Halliday - Alguns Exercícios Resolvidos - 23 - lei gauss

Halliday - Alguns Exercícios Resolvidos - 23 - lei gauss

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Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo http://www.cce.ufes.br/anderson anderson@npd.ufes.br Última atualização: 28/1/2006 14:46 H

18 - Lei de Gauss

Fundamentos de Física 2 Halliday, Resnick, Walker 4ª Edição, LTC, 1996

Física 2

Resnick, Halliday, Krane 4ª Edição, LTC, 1996

Física 2

Resnick, Halliday, Krane 5ª Edição, LTC, 2003 Cap. 25 - Lei de GaussCap. 29 - Lei de GaussCap. 27 - Lei de Gauss

Prof. Anderson (Itacaré, BA - Fev/2006)

Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FUNDAMENTOS DE FÍSICA 3 CAPÍTULO 25 - LEI DE GAUSS

[Início documento]

[Início seção] [Início documento]

Halliday, Resnick, Walker - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 25 – Lei de Gauss 2

Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FÍSICA 3 CAPÍTULO 29 - LEI DE GAUSS

51

01 02 03 04 0506 0708 09 10 1 12 13 14 1516 17 1819 20 21 2223 24 2526 2728 29 30 31 323334 35 36 37 38 39 40 41 42 43 4 45 464748 4950 [Início documento]

05. Uma carga puntiforme de 1,84 μC está no centro de uma superfície gaussiana cúbica com 5 cm

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de aresta. Calcule ΦE através da superfície.

Solução. Considere o seguinte esquema:

De acordo com a lei de Gauss, o fluxo do campo elétrico (ΦE) através de uma superfície fechada que encerra uma carga q é dado por:

0EqεΦ= Logo:

As dimensões da superfície gaussiana não interferem no resultado, uma vez que todo o fluxo do campo elétrico da carga q irá atravessá-la, sendo a superfície pequena o grande.

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07. Uma carga puntiforme +q está à distância d/2 diretamente acima do centro de uma superfície quadrada de lado d, conforme mostra a Fig. 24. Calcule o fluxo elétrico através do quadrado. (Sugestão: Raciocine como se o quadrado fosse a face de um cubo de aresta d.)

(Pág. 49)

Solução.

Se a carga +q estivesse localizada no centro de um cubo de aresta d, o fluxo total do campo elétrico (ΦE) através dos seis lados do cubo, que constituem uma superfície gaussiana fechada, seria:

0 EqεΦ=

Veja o seguinte esquema:

dq d/2

Considerando-se a área do quadrado como sendo 1/6 da área do cubo, o fluxo através do quadrado (ΦQ) será:

6EQΦΦ=

06QqεΦ= [Início seção] [Início documento]

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12. Uma carga puntiforme q está colocada no vértice de um cubo de aresta a. Qual o fluxo através de cada uma das faces do cubo? (Sugestão: Utilize a lei de Gauss e argumentos de simetria.)

Solução. Considere o seguinte esquema da situação:

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES a qf a e d b c

O fluxo do campo elétrico (Φ) da carga q através dos lados que formam o vértice onde a carga está localizada (a, b e e) vale zero. Isso se deve ao fato de as linhas do campo elétrico serem ortogonais aos vetores dA nesses lados.

Nos lados c, d e f, as linhas de campo não são ortogonais a dA, logo o fluxo de campo através desses lados não será nulo. Para calcular esse fluxo, considere o seguinte esquema no qual a carga q está localizada no centro de um grande cubo de aresta 2a, que aparece dividido em oito cubos menores, cada um com aresta a.

c f

O pequeno cubo superior direito frontal corresponde ao cubo do problema. O fluxo do campo elétrico através do cubo 2a é:

2 0 aqεΦ=

O fluxo através da cada lado desse cubo é 1/6 do fluxo total.

2, lado06aqεΦ= O fluxo através de ¼ de cada um desses lados (quadrados c, d e f, no esquema inicial) é:

2, lado

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024cdfqεΦ=Φ=Φ= [Início seção] [Início documento]

15. Veículos espaciais que passam pelos cinturões de radiação da Terra colidem com elétrons confinados ali. Como no espaço não há potencial elétrico de terra, o acúmulo de cargas é significativo e pode danificar os componentes eletrônicos, provocando perturbações de circuitos de controle e disfunções operacionais. Um satélite esférico de metal, com 1,3 m de diâmetro,

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acumula 2,4 μC de carga ao completar uma revolução em órbita. (a) Calcule a densidade superficial de carga. (b) Calcule o campo elétrico resultante imediatamente fora da superfície do satélite.

Solução.

(a) A densidade superficial de carga σ é a razão entre a carga total dispersa na superfície do satélite Q e a área dessa superfície A.

(b) O campo elétrico imediatamente fora da superfície do satélite pode ser calculado pela lei de Gauss. Para isso, vamos construir uma superfície gaussiana esférica de raio R, ou seja, com o mesmo raio do satélite, e que possui centro coincidente com o centro do satélite. Considere o seguinte esquema:

dA E

.. coscos0 . .(1) . QEd A Ed A Ed A E dAθ ε== =∫∫ ∫ ∫v v v =

Como o campo elétrico E é constante ao longo de toda a superfície gaussiana, pode ser retirado da integral.

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18. Um condutor isolado de forma indefinida está carregado com uma carga de +10 μC. Dentro do

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condutor há uma cavidade que contém uma carga puntiforme q = +3,0 μC. Qual é a carga (a) nas paredes da cavidade e (b) na superfície externa do condutor?

Solução.

(a) Na ausência de carga elétrica no interior da cavidade do condutor, toda a carga +Q se dispersa por sobre a sua superfície (veja o esquema abaixo).

Cavidade

Condutor carregado

Ao introduzir uma carga +q no interior da cavidade, o equilíbrio eletrostático anterior é rompido e cargas negativas (num total de q’) devem ser deslocadas para a superfície da cavidade.

Superfície gaussiana

Como não pode haver fluxo de campo elétrico através de uma superfície gaussiana localizada no interior de um condutor que esteja em equilíbrio eletrostático, a carga líquida no interior dessa superfície deve ser nula. Portanto, se há uma carga positiva q no interior da cavidade, então deverá também existir uma carga negativa q’, de igual módulo e de sinal contrário a q, na superfície da cavidade. Logo:

(b) Seja Q a carga positiva inicial no condutor. Como foi deslocada uma carga negativa q’ para a superfície da cavidade, a carga que restará na superfície externa do condutor (Q’) será:

[Início seção] [Início documento]

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20. Uma linha de cargas infinita produz um campo de 4,52 × 104 N/C à distância de 1,96 m. Calcule a densidade linear de cargas.

Solução.

Considere o seguinte esquema, onde uma superfície gaussiana cilíndrica de comprimento l e raio r foi construída em torno da linha de cargas.

dA1 r

Aplicando-se a lei de Gauss:

As integrais 1 e 3 são nulas, pois o ângulo entre os vetores E e dA é 90o.

0 .2lErlλπε=

[Início seção] [Início documento]

2. Duas grandes lâminas não condutoras que contém cargas positivas estão face a face, como na Fig. 27. Determine E nos pontos (a) à esquerda das lâminas, (b) entre elas e (c) à direita das lâminas. Admita que as densidades superficiais de carga σ das duas lâminas sejam iguais. Considere apenas pontos afastados das bordas e a pequenas distâncias das lâminas em relação ao pequeno tamanho delas. (Sugestão: Veja Exemplo 6.)

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Solução.

Em regiões próximas às lâminas e comparativamente distante de suas bordas, a intensidade do campo elétrico é independente da distância à superfície das lâminas. Como as lâminas A e B são não-condutoras, surgem campos elétricos homogêneos perpendiculares à lâmina, de intensidade σ/2ε0, em ambos os lados de sua superfície, inclusive em regiões que vão além da lâmina vizinha.

Considere o esquema abaixo, em que EAe é o campo elétrico produzido pela lâmina A, na região à esquerda de ambas as lâminas. Os índices c e d correspondem às regiões central e à direita.

EAe x y

EAc EAd EBe EBc EBd

Sabendo-se que a densidade de cargas σ é a mesma para as lâminas A e B, temos:

02AcAdBdσε===EEEi

02AeBeBcσε===−EEEi (a) O campo resultante à esquerda da lâmina A (Ee) vale:

0 eAeBeσε=+=−EEEi

(b) O campo resultante entre as lâminas A e B (Ec) vale:

σ σ εε=+=−Ei

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES (a) O campo resultante à direita da lâmina B (Ed) vale:

0 dAdBdσε=+=EEEi

[Início seção] [Início documento]

25. Uma esfera pequena com massa m = 1,12 mg e carga q = 19,7 nC, está no campo gravitacional da Terra, pendurada por um fio de seda que faz o ângulo θ = 27,4o com uma grande placa isolante uniformemente carregada, conforme a Fig. 29. Calcule a densidade uniforme de cargas da placa.

(Pág. 51)

Solução.

Considere o seguinte diagrama de corpo livre da massa m, onde T é a tensão que o fio de seda exerce sobre m, P é o seu peso e F é a força elétrica gerada pela placa:

T x y θ

A força elétrica gerada sobre m pela grande placa carregada com uma densidade de cargas σ vale

As outras forças valem: mg=−Pj sencosTTθθ=−+Tij Forças em x:

02s en

εθ=(1)

qT σ

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Forças em y:

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mgTθ=(2)

cos Igualando-se (1) e (2):

qm gσ εθθ=

02t anmgq εθσ=

25,12 nC/mσ≈ [Início seção] [Início documento]

27. Um fio reto, muito comprido e fino, está carregado com −3,60 nC/m de carga negativa fixa. O fio é envolvido coaxialmente por um cilindro uniforme de carga positiva, com 1,50 cm de raio.

A densidade volumétrica de cargas ρ do cilindro é escolhida de forma que o campo elétrico

(Pág. 51)

resultante é nulo fora do cilindro. Determine a densidade de cargas positivas ρ necessária.

Solução.

O esquema a seguir mostra uma superfície gaussiana cilíndrica, de raio r e comprimento l, construída coaxialmente em torno do fio.

r R

O fluxo do campo elétrico através da superfície gaussiana é dado por:

Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES q EAε=∑

Para que o campo na área lateral do cilindro gaussiano (E2) seja nulo, a carga líquida no interior dessa superfície deve ser nula. Logo:

2Rllρπλ=

32. Uma grande superfície plana, não-condutora, tem densidade uniforme de carga σ. No meio dessa superfície foi feito um pequeno furo circular de raio R, conforme ilustra a Fig. 3. Desprezando o encurvamento das linhas de campo em todas as bordas, calcule o campo elétrico no ponto P, à distância z do centro do furo e ao longo de seu eixo. (Sugestão: Veja a Eq. 27 do Cap. 28 e utilize o princípio da superposição.)

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Solução. O campo elétrico a uma distância z de uma chapa isolante com densidade de carga σ vale:

Chapa 02 Eσε=

O campo elétrico a uma distância z de um disco de raio R, sobre o eixo ortogonal do disco, que passa pelo seu centro, vale:

Como o campo elétrico obedece ao princípio da superposição, é legítimo afirmar que o campo produzido pela chapa que possui um orifício na forma de disco corresponde ao campo produzido por uma chapa não furada menos o campo produzido por um disco carregado que preenche o orifício da chapa.

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zE zRσε=+

[Início seção] [Início documento]

3. Na Fig. 34 vemos o corte transversal de um longo tubo metálico de pequena espessura e com raio R, cuja superfície possui uma carga de densidade λ por unidade de comprimento. Deduza as expressões de E a diversas distâncias r, a partir do eixo do tubo, considerando as regiões (a) r

> R e (b) r < R. Trace um gráfico desses resultados entre r = 0 e r = 5,0 cm, fazendo λ = 2,0 × 10-8 C/m e R = 3,0 cm. (Sugestão: Use superfícies gaussianas cilíndricas, coaxiais com o tubo de metal.)

(Pág. 52)

Solução.

(a) r > R. Considere o esquema a seguir, que mostra uma superfície gaussiana cilíndrica, de raio r > R, posicionada de forma coaxial ao tubo metálico. As regiões 4 e 5, que são equivalentes às regiões 2 e 1, respectivamente, formam a outra base do cilindro gaussiano e não foram mostradas.

r R

Aplicando-se a lei de Gauss:

q

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(b) r < R. Neste caso, considere o esquema abaixo:

Como as cargas estão localizadas fora da superfície gaussiana, é nulo o fluxo do campo elétrico através desta. Portanto, o campo elétrico no interior do cilindro condutor é nulo.

(c)

[Início seção] [Início documento]

46. Uma chapa plana de espessura d tem uma densidade volumétrica de cargas ρ uniforme.

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Determine o módulo do campo elétrico em todos os pontos do espaço (a) dentro e (b) fora da chapa, em função de x, a distância a partir do plano mediano da chapa.

Solução.

(a) Considere o esquema a seguir, em que foi construída uma superfície gaussiana cilíndrica interna à chapa, sendo que a base do cilindro está alinhada com o plano mediano da chapa:

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Em x = 0 (centro da chapa), o campo elétrico é nulo devido à simetria da distribuição da carga em torno dessa região. Portanto, o fluxo de campo através da base do cilindro gaussiano é nulo. Ao longo da área lateral do cilindro o fluxo também é nulo, pois nessa região o campo elétrico é ortogonal ao vetor dA. Portanto, somente há fluxo de campo através do topo do cilindro.

Vdd d ρε++ =∫∫ ∫EA EA EA

0 xEρε=

No interior de uma chapa homogeneamente carregada, o campo cresce linearmente com a distância a partir do seu plano mediano.

(a) Considere o esquema a seguir:

x De maneira semelhante:

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Vdd d ρε++ =∫∫ ∫EA EA EA

No exterior de uma chapa homogeneamente carregada, o campo é constante.

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47. Uma esfera sólida não condutora, de raio R possui uma distribuição de cargas não uniforme, a densidade de cargas sendo dada por ρ = ρe r/R, onde ρe é constante e r é a distância ao centro da esfera. Mostre que (a) a carga total na esfera é Q = πρeR3 e (b) o campo elétrico dentro da esfera é determinado por

(Pág. 53)

Solução. (a) Considere o esquema abaixo:

dA E

Carga total na esfera:

dV R ρρ==

3πρρπ==(1)

(b) Carga no interior da esfera de raio r, partindo-se de (1): 4

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