Livro de física v1 - ótimo - máximo e alvarenga, Manuais, Projetos, Pesquisas de Matemática

Baixe Livro de física v1 - ótimo - máximo e alvarenga e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Matemática, somente na Docsity! Aco VOLUME 1 Antônio Máximo Beatriz Alvarenga editora scipionê ÍSICA VOLUME 1 ensino médio Antônio Máximo Ribeiro da Luz Professor Adjunto do Departamento de Física da Universidade Federal de Minas Gerais Beatriz Alvarenga Álvares Professora Emérita do Departamento de Física da Universidade Federal de Minas Gerais BEATRIZ ALVARENGA & ANTÔNIO MAxIMO são autores da coleção Física, em dois volumes, editada pela Oxford University Press em língua espanhola, e do Física — volume único, editado pela Scipione. ilustrações de Rubens Villaça, Paulo Cézar Pereira, Artur Kenji Ogawa e Antônio Robson São Paulo, 2006 1.º edição E. E. “Lúcio dos Santos” Biblioteca “Pres, Antonio Carlos” oro tin reglshuguato editora scipione » OTópico Especial, como indica o seu subtítulo, para você aprender um pouco mais, foi desenvolvido como uma extensão aos conhecimentos ali abordados. Usando uma linguagem simples e um tratamento qua- litativo da matéria, com quase nenhum apelo à matemática, esse tex- to ora apresenta aspectos históricos do assunto, ora uma visão mais moderna dos conceitos e leis a ele relacionados ou, ainda, suas aplica- ções tecnológicas interessantes e atuais. Estamos convictos de que você irá apreciar a leitura de um desses Tópicos Especiais e esteja certo de que a Física neles contida é de tão boa qualidade quanto a do restante do capítulo. A Revisão, que aparece no final de cada capítulo, é uma espécie de estudo dirigido, proposto para que você obtenha uma visão global do assunto, após ter estudado cada secção separadamente. Ao completar essa atividade, você terá em mãos um restimo deste capítulo, ao qual poderá recorrer quando desejar recapitulá-lo rapidamente. Outra atividade importante para facilitar a compreensão e a aprendi- zagem dos temas apresentados em um capítulo são as Experiências propostas no final de cada um. Escolhemos experiências bem simples, que, em geral, requerem material disponível em sua própria residên- cia, possibilitando, assim, sua realização como tarefa para casa. Não deixe de fazer essas experiências e levá-las à escola para serem discu- - ” tidas com seu professor e seus colegas. Temos certeza de que essas atividades lhe darão muitos momentos de prazer e lhe permitirão uma visão mais clara e concreta dos fenômenos em estudo. Os problemas, comumente usados nos cursos de Física para que os estudantes testem e apliquem seus conhecimentos, são apresentados em três séries em nosso texto: Problemas e Testes, Questões de Vestibular e Problemas Suplementares. Sendo muito grande o número total desses problemas, você, provavelmente, não terá tempo para resolver todos eles. Peça, então, para seu professor selecionar aqueles que forem mais significativos para seu curso e para o seu próprio ” contexto. Procurando soluções para eles, você estará subindo mais alguns degraus em sua formação científica. Sumário VOLUME! Unidado | « INtrOdiçãO aii maio contate] | 1. Algiriuios significativos. eim miip E 1.1/Osramonda fisica to eee eee ae o 3! 1.2. Potências de 10 — Ordem de grandeza... ento 1.3. Algarismos significativos... sm Eua 1.4. Operações com algarismos significativos 3 1.5. A origem do sistema métrico... eee 26 Revisão Algumas Experiências Simples Problemas e Testes Unidade 2 - Cinemática... 2. Movimento retilíneo... 2.1. Introdução... 2.2. Movimento retilneo uniforme 2.3.Velocidade instantânea e velocidade média... 2.4. Movimento retilíneo uniformemente variado .. 2.5. Queda livre 2.6. Galileu Galilei Revisão. Algumas Experiências Simples... Problemas e Testes... Problemas Suplementares ... w . Vetores - Movimento curvilineo........ no 71 3.1. Grandezas vetoriais e escalares 3.2. Soma de vetores... 3.3. Vetor velocidade e veror aceleração 3.4. Movimento circular ........... 3.5. Composição de velocidades 3.6. Física nas competições esportivas Revisão sã Algumas Experiências Simples Problemas e Testes... - — 98 Problemas Suplementares... me VOA Unidade 3 - Leis de Newton 4. Primeira e terceira leis de Newton 4.1. Força. À primeira lei de Newton ....... 42. Equilíbrio de uma partícula. 4.3.Terceira lei de Newton......... 44. Força deatrito.... 4.5. Isaac Newton... Revisão. Algumas Experiências Simples. Problemas e Testes ts Apêndice A.I. Momento de uma força... A.2. Equilíbrio de um corpo rigido Problemas Suplementares ...... mms ci  VOLUME 2 Unidade 4 - Leis de conservação 9. Conservação da quantidade de movimento Unidade 5 - Temperatura = Dilatação - Gases 10.Temperatura e dilatação 1. Comportamento dos gases Unidade 6 - Calor 12. Primeira lei da Termodinâmica 13. Mudanças de fase Unidade 7 - Ótica e ondas 14. Reflexão da luz 15, Refração da luz 16. Movimento ondulatório Questões de Vestibular Respostas Valores das Funções Trigonométricas Constantes Físicas VOLUME 3 Unidade 8 = Campo e potencial elétrico 17. Carga elétrica 18. Campo elétrico 19. Potencial elétrico Unidade 9 - Circuitos elétricos de corrente contínua 20. Corrente elétrica 21. Força eletromotriz - Equação do circuito Unidade 10 - Eletromagnetismo 22.0 campo magnético — |" parte 23.0 campo magnético — 2º parte 24. Indução eletromagnética - Ondas eletromagnéticas 25.A nova Física Apêndice E.1.A lei de Biot-Savart Questões de Vestibular Respostas Valores dos Funções Trigonométricas Constantes Fisicas  TURN FR a Ei Foto da galâxia de Andrêmede, situada a 2 milhões de anos- luz da Terra, As leis da Fisica, que estudaremos em nosso curso, descrevem corretamente os fenômenos que ocorrem aqui na Terra e em regiões tão distantes quanto esta galáxia, Algarismos significativos »úciiNução ExelfCício de fiXação consultando o texto sempre que julgar necessário. 1.5 Antes de passar ao estudo da próxima secção, responda à questão seguinte, 2. Cite alguns fenômenos que são estudados em cada um dos seguintes ramos da Fisica: a) Mecânica d) Movimento Onculatório b) Calor e) Eletricidade 0) Ótica f) Física Modema 1.2. Potências de 10 - Ordem de grandeza POR QUE USAMOS AS POTÊNCIAS DE 10 Se nos disserem que o raio do átomo de hidrogênio é igual a 0,000000005 em ou que uma dada célula tem cerca de 2 000 000 000 000 de átomos, dificilmente seremos capazes de assimilar estas idéias. Isto ocorre porque estes números estão afastados dos valores que os nossos sentidos estão acostumados a perceber — estão fora do nosso quadro de referências. No estudo da Física encontraremos, frequentemente, grandezas como estas, que são expressas por números muito grandes ou muito pequenos. A apre- sentação escrita ou oral desses números, da maneira habitual, tal como foram escritos acima, é bastante incômoda e trabalhosa. Para contornar o problema, é usual apresentar estes números em forma de potências de 10, como veremos a seguir. Este novo tipo de notação, além de mais compacto, nos permite uma rápi- da comparação destes números entre si e facilita a realização de operações matemáticas com eles. COMO ESCREVEMOS OS NÚMEROS NA NOTAÇÃO DE POTÊNCIAS DE 10 Consideremos um número qualquer como, por exemplo, o número 842. Seus conhecimentos de Álgebra Elementar lhe permitirão compreender que este número pode ser expresso da seguinte maneira: 842=8,42x100=8,42x10" Observe que o número 842 foi expresso como sendo o produto de 8,42 por uma potência de 10 (no caso, 10. “Tomemos um outro número, por exemplo, 0,0037. Podemos escrever: 37 37 00037= > = ipa 1000 10º Novamente, temos o número expresso pelo produto de um número com- preendido entre 1 e 10 (no caso, 3,7) por uma potência de 10 (no caso, 10%). =3,7x10º Bascando-nos nestes exemplos, chegamos à seguinte conclusão: um número qualquer pode sempre ser expresso como o produto de um número compreendido entre 1 e 10 por uma potência de 10 adequada. Procure exercitar-se no uso desta regra, analisando os dois exemplos seguintes: 62300 = 6,23x 10 000 = 6,23x 10º 2 2, =2x10%, 100000 10º 7 ** 0,00002 = Observação - Uma regra prática para se obter a potência de 10 adequada é a seguinte: a) Conta-se o número de casas que a vírgula deve ser deslocada para a esquerda; este número nos fornece o expoente de 10 positivo. Assim: 62300 =6,23x 10" 4 casas b) Conta-se o número de casas que a vírgula deve ser deslocada para a direita; este número nos fornece o expoente de 10 negativo. Assim: 0, 00002 = 2 x 10º 5 casas Nesta representação de potências de 10, os números citados no início desta secção poderão ser escritos, compactamente, e de maneira mais cômoda, do seguinte modo: raio do átomo de hidrogênio = 5 x 10? cm número aproximado de átomos de uma célula = 2x 10 OPERAÇÕES COM POTÊNCIAS DE 10 Você pode perceber facilmente que seria complicado e trabalhoso efetuar operações com os números muito grandes, ou muito pequenos, quando escritos na forma comum. Quando estes números são escritos na notação de potências de 10, estas operações tornam-se bem mais simples, seguindo as leis estabelecidas em Algebra, para as operações com potências. Os exemplos seguintes o ajudarão arecordar estas leis: 2) 0,0021x 30 000000 =(2,1x107)x(3x107) = (2,1x3)x(10? x 107) = 6,3x10! 7,28x10' 7,28 10 b) SLBEio ds = 3 ) ET 4X Tor = 182x10 q (5x109) =5"x(102) =125x107 como 125=1,25x10º vem 125x10? =1,25x10x10* =125x10* d) 25x10' = (25x 10º =0/25x 410! =5x10? OBSERVE COMO SE PROCEDE NA ADIÇÃO Nos exemplos apresentados, só apareceram as operações de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Quando estivermos tratando com adição ou subtração, devemos ter o cuidado de, antes de efetuar a operação, expressar os mtúmeros com es quais estamos lidando na mesma potência de TO. Consideremos os exemplos seguintes: a) 6,5x10' -32x10" Neste caso, como os números já estão expressos na mesma potência de 10, poderemos efetuar a operação diretamente, como segue: 6,5x10' -3,2x10" = (6,5-3,2)x 10º b) 4,23x107 +1,3x 10º Devemos, inicialmente, expressar as parcelas em uma mesma potência de 10. Isto pode ser feito escrevendo a primeira parcela como uma potência de 10º, da seguinte maneira: 33x10" 4,23x10' +1,3x 10º =42,3x 10º +1,3x10º = =(423 +13)x10º =43,6x10º =4,36x10” O cálculo pode ser efetuado de outra maneira, expressando a segunda parcela como uma potência de 10". Ttremos: 4,23x107 +0,13x 10” =(4,23+0,13)x 10" =4,36x10 Evidentemente, procedendo de uma maneira ou de outra, obtivemos o mesmo resultado final. ORDEM DE GRANDEZA Muitas vezes, ao trabalharmos com grandezas físicas, não há necessidade ou interesse em conhecer, com precisão, o valor da grandeza. Nesses casos, é sufi- ciente conhecer a potência de 10 que mais se aproxima de seu valor. Essa potên- cia é denominada orders de grandeza do número que expressa sua medida, isto é, | ordem de grandeza de um número é a potência de [10 mais próxima deste número. Então, a ordem de grandeza de 92 é 10º porque 92 está compreendido entre 10 e 100, mas está mais próximo de 10º, Da mesma forma, a ordem de grandeza de 0,00022 = 2,2 x 10º é 107, Assim, conhecendo as ordens de grandeza de diversas medidas, é fácil compará- las e podemos rapidamente distinguir a menor ou a maior dentre clas, e aquelas que são aproximadamente iguais. Além disso, frequentemente temos condição de obter a ordem de grandeza sem cálculos laboriosos, mesmo não possuindo o valor da grandeza medida, como veremos no exemplo 2 a seguir. +17 EEE 20 Deuçie exelcícios de fixação esclcicios ce Antes de passar ao estudo da próxima secção, responda às questões seguintes, consultando O texto sempre que julgar necessário. 2. Cite duas vantagens de se escrever os números na notação de potências de 10. 3. Complete em seu caderno as igualdades seguintes, conforme o modelo. Modelo: cem = 100 = 102 amil = b) cem mil = c) ummilhão = d) um centésimo = e) um décimo de milésimo = f) um milionésimo = 4. Complete em seu cademo as igualdades seguintes, conforme o modelo. Modelo: 3,4 x 10º = 340000 a) 2x 10º o) 7,5x102 = b) 1,2x10º = d) 8x 10% = 5. Usando a regra prática sugerida no texto, escreva em seu caderno os números seguintes em notação de potência de 10. a) 382 = b) 21200 = e) 0 75= c) 62000000= 1) 0,000069 = 6. a) Dados os números 3 x 10º e 7 x 10, qual deles é o maior? b) Coloque as potências de 10 seguintes 4x107; 2x10? e 8x107em ordem crescente de seus valores. 7. Efetue as operações indicadas: a) 10º x10 d) 0,042= b) 105 x 401! = o) 2x 108 x 4x 1072 = d) 10!º:40º e) 10:10 f) 4,8x103; 1,2x10º = 8. 10. 11. 12. 13, Efetue as operações indicadas: a) 5,7x10*+2,4x10* b) 6,4x10'-8,1x10' = . Para adicionar ou subtrair dois números que estão expressos em potências de 10, cujos expoentes são diferentes, o que deve ser feito antes de efetuar a operação? Efetue as operações indicadas: a) 1,28x 105 +4x10º = b) 7,54x10º-3,7x10' = A massa da Terra é 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg. a) Escreva esse número usando a notação de potência de 10. b) Qual é a ordem de grandeza da massa da Terra? O Índice de leitura no Brasil é de apenas 2 livros por pessoa, por ano, enquanto em países desen- vohidos esse Índice chega a 15 livros. a) Qual é a ordem de grandeza do número de livros lidos, por ano, no Brasil? b) Qual será essa ordem de grandeza quando atin- girmos o índice dos países desenvolvidos? Uma pessoa utiliza em média, por dia, aproxima- damente 200 L de água. a) Qual deveria ser a ordem de grandeza, em metros cúbicos, do volume de um reservatório capaz de fornecer água para a população de qualquer uma das maiores cidades do mundor durante 1 dia, sem reabastecimento? b) Quais as ordens de grandeza, em metros, de cada uma das dimensões (comprimento, largura e profundidade) que você proporia para esse reservatório? 1.3. algarismos significativos ALGARISMOS CORRETOS E AVALIADOS Imagine que você esteja realizando uma medida qualquer, como, por exemplo, a medida do comprimento de uma barra (fig. 1-6). Observe que a menor divisão da régua utilizada é de 1 mm. Ao tentar expressar o resultado desta medida, você percebe que ela está compreendida entre 14,3 em e 14,4 cm. A fração de Algarismos signtficativos — = - 21 HR milímetro que deverá ser acrescentada a 14,3 cm terá de ser avaliada, pois a régua não apresenta divisões inferiores a 1 mm. Para fazer esta avaliação, você deverá imaginar o intervalo entre 14,3 cm e 14,4 cm subdividido em 10 partes iguais, e, com isso, a fração de milímetro, que deverá ser acrescentada a 14,3 cm, poderá ser obtida com razoável aproximação. Na fig. 1-6 podemos avaliar a fração mencionada como sendo 5 décimos de milímetro e o resultado da medida poderá ser expresso como 14,35 em Observe que estamos seguros em relação aos algarismos 1, 4 € 3, pois eles foram obtidos através de divisões inteiras da régua, ou seja, eles são algarismos corretos. Entretanto, o algarismo 5 foi avaliado, isto é, você não tem muita certeza sobre o seu valor e outra pessoa poderia avaliá-lo como sendo 4 ou 6, por exemplo. Por isto, este algarismo avaliado é denominado a/garismo duvidoso ou algarismo incerto. É claro que não haveria sentido em tentar descobrir qual o algarismo que deveria ser escrito, na medida, após o algarismo 5. Para isso, seria necessário imaginar o intervalo de 1 mm subdividido mentalmente em 100 partes iguais, o que evidentemente é impossível. Portanto, se o resultado da medida fosse apresentado como sendo 14,357 cm, por exemplo, poderíamos afirmar que a avaliação do algarismo 7 (segundo algarismo avaliado) não tem nenhum significado e, assim, ele não deveria figurar no resultado. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Pelo que vimos, no resultado de uma medida devem figurar somente os algarismos corretos e o primeiro algarismo avaliado. Esta maneira de proceder é adotada convencionalmente entre os físicos, as químicos e, em geral, por todas as pessoas que realizam medidas. Estes algarismos (corretos e o 1º duvidoso) são denominados algarismos significativos. Portanto, algarismos significativos de uma medida são os algarismos corretos e o primeiro algarismo duvidoso. Desta maneira, ao efetuarmos uma medida, devemos apresentar o resultado apenas com os algarismos significativos. O resultado da medida da fig. 1-6 deve, então, ser expresso como 14,35 cm. COMENTÁRIOS 14 1) Se cada divisão de 1 mm da régua da fig. 1-6 fosse, realmente, subdividida em 10 partes iguais, ao efe- tuarmos a leitura do comprimento da barra (usan- do um microscópio, por exemplo), o algarismo 5 15 passaria a ser um algarismo correto, pois iria cor- , responder a uma divisão inteira da régua (fig.1-7). Neste caso, o algarismo seguinte seria o primeiro Fig.l-6: Ao realizarmos uma medida, obtemos alga- rismos corretos e um al- garismo avaliado. Fig 1-7: Com esta régua, o algarismo 5 passaria a ser um elgarismo correto. Fig.1-8: Usando esta ré- gua, o resultado do medida do comprimento deverá ser apresentado com ape- nas três algarismos. RR >2 Ge tiiuçãe exelfcícios de fiXação e.cl'cicios avaliado e passaria a ser, portanto, um algarismo significativo. Se nesta avaliação fosse encontrado o algarismo 7, por exemplo, o resultado da medida poderia ser escrito como 14,357 em, sendo todos estes algarismos significativos. Por outro lado, se a régua da fig. 1-6 não possuísse as divisões de milímetros (fig. 1-8), apenas os algarismos 1 e 4 seriam corretos. O algarismo 3 seria o primeiro algarismo avaliado e o resultado da medida seria expresso por 14,3 cm, com apenas três algarismos significativos. Vemos, então, que o número de algarismos significativos, que se obtém no resultado da medida de uma dada grandeza, dependerá do aparelho usado na medida. 2) A convenção de se apresentar o resultado de uma medida contendo apenas algarismos significativos é adotada de maneira geral, não só na medida de comprimentos, mas também na medida de massas, temperaturas, forças etc. Esta convenção é também usada ao se apresentar os resultados de cálculos envolvendo medidas das grandezas. Quando uma pessoa lhe informar, por exemplo, que mediu (ou calculou) a temperatura de um objeto e encontrou 37,82ºC, você deverá entender que a medida (ou o cálculo) foi feita de tal modo que os algarismos 3, 7 e 8 são corretos e o último algarismo, neste caso 02, é sempre duvidoso. 3) A partir deste momento, você pode compreender que duas medidas expressas, por exemplo, como 42 cm e 42,0 cm, não representam exatamente a mesma coisa. Na primeira, o algarismo 2 foi avaliado e não se tem certeza sobre o seu valor. Na segunda, o algarismo 2 é correto, sendo o zero o algarismo duvidoso. Do mesmo modo, resultados como 7,65 kge 7,67 kg, por exemplo, não são fundamentalmente diferentes, pois diferem apenas no algarismo duvidoso. Antes de passar ao estudo da próxima secção, responda às questões seguintes, consultando o texto sempre que julgar necessário. 14. Considerando a figura deste exercício: a) Como você expressaria o comprimento da bara AB? b) Qual é o algarismo correto desta medida? e o algarismo avaliado? A E memso ever LI O Exercício 14. 15. O que são algarismos significativos de uma medida? 16. Uma pessoa sabe que o resultado de uma medida deve ser expresso com algarismos significativos 17. apenas. Se esta pessoa lhe disser que a velocidade de um carro era 123 kmyh: a) Quais os algarismos que ela leu no velocímetro (algarismos corretos)? b) Qual o algarismo que ela avaliou (algarismo duvidoso)? A temperatura de uma pessoa foi medida usando- se dois termômetros diferentes, encontrando-se 36,8C e 36,80. a) Qual é o algarismo duvidoso da primeira medida? b) Na segunda medida o algarismo 8 é duvidoso ou correto? Algarismossignfficativos Desta maneira, a mudança de unidades foi feita e continuamos a indicar que o 3 é o algarismo duvidoso. 4) Finalmente, chamamos sua atenção para alguns números que encontramos em fórmulas (na Matemática ou na Física) que não são resultados de medida e, para os quais, portanto, não teria sentido falar em número de algarismos significativos. Por exemplo, na fórmula que fornece a área 4 de um triângulo de base b e altura b, se b for medido com três algarismos significativos e b com cinco algarismos significativos, a área, como já sabemos, deverá ser expressa com três (ou quatro) algarismos. O número 2 não foi obtido através de medida e, assim, não deverá ser levado em consideração para a contagem dos algarismos significativos do resultado. Os mesmos comentários aplicam-se a autros números tais como o número da placa de um automóvel, de um telefone etc. cetiieçãe Exelrcícios de fiXação escicicics Antes de passar ao estudo da próxima secção, responda às questões seguintes, consultando o texto sempre que julgar necessário. 48. Lembrando-se da “regra de arredondamento”, escreva em seu caderno as medidas seguintes com apenas três algarismos significativos: a) 422,32 em? b)3,428€ c) 16,155 19, Uma pessoa deseja realizar a seguinte adição, de tal modo que o resultado contenha apenas algaris- mos significativos: 27,48 cm+2,5 em a) Qual das parcelas permanecerá inalterada? b) Como deverá ser escrita a outra parcela? c) Qual é o resultado da adição? 20. Para efetuar a multiplicação 342,2x1,11 responda: a) Qual dos fatores possui o menor número de algarismos significativos? b) Com quantos algarismos devemos apresentar o resultado? c) Escreva o resultado da multiplicação com alga- rismos significativos apenas. d) Seria aceitável apresentar 379,8 como resulta- do desta multiplicação? e 379,84? 21. Quantos algarismos significativos há em cada uma das medidas seguintes? a) 702cm b) 36,00 kg e) 0,00815 m d) 0,05080 L 22. Ao medir o comprimento de uma estrada, uma pessoa encontrou 56 km. a) Qual o algarismo duvidoso desta medida? b) Seria aceitável escrever esta medida como 56000 m? c) Qual a maneira de expressar esta medida em metros, sem deixar dúvidas quanto aos algarismos significativos? 23. O volume de um cone é dado pela expressão Axh 8 onde A é a área de sua base e h é sua altura. Para um dado cone temos A=0,302m? e h=1,020m. Com quantos algarismos você deve expressar o volume deste cone?  Ke Este enorme aparelho foi construído pelo astrônomo dinamarquês Tycho Brahe, no século XVI, com o obje- tiva de realizar cuidadosas medidas das posições de corpos celestes no decorrer do ano. Estas medidas eram obtidas com uma extraor- dinária precisão, demons- trando a enorme habilidade experimental do famoso astrônomo. Fig. 1-9; As unidades anti- gas, anteriores ao Sistema Métrico Decimal, geral- mente se originavam de partes do corpo humano. um tópico especial para você aprender um pouco mais 1.5. A origem do sistema métrico A IMPORTÂNCIA DAS MEDIDAS Para descobrir as leis que governam os fenômenos naturais, os cientistas devem realizar medidas das grandezas envolvidas nestes fenômenos. A Física, em particular, costuma ser denominada “a ciência da medida”. Lord Kelvin, grande físico inglês do século XIX, salientou a importância da realização de medidas no estudo das ciências por meio das seguintes palavras: “Sempre afirmo que se você puder medir aquilo de que estiver falando e conseguir expressá-lo em números, você conhece alguma coisa sobre o assunto; mas quando você não pode expressá-lo em números, seu conhecimento é pobre e insatisfatório...” Como sabemos, para efetuar medidas é necessário escolher uma unidade para cada grandeza. O estabelecimento de unidades, reconhecidas internacionalmente, é também imprescindível no comércio e no intercâmbio entre os países. UNIDADES ANTERIORES AO SISTEMA MÉTRICO Antes da instituição do Sistema Métrico Decimal (no final do século XVII), as unidades de medida eram definidas de maneira bastante arbitrária, variando de um país para outro, dificultando as transações comerciais e o intercâmbio científico entre eles. As unidades de comprimento, por exemplo, eram quase sempre derivadas das partes do corpo do rei de cada país: a jarda, o pé, a polegada etc. (fig. 1-9). Até hoje, estas unidades são usadas nos países de língua inglesa, embora definidas de uma maneira moderna, através de padrões. (6) Algarismos significativos O Podemos destacar ainda outra inconveniência das unidades antigas: seus múltiplos e submúltiplos não eram decimais, o que dificultava enormemente a realização das operações matemáticas com as medidas. Até recentemente, os estrangeiros, na Inglaterra, encontravam grande dificuldade em operar com a moeda inglesa porque o sistema monetário britânico não era decimal (1 libra valia 12 shillings e 1 shilling valia 20 pence). O SISTEMA MÉTRICO DECIMAL As inconveniências que acabamos de apontar levaram alguns cientistas dos séculos XVII e XVII a propor unidades de medida definidas com maior rigor e que deveriam ser adotadas universalmente. Estas diversas propostas, embora não tivessem obtido uma aceitação imediata, acabaram por dar origem ao estabelecimento do Sistema Mérrico, na França. A assinatura do decreto de 7 de abril de 1795, que introduziu este sistema, foi uma das mais significativas contribuições da Revolução Francesa. fe Ee 5 E a E Fig.l-10: O metro foi As principais características do Sistema Métrico Decimal, então proposto, eram: definido, originalmente, a a RA como sendo 107 da dis- 1) como o seu nome indica, o sistema era decimal; tância entre o pálo e o 2) os prefixos dos múltiplos e subrmúltiplos foram escolhidos de modo racional, — Equador terrestre. usando-se prefixos gregos e latinos (quilo = 10º, mili = 10º, deca = 10, deci = =10! etc); 3) a Terra foi tomada como base para a escolha da unidade de comprimento: o metro foi definido como sendo a décima milionésima (107) parte da distância do Equador ao pólo (Ag. 1-10). Esta distância foi marcada sobre uma barra de platina iridiada — o metro padrão — até hoje conservada em uma repartição de pesos e medidas em Paris (fig. 1-11). Fig.I=1: Cópia da barra de platina iridiada que constitui o metro padrão. Está guardada na Repartição Internacional de Pesos e Medidas, em Paris. E 30 algumas experiências simples Para você fazer Primeira experiência Você já deve saber que o número m é uma constante que se obtém dividindo-se o comprimento de uma circun- ferência qualquer pelo seu diâmetro. Para obter experi- mentalmente o valor desta constante, proceda da seguinte maneira: 1º) Com o auxílio de um barbante, meça o comprimento da circunferência de um objeto circular qualquer (por exemplo, o prato de um toca-discos, uma lata de cerveja eto.). Apresente a medida com algarismos significativos apenas. 2º) Meça o diâmetro do objeto. 3º A partir de suas medidas, calcule o valor de 7 (observe os algarismos significativos). Compare seu resultado com o valor teórico que você já conhece da Matemática. 4º) Repita a experiência usando objetos de diâmetros diferentes. Segunda experiência Podemos medir facilmente o comprimento ou a largura da folha de um livro ou de um caderno. Entretanto, encontraríamos dificuldades para medir a sua espessura. 1º) Experimente medir, usando uma régua milimetrada, a espessura de uma folha deste livro. Você consegue obter algum algarismo significativo nesta medida? 2º) Um simples artifício nos permite resolver satisfatoria- mente este problema: meça a espessura de um maço de folhas (um grande número — digamos, 100 fo- lhas). A partir do valor encontrado, calcule a espes- sura de uma delas. Qual o número de algarismos significativos de sua resposta? Com um procedimento semelhante, procure deter- minar a massa de um grão de feijão e o volume de uma gota d'água que sai de um conta-gotas. 3 1. Usando a notação de potência de 10, expressar: a) Uma área de 2 km? em cm?. b) Um volume de 5 cm? em mº. e) Um volume de 4 L em mm”. d) Uma massa de 8 gem kg. Cluas e tretres problemas etestes | 1c Terceira experiência Você já conhece, de seu curso de Matemática, algumas fórmulas que permitem calcular o volume de corpos com formas geométricas simples (esfera, cilindro, cubo etc.). Entretanto, não é possível encontrar uma fórmula que nos permita determinar o volume de um corpo de forma irregular, como uma pedra, por exemplo. Isso, porém, pode ser feito experimentalmente com bastante facili- dade, da seguinte maneira: 4º) Tome o objeto cujo volume você quer determinar (uma pedra ou outro objeto sólido e maciço qualquer). Procure obter um recipiente graduado (em unidades de volume) e coloque um certo volume de água dentro dele. Anote o valor do volume. 2º) Introduza o objeto no recipiente. O objeto deve ficar totalmente imerso na égua. Faça a leitura do volume correspondente ao novo nível da água (volume da água + volume do objeto). 3º A partir de suas medidas, determine o volume do objeto irregular (observe os algarismos significativos). Observações a) Se você quiser obter um resultado mais preciso, use um recipiente no qual o nível da água sofra um deslocamento apreciável quando o objeto é introduzido nele e faça as leituras desses níveis com bastante cuidado. b) Se não conseguir um recipiente graduado, você poderá usar uma seringa de injeção para medir o volume de água deslocado quando o corpo foi introduzido no recipiente (procure, você mesmo, uma maneira de medir esse volume usando & seringa). 2 LELiras 2. Entre as potências de 10 seguintes 10” 10% 10%º 10º 10º escolha aquela que você julga estar mais próxima a) da população do Brasil. b) da população do mundo. Algarismos significativos Determine o resultado da expressão seguinte: 10º x 102 x v10'8 2 (rot) a) Supondo que o próton tenha a forma de um cubo, cuja aresta é 10º cm, calcule o seu volume. b) Considerando que a massa do próton é 10?! g, determine a sua densidade (a densidade de um corpo é obtida dividindo-se a sua massa pelo seu volume). . Colocando-se cuidadosamente, sobre a superfície de um tanque d'água, uma gota de óleo, cujo volume é V=6x102om?, ela se espalha, formando uma camada muito fina, cuja área é A=2x10º cm?. Calcule a espessura desta camada de óleo. . Observe os aparelhos mostrados na figura deste problema, a) Qual a maneira adequada de expressar a leitura do velocímetro? Qual é o algarismo avaliado? b) Qual a maneira adequada de expressar a leitura da balança? Qual o número de algarismos significativos desta leitura? Problema 6. Para testar sua capacidade de percepção de valores de algumas grandezas, resolva as seguintes questões: a) Procure colocar suas mãos separadas por uma distência que você considera igual a 1 m. Em seguida, peça a um colega para medir essa distância. Você conseguiu avaliar razoavelmente bem a distância de 1 m? b) Observe a fotografia da fig. 1-11. Sem o auxílio de qualquer aparelho de medida, avalie a área dessa fotografia em cm”. Em seguida, medindo as dimensões da foto, calcule a sua área. A avaliação que você fez foi razoável? c) Segurando em sua mão um objeto qualquer (este livro, por exemplo), procure avaliar a sua massa (em gramas ou em quilogramas). Em seguida, determine a massa do objeto em uma balança e verifique se sua avaliação foi próxima do valor fomecido pelo aparelho. 31 ERES Observação — As atividades propostas em (a), (b) e (c) deste problema podem ser feitas por um grupo de estudantes como se fosse um jogo, para verificar aquele que consegue melhores avaliações. 8. Em cada uma das figuras deste problema são apresentadas situações nas quais a pessoa está cometendo uma falha. Procure identificar quais são essas falhas. (a) (b) “A temperatura desta égua 620'C.” (e) massa = volume densidade “A densidade é 0,7058823 g/om'.” 9. Em cada uma das figuras deste problema existem erros nas interpretações das leituras dos aparelhos mostrados. Procure identificá-los. (a) Antes Depois Efjoeme pesasN” « (b) remos À “A corrente é 0,134." "A voltagem é 0,24U” 10. a) Meça o tempo necessário para o coração efe- tuar 100 batidas. Use um cronômetro ou um re- lógio com ponteiros de segundos e expresse o re- sultado com o número adequado de algarismos significativos. b) A partir do valor obtido em (a), determine o intervalo de tempo entre duas batidas consecutivas (observe os algarismos significativos). mo o 11, Um trem viaja registrando os seguintes intervalos de tempo entre as diversas estações de sua rota: deAatéB:2,63h deCaté ,873h deBatéC:8,2h de Daté h Como você expressaria corretamente o tempo que o trem gastou: a) Para ir da estação A até a estação C? ) Para ir de B até D? c) No percurso total? 12. Ffetue as operações indicadas a seguir de tal modo que o resultado contenha apenas algaris- mos significativos: a) 820x 10º +5,4x 10º = b) 3,72x10º -2,65x 107 = 13. Antes de efetuar as operações seguintes, expresse os. números em notação de potência de 10. Calcule o resultado, lembrando-se dos algarismos significativos. 700 py 0.052x 0,084 0,0035 420 14. Quais das igualdades seguintes apresentam o resultado expresso adequadamente em relação aos algarismos significativos? (Não é necessário efetuar as operações, pois os resultados estão numericamente corretos.) a) 1,50x 103 x2,0x 101 = 3x 104 b) 3,41x108 -5,2x10º = 3,41 x 10º o) 1,701x 2,00x 10º = 3,4x 10% d) 9,2x10º:3,0x10? =3,1x10º 15. Desejando construir um modelo do sistema solar, um estudante representou o Sol por meio de uma bola de futebol cujo raio é igual a 10 cm. Ele sabe que o raio do Sol vale, aproximada- mente, 10º m. a) Se o raio da Terra é cerca de 10fm, qual deve ser o ralo da esfera que vai representá-la no modelo? b) Considerando-se que a distância da Terra ao Sol é 101! m, a que distância da bola de futebol o estudante deverá colocar a esfera que representa a Terra? 16. O ano-luz é uma unidade de comprimento usada para medir distâncias de objetos muito afastados de nós (como as estrelas, por exemplo). a) Faça uma pesquisa para descobrir qual o valor de 1 ano-luz e expresse este valor em km, usando a notação de potência de 10. b) Procure saber qual é, em anos-luz, a distância até a estrela mais próxima da Terra. Expresse esta distância em km. 47. A escala de uma balança está dividida de 1 kg em 1kg. a) Com quantos algarismos significativos você obteria o seu peso nesta balança? b) Qual seria sua resposta para a questão anterior se você pesasse mais de 100 quilos? c) Se você colocar, nesta balança, um pacote de manteiga (cerca de 200 g), como você expressaria a leitura da balança? » Uai: Questões de vestibular questées ce ves As questões de vestibular se encontram no final do livro,  2.1. Introdução No capítulo anterior, estivemos tratando de assuntos introdutórios, necessários ao desenvolvimento de nosso curso. Neste capítulo, começa- remos o curso de Física propriamente dito e daremos os primeiros passos para o estudo da Mecânica, iniciando-o com a Cinemática. O QUE SE ESTUDA NA CINEMÁTICA Quando estudamos Cinemática, procuramos descrever os movimen- tos sem nos preocuparmos com suas causas. Por exemplo: analisando o movimento de um carro, diremos que ele está se movendo em uma estrada reta, que sua velocidade é de 60 km/h, que, em seguida, ela passa para 80 km/h, que ele descreve uma curva etc., mas não procuraremos explicar as causas de cada um destes fatos. Isto será feito a partir do capítulo 4, quando estudaremos as leis de Newton. O QUE É UMA PARTÍCULA É comum, ao estudarmos o movimento de um corpo qualquer, tratá- lo como se ele fosse uma partícula. Dizemos que um corpo é uma partícula quando suas dimensões são muito pequenas em comparação com as de- mais dimensões que participam do fenômeno. Por exemplo: se um auto- móvel, de 3,0 m de comprimento, se desloca de 15 m, ele não poderá ser considerado como uma partícula, mas, se este mesmo automóvel viajar de uma cidade a outra, distanciadas de, digamos, 200 km, o comprimento do automóvel é desprezível em relação a esta distância e, assim, neste caso, o automóvel poderá ser tratado como uma partícula (fig. 2-1). Quando um corpo pode ser tratado como uma partícula, o estudo de seu movimento simplifica-se bastante. Por este motivo, sempre que nos referirmos ao movimento de um objeto qualquer (salvo se for dito o con- trário), estaremos tratando-o como se fosse uma partícula. A O MOVIMENTO É RELATIVO Suponha que um avião, voando => horizontalmente, solte uma bomba (fig. 2-2). Se você observar a queda da bomba de dentro do avião, você verá que ela cai ao longo de uma reta vertical. Entretanto, se você estivesse parado so- bre a superfície da Terra (em B), obser- p vando a queda da bomba, você veria que cla, ao cair, descreve uma trajetória cur- va, como mostra a fig. 2-2. No primeiro caso, dizemos que o movimento da bom- ba estava sendo observado com o refe- Fig.2-1: Dizemos que um corpo é uma partícula quando suas dimensões são desprezíveis em com- paração com as demais dimensões do problema. Fig.2-2: O observador A, dentro do avião; vê a bomba caindo ao longo de uma reta. Para o observador E, a traje- tória da bomba é curvilínea. RR 2 Fig.2-3: A lâmpada está parada em relação ao ob- servador B, mas em movi- mento em relação ao ob- servador à. rencial no avião e, no segundo caso, com o referencial na Terra. Este exemplo nos mostra que o movimento de um corpo, visto por um observador, depende do referencial no qual o observador está situado. Em seu cotidiano, você encontra vários outros exemplos desta dependência do movimento em relação ao referencial. Examinemos o caso da fig. 2-3: o observador B, sentado em um trem de ferro (que se movimenta sobre os trilhos) e o obser- vador 4, parado sobre a Terra, observam uma lâmpada presa ao teto do vagão. Para o observador 4, a lâmpada e o observador B estão em movimento, juntamente com o trem. Entretanto, sob o ponto de vista do observador B, a lâmpada e o trem encon- tram-se em repouso, enquanto o observador À está se des- locando em sentido contrário ao do movimento do trem sobre a “Terra. Em outras palavras, B se movimenta para a direita em relação ao observador A, e À se movimenta para a esquerda em relação ao observador B. Outro exemplo importante da dependência do movimento em relação ao referencial é o caso de se dizer que a Terra gira em torno do Sol. Isto é verdade se o referencial estiver no Sol, isto é, se o observador se imaginar situado no Sol, vendo a Terra se movimentar. Entretanto, para um observador na Terra (referencial na Terra), o Sol é que gira em torno dela. Assim, tanto faz dizer que a Terra gira em torno do Sol, ou que o Sol gira em torno da Terra, desde que se indique corretamente qual o referencial de observação. O astrônomo Copérnico (séc. XVT) e o físico Galileu (séc. XVIN) tinham uma visão clara destas idéias, mas a maioria de seus contemporâneos não chegava à compreendê-las e, por isto mesmo, Galileu foi vítima de perseguições, forçado a comparecer perante o Tribunal da Inquisição e obrigado a afirmar que a Terra não poderia estar girando em torno do Sol. Quase sempre nossos estudos de movimentos são feitos supondo o referencial na Terra (o observador parado na superfície da Terra). Toda vez que estivermos usando outro referencial, isto será dito explicitamente. = ç ” exercícios de fiXação cxclcicics cet | Antes de passar ao estudo da próxima secção, responda às questões seguintes, consultando o texto sempre que julgar necessário. 1. A distância da Terra ao Sol é cerca de 10º vezes maior do que o diâmetro da Terra. Ao estudarmos o movimento da Terra em tomo do Sol, você acha que podemos tratá-la como uma partícula? 2. Um satélite artificial, de 10 m de raio, está girando em torno da Terra a uma altura de 500 km. Sabe-se que o raio da Terra vale cerca de 6 000 km. No estudo deste movimento: a) A Terra poderá ser considerada uma partícula? b) Fo satélite? Movimento retilíneo 27 HE 3. Dois carros A e B deslocam-se em uma estrada plana e reta, ambos no mesmo sentido. O carro A desenvolve 60 km/h e o carro B, um pouco mais à frente, desenvolve também 60 kmyn. a) A distância entre A e B está variando? b) Para um observador em A, o carro B está parado ou em movimento? 4. Uma pessoa, nã janela de um ônibus em movimento, solta uma pedra, que cai em direção ao solo. a) Para esta pessoa, qual é a trajetória que a pedra descreve ao cair? b) Para uma pessoa parada sobre o solo, em frente à janela, como seria a trajetória da pedra (faça um desenho)? c) Procure verificar suas respostas, reproduzindo experimentalmente a situação descrita neste exercício. 2.2. Movimento retilíneo uniforme DISTÂNCIA, VELOCIDADE E TEMPO Quando um corpo se desloca com velocidade constante, ao longo de uma trajetória retilínea, dizemos que o seu movimento é retilíneo uniforme (a palavra “uniforme” indica que o valor da veloci- dade permanece constante). Como exemplo, suponhamos um automóvel movendo-se em uma estrada plana e reta, com seu velocímetro indicando sempre uma velocidade de 60 km/h. Como você sabe, isto significa que “JooTowwera/The Slock MarkslContexto. em 1,0ho carro percorrerá 60 km Esse avião se desloca ao em 2,0 ho carro percorrerá 120 km longo de uma trojotória em3,0ho carro percorrerá 180 km etc. Observe que, para obter os resultados mencionados, você intuiti- vamente foi acrescentando 60 km a cada acréscimo de 1,0 h no tempo de percurso. Você poderia, então, chegar aos mesmos valores da distância percorrida multiplicando a velocidade pelo tempo gasto no percurso. Portanto, representando por da distância percorrida v a velocidade (constante) t 0 tempo gasto para percorrer a distância d podemos escrever Evidentemente, esta equação se aplica mesmo no caso de a traje- tória não ser retilínea, como na fig. 2-4, mas não se esqueça de Fig.2-4; Pard o movimen- a váli : to uniforme, temos d = vt que ela é válida somente quando o valor da velocidade perma- a aan rafando necer constante. ria é curva.  O QUE SIGNIFICA UMA VELOCIDADE NEGATIVA Quando um corpo se desloca em uma trajetória, costumamos con- vencionar um dos sentidos do movimento como sendo positivo; o outro sentido, então, será considerado negativo. Assim, para um automóvel que se move ao longo de uma estrada, podemos considerar como positivo o sentido no qual o carro afasta-se do início da estrada (sentido de cresci- mento da indicação dos marcos quilométricos). Se o automóvel estiver se aproximando do começo da estrada, dizemos que ele está se movendo no sentido negativo. No primeiro caso, a velocidade do carro seria conside- rada positiva e, no segundo, ela seria negativa. Portanto, quando dizemos ; que a velocidade de um carro é de — 60 km/h, devemos entender que ele está se movendo a 60 km/h, no sentido convencionado como negativo. Estudantes usando compu- tador no laboratório para onalisor o movimento de um corpo. ATENÇÃO PARA AS UNIDADES Se a velocidade de um corpo vale v = 30 km/h e você deseja calcular a distância que ele percorreu durante um tempo £ = 3,0 h, já sabemos que: d == 3088. x3,0X = 90 km Observe que a unidade de tempo simplifica-se ao realizarmos a multiplicação eo resultado é expresso corretamente em km, que é uma unidade de distância. Mas, se o valor da velocidade for, por exemplo, v = 60 m/min (o corpo percorre 60 m em cada minuto) e o tempo decorrido for 1 = 155, a operação não poderia ser realizada, pois teríamos d=u=60 E x15s min e vemos que, ao contrário do caso anterior, não é possível simplificar as unidades de tempo. Estamos nos deparando, pela primeira vez, com um problema que muitas vezes teremos de enfrentar, tanto na vida prática quanto durante o nosso curso: operar com unidades diferentes, usadas para medidas de uma mesma grandeza. Chamamos sua atenção para que observe as unidades, antes de efetuar qualquer operação c, ocorrendo o fato citado, você deverá reduzir uma unidade à outra. Assim, para calcular a distância percorrida, você deverá expressar o intervalo dé tempo de 15 s em minutos, ou expressar a velocidade de 60 m/min em m/s. Na primeira hipótese, basta lembrar que 1 min = 60 s, logo 15 s = 0,25 min, donde d = ut= 605: x0,25 mdf = 15m Na segunda opção, veja como você deverá proceder: m m m v=60 = 60 = 0 isto é, a velocidade de 60 m/min corresponde a 1,0 m/s. Desta maneira, m E Evidentemente, os dois cálculos efetuados são equivalentes e nos levam ao mesmo valor da distância percorrida. d=vi=10—x15$=15m Movimento retilíneo = GRÁFICO DISTÂNCIA x TEMPO (d x t) Consideremos um automóvel deslocando-se em uma estrada reta com uma velocidade constante v = 20 m/s. Usando a relação d = vt, podemos calcular a distância d que ele percorre para diversos valores do tempo £ decorrido a partir do instante + = O (início da contagem do tempo). Obtemos a seguinte tabela: Tempo (s) o Ii 2 3 4 5 Sim) Distância (m) o 2 4 o so 100 | «gy so Observe, pela tabela, que, quando o valor do tempo t é duplicado (por exemplo, de +, = 1's para t, = 25), 0 valor da distância d tam- bém duplica (de 4, = 20m para d, = 40m). Do mesmo modo, quando £ é triplicado, d também é multiplicado por 3 e, assim, suces- sivamente. Quando isto ocorre com duas grandezas quaisquer, isto é, ao multiplicarmos uma delas por um certo número a outra fica mul- tiplicada por este mesmo número, dizemos que estas grandezas variam de modo diretamente proporcional (uma grandeza é direta- t ER 4 Hg mente proporcional à outra). Portanto, no exemplo que estamos Fig.2-7a: Gráfico d » t para analisando, a distância d é diretamente proporcional ao tempo t e isto um noniemenito turiifonies ocorre sempre que o movimento é uniforme. Então, temos: Em qualquer movimento uniforme (v = constante) a distância d percorrida por um objeto é diretamente proporcional ao tempo t decorrido neste percurso. Este fato é representado matematicamente pela relação dt, onde o símbolo « significa “é proporcional a”. Com os valores da tabela podemos traçar o gráfico d xt para este movi- mento, abtendo o resultado mostrado na fig. 2-7-a. Observe que: - o primeiro ponto marcado no gráfico é a origem O dos dois eixos, porque, quando + = 0, temos também d = 0. -o segundo ponto marcado (ponto 4) indica que até o instante t, = | s o carro havia percorrido uma distância d, = 20 m. —o terceiro ponto marcado (ponto B) indica que até o instante t, = 25 o carro havia percorrido uma distância d, = 40 m et. Unindo os pontos marcados, vemos que eles estão situados sobre uma reta. Pode-se mostrar que isto ocorre sempre que a velocidade do movimento é cons- tante. Destacamos então: Em qualquer movimento uniforme, o gráfico distância x tempo é uma reta que passa pela origem dos eixos. Sempre que uma grandeza Y for diretamente proporcional a uma grandeza X, o gráfico Y x X será uma reta passando pela origem. Do INCLINAÇÃO DO GRÁFICO No gráfico d x t da fig. 2-7-a, tomemos dois pontos quaisquer, como Á e D, por exemplo, Esses pontos do gráfico correspondem a dois pontos diferentes da trajetória do carro, separados pela distância que ele percorreu em um certo intervalo de tempo. Para os pontos À e D considerados, é fácil ver que temos (ob- servando os eixos): — intervalo de tempo = 45 -1ls=3s — distância percorrida = 80 m — 20 m = 60 m Em Matemática, a variação de uma grandeza qualquer é representada pelo símbolo da grandeza, precedido da letra grega A (delta). Assim, Ar representa a variação no tempo t e Ad representa uma variação na distância percorrida d. Logo, na situação que estamos analisando, teremos: At =3s (intervalo de tempo entre se 4s) Ad = 60 m (distância percorrida naquele intervalo) Observe os valores de Ar e Ad indicados na fig. 2-7-a. Uma grandeza muito importante no estudo dos gráficos é a sua inclinação. Para o caso do gráfico d x t temos, por definição: Calculemos, então, a inclinação do gráfico da fig. 2-7-a. Temos: mctinição= 2 gi iicligação 20 Ar 3s Como vemos, este valor coincide com o valor da velocidade do automóvel (v=20 m/s). Este resultado poderia ser previsto porque, quando calculamos a inclinação do gráfico, estamos obtendo o quociente entre a distância percorrida por um móvel e o tempo gasto para percorrer esta distância. Esse quociente repre- senta exatamente o valor da velocidade no movimento uniforme. Então, temos: A inclinação do gráfico d x t para um movimento uniforme nos fornece o valor da velocidade desse movimento, isto é, Exemplo 2 Um carro, em movimento uniforme, percorre: em 1,0h— 60km em2,0h—120km ol 10 20 30 40 t(h) em 3,0h — 180 km Fig.2-7b: Para o exemplo3. em4,0h—240km Movimento retilínco 10. Deseja-se calcular a distância que um carro, com velocidade constante v = 72 km/h, percorre em um tempo t = 20. a) Qual a providência que se deve tomar antes de substituir estes valores em d = vt? b) Sabendo-se que 3,6 km/h = 1 m/s, expresse 72kmhemmys. = 45 ERES c) Qual a velocidade desenvolvida pelo carro nesta primeira hora de viagem? d) Em que posição e durante quanto tempo o carro permaneceu parado? e) Qual a posição do carro no fim de 4,0 h de viagem? 9) Qual a velocidade do carro na viagem de volta? c) Feito isto, calcule a distância procurada. 11. Na expressão d = vt, que é válida para um movi- mento uniforme, d e t variam enquanto v perma- nece constante. a) Sendo assim, qual é o tipo de relação entre d et? b) Mostre, com um desenho, como é o gráfico dxt. c) O que representa a inclinação deste gráfico? 12, O gráfico deste exercício representa a posição de um carro, contada a partir do marco zero da estra- da, em função do tempo. a) Qual era a posição do carro no início da viagem (t=07 9 10 20 30 40 th) b) Qual a posição do carro no instante t = 1,0 h? Exercício 12. dikm) 2.3. Velocidade instantânea e velocidade Média VELOCIDADE INSTANTÂNEA Quando o valor da velocidade de um corpo não se mantém constante, dize- mos que este corpo está em movimento variado. Isto ocorre, por exemplo, com um automóvel cujo ponteiro do velocímetro indica valores diferentes a cada instante. O valor indicado no velocímetro, em um dado instante, é a velocidade instantânea do automóvel naquele momento. stantânea. Vejamos uma maneira de calcular esta velocidade Consideremos um automóvel, em movimento variado, que passa «44 TER pelo ponto 4 (fig. 2-9), no instante r, com uma velocidade instan- RP Ir tânea v (leitura do velocímetro neste instante). Depois de decorrido ai E um intervalo de tempo 4t, o carro estará em B, tendo percorrido uma distância Ad. Se o movimento fosse uniforme, ao calcular o quociente Ad/At, obteríamos a velocidade do carro. Entretanto, sendo o movi- mento variado, verificamos que o valor de Ad/At geralmente não coincide com a indicação do velocímetro no instante t. Verificamos, porém, que, se o ponto B fosse tomado bem próximo de 4, de maneira que o Fig:2-9: A velocidade ins- intervalo de tempo At se tornasse muito pequeno, teríamos um quociente Ad/Ar a sda por muito próximo da indicação do velocímetro em 4, isto é, muito próximo do valor — menor Ar possível. v da velocidade instantânea. O valor de Ad/At estaria tanto mais próximo de v quanto menor fosse o intervalo de tempo At. Portanto, em um movimento variado, a velocidade instantânea é dada por v = Ad/Az, sendo At o menor possível. ERR sc o 1 Fig.2-10: No gráfico d x 1, a inclinação da tangente nos fornece o valor da velo- cidade instantâneo. A figura mostra como varia, com o tempo, a velocidade de uma pessoa em uma corrida de 190 m rasos, per- corridos em 135. Observe a indicação de que a veloci- dade média da pessoa foi de 7,7 mis, isto é, se ela se deslocasse sempre com esta velocidade, percorre- ria os 100 m no mesmo tempo de 135. DETERMINAÇÃO GRÁFICA DA VELOCIDADE INSTANTÂNEA Consideremos o gráfico da fig. 2-10, que representa a distância percorrida por um automóvel em função do tempo. Você deve observar que o movimento deste carro é variado pois, se fosse uniforme, o gráfico d X1 seria retilíneo. É possível, a partir deste gráfico, obter a velocidade instantânea do automóvel em um instante qualquer, t,. Para isto, devemos traçar a tangente ao gráfico no ponto da curva correspondente àquele instante (ponto P, na fig. 2-10). A inclinação desta tangente fornece o valor da velocidade no instante considerado. Do mesmo modo, para obter a velocidade em outro instante, t,, devemos determinar a inclinação da tangente à curva no ponto P,. Observe que, no caso do movimento representado na fig. 2-10, a inclinação da tangente em P, é maior do que em P, e, portanto, a velocidade instantânea em , é maior do que em 4,. Concluindo, a inclinação da tangente no gráfico d x t nos fornece o valor da velocidade instantânea. VELOCIDADE MÉDIA Se um automóvel, em uma viagem, percorre uma distância de 560 km em 8,0 h, você e, provavelmente, muitas outras pessoas diriam: “o automóvel desenvol- veu, em média, 70 km/h”. Este resultado, que foi obtido dividindo-se a distância percorrida (560 km) pelo tempo de viagem (8,0 h), é o que denominamos velocidade média e representamos por v,. “Temos, então, por definição distância total percorrida oi E d (5 = enem o SS Es ” tempo gasto no percurso t final da 10) ê 9 velocidado 8 média 7.7 mVs velocidade (m/s) tempo (s) Movimento retilíneo 47 RS Observe que, durante o movimento, a velocidade do carro pode ter sofrido variações. No exemplo citado, seu valor pode ter sido, às vezes, maior e, outras vezes, menor do que 70 km/h. Entretanto, se a velocidade fosse mantida, durante todo o percurso, igual a 70 km/h, o carro teria percorrido aquela mesma distân- cia naquele mesmo tempo. Exemplo 1 Um automóvel percorre uma distância de 150 km desenvolvendo, nos primeiros 120 km, uma velocidade média de 80 kmyn e, nos 30 km restantes, uma velocidade média de 60 km/h. 3) Qual foi o tempo total de viagem? Conhecendo-se a distância percorrida e a velocidade média, a relação v,, = djt nos fome- ce t = d//m. Então, na primeira parte do percurso, o tempo gasto foi ou 4 =1,5h ou =0,5h Assim, O tempo total de viagem foi t=1,5h+0,5h ou t=2,0h b) Qual foi a velocidade média do automóvel no percurso total? Sendo de 150 km a distância total percorrida e 2,0 h o tempo total de viagem, a velocidade média, neste percurso, terá sido v 150 km va =75km/h. "50h ou pa ! DETERMINAÇÃO GRÁFICA DA DISTÂNCIA PERCORRIDA Quando o movimento de um corpo é uniforme, a distância que ele percorre é dada por d = vt ou pela área sob o gráfico vxr . Entretanto, se o movimento for variado, a relação d = vt não pode mais ser aplica- da, mas a distância percorrida poderá, ainda, ser obti- da pela área sob o gráfico vXt; isto é: a área sob o gráfico v xt nos fornece a distância percorrida em qualquer movimento. Na fig. 2-11, por exemplo, que apresenta o gráfico vxt de um movimento variado, a área assinalada nos ES nada ray v s e a dis fornece o valor da distância que o corpo percorre, desde tância percorrida em qual. o instante z, até o instante t,. quer movimento. RR so Este resultado significa que a velocidade do corpo aumentou de 5,0 m/s em cada 1.5. É cos- tume expressar as unidades da seguinte maneira: mis -507 ou ss a=5,0 Este movimento, no qual a velocidade cresce com o tempo, é, como vimos, denominado movimento acelerado. Se a velocidade diminuir com o tempo, já dissemos que o movimento é retardado. Por exem- plo: se v, = 36 m/s, &, após 5,0 s a velocidade passar para v, = 6,0 m/s, a aceleração do movimento será qu ls d0ms-36ms TOO o a=-60ms at 50s 50s mM Isto significa que a velocidade está diminuindo de 6,0 m/s em cada 1.5. Observe que, no movimento acelerado, o valor da aceleração é positivo e, no movimento retardado, a aceleração é negativa, como já havia sido destacado (lembre-se de que esta- mos considerando a velocidade sempre positiva). MOVIMENTO RETILÍNEO COM ACELERAÇÃO CONSTANTE Suponha que estejamos observando o velocímetro de um carro em movi- mento retilínco, em intervalos de tempo sucessivos de 1 s, e que obtivemos os seguintes resultados: IFobservação 30 km/h y sois 2 observação (| sapósa |) 35kmh = t Av= 15 kmlh 3ºobservação (| sapósa 2) — 50kmlh DS h Av=2kmlh 4º observação (I sapõsa3) — 52kmh Podemos notar que a variação da velocidade em cada 1 s não é constante e, portanto, não é constante a aceleração do carro. Entretanto, em outra observação do velocímetro, poderíamos obter os valo- res seguintes: 2 observação 30 km/h ) Ana observação (| sapósa |) 35km/h [> ——— 1 Av=5 kmh 3ºobservação (| sapósa2%) — 40km/h | observação (lsapósa3) — 45kmlh Pig Neste caso, a variação da velocidade em cada 1 s é constante, isto é, a acele- ração do movimento é constante. Um movimento como este, no qual'a aceleração é constante, é denominado movimento retilíneo uniformemente variado. Até o final desta secção estaremos estudando apenas movimentos deste tipo. Movimento retilíneo CÁLCULO DA VELOCIDADE Y Consideremos um corpo em movimento vo a Rss uniformemente variado, com uma velocidade vw, —o E ço no instante em que vamos iniciar a contar o tem- 6 po, isto é, no instante + = O(fig. 2-14-3). Avelo- | | cidade v, é denominada velocidade inicial. Sendo o +=0 1 movimento uniformemente variado, o corpo pos- sui uma aceleração 4 constante, ou seja, a variação d de sua velocidade em cada 1 s é numericamente igual ao valor de a. Assim, a velocidade v do corpo Fig.2-14-a: À velocidade Eae E ú inicial v, é aquela que o variará do seguinte modo: corpo possui no instante emt=0 a velocidade é v, tao emt=Is a velocidade é uy +4-1 emt=2s avelocidadeé wy +42 emt=3s a velocidade é v, +43 e, depois de t segundos, a velocidade será v, + at. Portanto, a velocidade x, depois de decorrido um tempo + qualquer, é dada por Votar Observe que o valor da velocidade, no instante $, é a soma da velocidade ini- cial com o produto at, que representa a variação da velocidade durante o tempo t. CÁLCULO DA DISTÂNCIA PERCORRIDA A distância d percorrida pelo corpo desde o instante inicial até o instante + (fig. 2-14-a), poderá ser obtida através da área sob o gráfico v xt, como aprendemos na secção 2.3. O gráfico v xt que corresponde à equação v=w +até retilíneo (veja a fig. 2-14-b), mas não passa pela origem, pois quando + = O temos v = vw. Em Mate- mática, usa-se dizer que v varia linearmente com t. Neste caso, v não é diretamente proporcional a t, pois o gráfico vx+ não passa pela origem (duplicando o valor de t, o valor de v não é duplicado etc.). A fig.2-14-b mostra o gráfico v Xt para o caso em que a velocidade cresce com o tempo (se a aceleração for negativa, o gráfico vXt con- '9| a tinua a scr retilínco, apresentando um aspecto semelhante àquele do exercício 17 da secção anterior). tempo Fig.2-14-b: No movimento uniformemente acelerado, a velocidade aumenta line- Como vemos na figura, a área sob o gráfico é a soma das áreas de: rr esah o decorrór do um retângulo de lados x € t— área = uy txat 1 2 at 2 um triângulo de base t e altura at — área = mos o Portanto, a distância d percorrida pelo corpo, que é numericamente igual à área total sob o gráfico, será dada por d= ontedati, Observe que esta relação entre as variáveis de ré do tipo y = 4xº + Bx+C (trinômio do 2º grau, que você estudou em seu curso de Matemática), no qual y corresponde a d «x corresponde a + e 4=(1/2)4, B=v,, C=0 VELOCIDADE EM FUNÇÃO DA DISTÂNCIA Já vimos que, conhecendo a velocidade w, e a aceleração 4 no movimento uniformemente variado, as expressões 1 e d=vt+ di nos permitem calcular a velocidade e a distância percorrida, em função do tempo 1. Pode acontecer que tenhamos necessidade de calcular a velocidade do corpo após ter percorrido uma certa distância, sem que seja conhecido o tempo r do movi- mento. Isto pode ser feito facilmente, tirando o valor de t na primeira equação e levando este valor na segunda equação: dm Cdr o(2a) Efetuando o desenvolvimento algébrico e simplificando (faça isto), obtemos ER Es ad | Com esta expressão podemos calcular a velocidade v em função da distâneia d (sem conhecer o tempo t). COMENTÁRIOS 1) No estudo do movimento uniformemente acelerado, poderá ocorrer que a velocidade no instante t = 0, isto é, sua velocidade inicial, seja nula (v, =0). Quando isto ocorre, dizemos que o corpo partiu do repouso. Para este caso, as equações do movimento tornam-se naturalmente mais simples: v=at d=iar e v =2ad 2) Arelação d = 1/2 at? nos mostra que a distância d varia proporcionalmente com o quadrado do tempo t (d = 1º). Isto significa que: : — duplicando t, o valor de d é multiplicado por 4 = triplicando t, o valor de d é multiplicado por 9  Mor 2.5. Queda iivre QUEDA DOS CORPOS Entre os diversos movimentos que ocorrem na natureza, honve sempre interesse no estudo do movimento de queda dos corpos próximos à superfície da Terra. Quando abandonamos um objeto (uma pedra, por exemplo) de uma certa altura, podemos verificar que, ao cair, sua velocidade cresce, isto é, o seu movimento é acelerado. Se lançarmos o objeto para cima, sua velocidade diminui gradualmente até se anular no ponto mais alto, isto é, o movimento de subida é retardado (fig. 2-16). As características destes movimentos de subida e descida foram objeto de estudo desde tempos bastante remotos. ARISTÓTELES E A QUEDA DOS CORPOS O grande filósofo Aristóteles, aproximadamente 300 anos antes de Cristo, acreditava que, abandonando corpos leves e pesados de uma mesma altura, seus tempos de queda não seriam iguais: os corpos mais pesados alcançariam o solo antes dos mais leves. A crença nesta afirmação perdurou durante quase dois mil anos, sem que sc tivesse procurado verificar a sua veracidade através de medidas cuidadosas. Isto ocorreu em virtude da grande influência do pensamento aristotélico em várias áreas do conhecimento. Um estudo mais minucioso do movimento de queda dos corpos só veio a ser realizado pelo grande físico Galileu Galilei, no século XVII. 5 : Desprezando os efeitos da resis- tência do ar, quando um corpo caí, sua ve. locidade aumenta continuamente, Se ele for arremessado para cima, sua velocidade diminui, anulendo-se no ponto mais alto. GALILEU E A QUEDA DOS CORPOS Galileu é considerado o introdutor do método experimental na Física, acreditando que qualquer afirmativa relacionada com um fenômeno deveria estar fundamentada em experiências e em observações cuidadosas. Este método de estudo dos fenômenos da natureza não era adotado até então e, por isso mesmo, Aristóteles. as conclusões de Galileu entraram em choque com os ensinamentos de Estudando a queda dos corpos através de experiências e medidas precisas, BEER só Galileu chegou à conclusão de que, abandonados de uma mesma altura, um corpo leve e um corpo pesado caem simultaneamente, atingindo o chão no mesmo instante. contrariamente ao que pensava Aristóteles. Golileu Galilei (1564-1642) dad Veja o Tópico Especial no final deste capítulo. Contam que Galileu subiu ao alto da torre de Pisa e, para demonstrar experi- mentalmente sua afirmativa, abandonou várias esferas de pesos diferentes, que atingi- ramo chãosimultaneamente (fig.2-17). Apesar da evidên- cia das experiências realiza- das por Galileu, muitos dos seguidores do pensamento aristotélico não se deixaram convencer, sendo Galileu al- vo de perseguições por pre- gar idéias consideradas revo- lucionárias. Fig.2-17:A famoso torre inclinada de Pisa, cuja altura é de, aproxi- madamente, 45 m. Conta-se que, do alto dessa torre, Galileu reali- zou sua célebre experiência sobre a queda dos corpos. Kavin GaivirvThe Stock Mi QUEDA LIVRE Como você já deve ter visto muitas vezes, ao deixarmos cair uma pedra e uma pena, a pedra cai mais depressa, como afirmava Aristóteles. Entretanto, podemos mostrar que isto se dá porque o ar exerce um efeito retardador na queda de qualquer objeto e que este efeito exerce maior influência sobre o movimento da pena do que sobre o movimento da pedra. De fato, se deixarmos cair a pedra e a pena dentro de um tubo, do qual se retirou o ar (foi feito vácuo no  Movimento retilíneo tubo), verificamos que os dois objetos caem simultaneamente, como afirmava Galileu (fig. 2-18). Então, a afirmativa de Galileu só seria válida para os corpos em queda no vácuo. Observamos, entretanto, que a resistência do ar só retarda sensivelmente certos corpos, como uma pena, um pedaço de algodão ou uma folha de papel, sendo desprezível para outros, mais pesados, como uma pedra, uma esfera de metal ou até mesmo um pedaço de madeira. Então, para estes últimos, a queda no ar ocorre, praticamente, como se os corpos estivessem caindo no vácuo; isto é, aban- donados de uma mesma altura, no ar, estes corpos caem simul- taneamente, como afirmava Galileu. O movimento de queda dos corpos no vácuo ou no a; quan- do a resistência do ar é desprezível, é denominado queda livre. A ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE Conforme já foi dito, o movimento de queda livre é acele- rado. Com suas experiências, Galileu conseguiu verificar que o movimento é uniformemente acelerado, isto é, durante a queda o corpo cai com aceleração constante. Esta aceleração, denominada aceleração da gravidade, é representada normalmente por ge, pelo que já vimos, podemos concluir que o seu valor é o mesmo para todos os corpos em queda livre. A determinação do valor de g pode ser feita de várias manciras. Por exemplo, usando técnicas modernas, podemos obter uma fo- tografia como a da fig. 2-19. Esta foto mostra as posições sucessivas de duas esferas, de pesos diferentes, em queda livre. Vemos claramente que estas esferas abandonadas no mesmo ins- tante caem simultaneamente, como previra Galileu. Como as posições sucessivas foram fotografadas em intervalos de tempo iguais, é possível verificar, através da foto, que à aceleração é constante. Uma análise cuidadosa de fotos como esta nos permite obter o valor da aceleração da gravidade, o qual resulta ser, aproximadamente, g=9,8m/sº isto é, quando um corpo está em queda livre, sua velocidade aumenta de 9,8 m/s em cada 1 Fig.2-19: Esta fotografia mostra as posi- ções sucessivas de duas esferas, de pesos diferentes, em queda livre. Observe que elas caem simultaneamente, como previ- ra Galileu, e 57 HR 1 pluma pedra pluma | Fig/2-18:No vácuo, uma pedra e uma pena caem com a mesma aceleração. 5 5 E 5 8 E ê ê £ é é Fig.2-22: Golifeu verificou experimentalmente que o movimento de um corpo, descendo em um plano in- clinado, é uniformemente acelerado. Para se ter uma idéia das dificuldades en- frentadas por Galiteu, bas- ta lembrar que ele media o tempo com um “relógio de água”, isto é, deter- minava o quantidade de água que escoava de um recipiente, enquanto o cor- po descia o plano. Esta foi a última contribuição de Galileu para a Medicina, pois o estudodopênduloedeontrosdispo- sitivos mecânicos alteraram com- pletamente sua orientação profis- sional. Após alguma discussão com seu pai, ele modificou seus planos acadêmicos e começou a estudar Matemática e Ciências. O PÊNDULO E À QUEDA LIVRE Em suas experiências com o pêndulo, Galileu descobriu um ou- tro fato importante: o tempo de uma oscilação não depende do peso do corpo suspenso na extremidade do fio, isto é, o tempo de oscilação é o mesmo tanto para um corpo leve quanto para um corpo pesado. Esta descoberta levou Galileu a fazer o seguinte raciocínio: uma pedra leve e uma pedra pesada, oscilando na extremidade de um fio, gastam o mesmo tempo para “cair”, isto é, para se deslocar da posição mais alta até a posição mais baixa da trajetória (fig. 2-23). Então, como o movimento pendular e a queda livre são ambos provocados pela mesma causa (gravidade), se essas duas pedras forem abandonadas li- vremente de uma certa altura, elas deverão também cair simultanea- mente, gastando ambas o mesmo tempo para chegar ao solo, Esta con- Fig.2-23: Galileu chegou a conclusões sobre a queda livre, observando o movi- mento de um pêndulo. Os dois pêndutos da figu- ra têm o mesmo compri- mento, mas suas massas são diferentes. Procura-se ilustrar que, portindo jun- tos de uma mesma altura, eles oscilam juntos, isto é, os dois pêndulos têm o mesmo período, indepen- dentemente de suas mas- sas (procure realizar esta * experiência). clusão era contrária aos ensinamentos de Aristóteles (como vimos neste capítulo) e, para comprová-la, conta-se que Galileu teria realizado a fa- mosa experiência da torre de Pisa (veja a secção 2.5). Alguns, historiadores duvidam que Galileu tenha realmente realizado esta experiência, masnão há dúvida de que ele efetivamente realizou várias experiências, observando ob- jetos diferentes em queda e pêndulos em oscilação, talvez em sua própria residência. Em outras palayras, Galileu fuada- mentava suas conclusões em experiências e observações cui- dadosas, aliadasa um raciocínio lógico. Este modo de proceder constitui a base do método experimental, introduzido por ele noestudo dos fenômenos naturais, sendo poristo considerado oprecursor da grande revolução verificadana Físicaa partirdo século XVII. DESCOBERTAS NA ASTRONOMIA Além de seus trabalhos no campo da Mecânica, Galileu deu também enor- me contribuição para o desenvolvimento da Astronomia. Em virtude de sua grande habilidade experimental, ele conseguiu construir o primeiro telescópio para uso em observações astronômicas. Com este instrumento, realizou uma série de descobertas, quase todas contrariando as crenças filosóficas e religiosas da época, as quais eram baseadas nos ensinamentos de Aristóteles. Movimento retilíneo E Entre estas descobertas de Galileu podemos destacar: - percebeu que a superfície da Lua é rugosa e irregular e não lisa e perfeita- mente esférica como se acreditava; = descobriu quatro satélites girando ao redor de Júpiter, contrariando a idéia aristotélica de que todos os astros deviam girar em torno da Terra. Alguns filósofos da época recusavam-se a olhar através do telescópio, para não serem obrigados a se curvar diante da realidade, chegando a afirmar que aquelas observações eram irreais e não passavam de truques criados por Galileu; - verificou que o planeta Vênus apresenta fases (como as da Lua) e esta observação levou-o a concluir que Vênus gira em torno do Sol, como afirmava o astrônomo Copérnico em sua teoria heliocêntrica (fig. 2-24). Fig.2-24:As fazes de Vênus, vistas da Terra, enquanto gira em torno do Sol. A partir destas descobertas, Galileu passou a defender e a divulgar a teoria de que a Terra, assim como os demais planetas, se move em torno do Sol. Estas idéias foram apresentadas em sua obra Diálogos sobre os Dois Grandes Sistermias do Mundo publicada em 1632. GALILEU E A INQUISIÇÃO As consequências do grande tumulto produzido pela ampla divulgação deste livro são bastante conhecidas. A obra foi conde- nada pela Igreja, Galileu foi taxado de herético, preso e submetido a julgamento pela Inquisição em 1633. Para evitar que fosse condenado à morte (queimado vivo) Galileu se viu obrigado a renegar suas idéias através de uma “confissão”, lida em voz alta perante o Santo Conselho da Igreja. Ainda assim, ele foi condenado por heresia e obrigado a permanecer confinado em sua casa, perto de Florença, impedido de se afastar daquele local, até o fim de sua vida. Apesar de quase cego e muito doente, a prodigiosa atividade mental de Galileu permaneceu inalterada e, em 1638, era publicada sua última obra, intitulada Duas Novas Ciências, na qual ele lançava as bases da Mecânica. Três anos mais tarde, ainda em atividade, sugerindo aos cientistas da época várias idéias em torno de seus trabalhos, morria Galileu, completamente cego, a 8 de janeiro de 1642. / SO = Re Cn Ar SULRO CAULAS SS, uns SERÊNISSÍMO, oposto reto! oia ae qa Capa da obra Diólogos Sobre os Dois Grandes Siste- mos do Mundo, na qual Galileu defendia a teoria heliocêntrica. (IN uçãe exercícios de fiXação Antes de passar ao estudo da próxima secção, responda às questões seguintes, consultando o texto sempre que julgar necessário. 29. a) Quais as duas cidades italianas, citadas no texto desta secção, muito relacionadas com a vida e a obra de Galileu? b) Procure localizar estas cidades em um mapa da Itália. 30. a) Qual foi a descoberta feita por Galileu sobre o movimento de um pêndulo, observando as oscilações de um lustre na Catedral de Pisa? b) Realizando experiências, Galileu descobriu um fator que influenciava no tempo de oscilação de um pêndulo. Qual é este fator? 31. a) Qual era o “cronômetro” usado por Galileu para medir o tempo de oscilação de um pêndulo? b) Com que objetivo Galileu sugeriu o uso do pêndulo na Medicina? 32. a) Suponha que Galileu, na experiência represen- tada na fig, 2-23, tenha inicialmente usado uma esfera de 50 gramas de massa e observado que o tempo de oscilação desse pêndulo era de 1,55. Substituindo a esfera por outra, de massa igual à 100 gramas (mantendo o fio com o mesmo comprimento), o tempo de oscilação deste novo pêndulo seria maior, menor ou igual a 1,5 5? Vis - reVisão b) Observações como aquelas feitas na experiência da questão (a) levaram Galileu a uma impor- tante conclusão sobre a queda livre dos corpos. Qual foi esta conclusão? 33. Calcule o tempo aproximado que os corpos aban- donados por Galileu, do alto da Torre de Pisa, gas- taram para chegar ao solo. A altura dessa torre é cerca de 45 m. 34. A fig. 2-24 mostra Vênus em diversas posições em seu giro ao redor do Sol. Sabendo-se que o sentido desse movimento, na figura, é anti-horário (contrário ao dos ponteiros de um relógio), diga em qual das posições, A, B, C ou D, uma pessoa na Terra observa: a) Vênus cheia, b) Vênus nova. c) Vênus minguante. 0) Vênus crescente, 35. Faça uma pesquisa sobre as teorias de Galileu que entraram em choque com idéias estabelecidas como dogmas na época & que o levaram a ser condenado pelo Tribunal da Inquisição. As questões seguintes foram formuladas para que você faça uma revisão dos pontos mais importantes abordados neste capítulo. Ao respondê-las, volte ao texto sempre que tiver dúvidas. 4. Em que condições podemos considerar um corpo como uma partícula? Dê exemplos. 2. a) O movimento de um corpo depende do refe- rencial no qual ele é observado. Cite exemplos que ilustrem esta afirmação. b) Descreva uma situação na qual um corpo se encontra em repouso para um observador, mas em movimento em relação a outro observador. c) Quando dizemos que a Terra gira ao redor do Sol, onde estamos supondo que está situado o referencial? E quando dizemos que o Sol gira em torno da Terra? 3. Um corpo está se deslocando em movimento uniforme. a) O que podemos dizer sobre o valor de sua velo- cidade v? b) Como é o gráfico v x t? c) Qual é a expressão que relaciona a distância percorrida, d, a velocidade v e o tempo de movi- mento t? d) Como é o gráfico d x t? e) O que representa a inclinação deste gráfico? 4. a) Dê um exemplo mostrando que a distância per- corrida por um carro e a sua posição em uma estrada são conceitos diferentes. b) O que você entende quando alguém lhe diz que a velocidade de um carro é negativa?  Movimento retilínco d) A velocidade v do carro é diretamente proporcional ao tempot e) O gráfico d x t é uma reta passando pela origem. 5. O gráfico d x t da figura deste problema refere-se ao movimento de um certo corpo. a) Podemos afirmar que o movimento é uniforme? b) Podemos afirmar que o movimento é retilineo? dá 0 Problema 5. 6. Observe a figura deste problema e diga qual é a velocidade do corpo: a) Para o caso representado no gráfico (a). b) Para o caso representado no gráfico (b). vem) a (em), “o su º tm) 9) tm) Problema 6-a. Problema 6-b. v (km) o” o 02 tn) -20 Problema 7. 7. O movimento de um carro em uma estrada está representado na figura deste problema. Entre as afirmativas seguintes, relacionadas com este movi- mento, assinale aquela que está errada. a)Det=0,2hat=0,4h,ocarro permaneceu parado. b) A distância total percorrida pelo carro foi de 8,0 km. c) No instante t = 0,6 h, O carro estava de volta à posição inicial. d) O carro percorreu 4,0 km em um sentido e 4,0 km em sentido contrário. 10. és RR e) No instante t = o carro se encontrava no quilômetro 20 e no instante t = 0,6 h o carro estava no quilômetro — 20. » Construa o gráfico posição x tempo (d x t) para o movimento cescrito a seguir: um automóvel parte do quilômetro zero de uma estrada, desenvolvendo 100 km/h durante 1,0 h; permanece parado du- rante 0,5 h; retoma a 50 km/h durante 1,0 h; toma a parar durante 0,5 h e, finalmente, volta ao ponto de partida ainda a 50 km/h. dlkm) Problema 9. . Dois automóveis, A e B, deslocam-se em uma mes- ma estrada. Na figura deste problema mostramos a posição de cada um, em relação ao começo da estrada, em função do tempo. Analise as afir- mações seguintes, relacionadas com o movimento destes carros e assinale aquelas que são corretas. a) No instante t = O, A se encontra no quilômetro zero e B, no quilômetro 60. b) Ambos os carros se deslocam com movimento uniforme. cl Det=0at=2,0h,A percorreu 120 kme B percorreu 60 km. d) Avelocidade de À é 60 kmvh e a de B é 30 kmih. e) Aalcança B no instante t = 2,0 h, ao passarem pelo marco de 120 km. v(kmth), . 180. o 10 20 30 1) Problema 10. Os carros A e B deslocam-se em uma mesma es- trada reta de acordo com o gráfico da figura deste problema. Em t = 0, ambos se encontram no quilômetro zero. Analise as afirmações seguintes, relacionadas com o movimento destes carros e assinale aquelas que são corretas. a) Emt =, temos v, = 0 e va = 60 km/h. (a) 11, 13. * 30 km/h e mantém esta velocidade durante 4,0 h. 14, b) Ambos os carros se deslocam com movimento uniformemente acelerado. o) Det=0at=2,0h,A percorreu 120 kme B percorreu 180 km. d)A e B têm velocidades constantes, sendo va = 60 kmh e vg = 30 km. e) Aalcança Bem t = 2,0h. Analise os gráficos seguintes e assinale aquele que não pode corresponder a um movimento retilineo uniforme. (b) (e) v d T 7] To e (a) (e) a, 4 | + o t Problema 11. Na figura deste problema mostramos o gráfico posição x tempo para um corpo em movimento variado. a) A velocidade do corpo no instante t, é maior, menor ou igual à velocidade no instante tg? b) Qual é a velocidade do corpo no instante t, ? c Problema |2. Um carro inicia uma viagem desenvolvendo Em seguida, ele passa e desenvolver 80 kmyh, viajando durante 1,0 h com esta velocidade. a) Calcule a velocidade média do carro no percurso total b) Um estudante calculou a velocidade mécia do carro como sendo a média aritmética das duas veloci- dades desenvolvidas. O estudante estava certo? Um corpo cuja aceleração é nula pode estar em movimento? Justifique sua resposta. 15. 16. 17. A tabela seguinte fornece, em vários instantes, os valores da velocidade de um corpo que se desloca em linha reta. t(s) vm/s) 10 [20 50| 80 40 14,0 50 17,0 30 11,0 a) Qual o tipo de movimento deste corpo? b) Qual o valor de sua aceleração? c) Qual é o valor da velocidade do corpo no instante t = O (velocidade inicial)? d) Qual a distância que o corpo percorre desde t=0Oatét=4,05? A figura deste problema mostra uma pista horizon- tal onde foi testado um automóvel. Ao se movi- mentar, o carro deixa cair sobre a pista, de 1 s em 1, gotas de óleo que determinam os intervalos A, B, C etc., mostrados na figura. Sabendo-se que o carro se movimenta de A para L, indique: Problema 16. a) O intervalo em que o carro desenvolveu maior velocidade. b) O intervalo em que o carro desenvolveu menor velocidade. c) Os intervalos em que o movimento do carro foi acelerado. d) O intervalo em que o movimento do carro foi retardado. e) O intervalo em que o movimento do carro foi uniforme. Um carro está se deslocando com uma velocidade de 15 m/s, quando o motorista pisa no freio. O movimento passa a ser uniformemente retardado, fazendo a carro parar completamente em 3,0 s. a) Calcule a aceleração que os freios imprimiram ao carro. b) Desenhe o gráfico v xt durante o tempo da freada, » No problema anterior, calcule a distância que o carro percorreu durante a freada: a) A partir da área sob o gráfico v xt. b) Usando a equação d = vet + (1/2) at?. Compa- re este resultado com aquele obtido em (a). . Uma pessoa lhe fornece a equação do movimento de um corpo que se desloca em linha reta: d=60t+2,5t* (temsedemm). A partir desta informação, determine: a) O tipo de movimento do corpo. b) A velocidade inicial do corpo. c) A aceleração do movimento.  20. A figura deste problema mostra um corpo que par- tiu do repouso em queda livre nas proximidades da superfície da Terra. Observe, no instante t = T, os valores de a, v e d para este corpo. A partir destes dados, determine os valores de a, ve d no instante t = 27. v=8 t=0 6d [dão É fasg ' [és Er (45b Terra Problema 20. 21. O movimento de queda de um corpo, próximo à superfície de um astro quaiquer, é uniformemente variado, como acontece na Terra. Um habitante de um planeta X, desejando medir o valor da acelera- ção da gravidade neste planeta, abandonou um corpo a uma altura de 64 m e verificou que ele gastou 4,0 s para chegar ao solo. a) Qual o valor de g no planeta X? b) Qual a velocidade com que o corpo chegou ao solo do planeta? 22. Um astronauta, na Lua, arremessou um objeto verticalmente para cima, com uma velocidade inicial de 8,0 m/s. O objeto gastou 5,0 s para atingir o ponto mais alto de sua trajetória. Com estes dados calcule: a) O valor da aceleração da gravidade na Lua. b) A altura que o objeto alcançou. 23. Suponha que um objeto fosse arremessado ver- ticalmente para cima, na superfície da Terra, com a mesma velocidade inicial do problema anterior. Calcule a altura que ele atingiria e compare com a altura atingida na Lua. 24. Para a situação descrita no problema 22, determine: a) A velocidade com que o objeto retorna à mão do astronauta. b) Durante quanto tempo o objeto ficou fora da mão do astronauta. 25. A posição d de um automóvel em uma estrada va- ria com o tempo t de acordo com o gráfico da figu- ra deste problema. a) Descreva o movimento do automóvel. b) Construa o gráfico v x t para este movimento. it 0| 05 10 15 20 th) Problema 25. 26. Uma partícula se desloca ao longo de uma reta. Sua posição d, em relação a um ponto O da reta, varia com o tempo de acordo com o gráfico da figura deste problema. Considerando os instantes t, te, tc E to; o] te t tt Problema 26. a) Em qual deles a partícula se encontra mais próxima de 0? e mais afastada? b) Coloque em ordem crescente os valores da velocidade da partícula nestes instantes. v(mis) edema: 0| 1020 30 40 50 4h) Problema 27. 27. A figura deste problema é um gráfico v xt para um automóvel ao arrancar diante de um sinal de tráfego, quando a luz verde se acendeu. a) Qual a distância equivalente à área de cada ma- lha do quadriculado? , b) Calcule a distância que o carro percorreu até o instante t = 5,0 s, através da contagem do nú- mero de malhas sob o gráfico.  14. Um carro, ao ser freado, adquire um movimento uniformemente retardado, cuja aceleração tem um módulo igual a 4,0 m/s”. O motorista desse carro, que estava se deslocando a 72 kmvh, percebeu um obstáculo à sua frente. Acionando os freios, con- seguiu parar o carro após um percurso de 60 m, contados a partir do instante em que ele viu o obstá- culo. Qual foi o tempo de reação do motorista? 15. Um elevador está parado em um andar de tal modo que o seu piso se encontre a uma distância de 30 m do fundo do poço. Uma pessoa, dentro do elevador, sustenta uma laranja a 2,0 m acima do piso deste elevador. No momento em que o eleva- dor começa a se mover, a pessoa abandona a la- ranja. Quanto tempo ela gastará para atingir o piso do elevador supondo que, naquele instante: a) O elevador inicie uma subida com aceleração de LO m/s. b) O cabo do elevador se rompa. 16. Uma pessoa, em um balão flutuando a uma altura de 150 m, deixa cair um saco de areia e começa a subir com uma velocidade de 2,0 mys. A que altura se encontra o balão no instante em que o saco de areia chega ao solo? 17. Um foguete é lançado verticalmente para cima com uma aceleração constante de 8,0 m/s* e o seu combustível se extingue 5,0 s após o lança- mento. Supondo desprezível a resistência do ar, determine: a) Aaltura máxima atingida pelo foguete. b) Quanto tempo após o lançamento o foguete retoma ao ponto de partida. 18. Um edifício tem 18 m de altura. Uma pessoa, si- tuada na base desse edifício, lança uma boia ver- ticalmente para cima, com velocidade de 12 m/s. No mesmo instante, outra pessoa no alto do edifi- cio deixa cair, na mesma vertical, outra bola. A que altura do solo as bolas se encontrarão? 19. Uma pequena esfera de aço é abandonada de uma altura de 5,0 m acima de um tanque de areia com superfície bem nivelada. Ela forma na areia uma depressão de 2,5 cm de profundidade. Supondo constante a aceleração do retardamento provoca- do pela areia, calcule o tempo que a esfera gasta para parar. 20. Para achar a profundidade de um poço, uma pessoa deixou cair nele uma pedra e 3,0 s de- pois ouviu o barulho do seu choque com o fundo do poço. Sabendo-se que a velocidade do som no ar vale 340 m/s: a) Calcule o tempo que a pedra gastou para chegar ao fundo do poço. b) Determine a profundidade do poço. c) Qual seria o erro cometido no cálculo da profun- didade se fosse desprezado o tempo que o som gasta para chegar ao ouvido da pessoa? (Expresse esse erro em forma percentual.) 21. Um menino, em uma passarela existente sobre uma rua, deixa cair uma pedra exatamente no ins- tante em que um caminhão começa a passar sob a passarela. O caminhão tem 10 m de compri- mento e a pedra foi abandonada de uma posição 5,0 m acima do veículo. Qual deve ser, em kmyh, & mínima velocidade desse caminhão para que a pedra não o atinja? 22. Uma esfera metálica é abandonada de uma certa altura sobre a superfície de uma piscina, cheia d'água, com 6,0 m de profundidade. Dentro d'água, a esfera se move com movimento uniforme, de velocidade igual à que possuía ao atingir a superfície da piscina. Supondo que a esfera gaste 1,5 s para se deslocar da superfície até o fundo, determine a altura, em relação à égua, da qual a esfera foi abandonada. 23. Um pedestre está correndo a 6,0 ms, que é a má- xima velocidade que ele consegue desenvolver, a fim de pegar um ônibus que está parado. Quando ele se encontra a 25 m do ônibus, este parte com uma aceleração constante de 1,0 m/s?, Mostre que o pedestre não conseguirá alcançar o ônibus e calcule a menor distância do veículo que ele con- segue atingir. els) o [20[40[607[80 [10,0 d(m) 200 | 180 | 160 | 140 | 120 | 100 Problema suplementar 24. 24. A tabela deste problema fornece, em vários instan- tes, a posição d de uma bicicleta, em relação ao quilômetro zero da estrada na qual ela se desloca. a) Escreva a equação que fomece a posição d da bicicleta em função do tempo t. b) Suponha que a origem da contagem da posição fosse deslocada para a posição inicial da biciçleta e que o sentido no qual ela se move fosse consi- derado positivo. Escreva, para esse caso, a equa- ção que fomece a posição d em função de t. 25. Uma partícula se desloca sobre uma reta, partindo de um ponto O com uma velocidade constante de 3 m/s. Após 6 s, ao passar por um ponto P, ela acquire um movimento uniformemente acelerado, com uma aceleração de 4 m/s”. Escreva a equação que fornece a posição d da partícula em função do tempo t, para os seguintes casos: a) A origem de d está em O e toma-se t=0 quando a partícula passa por P. b) A origem de d está em P e toma-se t=0 quando a partícula passa por esse ponto. o) Em qual dos casos considerados o valor que fomece a posição da partícula coincide com a distância percorrida por ela? capítulo 3 Vetores = Movimento  vetores - Movimento curvilinco 75 Grandezas que se comportam como o deslocamento são denominadas grandezas vetoriais. Portanto, uma grandeza vetorial só fica completamente determinada quando são conhecidos o seu módulo, a sua direção e o seu sentido. OUTRAS GRANDEZAS VETORIAIS Além do deslocamento, vamos encontrar, em nosso curso, várias outras grandezas vetoriais. A velocidade, por exemplo, é uma grandeza vetorial. De fato, se uma pessoa lhe disser que um carro está se movendo a 50 km/h (módulo da velocidade) você não terá uma idéia completa de como o carro está se movendo. Você precisaria saber também a direção da velocidade (por exemplo: direção Norte-Sul) e o seu sentido (de Sul para Norte, por exemplo). A força é outra grandeza vetorial que encontramos frequentemente. Além de especificarmos o seu módulo (intensidade da força), é necessário fornecer a sua direção (se ela atua horizontal, vertical ou inclinadamente) e também o seu sentido (se ela atua da direita para a esquerda ou da esquerda para a direita; se de baixo para cima ou de cima para baixo etc.). Oportunamente, nos próximos capítulos, iremos entrar em contato com outras grandezas vetoriais. REPRESENTAÇÃO DE UMA GRANDEZA VETORIAL Consideremos, novamente, um automóvel que viaja de Brasília para Recife. Como já vimos, o seu deslocamento só fica definido quando especificamos o seu módulo, a sua direção e o seu sentido. Estas três características da grandeza podem ser fornecidas, de uma só vez, se representarmos o deslocamento por meio da flecha 4B mostrada na fig.3-2-b: o compri- mento da flecha, em uma escala apropriada, representa o módulo do deslocamento; sua direção é representada pela direção do segmento AB e o seu sentido é indica- do pela seta na ponta da flecha. Qualquer grandeza vetorial pode ser representa- da, geometricamente, de maneira idêntica. Assim, na fig. 3-3, a flecha representa a velocidade de 50 km/h (cada 1 cm representa 10 km/h), na direção Norte-Sul e no sentido de Sul para Norte. Na fig. 3-4, a flecha está representando, em módulo, direção e sentido, a força que a pessoa exerce no corpo. Dizemos que, nestas figuras, as flechas estão re- presentando vetores: na fig. 3-2-b, o vetor deslocamento, Fig.3-3: A velocidade de Fig. 3-4: Uma força tam- na fig. 3-3, o vetor velocidade e, na fig. 3-4,0 vetor um stonara pode, al dem rd ser representa- E resentado, » da por meio de um vetor. força. Ao nos referirmos a um vetor qualquer, traçado entido pormeio or de um ponto a outro, de 4 para B, por exemplo, — de umvetor. ERR 76 escrevemos AB, que se lê: vetor AB. Podemos, também, nos referir ao vetor usan- do uma única letra para representá-lo, Por exemplo: d (lê-se: vetor d) como na fig 3-2-b,7 (ê-se: vetor v) como na fig. 3-3 ou É (lê-se: vetor F) como na fig. 3-4. Quando nos referimos apenas ao módulo de um vetor, deixamos de colocar a flecha sobre a letra que o representa, escrevendo simplesmente: d, v, F etc. Portanto, d: representa o vetor (módulo, direção e sentido) d: representa apenas o módulo do vetor Donção exercícios de fiXação os: “Cletes de Antes de passar ao estudo da próxima secção, responda às questões seguintes, consultando o texto sempre que julgar necessário. 1. Em cada uma das frases seguintes, dizer se a pala- vra gyifada corresponde a uma grandeza escalar ou vetorial. a) O volume de uma caixa d'água é de 500 L. b) Um menino puxa uma corda com uma força horizontal, para a direita. c) Um avião voa, com uma velocidade de 500 km/h, de Leste para Oeste. d) A temperatura da sala de aula é de 25ºC. Exercício 2. 2, Na figura deste exercício, os vetores V, Va, Voy E representam as velocidades de alguns automóveis se movimentando no cruzamento de duas ruas. a) Os vetores 7%, e Y, têm mesma direção ou direções diferentes? b) Os vetores v, e v, têm mesma direção? Têm o mesmo sentido ou sentidos contrários? c) Os vetores Y; e % têm mesma direção? Têm o mesmo sentido ou sentidos contrários? « Um carro viajou, ao longo do litoral, indo de Sal- vador até Fortaleza. Exercício 3. a) Reproduza, em seu caderno, a figura deste exer- cício e desenhe nela o vetor d que representa o deslocamento do carro. b) Observe a escala do mapa e determine d, isto é, omédulo dovetord. c) Qual é a direção do vetor d? d) Qual é o sentido do vetor d? Vetores - Movimento curvilínco = 4. A figura deste exercício mostra uma bola em queda livre, em um certo instante. Neste instante, a velocidade da bola é de 8,0 m/s, sua direção é vertical e seu sentido é de cima para baixo. Usando uma escala em que 1 cm representa uma velocidade de 2 m/s, desenhe, em uma cópia da figura, o vetor velocidade da bola naquele instante. Exercício 4. 3.2. Soma de vetores Você já está bastante habituado a lidar com as grandezas escalares e sabe, portanto, que elas se adicionam de acordo com as regras comuns da Álgebra. Por exemplo: se um tanque contém 2 m' de água, acrescentando-se mais 5 m” o tanque ficará com 7 m” de água, pois 2m+Sm' =7m Se uma pessoa possui um terreno, cuja área é de 1 000 m, e vende um lote deste terreno de 400 mº de área, o lote restante terá, evidentemente, uma área de 1000 mê — 400 m? = 600 m? A maneira de operar com as grandezas vetoriais, entretanto, é bastante diferente, como veremos a seguir. RESULTANTE DE DOIS VETORES - 77 Consideremos um automóvel que se desloca de A para B e, em se- guida, de B para C (fig. 3-5). Estes deslocamentos estão representados, na fig. 3-5, pelos vetores Z e b. O efeito final destes dois deslocamentos combinados é levar o carro de À para C. Evidentemente, o vetor T, tra- gado de A para C (fig. 3-5), representa um deslocamento equivalente ao efeito combinado de 7 e b. Dizemos, então, que o vetor T é a soma ou resultante dos vetores à e E e escrevemos T+ Esta maneira de adicionar dois deslocamentos é válida para qualquer grandeza vetorial. Observe que as grandezas vetoriais se adicionam de maneira diferente das grandezas escalares e as palavras “soma” ou “adição” e o sinal “+” têm, aqui, um significado especial. Assim, para evitar confusão, costumamos usar a expressão soma vetorial quando estamos adicionando vetores. Portanto, por meia da fig. 3-5, aprendemos que para encontrar a resultante, é, de dois vetores à e b, traçamos o vetor b de modo que sua origem coincida com a extremidade do vetor 4. Unindo a origem do vetor 4 com a extremidade do vetor b, obtemos a resultante 0. Fig. 3.5: O vetor E é a resultante dos vetores 0 e Bistoéc = G+b. Para calcular matematicamente os valores destas componentes, voltemos à fig. 3-9. Lembrando que em um triângulo retângulo temos as relações — Cateto oposto a 8 sen 6 - hipotenusa - cateto adjacente a 6 cos 6 — hipotenusa teremos, para o triângulo OAB da fig. 3-9: V sen 8= 77 donde V, = sen cos 8 = E donde V, = V cos 8 Estas relações nos permitem calcular os valores das componentes V, e P, quando conhecemos o módulo do vetor Ve o ângulo que ele forma com o eixo OX. Por outro lado, se conhecermos os valores das componentes V, e PV, o módulo do vetor V? poderá ser obtido pelo teorema de Pitágoras. De fato, no triângulo OAB da fig. 3-9, temos Exemplo 2 Consideremos um corpo que sofre um deslocamento D de 100 km, formando um ângulo de 30º com a direção Oeste-Leste, como mostra a fig. 3-10, Considerando o eixo 0X dirigido para o Leste e o eixo OY dirigido para o Norte, calcular as componentes D, e D, deste deslocamento. Projetando o vetor D sobre OX e OY, encontramos as componentes D, e D, (fig. 3-10). Os valores destas componentes serão obtidos pelas relações» D=Dcsb e D,=Dsen6 onde 8 = 30º e D = 100 km. Consultando a tabela de funções trigono- métricas no final deste volume, encontramos (considerando dois algarismos significativos) cos 30º 0,87 e sen 30º = 0,50 Assim D,=100x0,87 donde D=87km Fig 3-10: Pora o exemplo 2. D, y 100 x 0,50 donde D, = 50km Observe que quando o corpo sofre o deslocamento considerado, ele se afasta de O deslocando-se um tanto para Leste e um tanto para o Norte. As componentes indicam estas quantidades. Portanto, os resultados D, = 87 km e D,= 50 km indicam que, em virtude do deslocamento D, o corpo se deslocou 87 km para Leste e 50 km para o Norte. Vetores - Movimento curvitínco ss Antes de passar ao estudo da próxima secção, responda às questões seguintes, consultando o texto sempre que julgar necessário. 5. A figura deste exercício mostra o vetor 6 que é a resultante dos vetores à e B. a) Indique este fato por meio de uma expressão matemática. b) Seria correto indicar este fato escrevendo que c=a+b? 3 * z Exercício 5. » Os vetores d, e d,, mostrados na figura deste exer- cício, representam deslocamentos cujos módulos sãod=5cmed;=2cm. a) & d+ o Exercício 6. a) Na figura (a), desenhe a resultante D desses vetores e determine o seu módulo. b) Faça o mesmo para o caso da figura (b). c) Na figura (c), desenhe a resultante D e use uma régua para determinar o seu módulo. d) É correto dizer que, em todos os casos ante- riores, temos D = 0, + d;? e) Em qual dos casos podemos dizer que D = d, 1d,? 7. Dois deslocamentos à e É, perpendiculares entre si, têm módulos a = 8,0 cm e b = 8,0 cm (veja figura). 902 B Exercício 7. a) Desenhe, em uma reprodução da figura, a resul- tante E desses dois vetores e determine o seu módulo usando uma régua. a b) Determine o módulo de E usando o teorema de Pitágoras. Compare este resultado com aquele que você obteve graficamente. Exercício 8. 8. Faça uma cópia da figura desse exercício. Em cada um cos casos mostrados, desenhe a resultante das forças Ê, e ,, usando a regra do paralelogramo. 9. Um avião parte de Teresina e, fazendo escalas em São Luís, Sobral e Fortaleza, chega a Mossoró. a) Em uma cópia do mapa do exercício 3, desenhe estes deslocamentos sucessivos do avião. b) Desenhe, no mapa, o deslocamento resultante do avião. / f A / Fig.3-11:A velocidade ins- tantânea é representada, em cada ponto da trajetó- ria, por um vetor tangente a ela. c) Determine o médulo do deslocamento resul- tante (observe a escala do mapa) e diga qual é a sua direção e o seu sentido. d) Suponha que o avião, de Mossoró, retomasse a Teresina. Qual seria, então, o deslocamento re- sultante do trejeto totel feito pelo avião? b) Sabendo-se que 6 = 25º, calcule Ve 7, Exercício 11. 44. a) A figura deste exercício mostra as componentes Ve V, de um vetor V. Desenhe o vetor na figura. b) Sendo V, = 12 m e V, = 16 m, determine o módulo de V. 12. a) Na figura (a) deste exercício, qual é o valor do ângulo 6 que o vetor V forma com o eixo 0x? Determine o módulo de V,. b) Responda às questões formuladas no item an- terior para o caso da figura (b). Exercício 10. | 10. O vetor V mostrado na figura representa um Wi=iiiiem, deslocamento cujo módulo é V = 20 m. a) Desenhe, na figura, as componentes retangula- E RB E res V,e V, do vetor V. (a) ) Exercício 12. vetor velocidade e vetor aceleração Conforme mostramos na secção 3.1, a velocidade é uma grandeza vetorial. A aceleração também, como veremos a seguir, é grandeza vetorial. Entretantô, até agora não nos referimos ao caráter vetorial dessas grandezas porque tratamos apenas de movimentos retilíneos e, para este estudo, é suficiente conhecer o módulo da velocidade e da aceleração. VETOR VELOCIDADE Consideremos uma partícula descrevendo uma trajetória curva, como na fig. 3-11. Para estudar um movimento como este, é necessário considerar o caráter vetorial da velocidade, isto é, devemos definir o vetor velocidade, 7, em cada instante. Já vimos, no capítulo anterior, como se calcula o valor da veloci- dade instantânea (secção 3.3). Este valor é o módulo do vetor 7. A direção de 7 é tangente à trajetória no ponto que a partícula ocupa no instante considerado e o seu sentido é o sentido do movimento da partícula naquele instante. A fig. 3-11 mostra o vetor 7 traçado em diversos instantes do movimento. Vetores - Movimento curvitínco - 3.4. Movimento circular INTRODUÇÃO Dizemos que uma partícula está em qovimento circular quando sua trajetória é uma circunferência como, por exemplo, a trajetória descrita por uma pedra que gira presa na ponta de um barbante (fig. 3-14). Se, além disso, o valor da velocidade permanecer constante, o movimento é denominado circular uni- forme. Então, neste movimento, o vetor velocidade tem módulo constante, mas a direção deste vetor varia continuamente. O tempo que a partícula gasta para efetuar uma volta completa é denominado período do movimento e é representado por T. O espaço percorrido pela partícula, durante um período, é o com- primento da circunferência que, como você sabe, vale 2x (R é o raio da trajetória). Portanto, como o movimento é uniforme, o valor da velo- cidade será dado por distância percorrida 2nR v= o; v= DE tempo gasto no percurso FREQUÊNCIA DO MOVIMENTO CIRCULAR Suponha que, observando a pedra mostrada na fig. 3-14, verificássemos que ela efetua 30 voltas completas em um tempo igual a 10s. A fregiiência, f; desse movimento é, por definição, o quociente entre o número de voltas e o tempo gasto para cfetuá-las. Logo, a frequência da pedra será: p — 30 voltas ou f=3,0voltas/s 105 Observe que esse resultado significa que a pedra efetuou 3,0 voltas em cada ['s. A unidade de fregiiência, | valta/s, é denominada 1 hertz, em homenagem ao cientista alemão H. Hertz (1857-1894). Portanto, podemos destacar: A fregiiência de um movimento circu e nºde voltas efetuadas J= tempo gasto para efetuá-las | Este resultado representa o número de voltas que | o corpo executa por unidade de tempo. - é definida por O conceito de freqiiência pode ser aplicado em outros tipos de movimentos, como será visto no capítulo 16. A fregiência e o período de um movimento estão relacionados. Para relacionar fe T, basta perceber que essas grandezas são inversamente propor- cionais e, assim, podemos estabelecer a seguinte proporção: —-no tempo T (um período) é efetuada 1 volta o es HM | Fig. 3-14; Uma partícula que gira, presa à extremi- dade de um barbante, está em movimento circular. ERES so Fig.3-15: Se uma partícula descreve um ângulo 48 em um intervalo de tempo St, suo velocidade angular é dada port) = AB/AL lrad = 573º Tobela 3-1, — na unidade de tempo serão efetuadas f voltas (frequência) ou, esquematicamente T—1 v—f Então: fT=1 | donde f=+ ou T=+ Portanto, a fregiiência é igual ao inverso do período e reciprocamente. Por exemplo: se o período de um movimento circular é T=0,5 s, sua frequência será: Ff : + donde f= 2 voltas/s = 2 hertz nao 0,5 VELOCIDADE ANGULAR Consideremos uma partícula em movimento circular, passando pela posição P, mostrada na fig. 3-15. Após um intervalo de tempo 4, a partícula estará passando pela posição P,. Neste intervalo de tempo Az, o raio que acompanha a partícula em seu movimento descreve um ângulo AQ (fig. 3-15). A relação entre o ângulo descrito pela partícula e o intervalo de tempo gasto para descrevê-lo é denominada velocidade angular da partícula. Representando a velocidade angular por q» temos A velocidade definida pela relação v = AdiAt, que já conhecemos, costuma ser denominada velocidade linear, para distingui-la da velocidade angular que acabamos de definir. Observe que as definições de v e « são semelhantes; a veloci- dade linear se refere à distância percorrida na unidade de tempo, enquanto 2 velocidade angular se refere ao ângulo descrito na unidade de tempo. A velocidade angular nos fornece uma informação sobre a rapidez com que um corpo está girando. De fato, quanto maior for a velocidade angular de um corpo, maior será o ângulo que ele descreve por unidade de tempo, isto é, ele estará girando mais rapidamente. Lembrando que os ângulos podem ser medidos em graus ou em radianos (como você deve ter aprendido em Matemática — ver tabela 3-1), concluímos que « poderá ser medida em graus/s ou em rad/s. Uma maneira de calcular a velocidade angular é considerar a partícula efe- tuando uma volta completa. Neste caso, o ângulo descrito será 40 =2x rad (tabela 3-1) e o intervalo de tempo será de um período, isto é, At = T. Logo, vatores - Movimento curvilíneo E RELAÇÃO ENTRE v E q Vimos que, no movimento circular uniforme, a velocidade linear pode ser obtida pela relação 27R fm q v=(rk Como 2wT é a velocidade angular, concluímos que Esta equação nos permite calcular a velocidade linear 2, quando conhece- . Observe que ela só é válida se mos à velocidade angular q e o raio R da trajetóri os ângulos estiverem medidos em radianos. ACELERAÇÃO CENTRÍPETA No movimento circular uniforme, o módulo da velocidade da partícula permanece constante e, então, a partícula não possui aceleração tangencial. Entretanto, como a direção do vetor velocidade varia continuamente, à partícula possui uma aceleração centrípeta à. Na fig. 3-16, estão representados os vetores 7 e 7, em quatro posições diferentes da partícula. Observe que o vetor 7, tem a direção do raio e aponta sempre para o centro da circunferência. Podemos deduzir, matematicamente, que o valor da aceleração centrípeta no movimento circular é dado por Observe que o valor de &, é proporcional ao quadrado da velocidade e inversamente proporcional ao raio da circunferênci Portanto, se um automóvel faz uma curva fechada (R pequeno) com grande velocidade, ele terá uma grande aceleração centrípeta. Veremos, mais tarde, que estes fatos estão relacionados com a possibilidade de o carro conseguir ou não fazer uma curva. Exemplo Uma barra gira, com movimento uniforme, em tono de um eixo que passa pelo ponto O (fig, 3-17), efetuando duas rotações por segundo, Para os pontos À e B da barra, situados às distâncias R,= 20meR, = 3,0 m do eixo de rotação, calcular: a) o período de rotação de cada um. Evidentemente, cada ponto da barra executa um movimento clr- cular uniforme em torno de O (fig. 3-17), sendo o período de rotação o mesmo para todos esses pontos. Como a barra efetua 2 rotações por segundo, é claro que, para efetuar 1 volta, ela gastará 0,50 s. Assim, todos os pontos da barra estão girando 27 HR Fig. 3-16:A figura mostra os vetores v e q, de uma partícula, em movimento circular us rme, em al- guns pontos de sua tra- jetório. com um período T = 0,505. Fig.3-17: Para o exemplo da secção 3.4. HEEBISGA po (b) (e) Trajetória do barco Fig.3-18: Em qualquer das situações mostradas, a velocidade y do barco, em relação à Terra, é dada pela resultante de Y, ev. a) Qual a velocidade com que o barco desce o rio? O barco está animado, simultaneamente, por duas velocidades. Portanto, ele se movimen- tará (em relação à Terra) com uma velocidade V que é a resultante de 7, € V,. Neste caso 7; e, são vetores de mesma direção e de mesmo sentido (fg. 3-18-3). Entã =VatVo=60+4,0 ou v=10ms Vemos gue o valor da velocidade resultante é dado pela soma algébrica dos médulos de V, e Voe, assim, o barco desce o rio mais rapidamente do que se não existisse a correnteza. b) Qual a velocidade com que o barco sobe o rio? Para esta situação, os vetores V, e V, têm a mesma direção e sentidos contrários (fig. 3-18-b) eo valor da velocidade resultante será v w=60-40 ou v=20ms Evidentemente, em virtude do menor valor da velocidade resultante, o barco gastará mais tempo para subir 0 rio do que para descer. e) Se a velocidade V, for orientada perpendicularmente à margem (fig. 3-18-0), com que velocidade o barco se deslocará no rio? Neste caso, Y, € V, não possuem a mesma direção. A velocidade resultante V poderá ser obtida pela regra do paralelogramo, como mostra a fig. 3-18-c. Conseguentemente, o barco irá se deslocar ao longo da trajetória AB mostrada na figura. Como V, é perpendicular a V., O módulo da velocidade resultante v será p= Rr +vê =/602+40? donde v=7,2m/s INDEPENDÊNCIA DAS VELOCIDADES Examinando a fig. 3-18-c, notamos que as velocidades 7, (velocidade do barco) e 7, (velocidade da correnteza) são perpendiculares entre si. Isto significa que 7, não tem componente na direção de 7, e, portanto, a correnteza não terá nenhuma influência no tempo que o barco gasta para atra- vessar o rio, Conseqientemente, haja ou não correnteza, o temps; de travessia será o mesmo, pois o efeito da correnteza é unicamente de deslocar o barco rio abaixo. Vetores - Movimento curvilíneo 91 Do mesmo modo, sendo nula a componente de 7, na direção da correnteza, a velocidade do barco não terá influên- cia no seu movimento rio abaixo. Logo, as velocidades 7, e Tc são independentes. Em outras palavras: Quando um corpo está animado, ' simultaneamente, por dois movimentos perpendiculares entre si, o deslocamento na direção de um deles é determinado apenas pela velocidade naquela direç: Esta independência de dois movimentos simultâneos e perpendiculares foi observada, experimentalmente, por Gali- Fig. 3-1%: Galileu verificou que a velocidade leu. Na fig. 3-19 mostramos a experiência realizada por ele, horizontal do objeto B não tem influência em Deixando um objeto À cair verticalmente e, no mesmo instan- seu movimento segundo a vertical, te, lançando horizontalmente um objeto B, Galileu verificou que ambos caem simultaneamente, gastando o mesmo tempo para atingir o solo. O objeto 4, em queda livre, tem apenas a velocidade vertical 7,. O objeto B está animado por dois movimentos perpendiculares, possuin- do, além da velocidade 7, de queda, uma velocidade 7,» horizontal, devida ao impulso do lançamento. Como 4 e B gastam o mesmo tempo para cair, Galileu concluiu que a velocidade 7, não influi no movimento de queda do corpo B, isto é, as velocidades 7, e V, atuam simultanea- mente sobre B, independentemente uma da outra. Atualmente, podemos verificar que Galileu chegou a resultados corretos através de fotografias especiais, como a da fig. 3-20. Prof. Dra. Marise A. Cavalcanto/GOPEFPUCSP Fig. 3-20: Esta moderna fotografia mostra que as duas bolas caem simultaneamente, comprovando a desco- berta feita por Gal Sendo Y,, a velocidade da pessoa em relação ao trem e Y,, q velocidade do trem em relação ao [É solo, a velocidade v,, da pessoa em relação co solo será dada pela resultante de V,; é Yrs,isto é: Ê To = Ut Too mo om O d Exemplo 2 o e Um barco, com uma velocidace v, = 4,0 m/s, orientada perpendicularmente / à margem, atravessa um rio, cuja largura é L = 100 m, partindo do ponto A e chegando no ponto € (fig. 3-21). A velocidade da correnteza é v, = 2,0 m/s. =) Quanto tempo o barco gastará para atravessar o rio? O tempo de travessia é determinado apenas por Va pois V. é perpendicular a Va e não influi neste deslocamento (ver a fig. 3-21). Isto equivale a dizer que o barco percorre uma distância L com a velocidade Vs, gastando, na travessia, um tempo t dado por t=+. 500º 25 ; va 40 fonde ta 258 Se não existisse a correnteza, o tempo de travessia seria, evidentemente, ainda de 25s. . é b) Qual o valor da distância d entre os pontos B e C da fig, 3-21? Se não existisse a correnteza, o barco seguiria a trajetória AB. A distância d é, então, o deslocamento provocado apenas pela correnteza, pois V; não influi neste deslocamento. Como as duas velocidades atuaram simultaneamente du- rante um tempo t= 25 s, o deslocamento produzido por v, será Fig.3-21: Para o exemplo 2. d=vti=20x25 donde d-50m exelrcícios de fixação Antes de passar ao estudo da próxima secção, responda às questões seguintes, consultando o texto sempre que julgar necessário. 22. Um barco, desenvolvendo uma velocidade v, em 23. Um avião está voando com uma velocidade em relação à água (velocidade que o motor imprime ao relação ao ar v, = 200 km/h. Em um dado instante barco), vai atravessar um rio cuja correnteza tem começa a soprar um vento forte, com uma velo- uma velocidade V.. Estas velocidades estão repre- cidade v, = 80 kmyh, dirigida do Norte para o Sul. sentadas na figura deste exercício. Qual será a velocidade co avião em relação à Terra > —>>——— supondo que ele está voando: ' Ye a) Do Norte para o Sul? b) Do SUI para o Norte? | Norte % Exercício 22. a) Se não existisse correnteza (égua parada), qual seria a velocidace do barco em relação à Terra? Mostre, na figura, a tragetória que o barco seguiria nestas condições. b) Considerando a correnteza, desenhe na figura a velocidade, v, do barco em relação à Terra (velocidade resultante) e a trajetória que, neste D caso, ele segue ao atravessar o rio. Exercício 24. c . Vetores - Movimento curvilíneo o A REJEIÇÃO POPULAR ÀS TENTATIVAS DE CORREÇÕES O autor do artigo, na qualidade de físico, preocupado com as considera- ções apresentadas, tentou sensibilizar as ENC Hades do esporte, nos Estados Unidos, para que fossem tomadas medidas no sentido de atenuar aqueles erros. Com surpresa, observou um grande desinteresse pelo assunto e concluiu, ele próprio, que a atividade esportiva é, predominantemente, uma arte e as pes- soas que praticam esta arte com sucesso dificilmente estariam dispostas a aceitar mudanças em seu modo de proceder. Kirkpatrick cita, então, uma tentativa feita na Califórnia de usar dispositivos eletrônicos como auxílio ao juiz em suas mar- cações, numa partida de futebol. A experiência foi um: sucesso tecnológico mas um fracasso popular, pois a torcida recusava-se a aceitar uma marcação que ela e o juiz não conseguiam perceber. Concluindo, ele afirma que, possivelmente, existe um sentimento gencra- lizado de que grande parte do encanto do esporte está no acaso e na incerteza dos resultados das disputas. exelrcícios de fiXação — 95 EU Antes de passar ao estudo da próxima secção, responda às questões seguintes, consultando o texto sempre que julgar necessário. 26. Um carro de Fórmula 1, durante uma tomada de tempo para definir a pole-position, efetuou uma volta completa na pista e os aparelhos de medida registraram os seguintes valores: = distância percorrida = 4 846,6 m —tempo de percurso = 82,642 s Logo depois, uma emissora de TV anunciou que o piloto desenvolveu, nesse teste, uma velocidade média de 211,1246 kmyh. a) Você acha que, em termos de algarismos sig- nificativos, a emissora de TV apresentou corre- tamente o valor da velocidade? b) Escreva o valor dessa velocidade de maneira adequada. 27. Sebe-se que a velocidade do som no ar vale 340 m/s. a) A que distância do revólver se encontra o atleta, mencionado no texto, que ouviu o tiro 0,04 s após o disparo? b) Qual a máxima distância que poderia existir en- tre o atleta e o revólver para que ela fosse coerente com a precisão (0,01 s) do dispositivo de medida de tempo mencionado no texto? 28. Em um lançamento de peso, o solo do local da prova não se encontrava nivelado, como mostra a figura deste exercício. Assim, no arremesso de um atleta, o peso atingiu o solo no ponto 4. a) Mostre, na figura, a posição aproximada na qual O peso atingiria o solo se ele estivesse nivelado. b) O atleta foi prejudicado ou beneficiado nesse lançamento? €) Indique, na figura, o erro aproximado que foi cometido na determinação do alcance desse arremesso. o” Exercício 28. 29. Dois atletas arremessam pesos iguais, aplicando ambos o mesmo impulso a esses pesos. Um dos atletas encontra-se em Quito, no Equador, e o outro, no Rio de Janeiro. Qual deles será favo- recido, em seu arremesso, pelo valor local da ace: leração da gravidade? Explique. 30. Procure verificar se alguns dos fatores físicos analisados nesta secção (ou outros fatores não mencionados) estão presentes em esportes que você pratica ou que você conheça.  reVisão As questões seguintes foram formuladas para que você faça uma revisão dos pontos mais importantes abordados neste capítulo. Ao respondê-las, volte ao texto sempre que tiver dúvidas. | 1, a) O que é uma grandeza escalar? Dê exemplos. b) Que caracteristicas devem ser fomecidas para que uma gyandeza vetorial fique bem determinada? Dê exemplos de grandezas vetoriais. c) Qual é a diferença que você percebe entre as rotações d eo? 2. No texto, foram apresentados dois processos para a determinação da resultante é de dois vetores à e 6. Descreva cada um desses processos. 3. a) Explique o que você entende por componente | de um vetor V sobre um eixo OX. b) O que são componentes retangulares de um vetor? 4. 2) Sendo 6 um ânguio agudo de um triângulo re- tângulo, defina sen 8 e cos 6. b) Quais são as expressões matemáticas que nos permitem calcular as componentes retangulares de um vetor? c) Se conhecemos os valores das componentes retangulares de um vetor V, como podemos cal- cular o módulo deste vetor? 5. Vimos que a velocidade de uma partícula, num dado instante, é representada por um vetor 7. Diga qual é o módulo, a direção e o sentido deste vetor. 6. a) Qual é a direção e o sentido do vetor aceleração centripeta &.? b) Se uma partícula possui à,, como deve ser a sua trajetória? Nestas condições, qual a característica do vetor Yque, obrigatoriamente, está variando? algumas experiências simples Para você fazer Primeira experiência 1) Coloque uma pequena moeda na borda do prato de um toca-disco. Meça e anote a distância, R, da moeda ao centro do prato, € ligue o aparelho. Usando um cronô- metro (ou um relógio que marque os segundos) meça e anote O tempo que a moeda gasta para efetuar 10 voltas. Para maior segurança, é aconselhável repetir esta medida algumas vezes. Baseado em suas anotações, determine: a) O período T de rotação da moeda. b) O número de rotações que a moeda executa em 1 minuto. Compare este resultado com a indica- ção do aparelho. 7. a) Qual é a direção e o sentido do vetor aceleração tangencial à,? b) Se uma partícula possui , qual a característica do vetor Y que, obrigatoriamente, está variando? 8. a) O que é período de um corpo em movimento cir- cular uniforme? b) Um corpo está em movimento circular uniforme. Como se define a velocidade angular deste corpo? c) Expresse esta velocidade angular em função do período T. S. a) Qual é a expressão que relaciona v, ve R em um movimento circular uniforme? b) Qual é a expressão que fornece o valor de à, no movimento circular uniforme? 10. a) Se um avião possui uma velocidade v, em relação ao ar e o ar se movimenta com uma ve- locidade 7, em relação à Terra, como devemos proceder para encontrar a velocidade, v, do avião em relação à Terra? b) Quando um corpo está animado de Gois movi- mentos perpendiculares entre si, dizemos que eles são independentes um do outro. Explique o que isto significa. e) Descreva a experiência que Galileu realizou para mostrar a independência de dois movimentos perpendiculares. c) Avelocidade angular «w da moeda. d) A velocidade linear v da moeda. e) A aceleração centrípeta a, da moeda. 2) a) Se a moeda for colocada no meio do prato, de modo que o raio de sua trajetória se torne duas vezes menor, Os valores de T, q, v e a,, para esta posição, seriam maiores, menores ou iguais aos valores correspondentes à posição anterior? b) Coloque a moeda nesta posição, faça as medidas necessárias e calcule os valores de T, q, ve ,. Os valores encontrados confirmam as previsões que você fez em (a)? Segunda experiência Conforme dissemos, na fig. 3-19 a velocidace horizontal que B possui não afeia o seu movimento vertical e, por isso, Ae B atingem o solo simultaneamente (independência dos movimentos). A experiência seguinte, semelhante àquela realizada por Galileu, destina-se a verificar esta independén- cia de dois movimentos perpendiculares entre si. Afigura apresenta a montagem que deve ser feita para a realização desta experiência: uma régua, parcialmente apoiada sobre uma mesa, e duas moedas, A e E, estan- do B sobre a mesa, próxima à sua borda, encostada à régua, e A sobre a régua (fora da mesa). y Segunda experiência. 1) Fixe a régua com um dedo no ponto P, de modo que ela possa girar em tomo ceste ponto. Dê uma pancada sú- bita na extremidade livre da régua, como mostra a figu- ra. Observe as trajetórias das duas moedas e verifique se A cai verticalmente (queda livre) e se B, no mesmo instante, é arremessada horizontalmente para a direita. 2) Repita a experiência e, prestando atenção ao barulho produzido pelas duas moedas ao atingirem o solo, verifique se elas gastaram o mesmo tempo para cair. 3) Repita mais uma vez a experiência, dando uma pan- cada mais forte na régua, para que B adquira maior velocidade inicial. As moedas A e B continuam caindo simultaneamente? Você acha que ficou comprovada a independência dos dois movimentos (horizontal e ver- tical) da moeda 8? Terceira experiência Esta experiência permitirá a você analisar o movimento de um objeto lançado horizontalmente, caindo sob a ação da gravidade. Para realizá-la, proceda da seguinte maneira: 1) Tome uma superfície rígida, como uma tábua (ou até mes- mo um livro), cobrindo-a com uma folha de papel branco. Coloque a superfície, coberta com o papel, apoiada de maneira a permanecer inclinada de um certo ângulo sobre a horizontal (veja a fig. (a) desta experiência). 97 HR a) Iivros que levantam atábua vista lateral da tábua tábua Terceira experiência. 2) No alto da folha, assinale um ponto A (veja a figura b) e disponha uma pequena plataforma (ou canaleta) horizontal de modo que sua extremidade coincida com o ponto 4. Se necessário, solicite a ajuda de um colega. 3) Tome uma pequena esfera (de aço, ou vidro etc.) e passe óleo ou vaselina líquida em sua superfície. Coloque a esfera na plataforma e lance-a com uma certa velocidade horizontal, de modo que eia corra sobre o papel. A trajetória da esfera ficará marcada na folha e você poderá reforçá-la e retocá-la com a ponta de um lápis. O movimento dessa esfera é igual àquele analisado na secção 3.5 e mostrado na fig. 3-20. Neste caso, po- rém, a aceleração da queda é menor do que a da gra- vidade (em virtude da inclinação da superfície). Lem- bre-se de que esse movimento cuja trajetória foi tra- gada é uma composição de dois movimentos inde- pendentes: um movimento horizontal, com velocidade constante, e um movimento acelerado para baixo. 4) A partir do ponto A trace, na folha de papel, um eixo horizontal e outro perpendicular a ele, como na figura (c) desta experiência. No eixo horizontal, assinale pontos P,, P., P, etc., de tal modo que AP, = P,P, = Pa Bs, Como o movimento horizontal é uniforme, essas distâncias correspondem a intervalos de tempo iguais no movimento da esfera. Assinale, agora, as distâncias AQ,, 0,0, 0,0; etc., que correspondem aos deslocamentos da esfera, para baixo, em cada um daqueles intervalos de tempo iguais. Observe que essas distâncias aumentam gradualmente, mostran- do que o movimento para baixo é acelerado. 5) Observe a forma da trajetória obtida no papel e veja como ela é semelhante à da fig. 3-20. Essa curva é uma parábola, como a curva que descreve a variação com o quadrado que você já conhece de seu curso de Matemática. 8) Procure repetir a experiência, variando a velocidade inicial da bola e a inclinação da superfície.