Equação Calor - Séries Fourier

Equação Calor - Séries Fourier

Academia Militar

Curso de Engenharia Militar N 123 – Análise Complexa e Equações Diferenciais

Equação do Calor

Professor Docente: Prof. Sandra Pinelas

Trabalho realizado por: Luís Miguel Raposo Cardoso, Nº278 André Gonçalves Gomes, Nº 339

Amadora, Janeiro de 2012

Academia Militar

Curso de Engenharia Militar N 123 – Análise Complexa e Equações Diferenciais

Equação do Calor

Professor Docente: Professor Docente: Prof. Sandra Pinelas

Trabalho realizado por: Luís Miguel Raposo Cardoso, Nº278 André Gonçalves Gomes, Nº 339

Amadora, Janeiro de 2012

Equação do Calor i

Síntese Biográfica dos Autores

André Gonçalves Gomes, nascido a 14 de maio de 1992, natural de Lisboa. Vive actualmente em Santarém na freguesia de Almoster.

Fiz o ensino básico na E.B. 2,3, Colégio Infante Santo e o ensino secundário no curso de ciências e tecnologias, na Escola secundária Dr. Ginestal Machado.

Posteriormente concorri à Academia Militar para o curso de Engenharias, como primeira opção, no qual me encontro, após ter reprovado um ano.

Luís Miguel Raposo Cardoso filho de Maria de Fátima Carrega

Raposo Cardoso e Luís Filipe Moreira dos Santos Cardoso, tem um irmão gémeo e uma irmã mais velha, dois anos de idade.

Desde os dois anos e meio que frequentou escolas primárias, como a Escola do Paraíso, em Alhandra, e o Centro de Educação Básica Infantil do CEBI, em Alverca do Ribatejo. Aos seis anos de idade ingressou na Escola Básica do 1ºCiclo Nº5 de Alverca, dando assim, início à sua formação académica. Fora sempre um aluno de notas exemplares e, a boa conduta era uma das suas características. A prossecução dos estudos deu-se de forma regular, tendo passado pela Escola Básica 2,3 Pedro Jacques de Magalhães e, pela Escola Secundária de Gago Coutinho.

O seu gosto e paixão pelos aviões e todo o mundo que é movido pela aviação, motivaram a sua candidatura à Academia da Força Aérea, concluída sem sucesso. Contudo, ingressou no Instituto Superior de Educação e Ciências, no curso de Ciências Aeronáuticas; e no Instituto Superior de Engenharias de Lisboa, passado um ano, no curso de Engenharia Mecânica.

Actualmente, é um Cadete da Academia Militar a frequentar o segundo ano do curso de Engenharia Militar que aspira a ser, no amanhã, um respeitável oficial do Exército Português.

Equação do Calor i

Epígrafe

"A vida não dá e nem empresta, não se comove e nem se apieda. Tudo quanto ela faz é retribuir e transferir aquilo que nós lhe oferecemos”

Albert Einstein

Equação do Calor i

Lista de Abreviaturas, Acrónimos e Siglas

E Eng Mil – Engenharia Militar

Equação do Calor iv

S S.Mat – Serviço de Material

T Tms - Transmissões

Equação do Calor v

Síntese Biográfica dos Autoresi
Epígrafei
Lista de Abreviaturas, Acrónimos e Siglasi
Índice geralv
Capítulo 1 – Enquadramento1
1.1 Introdução1
Capítulo 2 – Desenvolvimento5
2.1 Séries de Fourier5
2.1.1 Exemplo de uma Série de Fourier6
2.1 A Equação do Calor8
2.2.1 Dedução9
Capítulo 3 - Conclusão14

Equação do Calor 1

Capítulo 1 – Enquadramento

1.1 Introdução

Dentro do âmbito da disciplina de Análise Complexa e Equações Diferenciais, ministrada aos Cadetes Alunos do curso de Eng. Mil., Tms e S.Mat no 2º Ano, surgiu a oportunidade de realizar um trabalho de investigação individual, cujo produto incidiria no enquadramento teórico, explicação e dedução da equação do calor. Este serviria de “background” ao desenvolvimento de capacidades e conhecimentos que de futuro e, ao longo de cada curso, vão ser necessários.

Este trabalho também visa o estudo das Séries de Fourier, a sua convergência e outras propriedades intrínsecas.

Em particular, mostra como é possível expandir uma função suficientemente regular numa série de senos ou série de co-senos.

Como motivação para o estudo das séries de Fourier, e relacionado com o tema a aprofundar ao longo deste trabalho, verifique-se a Equação do Calor:

Esta equação modela a evolução da temperatura u(t,x) no instante de tempo t e na posição x de uma barra de comprimento L.

Por outro lado, observa-se que nas extremidades da barra a temperatura é mantida permanentemente em zero:

CAPÍTULO 1 – ENQUADRAMENTO TEÓRICO

Equação do Calor 2

De alguma forma e, adequando ao objectivo pretendido, procuramos prioritariamente soluções da forma:

Desta forma, encontram-se as condições necessárias para aplicar o método da separação de variáveis, que substituindo na Equação de Calor, obtém-se:

Da equação final estabelecida, repare-se que existe independência entre os membros da equação, ou seja, o membro esquerdo não depende de x e o membro direito

Desta forma, é também possível estabelecer duas igualdades: =−e +=0

A primeira equação (T), tem como solução geral

CAPÍTULO 1 – ENQUADRAMENTO TEÓRICO

Equação do Calor 3

Daqui retira-se a solução geral para a equação de X:

Observando os resultados obtidos, de

CAPÍTULO 1 – ENQUADRAMENTO TEÓRICO

Equação do Calor 4

= acos7√9 + $:;<7√9,#,$ ∈ ℝ

=$:;<*BC./-, <∈A Pela conjugação das fórmulas:

e=$:;<*BC./-,<∈A

Equação do Calor 5

Capítulo 2 – Desenvolvimento 2.1 Séries de Fourier

Fazendo uma análise, de carácter matemático, uma série de Fourier resulta da representação de uma função periódica, como uma soma de funções periódicas da forma: E= FB. , que representam equações harmónicas de F. .

Atendendo à Fórmula de Euler, uma série pode ser representada, de forma equivalente, em termos de funções seno e funções co-seno.

Em traços gerais, pode-se afirmar que as Séries de Fourier são formas de representar funções como soma de funções exponenciais (carácter complexo) ou funções trigonométricas (recorrendo a senos e co-senos).

Seguindo o contexto e os objectivos a que se propõe o presente trabalho, somente será dada ênfase à forma trigonométrica, para representar estas séries.

Forma Trigonométrica:

G:D→D, uma função real, com período de 2K, isto é, G+2K=G,−K≤≤K, M#N# OPO ∈D

Considerando a função

Nesta forma de representação, repare-se na presença de coeficientes, na forma de #B, que são dados por:

CAPÍTULO 2 – DESENVOLVIMENTO

Equação do Calor 6

Desta forma, estamos perante uma série de Fourier de f. 2.1.1 Exemplo de uma Série de Fourier

Consideremos a função

G[ 0: − 1 ≤  ≤ 01 : 0 ≤  ≤ 1

Com K=1 obtemos:

X = \ cos<@P = 0,∀ < ∈ AX
= 1 − −1B<@ ,∀ < ∈ A

A série de Fourier de f é então:

Para cada função G pertencente ao domínio de K, tem-se que:

CAPÍTULO 2 – DESENVOLVIMENTO

Equação do Calor 7

CAPÍTULO 2 – DESENVOLVIMENTO

Equação do Calor 8

2.1 A Equação do Calor

A Equação do Calor, de índole físico, representa um modelo matemático para a difusão de calor em sólidos. Modelo esse que consiste numa equação diferencial, também designada por Equação da Difusão Térmica.

Em 1822, Joseph Fourier publicou um ensaio seu, denominado como Théorie Analytique de la Chaleur, onde divulgou um método matemático usado para modelar a condução de calor numa barra, a Equação do Calor para uma variável Espacial: != ..

Relevante será firmar, que uma equação diferencial parcial é uma equação que contém uma ou mais derivadas parciais de uma variável dependente, que é uma função de pelo menos duas variáveis independentes.

O intuito da equação em estudo consiste em modelar o processo de condução de calor num sólido homogéneo, isotrópico e inacessível a quaisquer fontes de calor exteriores.

A equação acima referida modela a variação de temperatura , com a posição e o tempo , numa barra aquecida ao longo do eixo de .

Assume-se ainda que a secção transversal característica da barra, perpendicular a , tem uma Área de j, e a sua composição é dada por um material homogéneo. Os valores de j são considerados, de tal maneira pequenos, afim da variação de temperatura ser constante em cada secção transversal. Assim sendo, garante-se que a função será dada em função de e .

Equação de Calor, para o

Estudo das Séries de Fourier u=u(x,t), representa uma função de duas variáveis, x e t; x representa a variável espacial (compreendida num intervalo limitado pelo comprimento da barra, L.

t representa a variável associada ao tempo.

CAPÍTULO 2 – DESENVOLVIMENTO

Equação do Calor 9

De uma forma mais pormenorizada, consideremos uma barra condutora, de dimensão linear preponderante e dimensões seccionais insignificantes, como, por exemplo, um arame bem fino e bem extenso em comprimento, isolado termicamente do meio ambiente a não ser as suas extremidades.

Se colocarmos a barra, no sentido do seu comprimento sobre o eixo dos x, e aquecermos uma das extremidades, o fluxo de calor dar-se-á longitudinalmente, da extremidade mais quente para a mais fria, conforme rege a lei do resfriamento de Newton. Deste modo, estamos a lidar com um problema de condução térmica unidimensional.

Assim queremos uma função u: R ⊂ R²→ R, u(x, t) , que descreva a temperatura num ponto x da barra num dado instante t, esta é nossa motivação! Fourier modelou, baseado nas suas experiências, uma equação que descreve a quantidade de calor transferida de uma secção transversal para outra por unidade de tempo (fluxo l∆n de calor, cuja unidade S.I. é W , i.e.,o watt [joule por segundo] ) em função da área das mesmas, A , que supomos constante, da distância entre duas destas secções, d, e do módulo da diferença entre as temperaturas nestas extremidades, T1 e T2. A Lei de Fourier que modela este fenómeno, fixando um intervalo de tempo ∆t,

Onde Q é a quantidade de calor absorvida ou cedida por um material, medida em joules, J, A é a área da secção transversal da barra, T1 e T2 são as temperaturas nas extremidades e d é o comprimento da mesma. Inserimos uma constante de proporcionalidade que se chama condutibilidade térmica, κ, e temos:

A Lei de Fourier, como vemos, é independente do tempo (pois fixamos o intervalo de tempo), portanto precisamos de uma função que descreva de um modo mais completo a situação da barra, i.e., uma função que descreva a temperatura (dependente do fluxo do calor, l ∆n, em função do tempo e da sua coordenada espacial.

CAPÍTULO 2 – DESENVOLVIMENTO

Equação do Calor 10

Definamos, agora, a função na qual estamos interessados, sempre considerando que o calor está a fluir da extremidade mais quente para a mais fria. Uma função u : U ⊂ R²→ R, u(x, t), é dita de classe C(2) se suas derivadas parciais de segunda ordem , v²xvy², v²xvn², v²xvyvn, v²xvnvy, existirem e forem contínuas em U ⊂ R².

Seja u(x, t) uma função de classe C(2) que descreve a temperatura da barra na sua coordenada x, no instante t. Para contornar a dificuldade da ausência da variável tempo na Lei de Fourier, introduzimos a grandeza fluxo de calor através de x num instante t, do seguinte modo:

- Fixamos o tempo em na equação anterior, e fazemos T2 = u(x + d, t) e T1 = u(x, t);

- Passamos o limite da função u(x + d, t) − u(x, t) quando d tende a zero. Assim, se denotarmos por q (x, t) o fluxo de calor através de x no instante t, temos:

Como a temperatura decresce conforme x cresce, introduzimos um sinal de menos em (1.2), que fica:

Fixamos, agora, ∆ > 0, um elemento entre os pontos x(0) e x (0 + ∆ ), ao longo do eixo dos x. Calcularemos o calor que entra em x (0) no período de tempo, para ∆ > 0 entre t(0) e t(0 + τ) .

Fixe-se um ponto qualquer da barra, x(0) , e define-se Δ como sendo a quantidade de calor que entra na região delimitada por x(0) e x(0 + δ) num intervalo de tempo arbitrário, de t(0) a t0 + τ . Esta quantidade é escrita como:

Pela Lei de Fourier, temos:

CAPÍTULO 2 – DESENVOLVIMENTO

Equação do Calor 1

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo na equação anterior, temos:

Calor específico é uma grandeza física que define a variação térmica de determinada substância ao receber determinada quantidade de calor.

A unidade no S.I. é J kg.K (Joule por Quilograma Kelvin). Uma outra unidade mais usual para calor específico é cal g.C (Caloria por Grama Grau Celsius).

Onde ρ é a densidade volumétrica da barra, c é o calor específico do material do qual esta é constituída, V é o volume desta e ∆θ o incremento de temperatura que o

Então:

E usando novamente o Teorema Fundamental do Cálculo:

Comparando as equações, temos que:

Chegamos à conclusão que:

CAPÍTULO 2 – DESENVOLVIMENTO

Equação do Calor 12

O argumento da integral acima é contínuo pois supusemos que u(x, t) é de classe

C(2), pelo menos. Ademais, a igualdade acima é válida para todo t0 , τ, x0 , δ ∈ R.

Afirmamos que o argumento da integral acima é identicamente nulo.

Suponhamos, ab absurdo, que este seja não-nulo. Então este argumento seria positivo ou negativo para algum t0, τ, x0 , δ ∈ R. Suponha-o, sem perda de generalidade, positivo. Como este argumento é contínuo, segue que existe uma bola aberta B ⊂ R na qual este é positivo, o que implica na não-nulidade da integral, contrariando o fato da igualdade acima valer para qualquer vizinhança, o que é absurdo.

ou equação da difusão.

É de frisar ainda a importância de algumas condições que intervêm directamente na determinação da solução da equação:

1. Condição Inicial do Problema Existe uma função f(x) que descreve a temperatura da barra, paralelamente ao

CAPÍTULO 2 – DESENVOLVIMENTO

Equação do Calor 13

2. Condição do Contorno do Problema

Pode ser descrito em diferentes tipos: a) As temperaturas nas extremidades são conhecidas.

b) As extremidades da barra encontram-se isoladas termicamente, isto é, não existe fluxo de calor para o exterior, através dos limites da barra.

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Capítulo 3 - Conclusão

A concepção deste trabalho conduziu à aprendizagem e desenvolvimento de conhecimentos no âmbito das Séries de Fourier, e ainda do desenvolvimento da Equação do Calor.

Por outro lado, é importante referir que a presença de componentes de carácter teórico na introdução do trabalho reverte uma falsa motivação e vontade, que se fez sentir assim que se deu início à fase de pesquisas relacionadas com o tema.

O findar deste trabalho leva-nos a conservar um conjunto de ideias e conhecimentos, de extrema importância e utilidade na progressão do nosso percurso curricular.

Como merecedora de maior destaque, constata-se a plenitude e percepção do espaço em estudo e a importância da regularidade do domínio de determinadas funções a considerar.

A dedução da equação do calor conduz-nos, assim, a uma maravilhosa fonte de motivações para futuros estudos no âmbito da análise matemática, ao nos apresentar uma aplicação palpável desta no quotidiano, mostrando-nos a complexidade e a utilidade das equações diferenciais parciais.

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Bibliografia Livros:

BARREIRA, Luís (2009), Análise Complexa e Equações Diferenciais,. Lisboa, Instituto Superior Técnico

Artigos e Publicações:

BERNI, Jean Cerqueira (2009), Equação do Calor - Modelagem Matemática e Método de Fourier, policopiado. São Paulo, Universidade Estadual Paulista

PINELAS, Sandra (2012). Introdução às Equações Diferenciais, policopiado. Lisboa, Academia Militar

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