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Sergio Antonio de Oliveira Neto

Relatório de Análise de Condução de Calor 2D em Regime Permanente - Solução Numérica e Analítica

São José dos Campos 19 de novembro de 2012

O objetivo deste relatório é demonstrar um estudo realizado para comparar os métodos de solução, analítica e numérica, de um problema de condução de calor 2D em regime permanente.

Considere a placa quadrada de lado a = 0,1m (k = 50Wm−1K−1), apresentada na figura abaixo, que possui uma face isolada e 3 faces com temperaturas prescritas. Assumindo condução bidimensional em regime permanente:

(a) Escreva a equação de condução de calor e as condições de contorno na variável T(x,y);

(b) Identifique as direções homogênea e não-homogênea do problema utilizando a mudança de variável θ(x,y) = T(x,y)−300;

(c) Obtenha o autovalor (λ) da direção homogênea, aplicando o método de separação de variáveis. ;

(d) Determine a expressão para a distribuição de temperatura, T(x,y) na placa;

(e) Obtenha o valor da temperatura no centro da placa via solução analítica e compare com a solução numérica utilizando o programa FlexPDE.

Figura 1: Problema de Condução de Calor 2D

Antes de analisarmos nosso problema, vamos relembrar alguns conceitos importantes para essa primeira abordagem. Os problemas de condução de calor, em regime permanente, bidimensional podem ser resolvidos analiticamente pelo método de separação de variáveis, vamos entender quais condições o método de separação de variáveis é aplicável.

Considerando nossa placa, não havendo gradiente de temperatura na direção ’z’ (ou ela é grande infinitamente na direção ’z’ ou ambas superfícies perpendiculares à direção ’z’ estão perfeitamente isoladas), então sob condições de regime permanente o campo de temperatura T(x,y) na placa deve satisfazer as equações de Laplace em duas dimensões:

As condições de contorno do nosso problema podem ser escritas como:

A utilização da técnica da separação de variáveis implica a suposição de que a solução pretendida para a equação diferencial (1) pode ser expressa como o produto de duas funções, X e Y, uma dependente somente de ’x’ e a outra de ’y’. Ou seja, consideremos a existência de uma solução que tem a forma: T(x,y) = X(x).Y(y) (6)

Substituindo na equação 1 e dividindo por XY, obtemos:

Ficando evidente que a equação diferencial é, de fato, separável. Isto é, o lado esquedo da equação depende somente de ’x’, enquanto que o lado direito da equação depende exclusivamente de ’y’. Desta forma, a igualdade na equação (7) se aplica genericamente (para quaisquer ’x’ e ’y’) somente se ambos os termos forem iguais a um mesmo valor constante. Identificando essa constante de separação, até o momento desconhecida, por λ2, temos:

A equação diferencial parcial original fica reduzida a duas equações diferenciais ordinárias. Note que a definição de λ2 como uma constante positiva não é arbitrária. Pode-se mostrar que com a escolha de um valor negativo ou com λ2 = 0 seria impossível obter uma solução capaz de satisfazer as condições de contorno especificadas. As soluções gerais para as equações (8) e (9) são, respectivamente:

E, neste caso, a forma geral da solução em duas dimensões é dada por:

Aqui encontramos um obstáculo para chegarmos à solução de nosso problema, podemos perceber que o método de separação de variáveis é aplicável à problemas lineares bidimensionais em regime permanente consistindo de uma equação diferencial homogênea sejeita a três condições de contorno homogêneas e uma não homogênea. Muitos problemas bidimensionais em regime permanente não satisfazem esse requisito. A não homogeneidade pode resultar, por exemplo, mais do que uma condição de contorno não homogênea e/ou equações diferenciais não homogêneas. Neste caso, o problema pode ser dividido em um número de problemas simples tais que, cada problema simples satisfaz as condição necessárias para a aplicação do método de separação de variáveis. Então a solução do problema original é obtida pela superposição de soluções dos problemas simples e deslocando a temperatura em θ, θ(x,y) = T(x,y)−Tθ, assim forçando a condição de homogeneidade.

Nosso problema é um sistema linear com uma equação diferencial homogênea e duas condições de contorno não homogêneas. Desde de que seja linear, pelo princípio da superposição, a solução desse problema pode ser obtido pela soma das duas soluções para θ(x,y):

Vamos analisar, caso a caso, o nosso problema com o deslocamento de temperatura θ1(x,y):

Figura 2: Caso 1

Solução do Caso 1:

Substituindo na equação de Laplace:

Primeira Condição de Contorno:

Quarta Condição de Contorno:

λa = npi →λn = npi a (tal que n é um inteiro)

Do resultado acima obtido conclui-se que infinitos valores satisfazem λ desde que estes sejam múltiplos inteiros de pi a . Uma consequência direta desse resultado é que a equação (8) de au- tovalor possui infinitos autovalores λ2n como solução e um número equivalente de autofunções. Devido a linearidade da equação diferencial de Laplace, uma combinação linear de soluções desta equação também é uma solução.

Logo, aplicando a segunda condição de contorno: θ1(a,y)

En = Fn npi

Logo:

npicosh(npi) cosh( npi npicosh(npi) cosh( npi

A equação (14) apresenta a solução para a distribuição de temperatura no caso 1, o cálculo desta série de Fourier foi realizada simultâneamente com a série de Fourier do caso 2 e somado 300 K. Para fins de teste do programa, usamos a condição de contorno original, 375 K, da parede direita para avaliar a convergência do somatório e o resultado foi satisfatório, segue gráfico de convergência da série:

Figura 3: Convergência da série de Fourier para 375 K Caso 2:

Figura 4: Caso 2

Solução do Caso 2:

Substituindo na equação de Laplace:

Primeira Condição de Contorno:

Quarta Condição de Contorno:

Substituindo na equação geral (15):

Assumindo que E =− BC cosh(λa) , podemos reescrever a equação acima como:

npi − pi

2 (tal que n é um inteiro)

A solução da equação diferencial, na qual satisfará todas as condições de contorno pode ser escrita como uma combinação linear dessas soluções individuais:

Terceira Condição de Contorno:

A equação (17) é uma expansão em série de Fourier, seus coeficientes Fn’s podem ser escritos na forma:

aλn sen(λna)

Então:

λna sen(λna) senh(λnA) Logo:

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