Baixe Lecciones de Teoria de Las Ecuaciones Integrales e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Física, somente na Docsity! I. PETROVSKI LECCIONES DE TEORIA DE LAS ECUACIONES INTEGRALES EDITORIAL MIR - MOSCU 1. G. PETROVSKI LECCIONES DE TEORIA DE LAS ECUACIONES INTEGRALES EDITORIAL MIR + MOSCU 1971 CDU 517.94(075,8)=60 Traducido de la 3º ed. rusa por JUAN JOSE TOLOSA Traducción revisada por EMILIANO APARICIO DERNARDO, candidato a Doctor en Ciencias fisico-matemáticas, Catedrático de Matemáticas Superiores Traducido en la URSS Derechos reservados PROLOGO DEL REDACTOR DE LA TRADUCCION Este libro es la traducción al castellano de ta 3º cdición rusa. La segunda edición del mismo está traducida al alemán e ingtés. Véase T, G. Petrovski, “Vorlesungen uber die Thco- rie der Integralgleichungen” (Physica-Verlag, Wiirzbure, 953; trad. alemana de la 2º ed. rusa, 1951) y “Lectures on the theosy of integral equations” (Graylock Press, Roches- ter, 1957, trad. inglesa de la misma edición rusa). A pesar de que la primera edición rusa de este libro salió en el afo 1948, creemos que el tema tratado, así como su exposición, siguen siendo actuales. Esperamos gue la traducción castellana será bien acogida por los matemáticos de habla casteltana, no sólo por la importancia def material expuesto, sino también por la misna personalidad dei autor, Rector de la Universidad de Moscú desde el ano 1951. E. Aparicio CAPITULO 1 INTRODUCCION. TEOREMAS DE FREDHOLM $ 1. Definiciones. Ejemplos Sc acostumbra Jlamar ecuaciones integrales a aquélias que contienen la función incógnita bajo el signo integral. En particular, la siguiente couación, respecto à la función (é), es una integral: b atinto + fa) = | Ke, Di (8) de, (1,1) a donde a(x), f(x), Klx, É) son funciones dadas, y q(É) es una función incógnita; las variables x y é toman todos Jos valores del intervalo (a, b). En este libro solamente estudiaremos ecuaciones en las que ta función incógnita figura en forma lincal, es decir, solamente ecuaciones del tipo (1,1). Dichas ecuaciones se Uuman ecuaciones integrales fincales. Si «(x) no se anula, dividiendo ambas partes de la ecuación (1,1) entre a(), obtenemos una ecuación del tipo o plad= | Rs (8) dO, (2,0) a 10 Introducción. Teoremas de Fredhoim Estas ecuaciones se Ilaman ecuaciones integrales lineales de segunda especie, o de Fredholm, en honor al matemático que las estudió por primera vez, Si /(0)=0, la ecuación (2,1) se Iuma homogênea. Si fuese a(x)=0, entonces la ecuación (1,1) se reduciria a b [ta Bolt) de= pu, a la cual se llama ecuación integral lineal de primera especie, La función K(x, &) se Ilama núcico de ja ecuación inte- gral. En lo sucesivo nos ocuparemos principalmente de las ccuaciones integrales lineales de segunda especie. Pueden considerarse ecuaciones integrales, en las que las funciones incógnitas dependan no de una variable, sino de varias. De este tipo es, por ejemplo, Ja ecuación vs, 9)= | KO, 3 E vp(E, 1) dê da fts 3) a respecto a la función incógnita «(£, 1), donde la integración se efectia sobre cierta región G del plano (É, 1). El punto (x, )) también pertenece a esta región. Esta ecuación puede escribirse en la forma P)= | KCP, DUO) dO +), a donde PEG y QEG O, *) La notación 4 € M significa que el punto A pertenece al con- junto M. Problemas típicas que se red. a ecuae. integ. 13 donde G(x, 5 8 para el intervalo AC(O = x =), (1.2) Gs, pesca = para el intervalo CB(Ê=x<1). Aplicando estas fórmulas, puede comprobarse fácilmente que Glx, E)=G(E, x). Supongamos que sobre el hilo actúa una fuerza distri- buida en forma continua con densidad lineal P(Ê) tal, que en el intervalo de éste, entre los puntos E y E + ZE, actúa una fuerza, aproximadamente igual a p(é) dê. Ya que los desplazamientos causados por las fuerzas elementales p(£) 8 se suman (“principio de superposición”), el hilo, bajo la acción de esta fuerza, toma la forma g 0)= | Gt, Ep(g) dE. o Consideremos los problemas siguientes. 1. Buscaremos la densidad de distribución de la fuerza p(ê), bajo cuya acción el hilo toma una forma dada y =y(x). Entonces Ilegamos a la ecuación integral de primera especie v6)= fot, Erg) dê 03 respecto a la función incógnita p(é). 2. Supongamos que sobre el hilo actúa una fuerza que varía con el tiempo £, con una densidad en el punto É igual a plEsenor (w>0). 14 Imrodnecion. Teoremas de Fredholm Bajo su acción, ei hilo se pone en movimiento. Supondre- mos, además, que durante su movimiento, la abscisa de cada punto del mismo no varia, y que el hilo efectua oscilaciones periódicas, descritas por la ecuación y=y(x) sen qt. Denotando por e(E) la densidad lineal de la masa del hilo en el punto É, obtenemos que, en el momento t, en el segmento del hilo, entre los puntos E y É+1E, además de Ja fuerza p(Ê) sen mt JE actõa también la fuerza de inercia - 06) AE Sa = ()y(Ba! sen or 45 Por esto, la igualdad (2,2) toma la siguiente forma: 4 Ye) sen ot= Io, SL n(8) sen wt + w?p(E)(E) sen ao] dE. Simplificando E senwt y haciendo 4“ [Ge rt) de=f09, Gts DB= KB, ata), uv obtenemos: r sO)= 2] Ke, AB) dé fo), (3,2) o Suponiendo dada la función p(£) y, por la tanto, f(x), Ilega- mos de esta manera a una ecuación integral de Fredholm para la determinación de la función y(x). Obsérvese que, en virtud de la definición de la función f(x), se tiene que fO=A0=0. Problemas tipicos que se red. a ceuac, integ. 15 Si la densidad p(E) es constante y /(x) es una función con segunda derivada continua, no es difícil resolver esta ecuación integral. En efecto, poniendo en K(x, É) en lugar de G(x, £) su restam dada por Vs 2), resulta vodeasef Se DE AE) dE +cato [so EB 8) di + ft) o sea Noy= 2-2) f Eye) di + Ser ses fa- BO de+ fo), donde + sra: cem. Derivando dos veces respecto a x ambas partes de esta ecuación, obtenemos VD) = oter) +). (4,2) Por otra parte, se puede demostrar que cualquier solución de la ecuación diferencial (4,2), que se anula para x=0 y x=1, es también solución de la ecuación integral (3,2). Para ello basta multiplicar ambas partes de la igualdad y'(6)= = —wcy(E) +1(E) por — TyO(x, É) e integrar respecto a É desde O hasta 1, Entonces se obtiene la igualdad (3,2), ya que, integrando por partes, se nuestra fácilmente que 1 Irsts 76) de= o. 2 donde p(x) es una función cualquiera con segunda derivada continua, igual a cero para x=0 y x=1, 18 Introducción. Teoremas de Fredholm Entonces, la ecuación integral (3,2) y la ecuación diferencial (4,2) se hacen homogéneas. Todas las soluciones de la ecua- ción diferencial homogénea (4,2), se igualan a cero para x=0y x=!y, por lo tanto, todas las soluciones de la ecua- ción integral (3,2) vienen dadas por ja fórmula xx) =C sen jtx, (11,2) donde C es una constante arbitraria y 4 es igual à uno de los números (6,2). La fórmula (11,2) nos da las ampli- tudes en el punto x de las oscilaciones propias de la cuerda: y=Csen px sen tot, que tienen lugar sin Ja acción de fuerzas exteriores. Como se vc de lo antedicho, estas oscilaciones pueden tener lugar no con cualquier Irecuencia, sino solamente con una de las [recuencias dadas por la fórmula (7,2) para k=1,2,... Como muestra Ja fórmula (5,2), si la condición (9,2) no se cumple, la amplitud y(x) de las oscifaciones periódicas de la cuerda en el punto x aumenta indefinidamente, cuando « (frecuencia de Jas oscilaciones de Ja fuerza exterior) se aproxima a una de las frecuencias propias de las oscilaciones de la cuerda. En el Jímite, al coincidir estas frecnencias, co- mienza la resonancia. Entonces, en general, para ampli- tudes arbitrarias de la fuerza exterior, no existen oscilacio- nes periódicas dc la cuerda. En correspondencia con esto, en general, no existe solución de la ecuación integral no homogéneu (3,2), cuando À es igual a uno de los valores propios de esta ecuación. Analogia entre lus ecuac, integ. tin. y algeb. Tin. 19 $3, Analogia entre lus ecuaciones integrales tineales y las ecuaciones algebraicas lineales, Enunciado de los teoremas de Fredholm Consideraremos la ecuación integral lineal de segunda especie u ved= [Ki BB) de to, (1,3) a donde K(x, É) y f(x) son funciones conocidas para a =x =b, a=E=b, Dividamos el intervalo (a, b) em n intervalos iguales, cuyas longitudes serán tra Ara AE Pongamos Ka+pdx, arq 4)=Ka (pg=1,2,..00), Ha+p 4x) =» (p =,2..0n), Ha+p 4x) =fo =, can) b Sustituyamos la integral ] K(x, E)y(E) dê para x=a+p dx por la suma E a E Krada dê, p=1,2,...,m. E Entonces, en lugar de la ecuación integral (1,3) obtencmos un sistema de ecuaciones algebraicas linenles a Jo E Rnata Sto p=1,2,..5n. (2,3) 2 20 Introducción. Tearemas de Fredhaim Aqui supondremos que Ka, fp, 4É son magnitudes conoci- das, y que », son incógnitas. La finalidad de los próximos parágrafos es extender los conocidos teoremas de las ecuaciones algebraicas lineales a fas ecuaciones integrales de Fredholm de 2º especie. En los enunciados habituales de los teoremas de las ecuaciones lineales algebraicas intervienen determinantes, los cuales, si bien pueden ser ligados con las ecuaciones integrales, ello resulta muy laborioso. Por eso enunciaremos estos teoremas sin utilizar los determinantes. Estos enunciados están im- presos en cursiva. En la resolución del sistema (2,3), el determinante for- mado por los coeficientes de este sistema desempeiia un papel fundamental: 1-Kg 48 -Kgk... —Kw | “Ku dE 1-Kadéco Km 8 lg) Ku Km 1-Kmdk Como cs sabido, si este determinante es diferente de 0, ei sistema (2,3) tiene solución única, para valores f,fa,..- . Sn cualesquiera. En este caso, el sistema transpuesto, o sea, el sistema mk AEE, p=1,D..om tiene también solución única para /j* arbitrarios. Si, en cambio, el determinante es igual a O, el sistema (2,3), para fp arbitrarios, en general, no tiene solución. Pero, entonces, el sistema homogéneo correspondiente, es decir, el sistema que se obtiene de (2,3), igualando todas las f Anulogia entre tus ecuac. integ. lin. y ulgeb. fin. 3 Para esto es suficiente que todos los determinantes de orden (r+ 1), formados por elementos de la matriz (7,3), y que contienen elementos de la última columna de esta matriz, scan iguales a cero. Desarrollando dicho determi- nante D,+, por los elementos f,., obtenenos de la condición (6,3) que, en efecto, éste es igual a cero, ya que el sistema (5,3) se satisface por la sucesión de números To Ze mZn formados de la siguiente manera: si i es tal que f; figura en el determinante D,+,;, entonces, 2, es igual al comple- mento algebraico de /; en este determinante; en caso con- trario, =0, De este modo, en el segundo caso de ht alternativa, ta solución «el sistema no homogéneo existe si, y sólo si, pura cualquier solución (z1» » « .» Zn) del sistema homogêneo truns- puesto se cumple la condición (6,3). Obsérvese que, si en cl segundo caso de la alternativa el sistema (2,3) tiene solución, entonces esta solución no es única. En efecto, sumando a esta solución cualquier so- lución del sistema homogénco correspondiente, obtenemos nuevamente una solución del sistema (2,3). pe *) La justeza de esta afirmaciôn puede demostrarse del siguiente modo. Sustituyamos los números z,. Za, .. -, Zn en la j-ésima ecuación del sistema (5,3). Si j es tal, que en el determinante D, 4 figuran clo- mentos de la j-ésima columna de la matriz (7,3), entonces el resultado de dicha sustitución será O, ya que éste será igual a un determinante, en e! que coinciden dos de sus columnas. Si j es tal, que los elementos de la fésima columna no figuran en el determinante D,.,,, entonces el resultado de esta sustitución será también cero, puesto que será igual a un determinante de orden (r+ 1), formado por elementos de una inutriz de rango r. » Introduccisn. Teoremas de Fredlholms Cuando «lg tiende à 0, es natural esperar que 2 Kg); dE 6 q tenda re, E(6) dê, y la solución del sistema do coua- a ciones (2,3) pase a la solución de la ecuación integeal (1,3). Esto, en efecto, tiene lugar bajo-cicrtas condiciones respecto ul núclco K(x, É). Pero la demostración de esto es compli= cada, por to que no la daremos, aunque para la resolución aproximada de la ecuación integral (1,3), se sustituya a veces por el sistema (2,3)*), Demostraremos solamente, que los teoremas enunciados anteriormente para el sistema (2,3) se convierten en los siguientes teoremas: Teorema |. (Alternativa). O la ecnación integral lincul no homogênea de 2 especie dada tiene una solución única pura cunlquier funciónr fe) (de una clase suficientemente amplia), à da ecuación homogênea correspondiente tiene, por lo menos, una solución no trivial, o sea, no idénticamente nula, Teorema 2. Si para ta ecuación dudu (1,3) tiene lugar el primer caso de la alternativa, entonces tiene lugar el primer caso también para la ecuactón transpuesta b 26)= | KG de de ço, a La ceuacion integral homogênca dada y su transpuesta tienen un mismo número finito de soluciones linculmente indepen dientes, *) Véase L. V, Kamorovich y V, I. Kryloy, Métodos Aproximados del Andlisis Superior, $9 od., Fizmatguiz, cap. 11, $ 1, 1962. Anulogia entre las ccnuc. integ. tin. y algeb. lin. 2s Es evidente que, si las funciones Py(x) JN, +. os Pala) satisfacen a la ecuación homogénea (1,3), entonces Penal combinación lineal de ellas C,y/(x) + Cr) +... + Cayalo) con coeficientes constantes C, también satisface a esta ecua- ción. Teorema 3. En el segundo caso de la alternativa, la con- dición necesaria y suficiente para la existencia de soluciôn de la ccuaciónr no homogónea (1,3) es lu siguiente: b | coz as-o, en donde z(x) es cualquier solución de la ecuación homogénca transpuesta a (1,3). Si se cumple esta condición, la ecuación (1,3) posee un conjunto infinito de soluciones, ya que, como es fácil com- probar, esta ecuación será satisfecha también por cualquier función det tipo PO) + pts), en donde y(x) es alguna solución de la ecuación (1,3), y q(x) es cualquier solución de fa ecuación homogénea co- rrespondiente. Por otra parte, es evidente que, si las fun- ciones pi(X) y Y(x) satisfacen a la ecuación (1,3), su diferen- cia satisface a la ecuación homogénea correspondiente. Los teoremas 1, 2 y 3 que se acaban de enunciar, se Haman teoremas de Fredholm, quien los demostró por pri- mera vez para la ecuación (1,3) bajo condiciones bastante amplias respecto a K(x, É) y a f(x). Los parágrafos próximos estân dedicados a la demostración de estos teoremas para ciertas clases de ecuaciones. El número de variables inde- pendientes aquí no es csencial. Por eso, todas las demostra- ciones se harán para cualquier número de variables inde- 28 Infroduccidn, Teoremus de Fredholm XP)= | R(P, OO) dO + P), (2,4) G en donde K4P, Q) está dado por la fórmula (1,4), tienc solu- ción. Entonces, debe ser xP=] Boro) do +KP) o sa, NP)= ZotP) | DeOO) dO + AP), 8,4) Aquí, como también en lo sucesivo, omitimos la letra G bajo cl signo de la integral, El simbolo j siempre indi- cará ta integral tomada sobre la región G. Hagamos Togo) do=€,. (4,4) Entonces, de la ecuación (3,4) se obtiene que HP)= Scot ey 64 Para determinar las constantes C,, sustituyamos el valor de », dado por esta fórmula, en la ecuación (4,4). Oblendre- mos: a Juo)| E caso) «no[ao-c. Pouiendo Joao do -=K JOR dO=1, (64) Ecnac. integ. con múcicos degenerodos 29 de la última ecuación hallamos: = C=DKyCytfo d=,B cam. (1,4) = Así pues, a cada solución de la ecuación integral (2,4) le corresponde una solución (Cj,..., Cm) del sistema (7,4) y, debido a que las funciones a;(P) son linealmente inde- pendientes, la solución es solamente una. Reciprocamente, si este sistema de ecuaciones algebraicas lineales tiene al- guna solución (C;,..., Cy), entonces, sustituyéndola en el segundo miembro de (5,4), se obtendrá una solución de la ecuación integral dada (2,4), puesto que cada operación efectuada para levar (2,4) a (7,4) es reversible. Por lo tanto, el problema se ha reducido al estudio del sistema (7,4). De la misma manera, la ecuación integral P)= KO, Pelo) do + HP), 84) transpuesta respecto a la ecuación (2,4), se reduce al sistema m Cris DRuUCHASE, d=1,Z. cam, (9.4) j=1 transpuesto con respecto al sistema (7,4). Como se ha supuesto que las funciones a(P) y bXQ) son linealmente independientes, a cada p soluciones lineal- mente independientes del sistema homogéneo (7,4) o (9,4) le corresponden p soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea (2,4), o de la ecuación (8,4), res- pectivamente, y viceversa. (é Por qué?) De este modo, se establece una correspondencia biunivoca entre las solucio- nes de las ecuaciones integrales (2,4) y (8,4), por un lado, y las soluciones de Jas ecuaciones algebraicas lineales (7,4) mw Infroducción. Teoremas de Fredholm y (9.4), por el otro. A las soluciones de las ecuaciones (2,4) y (8,4), transpucstas una respecto a la otra, les correspon- den las soluciones de Jas ecuaciones transpuestas (7,4) y (9,9). De esto se deducen directamente los dos primeros teo- remas de Fredholm para la ecuación integral (2,4), ya que éstos son válidos para €l sistema de ccuaciones algebraicas lineafes (7,4). (iVeriTiquese!). Para demostrar el tercer teorema, obsérvese lo siguiente, Si tiene lugar el segundo caso de la alternativa para el sistema (7,4), entonces, la condición necesaria y suficiente para la existencia de una solución del sistema (7,4) es m ZfCR=0, d=1 en donde (CH,..., CX) es una solución cualquiera del sis- tema homogêneo transpuesto. Utilizando las igualdades de (6.4), esta condición puede escribirse así: Ecs Inowro) do-o, o ast; ro) (5 co) ag-0. (10,4) Si (Cf,..., CR) es una solución del sistema homogéneo (9,4), entonçes E CHb(Q) es una solución de la ecuación homogénea (8,4), transpuesta a la (2,4). Por eso, la con- dición (10,4) es equivalente a la condición | negro) do=0 para cualquier solución z(2) de la ecuación homogénea (3,4). De esto se deduce directamente el tercer teorema de Fre- dholm para la ecuación (2,4). Ecnac. integ. con núcleos degenerado 3 valores de C, hallados en el segundo miembro de (5,4) y aplicando las fórmulas de (6,4) para f;, obtenemos: [3 Mudo, ad, AHQIdO HP) Do MP). (12,4) El numerador (para cada P fijado) y el denominador del quehrado del segundo miembro de la última igualdad son funciones holomorfas de À en la región A. Frecuentemente, es útil escribir Ja igualdad (12,4) en la siguiente forma: = SPO DADO (39 en donde E MybjO, Der, D Prova (14,4) La función T(P, Q, à) no depende de f(P) y, como muestra la fórmula (14,4), se expresa en forma de cociente de dos funciones holomorfas de 2 en toda la región A. T(P,Q,1) puede no ser una función holomorfa de À sólo para aquellos valores de À donde D(2)=0, es decir, para los cuales tiene lugar el segundo caso de la alternativa de Fredholm para la ecuación integral (2,4). En el apartado anterior se de- mostró, que tales valores de 2 no lienen puntos de acu- mulación en el interior de A, siempre que D(A) no sea idén- ticamente nulo, lo cual supondremos. Se puede demostrar fácilmente, que cada valor 1=4,. donde D(A)=0 es, en efecto, singular para Í(P,0,2) en el sentido siguiente: T(?,Q,2) no es una función uniformemente continua de (2, 2,2), cuando À se encuentra en un entorno arbitraria- mente pequefio del punto À,, y P y Q varian en G. En realidad, supongamos lo contrario, Sea la función 2(P, 2), definida por la fórmula (13,4), uniformemente con- 3 E Introducción, Teoremas de Fredholm tinua, si PEG y À varia en cierto entorno del punto à. Sustituyamos entonces et segundo miembro de (13,4) o, lo que es lo mismo, de (12,4), en ambas partes de la ecuación (2,4). Los resultados de las sustituciones, para cualquier función uniformemente continua f(Q), serán funciones uni- formemente continuas en la misma región de variación de P y à. Sabemos que estos resultados coinciden, cuando A = y JA-À,| es suficientemente pequefio, ya que enton- ces D(4)20. Por lo tanto, por continuidad, estos resultados coinciden también para A=2,. Por consiguiente, para cual- quier función ftP) de la clase considerada, la ecuación in= tegral (2,4) tiene solución para 2=Ap: ésta viene dada por la fórmula (13,4) para 2=2,, donde (P, Q, 2) está definida para À=4, por continuidad. Pero, entonces, para este valor de 2 para la ecuación (2,4) tiene lugar el primer caso de fa alternativa de Fredholm, y no el segundo, por lo que Dag) 20, Ejemplo. 1 isd= 2 | (tê o np dis fio), t de donde 1 1 9 [º fixe de x nd] Ho. u 0 *) Los razonamientos anteriores se exliendon fácilmente a) caso en que a(l, 1), bX0,4) y S(Q) tienen discontinuidades con respecto a Q on algunos putos, y en curvas y superfícios suficientemente regu- lares de dimensión hasta d- 1, inclusive, independientes de 4, si al “cercarse el punto Q a los lugares de disconlinuidad |aíO, )], |DAQ, 2)) y | F(Q)] no crecen con mucha rapidez. Las soluçiones estaráo in- determinadas en aquellas puntos P, en tos que a(P, 2) y /(P) no estén definidas. Ecuac, integ. con núcleos degenerados as Haciendo 1 Joma=a y Jemba=c. (154) obtenemos que Pl) =) — Cdx — Cdx (16,4) Sustituyendo esta expresión de y em las igualdades (15,4), obtenemos Jarno -cos- campd= 6, q 1 ferno-car- car dt=c, o sea, é UM e, by E GA =C. (174) en donde 1 1 =finga vb [END o o Escribamos las ecuaciones (17,4) en la siguiente forma: aira(i «Aedo € (t ++ Colo bas El determinante de este sistema es igual a a RM l+a- zo * (18,4) 3 Emtruduceión. Teoremas de Fredholm Llamaremos af núcleo K(P,0)=K,9K, producto sim- bólico del núcleo K(P, 0) por K(P,0)9. Es fácil demostrar que K,oK, es una función unifor- memente continua de P y Q. En efecto, | [rir KAS, Op ds [AP SKAS, Os =) [KA SOS, O) KH, OD) As) + +|]x46s, oltices, S)- Kit Sds). 29) Supongamos que la cota superior de los valores absolutos de K(P,0) y KXP, Q), cuando PEG y QEG no supera a M, y que D es el volumen de ta región G. Debido a ly con- tinuidad uniforme de K(P, 0) y de K(P, Q) para todo : 0, existe un n>0 tal, que IKPo S)-KAPo, Dl es IKOS, Q)-KKS, O) esp » *) EI producto simbólico de núcleos, introducido de costa manera, es unálogo al producto de matrives. Supongamos que la función q,(P) se transforma por medio del núe- leo Ki(P, Q) en la función etPy= [ks (P, Q)r(2) dO, y Ia funciónçkP), por medio del núcleo AP, Q) en Iafunción fáP)= fuer, Oro) do. Entoncs el núcleo K,o K, da Ja transformación de ta función ur) en gslP), O sea, Pg | (Ko K)pi(Q) do. De la misma manera, Ja aplis cación sucesiva en um espacio de dimensión « de dos transformaciones lineales nos da una transformación lineal con una tnatriz igual al pros ducto de las matrices de estas transformaciones. Feudo. integ. con núcleos cont. de mód. suf. peg. 3» si la distancia entre los puntos ?, y P, y entre los puntos O,Y Q, es menor que m. Fácilmente se observa que bajo esta condición, cl primer miembro de la desigualdad (2,5) es menor que e, que cs lo que sc queria demostrar, Obsér- vese que, en general, K,0K,=K,0K,. Si K(P,Q) es una función uniformemente continua en P y Q, es fácil com- probar que Ko(K0 K)-(K,0 Ko Ka. Pasemos ahora a demostrar, que las ecuaciones integra- les con núcleos continuos de módulo suficientemente pe- quefio sicmpre Lienen una solución única. Esto será utifi- zado en lo sucesivo para la demostración de los teoremas de Fredholm-en cl caso de una ccuación integral con un núcleo continuo cualquiera. Seca dada la ecuación integral HP=A Í RPA) dO + HP), 6,5) y scan K(2, 0) y AP) ciertas funciones uniformemente con- tinuas, cuando PEG y QeG, en donde G cs una región finita”, Aquí 2 es cierto parâmetro, Generalmente, éste *) En lugar de subrayar cada vez la continvidad uniforme de las funciones consideradas cn la región abierta G, estas Tunciones se podrían considerar en la región cerrada finita G (es decir, en la unión de G y su frontera), y exigir sólo su continuídad. Entonces, de aqui se de- duciria directamente la continuidad uniforme de estas funciones. Si está dada alguna (unción q uniformemente continua en la región abierta G, ósta puede ser prolongada por continuidad a la frontera de G. En- tonces se obtiene una función uniformemente continua en la región cerrada G, Para las regiones sencillas que consiueraremos aqui (com- párese con la observación af $ 1), el volumen de ta dimensión d de la frontera es igual a O. Entonces, la integral de la función q sobre a regiôn G coincide con la integral de su prolongación sobre G. EU Introdlucción, Teoremas de Fredholm figura on la ecuación precisamente de la forma indicada en (3,5). Todos los razonamientos ulícriores de este parágrafo son igualmente aplicables, tanto al caso en que las funciones consideradas tomen valores complejos, como al caso en que Jas mismas tomen sólo valores reales. El parâmetro À también puede tomar valores complejos. Pero cs Tundamen- tal que los puntos P y Q sean reales, es decir, que todas las coordenadas de estos puntos sean reates; de otro modo surgiria la necesidad de definir qué es una infegral de varias variables complejas. Siguiendo exactamente la definivión de núcico dada an- teriormente, ahora deberíamos llamar núcleo a AK(P, Q). Pero, utilizando la terminologia común, llamaremos tam- bign a la funciôn K(P,Q) núcleo de la ecuación integral (3,5). Al hablar en el título del presente parágrafo de la pequenez del núcleo, nos referiamos a la pequefiez de 2K(P, 0). Buscaremos fa sofución de fa eçuación infegraf (3,5) en forma de una serie de potencias en À HP) = AP) + AP) + Aya P) +. (4,5) Sustituyendo formalmente esta serie en (3,5), obtenemos que SP) + AP 4 ADO + pat) += = [KO QUAD AO +. OA HP). (53) De aguí y comparando los cosficientes de iguales potencias de à, obtenemos AR, PealP)= |KP, OAO) AO, k=0,1,2,... (65) Ecuac. integ. com núcleos cont. de mód. suf. peg. 43 ción (3,5) yi(P) y vá P). Sustituyéndolas en la ecuación (3,5) y restando miembro a miembro las identidades obtenidas, hallamos: MAP) DAP) =A | RP, DIO) (O) dO. (14,3) Denotemos por Y el extremo superior de [p(P)-p(P)I; cntonces, de (14,5), utilizando fa desigualdad (11,5), obtene- mos que Y=|M MDY. De esto, y debido a (13,5), obtenemos Y=cY, en donde c«l, Esto es posible sólo si Y=0, que es lo que queriamos de- mostrar. Frecuentemente convienc representar la solución de la ecuación integral (3,5) en la forma siguiente HP=AÍI, O, DAQ AD ANP (55) cn donde ICP, Q,))= EXIRO(P, O). (16,5) 45? De las acotaciones (12,5) se desprende que la serie (16,5) converge uniformemente respecto a (P, Q, 2), si PEG, QEG y Bl=mp-& donde «0. De esto se deduce que la fun- ción !(P, Q, 2) es uniformemente continua respecto al con- junto (P, 0) para una À fija, y es una función holomorfa de 2 en el círculo (13,5), si PEG y QEG. Por eso, la inte- gral (15,5) existe. El hecho de que ésta dé, en efecto, la solución de la ecuación integral (13,5), expresada por la serie (4,5), se ve fácilmente, si se sustituye la serie (16,5) 44 Introducción Teoremas de Fredholm en lugar de T(P,Q,2) en el segundo miembro de (15,5), y se integra respecto a Q término a término. La [unción !(P, Q, 2) se lama resolvente de la ecuación integral (3,5) *). Como se ve de lo anterior, ésta se define por e) núcleo de la ecuación integral y no depende de f(P). Como Ja función »(P), dada por la fórmula (15,5), repre- *) Comparemos (15,5) y (13,4). Mostremos que pará las ecuaciones integrales (3,5) con núcleos degencrados, para las cuales a(P) y bAP) son funciones uniformemente continuas y de módulo suficientemente pegueão; es decir, para aquellas ecuacioncs integrales que pertenecen a la vez a los tipos estudiados en los 45 4 y 5, será PP, O, DAP... Como aqui tiene lugar et primer caso de la alternativa, se tene que DA) AO, Supongamos que en cierto punto (Po, Qu, A) Tas Qu, Ae (Pos Qu, da Dl. Ya que para fas ecuaciones con los núcleos considerados T(P,, O, A) y 14Po, Q, 79) son continuas respecto a (2, siempre se puedo hallar un entorno ( dei punto Go, en et cual Re (Pos O, 19)) Re (Ao CP, Oy du) bm (CE, O, Ape tem (A TCP, O, 0). Por otra parte, em virtud de la unicidad de la solución de fas ecuaciones integrales del tipo considerado, para cualquier función /(P) uniforme- mente continua tiene que verificarse la siguiente igualdad: [PB 0, 29/00) dO = fr), O, AV (ON dO. En pasticular, esta igualdad debe cumplirse para la función /(D), que es igual a cero en el exterior de un entorno G, del punto Q,, Y positiva en el interior de este entorno, lo cual es imposible. (; Por qué?) Ecmeic. Integ. con micleos cont. de mód. suf. peq. 45 senta la única solución de la ecuación (3,5), de aquí se sigue que las ecuaciones (3,5) y (15,5) son equivalentes. Por eso, si en la ecuación (15,5) consideramos y(2?) como función conocida y (?) como función incógnita, entonces la única solución f(P) de esta ecuación viene dada por la fórmula (3,5). La función K(P, Q) en esta Tórmula juega el papel de resolvente para la ecuación (15,5) con núcleo !(P, Q, 2). Aplicando a la ecuación AP)=AÍ KO, PO) dO + AP), (75) transpuesta a la ecuación (3,5), y los mismos razonamientos que acabamos de hacer para la ecuación (3,5), hallaremos que en el círculo (13,5) ésta tiene una solución única en la clase de funciones acotadas, la cual viene dada por la serie AP)=2AP)+AZ(P) IP + AZ P+... Aqui ut P)=HP), 2 P)= [RO Pref) dO o, designando por K*(P, O) el núcleo K(Q, P), obtenemos: a(P)= | KHP, POMP) dP E veceg ad PI= |... PRP PRADO o KM Proro BOX xAPo dP;...dPy 48 Introducción. Teoremas de Fredholm De este modo, designaremos por K el operador que transforma la función »(P) en la función y(P)= furo - 0) dO. Este operador se determina por el núcleo K(P, O). Designaremos por K* e] operador que se determina por el núcleo transpuesto K*(P, 0)=K(O, P). El símbolo E desig- nará el operador que transforma la función y(P) en sí misma, o sea, Ey =» para cualquier función »(P). El operador K, +K, se define por la igualdad (Rtk)p=RyEKoy para cualquier función y(P). El operador K,K, lo definimos mediante la siguiente igualdad: Ko =K(K9) para cualquier función »(P). Facilmente se ve que, si K, y Ky son operadores del tipo (2,6) con núcleos K,(P, Q) y K?, 0), entonces el operador K,+K, se determina por el núcleo K(P?. O)J+K(P, O), y el operador Kk,, por el núcleo K,0 K,. De esta manera, la ecuación (1,6) puede escribirse en la forma (E-IKy=f. Antes de pasar a ja demostración de los teoremas de Fred- holm para la ecuación (1,6), enunciaremos los siguientes lemas: Lema 1. Si A(P,Q) es um múcico degenerado y K(P., 0) es un núcleo continuo cualquicra, entonces AC K y Ro A son tanbién núcleos degenerados. Lema 2. El núcleo transpuesto a K,o Ko es igual a K&oKL. La validez de estas afirmaciones es Fácil comprobarha, considerando las integrales respectivas. Ecuac. integ. con núcicos próx. à los degen 49 Dempstrentos ahora, que para la ecuación (1,6), si Pl=5d D* e donde M, es el extremo superior de los valores de KM, O), y D esel volumen dela región G, tienen lugar los tres teoremas de Fredholm. 1. Primer teorema de Fredholm. Demostremos que, si la ecuación homogénea (1,6) tiene sólo solución trivial, enton- ces la ecuación no homogénea (1,6) tiene solución para cualquier funciôn MP). Sustituyendo K por A +X,, escribimos Ja ecuación (1,6) en la forma (E-24 = AKDy=I, en donde 4 y K, son los operadores correspondientes a los núcleos A(P, 0) y KK?, 0). Entonces (EAR p= AA p+f. (3,6) Hagamos (E-1kyp=m. Como |2| =D» de la fórmula (15,5), demostrada en el parágrafo anterior, se deduce que y=n+2Pn=(EtADAy, (5,6) en donde P es el operador correspondiente a la resolvente I(P,Q,2) del núcleo K(P, 0). Sustituyendo esta expresión de y(P) en la ecuación (3,6), obtenemos: n=AM(E+APm+f LE-AM(E+AD) n=f. (6,6) Del lema 1 se deduce que et núcleo A(P,0)+434P de esta ecuación integral es degenerado. De esta manera hemos demostrado, que a cada solución s(P) de la ecuación (1,6) o bien, 4 50 Introdueciôn, Teoremas de Fredholm le corresponde, según la fórmula (4,6), una solución w(P) de fa ecuación (6,6) con núcleo degenerado. Reciprocamente, es fácil comprobar que a cada solución 1X P) de la ecuación (6,0) lc corresponde una solución XP) de la ecuación (1,6), determinada por la fórmula (5,6). Luesgo, si la ecuación homogénea (6,6) tiene solución no trivial, la ecuación homogénea (1,6) también poseerá solución no tri- vial, la cual se determina por la fórmula (5,6). Puesto que, por ja hipótesis, Ja ecuación homogénea (1,6) sólo tiene solución trivial, entonces, por consiguiente, la ecuación homogénea (6,6) también tendrá solamente solu- ción trivial. En el $ 4 se demostró cl primer teorema de Fredholm para la ecuación (6,6) con núcleo degenerado. Por eso, ja ecuación no homogênea (6,6) tiene solución m(P) para cual- quicr función /(P). Por la fórmula (5,6) obtenemos la sotu- ción y(P) de la ecuación (1,6) para cualquier función CP). Es cvidente, que esta solución es única, Con esto cl primer teorema de Fredholm queda demos- tado, pucesto que, si la ecuación homogénea tiene solució no trivial, fa ecuación no homogénea, o bien no tiene solu- cián, o bien esta solución no es única. 2. Segundo teorema de Fredholm. Demostremos que, si Pimp » la ecuación (E-24-AR)pr=0 y su trans A puesta (E-24*-2K8)2=0 (7.6) tienen un mismo número de soluciones lincalmente indeo- Pendientes. Obsérvese que las ecuaciones homogéncas (1,6) y (6,6) tienen un mismo número de soluciones lincalmente inde-' pendientes, puesto que à cada p soluciones linea lmente in- Ecune. imeg. com núcleos umform. conmmuos 5 ecuación (6,6) con núelco degenerado tiene solución si, y sólo si, Jnexur de=o, en donde $(P) es una solución cualquicra de la ecuación (8,6). Pero, de acuerdo con lo que acabamos de demostrar, cl conjunto de estas soluciones $(P) coincide con cl con- junto de las soluciones z(P) de la ecuación (7,6). Con esto queda demostrado el teorema. $7. Ecuuciones integrales con núcleos uniformemente continnos Cualguier núcleo uniformemente continuo K(?, Q) puede ser aproximado uniformemente, con una exactitud arbitra- ria cualguiera por núcleos degenerados. En efecto, sea K(?,Q) una función uniformemente continua respecto a (P, 0), definida en una región finita G. Por el teorema de Wejerstrass, demostrado en el curso de análisis 9, para cualquier e>0 existe un polinomio tal K(P. 0), de grado suficientemente grande respecto a las coordenadas de los puntos P y Q, que en toda la región G IEP, O) -KAP, O) <e. Es evidente que cada término del polinomio KP, 9) puede ser representado como un producto de dos factores, uno de los cuales depende sóto de las coordenadas dei punto P, y - 9 véase, por ejemplo, R. Courant y D. Hilbert, Métodos de la Física Matemática, t. T, cap. Il, $ 4; S.L. Soboley, Ecuaciones de la Fisica Matemática, [4 ed, M. — L., 1947, pág. 229. 54 Introducción. Teoremas de Fredholm el otro, sólo de las coordenadas del punto Q. Por eso, po- demos escribir K(P,O)= BatPo O) + KM, O), siendo, además IP, QI=e. De aquí, y aplicando el teorema demostrado en cl pará- grafo anterior, obtenemos que en el círculo z ns. en donde D es cl volumen de la región G, sean válidos todos los teoremas de Fredholm, y que en este círculo no existan puntos de acumulación de los valores propios de À. Como e puede tomarse tan pequefio como se quiera, de esto se deduce la validez de estos teoremas en círculos arbitraria- mente grandes con centro en el punto 4=0; es decir, su validez en todo el plano 2. Repasemos los razonainientos que nos llevaron à la de- mostración de los teoremas de Fredholm para las ecuaciones con núcleos uniformemente continuos. Primeramente, ($ 4), hemos demostrado estos teoremas para ecuaciones integra- les con núcleos degenerados. En el $ 6 estos teoremas fueron demostrados para ecuaciones con núcleos próximos a los degenerados. Y en el presente parágrafo se demostró que cualquier núcleo uniformemente continuo puede ser apro- ximado uniformemente con una precisión arbitraria por un núcleo degenerado. Con esto obtuvimos la demostración de los teoremas de Fredholm para las ecuaciones integrales con núcleos uniformemente continuos cualesquiera. El método con el que hemos demostrado aquí los teo- remas de Fredholm pertenece a E. Schmidt, En mi exposi- Ecuac. integ. con núcleos del tipo K(P, QUPO? ss ción he utilizado los apuntos de las clases de S. L. Sobolev. Obsérvese, que se pueden resolver, aproximadamente, ecua- ciones integrales con núcleos continuas, sustituyendo estos núcleos pot núcleos degencrados, próximos a cllos*. $ 8. Ecuaciones integrales con núcleos KP, get úipo ES PO: 1. Aqui P y Q pertenecen a una región finita cerrada G (véase la observación en la pág. 39), y K(P, 0) es una función continua respecto a los puntos (P. Q) (o seca, del conjunto de puntos ? y 0); PQ es la distancia entre los pun- tos P y Q. La finalidad del apartado | del presente pará- grafo es demostrar que, pare las ccuaciones integrales con núcicos de este tipo, siendo «=<d, en donde d es lu dimensión de ta región G, en todo el plano À se cumplen los tres teore- mas de Fredholm, y que, entonces, los valores propios 2. no pueden tener puntos de acunulación jimitos, Demostremos previamente el siguiente lema para los núcleos K(L, 0)y4 KÁP, O) contintos respecto a (2, Q), si PAQ, PEG y 0cG. Si IEP, O = (1,8) IK4P, O) = Oeuped, (2,8) Pos» * Comparar con L. V. Kantorovich y V. 1. Krylov, Métodos Apro- ximados del Análisis Superior, S2 ed, 1962, cap. II, $ 4. 5 introdutción. Tevremas de Fredholm Descompongamos la integral f en dos partes y utilice- mos la acotación (6,8). Entonces se obtiene: Aids dê... dêa na gata f. E z afle-osfa' & + a d 8 [5 é [ps cexçeç [28] La integral en el primer sumando es convergente y da cierta constante €, que no depende de q. Para el cálculo de la segunda integral, pasemos a coordenadas polares. Se ob- tiene: D e [a Cfr m 4 Cogiosioã | ql= lua ddr, (7,8) 2 en donde C, es una constante positiva, Sixy + &g => «dl, entonces de la última fórmula se deduce que Es Claus Cpu fat-t-n-s de= Cota, es decir, se obticne la acolación (3,8). Sia, +=, entonces de Ja fórmula (7,8) se desprende que D 1=C+ Coina, es decir, la acotación (4,8) para K(P, Q)?. *) En Jas consideraciones subsiguientes, el caso x;4-%)=d siempre puede ser gxcluido, aumentando un poco «, 0 à. Ecunc. integ. con múcieos del tipo ReP, QUPQs 59 Si, en cambio, x; +ay<d, entonces es evidente que KAP, 9) existe también para P=Q. Luego, de la acotación (7.8) se sigue que Cogd=0s —na (2 Gera [(o/ O aesatuc, (88) fa Cgtou-s 4 - en donde €4 es una constante. Demostremos ahora quo K(P, Q) es siempre continua y depende de (2,0), si ? no coincide con Q. Para esto observemos gue RP, O) KAP*, OM] « = [RP O) KAP, ON + | RAD, O) RLP*, OM] = = [IKKP, Polk, QD RAP O] d+ + JKA QU RLL, P)- RPE, Pol AP, (9,8) Hemos supuesto que las funciones K(?,Q) y KlP, O) están dadadas para todos los puntos P y O (si P=Q) per- tenecientes a G, y que K(P,0) y K(P,Q) son continuas siempre que P=(. Por eso, en cualquier conjunto cerrado de puntos (P, Q), que no contenga puntos para los cuales P=Q, las funciones K(P,Q) y KíP,Q) son uniformemente continuas respecto a (?, 0). Por consiguiente, cada una de tas diferencias que figuran bajo el signo integral es uniforme- mente pequeiia con respecio a P,, siempre que los puntos Qy0*%,Py P* estén suficientemente próximos entre st en toda la región" G de puntos P,, a excepción de ciertos en- tornos G,, Gy, G, y Gy de los puntos P,=Q, P;=0*, P=P y Py=P*. En los entornos G,, Gs, G, y Gy incluimos los puntos de G, que distan respectivamente de Q, Q%, P, P* So Introducción. Teoremas de Fredholm no más de un cierto r fijo, pequefio, que no varia aí apro- ximarse Pa P*y Q a Q*. Por eso, en viriud de las con- diciones de (1,8) y (2,8), las integrales que figuran en (9,8) y son tomadas sobre las regiones G = (6, +G))y 6 (6,4 G,) se hacen arbitrariamente pequehias, cuando los puntos (2, 0) y (P*,0*) están suficientemente próximos, Las partes de las integrales (9,8), tomadas sobre los entornos G,, Ga, Oy y G,, como conseçuencia de las condiciones (1,8) y (2,8), también son arbitrariamente pequefias, cuando r-0, si PaQ. Si, en cambio, «,+2, <d, entonces, cuando los puntos (P,Q) u (P*,0*) están suficientemente próximos, las inte- grales (9,8) son arbitrariamente pequefias, incluso si los puntos P y Q (o P* y 0%) coinciden, ya que on este caso las partes de estas integrales tomadas sobre los entornos G,, G,, Ga y Ga tienden uniformemente a O respecto a (P, 0), cuando r>0, En efecto, la primera de las integrales (9,8), tomada sobre estos entornos, no es superior a la suma fisco, PDILACA, O) dei+ JE PONAAP,, ONidP,. Cada una de estas integrales se acota utilizando la desigual- dad (8,8). Análogamente se acota la segunda integral de (9,8), tomada sobre Gy, 69, Gy Y Gu De esto se deduce la continuidad de la función KP, Q) en toda la región cerrada en que está definida y, por lo tanto, su continuidad uniforme. Dediquémonos ahora al estudio de las ecuaciones inte- grales MPI=2 fRCP, ONO dO + HP), (10,8) Ecnac. integ. con núcieos del tipo ÁCP, O) PQu [ en general á, IKCDÇP, QI = paga * si ma-(m-1)d>0. Aquí 4 y Am son unas constantes, Como «=<d, entonces para m suficientemente grande ten- dremos que ma-(m-1) d=<0, Entonces, en virtud del lema demostrado, K(DÇP, Q) es uma Tunción uniformemente continua respecto a (P, Q). Todas fas iteraciones siguientes K(P(P, Q) serán también unifor- mernente continuas. Además, para p= tenemos que IKHP, O)] = f xr, poi, jar = Mo IKCP, PD] dtys MGM, en donde M, es el extremo superior del módulo de A(P(P, Q) De aguí se obtienc la demostración de la convergencia uni- forme de ia serie (12,8) respecto a P, O y 2 [para Ade) . igual à como fue demostrado para la serie (16,5). Razona- mientos análogos se pueden hacer para la ecuación trans- puesta. Todas las fórmulas obtenidas en el $ 5 siguen siendo válidas, Después de esto, todos los razonamientos del $ 6 son aplicabtes a las ceuaciones integrales con núcicos del tipo K(B, O) = E aXPJb(O) + RP, O), *) Véase la nota en da pág. 38 64 Introducción. Teoremas de Fredholm en donde a(P) y báQ) son continuas en G y XP, Q) tiene la forma (13,8). De este modo, se obtiene la demostración de tos teoremas de Fredholm en el círculo 1 lal=aã+ en donde M, es el máximo de los extremos superiores de las integrales: Fisc Oldo, fixe, ol ar. Además de esto, resulta que en este circulo no puede haber puntos de acumulación de los valores propios de À. Pasemos ahora a la demostración de los teoremas de Fredholm para las ecuaciones integrales con núcleo del tipo indicado en el títufo del presente parágrafo. Hagamos q =x sixsC, pÁ)=C, six>€ Entonces la función s t KelP, 0)= RP, Oo (pix) será uniformemente continua respecto à (2, Q) para todo €. Para un valor € suficientemente grande, las integrales fixe, o)-*aP, Odo, [IK(PO)-KAP,O) dP serán uniformemente pequeiias respecto a P y Q), respectiva- mente, Como se dijo en el $ 6, una función uniformemente continua Ko(P, Q) puede ser aproximada uniformemente en la región G con una precisión arbitraria por sumas del tipo Sal, O) = Sia PyD(O). Ecune. intep. con múcleos del tipo RP, PQ ss Entonces, tenemos que K(L, Q)=SnlP, O) + RP, O), y. además, el extremo superior de los valores de fimrorao, Jimpojar puede hacerse menor que cualquier «=0. De aquí se ob- tiene la demostración de los tres teoremas de Fredholm en todo el plano À para las ecuaciones integrales con núcleos del tipo (13,8). Además, se obtiene la demostración de que no existen puntos de acumulación finitos de los valores pro- pios. La demostración que acabamos de hacer, de los tres teoremas de Fredholm para núcleos del tipo (13,8), en lo fundamental repite la demostración de estos teoremas para núcleos acotados uniformemente continuos. En esencia, la demostración de estos últimos teoremas se basaba sólo en el hecho de que ciertas integrales eran pequeiias; la exigen- cia de que los integrandos Tuesen pequeiios era superílua para eflo. Esto, precisamente, se tuvo en cuenta en el pre- sente parágrafo. Observación. Supongamos que el núcleo K(P, Q) es una función continua de P y Q, cuando PEG, QEG y PxQ, y satisface a la condición | K(P, OA. O=a<d, Sea 4«>0 y a+e<d, Entonces noge : KO PQ FP, O) nro, en donde K(P, Q) es una función continua de P y Q. Dc este modo, para los núcleos del tipo indicado también son válidos todos los teoremas de Fredholm. 2. Muchos problemas de la fisica matemática Hlevan al estudio de ecuaciones integrales, en las cuales la integración s 68 Introducción. Teoremas de Fredholm tomada sobre la parte de la superficie S, ubicada en la esfera de radio r, con centro en el punto Q, cambiará gradual- mente respecto a Q), en un pequeãio entorno de cierto punto / Supongamos que en un entorno del punto Q, la super- ficie .S está dada por la función con derivadas continuas z = =flx,)) y Q' y Pj son las proyecciones de los puntos Q y P, sobre el plano z=0, Como d$<C dx dy, en donde C es una constante, y, además, Q'P;=QP,, se tiene: dSpe Cdxdy ore J ora - S40,+) Ss, Esta última integral puede hacerse arbitrariamente pequefa, sir es suficientemente pequeiio. Para demostrar la continuidad de K(P, OQ) para P=Q y «tod, basta acotar, de lagnisma manera, la integral del tipo dSp, PPUQR! > Que cuando P y Q varian en un entorno pequefio dei punto P*=Q* y r tiende a cero, utilizando la desigualdad (8,8). Para demostrar la validez de las desigualdades (3,8) y (4,8), demostremos que las funciones KP, QPQutu=d, si a tag>d, EXP, Q) Tn PO” si atra=d para PES, QeS y PxQ, estân acotadas. Ecuac. integ. con núcleos del tipo K(P, O), PQr 69 Para ello, supongamos que nuestra afirmación no cs cierta. Bntonces cxisten dos sucesiones de puntos PES, PES... Q3€S, QuES, « «., donde PO, que IKAP, QUE! oo, cuando imo. (15,8) Podemos suponer, además, que las sucesiones P,y Q, sun convergentes, es decir, que P-PES, O +O9ES. De la continuidad de la función A(P, O) para P=Q, de mostrada anteriormente, se deduce que Pa=Q,. Suponga- mos, para fijar ideas, que en cierio entorno U sufigiente- mente pequefio del punto ?,, la coordenada z de los puntos de S es una función de x e y con derivadas continuas, y que en este entorno se verifica la desigualdad AS = C dx dy (C es una constante). Entonces, para todas las í suficientemente grandes, se tiene que dSp, “Sp, KAB, Q)] <A,As [SP + 4,4, | — SR o [A a “A mPiegr as o de dy a pi piga + Aida or, 1 dSp,» s Adao ma É Le Pp Fi É donde los trazos indicau las proyecciones sobre cl plano z=0. Puesto que el último de los sumandos obtenidos está acotado, de (15,8) se deduce que equi! | o cuando oo (168 0% Jaróvior » cuando É (16,8) 7% Introducciôn Teoremas de Fredholm Sin embargo, para todos los ? suficientemente grandes, se tiene que P/0;=C;PQ,, en donde C,>0 (;por qué. Por eso, de (16,8) obtenemos: ent dx dy POptao | re, cuando (-o. 10% l PRSPgE O uam Pero los puntos ?; y Q; están situados ya en la región U" del plano. Por esto, en virtud del lema demostrado en el apartado |, tenemos que, para todas las i suficientemente grandes, f dx dy Á ai A pe PiPE PQEO Pagie uma (A es una constante), Esta relación contradice a la anterior. EP, 0) De forma análoga se demucstra que la función Tin FOl+ es acotada. $9. Ejemplos de ecuaciones integroles singulares Llamamos singulares a aquellas ecuaciones integrales para tas cuales no son válidos los teoremas de Fredholm, o bien los valores propios tienen puntos de acumulación finitos. Las ecuaciones integrales singulares citadas en esto pará- grafo tienen un intervalo de integración infinito, Pero, ha- siendo, por ejemplo, E=tgm x=tg), estas ecuaciones integrales pueden ser reducidas a ecuaciones cuyo intervalo de integración es finito. CAPITULO 2 ECUÁCIONES DE VOLTERRA $ 10. Ecuaciones de Volterra Así se llamau las ecuaciones integrales XPJ=A ÍA(P, OO) dO 4 HP), que satisfacen a las siguícntes condiciones: a) cada coordenada de los puntos ? y Q toma valores desde O hasta cierto a >0; b) K(2, Q)=0, si por lo menos una de las coordenadas dei punto Q es mayor que ta correspondiente (es decir, Ja que tiene el mismo índice) del punto 2. Estudiaremos sólo el caso unidimensional, Entonces la ccuación de Volterra tiene la forma Ho) =2 [Ki EE) de + to). (4,10) ; Demostremos que para esta ecuación tienc lugar el primer caso de la alternativa de Fredholm para cualquier à, donde se supone que X(x, &) es una función continua para O =x-=a, O=é=x, y f(x) es continua para Dax=a. En otras palabras, demostraremos que Ji ecuación de Volterra no tiene valores propios, 74 Ecuaciones de Volterra Demostración. La ecuación (1,10) pertenece a la clase de ecuaciones integrales, para la que hemos demostrado los tcoremas de Fredholm. En: efecto, Klx, x Eje fe=BpE O<e<l, Ka, ) = La función K(x, E), definida por las igualdades Ko )=K(x, lx-é|! para 0Osésx, Fx, 8)=0 para Fax, es uniformemente continua en el cuadrado Osx=a, Osisa Por cso, para la ecuación integral (1,10), de acuerdo con ci $ 8, son válidos los tres teoremas de Fredholm. Esto significa que, para demostrar que para esta ecuación tiene lugar el primer caso de la alternativa de Fredholm para cualquier À, es suficiente demostrar que la ecuación homo- génca correspondiente Ho)=A ks, Eye) de (o) o puede tencr para cualquier 2 sólo ta soluctón trivial en la clase de Iunciones continuas de x para O=x=4. Demostre- mos esto último: denotemos por B el valor máximo de |y(x)| para 0 =x <a, y por M el valor máximo de |K(x, &)| para 0=x=a y 0=E=x, Entonces, de la ecuación (2,10), obtenemos que [69] =|2|MBx. Ecunciones de Volterra 75 Sustituyendo de nuevo esta acotación de xXx) en cl segundo miembro de (2,10), obtenemos be) Continuando este proceso, resulta; [HtMiaka JAJEM ak a TUR =tapmele, Url = k=1,2,... Esta última expresión ticnde a O cuando & — , Por lo tanto, »(4)=0 en ef intervalo (0, a), que es lo que sc queria de- mostrar. La solución de la ceuación (1,10) puede buscarse en forma de serie DO) = o) + A) + Ra) + (3,10) De acuerdo con el $ 8, tiene que ser SA) =0) ventd= [KO EB E, k=0, 1,2... o Sea N el máximo valor de |/(x)] en el intervalo (0, a). Entonces se tiene que Min MighN DO) = E “A De aqui se vc que la serie (3,10) converge uniformemente respecto a À y x, cuando À está sttuudo en um círculo ar- bitrariamente grande y O =x sa. Para tener una idea clara del por qué fa ecuación de Valterra no tiene valores propios, consideremos (de manera similar a como se hizo en el $ 3) e! siguiente sistema de 7” Ecuaciones de Volterra =x <a satisface a la ecuación integral x Ke rtd+ | Ejos DUO dE= 00 (710) 8 la cual se obtiene de (6,10), derivando miembro a miembro respecto a x. Reciprocamente, fácilmente se ve que cual- quier solución continua de la ecuación (7,10) para O=x=a satisface también a la ecuación (6,10). Si el módulo de K(x, x) es mayor que cierta constante positiva, entonces la ecuación (7,10) se reduce a una ecuación integral de Volterra de 2º especie, estudiada en el presente parágrafo, Si K(x, x)= =0, a veces es útil derivar nuevamente miembro a miem- bro la ecuación (7,10) respecto a x, etc. CAPITULO 3 ECUACIONES INTEGRALES CON NUCLEOS SIMETRICOS REALES $ J1. Anúlogos geométricos de ciertas relaciones entre funciones (espacio de funciones) Una noción sobre una función AP), uniformemente con- tinua en una región finita G dada, por ejemplo, en un inter- valo finito («, b), nos da los valores de esta función en un conjunto de puntos ?,, Po,..., Ph suficientemente denso. En el caso unidimenstonal se pueden tomar los siguientes puntos: xaa+rdx a+24x,..., ar(n-D dx, a+n 4x, en donde dx =ts, para n suficientemente grande. Denota- remos los valores de f/ en estos puntos por IB, 1, fm respectivamente. Consideraremos estos últimos como com- ponentes de un vector (/D, f(D,..., fl), en el espacio eucli- deo de dimensión ». cuyo origen está situado en el origen de coordenadas. De este modo, a la función / le corresponde un vector (SD, 1, ..., SW), La longitud o norma de este vector es igual a VS TOP SIE so Ecuae, integ. con mícicos simétr. reates Pasando al límite, cuando ns, es natural Hamar “Jongi- tud” o norma de la fanción f(P) ak número / [rxe)ar. ê En la tabla siguiente estân enumeradas, por un lado, las principales magnitudes y relaciones, ligadas con vectores en el espacio euclideo n-dimensional y, por otro lado, las correspondientes magnitudes y relaciones para las funciones (en el “espacio de funciones”). En este parágrafo todas las funciones consideradas se suponen redles, definidas en una región finita G y de cuadrado integrable (véase la observa- ción al $ 1). E) símbolo [xe aP designará siempre la integración sobre la región G. 1. El vector (f(D, f6D,... 1. La función f(P). cos ft, 2. Longitud del vector 2. Norma de la función (AP, ft) AP): poi / Zur. n9t= / Prxesar. 3, Distancia entre los 3. Norma de la diferen- puntos (J$D,.... A) cia de dos funciones y GE, 1) SEP) AP) EP ser. Vito near. Análogos geométr. de ciert. relac, entre funciones 83 4. El producto escalar de dos vectores IDP, SO CS, AD, E viene dado por la fórmula x, A e, Dcnotaremos este pro- ducto escalar por e) símbolo Cd. 5. Desigualdad triangular (la suma de dos lados de un triângulo no es menor que el tercero): VE bP+V Eb a =e)t= =V Eta 4. Sellama producto esca- lar de dos funciones A(P), SWP) a rapa) dr. Denotaremos este producto por e! símbolo (4, f). La existencia de esta integral en nuestras suposiciones es con- secuencia de que |ab) = Mob 5. Desigualdad triangu- lar; Fria -nerar» + ua sap ar = =/ fuer -nonr ar. Ambas desigualdades sc demuestran idénticamente. Por eso demostraremos sólo la primera. Es fácil ver que, sin restringir la generatidad, se puede considerar que todas las b, son iguales a O. Elevando al cuadrado ambas miembros de esta desigualdad, y reduciendo términos semejantes, ve- mos que ésta es equivalente a la desigualdad -ZausV aid, 84 Ecuac: integ. con núcicos simétr. reales puesto que todas las raíces cuadradas las consideramos no negativas. La última desigualdad se deduce directamente de la siguiente: (Zae)= Fixo, 6,11) la cual se ilama desigualdad de Cauchy. Para su demostra- ción, obsérvese que para cualesquiera números reales q, c; yA ZGa+e=o. Por eso, la ecuación cuadrática de À PERA Zac Zej=0 no tiene raíces reales diferentes, Pero esto es posible sólo cuando sc cumple la desigualdad (1,1). De la misma manera se demucstra la desigualdad [frerycrrar = [rear [rear a Esta se lama desigualdad de Bunyakovski'N, *) La desigualdad (1,11) se encuentra por primera vez en el curso de Análisis de Cauchy (1821): Oeuvres, IIS, t, IM (1897), 373, Bl propio Cauchy la dedujo de Ji identidad Sat Em (Babf= aa Z E labj-aho, = E 1 2 despreciando su segundo miembro no negativo. La desigualdad (2,11) ta demostró por primera vez y la utilizó Bunyakovski (Sur queiques inégalités concernant fes intégrales ordinaires... Memoires de FAcad. de St. Petersbourg (VID E (1859), N 9), Pera en Ia literatura especiali- zada esta desigualdad frecuentemente se Ilama desigualdad de Schwarz, a pesar de que en sus obras ésta aparece por primera vez sólo en 1885 (Werke, E (1890), 251) Análogos geometr de ciert. relac. entro Junciones 8s 6. El coseno del áânguio entre los vectores UPS tm (ED, SRD, SED es igual a a Stop Eus. Fui op De aenérdo con (1,11), el módulo de esta expresión no supera a |. Ltamaremos vector unix dad (o vector unitario), a aquel cuya longitud es igual al. El coseno del ângulo en- te dos vectores unidad /4D, Psy SOS... «s fED es igual à 4 A JA. 7. Condición de ortogo- nalidad de dos vectores VE SED UP, SD) Erprças i=) 6. Liamarenos coseno del ánguio entre dos funcio- nes f(P) y SAP) à [uo-s407 de Vi xP) ar. furar De acuerdo con (2,11), el módulo de esta expresión no supera a [. Se dice que Ja Tunción HP) está normalizada, si su norma es igual a 1. El coseno del ángulo entre dos funciones normali- zadas f(P)y SP) es iguala Lrarysaryar. 7. Condición de “ortogo nalidad” de dos funciones PACORE ACO) Lego) fat) de s0, sB Ecude. integ. con micieos simétr. reales Demustración de la desigualdad do Besse!. Es evidente que f,=0 para cualesquicra C,. Si C=f; para i=1,2,... h o A +, !H, Cnlonces Ey= |) dP- Digo seu | SAP)dP as d e] m = =2dê que es lo que queríamos demostrar. fes La sucesión de funciones normalizadas, ortogonales dos a dos, (brevemente, sistema ortonormal) 4) AP cos Pc (GA) se ltama completa, si para cualquier función continua (y, por lo tanto, acotada) /(P), definida en una región cerrada, se verifica la siguiente igualdad (igualdad de Purseval): [ra)dr= Ep. “ é=1 Nota. De la afirmación demostrada en ef apartado 9 se deduce la posibilidad de sustituir la definición dada de un sistema de funciones completo por la siguiente, equivalente a ella: e! sistema ortonormal de funciones (3,11) se lama completo, si para cualquier función continua, en una región cerrada HP), existe una combinación linea! de estas funciones 2 Cir), tal, que ef error cuadrútico medio cometido al sustituir MP) por esta combinación, es decir, fhe-Zcano ar, Arúlegos geométr. de ciert. relac. entre funciones 89 es arbitrariamente pequeno. De aquí que, si Hantisemos sis tema completo a un sistema ortogonal, para el cual se cum- pla la igualdad de Parseval para cualquier función de cua- drado integrablo (9), continua en toda la región, a excep- ción, posiblemente, de un número finito dc puntos, curvas y superficies regulares, de dimensión hasta (d— |), entonces esta definición seria también equivalente a la anterior (aqui des lu dimensión de la región G, en donde están definidas las funciones consideradas). Esto sucede debido a que cual- quier función /(P) de esta clase puede aproximarse por una función /*(P) continua en G tal, que la norma de la diferen- cia MP) -S*P) sea arbitrariamente pequena. La demostra- ciôn de esta afirmación mediante Ia desigualdad triangular (véase cl apartado 5) la dejamos a cuenta del fector. El sistema ortonormal (3,11) se Hama cerrado 9, si no existe ninguna función de la clase considerada **, cuya inte- gral de su cuadrado exista, sea positiva y ortogonal q todas las funciones de (3,11). Teorema. Todo sistema completo es cerrado. Demostración. Supongamos que cl sistema (3,11) es com- pleto, pero no cerrado, es decir, que existe una función HP) para la cual la integral de su cuadrado existe, es posi- tiva y ortogonal a todas las funciones de (3,11). Los coefi- *) Muchos autores empican una terminologia diametralmente opussta. A los sistemas que el autor del tibro llama completos, tales autores los tlaman cerrados (o densos), y a tos sistemas que el autor uma cerrados, tales autores los Ilaman completos. En el espacio L? estos conceptos son idênticos, debido al teorema de Riesz — Fischer, que afirma que todo sistema completo es cerrado y viceversa. Véase J. Rey Pastor, Pi Calleja, C. A. Trejo, Análisis Mate- mático, Vol. Nf, Ed. Kapelusz, 1961, Cap. XXV, o también S. Kacz- marz, H, Steinhaus, Theorie der Orthogonalreihen. Warszawa — Lwów, 1935, Cap-lI (Nota del Redactor de la traducción). **) Ver la observación al $ 1. 90 Ecuac. integ. con micleos simétr. reales cientes de Fourier de tal función, respecto a las funciones (3,11), son iguales a O, Por consiguiente, para la función HP) no se cumple la igualdad de Parseval. La afirmación inversa no es cierta en la clase de funcio- nes considerada, que tienen discontinuidades sólo en un número finito de puntos, curvas, ..., superfícies (d — 1) di- mensionales. Esta es cierta en la clase de funciones de cua- drado integrable en el sentido de Lebesgue (véasc 5 20, ap. 1). 1t. La ecuación normal 1t. Su análogo en el espa- de un plano cn cl espacio de cio de funciones es u dimensiones (q, 3... cos td) es a S ata) = But =p. = Jupyct)de=p, en donde en donde s (DJ =]. a pd A uP=I faxeyar=1. 12. La ecuación de una 12. Su análogo en el espa- superficie de 2º orden con cio de funciones es centro en el origen de coor- denadas es ; Je, oem ardo=1, Z Kb =1 (4,11) SID af en donde en donde KP,0)=K(0,P) Ky= Ki PEG, QeG. Análogos geomérr. de ciert. relac. entre funciones 93 cuadrática (6,11) a ta forma canónica (8,1 !), mediante la transformación | ortogonal (7,11), le corresponde el paso a un sistema de coordenadas 1af, que fos ejes de coorde- nadas coinciden con los ejes principales de la superficie (4,11). Los vectores (g$9, q, cos PhD, dA, voos son unitarios y van dirigidos por los semiejes principales finitos de la superficie (4,11). Sim=», entonces, la super- ficie (4,1!) degenera en una superficie cilíndrica. En este caso, además de los m ejes finitos, la superficie tendrá n—m cjes infinitos. Aquellos semíiejes, a los cuales les corresponden valores à; po- sitivos, se llaman reales, y aquellos, a los cuales les corresponden valores À; ne- gativos, se Ilaman imagina- ros. El problema de hallar e) vector unidad (g4D, q. “o EP), que lleva la di- rección de un semigje prin- cipal de la superficie (4,11), correspondiente a 2; (supo- nemos que 2, es el menor eu La idea fundamental de la demostración de la exis- tencia de, por lo menos, un valor propio de ta ecuación integral (11,11), consiste en lo siguiente (compárese con el $ 12). Demostraremos la 94 Ecuac. integ. con núcieos siméir. reates valor absoluto de todos los valores à), es equivalente al siguiente problema (véase el 8 19). Hallar el máximo, si2,>0, o el mínimo, si ,<0, de la forma SKygtPgl con la condición de que Elotojp=1. El problema de hallar et vector unidad dirigido según el semieje correspondiente a Às de la superficie (4,11), 0, lo que es lo mismo, el pro- blema de hallar la solución del sistema A q =I SKyald, 24 i=h2,...,1, ortogonal a la solución ed... ., 44), fácilmente se reduce al problema de ha- lar et máximo o el mínimo de la forma 2 (e SPP s (Ky- %) existencia en la clase de fun- ciones g(P), para las cuales foxpjar=1, (un) es uma función que da un máximo o un mínimo 2,. diferente de O, de la forma integral (10,11). Esta fun- ción q(P) satisface a la ecuación integral (11,11), pa- ra i=]. El problema de ha- Har la función normalizada, correspondiente a À, diri- gida por el semigje principai de la superficie (5,11), y el de hallar la función propia respectiva de la ecuación integral ([1,11), fácilmente se reduce al problema de hallar ci máximo o el míni- mo de la forma integral filevo e, x (PO) dP dO en la clase de funciones nor- maltizadas por la condición (12,11). En forma análoga se hallan las funciones nor- malizadas, dirigidas según los demás semigjes princi pales de. la superficie (5,11) Análogos geométr. de ciert. reiac. entre funciones 95 en la clase de vectores uni- tarios (pD,..., qt). De manera análoga se hallan los vectores unidad, dirigi- dos por los demás semiejes (vénse el 4 19). 14. Sustituyendo en la identidad n . ” [pt Kd = IPE PA pd A x en lugar de pt) eu expre- sión mediante q“, dada por ta fórmula (7,11), obtenemos a E Kate Si = & Kj ppt = m EAD tt) DR asteqr. qádpto, É ti] Comparando jos coeficien- tes de iguafes productos en tos miembros extremos de esta cadena de identidades, abtenemos que “fofo Kas mb É) 2, % o, lo que es lo mismo, las demás soluciones normali- zadas de la ecuación inte- gral (11,11), ortogonales a las soluctones anteriores (véa- se el apartado 4 del $ 13). I4. Bajo ciertas condi- ciones impuestas a X(P, Q) será demostrado ($ 15) que MP, 0)= EU,