Halliday - Alguns Exercícios Resolvidos - 16 - gravitação

Halliday - Alguns Exercícios Resolvidos - 16 - gravitação

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Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo http://www.cce.ufes.br/anderson anderson@npd.ufes.br Última atualização: 28/1/2006 15:20 H

8 - Gravitação

Fundamentos de Física 2 Halliday, Resnick, Walker 4ª Edição, LTC, 1996

Física 2

Resnick, Halliday, Krane 4ª Edição, LTC, 1996

Física 2

Resnick, Halliday, Krane 5ª Edição, LTC, 2003 Cap. 15 - GravitaçãoCap. 16 - GravitaçãoCap. 14 - Gravitação

Prof. Anderson (Itacaré, BA - Fev/2006)

Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FUNDAMENTOS DE FÍSICA 2 CAPÍTULO 15 - GRAVITAÇÃO

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01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 1 12 13 14 1516 17 18 19 20 21 2 23 24 2526 27 28 29 30 3132 3334 35 36 37 38 39 40 41 42 43 4 45 46 4748 4950 5152 5354 5 56 57 58 59 60 61 62 6364 65 6 67 6869 70 71 7273 7475 76 7778 7980 81 82 83 84 8586 87 8 89 90 [Início documento]

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05. Um corpo de massa M é dividido em duas partes, de massas m e M - m, que são depois distanciadas uma da outra. Qual a razão m/M que torna máxima a força gravitacional entre as duas partes? Solução.

[Início seção] [Início documento]

08. Qual a variação percentual na aceleração da Terra em direção ao Sol, quando o alinhamento da

(Pág. 70)

Terra, do Sol e da Lua passar de uma situação de eclipse do Sol (Lua entre a Terra e o Sol) para uma de eclipse da Lua (Terra entre a Lua e o Sol)? Solução.

[Início seção] [Início documento]

1. Na Fig. 15-29, duas esferas de massa m e uma terceira de massa M estão nos vértices de um triângulo eqüilátero, e uma quarta esfera de massa m4 está no baricentro do triângulo. Se a força gravitacional resultante sobre a quarta esfera é nula, exprima a massa M em termos da massa m.

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(Pág. 70)

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14. Uma barra fina de massa M é deformada até adquirir a forma de um semicírculo de raio R, como na Fig. 15-30. (a) Qual é a força gravitacional (em módulo e direção) sobre uma partícula de massa m colocada em P, centro de curvatura da barra? (b) Qual seria a força gravitacional sobre m, se a barra tivesse a forma de um círculo completo?

(Pág. 70)

Solução.

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(Pág. 71)

2. (a) Qual será o peso de um objeto, que pesa 100 N na superfície da Terra, na superfície da Lua? (b) A que distância do centro da Terra, medida em raios terrestres, deve estar este mesmo objeto, para pesar o mesmo que na superfície da Lua? Solução.

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(Pág. 71)

23. O fato de g variar de acordo com a localização sobre a superfície da Terra, despertou a atenção quando Jean Richer transportou um relógio de pêndulo de Paris até Caiena, na Guiana Francesa, em 1672, e notou que ele atrasava 2,5 min por dia. Se g = 9,81 m/s2 em Paris, qual o seu valor em Caiena? Solução.

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(Pág. 71)

24. (a) Queremos medir g deixando um objeto cair exatamente 10 m. Que erro percentual, na medida do tempo da queda, resultaria num erro de 0,1% no valor de g? (b) Com que precisão você teria de medir (em segundos) o tempo que um pêndulo de 10 m de comprimento leva para efetuar 100 oscilações, para que o erro percentual em g fosse o mesmo do item (a)? Solução.

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36. Para diminuir o congestionamento de tráfego entre duas cidades, Boston e Washington, por exemplo, alguns engenheiros propuseram a construção de um túnel ferroviário ao longo da corda (no sentido geométrico) que une as duas cidades (Fig. 15-37). Um trem, que não precisaria de locomotiva e nem de motores, partindo do repouso, cairia através da primeira metade do túnel e, então, subiria até a outra extremidade. Supondo que a Terra é uma esfera uniforme e ignorando o atrito e a resistência do ar, (a) mostre que a viagem entre as duas cidades é equivalente ao percurso da metade de um ciclo de um movimento harmônico simples, e (b) ache o tempo de viagem.

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Solução.

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43. Mostre que, para uma nave em repouso e a uma distância do Sol igual à distância média Terra-

Sol, a velocidade inicial necessária para escapar da atração gravitacional do Sol é 21/2 vezes a velocidade da Terra na sua órbita, suposta circular. (Este é um caso particular de um resultado

(Pág. 73)

geral, válido para órbitas circulares, ou seja, vesc = 21/2 vorbital.) Solução.

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46. As três esferas na Fig. 15-38, com massas m1 = 800 g, m2 = 100 g e m3 = 200 g, estão com seus centros alinhados, sendo L = 12 cm e d = 4,0 cm. Você movimenta a esfera do meio até que a sua distância centro a centro de m3 seja d = 4,0 cm. Qual o trabalho realizado sobre m2 (a) por você e (b) pela força gravitacional resultante sobre m2, devido às outras esferas?

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(Pág. 73)

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(Pág. 74)

54. A força gravitacional entre duas partículas de massas m e M, inicialmente em repouso e muito distantes uma da outra, faz com que elas se juntem. Mostre que, em qualquer instante, a velocidade relativa de qualquer uma das partículas em relação à outra é [2G(M+m)/d]1/2, onde d é a distância entre elas nesse instante. (Sugestão: Use as leis de conservação da energia e do momento linear.) Solução.

[Início seção] [Início documento]

(Pág. 74)

65. Um satélite é colocado numa órbita equatorial de tal maneira que permanece estacionário para um observador terrestre. (Estamos levando em conta a rotação terrestre.) Qual deve ser a altitude desta órbita (comumente chamada de órbita geoestacionária)? Solução.

[Início seção] [Início documento]

(Pág. 75)

73. (a) Para escapar do Sol, que velocidade deve ter um objeto que está a uma distância R do seu centro, sendo R o raio da órbita da Terra (não considere a influência dos planetas sobre o objeto)? (b) Se o objeto já tem uma velocidade igual à orbital da Terra, de quanto deve aumentar sua velocidade para que ele escape, como no item (a)? (c) Imagine um objeto sendo lançado da Terra na direção do seu movimento orbital. Qual a velocidade de lançamento para que ele atinja a velocidade de escape calculada, quando estiver bem longe da Terra, mas ainda a uma distância R, aproximadamente, do Sol? Solução.

[Início seção] [Início documento]

75. Um satélite é colocado em uma órbita circular para ficar estacionário sobre um certo ponto da superfície da Terra. No entanto, por um erro de manobra, é colocado numa órbita cujo raio é 1 km maior que o da correta. Com que velocidade e em que direção se move o ponto da superfície

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(Pág. 75)

da Terra, diretamente abaixo do satélite? Solução.

[Início seção] [Início documento]

(Pág. 76)

86. Um projétil é lançado da superfície de um planeta de massa M e raio R; a velocidade de lançamento é (GM/R)1/2. Usando a conservação da energia, determine a distância máxima do centro do planeta alcançada pelo projétil. Expresse o resultado em termos de R. Solução.

[Início seção] [Início documento]

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RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FÍSICA 2 CAPÍTULO 16 - GRAVITAÇÃO

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01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 1 12 13 14 15 16 171819 20 21 222324 25 26 27 28 2930 31 32 3334 35 3637 38 39 40 41424344 45 46 47 48 49 50 51525354 5 56 57 58 59 60 6162 63 6465 6 67 686970 [Início documento]

17. A maior velocidade de rotação possível para um planeta é aquela em que a força gravitacional sobre corpos no equador mal fornece força centrípeta necessária para rotação. (Por quê?) (a) Mostre, então, que o período de rotação mais curto correspondente é dado por

3TGπρ=

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onde ρ é a densidade do planeta, supostamente homogêneo. (b) Calcule o período de rotação supondo uma densidade de 3,0 g/cm3, típica de muitos planetas, satélites e asteróides. Nunca foi encontrado um desses objetos com um período menor do que o encontrado nesta análise.

Solução.

Para que a matéria presente no equador possa acompanhar o movimento de rotação do planeta, é necessário que a força de atração gravitacional (F) seja igual à força centrípeta (FC) correspondente.

Na expressão acima, V é o volume do planeta, supostamente esférico. Identificando V/M como a densidade do planeta, temos:

3TGπρ=

[Início seção] [Início documento]

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18. Aparelhos sensíveis, que medem a aceleração da gravidade local, g, podem ser usados para detectar a presença de depósitos de rochas próximos à superfície com densidade significantemente maior ou menor do que a das suas vizinhanças. Cavidades tais como cavernas e poços de minas abandonados podem também ser localizadas. (a) Mostre que a componente vertical de g à distância x de um ponto situado diretamente acima do centro de uma caverna esférica (veja a Fig. 38) é menor do que o esperado, supondo uma distribuição de rocha uniforme, de densidade ρ, sendo esta diferença igual a dgR g dx π ρΔ= +

onde R é o raio da caverna e d é a profundidade do seu centro. (b) Estes valores de Δg, denominados anomalias, são geralmente muito pequenos e expressos em miligal, sendo 1 gal = 1 cm/s2. Durante uma prospecção de petróleo, num levantamento gravimétrico, verifica-se que

Δg varia de 10,0 miligals até um máximo de 14,0 miligals, numa distância de 150 m. Supondose que a maior anomalia foi detectada diretamente acima do centro de uma caverna esférica que se sabe existir na região, determine o seu raio e a profundidade até o teto da caverna, naquele ponto. As rochas próximas têm densidade de 2,80 g/cm3. (c) Suponha que a caverna, ao invés de estar vazia, esteja completamente cheia d’água. Quais são, agora, os valores que as leituras da gravidade em (b) fornecem para o seu raio e sua profundidade?

(Pág. 52)

Solução.

(a) Suponha que no local do observador o valor da aceleração da gravidade sem a presença da caverna esférica seja g0 e na presença da caverna seja g. A diferença g0 − g = Δg corresponde ao módulo da componente vertical do campo gravitacional gerado unicamente pela caverna preenchida com material de densidade igual à das rochas circundantes. Veja o esquema a seguir, onde gc é o campo gravitacional gerado pela esfera de raio R e massa m com material de densidade ρ:

d θgc Δg

R m, ρ

O módulo de Δg vale:

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Gm dgg

A massa m da esfera pode ser expressa em termos de sua densidade e de seu volume V:

Logo:

GdgR

dx dx πρΔ= + + dgG R dx πρΔ= +

[Início seção] [Início documento]

20. Duas camadas esféricas concêntricas, de densidade uniforme, tendo massas M1 e M2, estão dispostas conforme mostra a Fig. 39. Determine a força que atua sobre uma partícula de massa m quando esta está localizada em (a) r = a, (b) r = b e (c) r = c. A distância r é medida a partir do centro das camadas.

(Pág. 52)

Solução.

A força de atração gravitacional entre uma partícula de massa m, localizada no exterior de uma casca esférica de massa M é a mesma que ocorre entre duas partículas de massas m e M. Se a partícula estiver localizada no interior da casca, a força gravitacional sobre ela será nula (teorema da casca esférica de Newton).

(a) A partícula de massa m na posição a está sujeita às forças gravitacionais devidas às duas cascas esféricas:

12 22a GM m GM mFF F a

(b) Na posição b, a partícula sofre atração gravitacional apenas da casca M1:

2b GmMF b =

(c) Na posição c, a partícula não sofre qualquer atração gravitacional:

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 0cF=

[Início seção] [Início documento]

2. Mostre que, no fundo de um poço de mina vertical de profundidade é D, o valor de g será

(Pág. 52)

onde gs é o valor na superfície. Suponha que a Terra seja uma esfera uniforme de raio R.

Solução. Considere o seguinte esquema da situação:

A aceleração da gravidade na superfície da Terra (g0) vale:

T GMg R

=(1)

Na Eq. (1), MT e RT são a massa e o raio da Terra, respectivamente. No fundo de um poço de profundidade D, a aceleração da gravidade (g) vale:

RD=−(2)

GMg

Na Eq. (2), M é a massa da esfera de raio RT − D. Agora vamos aplicar a definição da densidade para a Terra e para a esfera de raio RT − D:

−=(3)

R Substituindo-se (3) em (2):

MR D R DGM GMGDg

−−⎛⎞===⎜−⎝⎠−⎟(4)

TR R R RD Substituindo-se (1) em (4):

Dgg

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23. O problema seguinte foi apresentado na “Olimpíada” da Universidade Pública de Moscou, em 1946 (veja a Fig. 40): Numa esfera de chumbo de raio R, faz-se uma cavidade esférica de tal modo que a sua superfície toca a superfície externa da esfera de chumbo e passa pelo centro desta. A massa da esfera antes que a cavidade fosse feita era M. Com que força, de acordo com a lei da gravitação universal, a esfera de chumbo irá atrair uma pequena esfera de massa m, que está à distância d do centro da esfera de chumbo, sobre uma linha reta que une os centros das esferas e da cavidade?

(Pág. 52)

Solução. Considere o seguinte esquema da situação:

R/2 A simetria esférica e o alinhamento dos corpos permitem a solução do problema por diferença. Ou seja, podemos calcular a força gravitacional exercida pela esfera sem a cavidade (F1) e a força gravitacional (F2) que a cavidade exerceria caso fosse uma esfera de raio R/2, localizada a uma distância d − R/2 da massa m. Logo:

(1) 1FFF=−2

O módulo de F1 vale:

=(2)

1 2GMmF d Agora vamos calcular o módulo de F2. A massa M da esfera grande vale:

A massa M’ da esfera pequena vale:

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Portanto:

MGm

(3)

Substituindo-se (2) e (3) em (1):

GMm GMmFG Mm d RRd

GMmF d R

[Início seção] [Início documento]

29. Considere uma partícula num ponto P em algum lugar no interior de uma camada esférica material. Suponha que a camada tenha espessura e densidade uniformes. Construa um cone duplo estreito com vértice em P, interceptando as áreas dA1 e dA2, sobre a camada (Fig. 43). (a) Mostre que a força gravitacional resultante exercida sobre a partícula em P pelos elementos de massa interceptados é nula. (b) Mostre, então, que a força gravitacional resultante que a camada inteira exerce sobre uma partícula no seu interior é nula. (Este método foi imaginado por Newton.)

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