GeomAnalitica Julio tomio, Notas de estudo de Engenharia Elétrica

Baixe GeomAnalitica Julio tomio e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity! Material Básico de Estudo Vetores e Álgebra Vetorial Professor: Júlio César Tomio Paisagem fractal com “Mandelbrot” “Eu nunca ensino aos meus alunos, apenas tento dar condições nas quais eles possam aprender”. (Albert Einstein) Acadêmico(a): _________________________________________________ Turma: _____________________________ Segundo Semestre de 2010. Instituto Superior Tupy Sociedade Educacional de Santa Catarina – SOCIESC Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 2 MENSAGEM PARA O(A) ACADÊMICO(A) Com satisfação, apresento este material que tem como finalidade dar suporte ao “curso” de Geometria Analítica que se estende durante a primeira fase de seu curso superior, e, conseqüentemente, auxiliar em futuras aplicações nas disciplinas subseqüentes que necessitarão dos conhecimentos e conceitos aqui trabalhados e desenvolvidos. A concepção deste, baseada na experiência de alguns anos de docência, também objetiva otimizar o processo de estudo, principalmente no ambiente de sala de aula. Esta obra almeja mediar com excelência o processo de ensino-aprendizagem de Vetores e de Álgebra Vetorial. Para tanto, contribuições em forma de crítica, sugestões ou correções serão calorosamente recebidas. Ficarei imensamente agradecido caso você queira fazer parte do processo de aprimoramento deste material. A realização de um curso superior é um fato muito importante em sua vida pessoal e profissional. Dedique-se! Faça tudo da melhor maneira que puder, pois desta forma você estará justificando um dos maiores (e também um dos melhores) investimentos que você já fez em você mesmo. Desejo que a sua vivência no ambiente acadêmico seja a melhor possível, e que a passagem por esta nova etapa de sua vida contribua para o seu engrandecimento profissional e pessoal (e também espiritual), possibilitando uma melhora significativa na sua qualidade de vida e também na daqueles que convivem próximos de você. Muita garra, e sucesso! Professor Júlio César Tomio. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS (Comentadas) Este material foi produzido com base na bibliografia abaixo e também com contribuições minhas e de colegas professores. Normalmente, as Referências Bibliográficas aparecem nas últimas páginas de um livro. Apresento estas referências aqui, objetivando sempre lembrá-lo que a busca por outras fontes de informação é um fator de grande importância em qualquer estudo que se queira realizar.  WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Makron Books, 2000.  Neste livro você encontrará a grande maioria dos conteúdos desenvolvidos na disciplina com uma linguagem bastante objetiva e acessível e também uma grande quantidade de exercícios (esse é o nosso livro texto).  VENTURI, Jacir J. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica. 7. ed. Curitiba: Unificado, s.d.  Neste livro você encontrará a grande maioria dos conteúdos desenvolvidos na disciplina, porém com uma linguagem diferenciada do anterior. Este livro pode ser “baixado” na internet na íntegra. O endereço é: www.geometriaanalitica.com.br. Os livros abaixo, tanto quanto os anteriores, são ótimas fontes de consulta e também se encontram em nossa biblioteca.  ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra Linear com aplicações. 8 ed. Porto Alegre: Bookman, 2001.  STEINBRUCH, Alfredo. WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: Makron Books, 1987.  ZILL, Dennis G.; CULLEN, Michael R. Matemática Avançada para Engenharia 2: Álgebra linear e cálculo vetorial. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009. Não tenha medo de crescer lentamente. Apenas tenha medo de ficar parado. (Provérbio chinês) Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 5 2) Posição de uma bola de sinuca numa mesa O desenho abaixo apresenta uma visão superior de uma mesa de sinuca. Considere que seja de interesse a posição da bola branca sobre a mesa (de maneira que esta esteja sempre em contato com a superfície de jogo da mesa). Observe que o sistema trabalha com duas dimensões, ou seja, para determinarmos a posição exata da bola, necessitamos de duas coordenadas, considerando um referencial dado. Matematicamente podemos escrever a posição “P” da bola com as coordenadas “x” e “y”  P (x , y). As medidas “x” e “y” são ditas coordenadas do ponto P, ou ainda, “x” é a abscissa do ponto P e “y” é a ordenada do ponto P. 3) Posição de uma bola de basquete numa quadra (em jogo) Abaixo, temos um desenho que representa esquematicamente uma quadra de basquete. Considere que seja de interesse a posição da bola em qualquer momento do jogo. Observe que o sistema trabalha com três dimensões, ou seja, para determinarmos a posição exata da bola, necessitamos de três coordenadas, considerando um referencial dado. Matematicamente podemos escrever a posição “P” da bola com as coordenadas “x”, “y” e “z”  P (x , y , z). As medidas “x”, “y” e “z” são ditas coordenadas do ponto P, ou ainda, “x” é a abscissa do ponto P, “y” é a ordenada do ponto P e “z” é a cota do ponto P. SISTEMAS DE COORDENADAS UNIDIMENSIONAL (ℝ1 ou E1) Vamos fazer um breve estudo sobre este sistema de coordenadas, que na verdade dará origem aos outros que veremos em seguida (ℝ2 e ℝ3, sendo este último o nosso campo de maior interesse). Nas rodovias podemos observar no acostamento pequenas placas chamadas de “marcos quilométricos”. Elas determinam a sua posição na rodovia a partir de um referencial (origem), o “quilômetro zero”, que numa rodovia federal, localiza-se na divisa de um estado com o outro. Apesar da rodovia não ser uma linha reta, podemos dizer que os marcos quilométricos correspondem a um sistema de coordenadas unidimensional, pois com uma única informação quilométrica poderemos determinar a posição de um veículo com problemas mecânicos, por exemplo. Matematicamente, teremos: Referencial (origem) y x z Referencial (origem) y x   Sistema de Coordenadas Bidimensional Sistema de Coordenadas Tridimensional Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 6 dAB = | xB – xA | Eixo Real (ou eixo das abscissas) origem A B C D E F G  – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 x 2 1 uc Obs.: uc  unidade de comprimento Temos que a abscissa (ou coordenada) do ponto A é – 4. Podemos escrever então: A  4 . Daí, temos que: B        5 17 , C  2 , D       3 8 , E  4 , F  5 e G  7 .  Estudo do Ponto no ℝ1 Distância entre dois Pontos: No caso do ℝ1, torna-se simples determinarmos a distância entre dois pontos. Veremos intuitivamente através de algumas perguntas... a) Qual a distância entre os pontos F e E? Resposta: 1 uc b) Qual a distância entre E e G? Resposta: 3 uc c) Qual a distância entre A e F? Resposta: 9 uc, que podemos escrever d(A,F) = 9 uc d) Qual a distância entre B e D? Antes de responder esta pergunta, faremos uma generalização matemática. Veja: Logo: ↳ Distância entre dois pontos na reta ℝ1, ou comprimento do segmento de reta AB. Obs.: Note que dAB = dBA. Veja: dPQ = | xP – xQ | ou dQP = | xQ – xP | dPQ = | – 6 – 7 | dQP = | 7 – (– 6) | = | 7 + 6 | dPQ = | – 13 | dQP = | 13 | dPQ = 13 uc dQP = 13 uc Observe que a distância entre dois pontos quaisquer é sempre um valor absoluto, ou seja, positivo. Agora, podemos retornar a pergunta ”d”, que ficou em aberto, e respondê-la: d) Qual a distância entre B e D?   x xA xB A B dAB   x – 6 P Q 0 7                5 17  2 1    3 8 14159265,3  Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 7 Então temos: BDBD xxd  15 91 BDd 3 8 5 17 BDd 15 91 BDd 15 4051 BDd ucdBD 07,6 Observações: Segmento de reta AB: A B Semi-reta (partindo de A) r Reta “r” (elemento infinito) Reta que passa por M e N: MN Para refletir: Verdadeiramente, o que mais prazer me proporciona, não é o saber mas o estudar; não a posse mas a conquista; não o estar aqui mas o chegar além. (Carl Friedrich Gauss) SISTEMAS DE COORDENADAS BIDIMENSIONAL Sistema Cartesiano Ortogonal – O Plano ℝ2 ou E2 O Sistema Cartesiano Ortogonal, também conhecido como Plano Cartesiano é formado por dois eixos reais, perpendiculares (ortogonais) entre si, gerando quatro regiões denominadas quadrantes. O eixo “x” também é dito eixo das abscissas e o eixo “y” também é dito eixo das ordenadas. A intersecção dos eixos coordenados determina um ponto único, denominado origem  (0 , 0). Cada ponto neste plano é determinado por um par (ou dupla) ordenado(a) na forma (x , y), sendo que “x” e “y” formam as coordenadas de um ponto. Façamos então a marcação dos pontos: A(7, 5) B(–7, 5) C(–3, –5) D(6, –2) E(8, 0)  F(–5, 0) G(0, 8)  H(0, –3) O(0, 0)  origem do sistema Observações:  Todo ponto pertencente ao eixo das abscissas terá ordenada nula, ou seja, será da forma: (x , 0).  Todo ponto pertencente ao eixo das ordenadas terá abscissa nula, ou seja, será da forma: (0 , y). A B A y x 1º Q. 2º Q. 3º Q. 4º Q. origem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 M N Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 10 Para melhor exemplificação, tomemos o paralelepípedo da figura abaixo, onde temos P(2 , 4 , 3). Com base na figura ao lado, e levando em consideração que um ponto qualquer (x , y , z) está no:  eixo “x” quando y = 0 e z = 0, tem-se A(2 , 0 , 0);  eixo “y” quando x = 0 e z = 0, tem-se C(0 , 4 , 0);  eixo “z” quando x = 0 e y = 0, tem-se E(0 , 0 , 3);  plano “xy” quando z = 0, tem-se B(2 , 4 , 0);  plano “xz” quando y = 0, tem-se F(2 , 0 , 3);  plano “yz” quando x = 0, tem-se D(0 , 4 , 3). Assim, a figura à direita destaca os 3 planos do sistema ℝ3. Ao lado (esquerdo) podemos observar uma representação usual de dois pontos (e suas coordenadas) para um sistema cartesiano de uma máquina operatriz com CNC (comando numérico computadorizado). Vale observar que, neste caso, temos os eixos x, y e z em posições diferentes daquelas que farão parte de nosso estudo. Este fato não interfere no entendimento da posição dos pontos, pois mesmo assim, a marcação e identificação dos pontos são processos análogos aos que estudamos aqui. Para marcar um ponto no espaço, como por exemplo, o ponto A(3 , –2 , 4), sugerimos o seguinte procedimento: 1º) marca-se o ponto A’(3 , –2 , 0) no plano “xy”; 2º) desloca-se A’ paralelamente ao eixo “z”, 4 unidades para cima (se fosse – 4, seriam 4 unidades para baixo) para se obter então o ponto A desejado. A figura ao lado ilustra este procedimento. EXEMPLOS: 1) Considerando os pontos P(0, –3, –2) e Q(4, 3, 7), localize-os no sistema de coordenadas cartesianas ℝ3 e faça a representação do segmento PQ . Assim sendo, temos a representação ao lado: (desenho fora da escala) E D P F A B C O 4 2 3 y z x x y z P Q 4 3 7 –3 –2 • Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 11 2) Construa dois sistemas de coordenadas ℝ3 e localize os pontos A(2, 4, –3) e B(–3, 5, 4) separadamente, determinando em qual octante se encontra cada ponto. EXERCÍCIOS 1) Observando a figura ao lado, determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F e P. A( , , ) B( , , ) E( , , ) C( , , ) F( , , ) D( , , ) P( , , ) 2) Represente cada um dos pontos dados a seguir em seu respectivo sistema ℝ3 e compare suas representações com as dos seus colegas de classe, discutindo cada caso, se necessário. a) A(1, 5, 4) b) B(1, –5, 4) c) C(2, 0, –5) d) D(–2, 4, 1) e) E(2, –3, –1) f) F(–1, –4, –3) 3) No referencial da figura ao lado está representada uma pirâmide de base quadrangular regular em que B(6, 0, 0) e V(3, 0, 8). Determine: a) as coordenadas do ponto A e do ponto C. b) a altura da pirâmide. Observação: Medidas em metros. 4) Seja a pirâmide de base OABC e P o seu vértice superior. Dados O(0, 0, 0), A(2, 0, 0), B(2, 2, 0), C(0, 2, 0) e P(1, 1, 9), faça a representação geométrica da pirâmide e especifique o formato da base da pirâmide e também sua altura. Para refletir: É uma pena que mesmo a mentira tendo perna curta, a verdade muitas vezes só consiga rastejar. (Mr. Pi) C D P B A F E O 7 3 5 y z x Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 12 x y z A B C D E F G H I J 5) Na figura a seguir, dois vértices de um paralelepípedo retangular com as faces paralelas ao planos coordenados estão indicados. Determine as coordenadas dos seis vértices restantes. 6) Observando a peça a seguir, determine as coordenadas cartesianas de cada ponto indicado. 7) Observando a peça abaixo, determine as coordenadas cartesianas de cada ponto indicado. x y z A B C E F G H I D Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 15 VETORES – Noções Básicas Conceito: O “vetor” pode ser definido de várias maneiras:  É um ente matemático utilizado para representar grandezas físicas vetoriais.  É uma tripla constituída de uma direção, um sentido e um número não negativo (módulo).  É o conjunto de todos os segmentos orientados de mesma direção, de mesmo sentido e de mesmo comprimento. Etimologia da Palavra Vetor: O termo vetor pode ser oriundo do verbo latino vehere [transportar, levar]. Assim, vetor seria o particípio passado de vehere, significando transportado, levado. Os romanos chamavam de vector aquele que carregava alguma coisa. Implicava o portador de uma mensagem, por exemplo. Pois: veho [levar] + or [aquele que faz]. Daí também a palavra vehiculum (veículo). No caso específico de Matemática, podemos dizer que um vector é um transportador de três informações de uma grandeza vetorial: direção, sentido e magnitude, ou ainda, que um ponto A é transportado (pelo vetor) até um ponto B. Apesar de esses significados aparentarem um pouco abstratos para o momento, veremos a seguir que, na verdade, fazem bastante sentido. Representações e Notações: Algumas convenções são importantes para que possamos “desfrutar” ao máximo da utilização da linguagem vetorial. Vejamos algumas notações e representações usuais. Um vetor normalmente é representado por uma letra minúscula juntamente com uma “flechinha” sobre ela, mas também podemos representar um vetor pelos dois pontos que o definem. Então, no caso ao lado: ABv   Podemos considerar ainda que: BvA    ABv   Resumindo, temos: ABABv   Esquentando o Processador! 1) Tente ligar os nove pontos (quadradinhos) da figura ao lado com apenas quatro segmentos de reta unidos (consecutivos), passando em cada ponto exatamente uma vez, de modo que nenhum segmento de reta seja traçado duas vezes! 2) Qual o valor do número “x” na seqüência: { 2 , 10 , 12 , 16 , 17 , 18 , 19 , x } ? Para refletir: A vida é um eco. Se você não está gostando do que está recebendo, observe o que está emitindo. (Lair Ribeiro) A B y x extremidade do vetor  origem do vetor  v  || v   módulo do vetor (depende de escala) 0 Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 16 Detalhando, temos: Módulo (intensidade, norma ou comprimento):  Determina a magnitude da grandeza que esta sendo representada pelo vetor, ou seja, é um número real não negativo acompanhado de sua unidade. Geometricamente, o módulo é o comprimento do vetor (segundo uma escala adequada de desenho). Módulo do vetor v  : |AB||AB||v|   Direção:  É a reta suporte de atuação do vetor. A direção pode ser vertical, horizontal ou oblíqua. Quando a direção é oblíqua, normalmente está associada a um ângulo de referência. Sentido:  Para cada direção sempre teremos 2 sentidos. Por exemplo, se a direção for vertical, o sentido poderá ser para cima ou para baixo. Exemplos:        cimapara:sentido v ertical:direção N150|f|:módulo :f         baixopara:sentido horizontalacomº160:direção s/cm26|v|:módulo :v   Vetor Livre: Considere que os vetores v  , v   , v   e v   apresentados abaixo, tenham mesmo módulo, mesma direção e sentido. Assim sendo, devemos considerar que v  = v   = v   = v   . Isso faz com que um vetor seja qualificado como “livre”, pois pode ser transladado de uma posição para outra mantendo suas características de módulo, direção e sentido.  v  é o vetor posição. Os vetores v   , v   e v   são denominados imagens geométricas de v  e esse vetor v  é dito, representante natural de v   , v   e v   . O vetor que for representado com sua origem coincidente com a origem de um sistema de coordenadas é chamado vetor posição, no caso acima, o vetor v  . A B v  || v   módulo do vetor (depende de escala) f  v  160º y x 0 v  v   v   v   Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 17 Particularidades dos Vetores:  Vetores Iguais: Dois vetores u  e w  são iguais, e indica-se por wu   , se tiverem iguais todas as suas três características: módulo, direção e sentido. Caso contrário, escrevemos: wu   . Uma ilustração sobre a igualdade de vetores já foi apresentada anteriormente.  Vetores Paralelos: Dois vetores u  e w  são paralelos, e indica-se por wu  // , se os seus representantes tiverem a mesma direção. Na figura abaixo temos vwu  //// . Observe que u  e w  têm mesmo sentido e que u  e w  têm sentido contrário ao de v  . u  w  v  A direção dos vetores dados ao lado é vertical.  Vetores Ortogonais: Dois vetores u  e w  são ortogonais, e indica-se por wu   , se algum representante de u  formar ângulo reto (90º) com algum representante de w  , como na figura [a] abaixo. u  Na figura [b] ao lado, temos dois representantes dos vetores u  e w  , com origem (em comum) no ponto O, onde se forma o ângulo reto. w  w  Podemos utilizar, em alguns casos específicos, O u  perpendicular como sinônimo de ortogonal. [a] [b]  Vetor Nulo (ou Zero): Qualquer ponto do espaço pode ser um representante do vetor NULO ou vetor ZERO, e indica-se por 0  ou também por A A (a origem do vetor coincide com a extremidade, ambas, neste caso, no ponto A). Desta forma temos:        definidonão:sentido definidanão:direção 0|0|:módulo :0   Pelo fato do vetor nulo não possuir direção e sentido definidos; em algumas situações torna-se conveniente considerar o vetor nulo paralelo (ou perpendicular) a qualquer vetor.  Vetor Oposto: A cada vetor 0  v corresponde um vetor oposto v   , de mesmo módulo e direção, porém, de sentido contrário. B v  v   A Se o vetor oposto de v  é o vetor v   , então o vetor oposto de AB é o vetor AB , que pode ser escrito BA . Algebricamente temos: ABABABBABA  )()( É importante observar que: |||| vv   , porém vv   . Destacamos ainda que: 0)(   vv . Para refletir: Existem vitórias da alma e do espírito. Às vezes, mesmo quando você perde, você ganha. (Elie Wisel) Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 20 Observação: o cálculo do módulo do vetor resultante para o método do paralelogramo pode ser feito através da fórmula: cos.|f|.|f|2.|f|f||R| 21 2 2 2 1   | (sendo  o ângulo entre os vetores 1f  e 2f  ) A relação acima é muito comum no estudo da Física. Trata-se de uma adaptação da lei dos cossenos (aplicada em triângulos quaisquer). Entretanto essa fórmula apresenta grande limitação em situações tridimensionais, que é o foco de nossos estudos futuros. Veremos métodos analíticos mais eficazes para o cálculo do módulo de um vetor resultante e também da sua direção, em estudos posteriores. Método do Polígono (Linha Poligonal) Para adicionarmos dois vetores pelo método do polígono [situação I], translada-se um dos vetores (mantendo obviamente suas características de módulo, direção e sentido), colocando sua origem na extremidade do outro vetor [situação II], formando um “caminho”. O vetor resultante (vetor soma) terá sua origem comum ao “primeiro” vetor e sua extremidade comum à extremidade do “último” vetor [situação III]. Note que o vetor resultante fecha um polígono com os vetores somados. I II III 2f  2f  1f  1f  1f  21 ff  R 2f  Para somarmos mais que dois vetores (três, no caso a seguir), o processo é análogo ao descrito acima. I II III 1f  1f  1f  2f  3f  3f  3f  321 fff  R Qualquer seqüência escolhida para a soma dos vetores resultará no mesmo vetor resultante. Veja: I II III 1f  2f  2f  2f  R  3f  3f  1f  3f  1f  No caso abaixo, o vetor resultante é NULO. Observe que “organizando” os vetores na sequencia “extremidade-origem”, a linha poligonal se fecha não deixando espaço para o vetor resultante. 1f  2f  2f  3f  3f  4f  0ffff 4321  R 4f  1f  Comentário: O método do paralelogramo “adiciona” apenas dois vetores em cada operação, entretanto o método do polígono pode “adicionar” uma quantidade finita qualquer de vetores numa única operação, tornando-se assim um processo mais versátil. 2f  2f  Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 21 A Subtração de Vetores: Um Caso Particular da Adição A expressão 21 ff  R pode ser escrita como )ff 21   (R . Portanto, para subtrair 2f  de 1f  devemos ADICIONAR 1f  com 2f   , sendo este último, o vetor oposto de 2f  . Veja o exemplo abaixo: I II III R  1f  1f  1f  com 21 ff  R 2f  2f   2f   21 ff   21 ff   Agora, veja no esquema ao lado, o vetor resultante da soma e da subtração dos mesmos dois vetores. 1f  2f  NOTA: Quando subtraímos dois vetores, temos como resultado um novo vetor denominado “vetor diferença” ou mesmo “vetor resultante”; sendo este último termo o mais comum. EXERCÍCIOS – Operações com Vetores na Forma Geométrica 1) Com base na figura ao lado, determine os vetores resultantes D H C para cada caso, expressando-os com origem no ponto A. O E G a) CHOC  d) EFEH  A F B b) FGEH  e) BGEO  g) EHBC  2 1 i) HOOG  c) AFAE .2.2  f) OCOE .2.2  h) FGFE  j) AOFOAF  2) Nos cubos abaixo, represente a soma dos vetores indicados: a) b) 3) No hexágono regular ao lado, obter o vetor resultante de: a) (B – A) + (E – F) + (F – A) expressando-o com origem no ponto A b) (D – A) – (E – A) + (E – B) expressando-o com origem no ponto B c) (C – D) + (F – B) – (A – B) expressando-o com origem no ponto F d) (C – A) – (C – E) + (B – C) expressando-o com origem no ponto C A F B C E D  A B C D E F H G A B C D E F H G Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 22 C A B M N 4) Decida se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo. a) Os vetores v  3 e v  4 são paralelos e de mesmo sentido. b) Se vu  // , então |||| vu   . c) Se vu  // , 2|| u  e 6|| v  , então uv  3 ou uv  3 . d) Se |||| vu   então vu   . 5) Dois vetores têm módulo 10 e 14. Qual o módulo máximo possível do vetor soma desses vetores? E o mínimo possível? 6) Demonstre algebricamente que o segmento cujos extremos são os pontos médios de dois lados de um triângulo qualquer é paralelo ao terceiro lado e igual a sua metade. Sugestão:  Devemos demonstrar que: ABMN 2 1  RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 1a) AE 1b) AC 1c) AC 1d) AB 1e) AO 1f) AD 1g) AH 1h) AD 1i) AO 1j) AC 2a) AG 2b) AE 3a) AD 3b) BD 3c) FF 3d) CD 4a) F 4b) F 4c) V 4d) F 5) Módulo Máximo: 24 [Vetores com mesma direção e sentido] – Módulo Mínimo: 4 [Vetores com mesma direção e sentidos contrários] VETORES NO ℝ2 Considere os pontos O(0 , 0), P(4 , 3), A(5 , 5), B(9 , 8), C(– 4, –6) e D(0, –3) no Sistema Cartesiano Ortogonal. Desta forma, podemos considerar também os vetores: OPv   , ABw   e CDu   . Representando-os no plano, temos: Lembre-se que um vetor tem infinitos representantes, sendo estes de mesmo módulo, direção e sentido. Então podemos afirmar que uwv   ou que CDABOP  . Dentre estes vetores, o que melhor caracteriza-os é o vetor OPv   . O vetor v  também é chamado de vetor posição ou representante natural dos vetores AB ou CD , pois é aquele que tem sua origem coincidindo com a origem do sistema cartesiano ortogonal. C x y – 4 – 3 – 6 4 5 9 3 O 8 P A B D 5 v  w  u  Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 25 OPERAÇÕES COM VETORES NA FORMA ALGÉBRICA (ANALÍTICA) NO ℝ2 Os vetores podem ser operados em suas formas geométricas (através de suas representações em desenho, como vimos anteriormente). Porém, se estas operações forem realizadas algebricamente (analiticamente), teremos precisão absoluta dos resultados e maior quantidade de informações (módulo, direção e sentido), principalmente quando os vetores se encontram num espaço tridimensional. Inicialmente trataremos do espaço bidimensional. Vejamos:  Multiplicação de um Escalar (número real) por um Vetor: Dado um vetor ),( 11 yxv   no ℝ2 e um número n ℝ, define-se que: )( 11 n.y,n.xvn.   . Vamos exemplificar essa operação algebricamente e também graficamente. EXEMPLO: 1) Considere o vetor w  = (–2, 1) no Sistema Cartesiano Ortogonal. a) Determine o vetor v  de modo que w3v   . c) Determine o vetor u  de modo que w 2 1 u   . b) Determine o vetor t  de modo que w2t   . d) Represente os vetores w  , v  , t  e u  no ℝ2. Resolução: a) w3v   b) w2t   1)2,3.(v   1)2,2.(t   3)6,(v   2)(4,t   c) w 2 1 u   1)2,( 2 1 u          2 1 ,1u  Observação:  Note que no exemplo acima todos os vetores têm mesma direção (são colineares ou paralelos).  Quando um vetor qualquer 0v   é multiplicado por um escalar “n” (n  ℝ), tem-se um novo vetor vn  que pode ser denominado múltiplo escalar de v  . Através do exemplo anterior podemos RELEMBRAR o conceito de multiplicação de um escalar por um vetor. Então:  Quando multiplicamos um número real “n” por um vetor 0v   , temos um novo vetor “ vn  ”, sendo que:               vdecontráriosentidotemvn0nse vdesentidomesmootemvn0nse :sentido vdemesmaa:direção |v|.|n||vn|:módulo vn       Adição (e Subtração) de Vetores: Dados os vetores ),( 11 yxv   e ),( 22 yxw   no ℝ2, define-se:  ),( 2121 yyxxwv    ),()( 2121 yyxxwvwv   Vamos exemplificar essa(s) operação(ões) algebricamente e também graficamente. Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 26 EXEMPLOS: 1) Considere uma bóia B’ flutuando num lago de águas calmas (na origem) e que os vetores i40t   e 30)(0,v   representam duas forças (em N) aplicadas simultaneamente na bóia em questão. Determine o vetor R  que representa a força resultante aplicada e represente esquematicamente a situação no ℝ2 ao lado. Note que, para este caso: 30N|v|   , 40N|t|   e 50N|R|   . 2) Dados os vetores v  = (4, –1), j5iw   e 1)1,(t   , determine o vetor R  sabendo que twvR   , e faça a representação desses no ℝ2 ao lado. y x Observe que: w,v   teremos vwwv   (propriedade comutativa da adição de vetores). 3) Considerando os vetores ji3u   e 2)1,(v   , determine o vetor t  de modo que: tu2t 3 1 )vu(4   . x y B’ ↳ wprojv    w  v  B B’ Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 27 Particularidades dos Vetores no ℝ2:  Vetor Oposto: Relembramos que, a cada vetor 0v   corresponde um vetor oposto v   , de mesmo módulo e direção, porém, de sentido contrário. Analiticamente, podemos concluir que o vetor 2),(3t   é o vetor oposto de 2)3,(w   e vice-versa. Veja a representação gráfica abaixo: Então, é verdade que:  wt   ou tw   N  ONOP  ou OPON  Observe que:  |w||t|   , porém wt    0wt   Através do exposto, podemos generalizar que a SOMA de qualquer VETOR com o seu OPOSTO, resulta no vetor NULO. Para o caso acima, algebricamente, temos:  00)(0,2)23,(32)3,(2)(3,wt    Relembrando o Vetor Posição: Observando o ℝ2 abaixo, podemos escrever: OBABOA  . Então: OAOBAB  B )()( OAOBAB  OAOBAB  v  ABAB  A ABv   v   v  é o vetor posição de AB . O EXERCÍCIOS – Operações com Vetores na Forma Algébrica (Analítica) no ℝ2 1) Dados os vetores )1,3(u   e )2,1(v   , determine o vetor t  de modo que: )u3t4(2)uv2(t3   . 2) Dados os pontos A(–1, 3), B(2, 5), C(3, –1) e O(0, 0) determine os vetores resultantes de: a) ABOA b) BCOC c) CB4BA3  3) Dados os pontos A(3, –4) e B(–1, 1) e o vetor )3,2(v   , calcule os vetores determinados por: a) v2)AB(   b) v)BA(   c) )AB(2B  d) )BA(2v3   4) Dados os pontos A(–1, 2) e B(3, –1) e C(–2, 4), determine o ponto D de modo que A B 2 1 C D  . 5) Dados os vetores jiu   2 e iw  3 , determine t  de modo que:        wutwut  4 3 2 1 5)24(3 y x 3 2 0 t  P –3 –2 w  x y Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 30        2 3 ,5,0 2 3 5 kjc   Representação Geométrica: Exemplificando e localizando os “vetores posição” no ℝ3, temos: )3,3,2(332  kjia  )5,0,4(54  kib  )0,2,1(2  jid  )4,0,0(4  ke  )2,1,5(52  ikjf  Finalizando:  Um vetor posição w  qualquer, tem algumas maneiras de ser representado algebricamente. A expressão analítica usual )zy ,x,(w   é apresentada a seguir com as suas notações equivalentes: zy ,,xkz.jy .ix.z),y,(xw   . Acrescentaremos ainda, um exemplo para “finalizar” esse tema. Veja: Já sabemos que o vetor kj3i4w   pode ser escrito na forma analítica 1)3,(4,w   . Podemos verificar facilmente esta correlação, substituindo os correspondentes versores: 0)0,(1,i   , 0)1,(0,j   e 1)0,(0,k   . Assim: kj3i4w   1) 0, (0,0) 1, 3(0,0) 0, 4(1,w   1) 0, (0,0) 3, (0,0) 0, (4,w   1)3,(4,w    Uma outra notação para vetores, que é importante e conveniente em algumas situações, é a MATRICIAL . Assim, um vetor qualquer )zy ,x,(w   pode ser escrito como matriz-coluna:          z y x w  , ou ainda, como matriz-linha:  zyxw  . OPERAÇÕES COM VETORES NA FORMA ALGÉBRICA (ANALÍTICA) NO ℝ3 As operações com vetores na forma algébrica tornam-se especialmente importantes no espaço tridimensional, devido à dificuldade de uma representação geométrica inteligível para muitos casos; sem mencionar a precisão absoluta dos resultados analíticos. Novamente, todos os processos descritos a seguir são análogos aos estudados no sistema bidimensional. A diferença nos processos algébricos reside apenas no acréscimo de uma coordenada, a cota (z). Vejamos as operações: Dados os vetores )z,y,x(v 111  e )z,y,x(w 222  no ℝ3 e um número n ℝ, define-se:  Multiplicação de um Escalar (número real) por um Vetor:  )n.z,n.y,(n.xvn. 111  z y x Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 31  Adição (e Subtração) de Vetores:  )zz,yy,xx(wv 212121    )zz,yy,xx()w(vwv 212121   EXEMPLOS COMPLEMENTARES: 1) Considere o vetor PQw   sendo que P = (2, 3, 4) e Q = (–2, 3, 5). Determine o vetor t  , tal que: w4t   . Resolução I: Inicialmente, vamos calcular o vetor w  . Assim: PQw    4)3,(2,5)3,2,(PQw    1)0,4,(w   Agora podemos calcular o vetor pedido. Então: w4t    1)0,4,4.(t    4)0,(16,t   Resolução II: Sabemos que w4t   e que PQw   , então, substituindo o vetor w  , temos: PQ4.t    P)4.(Qt    4P4Qt    4)3,4.(2,5)3,2,4.(t    16)12,(8,20)12,(8,t   Assim, o vetor solicitado é: 4)0,(16,t   2) Dados os pontos A(2, –2, 1) e B(1, 3, 5) e o vetor )4,0,1(w   , determine o vetor: AB)BA(3w2   Resolução:  Inicialmente chamaremos de R o vetor solicitado. Então: R ABBAw  )(32   Organizando... R )(332 ABBAw   R ABBAw  332  R ABw 222    Substituindo o vetor w  e os pontos A e B ... R )1,2,2(2)5,3,1(2)4,0,1(2   Multiplicando os valores... R )2,4,4()10,6,2()8,0,2(  R )2,4,4()2,6,4(   Enfim, temos o vetor solicitado: R )0,10,0( 3) Encontrar o vértice oposto à B, no paralelogramo ABCD, sabendo que A(–3, –1, 0), B(4, 2, 0) e C(5, 5, 0). Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 32 4) Determine o vetor resultante de twu   , sendo que: 0)2,(3,u   , 4)2,(0,w   e 0)3,(0,t   . Resolução: Inicialmente chamaremos de R  o vetor resultante solicitado. Então: twuR   0)3,(0,4)2,(0,0)2,(3,R   Logo: 4)7,(3,R   Ao lado, temos o problema representado graficamente. EXERCÍCIOS – Vetores no ℝ3 + Operações com Vetores na Forma Algébrica (Analítica) no ℝ3 1) Determinar o vetor v  , sabendo que: (3, 7, 1) + 2 v  = (6, 10, 4) – v  . 2) Dados os pontos A(2, –2, 3) e B(1, 1, 5) e o vetor )4,3,1(v   , calcular: a) A + v3  b) (A – B) – v  c) B + 2(B – A) d) v2  – 3(B – A) 3) Dados os pontos A(3, – 4, –2) e B(–2, 1, 0), determinar o ponto N pertencente ao segmento AB, tal que A B 5 2 A N . 4) Considerando os vetores )1,0,3( u  e )2,3,1( v  e os pontos )1,4,0( A e )7,6,2( B , determine o vetor w  tal que: wBAuwvu   2 3 1 )(4 . 5) Dados os pontos A(1, –2, 3), B(2, 1, – 4) e C(–1, –3, 1), determinar o ponto D tal que 0CDAB   . Em seguida representar os vetores posição de A B e C D no ℝ3. 6) Sabendo que w2v4u3   , determinar “a”, “b” e “c”, sendo u  = (2, –1 , c), v  = (a , b –2 , 3) e w  = (4 , –1 , 0). 7) Dados os vetores )1,3,2(u   , )1,1,1(v   e )0,4,3(w   ; a) determinar o vetor x  de modo que w2x4xvu3   ; b) encontrar os números 1a , 2a e 3a tais que )5,13,2(wavaua 321   . 8) Encontrar o vértice oposto a B no paralelogramo ABCD e representar este paralelogramo no ℝ3. Considere 2 casos: a) A(–1, 0, 3), B(1, 1, 2) e C(3, –2, 5) b) A(4, 0, 1), B(5, 1, 3) e C(3, 2, 5) 9) Sendo A(2, –5, 3) e B(7, 3, –1) vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD, e M(4, –3, 3) o ponto de intersecção das diagonais, determinar os vértices C e D. RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 1) v  = (1, 1, 1) 2a) (5, 7, –9) 2b) (0, –6, 2) 2c) (–1, 7, 9) 2d) (5, –3, –14) 3) N =        5 6 ,2,1 4)        12, 2 21 ,6w  5) D = (–2, –6, 8) 6) 2 1 a  , 4 7 b  , 4c  7a)        3 4 , 3 2 , 3 11 x  7b) 1a,3a,2a 321  8a) D = (1, –3, 6) 8b) D = (2, 1, 3) 9) C = (6, –1, 3) e D = (1, –9, 7) Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 35 RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 1) São paralelos: u  , v  e t  2) a = 9, b = –15 3) D(0, 3, 1) 4) m = 5, n = –13 5) A, B e C são colineares 6) Sim, são paralelos, pois ambos estão sobre o eixo das abscissas (eixo x). Cálculo do Módulo de um Vetor Já vimos e sabemos que, geometricamente, o módulo (ou norma) de um vetor é definido pelo seu comprimento. Agora, definiremos como calcular o módulo de um vetor posição no ℝ2 ou ℝ3, a partir de suas coordenadas. Veja: Considerando um vetor posição )y,x(v   no ℝ2 abaixo: Note que: OP|v|   Por Pitágoras, temos: (hip)2 = (cat)2 + (cat)2 222 yx|v|   22 yx|v|   Conseqüentemente, para um vetor posição )z,y,x(w   no ℝ3 teremos: 222 zyx|w|   Observação:  Algumas literaturas utilizam uma outra notação para o módulo de um vetor u  que é: ||u||   Perceba que os vetores descritos a seguir são DIFERENTES, mas têm todos o mesmo módulo, que neste caso é 5. Veja: 4),(3v1   4),3(v2   4),(3v3   4),3(v4   3),(4w1   3),4(w2   3),(4w3   3),4(w4   EXEMPLOS: 1) Determine o módulo do vetor PQw   , representando o vetor posição w  no ℝ3. Dados: )105,(6,P  e )1020,(7,Q  y y x P x 0 Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 36 2) Determine o valor “m” de modo que o vetor k3j4imv   tenha módulo igual a 7. 3) Considere os vetores        2 1 , 2 1 , 2 1 u  e 0)4,(3,w   . Determine |w3u2|   . 4) Calcule a distância entre os pontos A(–1, 3) e B(4, –2) e represente graficamente a situação. y x Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 37 OBSERVAÇÃO: Para calcular o módulo de um vetor definido por dois pontos ),,( AAA zyxA e ),,( BBB zyxB no espaço (ou simplesmente calcular a distância entre dois pontos A e B quaisquer) podemos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos: 222 )()()( ABABABAB zzyyxxd  que para o caso da sua utilização no cálculo do módulo de um vetor AB , ficaria: 222 )()()(|| ABABAB zzyyxxAB  Vetor Unitário Um vetor é dito “unitário” quando seu módulo for igual a 1. Em diversas situações faremos uso desse conceito. Formalizando, temos: Se )z,y,x(w   é UNITÁRIO, então podemos escrever 1|w|   . Pela fórmula do módulo de um vetor, temos: 222 zyx|w|   Se é unitário, então: 222 zyx1  Simplificando, encontraremos: 1zyx 222  Observações:  As coordenadas de qualquer vetor unitário )z,y,x(w   fazem parte do intervalo 1z,y,x1  .  No caso de um vetor unitário, ter uma das coordenadas igual a 1 ou –1, as demais obrigatoriamente deverão ser nulas. No ℝ3, isso se resumo a somente 6 casos. Quais são esses vetores? EXEMPLOS: 1) Considere os vetores        2 1 , 2 1 , 2 1 u  e 0)4,(3,w   . Verifique se u  e/ou w  são unitários. Para refletir: Bem melhor arriscar coisas grandiosas mesmo expondo-se à derrota, do que formar fila com os pobres de espírito, os quais vivem nessa penumbra cinzenta, e não conhecem nem vitória, nem derrota. (Theodore Roosevelt) Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 40 Versor de um Vetor O versor de um vetor 0w   é o vetor UNITÁRIO que tem a mesma direção e sentido de w  e representamos por “ wvers  ”. y       wdemesmo:sentido wdemesma:direção 1|wv ers|:módulo :wv ers     0 x Para encontrarmos as coordenadas do versor de um vetor w  , basta dividir cada uma das coordenadas de w  pelo seu módulo. Assim, para determinarmos o versor w  , usaremos: |w| w wvers     É conveniente lembrar que, por exemplo, se um vetor v  de módulo 10, for multiplicado pelo escalar 1/10, isso resultará num vetor de módulo 1, pois 1/10 de 10 equivale a 1. Agora, vale a pena destacarmos os versores da base canônica do ℝ3. )0,0,1(i   , )0,1,0(j   e )1,0,0(k   Observe que: .1|k||j||i|   Ao lado temos um ℝ3 mostrando os versores da base canônica. Observações:  Um vetor unitário coincide com o seu próprio versor.  Encontramos em algumas literaturas: wu   como sendo a notação para o versor do vetor w  (vetor unitário de w  ). EXEMPLO: 1) Dado o vetor )5,4,(2u   , determine o seu versor. Em seguida, represente estes vetores no ℝ3. 1 1 1 z y x i  j  k  w  wvers  Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 41 Observação: Represente no ℝ2 o vetor v  e os vetores encontrados nas questões “4a”, “4b” e “4c”. EXERCÍCIOS – Versor de um Vetor 1) Dados os vetores 1),(1u   , 4),3(v   e 6),(8w   , calcular: a) vvers  b) wvers  c) uvers   d) |uvers|  2) Determinar o valor de “a” para que u  = (a, –2a, 2a) seja um versor. 3) Dados os pontos A(1, 2, 3), B(–6, –2, 3) e C(1, 2, 1), determinar o versor do vetor w  , tal que BC2BA3w   . 4) Dado o vetor )3,1( v  , determinar o vetor paralelo a v  que tenha: a) sentido contrário ao de v  e duas vezes o módulo de v  ; b) o mesmo sentido de v  e módulo 2; c) sentido contrário ao de v  e módulo 4. 5) Determinar o vetor de módulo 5, paralelo ao vetor v  = (1, –1, 2). 6) Dado o vetor )3,1,2( v  , determinar o vetor paralelo a v  que tenha: a) sentido contrário ao de v  e três vezes o módulo de v  ; b) o mesmo sentido de v  e módulo 4; c) sentido contrário ao de v  e módulo 5. RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 1a)        5 4 , 5 3 1b)        5 3 , 5 4 1c)          2 1 , 2 1 1d) 1 2) 3 1  3) vers w  =       9 4 , 9 4 , 9 7 4a) (–2, 6) 4b)        10 6 , 10 2 4c)        10 12 , 10 4 5) Os 2 possíveis são:        6 10 , 6 5 , 6 5  6a) (–6, 3, 9) 6b)        14 12 , 14 4 , 14 8 6c)        14 15 , 14 5 , 14 10 Esquentando o Processador! Um grande industrial, na necessidade de ir a São Paulo, chegou a seu guarda-noturno e ordenou: - Amanhã, acorde-me às 6 horas, por favor. Tenho que pegar o avião para São Paulo. - Pois não, chefe! Pontualmente às 6 horas o guarda apertou a campainha da residência do industrial e tentou demovê-lo da idéia de viajar: - Patrão – disse o guarda – estou com mau presságio: sonhei esta noite que o Sr. teria um acidente com o avião e me permita sugerir que não viaje. O industrial titubeou, mas viajou mesmo assim. Sem incidentes, chegou a São Paulo e por telefone mandou despedir o guarda. Por quê? PRODUTO ESCALAR Definição Algébrica do Produto Escalar: Considerando o espaço ℝ3 e os vetores ),,( 111 zyxu   e ),,( 222 zyxw   , chamamos de Produto Escalar de u  e w  , o número real dado por: 212121 ... zzyyxxwu   Observações:  O produto escalar também é conhecido como produto interno (ou ainda multiplicação interna) e pode ser indicado por wu   , wu    ou wu  , (lê-se: u  escalar w  ). A notação wu   para o produto escalar já está em desuso, e a utilizaremos mais adiante para representar o produto vetorial.  Observe que: uwwu   (propriedade comutativa).  Para o caso de se trabalhar somente no plano, ou seja, no ℝ2, apenas suprime-se a coordenada “z”. Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 42 Definição Geométrica do Produto Escalar: Considerando os vetores ),,( 111 zyxu   e ),,( 222 zyxw   não nulos e “” o ângulo entre eles, o Produto Escalar de u  e w  pode ser escrito por: cos.. wuwu    (com 0    180º) Prova das definições: Considerando dois vetores u  e w  quaisquer e o ângulo “” entre eles, podemos representar geometricamente (abaixo): Aplicando a Lei dos Cossenos para o ângulo , temos: Acos2.b.c.cba 222 ˆ θ|.w|.|u.||w||u||wu| cos2222   θ|.w|.|u.||w||u||w|wu|u| cos2)(2 2222   θ|.w|.|u.||w||u||w|wu|u| cos2)(2 2222   θ|.w|.|u.|wu cos2)(2   ]2[ θ|.w|.|u|wu cos   Como queríamos demonstrar! Agora, provaremos a definição algébrica. Inicialmente, vamos considerar que: ),,( 111 zyxu   e ),,( 222 zyxw   e conseqüentemente: ),,( 212121 zzyyxxvu   . Aplicando a Lei dos Cossenos para o ângulo  (veja figura acima), temos: Acos2.b.c.cba 222 ˆ θ|.w|.|u.||w||u||wu| cos2222   222 cos2 |wu||w||u|θ|.w|.|u.|        2221221221 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 )()()(cos2 zzyyxxzyxzyxθ|.w|.|u.|   ])()()( 221 2 21 2 21 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 [cos2 zzyyxxzyxzyxθ|.w|.|u.|    ].2.2.2 2221 2 1 2 221 2 1 2 221 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 [cos2 zzzzyyyyxxxxzyxzyxθ|.w|.|u.|    ].2.2.2 212121[cos2 zzyyxxθ|.w|.|u.|   212121 222cos2 zzyyxxθ|.w|.|u.|   ]2[ 212121 ...cos zzyyxxθ|.w|.|u|   Como já vimos que: θ|.w|.|u|wu cos   212121 ... zzyyxxwu   Como queríamos demonstrar! Para refletir: Existe um paralelismo fiel entre o progresso social e a atividade matemática; os países socialmente atrasados são aqueles em que a atividade matemática é nula ou quase nula. (Jacques Chapellon) A B C u  w   A B C u  w   wu   Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 45 3) Sendo || u  = 2 , || w  = 3 e 120º o ângulo entre os vetores u  e w  , calcule wu   . Resolução: Considerando os dados do problema, aplicaremos a definição geométrica do produto escalar. Então: cos.. wuwu    º120cos.3.2wu         2 1 6wu  3wu  Note que o produto escalar é negativo, pois o ângulo entre os vetores é obtuso (120º). 4) Calcule o ângulo entre os vetores v  = (2, 1, –1) e AB , sabendo que A(3, 1, –2) e B(4, 0,– 4). 5) Prove que o triângulo de vértices A(2, 3, 1), B(2, 1, –1) e C(2, 2, –2) é retângulo em B. Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 46 6) Determine um vetor ortogonal aos vetores 1v  = (1, –1, 0) e 2v  = (1, 0, 1). Tópico Especial: Considerações Importantes Notação: Alguns autores representam um vetor v  apenas por v (sem a “flechinha” e em negrito) e v (sem negrito) para o módulo desse vetor v  . A fórmula (definição geométrica) do produto escalar com essa notação ficaria assim: u.v = u.v.cos  ou ainda, como podemos observar em alguns livros: A.B = A.B.cos . Fique atento! Observe e reflita: Se um vetor posição v  é ortogonal ao:  eixo x, escrevemos Oxv   . Então esse vetor é do tipo: ),,0( zyv   .  eixo y, escrevemos Oyv   . Então esse vetor é do tipo: ),0,( zxv   .  eixo z, escrevemos Ozv   . Então esse vetor é do tipo: )0,,( yxv   . Vale relembrar que, se um vetor posição v  está sobre o:  eixo x, escrevemos Oxv //  . Então esse vetor é do tipo: )0,0,(xv   .  eixo y, escrevemos Oyv //  . Então esse vetor é do tipo: )0,,0( yv   .  eixo z, escrevemos Ozv //  . Então esse vetor é do tipo: ),0,0( zv   . Esquentando o Processador! Você tem um fósforo e entra num quarto frio e escuro, que tem um aquecedor a óleo, uma lâmpada a querosene e uma vela. Qual você acende primeiro? Abaixo, um texto interessante para você ler e refletir profundamente... “As Três Peneiras” Um rapaz procurou Sócrates e disse-lhe que precisava contar-lhe algo sobre alguém. Sócrates ergueu os olhos do livro que estava lendo e perguntou: - O que você vai me contar já passou pelas três peneiras? - Três peneiras? - indagou o rapaz. - Sim! A primeira peneira é a VERDADE. O que você quer me contar dos outros é um fato? Caso tenha ouvido falar, a coisa deve morrer aqui mesmo. Suponhamos então que seja verdade, deve então passar pela segunda peneira: a BONDADE. O que você vai contar é uma coisa boa? Ajuda a construir ou destruir o caminho, a fama do próximo? Se o que você quer contar é verdade e é coisa boa, deverá passar ainda pela terceira peneira: a NECESSIDADE. Convém contar? Resolve alguma coisa? Ajuda a comunidade? Pode melhorar o planeta? Arremata Sócrates: - Se passou pelas três peneiras, conte!! Tanto eu, como você e seu irmão, iremos nos beneficiar. Caso contrário, esqueça e enterre tudo. Será uma fofoca a menos para envenenar o ambiente e fomentar a discórdia entre irmãos. Devemos sempre ser a estação terminal de qualquer comentário infeliz. Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 47 EXERCÍCIOS – Produto Escalar 1) Mostrar que os pares de vetores dados são ortogonais: a) v  = (1, –2, 3) e w  = (4, 5, 2) b) i  e j  2) Dados os vetores )0,1,1(u  e )0,1,0(w  , calcule o valor de wu   pelas definições algébrica e geométrica. Sugestão: Para auxiliar no cálculo de wu   através da definição geométrica, faça uma representação no ℝ3 dos vetores u  e w  , e assim perceba o valor do ângulo  entre eles. 3) Seja o triângulo de vértices A(–1, –2, 4), B(– 4, –2, 0) e C(3, –2, 1). Determinar o ângulo interno aos vértices B e A. 4) Os pontos A, B, C são vértices de um triângulo eqüilátero com lado de 10cm. Calcule o produto escalar entre A B e A C. 5) Verificar se existe ângulo reto no triângulo ABC, sendo A(2, 1, 3), B(3, 3, 5) e C(0, 4, 1). 6) Calcular “n” para que seja de 30º o ângulo entre os vetores u  = (1, n, 2) e j  . 7) Dados os vetores a  = (2, 1, m), b  = (m+2, –5, 2) e c  = (2m, 8, m), determinar o valor de “m” para que o vetor ba   seja ortogonal ao vetor ac   . 8) Determinar os ângulos internos do triângulo de vértices A(2, 1, 3), B(1, 0, –1) e C(–1, 2, 1). 9) Sabendo que o ângulo entre dois vetores )1,1,2( u  e )2,1,1(  mv  é 3/ , determinar “ m ”. 10) Provar que os pontos A(5, 1, 5), B(4, 3, 2) e C(–3, –2, 1) são vértices de um triângulo retângulo. 11) Qual o valor de “m” para que os vetores k4j5ima   e k4j2i1)(mb   sejam ortogonais? 12) Determine o vetor w  , paralelo ao vetor )3,1,2( u  , de modo que 42uw  . 13) Determinar um vetor unitário ortogonal ao vetor )1,1,2( v  . 14) Os lados de um triângulo retângulo ABC (reto em Â) medem 5, 12 e 13. Calcular CBCABCBAACAB  . 15) Determinar o vetor v  , sabendo que 5|| v  , v  é ortogonal ao eixo Oz , 6wv  e que kjw  32  . 16) Determinar o vetor v  , ortogonal ao eixo Oz , que satisfaz as condições 101 vv  e 52  vv  , sendo )1,3,2(1 v  e )2,1,1(2 v  . 17) Na torre da figura ao lado, determine o ângulo formado entre os cabos AB e AC, e o ângulo agudo que o cabo AD forma com a linha vertical. 18) Determine o menor ângulo formado entre duas diagonais de um mesmo cubo. Sugestão: desenhe um cubo no ℝ3. ☺ Teste sua atenção e organização com o exercício 19! 19) Dados os vetores )12,,1(  aau  , )1,1,(  aav  e )1,1,(  aw  , determine o valor de “ a ” de maneira que wvuvu   )( . 20) Calcule o módulo dos vetores vu   e vu   , sabendo que 4|| u  , 3|| v  e que o ângulo entre u  e v  é de º60 . Esquentando o processador! Movimente apenas um palito (no esquema ao lado) para ficar correto! Para refletir: Podemos escolher o que semear, mas somos obrigados a colher aquilo que plantamos. (Provérbio chinês) Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 50 5) Determine, em graus, os ângulos que a barra OA forma com os eixos cartesianos (veja figura ao lado). 6) Os ângulos diretores de um vetor são º120 ,  e º60 . Encontre  . 7) Num vetor v  são conhecidos 3/2cos  e 3/2cos  . Determine: a) cos [  é agudo] b) vvers  8) Determine um vetor unitário ortogonal ao eixo Oz e que forme º60 com o eixo Ox . 9) Determinar o vetor t  de módulo 5 , sabendo que é ortogonal ao eixo Oy e ao vetor kiv  2 , e que forma ângulo obtuso com o vetor i  . RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 1) º62,64)7/3arccos(;º60,106)7/2arccos(;º00,31)7/6arccos(   2) º06,65,º45,42,º19,58   3) 1)1,,2(w   4) Não, pois: 1º90cosº60cosº45cos 222  5) º62,22,º34,103,º08,72   6) Existem duas possibilidades: S = {45º, 135º} 7a) 3/1cos  7b) )3/1,3/2,3/2(vvers  8) Os dois vetores possíveis são: )0,2/3,2/1()0,2/3,2/1( ou 9) O vetor procurado é: )5,0,52( t  Para refletir: O amor não garante uma boa convivência. (De uma psicoterapeuta, na Rádio CBN) Tópico Especial: PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE OUTRO Sejam os vetores w  e v  não nulos e  o ângulo entre eles, conforme a representação a seguir. O segmento orientado 'AB é chamado de vetor projeção de w  em v  (ou projeção ortogonal de w  em v  ) e indicaremos por: wprojAB v  ' O vetor projeção de w  em v  poderá ser encontrado através da relação: v vv vw wprojv                ou v v vw wprojv               2|| A dedução da relação acima fica a cargo do leitor. Nota: Existem situações específicas na engenharia, que a utilização da relação acima (projeção de um vetor sobre outro), facilita muito a resolução de diversos problemas que envolvem a geometria analítica. Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 51 Observações:  Se  é agudo, o vetor wprojv   tem mesmo sentido de v  .  Se  é obtuso, o vetor wprojv   tem sentido contrário de v  .  O vetor wprojv   pode ser maior que v  .  Em geral: vprojwproj wv     Obviamente (pela definição) o vetor wprojv   sempre tem a mesma direção de v  .  A ÚNICA “simplificação” que podemos fazer na expressão v vv vw wprojv                é v v vw wprojv               2|| . CASO PARTICULAR: Quando v  é UNITÁRIO. Se v  é unitário, então 1|| v  . Substituindo em: v v vw wprojv               2|| , temos: v vw wprojv              2)1( vvwwprojv    )( |)(||| vvwwprojv     Aplicamos “módulo” nos dois membros da expressão. |||)(||| vvwwprojv     Aplicamos uma propriedade de módulo e como 1|| v  , temos: 1|)(|||  vwwprojv   |)(||| vwwprojv     Note que |)(|' vwAB   Assim, pela última expressão, podemos enunciar: O comprimento do vetor projeção de w  em v  , sendo v  unitário, é igual ao módulo do produto escalar de w  e v  . A B’ ↳ wprojv    w  v  B B’ B v  w   wprojv   ↳ A B’ B v  w   wprojv   ↳ A B’ B v  w   wprojAB v  ' ↳ A B’ B v  w   wprojv   ↳ Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 52 Notas:  A expressão destacada anteriormente é definida com a interpretação geométrica do módulo do produto escalar.  Caso o vetor v  não seja unitário, podemos utilizar o seu versor, ou seja, o vetor vvers  , que é unitário e tem a mesma direção e sentido de v  . EXEMPLO: 1) Determine o vetor projeção de )4,3,2(v  sobre )0,1,1( u  . Resolução: Para determinar a projeção de v  sobre u  utilizaremos: u uu uv vproju                Então, inicialmente calcularemos: 1032)0).(4()1).(3()1).(2( uv  e 2011)0).(0()1).(1()1).(1( uu  Então: )0,1,1( 2 1                   u uu uv vproju       O vetor pedido é:        0, 2 1 , 2 1 vproju   Observação: Existem outras utilidades para a aplicação da projeção de um vetor sobre outro. Pesquise! Para refletir: Sobre todas as coisas há três pontos de vista: o teu, o meu e o correto. (Provérbio chinês) PRODUTO VETORIAL Anteriormente vimos que, a cada par de vetores, podemos associar um número real, chamado de produto escalar entre estes dois vetores. Através desse produto escalar, conseguimos obter várias informações sobre vetores, como por exemplo, ângulos entre dois vetores e ângulos entre um vetor e os eixos coordenados. Chegamos até a resolver alguns exercícios de geometria euclidiana fazendo uso do mesmo! Pois bem, vamos falar um pouco de um novo produto entre dois vetores: o produto vetorial. Diferentemente do produto escalar, o produto vetorial entre dois vetores u  e w  é um vetor! Veja se você entendeu: enquanto o produto escalar é um número, o produto vetorial é um vetor; e este vetor tem várias características importantes e peculiares. Vamos então à definição de produto vetorial. Definição: Considerando o espaço ℝ3 e os vetores ),,( 111 zyxu   e ),,( 222 zyxw   , chamamos de Produto Vetorial de u  e w  , o vetor wu   definido por: );;( 212121212121 xyyxzxxzyzzywu   kxyyxjzxxziyzzywu   )()()( 212121212121 As componentes do vetor acima também podem ser escritas com determinantes de ordem 2, conforme abaixo: k yx yx j zx zx i zy zy wu   22 11 22 11 22 11 E que, para simplificar, escreveremos o vetor wu   com um único determinante [simbólico] de ordem 3: 222 111 zyx zyx kji wu    Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 55 EXEMPLOS: 1) Dados os vetores kjiu   32 e  5,4,3w  determine: a) wu   b) uw   c) | wu   | d) uu   2) Considerando os vetores u  = (1, –1, – 4) e w  = (3, 2, –2), determine um vetor que seja: a) ortogonal a u  e w  (simultaneamente); c) ortogonal a u  e w  e que tenha módulo 4; b) ortogonal a u  e w  e unitário; d) ortogonal a u  e w  e que tenha cota igual a 7. a) Resolução: Um dos vetores simultaneamente ortogonais a u  e w  é o vetor wu   que chamaremos de t  . Então: 223 411   kji wut   )283(2122 jikkji   kjit  51010  ou )5,10,10( t  b) Resolução: Um dos vetores unitários é o versor de t  . Inicialmente calculamos: 15)5()10()10(|| 222 t  Calculando o versor de t  teremos: 15 )5,10,10( ||   t t tvers           15 5 , 15 10 , 15 10        3 1 , 3 2 , 3 2 tvers  c) Resolução: Para que um vetor (que chamaremos de v  ) seja ortogonal a u  e w  simultaneamente e tenha módulo 4, basta fazermos:        3 1 , 3 2 , 3 2 .4.4 tversv         3 4 , 3 8 , 3 8 v  d) Resolução: Todos os vetores simultaneamente ortogonais a u  e w  são “múltiplos escalares” de wu   e, portanto, são da forma )5,10,10.( m com Rm . Chamando o vetor procurado de p  temos: )5,10,10.(  mp  )5,10,10( mmm  Como o vetor p  deve ter cota (z) igual a 7, fazemos: 75 m 5/7 m . Reescrevendo o vetor p  encontraremos:        5 35 , 5 70 , 5 70 )5,10,10.( 5 7 )5,10,10.(mp  )7,14,14(  p  Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 56 3) Dados os pontos A(2, 1, 1), B(3, –1, 0) e C(4, 2, –2), determine: a) a área do triângulo ABC b) a altura do triângulo ABC relativa ao vértice C. 4) Seja o triângulo eqüilátero ABC de lado 10 cm. Determine a sua área utilizando os conceitos de produto vetorial. Resolução: Aplicando a fórmula do módulo de um produto vetorial, temos: senACABACAB ..  º60.10.10 senACAB  350 2 3 .100  ACAB Sabemos que a área de um triângulo pode ser calculada através do módulo do produto vetorial dos vetores que compõem o triângulo. Assim temos: 30,43325 2 350 2 ||    ACAB S ABC Então, a área do triângulo eqüilátero ABC é aproximadamente 43,30 cm2. EXERCÍCIOS – Produto Vetorial 1) Se kjiu  23  , v  = (2, 4, –1) e kiw   , determine: a) | uu   | d) )()( uvvu   g) )( wvu   j) vvu   )( b) )3()2( vv   e) wvu   )( h) )( wvu   k) wvu   )( c) )()( uwwu   f) wvu   )( i) )()( wuvu   l) )( wvu   Observação: Alguns dos casos acima podem ser resolvidos apenas com uma análise prévia. 2) Dados os pontos A(2, 1, –1), B(3, 0, 1) e C(2, –1, –3), determine o ponto D tal que ACBCAD  . 3) Obter um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos A(2, 3, 1), B(1, –1, 1) e C(4, 1, –2). 4) Dados os vetores u  = (1, 1, 0) e v  = (–1, 1, 2), determinar: a) um vetor unitário simultaneamente ortogonal a u  e v  ; b) um vetor de módulo 5 simultaneamente ortogonal a u  e v  . 10 cm 60º A B C Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 57 5) Determinar um vetor de módulo 2, ortogonal a u  = (3, 2, 2) e a v  = (0, 1, 1). 6) Com base na figura ao lado, calcular: a) ADAB b) BCBA c) DCAB d) CDAB e) ACBD f) CDBD 7) Determinar vu   sabendo que | vu   | = 12, | u  | = 13 e que v  é unitário. Dica: utilize a Relação Fundamental da Trigonometria: 1cos 22  sen . 8) Dados os vetores u  = (3, –1, 2) e v  = (–2, 2, 1), calcular: a) a área do paralelogramo determinado por u  e v  ; b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor v  . 9) Calcular a área do paralelogramo definido pelos pontos A(4, 1, 2), B(5, 0, 1), C(–1, 2, –2) e D(–2, 3, –1). 10) Dois vértices consecutivos de um paralelogramo são os pontos A(2, – 4, 0) e B(1, –3, –1) e o ponto médio das diagonais é M(3, 2, –2). Calcule a área do referido paralelogramo. 11) Sabendo que | u  | = 6, | v  | = 4 e 30º o ângulo entre u  e v  , calcular: a) a área do triângulo determinado por u  e v  ; b) a área do paralelogramo determinado por u  e (– v  ). 12) Calcular a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC. Considere: A(4, 2, 1), B(1, 0, 1) e C(1, 2, 0). 13) Encontre um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos P, Q e R, e calcule a área do triângulo PQR. Considere: P(2, 3, 0), Q(0, 2, 1) e R(2, 0, 2). 14) Calcular o valor de “m” para que a área do paralelogramo determinado por u  = (m, –3, 1) e v  = (1, –2, 2) seja 26 . 15) Calcular “z”, sabendo-se que A(2, 0, 0), B(0, 2, 0) e C(0, 0, z) são vértices de um triângulo de área 6. 16) Dados A(2, 1, –1) e B(0, 2, 1), determine o ponto C do eixo Oy, de modo que a área do triângulo ABC seja 1,5 ua. 17) Calcular a distância do ponto P(4, 3, 3) à reta que passa pelos pontos A(1, 2, –1) e B(3, 1, 1). RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 1a) 0 1b) 0  1c) 0  1d) 0  1e) (–5, 0, –5) 1f) (–1, –23, –1) 1g) (–6, –20, 1) 1h) (8, –2, 13) 1i) (8, –2, 13) 1j) 0 1k) 5 1l) 5 2) D(– 4, –1, 1) 3) Um deles é: ACAB  = (12, –3, 10) 4a) Os dois vetores possíveis são:        3 1 , 3 1 , 3 1  4b) Os dois vetores possíveis são:        3 5 , 3 5 , 3 5  5) Os dois possíveis são:  2,2,0  e  2,2,0  6a) 32 6b) 32 6c) 0 6d) 0 6e) 34 6f) 32 7) 5 ou –5 8a) 103 ua 8b) 10 uc 9) 122 ua 10) 742 ua 11a) 6 ua 11b) 12 ua 12) 2 7 ua e 5 7 uc 13) t.(1, 4, 6) com t  ℝ e S = 2 53 ua 14) 0 ou 2 15) 4 ou – 4 16) C(0, 1, 0) ou C(0, 5/2, 0) 17) 3 65 uc Para refletir: Todos os homens morrem, mas nem todos os homens vivem. (Coração Valente) 2 2 2 2 A B C D 30º  Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 60 Formulação Vetorial do Momento M de uma Força F  em Relação a um Eixo Específico [ a ] O momento aM é calculado através do produto misto dos vetores au  , r  e F  , sendo que au  é o versor que define a direção do eixo específico 'aa . Assim: FFF rrr uuu aaa zyx zyx zyx FruFruM aaa  ),,()(  Nota: Essa aplicação do produto misto ficará apenas como informativa, pois não faz parte do objetivo de nosso estudo. Tais conceitos serão estudados e aprofundados posteriormente, noutra disciplina. Interessou? Pesquise e procure saber mais! Para refletir: É costume de um tolo, quando erra, queixar-se dos outros. (Sócrates) EXEMPLOS: 1) Sejam A(1, 2, –1), B(5, 0, 1), C(2, –1, 1) e D(6, 1, –3) vértices de um tetraedro. Pede-se: a) o seu volume; b) a sua altura relativa ao vértice D. Esquentando o Processador! Quais os valores dos números “x” e “y” na seqüência: { 1 , 1 , 2 , 6 , 24 , x , y } ? Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 61 2) Verifique se os pontos A(1, 2, 4), B(–1, 0, –2), C(0, 2, 2) e D(–2, 1, –3) estão no mesmo plano. Resolução: Os quatro pontos dados A , B , C e D serão coplanares (estarão no mesmo plano) se os vetores AB , AC e AD também forem coplanares (veja o esquema abaixo). Então devemos ter 0),,( ADACAB . Inicialmente devemos escrever os vetores: AB = )6,2,2()4,2,1()2,0,1(  AB AC = )2,0,1()4,2,1()2,2,0(  AC AD = )7,1,3()4,2,1()3,1,2(  AD Calculando o produto misto entre os vetores, temos: 01818)1440(6120 713 201 622 ),,(     ADACAB Como 0),,( ADACAB , os vetores em questão são coplanares. Logo, os pontos dados A , B , C e D são coplanares. EXERCÍCIOS – Produto Misto 1) Dados os vetores )1,1,3( u  , )2,2,1(v  e )3,0,2( w  , determine: a) ),,( wvu  b) ),,( vuw  2) Sabendo que 2)(  wvu  , calcule: a) )( vwu   b) )3()( vwu   3) Os vetores k3j2i   , kji2   e k4ji3   são coplanares? Justifique sua resposta. 4) Calcule o volume do paralelepípedo construído sobre os versores i  , j  e k  .  A D C B Esquema Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 62 5) Determine os valores de k para que os vetores )1,,2( ku   , ),2,1( kv   e )3,0,3( w  sejam coplanares. 6) Para que valor de m os pontos )2,1,(mA , )3,2,2( B , )1,1,5( C e )2,2,3( D são coplanares? 7) Um paralelepípedo é determinado pelos vetores )4,1,3( u  , )1,0,2(v  e )5,1,2(w  . Calcule o seu volume e a altura relativa à base definida pelos vetores u  e v  . 8) Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores )2,1,0(1 v  , )1,2,4(2 v  e )2,,3(3  mv  seja igual a 33 unidades de volume. 9) Determine o valor de n em função de m para que se tenha 9)]1,1,0()2,1,3[()2,,( nm . 10) Represente graficamente o tetraedro ABCD e calcule o seu volume, sendo )0,1,1(A , )1,4,6(B , )0,5,2(C e )3,3,0(D . 11) Dados os pontos )1,1,2(A , )1,0,1(B e )2,2,3( C , determinar o ponto D do eixo Oz para que o volume do paralelepípedo determinado por AB , AC e AD seja 25 unidades de volume. 12) Calcule a distância do ponto )2,5,2(D ao plano determinado pelos pontos )0,0,3(A , )0,3,0( B e )3,0,0(C . RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 1a) –29 1b) –29 2a) –2 2b) –6 3) Sim, pois o produto misto é zero. 4) 01 u.v. 5) {2, –3} 6) m = 4 7) V = 17 u.v. e h = 17/ 30 u.c. 8) {4, –17/4} 9) n = m + 1 10) 19/2 u.v. 11) D(0, 0, –10) ou D(0, 0, 15) 12) 4/ 3 u.c. Para refletir: A verdadeira viagem de descoberta não está em procurar novas paisagens, mas em adquirir novos olhos. (Marcel Proust, Em busca do tempo perdido) Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 65 c) Chamaremos de Bt o parâmetro associado ao ponto )2,10,5( B . Para determiná-lo, faremos a substituição do ponto B na equação da reta “ r ”. Então: )2,3,2()4,1,1(),,(   tzyx )2,3,2()4,1,1()2,10,5(   Bt )2,3,2()4,1,1()2,10,5(   Bt )2,3,2()6,9,6(  Bt Assim temos que: 3Bt d) Se o ponto )14,12,11(C pertence à reta “ r ”, então existe um parâmetro Ct correspondente a esse ponto C . Assim, substituindo o ponto C na equação da reta “ r ” teremos: )2,3,2()4,1,1(),,(   tzyx )2,3,2()4,1,1()14,12,11(   Ct )2,3,2()4,1,1()14,12,11(   Ct )2,3,2()10,13,10(  Ct Note que NÃO é possível estabelecer um valor para Ct de modo que )2,3,2()10,13,10(  Ct . Isso significa que o ponto C dado NÃO pertence à reta “ r ” em questão. e) A equação encontrada [no item (a)] para a reta “ r ” dada é: )2,3,2()4,1,1(),,(   tzyx . Devemos escrever mais duas equações distintas que também representem a reta dada. Vejamos.  Sabemos [através do item (b)] que o ponto )6,2,3(1 P é um ponto pertencente à reta “ r ”. Então, podemos escrever uma outra equação vetorial de “ r ” que é: )2,3,2()6,2,3(),,(  tzyx Nota: Vale lembrar que a equação de uma reta pode ser escrita com qualquer ponto dessa mesma reta.  Sabemos que )2,3,2(v  é um vetor diretor da reta “ r ”. Como o vetor v  tem a mesma direção de )4,6,4(2 v  , podemos também utilizá-lo como vetor diretor da reta em questão. Assim, podemos escrever mais uma equação vetorial de “ r ” que é: )4,6,4()4,1,1(),,(   tzyx Nota: Vale lembrar que a equação de uma reta pode ser escrita com qualquer vetor que seja múltiplo do vetor diretor. Para descontrair... Coleção: As Melhores Tiras – Cebolinha / Autor: Maurício de Souza / Editora: Globo Para refletir: Muitas coisas você pode, mas não deve. (Mr. Pi) Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 66 APÊNDICE Roteiro e Observações para Resolução de Problemas em Matemática (Geometria Analítica) 1 – Leia com muita atenção o enunciado (texto) do problema e veja que parte da Matemática (ou da Geometria) ele envolve. 2 – Se possível, faça uma representação gráfica (figura) para ilustrar o enunciado. 3 – Anote os dados, verificando se as grandezas envolvidas pertencem ao mesmo Sistema de Unidades, transformando-as se necessário. 4 – Verifique o que precisa ser calculado ou resolvido (o que o problema pede como solução). 5 – Escreva as relações matemáticas (fórmulas) referentes ao tema envolvido. 6 – Relacione os dados e as incógnitas que aparecem nas fórmulas escritas, empregando aquelas que são necessárias para se chegar à solução do problema. 7 – Dê qualidade a sua resolução, procurando resolver o problema com muita atenção e organização. 8 – Escreva a solução encontrada com a respectiva unidade, caso exista. 9 – Verifique se a solução condiz com o que foi perguntado no problema e se o resultado é coerente com situação em questão. Informações Gerais sobre Triângulos # Ângulos de um triângulo:  Ângulo Reto: ângulo de 90º  Ângulo Agudo: ângulo menor que 90º (e maior que 0º)  0 <  < 90º  Ângulo Obtuso: ângulo maior que 90º (e menor que 180º)  90º <  < 180º Observação: A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. # Classificação dos triângulos quanto ao tamanho dos lados Triângulo Eqüilátero Os três lados têm medidas iguais (e três ângulos iguais de 60º). d(A,B) = d(B,C) = d(C,A) Triângulo Isósceles Dois lados têm a mesma medida (e dois ângulos iguais ou congruentes). d(A,B) = d(A,C)  d(B,C) Triângulo Escaleno Todos os três lados têm medidas diferentes (e três ângulos diferentes). d(A,B)  d(B,C)  d(C,A) # Classificação dos triângulos quanto às medidas dos ângulos Triângulo Acutângulo Todos os ângulos internos são agudos, isto é, as medidas dos ângulos são menores do que 90º. Triângulo Obtusângulo Um ângulo interno é obtuso (Â), isto é, possui um ângulo com medida maior do que 90o. Triângulo Retângulo Possui um ângulo interno reto (Â), isto é, com 90o. Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 67 # Segmentos Notáveis: Mediana de um triângulo é um segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. Bissetriz de um triângulo é um segmento que une um vértice ao lado oposto, dividindo o ângulo desse vértice em dois ângulos de mesma medida. Altura de um triângulo é um segmento que une um vértice ao lado oposto (ou ao seu prolongamento), formando com o lado oposto um ângulo reto (90º). Mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular a esse segmento passando pelo seu ponto médio. A Mediana, a bissetriz e a altura são conhecidas como “cevianas”, em homenagem a Tommaso Ceva, matemático italiano (1648–1736). # Pontos Notáveis: Baricentro: é o ponto (G) de encontro das três medianas de um triângulo. Incentro: é o ponto (I) de encontro das três bissetrizes de um triângulo. Ortocentro: é o ponto (O) de encontro das três alturas de um triângulo. Circuncentro: é o ponto (C) de encontro das três mediatrizes dos lados de um triângulo, e é o centro da circunferência circunscrita em um triângulo. # Lados de um Triângulo Retângulo: Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos. Termo Origem da palavra Cateto Cathetós: (perpendicular) Hipotenusa Hypoteinusa: Hypó (por baixo) + teino (eu estendo) Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotam-se as seguintes notações: Letra Lado Triângulo Vértice / Ângulo Medida a Hipotenusa A  Ângulo reto A = 90° b Cateto B  Ângulo agudo B < 90° c Cateto C  Ângulo agudo C < 90° Observação: Dado um triângulo qualquer, podemos identificá-lo, quanto aos ângulos, sem mesmo conhecê-los. Para isto, devemos conhecer as medidas dos seus lados e então aplicarmos o teorema de Pitágoras. Assim: Se a2 = b2 + c2  teremos um triângulo retângulo ( = 90º) Se a2 < b2 + c2  teremos um triângulo acutângulo ( < 90º) Se a2 > b2 + c2  teremos um triângulo obtusângulo ( > 90º) Importante: Vale lembrar que “a” é a medida da hipotenusa e sempre será o maior lado de um triângulo retângulo. Porém, para os dois últimos casos (Acutângulo e Obtusângulo) esta nomenclatura não é válida, todavia o valor de “a” está associado ao maior lado destes triângulos. # Relações Trigonométricas para um Triângulo Qualquer: Lei dos Cossenos: Acos2.b.c.cba 222 ˆ Lei dos Senos: 2R Csen c Bsen b Asen a  ˆˆˆ Cálculo de Área: 2 Ca.b.sen S ˆ     R a b c A B C