Baixe análise de sistemas l...of. fernando nogueira - asl 3 - dominio do tempo e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity! Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 1 TRANSITÓRIOS EM SISTEMAS LINEARES E ESTACIONÁRIOS: ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO Acredite na sua capacidade de raciocínio. PENSE! Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 2 INTRODUÇÃO Os conhecimentos matemáticos relativos a equações diferenciais são importantes ferramentas na análise de sistemas lineares, tendo em vista a possibilidade de representação desses sistemas por meio de equações diferenciais, denominadas equações descritivas do sistema. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES Uma equação diferencial de ordem n é dada por: )()()()()( 011 1 1 txtyaty dt d aty dt d aty dt d a n n n n nn =++⋅⋅⋅++ − − − (1) A função x(t) representa o sinal de entrada do sistema e é denominada de função de excitação. Os coeficientes ia são constantes e dependem dos valores dos parâmetros do sistema. Restringiremos nosso interesse às equações diferenciais tanto de primeira, quanto de segunda ordem devido a terem ampla aplicabilidade na representação de sistemas na área de Engenharia Elétrica. TRANSITÓRIOS EM SISTEMAS LINEARES ESTACIONÁRIOS SUBMETIDOS A SINAIS CONTÍNUOS: ANÁLISE CC EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES HOMOGENEAS DE PRIMEIRA ORDEM Uma equação diferencial linear homogênea de primeira ordem é dada por: 0)()( 0 =+ tyatydt d (2) Cuja solução, denominada solução homogênea, pode ser determinada conforme segue: )()( 0 tyatydt d −= Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 5 ( )( ) ( ) ( ) : : t t t t r h t c r Pela Lei de Ohm v R i t E e Pela Lei de Kirchhoff v v E e τ τ − − = − = = = − O comportamento das grandezas ao longo do tempo pode der observado na figura abaixo: Fig.1 – Comportamento físico das grandezas do circuito RC série Analise a influência da constante de tempo τ no comportamento das grandezas do circuito e observe que em cerca de cinco constantes de tempo o circuito praticamente já alcançou o regime permanente. -E/R E -E Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 6 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES NÃO HOMOGENEAS DE PRIMEIRA ORDEM Uma equação diferencial linear não homogênea de primeira ordem é dada por: )()()( 0 txtyatydt d =+ (8) Essa equação diferencial admite para além da solução homogênea outra solução denominada solução particular, de modo que a respectiva solução geral é: )()()( tytyty ph += (9) A solução particular pode ser determinada utilizando uma função auxiliar u(t), também denominada fator de integração, como segue: ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p p pd d dy t u t y t u t y t u tdt dt dt = + (10) Multiplicando a equação (8) por u(t) e fazendo ( ) ( )py t y t= , temos: 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p p d y t u t a y t u t x t u t dt + = (11) Comparando as equações (10) e (11): )()( 0 tuatudt d = (12) ]( ) ( ) ( ) ( )p d y t u t x t u t dt  = (13) Da equação (12) ta ketu 0)( + = Substituindo na equação (13) e integrando os dois membros, temos: 0 0( ) ( )a t a tp d y t ke dt x t ke dt dt + +  = ∫ ∫ ou 0 0( ) ( )a t a tpy t ke k x t e dt + += ∫ Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 7 A solução particular é, então, dada por: 0 0( ) ( )p a t a ty t e x t e dt− += ∫ (14) Essa solução está associada ao regime permanente e representa o comportamento forçado do sistema, por essa razão também é conhecida como solução forçada ou não natural do sistema. Assim, a solução geral de uma equação diferencial homogênea de primeira ordem será dada por: 0 0 0( ) ( )a t a t a ty t ke e x t e dt− − += + ∫ (15) A constante k depende das condições iniciais e está associada à energia inicial armazenada no campo magnético dos elementos indutivos ou no campo elétrico dos elementos capacitivos do sistema. EXEMPLO LITERAL 2 Considere um sistema representado por um circuito RC série, alimentado em t=0 por um sinal de entrada contínuo Etx =)( . Assumindo que a tensão inicial no capacitor é 0)0( cc vv = determinar a equação para a corrente, i(t) série do circuito. As condições iniciais dos parâmetros do sistema são: ( )0 0 0 (0) (0) (0) C r C c C E v i R v E v v v − = = − = LKT: Etvtv cr =+ )()( (16) Modelando (16) em função da corrente i(t) Edtti C tRi =+ ∫ )( 1 )( Derivando ambos os lados para eliminar a integral, temos: E dt d dtti Cdt d tRi dt d =+ ∫ ))( 1 ()( Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 10 (a) (b) Fig.2 – Comportamento das tensões EvbEva CC >< 00 );) EXEMPLO LITERAL 3 Considere um sistema representado por um circuito RL série, alimentado no instante t=0 por um sinal de entrada contínuo x(t) = E. Sabendo-se que a corrente inicial no indutor é nula determinar as equações das grandezas do circuito. O circuito está submetido às seguintes condições iniciais: Ev v i L r = = = )0( 0)0( 0)0( E E-vc0 vc0 E E-vc0 vc0 Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 11 O indutor não permite mudanças bruscas de corrente: )0()0()0( +==− iii LKT: Etvtv Lr =+ )()( Modelando em termos da corrente i(t) Eti dt d LtRi =+ )()( Rearranjando e fazendo o coeficiente da derivada de maior ordem a1 = 1, a equação descritiva da corrente será: L E ti L R ti dt d =+ )()( (28) Trata-se de uma equação diferencial linear não homogênea de primeira ordem, que admite duas soluções: uma homogênea e a outra particular. Assim sendo, a solução geral é determinada conforme segue: )()()( tpithiti += A solução homogênea associada será ( ) R t L hi t k e − = E a solução particular, por sua vez, é dada por: ( ) R Rt t L L p E E i t e e dt L R − + = =∫ Assim, a solução geral será: ( ) Rt L Ei t k e R − += (29) Fazendo t=0 0)0( =+= R E ki p Daí, R E k −= Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 12 Substituindo em (29), a solução geral do sistema será dada por: t L R e R E R E ti − −=)( (30) Sendo R L=τ a constante de tempo do circuito, então τ t e R E R E ti − −=)( , para 0≥t ou )1()( τ t e R E ti − −= , para 0≥t Conforme já apresentado, a partir da equação da corrente série do circuito é possível determinar as tensões no resistor e no indutor, como segue: ( ) )( ) (1 t t r tv Ri t E E e E e τ τ − − == = − − , para 0≥t (31)         −== − )1()()( τ t L eR E dt d Lti dt d Ltv ou ( ) t tLv E e τ−= , para 0≥t (32) Outra forma de determinar essas grandezas é utilizar a KirchhoffdeLei , conforme apresentado a seguir para )(tvL : LKT: Etvtv Lr =+ )()( ( ) ( )rLv t E V t= − (33) Substituindo a equação (32) em (33), temos: )( ) ( t Lv t E E E e τ−= − − ou ( ) t Lv t E e τ−= , para 0≥t Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 15 EXEMPLO NUMÉRICO 2 Considere um circuito RL série, com R=10 ohm e L=20 m H, submetido, no instante t=0, a um sinal contínuo (DC) de 120 volts. Sabendo-se que a corrente inicial no indutor (0) 0Li = , determinar as equações para a tensão no indutor. Pela equação (34) a equação descritiva é dada por: ( ) 500 ( ) 0LL d v t v t dt + = Cuja solução geral, conforme a equação (15) será, tektvL 500)( −= (37) Fazendo t=0, (0) 120Lv k= = Substituindo na equação (37): 500( ) 120L tv t e−= , para 0≥t Que poderia ser obtida diretamente pela equação (32) Fig.5 – Forma de onda da tensão no indutor Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 16 DETERMINAÇÃO DAS EQUAÇÕES A PARTIR DA ANÁLISE FÍSICA DOS PARÂMETROS DO SISTEMA Nos sistemas de primeira ordem submetidos a sinais de entrada do tipo contínuo é possível determinar as equações das grandezas sem a necessidade do desenvolvimento matemático anteriormente apresentado. Para tanto, é necessário identificar as condições iniciais e as condições finais da grandeza em análise, e considerá-las na equação (15), lembrando-se que a solução particular corresponde ao regime permanente. EXEMPLO NUMÉRICO 3 Considere um circuito RC série, com R=5 ohm e C = 5 m F, submetido, no instante t=0, a um sinal contínuo (DC) de 12 volts. Sabendo-se que a tensão inicial no capacitor é 2)0( =cV volts, determinar as equações para todas as variáveis do sistema. Em regime permanente o capacitor estará com carga máxima, ou seja: a tensão em seus terminais será igual ao sinal de entrada de 12 volts e, portanto, a corrente será igual à zero. Assim, as condições iniciais e finais do sistema serão: 2)0( =i A 0)( =∞i A =)0(rv 10 v 0)( =∞rv v 2)0( =cv v )(∞cv = 12 v A solução geral é a soma da solução homogênea com a solução particular. Assim, as equações para cada grandeza do circuito, são facilmente obtidas, como segue: a) Para a corrente )(ti 40 0( ) ti t k e− += , onde )()( ∞= itip 2)0( == ki 40( ) 2 ti t e−= , para 0≥t Fig. 6 – Forma de onda da corrente do circuito Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 17 b) Para a tensão )(trv 40 0( ) trv t k e − += , onde )()( ∞= rrp vtv 10)0( == kvr 40( ) 10 trv t e −= , para 0≥t Fig. 7 – Forma de onda da tensão no resistor c) Para a tensão )(tvc 40 12( ) tcv t k e − += , onde )()( ∞= ccp vtv 212)0( =+= kvc → 10−=k 40 12( ) 10 tcv t e − += − , para 0≥t Fig. 8 – Forma de onda da tensão no capacitor Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 20 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES HOMOGENEAS DE SEGUNDA ORDEM Uma equação diferencial linear de segunda ordem do tipo: 0)()()( 012 2 =++ tyaty dt d aty dt d (38) Admite uma solução homogênea a qual pode ser determinada como segue: Inicialmente é necessário transformar a equação (38) em uma equação de primeira ordem, o que é possível fazendo: dt d D = (39) Substituindo na equação (38), 0)()( 01 2 =++ tyaDaD (40) De onde podemos destacar: 001 2 =++ aDaD (41) Que é a equação característica do sistema e admite duas soluções ou raízes. Assim, a equação (40) pode ser apresentada em função das raízes r1 e r2, como segue: ( )( ) 0)(21 =−− tyrDrD (42) Assumindo ( ) )()(2 tutyrD =− (43) então ( ) 0)(1 =− turD ou 0)()( 1 =− turtDu Utilizando a equação (39) )()( 1 turtudt d = (44) Daí, tr ectu 11)( + = (45) Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 21 Substituindo a equação (44) na equação (43) tr ectyrty dt d 1 12 )()( + =− Que é uma equação diferencial linear não homogênea de primeira ordem, cuja solução geral, utilizando a equação (15) será: 1 2 2 1 2( ) r t r t r t r t y t ke e c e e dt + + + − = + ∫ Rearranjando )()( )21(2 1 dteckety trrtr ∫ −++ += ou 1 ( )2 1 2( ) r t r r t y t e k c e dt − + − = + ∫ (46) Resolvendo a integral 1 1 2 ( )2 1 2 ( ) 1 ( ) ( ) r t r r t c ky t e c e r r − + − + += − Onde c é a constante de integração e k é a constante da solução homogênea. Considerando )(2 kcc += 1 1 2 2 1 2 2( ) ( ) r t r t r t ce c y t e e r r − + − += − Fazendo ( )21 1 1 rr c k − = e 22 ck = , a solução homogênea para Rrr ∈≠ 21 será: tr k tr eektyh 2 2 1 1)( += (47) No o caso da equação característica (41) apresentar rrr == 21 , a equação (46) será: 1( ) rty t e k c dt− = + ∫ ou ( )1( ) rty t k c t e= + Fazendo k1 = k e k2 = c1 então: ( )1 2 1 2( )h rt rt rty t k k t e k e k t e= += + (48) Que corresponde à solução homogênea do sistema quando rrr == 21 Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 22 Por fim, quando a equação característica (41) apresentar 1 2r r C≠ ∈ , onde 1,2r jα ω= − ± Então a equação (47) pode ser escrita na forma que segue: ( ) ( )1 2( )h j t j t ky t k e e α ω α ω− + − − += Rearranjando e separando os expoentes reais dos expoentes complexos, tem-se: 1 2( )h j t j tt tky t k e e e eω ωα α+ −− −= + ou 1( 2( ) )h j t j tt ky t e k e eω ωα + −−= + (49) Recorrendo às equações de EULER: )()cos( )()cos( tjsente tjsente tj tj ωω ωω ω ω −= += − + A equação (49) pode ser apresentada na seguinte forma: ( ) ( ) ( ) ( ) }{ 1 2( ) cos cosh ty t e k t jsen k t jsen tα ω ω ω ω−    = + + +    Separando as partes reais das imaginárias, tem-se: ( ) ( ) ( ) ( )[ ]1 2 1 2cos( )h t k k t j k k sen ty t e α ω ω+− + −= Fazendo k1+k2 = c1 e j(k1 - k2) = c2, então, ( ) ( )[ ]tsenctcety th ωωα 21 cos)( += − (50) Que é a solução homogênea do sistema quando Crer ∈21 Para determinar os valores das constantes 21 kek ou 1 2c e c é necessário identificar duas condições iniciais para cada grandeza, quais sejam: o valor da grandeza e a respectiva derivada, no instante 0tt = . Essas constantes dependem da energia inicial armazenada nos campo elétrico e campo magnético, do sistema. Uma das condições é o valor da variável no instante inicial e a outra é a primeira derivada dessa variável nesse mesmo instante, que pode ser determinada a partir de uma das equações apresentadas a seguir, tendo como referência um circuito RLC série, alimentado por um sinal v E= . Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 25 A equação descritiva será: 0)( 1 )()( 2 2 =++ ti LC ti dt d L R ti dt d (56) Cuja equação característica correspondente tem a forma: 0 12 =++ LC D L R D E admite a seguinte solução: 212 2,1 2 4         −     ±− = LCL R L R r Rearranjando, 212 2,1 1 22         −     ±−= LCL R L R r (57) ou 21 22 2,1 2 1 2              −     ±−= L R LC j L R r (58) Que pode ser apresentada na forma que segue njr ωα ±−=2,1 Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 26 Em função dos valores dos parâmetros: R, L e C do circuito a equação (57) admite três soluções: raízes reais e diferentes, raízes reais e iguais e, raízes complexas e conjugadas. Essas soluções correspondem a sistemas sobreamortecidos, críticamente amortecidos e oscilatórios, respectivamente e podem ser observadas nas figuras abaixo: Fig.12- Forma de onda da corrente do circuito Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 27 RESUMO: A solução homogênea para cada caso será: Se 0 Sobreamortecimento∆ > → tr k tr eekti 2 2 1 1)( += Se ∆ = 0 → Criticamente Amortecido ( ) rtetckti ⋅+= 1)( Se ∆ < 0 → Oscilação ( ) ( )1 2( ) cos n nti t e c t c sen tα ω ω−  = +  No caso das raízes complexas alguns parâmetros devem ser destacados: naturalangularfrequência L R LC n =              −     = 21 22 2 1ω amortecidanãonaturalangularfrequência LC == 10ω L R 2 =α ntoamortecimedefatore t =−α 220 2 nωωα += Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 30 (R>>>) (R>) (R<<<) (R=0) Fig. 15 – Influência da variação de R no comportamento da corrente do circuito Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 31 EXEMPLO NUMÉRICO 5 Um circuito sérieLC é submetido ao chaveamento de um sinal de entrada contínuo v=100 volts. Considerando que mFCmHL 5;20 == e que no instante inicial a energia armazenada no sistema era nula, determinar as equações das grandezas do circuito. LKT: 100)()( =+ tvtv CL Modelando a corrente, ∫ =+ 100)( 1 )( dtti C ti dt d L A equação descritiva será: 0)( 1 )( 2 2 =+ ti LC ti dt d 0)(000.10)( 2 2 =+ titi dt d Logo, a equação característica, 0000.102 =+D Apresenta as seguintes raízes: 1002,1 jr = Conforme a equação (50) A solução correspondente será: 1 2( ) cos(100) (100)i t c t c sen t= + (59) 1(0) 0i c= = 1 2( ) 100 (100) 100 cos(100) d i t c sen t c t dt = − + 2(0) 100 5000 d i c dt = = Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 32 Daí, 2 50c = Então, a equação (59) da corrente será: ( ) 50 (100 )i t sen t= , para 0≥t Pela equação que rege o comportamento físico do indutor ( ) ( )L d v t L i t dt = , logo: ( ) 100cos(100 )Lv t t= , para 0≥t Por meio da LKT a tensão no capacitor ( ) 100 ( )C Lv t v t= − , daí: [ ]( ) 100 1 cos(100 )Cv t t= − , para 0≥t Fig. 16 – Comportamento das Tensões e da corrente do circuito Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 35 Assim, a solução homogênea correspondente é dada por, 100 1001 2( ) t ti t k e k te− −= + (61) 1(0) 0i k= = 100 100 1001 2 2( ) 100 100 t t td i t k e k e k t e dt − − −= − + − 2(0) 6000 d i k dt = = Substituindo k1 e k2 na equação (61), tem-se: 100( ) 6000 ti t t e−= , para 0≥t Fig. 18 – Forma de onda da corrente do circuito c) Para ∆ < 0 → Oscilação ( ) 120 2 20 5 v t v R L mH C mF = = Ω = = A equação descritiva correspondente será: 2 ( ) 100 ( ) 10.000 ( ) 0 ² d d i t i t i t dt dt + + = Daí, a equação característica, ² 100 10.000 0D D+ + = Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 36 Admite as seguintes raízes, 1,2 50 86,6r j= − ± Sendo assim, a solução homogênea será do tipo: ( ) ( )50 86,6 50 86,61 2( ) j t j t hi t k e k e − + − −= + ou [ ]50 1 2( ) cos(86,6 ) (86,6 )thi t e c t c sen t−= + (62) Pelas condições iniciais, considerando, ( ) ( )hi t i t= : 1(0) 0i c= = 1 2(0) 86,6 86,6 6000 d i c c dt = − + = 2 286,6 6000 69,3c c= → = Substituindo as constantes c1 e c2 na equação (62), temos: ( ) 50( ) 69,3 86,6 ti t sen t e−=    , para 0≥t Fig. 19 – Forma de onda da corrente do circuito Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 37 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES NÃO HOMOGENEAS DE SEGUNDA ORDEM Equações diferenciais lineares não homogêneas de segunda ordem, na forma: )()()()( 012 2 txtyaty dt d aty dt d =++ (63) Admitem como solução geral: )()()( tytyty ph += Que pode ser encontrada utilizando-se os mesmos procedimentos adotados para se determinar a solução geral das equações diferenciais não homogêneas de primeira ordem. EXEMPLO NUMÉRICO 7 Um circuito sérieRLC no qual 10 ; 20 10R L mH e C mF= Ω = = é submetido ao chaveamento de um sinal de entrada contínuo v=100 volts. Considerando as condições iniciais nulas, determinar a equação da tensão no capacitor: A equação descritiva correspondente será: 2 2 ( ) 500 ( ) 5000 ( ) 0C C C d d v t v t v t dt dt + + = A Equação característica 2 500 5000 0D D+ + = Admite as seguintes raízes: 1 2 10, 21 489,79 r r = − = − A Solução homogênea associada será: 10,21 489,791 2( ) t t Cv t k e k e − −= + Por sua vez, a solução particular será: ( ) 100Cpv t = Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 40 TRANSITÓRIOS DE SISTEMAS LINEARES ESTACIONÁRIOS SUBMETIDOS A SINAIS ALTERNADOS: ANÁLISE AC Um sistema de equação diferencial linear não homogênea de ordem n é dado por: ( ) )()()(...)()( 011 1 1 txtyatydt d aty dt d aty dt d n n nn n =++++ − − −       (65) Considerando que x(t) seja um sinal alternado (AC) do tipo )( θω +tsen ou )cos( θω +t , a solução geral será: )()()( tytyty ph += (66) Onde, =)(tyh Solução homogênea =)(ty p Solução particular A solução homogênea pode ser encontrada conforme apresentado anteriormente na análise de sistemas submetidos a sinais contínuos (DC). A solução particular ou solução em regime permanente, por sua vez, pode ser obtida por meio dos seguintes métodos: DETERMINAÇÃO DA SOLUÇÃO PARTICULAR Método 1: Coeficientes a Determinar Nos sistemas submetidos a sinais alternados a solução particular é dada por: ( ) ( )1 2( ) cospy t k t k sen tω θ ω θ= + + + (67) Onde, 1 2k e k , são constantes a determinar e θ é ângulo de deslocamento do sinal de entrada em relação à origem. Se 0θ = , então a equação (67) será: ( ) ( )1 2( ) cospy t k t k sen tω ω= + (68) A solução particular (67) pode ser visualizada com o auxílio do diagrama vetorial, tendo como referência o sinal x(t) ao qual está submetido o sistema, conforme apresentado a seguir: Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 41 a) Quando o sinal de entrada x(t) for do tipo ( )cosmV tω θ+ Fig.21 – Diagrama Vetorial da solução particular Onde, ( ) ( )2 2 cos 90k sen t k t οω θ ω θ+ = + − 1 2 2 2 1 2 2 1 ( )k k k k arctg k α = +   =     Assim, a solução particular tendo como referência o sinal x(t) de entrada será: ( ) cos( )py t k tω θ α= + − (69) b) Quando o sinal de entrada x(t) for do tipo ( )mV sen tω θ+ Fig.22 – Diagrama Vetorial da solução particular Anti-horário (Sentido positivo para ângulos) Anti-horário (Sentido positivo para ângulos) Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 42 Onde, ( ) ( )cos2 2 90senk t k t οω θ ω θ+ = + + 1 2 2 2 1 2 1 2 ( )k k k k arctg k α = +   =     Nesse caso, a solução particular tendo como referência o sinal de entrada x(t) será: ( ) ( )py t k sen tω θ α= + + (70) Observe que para o cálculo do ângulo α, a constante de referência (k1 ou k2) do sinal de referência fica sempre no denominador. Observe, também, que a constante k, assim como ângulo α independe do valor e do sinal do ângulo θ. Sendo assim, o diagrama vetorial para efeito do cálculo da constante k e do ângulo α pode desconsiderar o eixo de referência e o ângulo θ, que representa o deslocamento do sinal de entrada em relação à origem. Se )()( tsenVtx m ω= ( )( )tpy ksen tω α= + , onde 1 2 2 2 1 2( )k k k= + 1 2 k arctg k α   =     O respectivo diagrama vetorial está apresentado a seguir: Fig.23 – Diagrama Vetorial da solução particular para 0θ = Se ( )tVtv m ωcos)( = : ( )( )tpy ksen tω α= − , onde 1 2 2 2 1 2( )k k k= + 2 1 k arctg k α   =     Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 45 Portanto, a solução particular, também pode ser apresentada na forma que segue: ( )p L i t ksen t arctg R ωω θ    = + + −        (79) Sendoα negativo o ângulo de defasagem da corrente em relação ao sinal de tensão que alimenta o circuito será negativo. O que era de se esperar na medida em que o circuito é indutivo e o indutor é um elemento que não permite mudanças abruptas da corrente, assim: Fig. 26 – Defasagem entre a tensão e a corrente b) Para ( )( ) cosmv t V tω θ= + , Neste caso, a equação descritiva (71) pode ser apresentada na forma que segue: ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 ( ) cos( ) cos cosm k sen t k t VR k t k sen t t L L ω ω θ ω ω θ ω θ ω θ ω θ − + + + +  + + +  = +  (80) Rearranjando e igualando os dois membros é possível identificar o seguinte sistema de equações: 1 2 0 R k k L ω− + = (81) 2 1 mVRk k L L ω + = (82) A corrente é atrasada em relação à tensão. Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 46 Da equação (81) 1 2 R k k Lω = (83) Substituindo na equação (82) 2 2 mVR Rk k L L L ω ω + × = 2 2 2 mVRk L L ω ω   + =    2 2 2 2 mV Lk L R ω ω = + Substituindo na equação (83) 1 2 2 2 0m V LR k L L R ω ω ω − + × = + ou 1 2 2 2 mV Rk L Rω = + Portanto, pela equação (72), a solução particular será: ( ) ( )2 2 2 2 2 2( ) cosm mp V R V L i t t sen t L R L R ω ω θ ω θ ω ω = + + + + + (84) Ou conforme a equação (69) ( )( ) cospi t k tω θ α= + − , onde ( ) 1 2 2 2 1 2k k k= + 2 1 k L arctg arctg k R ωα    = =       Assim, a solução particular também pode ser apresentada na forma que segue: 1( ) cosp L i t k t tg R ωω θ −  = + −       (85) O ângulo α é positivo, assim o ângulo de defasagem da corrente em relação ao sinal de tensão que alimenta o circuito será negativo. O que era de se esperar na medida em que o circuito é indutivo e o indutor é um elemento que não permite mudanças abruptas da corrente, assim: Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 47 Fig. 27 – Defasagem entre a tensão e a corrente EXEMPLO LITERAL 6 Refazendo o exemplo anterior, desta feita considerando o sistema representado por um circuito RC série, a solução em regime permanente será obtida como segue: Circuito RC: Fig. 28 – Circuito RC série a) para ( ) ( )mv t V sen tω θ= + , a equação descritiva pode ser apresentada na forma que segue: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 cos 1 cos cosm k sen t k t V k t k sen t t RC R ω ω θ ω ω θ ω ω θ ω θ ω θ − + + + + +  + + +  = +  (87) Daí, 1 2 1 0k k RC ω− + = (88) 2 1 1 mVk k RC R ω ω + = (89) A corrente é atrasada em relação à tensão. ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) (86) R C p p p p v t v t v t Ri t i t dt v t C d d i t i t v t dt RC R dt + = + = + = ∫ Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 50 Substituindo na equação (93) 1 1 12 2 2 2 1m mV Vkk k R C R R C R ω ω ω ω ω ω  − − = − → − + = −    2 2 2 2 2 1 12 2 2 2 2 1 1 m mV VR C R Ck k R C R R R C ω ωω ω ω ω  + = → = ×  +  2 2 1 1 mV Rk R Cω =  +     Substituindo na equação (95) 2 2 2 1 1 mVk C R C ω ω = − ×  +     Assim, a solução particular, pela equação (71) será: ( ) ( )2 2 2 2 1 ( ) cos 1 1 m m p V R V i t t sen t C R R C C ω θ ω θ ω ω ω = + − × +    + +        (96) Ou pela equação (69) ( )( ) cospi t k tω θ α= + − , onde ( ) 1 2 2 2 1 2k k k= + 2 1 1k arctg arctg k RC α ω    = = −       Daí, a solução particular será: 1 ( ) cospi t t arctg RC ω θ ω    = + − −        (97) Sendo α negativo, o ângulo de defasagem da corrente em relação ao sinal de tensão que alimenta o circuito será positivo. O que era de se esperar na medida em que o circuito é capacitivo e o capacitor é um elemento que não permite mudanças abruptas da tensão, assim: A corrente é adiantada em relação à tensão. Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 51 Fig. 30 – Defasagem entre a tensão e a corrente Daqui por diante, por comodidade, os enunciados dos exemplos ficarão restritos: à função excitação, aos valores dos parâmetros do circuito e às condições iniciais das grandezas do sistema. EXEMPLO NUMÉRICO 8 Circuito RL série: ( ) ( )100 10v t sen tω= + ; 10R = Ω ; 20L mH= A equação característica do sistema será: ( )( ) 500 ( ) 5000 10d i t i t sen t dt ω+ = + o A solução particular terá a forma: ( ) ( )1 2( ) cos 10 10pi t k t k sen tω ω= + + +o o 1 2( ) ( 10 ) cos( 10 )p d i t k sen t k t dt ω ω ω ω= − + ° + + ° A equação característica pode ser apresentada como: 1 2 2 1 ( 10 ) 500 ( 10 ) cos( 10 ) 500 cos( 10 ) 100 ( 10 ) k sen t k sen t k t k t sen t ω ω ω ω ω ω ω − + ° + + ° + + ° + + ° = + ° De onde podemos identificar o sistema de equações que segue: 1 2 2 1 500 5000 500 0 k k k k ω ω − + = + = Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 52 Que admite as soluções: 1 2 4,8 6,36 k k = − = Fig. 31 – Diagrama vetorial da corrente em regime permanente Assim, ( )( ) 10pi t k sen tω α= + +o , onde Portanto, a solução particular será: ( )( ) 7,96 27,04pi t sen tω= − o Pela Lei de OHM ( ) ( )rp pv t Ri t= ( )( ) 79,6 27,04rpv t sen tω= − o Pela equação que rege o comportamento físico da tensão no indutor: ( ) ( )Lp p d v t L i t dt = ( ) 60,02cos( 27,04)Lpv t tω= − ( ) ( ) 1 2 2 2 1 2 4,8 6,36 7,96 37,04 k k k arctg k α α  = − +   =   =     = − o (10 – α) Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 55 1 2( ) cos( 30 ) ( 30 )Cpv t k t k sen tω ω= + ° + + ° e 1 2( ) ( 30 ) cos( 30 ) 4000 ( 30 )Cp d v t k sen t k t sen t dt ω ω ω ω ω= − + ° + + ° = + ° Substituindo na equação descritiva, tem-se: 1 2 2 1 ( 30 ) 20 ( 30 ) cos( 30 ) 20 cos( 30 ) 4000 ( 30 ) k sen t k sen t k t k t sen t ω ω ω ω ω ω ω − + ° + + ° + + ° + + ° = + ° De onde identificamos o sistema de equações: 1 2 2 1 20 4000 20 0 k k k k ω ω − + = + = Que admite as soluções: 1 10,58k = − 2 0,5613k = Portanto: ( ) 10,58cos( 30 ) 0,5613 ( 30 )Cpv t t sen tω ω= − + ° + + ° Ou ( ) 10,59 ( 56,96 )Cpv t sen tω= − ° ( ) 10,59cos( 146,96 )Cpv t tω= − ° ( ) 10,59cos( 33,03 )Cpv t tω= − + ° A partir da solução correspondente a um sinal de entrada do tipo senoidal é possível determinar os valores das constantes k1 e k2 para uma entrada do tipo cosenoidal, e vice-versa, como segue: a) Exemplo numérico 8 com ( ) ( )100cos 10ºv t tω= + ( )2 1 2 (cos) 4,8 k k sen k = − = ( )1 2 1 (cos) 6,36 k k sen k = = ( )( ) 7,96cos 10pi t tω α= + − , onde Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 56 2 1 37,04º k arctg k α   = =    Assim, ( )( ) 7,96cos 27,04ºpi t tω= − b) Exemplo numérico 9 com ( ) ( )200cos 30ºv t tω= + ( )1 2 1 (cos) 19,94 k k sen k = = ( )2 1 2 (cos) 1,058 k k sen k = − = − ( )( ) 19,96cos 10ºpi t tω α= + − , onde 2 1 3,03º k arctg k α   = = −    Assim, ( )( ) 19,96cos 33,03ºpi t tω= + Nos circuitos de segunda ordem esse método exige um esforço matemático relativamente significativo, tendo em vista a necessidade de se determinar a condição inicial da variável em análise, assim como a derivada de primeira e a de segunda ordem dessa variável, no momento do chaveamento do sinal de entrada x(t). Nesses casos, o método que utiliza o conceito de fasores é mais adequado e será apresentado a seguir. DIAGRAMA DE IMPEDÂNCIAS a) Ramo RC Fig. 33 – Triangulo de impedância do ramo RC. 1 1 1 , C C Z R jX X C Z R onde j j C j ω ω = + = = + = − ( ) 1 21 2 2 2 22 1 1 1 C Z R j C Z Z R X R C arctg RC ω α ω α ω  = −       = + = +        = −     Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 57 b) Ramo RL Fig. 34 – Triangulo de impedância do ramo RL. c) Ramo RLC 1 1 Z R j L Z R j L j j C C ω ω ω ω = + + ⇒ = + − 1 Z R j L C ω ω  = + −    , onde: XL=Reatância Indutiva XC=Reatância Capacitiva Fig. 35 – Triangulo de impedância do ramo RLC. ( ) 1 1 2 2 2 2 22 2 L L L Z R jX X L Z R j L Z Z R X R L L arctg R ω ω α ω ωα = + = = +  = + = +   =     1 L C X L X C ω ω = = 1 L C Indutivo ω ω  >    1 L C Capacitivo ω ω  <    Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 60 EXEMPLO NUMÉRICO 11 Circuito RLC série: ( ) 100cos( 30 )v t tω= − ° 10 20 10 R L mH C mF = Ω = = A solução particular associada será: ( )cos( ) 30º 7,274 36,032 10 z z mip t I t arctg ω θ θ = − −  = = °    1 2 2 2 100 1 100 8,09 12,36 m m I R L C I ω ω =   + −       = = Portanto: ( ) 8,09cos( 66,032 )tpi tω= − ° c) Método 3: Utilização de Integral Neste caso a solução particular é dada por: 0 0( ) ( )p a t a t i t e x t e dt − = ∫ (102) Este método dependendo do tipo de sinal de entrada x(t) do sistema exige habilidade na resolução de integrais indefinidas. Para determinadas funções de excitação é possível utilização de tabelas para a resolução das respectivas integrais. Por ser pouco utilizado quando da análise de sistemas submetidos a sinais alternados, não será objeto de detalhamento. DETERMINAÇÃO DA SOLUÇÃO GERAL DO SISTEMA A solução geral de um sistema linear e estacionário é dada pela soma da solução homogênea com a solução particular. Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 61 CICUITOS DE PRIMEIRA ORDEM Na determinação da solução geral de um sistema linear estacionário de primeira ordem se faz necessário identificar a condição inicial, referente ao instante zero, para cada grandeza. EXEMPLO LITERAL 7 Circuito RL série LKT: ( ) ( ) ( )r L mv t v t V sen tω θ+ = + Tendo como equação descritiva ( ) ( ) ( ) d R v t i t i t dt L L + = (103) Logo, a solução do sistema para corrente i(t), será: 1 2( ) cos( ) ( ) R t Li t ke k t k sen tω θ ω θ − = + + + + (104) Pelo método 1 1 2 1 2 ( ) cos( ) ( ) ( ) ( ) cos( ) p p i t k t k sen t d i t k sen t k t dt ω θ ω θ ω ω θ ω ω θ = + + + = − + + + Substituindo na equação (103) [ ]1 2 1 2 1 ( ) cos( ) cos( ) ( ) ( )m R k sen t k t k t k sen t V sen t L L ω ω θ ω ω θ ω θ ω θ ω θ− + + + + + = + Rearranjando, 1 2 2 1( )( ) cos( ) ( ) mVR Rsen t k k t k k sen t L L L ω θ ω ω θ ω ω θ + − + + + + = +    Daí, 1 2 2 1 0 mVR Rk k e k k L L L ω ω− + = + = Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 62 Resolvendo esse sistema de equações, tem-se: 2 2 2 2 1 2 2 2 m m V R k L R V L k L R ω ω ω = + = − + Assim, 2 2 2 2 2 2 ( ) cos( ) ( )p m mV L V Ri t t sen t L R L R ω ω θ ω θ ω ω = − + + + + + Utilizando a equação (70) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 ( ) ( ) m m m m V LV R k R L R L V R L k R L V k R L ω ω ω ω ω ω = + + + + = + = + 2 2( ) mVk R Lω = + L arctg R ωθ  =     ( ) ( )pi t k sen tω θ= + 2 2 ( ) ( ) ( ) p mV Li t sen t arctg RR L ωω ω = − + Assim, a equação (104) será: ( )22 ( ) R t L m V L i t k e sen t arctg RR L ωω θ ω −  = + + −   + Fazendo t=0, Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 65 Logo, a solução do sistema para corrente i(t), será: ( ) cos( ) t m Z V i t ke t Z τ ω θ θ − = + + − (108) Onde, 1 Z arctg RC θ ω  =     , é conhecido como ângulo de fator de potência. e 2 2( ) ( )Z R Lω= + , é o módulo da impedância do circuito. Fazendo t=0 em (108), tem-se: (0) cos( ) cos( )m mz V V i k Z R θ θ θ= + − = − e cos( ) cos( )m mz V V k Z R θ θ θ= − − + − Portanto, ( )( ) cos( ) cos( ) cos 0 t m z z V Z i t e t para t Z R τθ θ θ ω θ θ −  = − − + − + + − ≥     (109) Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 66 Fig. 37 – Formas de ondas das tensões e da corrente do circuito EXEMPLO NUMÉRICO 12 Circuito RL série: R=1 ohm, L=10 mH e ( ) 100cos( )v t tω= LKT: ( )( ) ( ) 100cos 377r Lv t v t t+ = Tendo como equação descritiva ( )4( ) ( ) 10 cos 377d Ri t i t t dt L + = Logo, a solução do sistema para a corrente, i(t) será do tipo: Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 67 a) usando o método 1: 1 2( ) cos(377 ) (377 ) R t Li t ke k t k sen t − = + + (110) 1 2 1 2 ( ) cos(377 ) (377 ) ( ) 377 (377 ) 377 cos(377 ) p p i t k t k sen t d i t k sen t k t dt = + = − + Substituindo na equação descritiva, tem-se: [ ]3 41 2 1 2377 (377 ) 377 cos(377 ) 10 cos(377 ) (377 ) 10 (377 )k sen t k t k t k sen t sen t− + + + = Rearranjando, ( )3 3 41 2 2 1(377 )( 377 10 ) cos(377 ) 377 10 10 (377 )sen t k k t k k sen t− + + + = Daí, 4 1 2 2 10 10 R R k k e k k L L ω ω− + = + = Resolvendo esse sistema de equações, tem-se: 2 1 24,78 6,57 k k = = Assim, ( ) 6,57 cos(377 ) 24,78 (377 )pi t t sen t= + Então: ( ) ( )tsentketi t 37778,24377cos57,6)( 100 ++= − 57,657,6)0( −=→+= kki A solução geral, conforme a equação (110): ( ) ( )tsenteti t 37778,24377cos57,657,6)( 100 +−= +− , para 0≥t ou ( ) ( )°++−= °−+−= − − 85,1437763,2557,6)( 15,75377cos63,2557,6)( 100 100 tseneti teti t t , para 0≥t Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 70 a) usando o método 2 3 20 2 2 200 0,53 ( ) 377 30 10 10 10 377 5 ti t ke sen t arctg−   = + + −          +   ⋅    )03,33377(97,19)( 20 °++= − tsenketi t (112) 200 (0) (33,03 ) (30 ) 10 10 i k sen sen= + ° = ° = 88,01088,10 −=→=+ kk Substituindo na equação (112), )03,33377(97,1988,0)( 20 °++−= − tseneti t para 0≥t )97,56377cos(97,1988,0)( 20 °−+−= − teti t b) usando o método 1 )30()30cos()( 21 20 °++°++= − tsenktkketi t ωω A equação descritiva pode ser apresentada na forma: 1 2( 30 ) cos( 30 )k sen t k tω ω ω ω− + ° + + ° + )30cos(7540)30(20)30cos(20 21 °+⋅=°++°+ ttsenktk ωωω Que conduz ao sistema de equações: 020 21 =+− kk ω 754020 12 =+ kk ω Cuja solução é: 94,19 058,1 2 1 = = k k Daí, 20( ) 1,058cos( 30 ) 19,94 cos( 30 )ti t ke t sen tω ω−= + + ° + + ° (113) Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 71 10)30(94,19)30cos(058,1)0( =°+°+= senki 88,01097,9916,0 −=→=++ kk Substituindo na equação (113), )30(94,19)30cos(058,188,0)( 20 °++°++−= − tsenteti t ωω ou 20 20 ( ) 0,88 19,97 cos( 56,97 ) ( ) 0,88 19,97 ( 33,03 ) t t i t e t i t e sen t ω ω − − = − + − ° = − + + ° para 0≥t As tensões nos parâmetros do circuito serão: 20( ) 8.8 199.7 ( 33,03 )r tv t e sen tω−= − + + ° 20( ) 8,88 10,60cos( 33,03 )tCv t e tω −= − + ° ou 20( ) 8,88 10,60 ( 123,03 )tCv t e sen tω −= − + ° Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 72 Fig. 39 – Formas de ondas das tensões e da corrente do circuito Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 75 ou 1 2c e c são, também, distintas. Em outras palavras, a solução homogênea genérica em termos de 21 kek ou 1 2c e c é a mesma para todas as grandezas do sistema. EXEMPLO NUMÉRICO 14 Circuito LC série A equação descritiva é dada por: 3 ² 1 377 100 ( ) ( ) cos(377 10º ) ² 20 10 d i t i t dt LC − ×+ = + × A equação característica será 1,2 0 1 ² 0D r j LC ω+ = → = ± Onde: 0 1 100 LC ω = = As soluções homogênea e particular são: 100 100 1 2 1 2 ( ) ( ) cos(100 ) (100 ) j t j t h h i t k e k e i t c t c sen t −= + = + ( ) ( ) 1 2 100 ( ) 10º 14, 26 7,54 0,53 ² p zm mi t I sen t Iω θ= + − → = = −   7,01 90º 0 ( ) 14,26 ( 80º )p arctg i t sen t α α ω  = → =    = − ( )( ) 100 10º 20 5 v t sen t L mH C mF ω= + = = Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 76 Assim a solução geral será dada por: 1 2( ) cos(100 ) (100 ) 14, 26 ( 80º )i t c t c sen t sen tω= + + − (114) 1 1 1 2 (0) 14,04 14,04 ( ) 100 (100 ) 100 cos(100 ) 14,26 377cos( 80º ) i c c d i t c sen t c t t dt ω = − → = = − + + × − 2(0) 100 933,53 868,24 d i c dt = + = 2 0,653c = − Portanto, conforme a equação (114), ( ) 14,04cos(100) 0,653 (100) 14, 26 ( 80º )i t t sen t sen tω= − + − Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 77 Fig. 40 – Formas de ondas das tensões e da corrente do circuito Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 80 b) RLC série com ∆>0 voltsv ttv c 3)0( )120cos(20)( = °−= ω 10 20 10 R L mH C mF = Ω = = Neste caso a energia inicial armazenada no campo elétrico do sistema é diferente de zero assegurando uma tensão nos terminais do capacitor de 3 volts. Lembre-se que q CV= . 0)0( =i e L vv i dt d c )0()0()0( − = A equação descritiva correspondente será: 2 2 ( ) 500 ( ) 5000 ( ) 0 d d i t i t i t dt dt + + = Cuja equação característica 2 500 5000 0D D+ + = Admite as seguintes raízes: 1 2 10.21 489.79 r r = − = − A solução homogênea associada será: 10,21 489,791 2( ) t t hi t k e k e − −= + A solução particular associada é: cos( 120 )( ) tp m zi t I ω θ− −= Onde, 1, 617 36, 03 Im zθ = = ° Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 81 Assim, 10,21 489,791 2( ) 1,617 cos( 156,03 ) t ti t k e k e tω− −= + + − ° (116) 10,21 489,791 2( ) 10.21 489,79 t td i t k e K e dt − −= − − ( ) ( ) (0)609,6 156,03 Cv t vsen t L ω −− − ° = Fazendo t=0 nessas equações, tem-se: 1 2 1, 477 0k k+ − = 1 210, 21 489,79 650k k− + = − Resolvendo o sistema de equações: 1 2 0,36 1,84 k k = − = Portanto, a solução geral conforme a equação (116) será: 10,21 489,79( ) 0,36 1,84 1,617 cos( 156,03 )ti t e e tω− −= − + + − ° Fig. 42 – Forma de onda da corrente no circuito Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima 82 c) RLC série com ∆=0 )(10)( tsentv ω= mFC mHL R 5 20 4 = = Ω= A equação descritiva será: 2 2 ( ) 200 ( ) 10.000 ( ) 0 d d i t i t i t dt dt + + = Cuja equação característica admite as seguintes raízes: 1 2 100r r= = − Assim 100 1001 2( ) 1, 24 ( 60, 29 ) t ti t k e k t e sen tω− −= + + − ° (117) e 100 100 1001 2 2( ) 100 100 467,5cos( 60, 29) t t td i t k e k e k t e t dt ω− − −= − + − + − Fazendo t=0 nessas equações, tem-se: 1 1 2 1,076 0 100 231,6 0 k k k − = − + + = Daí, 1 2 1,076 123,9 k k = = − Portanto, pela equação (117) tem-se: 100 100( ) 1,076 123,9 1, 24 ( 60, 29 )t ti t e t e sen tω− −= − + − °