Halliday - Alguns Exercícios Resolvidos - 06-dinamica da particula

Halliday - Alguns Exercícios Resolvidos - 06-dinamica da particula

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Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo http://www.cce.ufes.br/anderson anderson@npd.ufes.br Última atualização: 17/07/2005 08:1 H

RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FÍSICA 1

Capítulo 6 - Dinâmica da Partícula

Problemas

Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos

09. Uma força horizontal F de 53 N empurra um bloco que pesa 2 N contra uma parede vertical

(Fig. 26). O coeficiente de atrito estático entre a parede e o bloco é 0,60 e o coeficiente de atrito cinético é 0,40. Considere o bloco inicialmente em repouso. (a) O bloco começará a se mover? Qual é a força exercida no bloco pela parede?

(Pág. 116)

Solução. Forças no bloco:

x yN P

F ffec ou

(a) A condição para que o bloco escorregue é que o seu peso (P) seja maior do que a força de atrito estático (fe). Forças em x:

(1) FN=

0FN−= Força de atrito estático:

eefNμ≤(2)

Substituindo-se (1) em (2):

Este resultado significa que fe pode suportar um bloco de até 31,8 N de peso. Como o peso do bloco é menor do que esse limite máximo, o bloco não desliza.

(b) A força exercida pela parede (FP) sobre o bloco tem duas componentes. A componente horizontal é a força normal e a vertical é a força de atrito. Ou seja:

eNf=+PFij De acordo com o esquema acima e os valores dados no enunciado, temos:

[Início]

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(Pág. 116)

12. Um estudante quer determinar os coeficientes de atrito estático e atrito cinético entre uma caixa e uma prancha. Ele coloca a caixa sobre a prancha e gradualmente levanta um dos extremos da prancha. Quando o ângulo de inclinação com a horizontal alcança 28,0o, a caixa começa a deslizar, descendo 2,53 m ao longo da prancha em 3,92 s. Ache os coeficientes de atrito.

Solução. Considere o seguinte esquema da situação:

x y

N f

No momento em que a prancha está na iminência de deslizar, a caixa ainda está em equilíbrio.

Nessas condições age sobre a caixa, além do peso (P) e da normal (N), a força de atrito estática (fs). Forças em y:

cosNPθ=(1)

cos0NPθ−= Forças em x:

sensNPμθ=(2)

sen0sfPθ−= Substituindo-se (1) em (2):

No momento em que o corpo desliza sobre a prancha, a força de atrito é do tipo cinético (fk). Forças em x:

x Fma=∑

senkNmgmaμθ−=(3)

senkfPmaθ−= Substituindo-se (1) em (3):

cossenkmgmgmaμθθ−=

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cossenkaggμθ=−θ(4)

Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Análise do movimento ao longo da prancha (coordenada x):

=−(5)

Igualando-se (4) e (5):

22cos senk rgg t μθθ−=−

[Início]

13. Um trabalhador quer empilhar areia em uma área circular em seu quintal. O raio do círculo é R. Nenhuma areia deve sair para fora da área determinada; veja a Fig. 28. Mostre que o volume máximo de areia que pode ser estocado dessa maneira é πμeR3/3, onde μe é é o coeficiente de atrito estático da areia com a areia. (O volume do cone é Ah/3, onde A é a área da base e h é a altura.)

(Pág. 116)

Solução. Considere o seguinte esquema:

N f

O volume do monte cônico é dado por:

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AhRhVπ==(1)
tanhRθ=(2)

Pelo esquema acima, vemos que: Substituindo-se (1) em (2):

RVπθ=(3)

Vamos analisar a dinâmica de um grão de areia em particular. Forças em x:

cosNmgθ−(4)

cos0NPθ−= Forças em y:

sen0fPθ−=

seneNmgμθ=(5)

Substituindo-se (4) em (5):

taneμθ=(6)

Substituindo-se (6) em (3): 3

3 eRVπμ=

[Início]

20. O cabo de um escovão de massa m faz um ângulo θ com a vertical; veja a Fig. 31. Seja μc o coeficiente de atrito cinético entre o escovão e o assoalho e μe o coeficiente de atrito estático. Despreze a massa do cabo. (a) Ache o módulo da força F, dirigida ao longo do cabo, necessária para fazer com que o escovão deslize com velocidade uniforme sobre o assoalho. (b) Mostre que se θ for menor do que um certo ângulo, θ0, o escovão não poderá deslizar sobre o assoalho, por maior que seja a força aplicada ao longo do cabo. Qual é o ângulo θ0?

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Solução. Forças no escovão:

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES x y f m

(a) No movimento com velocidade constante, a força resultante sobre o escovão é nula. Forças em y:

cosNmgFθ=+(1)

cos0NPFθ−−= Forças em x:

sensen0ccFfFNθθμ−=−=(2)

Substituindo-se (1) em (2):

sen cos 0ccFm g Fθ μμ θ−− = sen cosc c mgF μ θμθ=−

(b) Na situação de repouso do escovão, a força de atrito é estática. A força que age no escovão é idêntica à do item (a), substituindo-se μc por μe.

sen cose e mgF μ θμθ=−

A condição para que a força F seja infinita e ainda assim o sistema permanecer em repouso é:

sencos0eθμθ−= 0taneθμ=

[Início]

24. O bloco B na Fig. 3 pesa 712 N. O coeficiente de atrito estático entre o bloco B e a mesa é 0,25. Encontre o peso máximo do bloco A para o qual o sistema permanecerá em equilíbrio.

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(Pág. 117)

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Solução.

Como o sistema está em equilíbrio, o ponto onde os três cabos se encontram (ponto O) também está em equilíbrio. Diagrama das forças nesse ponto:

x yθO

Forças em y no ponto O:

sen0AATPθ−=

senAAPTθ=(1)

Forças em x no ponto O:

'cos0ABTTθ−= Como TB’ = TB (par ação-reação):

cosBATTθ=(2)

Substituindo-se (1) em (2):

tanABPTθ=(3)

Forças no bloco B:

x y NB

PB TBfe

Forças em y no bloco B:

(4) BNP=

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Forças em x no bloco B:

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BeeTfNμ==(5)

BeTf −= Substituindo-se (4) em (5):

BeTBPμ=(6)

Substituindo-se (3) em (6):

[Início]

27. Um bloco desliza para baixo de uma calha de ângulo reto inclinada, como na Fig. 36. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o material da calha é μc. Ache a aceleração do bloco.

(Pág. 118)

Solução. Considere o seguinte esquema da situação:

Forças em z:

cosNmgθ=(1)

cos0NPθ−=

Devemos considerar a força de atrito cinética total (fk) como sendo a soma de duas forças de atrito (fk’ e fk’’), cada uma surgindo a partir da interação entre a caixa e a calha na direção x.

y z

2kkfNμ=(2)
2coskkfmgμθ=(3)

Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Forças em x:

x Fma=∑

senkPfmaθ−=(4)

Substituindo-se (3) em (4):

sen 2 coskmg mg maθμ θ−=

()sen2coskagθμθ=−

Este resultado indica que a aceleração será zero (condição de equilíbrio estático, na iminência de deslizar na calha) quando:

sen2cossθμθ=

Este resultado difere da situação de uma caixa na iminência de deslizar sobre uma superfície inclinada:

tansμθ=

[Início]

28. Os dois blocos, m = 16 kg e M = 8 kg, mostrados na Fig. 37 estão livres para se moverem. O coeficiente de atrito estático entre os blocos é μe = 0,38, mas a superfície abaixo de M é lisa, sem atrito. Qual é a força mínima horizontal F necessária para segurar m contra M?

(Pág. 118)

Solução.

Para segurar m contra M, a condição necessária é que o módulo da força de atrito que M exerce em m para cima seja igual ao módulo do peso de m. Forças no bloco m:

y fe

FNm m

Forças em x no bloco m:

x Fma=∑ mFN ma−=

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(1) mFmaN=+

Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Forças em y no bloco m:

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0 meemPfmgNμ−=−=

mgNμ=(2)

e Forças no bloco M:

x y

N’ fe’ a

Forças em x no bloco M:

'mNM = a Como N = N’ (par ação-reação):

=(3)

Substituindo-se (2) e (3) em (1):

[Início]

30. Um bloco de 4,40 kg é colocado sobre um outro de 5,50 kg. Para que o bloco de cima escorregue sobre o de baixo, mantido fixo, uma força horizontal de 12,0 N deve ser aplicada ao bloco de cima. O conjunto dos blocos é agora colocado sobre uma mesa horizontal sem atrito; veja a Fig. 39. Encontre (a) a força máxima horizontal F que pode ser aplicada ao bloco inferior para que os blocos se movam juntos, (b) a aceleração resultante dos blocos, e (c) o coeficiente de atrito estático entre os blocos.

(Pág. 118)

Solução.

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[Início]

31. Uma laje de 42 kg repousa sobre um assoalho sem atrito. Um bloco de 9,7 kg repousa sobre a laje, como na Fig. 40. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a laje é 0,53, enquanto o coeficiente de atrito cinético é 0,38. O bloco de 9,7 kg sofre a ação de uma força horizontal de 110 N. Qual é a aceleração resultante (a) do bloco e (b) da laje?

(Pág. 118)

Solução.

Em primeiro lugar temos que verificar se haverá deslizamento entre o bloco e a laje. Isso ocorrerá se o módulo da força horizontal que atua no bloco (F) for maior do que o módulo da força de atrito estática entre o bloco e a laje (fs). Verificação:

50NssmsmsfNPmg μμμ===≈

Como F = 110 N, o bloco deslizará sobre a laje, sendo f a força de atrito cinético. Forças sobre o bloco:

y Nm fF am

Forças em y sobre o bloco:

(1) mNm=

mmNP−= Forças em x sobre o bloco:

cmmNFmaμ−=(2)

mfFma−= Substituindo-se (1) em (2) e resolvendo-se para am:

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Forças sobre a laje:

y NM f’ aM

M Nm’

Forças em x sobre a laje:

'MfMa−= Como f = f’ (par ação-reação):

[Início]

40. Um disco de massa m sobre uma mesa sem atrito está ligado a um cilindro de massa M suspenso por uma corda que passa através de um orifício da mesa (veja a Fig. 42). Encontre a velocidade com a qual o disco deve se mover em um círculo de raio r para que o cilindro permaneça em repouso.

(Pág. 119)

Solução.

O cilindro permanecerá em repouso se a tensão na corda que o sustenta for igual ao seu peso. Forças no cilindro:

x y

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(1) TMg=

Forças no disco: Nm

Pm T’m x Fma=∑

'(2) cTF=

Na Eq. (2) Fc é a força centrípeta responsável pelo movimento circular do disco e T’ = T (par açãoreação).

=(3)

2mvT r Substituindo-se (1) em (3):

Mgrv m =

[Início]

47. Um avião está voando em uma trajetória circular horizontal à velocidade de 482 km/h. As asas do avião estão inclinadas de 38,2o com a horizontal; veja a Fig,. 4. Encontre o raio do círculo no qual o avião está voando. Suponha que a força centrípeta seja totalmente fornecida pela força de sustentação perpendicular à superfície da asa.

(Pág. 119)

Solução.

Como o avião descreve uma trajetória circular, está sujeito a uma força centrípeta (Fc). Esta é a componente radial da força de sustentação do ar (Fs). A força peso do avião (P) não contribui para Fc pois é ortogonal à direção radial. Considere o seguinte esquema:

Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES x y v θ

R x

Vista de cima

Forças em x:

x Fma=∑ sensc mvFF R θ==

mvRFθ=(1)

sens Forças em y:

cos0sFPθ−=

cossmgFθ=(2)

Substituindo-se (2) em (1):

tansen cos mv vR mg g θθθ

52. Uma bola de 1,34 kg está presa a uma haste rígida vertical por meio de dois fios sem massa, de 1,70 m de comprimento cada. Os fios estão presos à haste em pontos separados de 1,70 m. O conjunto está girando em volta do eixo da haste, com os dois fios esticados formando um triângulo eqüilátero com a haste, como mostra a Fig. 45. A tensão no fio superior é 35,0 N. (a) Encontre a tensão no fio inferior. (b) Calcule a força resultante na bola, no instante mostrado na figura. (c) Qual é a velocidade da bola?

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(Pág. 120)

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Solução. Considere o seguinte esquema da situação:

l l r θ m y θ m va

(a) Forças na bola em y:

(1) ()()1212sencosTTTTmgθθ⎡=−++−−⎣Ri
(2) ()37,8532N0=−+R"

(c) A resultante calculada no item (b) é a força centrípeta do movimento circular da bola em torno do eixo. Logo:

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==(3)

2c mvFR r

()12senRTTθ=+(4)

A comparação das equações (1) e (2) nos dá o módulo de R: Substituindo-se (4) em (3):

sen mvmvTTrlθθ+==

[Início]

53. Um cubo muito pequeno de massa m é colocado dentro de um funil (veja a Fig. 46) que gira em torno de um eixo vertical à taxa constante de v revoluções por segundo. A parede do funil forma um ângulo θ com a horizontal. O coeficiente de atrito estático entre o cubo e o funil é μc e o centro do cubo está à distância r do eixo de rotação. Encontre (a) o maior valor e (b) o menor valor de v para o qual o cubo não se moverá em relação ao funil.

(Pág. 120)

Solução.

(a) Na situação em que o corpo está na iminência de subir a parede do funil observa-se o seguinte esquema de forças sobre o bloco:

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES m P

N x y θ fsθ

Embora tenhamos fs ≤ μsN, na condição limite de o bloco subir pela parede do funil isso implica em:

ssfNμ= Forças sobre o bloco que atuam na coordenada y:

Embora a força de atrito cinética seja definida como fs ≤ μsN, na condição de iminência de o bloco subir pela parede do funil isso implica em:

ssfNμ= Logo:

cossen0sNmgNθμθ−−=

mgNθμθ=−(1)

cos sens

Forças sobre o bloco que atuam na direção radial (coordenada x), onde Fc é a força centrípeta (força resultante na direção radial):

xxsxPNfF++=c 2

0 sen coss mvNN r θμθ++=

)θμθ=+(2)

(2 sen cossrvN m Substituindo-se (1) em (2):

() ()2 sen cos cos sen s rm gv m θμθθμθ=+−

2 sen cos cos senss

θμθ+=−(3)

vr g θ μ θ Para converter v de m/s para rev/s (vrps), usaremos a seguinte identidade:

2rpsvvrπ=(4)

Substituindo-se v de (4) em (3):

2 tan4 tan s rps s rvrgθμπθμ+=−

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2t an s rps s gv r

(b) Quando o bloco está na iminência de descer a parede do funil, vale o seguinte esquema de forças:

m P

N x θfs θ

O desenvolvimento da solução é idêntico ao do item (a). [Início]

54. Devido à rotação da Terra, um fio de prumo pode não pender exatamente ao longo da direção da força gravitacional que a Terra exerce no próprio fio, mas pode desviar ligeiramente dessa direção. (a) Mostre que o ângulo de desvio θ (em radianos), em um ponto de latitude L, é dado por

(Pág. 120)

onde R é o raio e T é o período de rotação da Terra. (b) Em que latitude esse desvio é máximo? De quanto é esse desvio? (c) Qual é o desvio nos pólos? E no equador?

Solução. Considere o esquema a seguir:

r θ

Terra

Fc T

Fio de prumo

Peso do prumo

Direção radial x y

À medida que a Terra gira em torno de seu eixo o peso do prumo descreve uma trajetória circular de raio r = R cos L e, portanto, está sujeito a uma força centrípeta (Fc) que é a resultante das forças peso do prumo (P) e tensão no fio do prumo (T) na direção radial. Vamos aplicar a segunda lei de

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