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Apendice: Parametriza c~oes de curvas planas M ODULO 1 - AULA 13

Aula 13 { Apendice: Parametriza c~oes de curvas planas

Objetivo • Obter equa c~oes param etricas de curvas planas importantes.

Neste apendice, vamos estudar algumas curvas planas que tem sido historicamente muito importantes no desenvolvimento da Matem atica. A hist oria envolvida por tr as das descobertas dessas curvas e muito interessante, recomendamos que voce mesmo fa ca uma busca nas p aginas:

http://w-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Curves http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir para saber sobre outras curvas que, para n~ao estender demais a aula, deixaremos de considerar.

Joachim Jungius 1587-1657, Alemanha

Estudou Metaf sica na Universidade de Rostock. Em 1609, foi nomeado professor de Matem atica em Giessen, onde permaneceu at e 1614. Jungius voltou a lecionar Matem atica na Universidade de Rostock entre 1624 e 1628. Em 1629, foi nomeado professor de Ciencia Natural na Universidade de Hamburgo, permanecendo at e 1640. Jungius foi um dos primeiros a utilizar expoentes para representar as potencias e usou a Matem atica para modelar fenomenos das Ciencias Naturais. Em 1638, escreveu tamb em um belo tratado sobre L ogica: Logica Hamburgensis. Veja: http://w-history.mcs. st-andrews.ac.uk/history/ Mathematicians/Jungius. html

Figura 13.1: Caten aria.

Figura 13.2: Corrente suspensa.

A caten aria e a curva desenhada por uma corda ou um cabo preso a dois postes, ou por uma corrente quando suspensa pelas suas extremidades e sujeita apenas a for ca devida a atra c~ao gravitacional, como mostra a Figura 13.2. Galileu Galilei foi o primeiro a estudar a caten aria. No entanto, ele cometeu um engano ao pensar que essa curva fosse uma par abola. Engano desvendado, em 1669, pelo matem atico alem~ao Joachim Jungius. No entanto, a equa c~ao da curva da corrente suspensa foi obtida por Wilhelm Leibniz, Christian Huygens e Johann Bernoulli, por volta de 1690, em resposta ao desa o lan cado por Jacob Bernoulli: encontrar a curva da corrente suspensa a qual Huygens chamou de caten aria, pela primeira vez, numa carta a Leibniz. De ni c~ao 13.30 (Caten aria) e suas equa c~oes param etricas s~ao:

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Na Figura 13.1, voce pode ver como as e−t acompanham o

Observe tamb em que qualquer mudan ca de escala da caten aria, continua a ser uma caten aria. Isto e, dado um n umero real a xo, n~ao-nulo, o gr a co da fun c~ao f(t) = af(ta ) ,

continua a ser a caten aria. Na Figura 13.3, mostramos o gr a co desse tipo de fun c~oes com a = 1;2;4. Preste aten c~ao na mudan ca de escala.

Figura 13.4: Braquist ocrona.

Uma bola met alica e solta na canaleta cicloidal e outra na canaleta inclinada, partindo do mesmo ponto. A bola que rola na canaleta cicloidal atinge o ponto de interse c~ao inferior em menos tempo que a bola que rola na canaleta inclinada. Veja: galileo.imss.firenze.it/ museo/4/index.html

Johann Bernoulli 1667-1748 Basel, Su ca Estudou Medicina na Universidade de Basel. Aprendeu Matem atica e

F sica com seu irm~ao Jacob que j a lecionava em Basel.

Os trabalhos de Leibniz sobre a teoria do C alculo foram rapidamente assimilados pelos Bernoulli e utilizados nas suas pr oprias pesquisas. Johann resolveu o desa o lan cado por Jacob sobre a curva da corrente suspensa (caten aria), lan cou e resolveu o problema da braquist ocrona. w-history.mcs. st-andrews.ac.uk/history/ Mathematicians/Bernoulli_ Johann.html

De ni c~ao 13.31 Sejam C um c rculo de raio r, s uma reta e P um ponto de C. Denominamos cicl oide a curva descrita pelo ponto P quando C rola sobre a reta s, sem deslizar.

Na primeira d ecada do s eculo XVII, Galileu Galilei escreveu uma carta a Guidobaldo del Monte, onde se detalha um procedimento geom etrico-anal tico para mostrar que a cicl oide e uma curva braquist ocrona. Isto signi ca que o arco de cicl oide entre dois pontos dados e a trajet oria da descida mais r apida que um corpo deve seguir de um ponto a outro, quando sujeito apenas a a c~ao gravitacional. No entanto, a demonstra c~ao de Galileu n~ao era correta. Em junho de 1696, Johann Bernoulli lan cou o desa o do problema da braquist ocrona. Em 1697, foram dadas cinco solu c~oes, dentre as quais uma do pr oprio Johann Bernoulli, outra do seu irm~ao mais velho Jacob Bernoulli e outra de Wilhelm Gottfried Leibniz.

Figura 13.5: Desenvolvimento da cicl oide.

Para obtermos as equa c~oes param etricas da cicl oide, admitamos que:

o c rculo C inicia o movimento estando com centro no ponto (0;r) o ponto P coincide com a origem do sistema de coordenadas no in cio do movimento.

Tracemos dois c rculos C1, representando

C em sua posi c~ao inicial, e C2, representando C ap os ter rolado alguns instantes.

Veja, na Figura 13.5, a designa c~ao dos seguintes elementos:

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• sejam O1 e O2 os centros de C1 e C2, respectivamente;

P = (x;y) o ponto da cicl oide em C2;

A o ponto em que C2 toca o eixo OX;

Q = (x;0) e T = (0;y) as proje c~oes ortogonais de P sobre OX e OY , respectivamente;

M e N as proje c~oes ortogonais de P sobre O2O1 e O2A.

t a medida do angulo AO2P, tomada em radianos. Note que o segmento OA tem o mesmo comprimento que o arco de A a P, sobre o c rculo C2 que consiste dos pontos que j a zeram contato com a reta s.

Como t e a medida de \AO2P, o comprimento do arco de C2 de A a P que j a fez contato com s e rt. Logo, jOAj = rt.

Obtemos, assim, as seguintes equa c~oes param etricas da cicl oide:{ x = rt rsent

Veja como e feito o movimento na seq uencia de guras abaixo.

Observe que... • para t = 0, o ponto P est a na sua posi c~ao inicial; para t = , P dista 2r do eixo OX; para t = 2 , o c rculo d a um giro completo e o ponto P volta a tocar o eixo OX.

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Figura 13.10: Cicl oide.

A cicl oide pertence a uma classe mais ampla de curvas rolantes, denominadas troc oides.

De ni c~ao 13.32 Seja C um c rculo de centro C e raio r, e seja s uma reta. Consideremos uma semi-reta radial OB e um ponto P nessa semi-reta.

Uma troc oide e o lugar geom etrico descrito pelo ponto P, quando C rola sobre a reta s sem deslizar.

O procedimento para obter equa c~oes param etricas dessas tres curvas e an alogo ao caso da cicl oide, que analisamos anteriormente.

Acompanhe nas Figuras 13.1 e 13.12 a designa c~ao dos seguintes elementos: assumimos que o c rculo C tem centro C = (0;r), raio r e rola sobre a reta s = eixo OX; sejam C1 e C2 c rculos de centros O1 e O2 representando C no in cio do movimento e ap os transcorrido um instante t, respectivamente; designamos por P = (x;y) o ponto rolante que descreve a troc oide partindo da posi c~ao (0;r R), no instante t = 0; seja A o ponto de contato do c rculo

C2 com a reta s; sejam Q e T as proje c~oes de P sobre os eixos OX e OY ; seja M a proje c~ao de P sobre a reta y = r que cont em os centros O1 e O2, seja N a proje c~ao de P sobre a reta O2A.

Figura 13.1: Cicl oide curta. Figura 13.12: Cicl oide longa.

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