Halliday - Alguns Exercícios Resolvidos - 19 - ondas sonoras

Halliday - Alguns Exercícios Resolvidos - 19 - ondas sonoras

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Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo http://www.cce.ufes.br/anderson anderson@npd.ufes.br Última atualização: 28/1/2006 1:36 H

12 - Ondas Sonoras

Fundamentos de Física 2 Halliday, Resnick, Walker 4ª Edição, LTC, 1996

Física 2

Resnick, Halliday, Krane 4ª Edição, LTC, 1996

Física 2

Resnick, Halliday, Krane 5ª Edição, LTC, 2003

Cap. 18 - Ondas IICap. 20 - Ondas

Sonoras

Cap. 19 - Ondas Sonoras

Prof. Anderson (Itacaré, BA - Fev/2006)

Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FUNDAMENTOS DE FÍSICA 2 CAPÍTULO 18 - ONDAS I

101

01 02 03 04 05 06 07 0809 10 1112 13 14 15 16 17181920 2122 23 2425 26 27 28 29 30 31 32 3334 35 36 37 3839 40 4142 4344 454647 48 49 50 51 52 53 545556 57 585960 61 62 6364 65666768 6970 71727374 75 76 7 78 79 80 81 828384 8586 8788 89 90 91 92 9394 95 96 97 98 9 100 [Início documento]

(Pág. 157)

08. A velocidade do som em um certo metal é V. Em uma extremidade de um longo tubo deste metal, de comprimento L, se produz um som. Um ouvinte do outro lado do tubo ouve dois sons, um da onda que se propaga pelo tubo e outro da que se propaga pelo ar. (a) Se v é a velocidade do som no ar, que intervalo de tempo t ocorre entre os dois sons? (b) Supondo que t = 1,0 s e que o metal é o ferro, encontre o comprimento L.

Solução. Considere o seguinte esquema da situação:

vmet var L

(a) O ouvinte ouve dois sons devido à propagação do barulho metálico através do ar var e do metal vmet. O tempo decorrido para o som percorrer a distância L através do ar (tar) é:

ar Lt v

O tempo decorrido para o som percorrer a distância L através da barra metálica (tmet) é:

met met Lt v

O intervalo de tempo entre os dois sons vale: ar mettt tΔ= −

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ar met

11tL

(b) Se Δt = 1,0 s, o comprimento da barra será de: ()

364 mL≈ [Início seção] [Início documento]

1. Uma pedra é jogada num poço. O som da pedra se chocando com a água é ouvido 3,0 s depois.

(Pág. 158)

Qual é a profundidade do poço?

Solução. Considere o esquema abaixo:

y H

O tempo t para ouvir o som do impacto após o lançamento corresponde à soma do tempo de queda livre da pedra tq e do tempo que o som leva para subir do fundo do poço até o ouvido do observador ts.

(1) qttt=+s

O tempo de queda livre da pedra é obtido por meio da análise do movimento acelerado da pedra:

=(2)

2q Ht g

O som sobe o poço com velocidade constante, que é a velocidade do som no ar vs: 0yyvt=+

0ssHv=+t s Ht v

=(3)

Substituindo-se (2) em (1):

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2 s HHt gv

Chamando-se Hh= e H = h2, teremos:

Obs.: O uso de h1 resultaria em H ≈ 26 km, o que seria um absurdo devido ao curto tempo gasto para ouvir o som, que foi de 3,0 s. Outra coisa: o tempo ts ≈ 0,12 s representa cerca de 4% do tempo total t.

[Início seção] [Início documento]

17. (a) Uma onda senoidal longitudinal contínua é enviada através de determinada mola, por meio de uma fonte oscilante conectada a ela. A freqüência da fonte é de 25 Hz e a distância entre pontos sucessivos da máxima expansão da mola é de 24 cm. Encontre a velocidade com que a onda se propaga na mola. (b) Se o deslocamento longitudinal máximo de uma partícula na mola

(Pág. 158)

é de 0,30 cm e a onda se move no sentido −x, escreva a equação da onda. Considere a fonte em x = 0 e o deslocamento nulo em x = 0 quando t = 0 também é zero.

Solução. (a) A velocidade de propagação da onda vale:

6,0 m/sv= (b) Uma onda longitudinal, s(x,t), que se propaga no sentido negativo de x possui a seguinte equação:

()(, ) senxt mss kx tω φ=+ + A amplitude sm foi dada no enunciado (0,30 cm). O número de onda angular k vale:

A freqüência angular ω vale:

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()0senmsφ= sen0φ=

Ou seja, φ = nπ, n = 0, 1, 2, etc. Tomando-se n =0, φ = 0. Logo:

[Início seção] [Início documento]

18. A pressão de uma onda sonora progressiva é dada pela equação

(Pág. 158)

Encontre (a) a amplitude da pressão, (b) a freqüência, (c) o comprimento de onda e (d) a velocidade da onda.

Solução. (a) A equação geral de uma onda de pressão é:

()(, ) senxt mpp kx tω φΔ= Δ − +

Comparando-se esta expressão com a função de onda fornecida no enunciado, vemos que a amplitude de pressão vale:

1,5 PampΔ=

(b) A comparação entre as expressões acima revela que a freqüência angular vale ω = 330π rad/s. Logo, a freqüência vale:

2 fπωππ==

(c) O comprimento de onda vale:

[Início seção] [Início documento]

19. Duas ondas sonoras, originárias de duas fontes diferentes e com a mesma freqüência, 540 Hz, viajam à velocidade de 330 m/s. As fontes estão em fase. Qual a diferença entre as fases das ondas em um ponto que dista 4,40 m de uma fonte e 4,0 m da outra? As ondas se propagam na

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(Pág. 158)

mesma direção.

Solução. Considere o seguinte esquema da situação:

v d2

Para ondas de mesma freqüência, originadas de fontes sonoras em fase, vale a proporção:

2 dλ πφΔ=

Onde λ é o comprimento de onda das ondas, Δd é a diferença entre as distâncias d1 e d2 medidas entre as fontes 1 e 2 e um dado ponto P e φ é a diferença de fase entre as ondas observada no ponto

P. Logo:

[Início seção] [Início documento]

21. Na Fig. 18-25, dois alto-falantes, separados por uma distância de 2,0 m, estão em fase.

Supondo que a amplitude dos sons dos dois seja, de modo aproximado, a mesma na posição do ouvinte, que está a 3,75 m diretamente à frente de um dos auto-falantes. (a) Para quais freqüências audíveis (20 - 20.0 Hz) existe um sinal mínimo? (b) Para quais freqüências o som fica ao máximo?

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(Pág. 158)

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Solução. Considere o seguinte esquema:

(a) O som chegará com sinal mínimo ao ouvinte quando a diferença entre os percursos AO e BO for igual a (n +1/2) λ, n = 0, 1, 2, etc.

vfn

Para que seja audível, a freqüência da onda no ponto O deve ser 20 Hz < f < 20 kHz. Logo: n = 0 f = 343 Hz Audível n = 1 f = 1.029 Hz Audível

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES n = 28 f = 19.551 Hz Audível n = 29 f = 20.237 Hz Inaudível Portanto, as freqüências audíveis são dadas por:

(b) O som chegará com sinal máximo ao ponto O quando:

AOBOddnλ−=, n = 0, 1, 2, etc.

Para que seja audível, a freqüência da onda no ponto O deve ser 20 Hz < f < 20 kHz. Logo: n = 0 f = 0 Hz Não há onda n = 1 f = 686 Hz Audível n = 29 f = 19.894 Hz Audível n = 30 f = 20.580 Hz Inaudível Portanto, as freqüências audíveis são dadas por:

[Início seção] [Início documento]

24. Uma onda sonora de comprimento de onda 40,0 cm entra no tubo mostrado na Fig. 18-26. Qual deve ser o menor raio r, de modo que um mínimo seja registrado pelo detector?

(Pág. 158)

Solução. Considere o seguinte esquema:

BA 2r r Interferência

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O ruído será mínimo no ponto B quando o nível de interferência entre as ondas que lá chegam for máximo, ou seja, quando as ondas que percorrem o caminho reto de A até B e as ondas que percorrem o caminho curvo chegarem a B com diferença de fase φ igual a π. Como no ponto A as ondas estão em fase e possuem a mesma freqüência, vale a proporção:

2 dλ πφΔ=

Na expressão acima, λ é o comprimento de onda das ondas, Δd é a diferença entre os comprimentos dos caminhos reto e curvo de A até B. Logo:

[Início seção] [Início documento]

(Pág. 159)

3. Um certo alto-falante produz um som com freqüência de 2.0 Hz e uma intensidade de 0,960 mW/m2 à distância de 6,10 m. Supondo que não há reflexões e que o alto-falante emite igualmente em todas as direções. (a) Qual é a intensidade a 30,0 m? (b) Qual a amplitude de deslocamento a 6,10 m ? (c) Qual a amplitude de pressão a 6,10 m?

Solução. Considere o seguinte esquema:

(a) A intensidade sonora é definida como a potência transmitida pela onda por unidade de área da frente de onda, que, no presente caso, é esférica. Para a onda que chega ao ponto 1 temos:

Para a onda que chega ao ponto 2:

Logo:

I r

I r =

30 m rII r

(b) A intensidade I sonora depende do quadrado da amplitude de deslocamento sm de acordo com a seguinte relação:

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()1 2mm 1mp vs v f sρω ρ πΔ= =

[Início seção] [Início documento]

38. Uma onda progride uniformemente em todas as direções, a partir de uma fonte puntiforme. (a) Justifique a seguinte expressão para o deslocamento y do meio a qualquer distância r da fonte:

()senYyk r =−vt.

(Pág. 159)

Considere a velocidade, direção de propagação, periodicidade e intensidade da onda. (b) Quais são as dimensões da constante Y.

Solução.

(a) No esquema abaixo, a uma distância r1 da fonte sonora F, a intensidade da onda é I1 e a área da frente de onda é A1. Pode-se afirmar que a potência transmitida P é a mesma para cada frente de onda.

v A

Logo:

(1) 2211AIAI=
(2) 2/1myvIωρ=

Ou seja:

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Substituindo-se (2) em (1) e simplificando-se:

O termo constante foi arbitrariamente chamado de Y. A amplitude de deslocamento ym da onda sonora vale:

Yym=(3)

A equação geral de uma onda sonora progressiva, em termos de deslocamento é:

)sen(),( φω +−= tkxyy mtx Considerando-se que a constante de fase φ = 0 (arbitrário) e que a coordenada x é r:

)sen(),(tkryymtrω−=(4)

Multiplicando-se e dividindo-se o argumento da função seno de (4) por k, o número de onda angular, e substituindo-se o valor de ym dado por (3):

Yytr−=(5)

Em (5), foi usada a identidade v = ω/k.

(b) Como ym e r devem ter dimensão L, cuja unidade SI é o metro, a constante Y deverá ter dimensão L2.

[Início seção] [Início documento]

(Pág. 159)

41. Você está parado a uma distância D de uma fonte que emite ondas sonoras, de forma igual, em todas as direções. Caminha 50,0 m em direção à fonte e observa que a intensidade das ondas foi dobrada. Calcule a distância D.

Solução.

A intensidade sonora I é definida como a potência transmitida P por unidade de área da frente de onda, que, neste problema, é esférica. A intensidade que chega ao observador 1 é:

Para a onda que chega ao observador 2:

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Logo:

As raízes desta equação são:

[Início seção] [Início documento]

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43. Em um teste, um jato subsônico voa a uma altitude de 100 m. A intensidade do som no solo, quando o jato passa exatamente acima, é 150 dB. A que altitude o jato precisa voar para que o ruído no solo não ultrapasse 120 dB, o limite da sensação dolorosa? Ignore o tempo necessário para o som alcançar o chão.

Solução. Considere o seguinte esquema da situação:

β1β2 O nível sonoro β é definido como:

0 10log I

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Na equação acima, I é a intensidade sonora e I0 é o nível sonoro correspondente ao limiar da audição humana, que é de 10−12 W/m2. Resolvendo-se para I:

Na equação acima, P é a potência média da fonte sonora e r é a distância da fonte onde a intensidade é I. No ponto 1, temos:

No ponto 2:

Logo:

I r

I r =

45. A Fig. 18-28 mostra um interferômetro acústico, cheio de ar, usado para demonstrar a interferência de ondas sonoras. S é um diafragma; D é um detector de som, como nosso ouvido ou um microfone. O comprimento SBD pode ser variado, enquanto o comprimento SAD é fixo. Em D, a onda sonora vindo de SBD interfere com a vinda de SAD. A intensidade do som em D tem um valor mínimo de 100 unidades em uma certa posição de B e cresce, de maneira contínua, até um valor máximo de 900 unidades quando B é deslocado de 1,65 cm. Encontre (a) a freqüência do som emitido pela fonte e (b) a razão que a amplitude da onda de SAD tem com a amplitude da onda de SBD em D. (c) Como podem essas ondas terem diferentes amplitudes, se foram originadas pela mesma fonte S?

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Solução. A condição para que a interferência observada em D varie de destrutiva para construtiva é:

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O membro esquerdo foi multiplicado por 2 pelo fato de ao movimentar B de uma unidade de distância para a direita, o comprimento do caminho SBD aumenta de duas unidades.

(b) Seja Imax e Imin as intensidades sonoras máxima e mínima observadas em D.

max max12 Ivsρω= min min12 Ivsρω=

Logo:

2 max max 2 min min

I s

=(1)

I s

O enunciado diz que Imax = 900 unidades e Imax = 100 unidades. Além disso, podemos afirmar que smax é a soma das amplitudes de deslocamento das ondas que percorrem o caminho SAD e SBD (sSAD e sSBD).

(2) maxSADSBDsss=+

De forma similar:

(3) minSADSBDsss=−

Substituindo-se (2) e (3) em (1):

max 2 min ssI

3SAD SBD

SAD SBDssss +=−

Logo:

2SADSBDss=

(c) A amplitude diminui por causa das perdas por atrito viscoso do gás com as paredes da tubulação. A onda que percorre o maior caminho apresenta maior perda e, conseqüentemente, apresenta menor amplitude final.

[Início seção] [Início documento]

46. Dois alto-falantes, F1 e F2, estão a 7,0 m um do outro e oscilam em fase, cada um emitindo som na freqüência de 200 Hz, de modo uniforme, em todas as direções. F1 emite uma potência de

1,2 x 10-3 W e F2 a 1,8 x 10-3 W. Seja um ponto P, que está a 4,0 m de F1 e 3,0 de F2. (a) Como as fases das duas ondas passando por P se relacionam? (b) Qual a intensidade do som em P com

F1 e F2 ligadas? (c) Qual a intensidade do som em P, se F1 está desligado (F2 ligado)? (d) Qual

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a intensidade do som em P, se F2 está desligado (F1 ligado)?

Solução. Considere o seguinte esquema:

(a) Como as ondas emitidas pelas fontes F1 e F2 estão em fase e possuem a mesma freqüência, vale a proporção:

2 dλ πφΔ=Δ

Na expressão acima, λ é o comprimento de onda das ondas, Δd é a diferença entre os comprimentos dos caminhos das fontes até o ponto P. Logo:

3,7 radφΔ≈ (b) A intensidade do som de F1 em P I1P é:

Na equação acima, 1P é a potência média da fonte sonora F1 e r1P é a distância da fonte F1 onde a intensidade é I1P. De forma semelhante:

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