Halliday - Alguns Exercícios Resolvidos - 18 - movimento ondulatorio

Halliday - Alguns Exercícios Resolvidos - 18 - movimento ondulatorio

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Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo http://www.cce.ufes.br/anderson anderson@npd.ufes.br Última atualização: 28/1/2006 1:27 H

1 - Movimento Ondulatório

Fundamentos de Física 2 Halliday, Resnick, Walker 4ª Edição, LTC, 1996

Física 2

Resnick, Halliday, Krane 4ª Edição, LTC, 1996

Física 2

Resnick, Halliday, Krane 5ª Edição, LTC, 2003

Cap. 17 - Ondas ICap. 19 - Movimento

Ondulatório

Cap. 18 - Movimento Ondulatório

Prof. Anderson (Itacaré, BA - Fev/2006)

Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FUNDAMENTOS DE FÍSICA 2 CAPÍTULO 17 - ONDAS I

[Início documento]

(Pág. 131)

06. Escreva a equação para uma onda se propagando no sentido negativo do eixo x e que tenha uma amplitude de 0,010 m, uma freqüência de 550 Hz e uma velocidade de 330 m/s.

Solução. A equação geral de uma onda progressiva que se propaga no sentido −x é:

Para compor a equação, é preciso apenas determinar o valor da amplitude da onda (ym), do número de onda angular (k) e da freqüência angular (ω). A amplitude foi dada no enunciado. A freqüência angular pode ser calculada a partir da freqüência (f):

O número de onda angular está relacionado com a velocidade de propagação da onda:

[Início seção] [Início documento]

1. A equação de uma onda transversal se propagando numa corda é dada por

(Pág. 131)

(a) Ache a amplitude, freqüência, velocidade e o comprimento de onda. (b) Ache a velocidade escalar máxima de uma partícula da corda.

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Solução.

(a) Comparando-se a função de onda fornecida pelo enunciado com a função de onda geral de uma onda transversal progressiva:

() (), senmxty yk x tω=− Podemos identificar imediatamente a amplitude ym:

2,0 mmmy= A freqüência f vale:

A velocidade de propagação da onda v vale:

600 rad/s

20 rad/mvk ω==

30 m/sv= O comprimento de onda λ vale:

0,31 mλ≈ (b) A velocidade de uma partícula da corda u, localizada na coordenada x é dada por:

y yk x t

A velocidade u será máxima (umax) quando a função cosseno for ± 1. maxmuyω=

[Início seção] [Início documento]

(Pág. 131)

15. Prove que, se uma onda transversal está se propagando ao longo de uma corda, então a inclinação de qualquer ponto da corda é numericamente igual à razão entre a velocidade escalar da partícula e a velocidade escalar da onda naquele ponto.

Solução. Considere a seguinte onda transversal progressiva:

() (), senmxty yk x tω=− O gráfico da função acima, no instante t e intervalo 0 ≤ x 4π/k, está representado na figura abaixo:

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES y

A inclinação da corda (declividade da função) em x = x1 é dada por xyx ∂⎛⎞⎜⎟∂⎝⎠, que é a derivada parcial de y(x,t) em relação a x, no ponto x = x1.

)ω∂⎛⎞=⎜⎟∂⎝⎠−(1)

y ky kx tx

A razão entre a velocidade escalar transversal, u, e a velocidade escalar da onda, v, no ponto x = x1 vale:

u t y kx t v v

Como:

kv ω=

Temos:

(cosx mu ky kx tv

)ω=−(2)

Comparando-se (1) e (2):

que é o que queríamos provar.

[Início seção] [Início documento]

16. Uma onda de freqüência 500 Hz tem uma velocidade de 350 m/s. (a) Quão afastados estão dois

(Pág. 131)

pontos que têm uma diferença de fase de π/3 rad? (b) Qual é a diferença de fase entre dois deslocamentos, num determinado ponto, em tempos separados de 1,0 ms?

Solução. Seja y(x,t) uma onda transversal que progride no sentido positivo de x:

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Sendo conhecidas a freqüência f e a velocidade de propagação v, podemos determinar k e ω, que serão usados adiante.

ωπ==(1)

2 fk v

(a) Deseja-se determinar a distância, sobre o eixo x, que corresponda a uma diferença de fase φ = π/3. Considere o seguinte esquema: y

Há pelo menos duas maneiras de calcular x. A primeira é por comparação:

Como:

Na equação acima, k foi substituído por (1):

A segunda forma de calcular x é considerando-se a existência de duas ondas, y1 e y2, defasadas de π/3:

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES y

Utilizando-se (1):

6 vx f

(b) Vamos utilizar o primeiro método usado no item (a) para o cálculo de Δφ.

2Tt πφΔ=Δ

2 tf πφΔ=Δ

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(Pág. 131)

20. A tensão num fio preso em ambos os extremos é duplicada sem que haja qualquer mudança considerável em seu comprimento. Qual é a razão entre as velocidades das ondas transversais nesse fio, antes e depois do aumento de tensão?

Solução.

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Vamos utilizar o índice 1 para a situação inicial e 2 para a final. As velocidades v1 e v2 valem:

122vτμ= Nas equações acima, τ é a tensão e μ é a densidade linear de massa das cordas. A razão pedida é:

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25. Uma corda esticada tem uma massa por unidade de comprimento de 5,0 g/cm e uma tensão de 10 N. Uma onda senoidal nessa corda tem uma amplitude de 0,12 m e uma freqüência de 100 Hz e se propaga no sentido de x decrescente. Escreva uma equação para essa onda.

Solução. A equação geral para uma onda transversal que se propaga no sentido de x decrescente é:

() (), senmxty yk x tω=+ A amplitude ym foi dada no enunciado. Vamos calcular o número de onda angular k.

10 N ffkf v v f πππ π μππλτ τμ

140 rad/mk≈ A freqüência angular ω vale:

630 rad/sω≈ Logo:

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27. Uma onda senoidal transversal senoidal está se propagando ao longo de uma corda no sentido de x decrescente. A Fig. 17-24 mostra um gráfico do deslocamento como função da posição, no instante t = 0. A tensão na corda é 3,6 N e sua densidade linear é 25 g/m. Calcule (a) a amplitude, (b) o comprimento de onda, (c) a velocidade da onda e, (d) o período da onda. (e) Ache a velocidade máxima de uma partícula da corda. (f) Escreva uma equação descrevendo a

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES onda progressiva.

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Solução.

ym y (cm) x (cm)

A análise do gráfico mostra que: (a) Amplitude:

5,0 cmmy= (b) Comprimento de onda:

40 cmλ= (c) Velocidade de propagação:

3 msT≈ (e) A velocidade máxima umax de um elemento de corda é dada por (ver Probl. 1 - Item (b)) maxmuyω=

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max9,4 m/su≈ (f) Para compor a função de onda, precisamos determinar a freqüência angular ω,

190 rad/sω≈ o número de onda angular k,

Há dois ângulos entre 0 e 2π rad cujo seno é igual a 0,80: φ1 = 0,9272rad e φ2 = 2,2142... rad. A

velocidade vertical do elemento de onda em x no instante t, u(x,t), vale:

sen cosxt m mxt y yk x t uy t

Para φ1 = 0,9272rad, no instante t =0, a velocidade vertical do elemento de onda em x = 0, u(0,0)
Para φ2 = 2,2142rad:

Segundo o enunciado, a onda movimenta-se no sentido −x, ou seja, para a esquerda. Isto implica em que, no instante t = 0 (que é o instante retratado na Fig. 17-24), o elemento de corda que cruza o eixo y esteja se movendo no sentido +y, ou seja, para cima (u > 0). Portanto, a constante de fase

correta é φ = φ1 = 0,9272rad.

Finalmente:

[Início seção] [Início documento]

(Pág. 132)

30. Um fio de 10,0 m de comprimento e de massa 100 g é tracionado por uma tensão de 250 N. Se dois pulsos, separados no tempo de 30,0 ms, são gerados, um em cada extremidade do fio, onde eles se encontrarão pela primeira vez?

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Solução. Considere o seguinte esquema da situação:

Lv x0 v −v d tt02 = Δ

O pulso 1 foi gerado no instante t01 = 0, enquanto que o pulso 2 em t02 = Δt =30,0 ms. A velocidade escalar dos pulsos é a mesma e dada por:

Lv m ττμ== onde τ é a tensão no fio, μ é a densidade linear de massa do fio, m é a sua massa e L o seu comprimento. Vamos analisar o movimento, com velocidade constante, do pulso 1:

1mtdLτ=(1)

Agora vamos analisar o movimento do pulso 2:

LmtLdtmLττ⎛⎞=−+Δ⎜⎜⎝⎠⎟⎟(2)

Como os pulsos deverão encontrar-se no ponto d no mesmo instante de tempo, conclui-se que t1 = t2. Igualando-se (1) e (2):

mLdL d t m

7,37 md≈ [Início seção] [Início documento]

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3. A potência P1 é transmitida por uma onda de freqüência f1 numa corda sob tensão τ1. Qual é a potência transmitida P2 em termos de P1 (a) se a tensão da corda for aumentada para τ2 = 4 τ1 e

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(b) se, ao invés, a freqüência for diminuída para f2 = f1/2? Solução.

A situação 1 é caracterizada pelos seguintes parâmetros: P1, f1 e τ1.

(a) P2 = ? para τ2 = 4 τ1 A potência transmitida na situação 1 é dada por:

Onde:

22211142mPτμπμ=11fy(1)

Na situação 2, teremos:

4142mPτμπμ=11fy(2)

(b) P2 = ? para f2 = f1/2

Agora, na situação 2, teremos: 2

21121424mfPτμπμ=21y(3)

Dividindo-se (3) por (1):

PPf =

[Início seção] [Início documento]

35. Uma onda senoidal transversal é gerada numa extremidade de uma longa corda horizontal, por uma barra que se move para cima e para baixo entre extremos que distam 1,0 cm. O movimento é contínuo e repetido regularmente 120 vezes por segundo. A corda tem uma

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densidade linear de 120 g/m e é mantida sob uma tensão de 90,0 N. Ache (a) o valor máximo da velocidade transversal u e (b) o valor máximo da componente transversal da tensão. (c) Mostre que os dois valores máximos, calculados acima, ocorrem para os mesmos valores de fase da onda. Qual é o deslocamento transversal y da corda nessas fases? (d) Qual é a máxima potência transferida ao longo da corda? (e) Qual é o deslocamento transversal y quando esta transferência máxima de potência acontece? (f) Qual é a transferência mínima de potência ao longo da corda? (g) Qual é o deslocamento transversal y quando esta transferência mínima de potência ocorre?

Solução. (a) A velocidade máxima umax de um elemento de corda é dada por (ver Probl. 1 - Item (b))

max3,7 m/su≈ (b) A componente transversal da tensão (τy) é dada, para pequenas amplitudes, por:

Note que se (corda na horizontal, tal como na parte superior de um pulso), teremos /yx∂∂=0

0yτ=. Logo, para uma função de onda transversal progressiva do tipo:

() (), senmxty yk x tω=− A componente transversal da tensão será:

().cosymkykxtττω=− O valor máximo de τy (τy,max) ocorrerá quando ()cos1kxtω−=±.

,max2ym mky y fyv

ωμττττπτ===m

(c) Como foi demonstrado nos itens (a) e (b), umax e τy,max ocorrem quando cos (kx − ωt) = ± 1. O deslocamento transversal (y) é zero quando cos (kx − ωt) = ± 1, pois sen (kx − ωt) = 0.

(d) A potência máxima é dada por:

max dt dt dt μ τμ π πμ πμ μ== = = = = 2my f y

(e) A potência máxima Pmax ocorre quando a velocidade transversal e a deformação da corda forem máximos (energias cinética e potencial máximas). Isso ocorre no mesmo deslocamento transversal em que umax ocorre (cos (kx − ωt) = ± 1), ou seja, em y = 0.

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(f) A transferência mínima de potência ocorre quando a velocidade transversal e a deformação da corda forem mínimas. Como em y = ym a velocidade transversal é zero, a energia cinética também é zero. Em y = ym a energia potencial também é zero. Logo, a potência mínima também é zero.

(g) A potência P é mínima quando y = ym = 0,500 cm.

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38. Uma fonte S e um detector de ondas de rádio D estão localizados ao nível do solo a uma distância d (Fig. 17-26). Ondas de rádio de comprimento λ chegam a D, pelo caminho direto ou por reflexão, numa certa camada da atmosfera. Quando a camada está numa altura H, as duas ondas chegam em D exatamente em fase. À medida que a camada sobe, a diferença de fase entre as duas ondas muda, gradualmente, até estarem exatamente fora de fase para uma altura de camada H + h. Expresse λ em termos de d, H, e h.

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Solução. Considere o esquema abaixo:

Se as ondas que chegam ao detector (D) pelos caminhos SD e SAD estão em fase, a diferença entre as distâncias percorridas deve ser igual a nλ, onde n é um número inteiro:

()1/2224dHdnλ+−=(1)

A perda de sinal observada em D quando a onda percorre o caminho SBD é devida à interferência destrutiva que ocorre quando esta encontra a onda que percorreu o caminho SD. Isto significa que o caminho SBD é maior do que SAD em apenas λ/2. Ou seja:

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2SBDSDddnλλ−=+(2)

Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Substituindo-se o valor de nλ de (1) em (2):

41. Determine a amplitude de uma onda resultante da combinação de duas ondas senoidais que se propagam no mesmo sentido, possuem mesma freqüência, têm amplitudes de 3,0 cm e 4,0 cm e

(Pág. 133)

diferença de fase de π/2 rad.

Solução. Sejam y1 e y2 as equações das ondas transversais que se propagam no sentido de x crescente:

() ()2, senmxty yk x tω=− A combinação (sobreposição) das duas ondas resulta em:

()()()()()12,1,2,cossenmmxtxtxtyyyykxtykxtωω=+=−+−(1)

A determinação da amplitude ym da função y(x,t) pode ser feita por meio da localização dos seus pontos de máximo, y = ym, ou mínimo, y = −ym.

() ()12sen cosmmy kxty kxtω ω−= − ykx t y

ω−⎛⎞−=⎜⎝⎠⎟(2)

ykx t y

Isto significa que sempre que kx − ωt assumir o valor tan−1(ym2/ym1), o valor de y(x,t) será um ponto de máximo ou mínimo. Substituindo-se (2) em (1):

cos tan sen tanmm m mxt m y y y

[Início seção] [Início documento]

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46. Uma corda de violão, de náilon, tem uma densidade linear de 7,2 g/m e está sob uma tensão igual a 150 N. Os suportes fixos estão distanciados 90 cm. A corda está oscilando de acordo com o padrão de onda estacionária mostrado na Fig. 17-27. Calcule (a) a velocidade escalar, (b) o comprimento de onda e (c) a freqüência das ondas cuja superposição origina essa onda estacionária.

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Solução. (a) A velocidade escalar da onda vale:

(b) A Fig. 17-27 mostra que a vibração ocorre no terceiro harmônico (n = 3), logo o comprimento de onda vale:

[Início seção] [Início documento]

(Pág. 133)

49. Uma corda de comprimento igual a 125 cm tem massa 2,0 g. Ela é esticada sob uma tensão de 7,0 N entre dois suportes fixos. (a) Qual é a velocidade da onda nessa corda? (b) Qual é a mais baixa freqüência de ressonância para essa corda?

Solução. (a) A velocidade escalar de propagação da onda vale:

(b) Uma corda ressonante fixa em ambas as extremidades é capaz de acomodar um número inteiro de meios comprimentos de onda:

Lnλ=, n = 1, 2, 3,

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