formação, não teve a oportunidade de acesso ao conhecimento necessário para o uso desta ferramenta. Vale ressaltar que os nossos alunos já possuem uma maior facilidade de aceitação e uso destas tecnologias, pois já nasceram nesta era digital e desde cedo já vivenciam o uso destas, fazendo com que os recursos do computador lhe sejam mais agradáveis e fáceis de serem utilizados. A entrada dos computadores na educação não pode ser discutida de forma desconectada das mudanças tecnológicas que ocorrem no mundo. Muitos debates foram realizados para que se tivesse, em 1984, a aprovação da lei nº 7.232, pelo Congresso Nacional, que definiu a forma como o Governo brasileiro interviria neste setor. Nesse sentido, viu-se então como relevante a realização de uma pesquisa sobre o uso da informática em sala de aula na intenção de contribuir com uma investigação e avaliação que proporcione melhorias significativas no desenvolvimento da prática docente com o uso da informática como elemento facilitador do processo ensino-aprendizagem. Por isso, por meio de uma análise dialética que permitiu entender como o objeto de análise se estrutura, é que se pode interpretar e aproximar-se da compreensão do processo de informatização da escola. Ao mesmo tempo, em que vivemos em um momento de profunda necessidade de transformação do sistema educacional brasileiro, na expectativa de garantir uma escola pública, democrática e de qualidade à classe trabalhadora, nossa análise da Política de Informática Educativa não pode restringir-se apenas à sua interpretação, mas antes de tudo contribuir na perspectiva de sua transformação. Nos últimos 13 anos, o uso das Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC’s) nos processos de ensino e aprendizagem tornou-se foco de debates e ações protagonizadas por governos, instituições de ensino, educadores e pesquisadores. As teorias e práticas associadas à informática na educação vêm repercutindo em nível mundial, justamente porque as ferramentas e mídias digitais oferecem à didática, objetos, espaços e instrumentos capazes de 12 Introdução renovar as situações de interação, expressão, criação, comunicação, informação, cooperação e colaboração, tornando-as muito diferentes daquelas tradicionalmente fundamentadas na escrita e nos meios impressos. O acesso às redes de computadores por parte do sistema educativo vem sendo ampliado gradativamente, demonstrando que a potencialidade para fins didáticos deste meio, ainda tem muito a oferecer. No entanto, a inclusão digital nas escolas não significa apenas instalar equipamentos. É preciso preparar professores e toda a comunidade educacional, na perspectiva de se quebrar as barreiras existentes e todos se apropriarem do uso dessa poderosa ferramenta como apoio as suas atividades de rotina. Oliveira (2007) parafraseando o que determina o inciso I do art.6, no titulo VI dos Profissionais da Educação, na LDB, discorre sobre o necessário aprimoramento da prática docente ao dizer: “[...] na busca de formar um profissional crítico, competente e comprometido com a transformação social deve estar presente, também ações posteriores como capacitações”. Assim, pois, dotar o professor de uma formação para utilizar o computador na escola não se pode reduzir apenas a instrumentá-lo de habilidades e conhecimentos específicos, mas também garantir que ele tenha compreensão das relações entre essa tecnologia e a sociedade. A origem da informática não pode estar desassociada da própria história do computador uma vez que a origem deste remonta ao período em que o homem começou a sentir a necessidade de contar as coisas. A essa ação denominou-se computare, daí a denominação da palavra Computador. E como quem conta também faz cálculos, o homem sentiu que era hora de agilizar sua tarefa de calcular. A primeira máquina efetiva de calcular foi o ábaco chinês, criado a mais de dois mil anos atrás e utilizado até hoje em algumas partes do mundo. Segundo Andrade (1996, p. 23): O Brasil iniciou a busca de um caminho para informatizar a educação em 1971, quando pela primeira vez se discutiu o uso de computadores no ensino de Física. Em 1973, algumas experiências começaram a ser desenvolvidas em outras universidades, usando computadores de grande porte como recurso auxiliar do professor para ensino e avaliação em Química (Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ) e desenvolvimento de software educativo na Universidade Federal do Rio Grande do Sul - UFRGS. 13 Introdução A cultura nacional de informática na educação teve início nos anos 80, a partir dos resultados de dois seminários internacionais nos anos de 1981 e 1982 sobre o uso do computador como ferramenta auxiliar do processo de ensino-aprendizagem. Surgiu, em tais seminários, a ideia de implantar projetos-piloto em universidades, o que originou, em 1984, o Projeto EDUCOM - Associação Portuguesa de Telemática Educativa (APTE), fundada em 2 de Outubro de 1995, sem fins lucrativos, que tem por finalidade promover a utilização dos meios telemáticos em ambientes educativos, iniciativa conjunta do MEC, Conselho Nacional de Pesquisas - CNPq, Financiadora de Estudos e Projetos - FINEP e Secretaria Especial de Informática da Presidência da República - SEIPR, voltada para a criação de núcleos interdisciplinares de pesquisa e formação de recursos humanos nas universidades federais do Rio Grande do Sul (UFRGS), do Rio de Janeiro (UFRJ), Pernambuco (UFPE), Minas Gerais (UFMG) e na Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP). Dessa forma, a história vem comprovar que a educação reflete as características de seu tempo, de sua época e, consequentemente, as instituições educacionais estão obrigadas a repensar as formas de comunicação e acesso a este conhecimento, a sua atuação e modelo enquanto formadores em educação. Hoje, diante de tantos avanços, exige-se do profissional de educação a formação necessária para operacionalizar de forma eficiente essas ferramentas atribuindo um sentido ao seu uso, visto que estas, e entre elas o computador, têm provocado uma revolução na educação por causa de sua capacidade de facilitar o acesso a informações a inúmeras pessoas. É válido mencionar, no entanto que o computador não é um fim em si mesmo, mas pode enriquecer ambientes de aprendizagem onde o aluno, interagindo com os objetos desse ambiente, tem chance de construir o seu próprio conhecimento. Sendo assim, Valente (2009, p. 23) vai dizer que: [...] o computador apresenta recursos importantes para auxiliar o processo de mudança na escola - a criação de ambientes de aprendizagem que enfatizam a construção do conhecimento e não a instrução. Isso implica em entender o computador como uma nova maneira de representar o conhecimento provocando um redimensionamento dos conceitos básicos já conhecidos e possibilitando a busca e compreensão de novas ideias e valores. Usar o computador com essa finalidade requer a análise cuidadosa do que significa ensinar e aprender, demanda rever a prática e a formação do professor para esse novo contexto, bem como mudanças no currículo e na própria estrutura da escola. 16 Introdução Caberá ao professor saber desempenhar um papel desafiador, mantendo vivo o interesse do aluno, e incentivando relações sociais, de modo que os alunos possam aprender uns com os outros e saber como trabalhar em grupo. Além disso, o professor deverá servir como modelo de aprendiz e ter um profundo conhecimento dos pressupostos teóricos que embasam os processos de construção de conhecimento e das tecnologias que podem facilitar esses processos. (VALENTE, 1999, p. 43-44) Também Valente (1999, p. 107) destaca que, quando utilizadas de forma questionadora, as TIC’s podem ser uma poderosa ferramenta para auxiliar o aluno na construção do seu conhecimento: “A possibilidade que o computador oferece como ferramenta para ajudar o aprendiz a construir o conhecimento e a compreender o que faz, constitui uma verdadeira revolução do processo de aprendizagem”. Outra contribuição interessante que reforça o uso de mídias informáticas no processo de ensino e aprendizagem de conceitos matemáticos vem de Franchi (2007), ao afirmar que: A informática facilita as visualizações, possibilita testar mudanças relacionadas a características algébricas de conceitos matemáticos e observar as variações resultantes no aspecto gráfico e acrescenta que a comparação entre as representações gráficas, algébricas e numéricas, a observação e a reflexão sobre o observado podem levar à elaboração de conjecturas. (FRANCHI, 2007, p. 184) Dessa forma, acreditamos que a inserção dos computadores no ensino de Matemática, em particular, no ensino de Geometria Analítica, trará significativas contribuições para o ensino e também para a aprendizagem, como sugerem os PCN’s (1998): O uso dessas tecnologias traz significativas contribuições para se repensar o processo de ensino-aprendizagem da Matemática à medida que: relativiza a importância do cálculo mecânico e da simples manipulação simbólica, uma vez que por meio de instrumentos esses cálculos podem ser realizados de modo mais rápido e eficiente; evidencia para os alunos a importância do papel da linguagem gráfica e de novas formas de representação, permitindo novas estratégias de abordagem de variados problemas; possibilita o desenvolvimento, nos alunos, de 17 Introdução um crescente interesse pela realização de projetos e atividades de investigação e exploração como parte fundamental de sua aprendizagem; permite que os alunos construam uma visão mais completa da verdadeira natureza da atividade matemática e desenvolvam atitudes positivas frente ao seu estudo. (PCN’s, 1998, p. 43) 18 Capítulo 1 – O software GeoGebra CAPÍTULO 1 – O SOFTWARE GEOGEBRA Criado por Markus Hohenwarter, o GeoGebra é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis de ensino (do básico ao universitário). O GeoGebra reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si. Além dos aspectos didáticos, o GeoGebra é uma excelente ferramenta para se criar ilustrações profissionais para serem usadas no Microsoft Word, no Open Office ou no LaTeX. Escrito em JAVA e disponível em português, o GeoGebra é multiplataforma e, portanto, ele pode ser instalado em computadores com Windows, Linux ou Mac OS. (retirado de: http://www.geogebra.im-uff.mat.br/ em 16/01/2013). Markus Hohenwarter Creator of GeoGebra, Project Director markus@geogebra.org Para fazer o download do software, bem como, adquirir todas as informações de instalação e o tutorial contendo instruções de uso e exemplos do GeoGebra basta acessar o sítio: http://www.geogebra.org/cms/pt_BR. 21 Capítulo 1 – O software GeoGebra 1.5 – Zona Algébrica Usando a Entrada de Comandos pode-se inserir diretamente expressões algébricas no GeoGebra. Após ter clicado a tecla Enter, a expressão algébrica digitada aparece na Zona Algébrica e a respectiva representação gráfica aparece na Zona Gráfica. Por exemplo, inserindo f(x) = x^2 aparece a função f na Zona Algébrica e o respectivo gráfico na Zona Gráfica. Na Zona Algébrica, os objetos matemáticos são organizados em duas classes: objetos livres e objetos dependentes. Ao se criar um novo objeto sem que para tal se use qualquer objeto existente, ele é classificado como objeto livre. Se, pelo contrário, o seu novo objeto for criado com recurso a objetos já existentes, ele é classificado como objeto dependente. Sugestão: se quiser esconder a representação algébrica de um objeto na Zona Algébrica, pode especificá-lo como um Objeto Auxiliar. Para isso, comece por clicar com o botão direito do mouse (MacOS: Ctrl-clique) na representação algébrica do objeto e selecione ‘Propriedades’ no Menu de Contexto que aparece. Depois, no separador ‘Básico’ do Diálogo de Propriedades pode-se especificar o objeto como ‘Objeto auxiliar’. Por padrão, os objetos auxiliares não são mostrados na Zona Algébrica, mas pode-se mudar esta configuração selecionando o item ‘Objetos auxiliares’ no menu Exibir. Note que também pode-se modificar objetos na Zona Algébrica. Para isso, comece por assegurar-se que se tem a ferramenta Mover ativada antes de fazer duplo clique com o botão esquerdo do mouse sobre um objeto livre na Zona Algébrica. Depois, na caixa de texto que aparece, pode-se editar diretamente a representação algébrica do objeto. Finalmente, após ter clicado a tecla Enter, a representação gráfica do objeto será adaptada automaticamente às alterações efetuadas. Ao se fazer duplo clique com o botão esquerdo do mouse sobre um objeto dependente na Zona Algébrica, aparece uma janela de diálogo que permite redefinir o objeto. O GeoGebra também oferece uma vasta gama de comandos que podem ser inseridos no Campo de Entrada. Pode-se abrir a lista de comandos no lado direito da Barra de Comandos, clicando no botão ‘Comando’. Depois de selecionar um comando nesta lista (ou digitar o seu nome diretamente no Campo de Entrada), pode-se pressionar a tecla F1 para se obter informação sobre a sintaxe e os argumentos requeridos para aplicar o correspondente comando. 22 Capítulo 1 – O software GeoGebra 1.6 – Folha de Cálculo Na Folha de Cálculo do GeoGebra, cada célula tem um nome específico que permite identificá-la diretamente. Por exemplo, a célula na coluna A e linha 1 é nomeada A1. Nota: o nome de uma célula pode ser usado em expressões e em comandos para identificar o conteúdo da célula correspondente. Nas células da folha de cálculo pode-se inserir não só números mas também todo o tipo de objetos matemáticos suportados pelo GeoGebra (eg., coordenadas de pontos, funções, comandos). Se possível, o GeoGebra mostra imediatamente na Zona Gráfica a representação gráfica do objeto inserido numa célula. O objeto toma o nome da célula usada para o criar (e.g., A5, C1). Nota: por padrão, os objetos na folha de cálculo são classificados como Objetos Auxiliares na Zona Algébrica. Pode-se exibir ou esconder estes Objetos Auxiliares marcando ou desmarcando o item ‘Objetos Auxiliares’ no menu Exibir. 23 Capítulo 2 – Atividades exploratórias de geometria analítica plana CAPÍTULO 2 – ATIVIDADES EXPLORATÓRIAS DE GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA Na elaboração das atividades para o laboratório, procuramos elaborar atividades que explorassem os conceitos básicos (mas fundamentais nesta etapa escolar), bem como propriedades fáceis de se verificar e explorar, promovendo uma análise crítica e exigindo dos alunos uma descrição/conclusão de tais conceitos. Nessa perspectiva, elaboramos as seguintes atividades: 2.1 – ATIVIDADE 1: Objetivo: Apresentar o software GeoGebra aos alunos e trabalhar as principais ferramentas, dando um pouco de prática aos mesmos. Para esta atividade inicial, iremos construir alguns elementos gráficos com eles, tais como: 1) Ponto no plano cartesiano; 2) Reta no plano cartesiano; 3) Polígonos convexos; 4) Retas paralelas; 5) Retas perpendiculares; 6) Interseção de objetos; 7) Ponto médio; 8) Mediatriz de um segmento; 9) Ângulo. DESENVOLVIMENTO: Usando a barra de botões abaixo, construa os seguintes itens: 1º) Insira os pontos A = (3 , -1), B = (-2 , -1) e C = (1 , 4) no plano cartesiano (estes pontos podem ser inseridos através da janela entrada na parte inferior da tela do GeoGebra); 26 Capítulo 2 – Atividades exploratórias de geometria analítica plana 1º) Vamos plotar o gráfico das retas r e s no GeoGebra: r: 2x + 3y – 5 = 0 e s: 4x + 6y + 5 = 0 2º) Pela observação dos gráficos, o que você pode concluir acerca das retas? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ . 3º) Na janela de álgebra do GeoGebra, vamos selecionar a equação da reta r, clicar com o botão direito do mouse em “Equação y = ax + b” e obter a equação reduzida da reta. Agora, vamos identificar o coeficiente angular e o coeficiente linear da reta r. Logo após, façamos o mesmo com a reta s. r: ___________________________________________ ar = _______ br = ____________ s: ___________________________________________ as = _______ bs = ___________ 4º) A partir do que você observou e analisou no item anterior, o que você pode concluir acerca da condição geral para que duas retas sejam paralelas? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 5º) Construindo um feixe de retas paralelas. Vamos criar um seletor c  [– 15 , 9] com incremento 3. No campo de entrada de dados do GeoGebra, vamos digitar a equação da reta r: x – 2y + c = 0. Agora, vamos movimentar o seletor e observar o movimento da reta. O que você observa? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________. 27 Capítulo 2 – Atividades exploratórias de geometria analítica plana 6º) Agora, vamos clicar com o botão direito do mouse sobre a reta, selecionar “Habilitar Rastro” e movimentar, para verificar a validade de suas observações do item anterior. 7º) Vamos escolher alguns valores para c no intervalo dado (por exemplo, um valor positivo, um valor negativo e o valor nulo) e anotar a equação geral de cada uma das retas. Agora, vamos plotá-las no GeoGebra, obter a equação reduzida e identificar o coeficiente angular e o coeficiente linear de cada uma das retas. r1: ___________________________________________ a1 = ________ b1 = ___________ r2: ___________________________________________ a2 = ________ b2 = ___________ r3: ___________________________________________ a3 = ________ b3 = ___________ 8º) A partir do que você observou, agora vamos tentar generalizar. Como seria a equação geral do feixe de retas paralelas a uma certa reta a0x + b0y + c0 = 0? ______________________________________________________________________ Justifique:___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________. 9º) Vamos plotar o gráfico das retas r e s no GeoGebra: r: 3x – 4y – 10 = 0 e s: x + y – 1 = 0. 10º) Utilizando a barra de ferramentas, vamos clicar no 2º botão e, em seguida, em “Interseção de Dois Objetos”. Agora, vamos clicar sobre o ponto de interseção na tela. Qual é o ponto de interseção das duas retas? P = (........ , .........) 11º) Na janela de álgebra do GeoGebra, vamos selecionar a equação da reta r, clicar com o botão direito do mouse em “Equação y = ax + b” e obter a equação reduzida da reta. Agora, 28 Capítulo 2 – Atividades exploratórias de geometria analítica plana vamos identificar o coeficiente angular e o coeficiente linear da reta r. Logo após, façamos o mesmo com a reta s. Finalmente, verifique algebricamente qual é o ponto de interseção das duas retas: r: ___________________________________________ ar = _______ br = ____________ s: ___________________________________________ as = _______ bs = ___________ 12º) A partir do que você observou e analisou no item anterior, o que você pode concluir acerca da condição geral para que duas retas sejam concorrentes? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________. 13º) Vamos construir um feixe de retas concorrentes. Vamos criar um seletor m  [– 10 , 10] com incremento 1. No campo de entrada de dados do GeoGebra, vamos digitar a equação r : y + 1 = m.(x – 2). Agora, vamos movimentar o seletor e observar o movimento da reta. O que você observa? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ . 14º) Agora, vamos clicar com o botão direito do mouse sobre a reta, selecionar “Habilitar Rastro” e movimentar, para verificar a validade de suas observações do item anterior. 15º) Vamos escolher alguns valores para m no intervalo dado (por exemplo, um valor positivo, um valor negativo e o valor nulo) e anotar a equação geral de cada uma das retas. Agora, vamos plotá-las no GeoGebra e obter o ponto de interseção entre elas. A seguir, vamos verificar que este ponto satisfaz à equação de cada uma das retas. r1: _______________________________________  ___________________________ r2: _______________________________________  ___________________________ r3: _______________________________________  ___________________________ 31 Capítulo 2 – Atividades exploratórias de geometria analítica plana 5º) Vamos plotar o gráfico da circunferência λ: x² + y² = 8 no GeoGebra. A seguir, vamos criar um seletor c  [– 10 , 10] com incremento 1. No campo de entrada de dados do GeoGebra, vamos digitar a equação s: y = x + c. Agora, vamos movimentar o seletor e observar a posição da reta s em relação à circunferência λ. O que você observa? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ . 6º) Agora, vamos clicar com o botão direito do mouse sobre a reta, selecionar “Habilitar Rastro” e movimentar, para verificar a validade de suas observações do item anterior. 7º) Vamos escolher alguns valores para c no intervalo dado (por exemplo, c = 8, c = 4, c = 0, c = – 4 e c = – 8) e anotar a equação reduzida de cada uma das retas. Agora, vamos plotá-las no GeoGebra, juntamente com a circunferência λ: x² + y² = 8 e identificar a posição relativa de cada uma das retas em relação à circunferência. s1: _______________________  __________________________________________ s2: _______________________  __________________________________________ s3: _______________________  __________________________________________ s4: _______________________  __________________________________________ s5: _______________________  __________________________________________ 8º) A partir do que você observou, agora vamos discutir as posições relativas entre a reta s: y = x + c e a circunferência λ: x² + y² = 8 em função de c. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ . 32 Capítulo 2 – Atividades exploratórias de geometria analítica plana 9º) O caso da posição relativa entre duas circunferências a partir dos gráficos / equações. Vamos plotar o gráfico das circunferências no GeoGebra: λ1: x² + y² – 2x – 3 = 0 e λ2: x² + y² + 2x – 4y + 1 = 0 10º) Pela observação dos gráficos, o que você pode concluir acerca da posição relativa entre as circunferências? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ . 11º) Utilizando a barra de ferramentas, vamos clicar no 2º botão e, em seguida, em “Interseção de Dois Objetos”. Agora, clique sobre os pontos de interseção na tela. Quais são os pontos de interseção entre as circunferências? Anote suas coordenadas. _________________________________________________________________________ . 12º) Agora, verifiquemos algebricamente os pontos de interseção obtidos no item anterior. 13º) Vamos plotar o gráfico da circunferência λ1: x² + y² – 12x + 32 = 0 no GeoGebra. A seguir, vamos criar um seletor r  [1 , 10] com incremento 1. No campo de entrada de dados do GeoGebra, vamos digitar a equação λ2: x² + y² = r². Agora, vamos movimentar o seletor e observar a posição da circunferência λ2 em relação à circunferência λ1. O que você observa? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ . 33 Capítulo 2 – Atividades exploratórias de geometria analítica plana 14º) Agora, vamos clicar com o botão direito do mouse sobre a circunferência λ2, selecionar “Habilitar Rastro” e movimentar, para verificar a validade de suas observações do item anterior. 15º) Vamos escolher alguns valores para r no intervalo dado (por exemplo, r = 2, r = 4, r = 6, r = 8 e r = 10) e anotar a equação reduzida de cada uma das circunferências. Agora, vamos plotá-las no GeoGebra, juntamente com a circunferência λ1: x² + y² – 12x + 32 = 0 e identificar a posição relativa de cada uma das circunferências em relação à circunferência λ1. λ21: _______________________  ________________________________________ λ22: _______________________  ________________________________________ λ23: _______________________  ________________________________________ λ24: _______________________  ________________________________________ λ25: _______________________  ________________________________________ 16º) A partir do que você observou, agora vamos discutir as posições relativas entre as circunferências λ1: x² + y² – 12x + 32 = 0 e λ2: x² + y² = r², em função de r. 36 Capítulo 4 – Análise dos resultados CAPÍTULO 4 – ANÁLISE DOS RESULTADOS Comparando os resultados finais, aqui, após as atividades, com os obtidos nas turmas anteriores, que não participaram desse tipo de trabalho, pode-se afirmar que o ganho em aprendizado foi muito maior, o interesse e a assimilação das propriedades se mostraram bem superiores. Nas turmas anteriores, as propriedades eram vistas de forma mais rápida e sem o brilho da descoberta ou comprovação, deixando nos alunos uma impressão de que elas não tinham tanta importância. Essas turmas anteriores tinham muita dificuldade em acompanhar a disciplina de geometria analítica, pois não recordavam as propriedades da geometria plana, que são pré-requisitos para a compreensão da mesma. Por isso, muitas vezes era preciso perder bastante tempo para retomar e provar esses conceitos, antes de se iniciar o estudo da geometria analítica. Agora, com o advento do software GeoGebra, o trabalho ficou mais fácil e muito agradável para os alunos, facilitando, sobremaneira, o nosso trabalho. As atividades provocaram nos alunos o interesse em buscar outras propriedades, bem como a disputa sadia por conseguir enxergar mais propriedades nas atividades desenvolvidas. Foram muitos os alunos que tentaram usar o software para relembrar algumas propriedades da geometria plana, anteriormente estudadas. Houve aluno que, após terminar a atividade daquele dia, procurava explorar os recursos do software para poder aprender mais, e até para aplicá-los em situações de outras áreas. Notou-se, após a leitura e aplicação das atividades, que os alunos começaram a se preocupar com a forma de escrever uma propriedade, de como definir conceitos matemáticos, e não apenas em responder por si só ao trabalho. Até então, os alunos não tinham tanto interesse pelas aulas, pois achavam o conteúdo complicado e não conseguiam visualizar tão facilmente as propriedades aqui exigidas. Esse fato influenciava negativamente nas respostas dadas pelos alunos, o que levava a respostas rápidas e sem a preocupação de mostrar o verdadeiro significado do que estavam observando. A aceitação e a facilidade em trabalhar as atividades na Informática foi surpreendente. Os alunos assimilam muito melhor e mais rápido um conceito quando ele próprio o “descobre”. O ambiente virtual é para os jovens muito mais atraente, mais dinâmico, já que eles têm uma facilidade incrível no uso do computador. Precisamos apenas de indicar-lhes o que se quer e como devem fazê-lo, para que eles se empenhem e descubram as propriedades pretendidas. 37 Capítulo 4 – Análise dos resultados Os resultados obtidos das atividades aplicadas mostram que o aprendizado e o interesse dos alunos pelo conteúdo ensinado aumentaram, favorecendo significativamente o ensino-aprendizagem. Muitos conteúdos, antes tidos como chatos e difíceis, passaram a ser mais simples e, por isso mesmo, de fácil assimilação e compreensão. As propriedades, demonstradas nas atividades, para promover uma revisão e um aprofundamento de conceitos, foram totalmente assimiladas por eles, e os objetivos, amplamente alcançados. Foi gratificante e estimulador perceber a abstração, as conjecturas, a interpretação das situações criadas, e, por fim, a generalização dos conceitos abordados por parte dos alunos. A interface amigável e dinâmica do GeoGebra ajudou muito esse fato, valorizando ainda mais os resultados obtidos. 38 Referências bibliográficas REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALARCÃO, I. Formação reflexiva de professores: estratégias de supervisão. Porto: Porto editora, 2001. ALLEVATO, N. S. G. Associando o computador à resolução de problemas fechados: análise de uma experiência. Tese (Doutorado em Educação Matemática). Instituto de Geociências e Ciências Exatas. Universidade Estadual Paulista. Rio Claro, 2005. ALMEIDA, M. E. Proinfo: Informática e Formação de Professores. Brasília: Ministério da Educação / SEED, 2000. ANDRADE, P. F. A utilização da Informática na escola pública brasileira. Brasília: Secretaria de Educação a Distância, 1996. Disponível em: <http://www.proinfo.gov.br/>. Acesso em: 23 Novembro de 2012. BAPTISTA, M. Impacto da internet no desenvolvimento de competências gerais. Dissertação de Mestrado) Universidade de Aveiro, 2005. BARBOSA, J. C.; CALDEIRA, A. D.; ARAÚJO, J. L. (Orgs.). Modelagem Matemática na Educação Matemática Brasileira: pesquisas e práticas educacionais. Recife: Sociedade Brasileira de Educação Matemática, p. 177-193, 2007. BEASLEY, N.; SMYTH, K. Expected and actual student use of online learning environment: A critical analysis. Disponível em: <http://www.ejel.org/volume-2/vol2-issue1 /issue1-art21- beasley-smythe.pdf>. Acesso em: 23 Novembro de 2012. BORBA, M. C. Tecnologias Informáticas na Educação Matemática e Reorganização de Pensamento. In: BICUDO, M. A. V. (Org.). Pesquisa em Educação Matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: UNESP, 1999. 41 Referências bibliográficas SANTOS, I. N. Explorando conceitos de Geometria Analítica Plana utilizando Tecnologias da Informação e Comunicação: uma ponte do Ensino Médio para o Ensino Superior construída na formação inicial de Professores de Matemática . Dissertação (Mestrado Profissional em Educação Matemática). Universidade Federal de Ouro Preto. Ouro Preto, 2011. VALENTE, J. A. Análise dos diferentes tipos de software usados na Educação. Referência: http://www.fortium.com.br/faculdadefortium.com.br/geusiane_miranda/material/5512.pdf(ace sso em 27/05/11) VALENTE, J. A. (Org.). O Computador na Sociedade do Conhecimento. Campinas: UNICAMP / NIED, p. 89-99, 1999. ZULATTO, R. B. A. Professores de Matemática que utilizam Software de Geometria Dinâmica: suas características e perspectivas. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Instituto de Geociências e Ciências Exatas. Universidade Estadual Paulista. Rio Claro, 2002. 42 Anexos – Anexo 1 – Resoluções da atividade 1 ANEXOS ANEXO 1 – RESOLUÇÕES DA ATIVIDADE 1 Objetivo: Apresentar o software GeoGebra aos alunos e, trabalhar as principais ferramentas, dando um pouco de prática aos mesmos. Para esta atividade inicial, irei construir alguns elementos gráficos com eles, tais como: 1) Ponto no plano cartesiano; 2) Reta no plano cartesiano; 3) Polígonos convexos; 4) Retas paralelas; 5) Retas perpendiculares; 6) Intersecção de objetos; 7) Ponto médio; 8) Mediatriz de um segmento; 9) Ângulo. DESENVOLVIMENTO: Usando a barra de botões abaixo, construa os seguintes itens: 1º) Insira os pontos A = (3 , -1), B = (-2 , -1) e C = (1 , 4) no plano cartesiano (estes pontos podem ser inseridos através da janela entrada na parte inferior da tela do geogebra); 2º) Traçar as retas AB, AC e BC, usando o terceiro botão da barra acima; 3º) Traçar a reta r paralela à reta AB e que passa pelo ponto C, usando o comando oculto dentro do quarto botão da barra acima; 43 Anexos – Anexo 1 – Resoluções da atividade 1 4º) Inserir os pontos médios M, N e P dos lados AB, AC e BC do triângulo ABC, usando o comando oculto dentro do segundo botão da barra acima; 5º) Traçar a reta s perpendicular à reta r e que passa pelo ponto A, usando o comando oculto dentro do quarto botão da barra acima; 6º) Traçar o ponto D, intersecção da reta s com a reta BC, usando o comando oculto dentro do segundo botão da barra acima; 7º) Traçar a reta mediatriz t, do segmento BC, usando o comando oculto dentro do quarto botão da barra acima; 8º) Medir os ângulos do triângulo ABC, usando o comando oculto dentro do oitavo botão da barra acima. Figura 01 46 Anexos – Anexo 3 – Resoluções da atividade 3 ANEXO 3 – RESOLUÇÕES DA ATIVIDADE 3 Objetivo: Plotar retas no plano cartesiano e estudar a posição relativa de duas retas. Nesta atividade iremos traçar retas paralelas e concorrentes (em especial as perpendiculares) e verificar a condição de paralelismo, perpendicularismo e concorrência entre duas retas a partir de seus gráficos e de suas equações. DESENVOLVIMENTO: 1º) Vamos plotar o gráfico das retas r e s no GeoGebra: r: 2x + 3y – 5 = 0 e s: 4x + 6y + 5 = 0 Figura 03 2º) Pela observação dos gráficos, o que você pode concluir acerca das retas? Resposta: As retas são paralelas e não coincidentes 47 Anexos – Anexo 3 – Resoluções da atividade 3 3º) Na janela de álgebra do GeoGebra, vamos selecionar a equação da reta r, clicar com o botão direito do mouse em “Equação y = ax + b” e obter a equação reduzida da reta. Agora, vamos identificar o coeficiente angular e o coeficiente linear da reta r. Logo após, façamos o mesmo com a reta s. Figura 04 Resposta: r: y = -0,67x + 1,67 ar = -0,67 br = 1,67 s: y = -0,67x – 0,83 as = -0,67 bs = -0,83 4º) A partir do que você observou e analisou no item anterior, o que você pode concluir acerca da condição geral para que duas retas sejam paralelas? Resposta: As retas devem possuir coeficientes angulares iguais e coeficientes lineares diferentes para serem retas paralelas e não coincidentes. 5º) Construindo um feixe de retas paralelas. Vamos criar um seletor c  [– 15 , 9] com incremento 3. No campo de entrada de dados do GeoGebra, vamos digitar a equação r: x – 2y 48 Anexos – Anexo 3 – Resoluções da atividade 3 + c = 0. Agora, vamos movimentar o seletor e observar o movimento da reta. O que você observa? Resposta: A reta r se desloca de forma paralela, descrevendo um feixe de retas paralelas. Figura 05 6º) Agora, vamos clicar com o botão direito do mouse sobre a reta, selecionar “Habilitar Rastro” e movimentar, para verificar a validade de suas observações do item anterior. 51 Anexos – Anexo 3 – Resoluções da atividade 3 Figura 08 10º) Utilizando a barra de ferramentas, vamos clicar no 2º botão e, em seguida, em “Interseção de Dois Objetos”. Agora, vamos clicar sobre o ponto de interseção na tela. Qual é o ponto de interseção das duas retas? Resposta: P = (2 , -1) 11º) Na janela de álgebra do GeoGebra, vamos selecionar a equação da reta r, clicar com o botão direito do mouse em “Equação y = ax + b” e obter a equação reduzida da reta. Agora, vamos identificar o coeficiente angular e o coeficiente linear da reta r. Logo após, façamos o mesmo com a reta s. Finalmente, verifique algebricamente qual é o ponto de interseção das duas retas: Resposta: r: y = 0,75x – 2,5 ar = 0,75 br = -2,5 s: y = -x + 1 as = -1 bs = 1 52 Anexos – Anexo 3 – Resoluções da atividade 3 Figura 09 12º) A partir do que você observou e analisou no item anterior, o que você pode concluir acerca da condição geral para que duas retas sejam concorrentes? Resposta: Possuírem coeficientes angulares diferentes. 13º) Construindo um feixe de retas concorrentes. Vamos criar um seletor m  [– 10 , 10] com incremento 1. No campo de entrada de dados do GeoGebra, vamos digitar a equação r : y + 1 = m.(x – 2). Agora, vamos movimentar o seletor e observar o movimento da reta. O que você observa? Resposta: A reta r executa um movimento circular, sempre passando pelo ponto P = (2, -1) 14º) Agora, vamos clicar com o botão direito do mouse sobre a reta, selecionar “Habilitar Rastro” e movimentar, para verificar a validade de suas observações do item anterior. 53 Anexos – Anexo 3 – Resoluções da atividade 3 Figura 10 15º) Vamos escolher alguns valores para m no intervalo dado (por exemplo, um valor positivo, um valor negativo e o valor nulo) e anotar a equação geral de cada uma das retas. Agora, vamos plotá-las no GeoGebra e obter o ponto de interseção entre elas. A seguir, vamos verificar que este ponto satisfaz à equação de cada uma das retas. Figura 11 56 Anexos – Anexo 4 – Resoluções da atividade 4 ANEXO 4 – RESOLUÇÕES DA ATIVIDADE 4 Objetivo: Verificar a posição relativa entre reta e circunferência e entre duas circunferências a partir dos gráficos / equações. Nesta atividade iremos traçar retas e circunferências, verificar a posição relativa entre reta e circunferência e entre duas circunferências, a partir de seus gráficos e de suas equações. DESENVOLVIMENTO: 1º) Vamos plotar o gráfico da reta e da circunferência no GeoGebra: s: y = x e λ: x² + y² = 8 Figura 14 2º) Pela observação dos gráficos, o que você pode concluir acerca da posição relativa entre a reta e a circunferência? 57 Anexos – Anexo 4 – Resoluções da atividade 4 Figura 15 Resposta: a reta é secante à circunferência. 3º) Utilizando a barra de ferramentas, vamos clicar no 2º botão e, em seguida, em “Interseção de Dois Objetos”. Agora, clique sobre os pontos de interseção na tela. Quais são os pontos de interseção entre a reta e a circunferência? Anote suas coordenadas. Resposta: A = (-2 , -2) e B = (2 , 2) 4º) Agora, verifiquemos algebricamente os pontos de interseção obtidos no item anterior. Resposta: 248 8 222 22       xxxx yx xy Logo: A = (2 , 2) e B = (-2 , -2) 58 Anexos – Anexo 4 – Resoluções da atividade 4 5º) Vamos plotar o gráfico da circunferência λ: x² + y² = 8 no GeoGebra. A seguir, vamos criar um seletor c  [– 10 , 10] com incremento 1. No campo de entrada de dados do GeoGebra, vamos digitar a equação s: y = x + c. Agora, vamos movimentar o seletor e observar a posição da reta s em relação à circunferência λ. O que você observa? Resposta: à medida que variamos o valor do seletor c a posição da reta em relação à circunferência muda, passando a tangenciar a circunferência ou ficando externa à mesma. 6º) Agora, vamos clicar com o botão direito do mouse sobre a reta, selecionar “Habilitar Rastro” e movimentar, para verificar a validade de suas observações do item anterior. Figura 16 7º) Vamos escolher alguns valores para c no intervalo dado (por exemplo, c = 8, c = 4, c = 0, c = – 4 e c = – 8) e anotar a equação reduzida de cada uma das retas. Agora, vamos plotá-las no GeoGebra, juntamente com a circunferência λ: x² + y² = 8 e identificar a posição relativa de cada uma das retas em relação à circunferência. 61 Anexos – Anexo 4 – Resoluções da atividade 4 12º) Agora, verifiquemos algebricamente os pontos de interseção obtidos no item anterior. Figura 19 Resposta:       0142 032 22 22 yxyx xyx Ponto A = (1 , 2): 1² + 2² – 2 . 1 – 3 = 0 ok! e 1² + 2² + 2 . 1 – 4 . 2 + 1 = 0 ok! Ponto B = (-1 , 0): (-1)² + 0² – 2 . (-1) – 3 = 0 ok! e (-1)² + 0² + 2 . (-1) – 4 . 0 + 1 = 0 ok! 13º) Vamos plotar o gráfico da circunferência λ1: x² + y² – 12x + 32 = 0 no GeoGebra. A seguir, vamos criar um seletor r  [1 , 10] com incremento 1. No campo de entrada de dados do GeoGebra, vamos digitar a equação λ2: x² + y² = r². Agora, vamos movimentar o seletor e observar a posição da circunferência λ2 em relação à circunferência λ1. O que você observa? 62 Anexos – Anexo 4 – Resoluções da atividade 4 Resposta: À medida que variamos o valor do seletor r, a posição entre as duas circunferências mudam. Podendo serem externas, tangentes ou secantes. Figura 20 14º) Agora, vamos clicar com o botão direito do mouse sobre a circunferência λ2, selecionar “Habilitar Rastro” e movimentar, para verificar a validade de suas observações do item anterior. Figura 21 63 Anexos – Anexo 4 – Resoluções da atividade 4 15º) Vamos escolher alguns valores para r no intervalo dado (por exemplo, r = 2, r = 4, r = 6, r = 8 e r = 10) e anotar a equação reduzida de cada uma das circunferências. Agora, vamos plotá-las no GeoGebra, juntamente com a circunferência λ1: x² + y² – 12x + 32 = 0 e identificar a posição relativa de cada uma das circunferências em relação à circunferência λ1. Figura 22 Resposta: λ21: x² + y² = 4  Externa λ22: x² + y² = 16  Tangente λ23: x² + y² = 36  Secante λ24: x² + y² = 64  Tangente λ25: x² + y² = 100  Externa 16º) A partir do que você observou, agora vamos discutir as posições relativas entre as circunferências λ1: x² + y² – 12x + 32 = 0 e λ2: x² + y² = r², em função de r. Resposta: Como os centros C1 = (6 , 0) e C2 = (0 , 0) distam 6 unidades e o raio R1 = 2 unidades, a posição relativa entre as circunferências em função do raio R2 = r, pode ser: 66 Anexos – Anexo 5 – Fotos das aulas práticas no laboratório 67 Anexos – Anexo 5 – Fotos das aulas práticas no laboratório 68 Anexos – Anexo 5 – Fotos das aulas práticas no laboratório
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