Baixe Eng. civil - calculo - apostila de algebra linear e outras Notas de estudo em PDF para Cálculo, somente na Docsity! Fortaleza, Fevereiro/2010 UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL APOSTILA DE Álgebra Linear Realização: II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 2 de 40 Sumário 1. Matrizes .......................................................................................................................................................... 3 1.1. Operações com matrizes ............................................................................................................................. 4 1.2. Operações elementares com linhas de uma matriz ...................................................................................... 5 1.3. Questões ..................................................................................................................................................... 6 2. Determinantes ................................................................................................................................................ 7 2.1. Regra de Chió .............................................................................................................................................. 8 2.2. Teorema de Laplace .................................................................................................................................... 9 2.3. Questões .................................................................................................................................................... 10 3. Sistemas Lineares ........................................................................................................................................... 11 3.1. Método do escalonamento ......................................................................................................................... 11 3.2. Regra de Cramer ........................................................................................................................................ 13 3.3. Questões .................................................................................................................................................... 13 4. Vetores ........................................................................................................................................................... 14 4.1. Adição de Vetores ...................................................................................................................................... 15 4.2. Multiplicação por escalar ........................................................................................................................... 15 4.3. Questões .................................................................................................................................................... 16 5. Operações com vetores .................................................................................................................................. 16 5.1. Módulo ....................................................................................................................................................... 16 5.2. Produto escalar (ou produto interno) ......................................................................................................... 16 5.3. Produto vetorial (ou produto externo)........................................................................................................ 17 5.4. Questões .................................................................................................................................................... 19 6. Espaços vetoriais ............................................................................................................................................ 19 6.1. Questões .................................................................................................................................................... 21 7. Subespaços vetoriais ...................................................................................................................................... 22 7.1. Questões .................................................................................................................................................... 24 8. Interseção, união e soma de subespaços ........................................................................................................ 25 8.1. Interseção .................................................................................................................................................. 25 8.2. Soma .......................................................................................................................................................... 26 8.3. União ......................................................................................................................................................... 27 8.4. Questões .................................................................................................................................................... 27 9. Combinação linear .......................................................................................................................................... 27 9.1. Questões .................................................................................................................................................... 28 10. Subespaços gerados ................................................................................................................................... 29 10.1. Questões .................................................................................................................................................... 30 11. Dependência e Independência Linear ......................................................................................................... 31 11.1. Questões .................................................................................................................................................... 32 12. Base de um espaço vetorial ........................................................................................................................ 33 12.1. Questões .................................................................................................................................................... 36 13. Dimensão ................................................................................................................................................... 36 13.1. Questões .................................................................................................................................................... 37 14. Mudança de base ....................................................................................................................................... 38 14.1. A inversa da matriz de mudança de base ................................................................................................... 39 14.2. Questões .................................................................................................................................................... 40 II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 5 de 40 Propriedades: o Se A é uma matriz m × n, então A. In = Im . A. Isso indica que a matriz identidade é o elemento neutro para a multiplicação de matrizes. o Se A é uma matriz m × n e B e C são matrizes n × p, então A(B + C) = AB + AC, ou seja, a multiplicação se distribui à esquerda em relação à soma de matrizes. o Para as mesmas matrizes A, B e C, temos (A + B) = BA + CA, ou seja, a multiplicação se distribui à direita em relação à soma de matrizes. o Seja A uma matriz m × n, B uma matriz n × p e x ∈ ℝ, então x. (AB) = A(x. B). o Se A, B e C são, respectivamente, matrizes m × n, n × p e p × q, então A(BC) = (AB)C (comutatividade). Transposição de Matrizes: Seja A uma matriz m × n, definimos a transposta de A como sendo a matriz n × m At = (bji ), em que bji = aij . Exemplo: 2 3 4 5 −1 0 2 1 𝑡 = 2 −1 3 0 4 2 5 1 Propriedades: Sejam x um número real, A e B matrizes m × n e C uma matriz n × p. Então valem as seguintes propriedades: o At t = A o (A + B)t = At + Bt o (xA)t = x(A)t o (BC)t = CtBt 1.2. Operações elementares com linhas de uma matriz Seja A uma matriz m × n. Chama-se operação elementar com linhas de A qualquer uma das operações descritas a seguir: Permutação de duas linhas de A; Multiplicação de uma linha de A por um número real não nulo; Substituição de Ai por Ai + xAj, em que j ≠ i e x é um número real qualquer. Exemplo: 3 0 3 12 2 1 −1 3 1 3 𝐴1 1 0 1 4 2 1 −1 3 𝐴2−2𝐴1 1 0 1 4 0 1 −3 −5 A primeira operação acima consistiu em multiplicar a primeira linha por 1/3 e a segunda operação em substituir a segunda linha por ela mais (-2) vezes a primeira (A2 − 2A1). II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 6 de 40 Sejam A e B matrizes m × n. Dizemos que A é linha-equivalente a B se B pode ser obtida a partir de A através de operações elementares com linhas. (No exemplo anterior, notamos que a primeira matriz é linha-equivalente à terceira) Matriz na forma escada: Seja A uma matriz m × n. Dizemos que A é uma matriz na forma escada, se as seguintes condições são satisfeitas: As possíveis linhas nulas ficam abaixo das possíveis linhas não nulas. O primeiro termo não nulo de cada linha não nula é igual a 1. Os demais termos da coluna à qual pertence o primeiro termo não nulo de uma linha não nula são todos nulos. A coluna à qual pertence primeiro termo não nulo de uma linha não nula fica à direita do primeiro termo não nulo da linha anterior, isto é, se p é o número de linhas não nulas e se o primeiro termo não nulo da i-ésima linha não nula ocorre na ki-ésima coluna, então k1 < k2 < ⋯ < kp . Exemplos: 1 0 1 4 0 1 −3 5 , 1 0 0 −1 0 0 1 5 0 0 0 0 , 1 −2 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 , O, I. Teorema: Toda matriz m × n é linha-equivalente a uma matriz na forma escada. Exemplo: 2 3 −1 −4 0 2 1 1 3 1 2 A1 1 3/2 −1/2 −4 0 2 1 1 3 A2+4A1 A3−A1 1 3/2 −1/2 0 6 0 0 −1/2 7/2 1 6 A2 1 3/2 −1/2 0 1 0 0 −1/2 7/2 A1− 3 2 A2 A3+ 1 2 A2 1 0 −1/2 0 1 0 0 0 7/2 1 7 A3 1 0 −1/2 0 1 0 0 0 1 A1+ 1 2 A3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1.3. Questões 1) Se A = 1 −2 3 −6 e B = 4 2 2 1 , calcule AB e BA. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 7 de 40 2) Se A= 3 −2 −4 3 , ache B, de modo que B2 = A. 3) Suponha que A≠0 e AB=AC onde A,B,C são matrizes tais que a multiplicação esteja definida. a) B=C? b) Se existir uma matriz Y, tal que YA=I, onde I é a matriz identidade, então B=C? 4) Diz-se que as matrizes A e B são comutativas se AB = BA. Encontre todas as matrizes x y z w que sejam comutativas com 1 1 0 1 5) Seja A = 2 2 3 −1 . a) Encontre A2 e A3 . b) Se f x = x3 − 3x2 − 2x + 4 , encontre f A c) Se g x = x2 − x − 8, encontre g(A) 6) Para cada uma das matrizes a seguir, encontra uma matriz na forma escada, à qual a matriz dada é linha equivalente. a) 2 1 5 6 3 15 b) 2 0 −2 0 0 2 −1 0 c) 2 1 5 1 −3 6 d) 1 2 1 0 −1 0 3 5 1 −2 1 1 e) 2 −1 3 1 4 2 1 −5 1 4 16 8 f) 0 2 0 2 1 1 0 3 3 −4 0 2 2 −3 0 1 7) Sejam A e B matrizes quadradas do mesmo tamanho, em que A é invertível. Mostre, por indução, que (𝐴𝐵𝐴−1)𝑛 = 𝐴𝐵𝑛𝐴−1 para todo inteiro positivo n. 2. Determinantes Determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada um escalar. Seu cálculo é feito somando os termos ligados pelas diagonais paralelas à diagonal principal, e subtraindo deste valor a soma dos produtos dos termos ligados pelas setas paralelas à diagonal secundária: II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 10 de 40 2.3. Questões 1) Dadas as matrizes A = 1 2 1 0 e B = 3 −1 0 1 , calcule a) det 𝐴 + det 𝐵 b) det(A + B) 2) Sejam A e B matrizes do tipo n × n. Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas: a) det(AB) = det(BA) b) det A’ = det A c) det(2A) = 2 det A d) det(A²) = (det A)² 3) Calcule o det A, onde: a) A = 3 −1 5 0 0 2 0 1 2 0 −1 3 1 1 2 0 b) A = i 3 2 −i 3 −i 1 i 2 1 −1 0 −i i 0 1 4) Prove que 𝑎1 0 0 0 𝑏1 𝑏2 𝑏3 𝑏4 𝑐1 𝑐2 𝑐3 𝑐4 𝑑1 𝑑2 𝑑3 𝑑4 = 𝑎1 𝑏2 𝑏3 𝑏4 𝑐2 𝑐3 𝑐4 𝑑2 𝑑3 𝑑4 5) Mostre que det 1 1 1 a b c a² b² c² = a − b b − c (c − a). 6) Verdadeiro ou falso? a) Se det A = 1, então A-1 = A. b) Se A é uma matriz triangular superior e A-1 existe, então também A-1 será uma matriz triangular superior. c) Se A é uma matriz escalar n × n da forma kIn , então det A = k n . d) Se A é uma matriz triangular, então det A = a11+. . . +ann . 7) Calcule a2 (a + 2)2 (a + 4)2 (a + 2)2 (a + 4)2 (a + 6)2 (a + 4)2 (a + 6)2 (a + 8)2 . II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 11 de 40 8) Mostre que cos2a cos2a sen2a cos2b cos2b sen2b cos2c cos2c sen2c = 0. 3. Sistemas Lineares Definição 1: Seja 𝑛 um inteiro positivo. Chama-se equação linear a 𝑛 incógnitas toda equação do tipo 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + ⋯𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏 em que 𝑎1, 𝑎2, ..., 𝑎𝑛 , 𝑏 são constantes reais e 𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛 são incógnitas. Chamamos cada 𝑎𝑖 de coeficiente de 𝑥𝑖 e 𝑏 de termo independente da equação. Definição 2: Sejam 𝑚 e 𝑛 inteiros positivos. Chama-se sistema linear a 𝑚 equações e 𝑛 incógnitas todo sistema com m equações lineares, todas às mesmas n incógnitas. Denotaremos o sistema citado como se segue: a11x1 + a12x2 + ⋯ + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ⋯ + a2nxn = b2 ⋮ a31x1 + a32x2 + ⋯ + a3nxn = b3 Chama-se solução do sistema toda lista ordenada (x1 , x2 , … , xn) de números reais que satisfaz a todas as equações do sistema linear e chama-se conjunto solução do sistema o conjunto constituído de todas as soluções. Dizemos que o sistema linear é, respectivamente, impossível, possível determinado ou possível indeterminado conforme seu conjunto solução seja vazio, unitário ou tenha pelo menos dois elementos. 3.1. Método do escalonamento O método do escalonamento consiste em transformar uma matriz qualquer em uma matriz na forma escada através de operações elementares com linhas. O objetivo disso é resolver sistemas lineares. Para tanto, devemos saber que cada sistema linear tem duas matrizes correspondentes: uma chamada matriz dos coeficientes ou matriz incompleta do sistema e outra chamada matriz completa do sistema. Listemos a seguir as matrizes referentes a um sistema genérico: a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ am1 am2 … amn Matriz incompleta Matriz completa II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 12 de 40 Se A é a matriz dos coeficientes, X = x1 x2 ⋮ xn e B = b1 b2 ⋮ bm , então o sistema pode ser representado (matricialmente) pelas seguintes equações: A1 . X = b1 A2 . X = b2 ⋮ Am . X = bm O método do escalonamento para resolver um sistema linear cuja matriz completa é C consiste em encontrar uma matriz C’, tal que C’ seja linha-equivalente a C e o sistema cuja matriz é C’ já explicite o seu conjunto solução. Para tanto, essa matriz deverá estar na forma escada. Exemplo: Resolvamos o sistema 2x + 3y − z = 6 −4x + 2z = −1 x + y + 3z = 0 , que tem a seguinte matriz completa: 2 3 −1 6 −4 0 2 −1 1 1 3 0 Devemos operar essa matriz com linhas, de maneira a deixar a matriz dos coeficientes na forma escada. 2 3 −1 6 −4 0 2 −1 1 1 3 0 → 1 3/2 −1/2 3 −4 0 2 −1 1 1 3 0 → → 1 3/2 −1/2 3 0 6 0 11 0 −1/2 7/2 3 → 1 3/2 −1/2 3 0 1 0 11 0 −1/2 7/2 3 /6 → → 1 0 −1/2 1/4 0 1 0 11/6 0 0 7/2 −25/12 → 1 0 −1/2 1/4 0 1 0 11/6 0 0 1 −25/42 → 1 0 0 −1/21 0 1 0 11/6 0 0 1 −25/42 Assim, o sistema inicial é equivalente a x = −1/21 y = 11/6 z = −25/42 . Portanto, está resolvido. Observações: o Um sistema linear AX = B chama-se homogêneo se B = O. Isto é, se todos os termos independentes são nulos. Neste caso, uma solução óbvia é a trivial, composta apenas de zeros. (Por exemplo, para n = 3, a solução trivial é (0,0,0).) o Se, num sistema linear homogêneo, o número de incógnitas é maior do que o número de equações, ele admite solução não trivial. o Se m = n, então o sistema linear AX = B tem uma única solução, então A é linha- equivalente a In . II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 15 de 40 Desenhando um vetor no plano cartesiano, ele deve apresentar uma origem e uma extremidade. Os segmentos orientados cuja origem é o ponto (0,0) são chamados de vetores no plano, e são muito mais fáceis de trabalhar. Para representá-lo, basta indicar o par ordenado que corresponda à sua extremidade, pois já conhecemos seu ponto inicial. A definição segue para vetores no espaço, caso em que a origem dos vetores é o ponto (0,0,0), e assim por diante. De tal forma, para representar um vetor V = OP com ponto inicial na origem, usa-se usualmente a notação de coordenadas V = (a, b, c), mas também existe a notação de matriz coluna V = a b c e matriz linha V = a b c . Com essas notações, a soma de vetores e a multiplicação do vetor por um escalar são operações que ficam bem mais simples. 4.1. Adição de Vetores Propriedades: o Associatividade: A + B + C = A + B + C, ∀ A, B, C ∈ ℝn o Comutatividade: A + B = B + A, ∀ A, B ∈ ℝn . o Elemento neutro: o Seja O o vetor nulo. Então A + O = A, para qualquer A ∈ ℝn. Assim, O é o elemento neutro em relação à operação de adição, o qual chamaremos de elemento nulo de ℝn . o Elemento oposto: o Dado A = a1 , a2 , … , an , denotaremos por – A o vetor (−a1, −a2, … , −an). Então A + (−A) = O. Chamaremos (−A) de elemento oposto a A. o Considerando que: A − B = A + −B e as quatro propriedades anteriores, teremos três propriedades conseqüentes: 1. 𝐴 + 𝐵 = 𝐴 + 𝐶 ⟹ 𝐵 = 𝐶 2. 𝐴 + 𝐵 = 𝐶 ⟹ 𝐴 = 𝐶 − 𝐵 3. 𝐴 + 𝐴 = 𝐴 ⟹ 𝐴 = 𝑂 Exemplo: Sendo v = 1,2 e w = (3,5), temos: v + w = 1,2 + 3,5 v + w = (4,7) Do mesmo modo, 2v = (2,4). 4.2. Multiplicação por escalar Sejam A = (a1 , a2 , … , an) ∈ ℝ n e λ ∈ ℝ. Definimos a multiplicação de A por λ como sendo: λ ∙ A = (λa1 , λa2 , … , λan) II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 16 de 40 A seguir as propriedades de vetores: 1. Associativa na adição: 2. Comutativa: 3. Existência de elemento neutro na adição: 4. Existência de elemento oposto: 5. Distributiva por vetor: 6. Distributiva por escalar: 7. Associativa na multiplicação: 8. Existência de elemento neutro na multiplicação: 4.3. Questões 1) Determine o vetor X, tal que , para vetores V e U dados. 2) Determine os vetores X e Y, tal que e para vetores V e U dados. 5. Operações com vetores 5.1. Módulo Seja , definimos o módulo ou a norma de um vetor como sendo: Observação: para , note que o módulo de um vetor é o seu comprimento. Chamaremos de vetor unitário todo vetor cuja norma é 1. 5.2. Produto escalar (ou produto interno) Sejam e dois vetores não nulos nos reais. Considere os vetores A+B e A - B. Temos que se, e somente se , pois as diagonais de um paralelogramo só são iguais se o paralelogramo é um retângulo. Como consequência dessa condição podemos observar que: II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 17 de 40 𝐴 ⊥ 𝐵 ⟺ 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + … + 𝑎𝑛𝑏𝑛 = 0 Esta condição é necessária para que dois vetores sejam perpendiculares. Sejam 𝐴 = (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛) e 𝐵 = (𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑛) dois vetores quaisquer em ℝ 𝑛 . O produto escalar é definido como a multiplicação termo a termo e a soma dos produtos: 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + … + 𝑎𝑛𝑏𝑛 Assim, dois vetores não nulos 𝐴 e 𝐵 em ℝ𝑛 são perpendiculares apenas se 𝐴 ∙ 𝐵 = 0. Propriedades do produto escalar: i. 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐵 ∙ 𝐴, para quaisquer 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ𝑛 ii. 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐶, para quaisquer 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ𝑛 iii. 𝐴 ∙ 𝜆𝐵 = 𝜆 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝜆𝐴 ∙ 𝐵, para quaisquer 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ𝑛 e qualquer 𝜆 ∈ ℝ iv. 𝐴 ∙ 𝐴 ≥ 0, para qualquer 𝐴 ∈ ℝ𝑛 e 𝐴 ∙ 𝐴 = 0 ⟺ 𝐴 = 𝑂 A norma (ou módulo) de um vetor pode ser caracterizada pelo produto escalar: 𝐴 = 𝐴 ∙ 𝐴, como é provado a seguir: 𝐴 ∙ 𝐴 = 𝑎1𝑎1 + 𝑎2𝑎2 + … + 𝑎𝑛𝑎𝑛 𝐴 ∙ 𝐴 = 𝑎1 2 + 𝑎2 2 + … + 𝑎𝑛 2 𝐴 ∙ 𝐴 = 𝐴 5.3. Produto vetorial (ou produto externo) Consideremos dois vetores em 𝐴 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3) e 𝐵 = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3). Queremos encontrar um vetor 𝐶, em ℝ3, de preferência não nulo, de tal forma que C seja simultaneamente perpendicular a A e a B. Devemos ter 𝐶. 𝐴 = 0 e 𝐶. 𝐵 = 0. Se 𝐶 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), então: 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑦 + 𝑎3𝑧 = 0 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑏3𝑧 = 0 Tentaremos resolver este sistema. Para isso, começaremos multiplicando a primeira equação por 𝑏2, a segunda por −𝑎2 e, em seguida, somaremos as duas equações. A seguinte equação é obtida: 𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1 . 𝑥 = 𝑎2𝑏3 − 𝑎3𝑏2 . 𝑧 Depois, multiplicando a primeira equação do sistema acima por −𝑏1, a segunda por 𝑎1 e, em seguida, somando as duas equações, chegamos a: II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 20 de 40 espaço vetorial V, a soma deles deve ser um terceiro vetor que ainda faz parte de V. Se multiplicarmos um vetor de V por um escalar, o resultante também deve ser elemento de V. Em resumo, um espaço vetorial real é um conjunto V, não vazio, com duas operações: Soma: 𝑉 𝑥 𝑉 → 𝑉 Se 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝑉, então 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑉; Produto por escalar: ℝ 𝑥 𝑉 → 𝑉 Se 𝛼 é escalar e 𝑥 ∈ 𝑉, então 𝛼𝑥 ∈ 𝑉. Se uma dessas duas operações não for válida para um conjunto W, então é porque o conjunto não é um espaço vetorial. Dizemos que um espaço vetorial é fechado em relação às duas operações (soma e multiplicação por escalar). Para saber se um conjunto é um espaço vetorial, verifica-se se as duas operações são válidas e depois se as oito propriedades dos vetores também são válidas. Observação: O conjunto de todas as matrizes de ordem 2 é um espaço vetorial. Deste modo, os vetores desse espaço são matrizes 2x2.Tal conjunto é designado assim: 𝑉 = 𝑀 2,2 . Exemplo: Seja o conjunto W = { 𝑎, 1 /𝑎 ∈ ℝ}. Com as duas operações de soma e multiplicação por escalar definidas, verifique se W é um espaço vetorial. Solução: Considere os elementos 3,1 e (5,1) ∈ 𝑊. Assim, i) Soma: 3,1 + 5,1 = (8,2) ∉ 𝑊 ii) Produto: 𝛼 3,1 = 3𝛼, 𝛼 ∉ 𝑊 𝑠𝑒 𝛼 ≠ 1, assim não é válido para todo 𝛼 Logo, W não é um conjunto fechado em relação a essas duas operações e, portanto, não é um espaço vetorial. Exemplo: Verifique se o conjunto ℝ3 é um espaço vetorial. Solução: Sejam 𝑢 = 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 , 𝑣 = 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 e 𝑤 = (𝑥3 , 𝑦3 , 𝑧3) vetores de ℝ 3 e 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ. i) Soma: 𝑢 + 𝑣 = (𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 , 𝑧1 + 𝑧2) ∈ ℝ 3 Multiplicação por escalar: 𝛼𝑢 = (𝛼𝑥1 , 𝛼𝑦1 , 𝛼𝑧1) ∈ ℝ 3 ii) 1. 𝑢 + 𝑣 = 𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 , 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑥1 , 𝑦2 + 𝑦1 , 𝑧2 + 𝑧1 = 𝑣 + 𝑢 2. 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 , 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑥3 , 𝑦3 , 𝑧3 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 , 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 , 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3 = 𝑥1 + (𝑥2 + 𝑥3 , 𝑦1 + (𝑦2 + 𝑦3), 𝑧1 + (𝑧2 + 𝑧3)] = 𝑢 + (𝑣 + 𝑤 ) 3. ∃0 = 0,0,0 ∈ ℝ3 / 𝑢 + 0 = 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 + 0,0,0 = 𝑥1 + 0, 𝑦1 + 0, 𝑧1 + 0 = 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 4. ∃ −𝑢 = −𝑥1 , −𝑦1 , −𝑧1 ∈ ℝ 3 / 𝑢 + −𝑢 = 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 + −𝑥1 , −𝑦1 , −𝑧1 = 𝑥1 − 𝑥1 , 𝑦1 − 𝑦1 , 𝑧1 − 𝑧1 = 0,0,0 = 0 5. 𝛼 𝑢 + 𝑣 = 𝛼 𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 , 𝑧1 + 𝑧2 = 𝛼 𝑥1 + 𝑥2 , 𝛼 𝑦1 + 𝑦2 , 𝛼 𝑧1 + 𝑧2 = (𝛼𝑥1 + 𝛼𝑥2 , 𝛼𝑦1 + 𝛼𝑦2 , 𝛼𝑧1 + 𝛼𝑧2) = (𝛼𝑥1 , 𝛼𝑦1 , 𝛼𝑧1) + (𝛼𝑥2 , 𝛼𝑦2 , 𝛼𝑧2) = 𝛼 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 + 𝛼 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 = 𝛼𝑢 + 𝛼𝑣 6. 𝛼 + 𝛽 𝑢 = 𝛼 + 𝛽 𝛼𝑥1 , 𝛼𝑦1 , 𝛼𝑧1 = [ 𝛼 + 𝛽 𝑥1, 𝛼 + 𝛽 𝑦1 , 𝛼 + 𝛽 𝑧1] = [𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥1 , 𝛼𝑦1 + 𝛽𝑦1 , 𝛼𝑧1 + 𝛽𝑧1] = 𝛼𝑥1 , 𝛼𝑦1 , 𝛼𝑧1 + (𝛽𝑥1 , 𝛽𝑦1 , 𝛽𝑧1) = 𝛼 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 + 𝛽 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 = 𝛼𝑢 + 𝛽𝑢 7. 𝛼𝛽 𝑢 = 𝛼𝛽 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 = 𝛼𝛽𝑥1 , 𝛼𝛽𝑦1 , 𝛼𝛽𝑧1 = [𝛼 𝛽𝑥1 , 𝛼 𝛽𝑦1 , 𝛼 𝛽𝑧1 ] = 𝛼[(𝛽𝑥1), (𝛽𝑦1), (𝛽𝑧1)] = 𝛼[𝛽 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ] II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 21 de 40 = 𝛼(𝛽𝑢 ) 8. 1𝑢 = 1 𝑥1, 𝑦1 , 𝑧1 = 1𝑥1 , 1𝑦1 , 1𝑧1 = 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 = 𝑢 Exemplo: Considere em V = ℝ2 o produto por escalar usual, mas com a adição, a operação definida por: 𝑥1 , 𝑦1 + 𝑥2 , 𝑦2 = (𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 2𝑦2). Determine se V, com essas operações, é um espaço vetorial. Solução: i) 1. Soma: 𝑥1 , 𝑦1 + 𝑥2 , 𝑦2 = (𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 2𝑦2) ∈ 𝑉 2. Produto por escalar: 𝛼 𝑥1 , 𝑦1 = (𝛼𝑥1 , 𝛼𝑦1) ∈ 𝑉 Logo, V é um espaço fechado em relação a essas duas operações. Portanto, temos que verificar as oito propriedades. ii) 1. Associativa na adição: 𝑢 + 𝑣 = 𝑥1 , 𝑦1 + 𝑥2 , 𝑦2 = (𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 2𝑦2) 𝑣 + 𝑢 = 𝑥2 , 𝑦2 + 𝑥1 , 𝑦1 = (𝑥2 + 𝑥1 , 𝑦2 + 2𝑦1) Como 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 já não é satisfeita, não precisamos mais testar as outras propriedades. V não é espaço vetorial. Exemplo: O conjunto que contém um único objeto, com as operações definidas por: 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 + 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 = 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 = 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜, com 𝛼 ∈ ℝ Solução: i) Da própria definição no enunciado, o conjunto é fechado em relação às operações de soma e multiplicação por escalar e, portanto, não precisamos verificá-las; ii) Substituindo 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 por 𝑥 : 1. 𝑢 + 𝑣 = 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 𝑣 + 𝑢 = 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 ⇒ 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 2. 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 ⇒ 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 3. Seja 𝑛 o vetor nulo. Logo, 𝑢 + 𝑛 = 𝑢 ⇒ 𝑥 + 𝑛 = 𝑥 ⇒ 𝑛 = 𝑥 . Assim, existe vetor nulo, que equivale ao próprio 𝑥 . 4. Seja 𝑝 o vetor oposto. Logo, 𝑢 + 𝑝 = 𝑛 ⇒ 𝑥 + 𝑝 = 𝑥 ⇒ 𝑝 = 𝑥 . Assim, existe vetor oposto, que também equivale ao próprio 𝑥 . O vetor oposto de 𝑢 é 𝑢 . 5. 𝛼 𝑢 + 𝑣 = 𝛼 𝑥 + 𝑥 = 𝛼𝑥 = 𝑥 𝛼𝑢 + 𝛼𝑣 = 𝛼𝑥 + 𝛼𝑥 = 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 ⇒ 𝑢 + 𝑣 = 𝑢 + 𝑣 6. + 𝛽 𝑢 = + 𝛽 𝑥 = 𝑥 𝑢 + 𝛽𝑢 = 𝑥 + 𝛽𝑥 = 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 ⇒ ( + 𝛽)𝑥 = 𝑎𝑢 + 𝛽𝑣 7. 𝛽𝑢 = 𝛽𝑥 = 𝑥 = 𝑥 𝛼𝛽 𝑢 = 𝛼𝛽 𝑥 = 𝑥 ⇒ 𝛽𝑢 = β 𝑢 8. 1𝑢 = 1𝑥 = 𝑥 = 𝑢 6.1. Questões 1) Verifique que 𝑀 2,2 = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑 ∈ ℝ é um espaço vetorial com as operações. 2) Seja 𝐹 o conjunto de todas as funções reais, de variável real, ou seja 𝐹 = {𝑓: ℝ → ℝ}. O vetor soma 𝑓 + 𝑔, para quaisquer funções 𝑓 e 𝑔 em 𝐹 é definido por: 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 e para qualquer escalar 𝑟 ∈ ℝ e qualquer 𝑓 ∈ 𝐹 o produto 𝑟𝑓 é tal que: II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 22 de 40 𝑟𝑓 𝑥 = 𝑟. 𝑓 𝑥 Mostre que 𝐹, com essas operações, é um espaço vetorial. 7. Subespaços vetoriais Dado um espaço vetorial V, há subconjuntos de V tais que eles próprios também são espaços vetoriais, só que menores. Esses subconjuntos são chamados de subespaços de V. Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não-vazio, será um subespaço vetorial de V se forem válidas as mesmas duas operações de antes: Soma: 𝑉 𝑥 𝑉 → 𝑉 Se 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝑉, então 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑉; Produto por escalar: ℝ 𝑥 𝑉 → 𝑉 Se 𝛼 é escalar e 𝑥 ∈ 𝑉, então 𝛼𝑥 ∈ 𝑉. Se ambas as operações forem válidas em W, não é necessário verificar as oito propriedades dos vetores para dizer que W é espaço vetorial, pois elas já são válidas em V, que contém W. Todo espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços (que são chamados triviais): 1. O conjunto formado somente pelo vetor nulo (a origem). 2. O próprio espaço vetorial: V é subconjunto de si mesmo. Todo subespaço vetorial tem como elemento o vetor nulo, pois ele é necessário à condição de multiplicação por escalar: quando 𝛼 = 0 ⇒ 𝛼𝑢 = 0 . Para conferirmos se um subconjunto W é subespaço, basta verificar que 𝑣 + 𝛼𝑢 ∈ 𝑊, para quaisquer 𝑣 𝑒 𝑢 ∈ 𝑉 e qualquer 𝛼 ∈ ℝ, em vez de checar as duas operações separadamente. Exemplo: Em ℝ3, os únicos subespaços são a origem, as retas e os planos que passam pela origem e o próprio ℝ3. Exemplo: Seja 𝑉 = 𝑀(3,3), ou seja, o conjunto das matrizes de ordem 3, e W o subconjunto das matrizes triangulares superiores. W é subespaço de V? Solução: Está implícito que V é um espaço vetorial. Assim, verificamos as duas operações para W: i) 𝑎 𝑏 𝑐 0 𝑑 𝑒 0 0 𝑓 + 𝑔 𝑖 0 𝑗 𝑘 0 0 𝑙 = 𝑎 + 𝑔 𝑏 + 𝑐 + 𝑖 0 𝑑 + 𝑗 𝑒 + 𝑘 0 0 𝑓 + 𝑙 ∈ 𝑊 ii) 𝛼 𝑎 𝑏 𝑐 0 𝑑 𝑒 0 0 𝑓 = 𝛼𝑎 𝛼𝑏 𝛼𝑐 0 𝛼𝑑 𝛼𝑒 0 0 𝛼𝑓 ∈ 𝑊 Logo, W é subespaço de V. Observação: as matrizes triangulares inferiores formam um conjunto que também é subespaço, o que também é o caso das matrizes diagonais e das simétricas. Exemplo: Verifique se o conjunto-solução do sistema linear homogêneo abaixo é um subespaço de 𝑉 = 𝑀(3,1). 2𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 0 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 0 𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 0 Solução: Temos o seguinte sistema: 2 4 1 1 1 2 1 3 −1 𝑥 𝑦 𝑧 = 0 0 0 II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 25 de 40 6) Seja W o conjunto de todos os vetores em ℝ4 de forma (x, x+y, y, 2x + 3y), onde 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. W é um subespaço de ℝ4? 7) Seja W o conjunto de todos os vetores do ℝ3 da forma (x, y, x2 + y2), onde 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. W é um subespaço de ℝ3? 8) Seja W o conjunto de todos os vetores ℝ4 da forma (x, y, x+1, 2x + y – 3), onde 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. W é um subespaço de ℝ4? 9) Dados os conjuntos W em cada espaço vetorial V indicado proceda assim: i) Reescreva W apresentando seu vetor genérico; ii) Verifique se W é subespaço vetorial de V. a) 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℝ4; 𝑥 = 𝑦 e 𝑧 = 2𝑡} sendo 𝑉 = ℝ4; b) W é o conjunto de todas as matrizes identidade de ordem 𝑛 × 𝑛, sendo 𝑉 = 𝑀(𝑛, 𝑛); c) 𝑊 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2; 𝑦 ≤ 0} sendo 𝑉 = ℝ2; d 𝑊 = {(𝑎, 2𝑎, 3𝑎); 𝑎 ∈ ℝ} sendo 𝑉 = ℝ3. 10) Considere o subespaço de ℝ3 gerado pelos vetores v1=(1,1,0), v2=(1,-1,1) e v3=(1,1,1). O espaço gerado por esses vetores é igual ao ℝ3? Por quê? 8. Interseção, união e soma de subespaços 8.1. Interseção Dados W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V, a interseção 𝑊1 ∩ 𝑊2 sempre será subespaço de V. Prova: Inicialmente observamos que 𝑊1 ∩ 𝑊2 nunca é vazio, pois ambos contêm o vetor nulo de V. Assim, basta verificar as condições de soma e produto por escalar apresentadas anteriormente para os subespaços. Suponha então 𝑤 𝑒 𝑣 ∈ 𝑊1 ∩ 𝑊2 W1 é subespaço ↔ 𝑤 + 𝑣 ∈ 𝑊1 𝛼𝑣 ∈ 𝑊1 W2 é subespaço ↔ 𝑤 + 𝑣 ∈ 𝑊2 𝛼𝑣 ∈ 𝑊2 , deste modo → 𝑤 + 𝑣 ∈ 𝑊1 ∩ 𝑊2 𝛼𝑣 ∈ 𝑊1 ∩ 𝑊2 Exemplo: Seja 𝑉 = ℝ3, 𝑊1 ∩ 𝑊2 é a reta de interseção dos planos 𝑊1 e 𝑊2. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 26 de 40 Exemplo: Seja 𝑉 = 𝑀(𝑛, 𝑛) e 𝑊1 = 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑊2 = {𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠} , então 𝑊1 ∩ 𝑊2 = 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧𝑒𝑠 𝐷𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠 . 8.2. Soma Podemos construir um conjunto que contenha 𝑊1 e 𝑊2 e ainda é subespaço de V. Este conjunto será formado por todos os vetores de V que forem a soma de vetores de W1 com vetores de W2. 𝑊1 + 𝑊2 = 𝑢 ∈ 𝑉 / 𝑢 = 𝑣 + 𝑤 𝑐𝑜𝑚 𝑣 ∈ 𝑊1𝑒 𝑤 ∈ 𝑊2 Prova: Dados: 𝑢 = 𝑤 + 𝑣 ∈ 𝑊1 + 𝑊2 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑣 ∈ 𝑊1 𝑒 𝑤 ∈ 𝑊2 𝑢′ = 𝑤′ + 𝑣′ ∈ 𝑊1 + 𝑊2 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑣′ ∈ 𝑊1 𝑒 𝑤′ ∈ 𝑊2 Temos que: 𝑢 + 𝑢′ = 𝑤 + 𝑣 + 𝑤 ′ + 𝑣 ′ = 𝑣 + 𝑣′ + 𝑤 + 𝑤 ′ ∈ 𝑊1 + 𝑊2 𝛼𝑢 = 𝛼 𝑤 + 𝑣 = 𝛼𝑤 + 𝛼𝑣 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝛼𝑤 ∈ 𝑊1 𝑒 𝛼𝑣 ∈ 𝑊2 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝛼𝑢 ∈ 𝑊1 + 𝑊2 Caso os dois subespaços sejam retas não-colineares, a soma deles equivale ao plano formado por elas. Se as parcelas 𝑊1 e 𝑊2 têm interseção 𝑊1 ∩ 𝑊2 = 0 , a soma 𝑊1 + 𝑊2 é dita soma direta e é denotada por 𝑊1⨁𝑊2. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 27 de 40 Exemplo: Seja 𝑊1 = 𝑎 𝑏 0 0 e 𝑊2 = 0 0 𝑐 𝑑 , onde a, b, c, d ∈ ℝ, então 𝑊1 + 𝑊2 = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 = 𝑀(2,2). Esta é uma soma direta, pois 𝑊1 ∩ 𝑊2 = 0 0 0 0 = 0 . 8.3. União A união de dois subespaços 𝑊1 e 𝑊2, diferente da soma, é um conjunto que contém exatamente todos os elementos de 𝑊1 e de 𝑊2. Deste modo, nem sempre a união de subespaços é um subespaço. Exemplo: 𝑊1 = (𝑥, 0) / 𝑥 ∈ ℝ = 𝑥(1,0) / 𝑥 ∈ ℝ 𝑊2 = (0, 𝑦) / 𝑦 ∈ ℝ = 𝑦(0,1) / 𝑦 ∈ ℝ W1 e W2 são retas que passam pela origem. Assim, 𝑊1 ∩ 𝑊2 = 0 e 𝑊1 ∪ 𝑊2 é o feixe formado pelas duas retas, que não é subespaço vetorial de ℝ3. De fato, se somarmos os dois vetores 𝑣 𝑒 𝑤 , vemos que 𝑣 + 𝑤 está no plano que contém 𝑊1 e 𝑊2, mas 𝑣 + 𝑤 ∉ 𝑊1 ∪ 𝑊2. 8.4. Questões 1) Sejam 𝑊1 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℝ 4|𝑥 + 𝑦 = 0 e 𝑧 − 𝑡 = 0} e 𝑊2 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℝ 4|𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 𝑡 = 0} subespaços de ℝ4. a) Determine 𝑊1 ∩ 𝑊2 b) Exiba uma base para 𝑊1 ∩ 𝑊2 c) Determine 𝑊1 + 𝑊2 d) 𝑊1 + 𝑊2 é soma direta? Justifique. e) 𝑊1 + 𝑊2 = ℝ 4? 9. Combinação linear Considere um conjunto de vetores qualquer, pertencente a um espaço vetorial V. Já foi mostrado que somar estes vetores entre si em qualquer combinação resultará em um vetor pertencente a V. Também II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 30 de 40 Nota-se que um conjunto gerador de dois elementos que um é combinação linear do outro equivale a um conjunto gerador com apenas um desses dois elementos. Assim, se 𝑣 3 ∈ 𝑣 1 , 𝑣 2 , então 𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 = 𝑣 1 , 𝑣 2 , pois todo vetor que pode ser escrito como combinação linear de 𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 é uma combinação linear apenas de 𝑣 1 e 𝑣 2, já que 𝑣 3 é combinação linear de 𝑣 1 e 𝑣 2. Exemplificando: Seja 𝐵 = {𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3} tal que 𝑣 3 = 𝑝𝑣 1 + 𝑞𝑣 2. Um elemento qualquer do conjunto gerado por B é da forma: 𝑣 = 𝑎1𝑣 1 + 𝑎2𝑣 2 + 𝑎3𝑣 3 = 𝑎1𝑣 1 + 𝑎2𝑣 2 + 𝑎3(𝑝𝑣 1 + 𝑞𝑣 2) = 𝑎1 + 𝑝𝑎3 𝑣 1 + 𝑎2 + 𝑞𝑎3 𝑣 2 = 𝑏1𝑣 1 + 𝑏2𝑣 2 Exemplo: Seja 𝑉 = ℝ2, 𝑣 1 = (1,0) e 𝑣 2 = (0,1). Assim, 𝑉 = 𝑣 1 , 𝑣 2 , pois dado 𝑣 = (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑉, temos 𝑥, 𝑦 = 𝑥 1,0 + 𝑦(0,1), ou seja, 𝑣 = 𝑥𝑣 1 + 𝑦𝑣 2. Exemplo: Seja 𝑣 1 = 1 0 0 0 e 𝑣 2 = 0 1 0 0 , então 𝑣 1 , 𝑣 2 = 𝑎 𝑏 0 0 , 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑒 𝑏 ∈ ℝ Observa-se que se em um conjunto gerador existir algum vetor que é combinação linear de outros elementos do próprio conjunto gerador, esse elemento é inútil. Eliminá-lo do conjunto gerador não modifica o conjunto gerado. Tal propriedade pode ser verificada lembrando que a combinação linear é uma soma de vetores, e que a parcela da soma do vetor que é gerado por outros pode ser substituída pelos próprios vetores que o geram. Assim, qualquer elemento do conjunto gerado por B pode ser escrito como combinação linear de apenas 𝑣 1 e 𝑣 2. Surge então a necessidade de verificar quando um vetor é combinação linear de outros. 10.1. Questões 1) Quais dos seguintes conjuntos de vetores é um conjunto gerador de ℝ4? a) {(1,0,0,1); (0,1,0,0); (1,1,1,1); (0,1,1,1)} b) {(1, −1,0,2); (3, −1,2,1); (1,0,0,1)} c) {(0,0,1,1); (−1,1,1,2); (1,1,0,0); (2,1,2,1)} 2) Resolva o seguinte sistema, usando a Regra de Cramer: 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 1 2𝑥 + 𝑦 = 3 𝑦 − 5𝑧 = 4 II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 31 de 40 11. Dependência e Independência Linear Um conjunto de vetores é dito linearmente independente (freqüentemente indicado por LI) quando nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear dos outros (lembrar o conceito de combinação linear apresentado anteriormente). Naturalmente, um conjunto de vetores é dito linearmente dependente (LD) se pelo menos um de seus elementos é combinação linear dos outros. Sejam V um espaço vetorial e 𝑣 1, … , 𝑣 𝑛 ∈ 𝑉. Dizemos que o conjunto 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 ou que os vetores 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 são linearmente independentes (LI) se a equação 𝑎1𝑣 1+. . . + 𝑎𝑛𝑣 𝑛 = 0 admitir apenas a solução trivial, isto é: 𝑎1 = . . . = 𝑎𝑛 = 0 Se existir algum 𝑎𝑗 ≠ 0, dizemos que 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 ou que os vetores 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 são linearmente dependentes (LD). Em outras palavras, o conjunto 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 é LD se, e somente se um destes vetores for combinação linear dos outros. Prova: Sejam 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 LD e 𝑎1𝑣 1+. . . +𝑎𝑗𝑣 𝑗 +. . . + 𝑎𝑛𝑣 𝑛 = 0. Suponha que 𝑎𝑗 ≠ 0 (para ser LD). Então 𝑣 𝑗 = −1 𝑎𝑗 𝑎1𝑣 1+. . . +𝑎𝑗−1𝑣 𝑗−1 + 𝑎𝑗 +1𝑣 𝑗+1+. . . + 𝑎𝑛𝑣 𝑛 . Portanto, 𝑣 𝑗 é combinação linear. Por outro lado, se tivermos 𝑣 1, … , 𝑣 𝑗 , … , 𝑣 𝑛 tal que para algum 𝑗 𝑣𝑗 = 𝑏1 ∙ 𝑣1 + ⋯ + 𝑏𝑗−1 ∙ 𝑣𝑗−1 + 𝑏𝑗+1 ∙ 𝑣𝑗+1 + ⋯ + 𝑏𝑛 ∙ 𝑣𝑛 Então, 𝑏1 ∙ 𝑣1 + ⋯− 𝑣𝑗 + ⋯ + 𝑏𝑛 ∙ 𝑣𝑛 = 0 Logo, 𝑏𝑗 = −1 e, portanto, V é LD. A Independência Linear tem uma interpretação geométrica útil: i) Seja 𝑉 = 𝑅2 e 𝑣1 , 𝑣2 ∈ 𝑉. 𝑣1 , 𝑣2 é LD se e somente se 𝑣1 e 𝑣2 estiverem na mesma reta quando colocados com seus pontos iniciais na origem 𝑣1 = 𝜆 ∙ 𝑣2 *são pararlelos: II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 32 de 40 ii) Seja 𝑉 = 𝑅3 e 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 e 𝑉. 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 é LD se estes 3 vetores estiverem no mesmo plano quando colocados com seus pontos iniciais na origem: Exemplo: Os vetores 1 (2,2,0)v , 2 (0,5, 3)v e 3 (0,0,4)v são LI ou LD? Solução: Verificando a expressão 1 2 3(2,2,0) (0,5, 3) (0,0,4) (0,0,0)a a a 1 1 1 2 2 2 3 3 2 0 0 2 5 0 0 3 4 0 0 a a a a a a a a Logo, como o sistema admite somente a solução trivial, os vetores são LI. 11.1. Questões 1) Considere dois vetores (𝑎, 𝑏) e (𝑐, 𝑑) no plano. Se 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 0, mostre que eles são LD. Se 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0, mostre que eles são LI. 2) Para quais valores de 𝑎 o conjunto de vetores {(3,1,0); (𝑎2 + 2,2,0)} é LD? 3) Verifique se os polinômios seguintes são linearmente dependentes ou independentes. a) 𝑡2 − 2𝑡 + 3, 2𝑡2 + 𝑡 + 8 e 𝑡2 + 8𝑡 + 7 II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 35 de 40 ii) Se 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 são LD, então existe uma combinação linear deles com algum coeficiente diferente de zero, dando o vetor nulo: 𝑥1 ∙ 𝑣1 + … + 𝑥𝑛 ∙ 𝑣𝑛 = 0 Por exemplo, seja 𝑥𝑢 ≠ 0, então: 𝑣𝑛 = − 𝑥1 𝑥𝑛 ∙ 𝑣1 − 𝑥2 𝑥𝑛 ∙ 𝑣2 − ⋯− − 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 ∙ 𝑣𝑛−1 . Ou seja, 𝑣𝑛 é uma combinação linear de 𝑣1 , … , 𝑣𝑛−1 e, portanto 𝑣1 , … , 𝑣𝑛−1 ainda geram 𝑉. Se 𝑣1 , … , 𝑣𝑛−1 ainda for LD, podemos prosseguir da mesma forma até chegar a um subconjunto 𝑣1 , … , 𝑣𝑟 com 𝑟 ≤ 𝑛 que ainda geram 𝑉, ou seja, formaremos uma base. Isto é, de um espaço gerador qualquer é possível retirar elementos “inúteis” até que ele se torne uma base. Veremos agora uma propriedade curiosa dos espaços vetoriais: o número de elementos de qualquer base de um espaço vetorial particular é constante, independe da base escolhida. Este número é uma propriedade inerente à natureza do espaço. Teorema: Seja um espaço vetorial 𝑉 gerado por um conjunto de vetores 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 . Então, qualquer conjunto LI tem no máximo "𝑛" vetores. Prova: Como 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 = 𝑉, então podemos extrair uma base para 𝑉. Seja {𝑣1 , … , 𝑣𝑟 } com 𝑟 ≤ 𝑛, esta base. Considere agora 𝑤1 , 𝑤2 , … , 𝑤𝑚 , 𝑚 vetores de 𝑉, com 𝑚 > 𝑛. Então, existem constantes tais que: (𝑖) 𝑤1 = 𝑎11 ∙ 𝑣1 + 𝑎12 ∙ 𝑣2 +. . . +𝑎1𝑟 ∙ 𝑣𝑟 𝑤2 = 𝑎21 ∙ 𝑣1 + 𝑎22 ∙ 𝑣2 +. . . +𝑎2𝑟 ∙ 𝑣𝑟 ⋮ 𝑤𝑚 = 𝑎𝑚1 ∙ 𝑣1 + 𝑎𝑚2 ∙ 𝑣2 +. . . +𝑎𝑚𝑟 ∙ 𝑣𝑟 Consideremos agora uma função linear de 𝑤1 , … , 𝑤𝑛 dando zero: (𝑖𝑖)0 = 𝑥1 ∙ 𝑤1 + 𝑥2 ∙ 𝑤2 +. . . +𝑥𝑚 ∙ 𝑤𝑚 Substituindo (𝑖) em (𝑖𝑖), temos: 0 = 𝑥1 ∙ 𝑎11 ∙ 𝑣1 + 𝑎12 ∙ 𝑣2 +. . . +𝑎1𝑟 ∙ 𝑣𝑟 +. . . +𝑥𝑚 ∙ 𝑎𝑚1 ∙ 𝑣1 + 𝑎𝑚2 ∙ 𝑣2 +. . . +𝑎𝑚𝑟 ∙ 𝑣𝑟 0 = 𝑎11 ∙ 𝑥1 + 𝑎21 ∙ 𝑥2+. . . +𝑎𝑚1 ∙ 𝑥𝑚 ∙ 𝑣1 + ⋯ + 𝑎1𝑟 ∙ 𝑥1 + 𝑎2𝑟 ∙ 𝑥𝑟+. . . +𝑎𝑚𝑟 ∙ 𝑥𝑚 ∙ 𝑣𝑟 Como 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 são LI, então os coeficientes dessa equação devem ser nulos: II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 36 de 40 𝑎11 ∙ 𝑥1+. . . 𝑎𝑚1 ∙ 𝑥𝑚 = 0 ⋮ 𝑎1𝑟 ∙ 𝑥1+. . . 𝑎𝑚𝑟 ∙ 𝑥𝑚 = 0 Temos então um sistema linear homogêneo com 𝑟 equações e 𝑚 incógnitas 𝑥1 , … , 𝑥𝑚 e, como 𝑟 ≤ 𝑛 < 𝑚, ele admite uma solução não trivial, ou seja, existe uma solução com algum 𝑥𝑖 não nulo. Portanto 𝑤1 , … , 𝑤𝑚 são LD. 12.1. Questões 1) Quais são as coordenadas de x = (1,0,0) em relação à base β = {(1,1,1),(-1,1,0),(1,0,-1)}? 13. Dimensão A dimensão de um espaço vetorial 𝑉 é definida como o número de vetores de uma base de 𝑉 e é denotada por 𝑑𝑖𝑚 𝑉. Se 𝑉 não possui base, 𝑑𝑖𝑚 𝑉 = 0. Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos e o número de bases para cada espaço vetorial é infinito. Exemplo: 𝑑𝑖𝑚ℝ2 = 2, pois toda base do ℝ2 tem dois vetores, como { 1,0 ; 0,1 } ou { 1,1 ; 0,1 }. Exemplo: 𝑑𝑖𝑚ℝ𝑛 = 𝑛. Exemplo: 𝑑𝑖𝑚𝑀 2,2 = 4. Exemplo: 𝑑𝑖𝑚𝑀 𝑚, 𝑛 = 𝑚𝑥𝑛. Exemplo: 𝑑𝑖𝑚𝑃𝑛 = 𝑛 + 1 (polinômios de grau n). Exemplo: dim 0 = 0, pois a origem é apenas um ponto. Observação: Quando um espaço vetorial V admite uma base finita, dizemos que V é um espaço vetorial de dimensão finita. Teorema: Qualquer conjunto de vetores LI de um espaço vetorial V de dimensão finita pode ser completado de modo a formar uma base de V. Prova: Seja 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛 e 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑖 vetores LI, com 𝑖 ≤ 𝑛. i) Se 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑖 = 𝑉, então 𝑖 = 𝑛 e o conjunto forma uma base. ii) Se existe 𝑣 𝑖+1 ∈ 𝑉 tal que 𝑣 𝑖+1 ∉ 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑖 , isto é, 𝑣 𝑖+1 não é uma combinação linear de 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑖 , então {𝑣 1, … , 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑖+1} é LI. Se 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑖+1 = 𝑉, então {𝑣 1, … , 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑖+1} é a base procurada. Caso contrário, existe 𝑣 𝑖+2 ∉ 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑖+1 e {𝑣 1 , … , 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑖+1, 𝑣 𝑖+2} é LI. Se 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑖+1 , 𝑣 𝑖+2 = 𝑉, II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 37 de 40 nossa prova está concluída. Se não, prosseguimos analogamente. Como não poderemos ter mais do que n vetores LI em V, então após um número finito de passos teremos obtido uma base de V. Teorema: Se 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛, qualquer conjunto de n vetores LI formará uma base de V. Prova: Se não formasse uma base, poderíamos completar o conjunto até formá-la e dessa forma teríamos uma base com mais do que n vetores em V, o que é um absurdo. Teorema: Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem dimensão finita, então 𝑑𝑖𝑚𝑈 ≤ 𝑑𝑖𝑚𝑉 e 𝑑𝑖𝑚𝑊 ≤ 𝑑𝑖𝑚𝑉. Além disso: dim 𝑈 + 𝑊 = 𝑑𝑖𝑚𝑈 + 𝑑𝑖𝑚𝑊 − dim(𝑈 ∩ 𝑊) Para permitir uma interpretação geométrica, consideramos o espaço tridimensional ℝ3. A dimensão de qualquer subespaço S de ℝ3 só poderá ser 0,1,2 ou 3. Portanto, temos os seguintes casos: i) 𝑑𝑖𝑚𝑆 = 0, então 𝑆 = {0 }. Ou seja, o subespaço é a origem (apenas um ponto); ii) 𝑑𝑖𝑚𝑆 = 1, então S é uma reta que passa pela origem; iii) 𝑑𝑖𝑚𝑆 = 2, então S é um plano que passa pela origem; iv) 𝑑𝑖𝑚𝑆 = 3, então S é o próprio ℝ3. 13.1. Questões 1) Ilustre com um exemplo a proposição: “se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem dimensão finita então dim 𝑈 + 𝑊 = 𝑑𝑖𝑚𝑈 + 𝑑𝑖𝑚𝑊 − dim(𝑈 ∩ 𝑊)”. 2) Escreva uma base para o espaço vetorial das matrizes 2 × 2. Qual a dimensão desse espaço? 3) Resolva a questão anterior considerando o espaço das matrizes 3 × 3. E qual seria a dimensão de um espaço de matrizes 𝑛 × 𝑛? 4) Seja V o espaço das matrizes 2 × 2, e seja W o subespaços gerado por 1 −5 −4 2 , 1 1 −1 5 , 2 −4 −5 7 , 1 −7 −5 1 Encontre uma base e a dimensão de W. 5) Considere o subespaço de ℝ4 gerado pelos vetores 𝑣1 = (1, −1,0,0), 𝑣2 = (0,0,1,1), 𝑣3 = −2,2,1,1 e 𝑣4 = (1,0,0,0). a) O vetor (2, −3,2,2) pertence a [𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , 𝑣4]? Justifique. b) Exiba uma base para [𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , 𝑣4]. Qual a dimensão? c) 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , 𝑣4 = ℝ 4? Por quê?