Halliday - Alguns Exercícios Resolvidos - 15 - oscilações

Halliday - Alguns Exercícios Resolvidos - 15 - oscilações

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Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo http://www.cce.ufes.br/anderson anderson@npd.ufes.br Última atualização: 28/1/2006 1:21 H

10 - Oscilações

Fundamentos de Física 2 Halliday, Resnick, Walker 4ª Edição, LTC, 1996

Física 2

Resnick, Halliday, Krane 4ª Edição, LTC, 1996

Física 2

Resnick, Halliday, Krane 5ª Edição, LTC, 2003 Cap. 14 - OscilaçõesCap. 15 - OscilaçõesCap. 17 - Oscilações

Prof. Anderson (Itacaré, BA - Fev/2006)

Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FUNDAMENTOS DE FÍSICA 2 CAPÍTULO 14 - OSCILAÇÕES

91

01 02 03 0405 0607 08 09 10 1 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 2 23242526 27 28 2930 3132 3 343536 37 38 39 40 41 42 43 4 4546 47 48 4950 51 52 53 54 5 56 57 58 59 60 61 6263 64656667 6869 70 71 7273 74 75 7677 7879 80 81 82 83 84 85 86 87 8 89 90 [Início documento]

(Pág. 42)

06. Qual a aceleração máxima de uma plataforma que vibra com uma amplitude de 2,20 cm, numa freqüência de 6,60 Hz?

Solução. A aceleração de um sistema que executa movimento harmônico simples é descrita por:

()2() costmax tω ωφ=− + Portanto, a aceleração máxima desse sistema, cos (ωt + φ) = ± 1, será:

[Início seção] [Início documento]

23. Um bloco de 0,10 kg oscila para frente e para trás, ao longo de uma linha reta, numa superfície horizontal sem atrito. Seu deslocamento a partir da origem é dado por

(Pág. 43)

(a) Qual a freqüência de oscilação? (b) Qual a velocidade máxima alcançada pelo bloco? Em que valor de x isto acontece? (c) Qual a aceleração máxima do bloco? Em que valor de x isto ocorre? (d) Que força, aplicada no bloco, resulta nesta dada oscilação?

Solução.

Comparando-se a equação do movimento harmônico simples do enunciado com a equação geral do MHS:

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()()costmxxtωφ=+

Percebemos a amplitude do MHS é ym = 10 cm, a freqüência angular é ω = 10 rad/s e que a constante de fase á φ = π/2 rad.

(a) A freqüência f do MHS é:

1,6 Hzf≈ (b) A velocidade da massa m vale:

A velocidade vmax é atingida em x = 0. (c) A aceleração da massa m vale:

A aceleração escalar máxima será atingida quando cos (ωt + φ) = ± 1. Logo:

A aceleração amax é atingida nos extremos da trajetória da massa m, ou seja, em x = ± 10 cm. (d) A força vale:

Fk=− x Mas:

2kxmxω=

Logo:

[Início seção] [Início documento]

(Pág. 43)

24. Num certo porto, a maré faz com que a superfície do mar suba e desça uma distância d num movimento harmônico simples, com um período de 12,5 h. Quanto tempo leva para que a água desça uma distância d/4 de sua altura máxima? Solução.

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Em primeiro lugar, vamos compor a equação do movimento harmônico simples relativo à oscilação da maré:

()()costmyytωφ=+ Considere o esquema abaixo, que mostra os limites de oscilação da maré:

Preamar

Baixamar

Pelo esquema, deduz-se que a amplitude do movimento é ym = d/2. Vamos supor φ = 0 para simplificar o cálculo. A freqüência angular ω pode ser obtida a partir do período T, fornecido no enunciado:

Portanto, temos:

No instante t0 = 0 s, a posição do nível do mar é máxima (preamar), ou seja, y(0) = d/2. A partir daí, a maré começa a descer e estamos interessados no tempo gasto para o nível baixar de y(0) = d/2 até y(1) = d/4. O instante t1 em que isso acontece pode ser calculado por meio da equação do MHS.

[Início seção] [Início documento]

(Pág. 4)

29. Um oscilador harmônico simples consiste em um bloco com massa 2,0 kg ligado a uma mola com constante 10 N/m. Quando t = 1,0 s, a posição e a velocidade do bloco são x = 0,129 m e v = 3,415 m/s. (a) Qual a amplitude das oscilações? Quais eram (b) a posição e (c) a velocidade da massa em t = 0 s?

Solução. (a) A equação geral do movimento harmônico simples é:

()()costmxxtωφ=+ Em t1 = 1,0 s, a posição do corpo oscilante é x1.

(1cosmxxt)1ωφ=+(1)

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A velocidade do corpo é:

()()sentmvxtωωφ=−+ Em t1 = 1,0 s, a posição do corpo oscilante é v1.

(11senmvxt)ωφω=−+(2)

Dividindo-se (2) por (1):

sen tancosmm xtv t

tan v tx φ ωω

(3)

A freqüência angular do MHS vale:

Agora podemos operar (3):

Os possíveis candidatos para valores da constante de fase φ são φ1 = φ +2π = −2,0976...rad e φ2 = φ1 − π = −5,2392...rad. O cálculo de xm consiste na substituição de φ e ω em (1) e resolução para xm. Não fará diferença o uso de φ1, φ2 ou mesmo φ. O máximo que poderá acontecer é a btenção do mesmo valor para xm com o sinal trocado. No entanto, o valor de φ que produzir o valor positivo de xm, será o valor correto de φ.

Utilizando-se o valor de φ2 na expressão acima, o resultado será −0,4999...rad. Logo:

Portanto, o valor correto da constante de fase é φ = −2,0976...rad. (b) A posição de m em t= 0 s é:

[Início seção] [Início documento]

31. Duas partículas oscilam em um movimento harmônico simples ao longo de um segmento de reta comum de comprimento A. Cada partícula tem um período de 1,5 s, mas diferem em fase de π/6 rad. (a) Qual a distância entre elas (em termos de A), 0,50 s após a partícula mais atrasada

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deixar uma das extremidades do percurso? (b) Elas estão se movendo no mesmo sentido, em direção uma da outra ou estão se afastando? Solução.

[Início seção] [Início documento]

4. Quando o deslocamento no MHS é metade da amplitude xm, que fração da energia total é (a) cinética e (b) potencial? (c) Com qual deslocamento, em termos de amplitude, a energia do

(Pág. 45)

sistema é metade cinética e metade potencial? Solução.

[Início seção] [Início documento]

(Pág. 45)

62. Um pêndulo é formado prendendo-se uma haste longa e fina de comprimento L e massa m em um dado ponto, que está a uma distância d acima do centro da haste. (a) Ache o período deste pêndulo em termos de d, m, L e g, considerando-se que oscile com uma pequena amplitude. O que acontece ao período, se (b) d é reduzido, (c) L é aumentado ou (d) m é aumentada?

Solução. Veja o esquema da situação:

CM dEixo de rotaçãoL

(a) O período de um pêndulo físico é dado por:

2 IT mgd π=

O momento de inércia do pêndulo é obtido por meio da aplicação do teorema dos eixos paralelos:

Logo:

m Ld

T mgd

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O comportamento do período em relação à variação de m, L e d será representado por meio de gráficos apropriados,:

(b) T = f(d), para g = 9,81 m/s2 e L = 1,0 m:

6 T HsL

Reduzindo-se o valor de d, o período tende a diminuir até um valor mínimo em /23dL=. Neste ponto, o período é igual ()min2/3TLgπ=. Diminuindo-se ainda mais o valor de d, o período tende rapidamente ao infinito. (b) T = f(L), para g = 9,81 m/s2 e d = 0,30 m:

T HsL

O período aumenta linearmente com o aumento de L, para L >> d. (c) Como T não depende de m, o período é constante em relação à variação de m.

[Início seção] [Início documento]

65. Um disco circular uniforme cujo raio R é de 12,5 cm está suspenso, como um pêndulo físico, de

(Pág. 47)

um ponto em sua borda. (a) Qual o seu período de oscilação? (b) A que distância radial r < R há um ponto de suspensão que origina o mesmo período?

Solução. (a) Considere o seguinte esquema da situação:

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Ponto de suspensão xy z z Aplicando-se a segunda lei de Newton rotacional ao pêndulo:

zzIτα=∑ O momento de inércia do pêndulo é obtido por meio da aplicação do teorema dos eixos paralelos:

Logo:

MRMg R t θθ∂−=∂

Para pequenas oscilações, temos sen θ ≈ θ.

Esta é a equação diferencial do movimento harmônico simples, em que:

Logo:

Ponto de suspensão xyz

M r

O novo momento de inércia será:

Aplicando-se a segunda lei de Newton rotacional ao pêndulo:

Fazendo sen θ ≈ θ: 2

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Logo:

O problema pede o valor de r para T = T’. Logo:

R Rrgg ππ += r

As raízes desta equação do segundo grau são r = R e r = R/2. Como r = R corresponde à situação do item (a), temos:

[Início seção] [Início documento]

68. Uma haste de um metro balançando de uma das extremidades oscila com uma freqüência f0.

(Pág. 47)

Qual seria a freqüência, em termos de f0, se a metade inferior da haste fosse cortada?

Solução. Considere o seguinte esquema da situação:

Sejam I0 e I1 os momentos de inércia da haste original e da haste cortada, em relação ao eixo de rotação (ponto A) e ICM,0 e ICM,1 os momentos de inércia dessas barras em relação aos respectivos centros de massa. Na barra original, temos:

O valor de I0 é obtido por meio da aplicação do teorema dos eixos paralelos: 2 2

Na barra cortada, temos:

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O valor de I1 é obtido por meio da aplicação do teorema dos eixos paralelos: 2 2

A freqüência de oscilação do pêndulo original pode ser descrita em termos do seu período T0:

LMg

Mgh gf TI LMLππ π π gL (1)

A freqüência de oscilação do pêndulo cortado pode ser descrita em termos do seu período T:

LMg

Mgh gf TI MLππ π

(2)

Comparando-se (1) e (2):

102ff= [Início seção] [Início documento]

76. Uma roda gira livremente em torno de seu eixo fixo. Uma mola está ligada a um de seus raios, a uma distância r do eixo, como vemos na Fig. 14-39. (a) Considerando que a roda é um aro de massa m e raio R, obtenha a freqüência angular de pequenas oscilações deste sistema em termos de m, R, r e a constante da mola k. Como mudaria o resultado se (b) r = R e (c) r = 0?

(Pág. 49)

Solução. (a) Veja o esquema com o detalhe da aplicação da força sobre o raio da roda:

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Aplicando-se a segunda lei de Newton à rotação da roda, temos: 2

Mas a força em x é dada por:

senFkxkrθ=−=−

Logo: 2

Para pequenas oscilações do sistema, sen θ ≈ θ e cos θ ≈ 1: 2

Esta é a equação do movimento harmônico simples, em que a freqüência angular ω vale:

R m ω=

(b) Para r = R, teremos:

km ω=

Este resultado corresponde ao período de oscilação de uma massa m conectada a uma mola k.

(c) Fazer r = 0, equivale a conectar a mola ao eixo da roda, o que não irá provocar oscilações no sistema.

[Início seção] [Início documento]

91. Um pêndulo físico consiste em duas hastes com um metro de comprimento que são ligadas como mostra a Fig. 14-4. Qual o período de oscilação com um eixo inserido no ponto A?

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(Pág. 49)

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Solução.

Antes de calcular o período de oscilação deste pêndulo físico, precisamos determinar a posição do centro de massa e o momento de inércia do pêndulo. A posição do centro de massa pode ser facilmente deduzida devido à simetria do sistema. Representando-se cada uma das barras por massas pontuais localizadas em seus respectivos centros de massa (CM1 e CM2). Veja o esquema a seguir:

CM2 hL = /4 Barra 1

Barra 2

Deduz-se que o centro de massa do pêndulo está localizado a uma distância h = L/4 do eixo de rotação (ponto A). O momento de inércia do pêndulo em relação ao ponto A vale:

Nesta expressão, I1,A e I2,A são os momento de inércia das barras 1 e 2 em relação ao ponto A. O valor de I1,A é tabelado (ou pode ser determinado por integração de x2dm): 2

O valor de I2,A é obtido por meio da aplicação do teorema dos eixos paralelos: 2 2

Logo: 2

Agora podemos aplicar a segunda lei de Newton rotacional ao sistema oscilante. Veja o esquema abaixo:

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CM h

2zA dI dt θτ=∑

41 2 LM L dMg dt

Para pequenas oscilações:

A expressão acima corresponde à equação diferencial do movimento harmônico simples, em que a freqüência angular pode ser identificada como:

Finalmente, o período vale:

2 sT≈

[Início seção] [Início documento]

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FÍSICA 2 CAPÍTULO 15 - OSCILAÇÕES

71 72 73 74 75

01 0203 04 05 06 07 0809 10 1 12 13 1415 16 17 18 1920 212223 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3 3435 363738 39 40 41 42 43 4 4546 47 484950 51 52 5354 5556 57 58 59 60 61 62 63 64 65 6 67 68 69 70 [Início documento]

(Pág. 19)

02. Um oscilador consiste em um bloco de massa de 512 g preso a uma dada mola. Ao oscilar com amplitude de 34,7 cm, ele repete seu movimento a cada 0,484 s. Encontrar: (a) o período, (b) a freqüência, (c) a freqüência angular, (d) a constante de força, (e) a velocidade máxima e (f) a força máxima exercida no bloco.

Solução.

(a) O período do movimento de oscilação é o tempo gasto para que o movimento se repita, ou seja, complete um ciclo. Logo:

(b) A freqüência de oscilação vale:

13,0 rad/sω≈ (d) Para determinar a constante de força, partimos da conhecida relação:

km ω=

86,3 N/mk≈ (e) A dependência da velocidade da massa em relação ao tempo é dada pela seguinte equação:

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A velocidade máxima vmax é encontrada quando sen(ωt + φ) = ±1. Logo: max 4,5046 m/smvx ω== "

(f) A dependência da força que a mola exerce sobre o bloco em relação ao tempo é dada pela relação:

A força máxima Fmax é encontrada quando cos(ωt + φ) = ±1. Logo: 2max 29,9407 NmFm xω== "

[Início seção] [Início documento]

08. Um corpo oscila com movimento harmônico simples de acordo com a equação

(Pág. 19)

Encontre (a) o deslocamento, (b) a velocidade e (c) a aceleração no instante t = 1,90 s. Encontre também (d) a freqüência e (f) o período do movimento.

Solução. (a) A posição em t = 1,90 s vale:

(d) A freqüência vale:

(e) O período vale:

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 0,750 sT≈

[Início seção] [Início documento]

(Pág. 20)

13. Num certo porto, a maré faz a superfície do oceano subir e descer em movimento harmônico simples, com um período de 12,5 h. Quanto tempo a água leva para, partindo da altura máxima, atingir metade desta distância abaixo do nível de equilíbrio? Solução.

(Parte 1 de 3)

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