Halliday - Alguns Exercícios Resolvidos - 08-conserva??o da energia

Halliday - Alguns Exercícios Resolvidos - 08-conserva??o da energia

(Parte 1 de 2)

Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo http://www.cce.ufes.br/anderson anderson@npd.ufes.br Última atualização: 23/07/205 09:0 H

RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FÍSICA 1

Capítulo 8 - Conservação da Energia

Problemas

Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos

(Pág. 159)

02. Alega-se que até 900 kg de água podem ser evaporados diariamente pelas grandes árvores. A evaporação ocorre nas folhas e para chegar lá a água tem de ser elevada desde as raízes da árvore. (a) Suponha que em média a água seja elevada de 9,20 m acima do solo; que energia deve ser fornecida? (b) Qual a potência média envolvida, se admitirmos que a evaporação ocorra durante 12 horas?

Solução.

(a) A água ao ser transportada para o topo da árvore tem sua energia potencial aumentada de UA = 0 até UB = mgh. Ou seja:

BAUU UΔ= − Um ghΔ=

[Início]

10. Um carro de montanha russa, sem atrito, parte do ponto A (Fig. 25) com velocidade v0. Calcule a velocidade do carro: (a) no ponto B, (b) no ponto C, (c) no ponto D. Suponha que o carro possa ser considerado uma partícula e que permaneça o tempo todo no trilho.

(Pág. 159)

Solução. Como a única força que realiza trabalho (peso do carrinho) é conservativa, o sistema é conservativo.

Portanto é possível aplicar o princípio da conservação da energia mecânica. Vamos supor que na base da montanha russa Ug = 0. (a)

ABEE= AgABgBKUKU+=+

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ACEE= AgACgCKUKU+=+

(c)

ADEE= AgADgDKUKU+=+

[Início]

13. Uma haste delgada de comprimento L = 2,13 m e de massa desprezível pode girar em um plano vertical, apoiada num de seus extremos. A haste é afastada de θ = 35,5o e largada, conforme a Fig. 28. Qual a velocidade da bola de chumbo presa à extremidade inferior, ao passar pela posição mais baixa?

(Pág. 160)

Solução. Considere o seguinte esquema:

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES m vB

Lcosθ vA = 0 A

Ug = 0

A única força que realiza trabalho neste sistema é o peso da massa m. A tensão na corda, que é radial, é sempre ortogonal aos deslocamentos tangenciais da massa e, portanto, não realiza trabalho. Logo, a energia mecânica do sistema é conservada:

ABEE= AgABgBKUKU+=+

A expressão literal da resposta indica que se 1 − cos θ = 0 implica em vB = 0. Isso ocorre quando cos θ = 1 ou θ = 0. o

[Início]

(Pág. 161)

21. A mola de um revólver de brinquedo tem constante elástica de 7,25 N/cm. O revólver é inclinado de 36,0o acima da horizontal e dispara uma bola de 78 g à altura de 1,9 m acima da boca do revólver. (a) Qual a velocidade de saída da bola? (b) De quanto deve ter sido comprimida inicialmente a bola?

Solução. Considere o seguinte esquema da situação:

g y

k θA

C vC d θ

Como o sistema é conservativo, vamos aplicar o princípio da conservação da energia mecânica aos pontos B e C.

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C BgBCgKUKU+=+

No ponto C o projétil tem velocidade vertical igual a zero e velocidade horizontal (que é a velocidade do projétil) igual a v0 cos θ.

1c os ghvθ==−"

010 m/sv≈ (b) Aplicando-se o princípio da conservação da energia mecânica aos pontos A e B:

ABEE= Ag A eA B gBe BK U K U U++ = + +

20110sen002

mgd kd mv k

As raízes desta equação são:

Como d > 0:

[Início]

23. Uma corrente é mantida sobre uma mesa sem atrito, ficando um quarto do seu comprimento dependurado na borda (veja Fig. 3). O comprimento da corrente é L e sua massa m; que trabalho é necessário para puxar para o tampo da mesa a parte dependurada?

(Pág. 161)

Solução.

Considerando-se que a força F irá puxar a corrente para a direita com velocidade constante, seu módulo será sempre igual ao módulo do peso P(y) da parte suspensa da corrente. Como o peso o peso da parte suspensa da corrente é variável, F também é variável. Seja μ a densidade linear de massa da corrente:

Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES mL μ= mLμ= A massa da parte suspensa, que depende do comprimento y (coordenada vertical) vale:

()ymyμ= Logo:

Portanto, o trabalho da força F(y) vale:

L yL

[Início]

26. Duas crianças brincam de acertar, com uma bolinha lançada por um revólver de brinquedo situado na mesa, uma caixinha colocada no chão a 2,20 m da borda da mesa (veja a Fig. 35). Kiko comprime a mola de 1,10 cm, mas a bolinha cai a 27,0 cm antes da caixa. De quanto deve a mola ser comprimida pela Biba para atingir o alvo?

(Pág. 161)

Solução. Considere o seguinte esquema:

g y

xd l

Vamos aplicar o princípio da conservação da energia mecânica no lançamento horizontal da bola pela mola:

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22kx mv= Logo, para o lançamento 1 teremos:

(1) 21kxmv=2
(2) 22kxmv=

Para o lançamento 2, teremos: Dividindo-se (1) por (2):

x v x v =

=(3)

Movimento horizontal da bola:

0xxxv=+t Logo, para o lançamento 1 teremos:

(4) 1ldvt−=

Para o lançamento 2, teremos:

(5) 2lvt=

Dividindo-se (5) por (4) e lembrando-se que t tem o mesmo valor nessas equações:

ldv=−(6)

vl Substituindo-se (6) em (3):

[Início]

27. Um pequeno bloco de massa m escorrega ao longo de um aro como mostrado na Fig. 36. O bloco sai do repouso no ponto P. (a) Qual a força resultante que atua nele quando estiver em Q? (b) A que altura acima do fundo deve o bloco ser solto para que, ao passar na parte mais alta do círculo, esteja a ponto de desprender-se dele?

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(Pág. 161)

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Solução. (a) No ponto Q as forças que atuam no bloco são:

x yN

(1) mg=−Pj
i(2) N=−N

Em Q a força normal (N) é a própria força centrípeta do movimento circular de raio R, uma vez que o peso do bloco (P) não possui componente radial. Logo: 2

, QcQ mv FN R

==(3)

Aplicando-se o princípio da conservação da energia aos pontos P e Q: PQEE=

PgPQgQKUKU+=+

(4) 28Qvg=R
(5) 8Nm=

Substituindo-se (4) em (3):

(6) 8mg=−N

Substituindo-se (5) em (2):

Portanto, a força resultante sobre o bloco no ponto Q vale: =+RN P

(b) A condição para que no ponto T (topo da trajetória circular) o bloco esteja na iminência de desprender-se da superfície é que a força normal exercida pela superfície sobre o bloco (NT) seja zero. Logo, a força centrípeta do bloco no ponto T será seu próprio peso.

, TcT mvFP mg R ===

(7) 2TvgR=

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Aplicando-se o princípio da conservação da energia aos pontos S e T, onde S é o novo ponto da rampa (altura h) de onde será solto o bloco a partir do repouso:

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2102TmghmvmgR+=+2(8)

T SgSTgKUKU+=+ Substituindo-se (7) em (8):

[Início]

32. O fio da Fig. 38 tem comprimento L = 120 cm e a distância d ao pino fixo P é de 75,0 cm.

Quando se larga a bola em repouso na posição mostrada ela oscilará ao longo do arco pontilhado. Qual será a sua velocidade (a) quando alcançar o ponto mais baixo do movimento? (b) quando alcançar o ponto mais elevado depois que o fio encostar no pino?

(Pág. 162)

Solução. Considere o seguinte esquema:

BC Ug= 0 d r vA = 0 vB vC

Aplicando-se o princípio da conservação da energia aos estados A e B: ABEE= AgABgBKUKU+=+

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Esta velocidade é a mesma que seria obtida caso o bloco tivesse caído em queda livre da altura d + r.

(b) De acordo com o resultado do problema 3 (Pág. 162), para que a bola faça um círculo completo ao redor do ponto P a distância d deve ser maior do que 3L/5. Como 3L/5 = 72 cm e d = 120 cm, isso implica em d > 3L/5. Portanto, a bola faz uma trajetória circular completa ao redor do pino. Chamando de C o estado do sistema quando a bola está no topo da trajetória circular ao redor do pino:

ACEE= AgACgCKUKU+=+

A expressão literal da resposta indica que se 2d − L = 0 implica em vC = 0. Isso ocorre quando d = L/2. Isto é verdade pois, neste caso, o ponto C (topo da trajetória circular em torno do pino) coincidiria com o pino (mesma altura do ponto A).

[Início]

3. Mostre, ainda em relação à Fig. 38, que, para a bolinha do pêndulo completar uma volta inteira em redor do pino deve ser d > 3L/5. (Sugestão: A bolinha deve ter velocidade no alto da trajetória, caso contrário o fio se afrouxa.)

(Pág. 162)

Solução. Considere o seguinte esquema:

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Ug= 0 d r vA = 0 vC

A condição mínima para que a bola complete uma volta em torno do ponto P é que a tensão na corda seja zero. Nesta condição a força centrípeta do seu movimento circular será o próprio peso da bola. 2

Cc mvFP mg r ===

(1) 2(CvgrgLd==−)

Aplicando-se o princípio da conservação da energia aos estados A e C:

ACEE= AgACgCKUKU+=+

2102CmgLmvmgLd+=+−2()(2)

Substituindo-se (1) em (2):

[Início]

35. Um bloco de 3,2 kg parte do repouso e desliza uma distância d para baixo de uma rampa inclinada de 28,0o e se choca com uma mola de massa desprezível, conforme a Fig. 32. O bloco desliza mais 21,4 cm antes de parar momentaneamente ao comprimir a mola, cuja constante elástica é de 427 N/m. (a) Quanto vale d? (b) A velocidade do bloco continua a aumentar durante certo tempo depois depois de chocar-se com a mola. Qual a distância adicional que o bloco percorre antes de alcançar sua velocidade máxima e começar a diminuir?

(Pág. 162)

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Solução.

Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES (a) Considere o seguinte esquema:

Ug = 0 θ d () send + l θ

Na ausência da força de atrito o sistema é conservativo e a energia mecânica é conservada: ABEE= Ag A eA B gBe BK U K U U++ = + +

2s en kldlmgθ=−="

l A

Ug = 0 θ

() send + l θ x () send + l θ

() senl - x θ

Para encontrar a velocidade máxima que o bloco atinge após comprimir a mola de uma distância x vamos construir uma função v(x) = f(x) e em seguida encontrar o valor de x que torna dv(x)/dx = 0.

Para construir v(x), vamos aplicar a conservação da energia mecânica aos pontos A, de onde o bloco é solto com velocidade nula, e C, o ponto onde a velocidade é máxima.

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C AgAeACgCeKUUKUU++=++

O valor de x que torna dv(x)/dx = 0 vale:

2θ⎞=⎟(1)

A Eq. (1) somente será verdadeira se:

22s en 0kxg m θ−=

[Início]

36. Um garoto está assentado no topo de um hemisfério de gelo (Fig. 39). Ele recebe pequeno empurrão e começa a escorregar para baixo. Mostre que ele perde contato com o gelo num ponto situado à altura 2R/3, supondo que não haja atrito com o gelo. (Sugestão: A força normal anula-se quando se rompe o contato com o gelo.)

(Pág. 162)

Solução. Considere o seguinte esquema:

R m B

Pθ θ vBh

Como a única força que realiza trabalho é conservativa (força peso, P), há conservação da energia mecânica do sistema:

ABEE= AgABgBKUKU+=+

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2 BvhR g

=−(1)

Na posição B o garoto está na iminência de perder contato com a superfície esférica. Isto significa que a força normal (N) que o gelo exerce sobre ele é zero. Logo, a força centrípeta do seu movimento circular será a componente de P na direção radial (Pr).

crFP= senBmv hmg mg R R θ==

(2) 2Bvg=h

Substituindo-se (2) em (1):

2 gh hhR Rg

[Início]

37. A partícula m da Fig. 40 move-se em um círculo vertical de raio R, no interior de um trilho sem atrito. Quando m se encontra em sua posição mais baixa sua velocidade é v0. (a) Qual o valor mínimo vm de v0 para que m percorra completamente o círculo, sem perder contato com o trilho?

(b) Suponha que v0 seja 0,775 vm. A partícula subirá no trilho até um ponto P no qual perde contato com ele e percorrerá o arco indicado aproximadamente pela linha pontilhada. Determine a posição angular θ do ponto P.

(Pág. 162)

Solução. (a) Considere o seguinte esquema:

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Ug = 0v0 A

B vB

A condição mínima para que a partícula complete uma volta sem perder contato com o trilho é que sua força normal (N) seja zero no ponto mais alto de sua trajetória circular. Nesse ponto sua força centrípeta será o próprio peso da partícula (P).

cFP mg==

2Bmv mgR =

(1) 2Bvg=R

Aplicando-se o princípio da conservação da energia mecânica aos estados A e B:

ABEE= AgABgBKUKU+=+

22011022BmvmvmgR+=+2(2)

Substituindo-se (1) em (2):

05vg=R(3)

(b) Considere o seguinte esquema:

P R m

Ug = 0 v0θ A

P vP

No ponto P a partícula perde contato com a superfície, o que torna N nula. Logo, a força centrípeta do seu movimento circular será a componente de P na direção radial (Pr).

crFP= 2 senPmv mgR θ=

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2senPvgRθ=(4)

Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Aplicando-se o princípio da conservação da energia mecânica aos estados A e P:

APEE= AgAPgPKUKU+=+

20,77522senPvvgRgRθ=++(5)

[Início]

56. Um pequeno objeto de massa m = 234 g desliza em um trilho que tem a parte central horizontal e as extremidades são arcos de círculo (veja Fig. 46). A parte horizontal mede L = 2,16 m e nas porções curvilíneas não há atrito. O objeto é solto no ponto A, situado à altura h = 1,05 m acima do trecho horizontal, no qual ele perde 688 mJ de energia mecânica, devido ao atrito. Em que ponto o objeto irá parar?

(Pág. 164)

Solução. Considere o seguinte esquema da situação:

h L μc U = 0g

Assim que a partícula é solta, sua energia potencial gravitacional inicial UA é convertida em energia cinética. Essa energia vale:

AUm g= h h Como a parte curva não apresenta atrito, ao chegar ao ponto B sua energia cinética será:

(1) BAKUmg==

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Na parte plana o atrito começará a dissipar a energia mecânica da partícula, que está totalmente na forma de energia cinética. Devemos verificar se a partícula pára antes do ponto C ou se o ultrapassa, subindo a rampa oposta. Cada vez que a partícula atravessa a parte plana a força de atrito (f) realiza um trabalho W.

atEWΔ=

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