Atratores Estranhos de Lorenz

Atratores Estranhos de Lorenz

Atrator es Estranhos de Lor enz Marcelo Viana

IMP A- Rio de Janeiro

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Equações de Lor enz

(1) E. N. Lorenz, Jour nal of Atmospher ic Sciences , 1963.

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Atrator de Lor enz Lorenz Attractor

Range = [ -25, 25 ];Range = [ -5, 50 ]

Title: Lorenz System Date: Fri Jun 18 12:24:0 1999 Initial Conditions: ( x, y, z, time )=( 0.1, 0.1, 0.1, 0 ) Parameters: ( sigma, rho, beta )=( 10, 28, 2.6666667 ) Num Pts = 10001; Time Step = 0.01

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Pr evisão do tempo

Lorenz esta va questionando afundamentação teór ica dos métodos de pre visão do tempo da época, baseados em reg ressão linear .

Na sua opinão ofenômeno do tempo é demasiado não linear par a que tais métodos possam dar resultados consistentes .

Par atestar a sua tese , comparou numer icamente div ersos métodos aplicados a cer tos modelos simplificados .

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Pr evisão do tempo

Acomple xidade do modelo er a um aspecto crítico dos exper imentos , porque os computadores da época er am lentos:

Lorenz dispunha de um Ro yal McBee LGP-30 com 16k de memór ia inter na, capaz de realizar 60 multiplicações por segundo . Par a um sistema de doz e equações dif erenciais , cada passo da integ ração numér ica toma va 1 segundo .

Após div ersas tentativ as , Lorenz acabou adotand um modelo com 3 equações introduzido por B. Saltzmann, que veio a ser chamado sistema de Lorenz.

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Con vecção Esse modelo é uma simplificação do modelo de Ra yleigh do fenômeno de con vecção tér mica:

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Con vecção Esse modelo é uma simplificação do modelo de Ra yleigh do fenômeno de con vecção tér mica: aqui e são coordenadas espaciais éotempo é afunção de corrente éafunção def eito de temper atur a.

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Con vecção

Escre vendo estas funções e como sér ies de Four ier nas coordenadas espaciais , o modelo de Ra yleigh se tr ansf or ma um sistema infinito de equações dif erenciais ordinár ias nas variáv eis

Conser vando apenas as variáv eis mais representativ as e desprezando as demais , obtemos um sistema finito de equações dif erenciais ordinár ias . Saltzmann argumentou que podemos conser var apenas 3variáv eis .

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Sensiti vidade

Par a aceler ar os cálculos , Lorenz impr imia os resultados com apenas 3 dígitos decimais , embor a os calculos fossem realizados com 6 dígitos . Em algum momento reintroduziu um resultado como no vo dado inicial:

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Sensiti vidade

Par a aceler ar os cálculos , Lorenz impr imia os resultados com apenas 3 dígitos decimais , embor a os calculos fossem realizados com 6 dígitos . Em algum momento reintroduziu um resultado como no vo dado inicial:

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Sensiti vidade

Par a sua sur presa, o no vo cálculo div ergia do anter ior : as pre visões par a 4 dias mais tarde er am totalmente distintas .

Inicialmente , Lorenz acreditou que isso se de via afalha mecânica...

As consequências desta descober ta de que o modelo é sensitiv o aos dados iniciais for am profundas .

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Sensiti vidade

Aideia de sensitividade não er a no va. Já J. C. Maxw ell ha via obser vado no século 19 que “as mesmas causas produz em os mesmos ef eitos” não significa que “causas próximas produz em ef eitos próximos” .

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Sensiti vidade

Aideia de sensitividade não er a no va. Já J. C. Maxw ell ha via obser vado no século 19 que “as mesmas causas produz em os mesmos ef eitos” não significa que “causas próximas produz em ef eitos próximos” .

E as seguintes pala vr as de Poincaré, no fim do século 19, são estr anhamente proféticas:

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Sensiti vidade

Wh y ha ve meteorologists such difficulty in predicting the weather with an ycer tainty ? Wh yis it that sho wers and even stor ms seem to come bychance , so that man ypeople think itis quite natur alto pr ayfor them, though the y would consider it ridiculous to ask for an eclipse bypr ayer ?

atenth of a deg ree more or less at an y giv en point, and

the cyclone will burst here and not there , and extend its ravages over distr icts that it would otherwise ha ve spared. If the yhad been a ware of this tenth of a deg ree , the ycould ha ve kno wn it bef orehand, but the obser vations were neither sufficiently comprehensiv e nor sufficiently precise , and that is the reason wh yit all seems due to the inter vention of chance .

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Atrator es estranhos

Alguns anos depois (1971), D. Ruelle e F. Tak ens esta vam questionando ainter pretação matemática do fenômeno de turb ulência predominante na época:

E. Hopf e, poster ior mente , L. Landau e E. Lifshitz ha viam suger ido que turb ulência corresponde a existência de toros in variantes de grande dimensão no espaço de configur ações do fluido .

Ruelle e Tak ens demonstr ar am que esse modelo não tem sustentação matemática. Em troca, propuser am que turb ulência de ve corresponder a existência no espaço de configur ações de algum "atr ator estr anho" .

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Atrator es estranhos

Um atr ator é uma região do espaço de configur ações que fica in variante quando otempo passa e que atr ai muitas (ou até todas as) configur ações próximas .

Ruelle e Tak ens não definir am "estr anho", nem conheciam bons exemplos . De fato , o sistema de Lorenz er a um exemplo espetacular dessa noção .

E atr ator estr anho acabou significando um atr ator tal que as tr ajetór ias que con vergem par a ele dependem sensitiv amente do ponto inicial.

Mas otr abalho de Lorenz ainda er a mal conhecido , e Ruelle e Tak ens só tinham como exemplos os atr atores hiperbólicos de Smale .

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Atrator es hiperbólicos

Um atr ator é hiperbólico se o compor tamento do fluxo per to de qualquer das suas órbitas é de tipo sela:

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Modelos geométricos de Lor enz

Nos décadas seguintes houv eintensa atividade par atentar entender compreender o compor tamento das equações de Lorenz e, em par ticular , tentar pro var que de fato essas equações realmente exibem um atr ator estr anho .

Uma estr atégia bem sucedida foi constr uir modelos par a o compor tamento que as equações parecem exibir . Estes modelos geométr icos de Lorenz, for am de vidos a

Afr aimo vich, Byk ov, Shilnik ov (URSS) Guc kenheimer , Williams (USA) em meados dos anos 70.

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Modelos geométricos de Lor enz

Os modelos geométr icos são fluxos em 3 dimensões , tais que existe um ponto estacionár io .

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Modelos geométricos de Lor enz

Os modelos geométr icos são fluxos em 3 dimensões , tais que existe uma seção tr ansv ersal ao fluxo .

PSfr ag replacements

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Modelos geométricos de Lor enz

Os modelos geométr icos são fluxos em 3 dimensões , tais que existe uma folheação in variante pela aplicação de retor no àseção tr ansv ersal

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Modelos geométricos de Lor enz PSfr ag replacements

Os modelos geométr icos são fluxos em 3 dimensões , tais que a aplicação induzida no espaço das folhas é expansor a:

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Modelos geométricos de Lor enz

Guc kenheimer , Williams e Afr aimo vich, Byk ov, Shilnik ov pro var am que tais fluxos existem e exibem atr atores estr anhos .

Um dos aspectos mais sur preendentes desta constr ução é que ela é rob usta: se modificar mos ligeir amente o fluxo , contin ua existindo um atr ator .

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Rob ustez

Isto é ainda mais sur preendente porque o atr ator contém um ponto estacionár io , acum ulada por tr ajetór ias não estacionár ias .

Parecia que esse fenômeno de veria pode ser destr uído por modificacões do fluxo . Acredita va-se que os atr atores rob ustos ter iam que ser hiperbólicos .

Este fenômeno de Lorenz mostrou que o prob lema de compreender o que faz um sistema dinâmico ser rob usto é especialmente sutil par a sistemas com tempo contín uo (fluxos).

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Rob ustez

Isto é ainda mais sur preendente porque o atr ator contém um ponto estacionár io , acum ulada por tr ajetór ias não estacionár ias .

Parecia que esse fenômeno de veria pode ser destr uído por modificacões do fluxo . Acredita va-se que os atr atores rob ustos ter iam que ser hiperbólicos .

Este fenômeno de Lorenz mostrou que o prob lema de compreender o que faz um sistema dinâmico ser rob usto é especialmente sutil par a sistemas com tempo contín uo (fluxos).

Atr atores Estr anhos de Lorenz – p.23/26

Rob ustez

Mas em meados dos anos 90 houv e avanços notáv eis . Um dos mais espetaculares foi o

Teorema [C. Mor ales , M. J. Pacifico , E. Pujals (UFRJ)]:

Qualquer atr ator rob usto de um fluxo em 3 dimens oes ´ e hiperb ´ olico ou de tipo Lorenz .

Osegundo caso significa que tem todas as propr iedades que descre vem os modelos geométr icos de Lorenz.

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Rob ustez

Mas em meados dos anos 90 houv e avanços notáv eis . Um dos mais espetaculares foi o

Teorema [C. Mor ales , M. J. Pacifico , E. Pujals (UFRJ)]:

Qualquer atr ator rob usto de um fluxo em 3 dimens oes ´ e hiperb ´ olico ou de tipo Lorenz .

Osegundo caso significa que tem todas as propr iedades que descre vem os modelos geométr icos de Lorenz.

Pela mesma época foi obtido um resultado correspondente sobre atr atores rob ustos de tr ansf or mações (tempo discreto), por C. Bonatti (França), L. J. Díaz (PUC-Rio), E. Pujals (UFRJ), Raul Ures (Ur ugua y).

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Existencia do atrator de Lor enz

Contin ua va em aber to saber se as equações originais de

Lorenz realmente têm um atr ator estr anho . Isso foi resolvido em 1998 por W. Tuc ker (Suécia), que pro vou

Teorema [W . Tuc ker]:

As equac ˜ oes de Lorenz admitem um atr ator estr anho par a os valores dos par ˆ ametros originalmente consider ados por Lorenz.

A demonstr ação faz uso do computador (integ racao rigorosa) par a pro var a existencia do atr ator estr anho:

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Existencia do atrator de Lor enz

. PSfr ag replacements

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