Baixe Teoría de engranajes e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia de Transportes, somente na Docsity! Universidad Pública de Navarra Nafarroako Unibertsitate Publikoa ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES Y DE TELECOMUNICACIÓN APUNTES DE LA ASIGNATURA: TEORÍA DE MÁQUINAS ASIGNATURA DE 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL TEMA 8 MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES JESÚS Mª PINTOR BOROBIA DR. INGENIERO INDUSTRIAL DPTO. DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES TEMA 8 – MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORÍA DE MÁQUINAS - 8.2 - INDICE 8.1 INTRODUCCIÓN. 8.2 FUNCIÓN DE LOS ENGRANAJES Y RELACIÓN DE TRANSMISIÓN. 8.3 CLASIFICACIÓN DE LOS ENGRANAJES SEGÚN EL AXOIDE DEL MOVIMIENTO. 8.4 LEY GENERAL DE ENGRANE. PERFILES CONJUGADOS. 8.5 PERFILES DE LOS DIENTES. 8.5.1 Perfil de Evolvente. 8.5.2 Otros tipos de perfiles. 8.6 ENGRANAJES CILÍNDRICO-RECTOS. 8.6.1 Nomenclatura. 8.6.2 Engranajes normalizados. 8.6.3 Relaciones fundamentales. 8.6.4 Generación de engranajes. 8.6.4.1 Reproducción. 8.6.4.2 Generación por cremallera. 8.6.4.3 Generación por piñón. 8.6.5 Interferencia de tallado y de funcionamiento. 8.6.5.1 Interferencia de tallado o penetración. 8.6.5.2 Interferencia de funcionamiento. 8.6.6 Arco de conducción y relación de contacto. 8.6.7 Estudio analítico del perfil de evolvente. 8.6.8 Engranajes corregidos. 8.7 ENGRANAJES CILÍNDRICO-HELICOIDALES. 8.7.1 Características. 8.7.2 Plano normal y plano frontal. Relaciones angulares. 8.7.2.1 Cremallera de dientes inclinados. Perfil frontal y perfil normal. 8.7.3 Relación de contacto. 8.7.4 Generación por cremallera. 8.8 DINÁMICA DE LOS ENGRANAJES CILÍNDRICO-RECTOS. 8.8.1 Esfuerzos de contacto. 8.8.2 Potencia transmitida y rendimiento. DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES TEMA 8 – MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORÍA DE MÁQUINAS - 8.5 - 8.2 Función de los engranajes y relación de transmisión El objetivo de los engranajes es transmitir una rotación entre dos ejes con una relación de velocidades angulares constante. Así, se habla de "Par de Engranajes, Ruedas Dentadas o Engrane" para referirse al acoplamiento que se utiliza para transmitir potencia mecánica entre dos ejes mediante contacto directo entre dos cuerpos sólidos unidos rígidamente a cada uno de los ejes. La "Relación de Transmisión" es el cociente entre la velocidad angular de salida ω2 (velocidad de la rueda conducida) y la de entrada ω1 (velocidad de la rueda conductora): µ= ω2/ ω1. Dicha relación puede tener signo positivo -si los ejes giran en el mismo sentido- o negativo -si los giros son de sentido contrario-. Del mismo modo, si la relación de transmisión es mayor que 1 (µ>1) se hablará de un mecanismo multiplicador, y si es menor que 1 (µ<1) -que suele resultar lo más habitual- de un mecanismo reductor, o simplemente de un reductor. Por otro lado, este objetivo de transmitir una rotación entre dos ejes con una relación de velocidades angulares constante se puede conseguir también mediante otros dispositivos como correas, cadenas, ruedas de fricción, levas o mecanismos de barras articuladas, pero todos ellos tienen sus limitaciones: - Las correas, cadenas, ruedas de fricción y levas no pueden transmitir grandes potencias. - Los mecanismos de barras articuladas son aplicables solo en casos concretos. Por el contrario, los engranajes presentan toda una serie de ventajas: - Son relativamente sencillos de construir. - Pueden transmitir grandes potencias. - Están universalmente aceptados, de tal modo que, además, su diseño está normalizado. - Permiten obtener soluciones variadísimas y adaptarse, por tanto, a cualquier tipo de problema de transmisión de rotación -con relación constante- entre ejes. Todo ello da lugar a que los engranajes sea el elemento de máquinas más utilizado: cajas de velocidades, reductores, diferenciales, cadenas de transmisión, ... DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES TEMA 8 – MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORÍA DE MÁQUINAS - 8.6 - 8.3 Clasificación de los engranajes según el axoide del movimiento Sea que tenemos dos ejes cualesquiera X1 y X2, en los que queremos obtener dos rotaciones ω1 y ω2 tales que µ= ω2/ ω1= cte. Para conocer los axoides del movimiento, es decir los que definen el movimiento relativo del cuerpo 2 que ha de girar alrededor de X2 respecto del 1 que ha de girar alrededor de X1, daremos a todo el conjunto una rotación igual y contraria a 1ω , con lo que el cuerpo 1 quedará inmóvil y el 2 tendrá un movimiento resultante de 12 ω−ω , cuyo eje instantáneo de rotación y deslizamiento definirá en cada instante el movimiento de que se trata. El lugar geométrico de estos ejes definirá los axoides. Según que los ejes sean paralelos, se corten o se crucen hablaremos de tres familias de engranajes: Cilíndricos, Cónicos o Hiperbólicos. ω ω−ω Figura 8.1 – Axoides del movimiento. A su vez, en todo engranaje podremos distinguir dos partes claramente diferenciadas: el núcleo (limitado por la superficie, generalmente de revolución, del axoide) y los dientes (integrados en el axoide y cuya aplicación se verá posteriormente). De esta manera, partiendo del tipo de axoide que caracteriza el movimiento, y considerando la disposición de los dientes, podremos establecer una primera clasificación de los engranajes: Dientes rectos exteriores Transmiten mov. de rotación en sentido contrario. Dientes rectos interiores Transmiten mov. de rotación en el mismo sentido. Rectos piñón cremallera Engranes cilíndricos rectos con una de las circunfs. de radio ∞. La rotación produce la traslación. Rectos escalonados Transmiten potencia de forma más suave que los rectos simples. Cilíndricos Dientes helicoidales Paso al límite de los escalonados. Aparecen menos golpes entre los dientes del piñón y la rueda, luego pueden transmitir mayores potencias que los de dientes rectos. Transmiten entre ejes paralelos. DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES TEMA 8 – MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORÍA DE MÁQUINAS - 8.7 - Rectos Cónicos Helicoidales Sin fin-corona Transmiten potencias elevadas. Helicoidales de ejes cruzados Hiperbólicos Hipoidales No circulares Orientados a aplicaciones concretas, son más compactos y equilibrados que otros elementos mecánicos que puedan generar el mismo efecto (por ej., mecanismos de barras y levas). Resultan también más costosos. Figura 8.2 – Clasificación de los engranajes según el axoide del movimiento. DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES TEMA 8 – MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORÍA DE MÁQUINAS - 8.10 - Al lugar geométrico del punto matemático que coincide en cada instante con el punto de contacto entre ambos perfiles se le denomina "Línea de Engrane". Y el ángulo α que forma la normal a los perfiles en el punto de contacto con la perpendicular a la línea de centros recibe el nombre de "Ángulo de Presión". Este ángulo α determina, por tanto, la dirección en la que tiene lugar la transmisión de esfuerzos entre ambos perfiles. Si este ángulo varía, la dirección de transmisión de esfuerzos varía y esto es algo que, desde el punto de vista dinámico, puede resultar muy perjudicial. Lo ideal sería poder obtener una "línea de engrane" que fuese una línea recta (con lo que el ángulo de presión se mantendría constante). Los perfiles conjugados obtenidos ξ1 y ξ2 tienen, a su vez, una serie de propiedades: - El perfil conjugado del perfil ξ2 es el perfil ξ1. - Si se fija ξ1 a una ruleta de radio "R1" y la hacemos rodar sobre una base de radio "R2" obtenemos una serie de posiciones sucesivas de ese perfil (Fig. 8.5). La envolvente del perfil ξ1 en todas esas posiciones es el perfil conjugado. - Siempre la normal a dos perfiles conjugados en el punto de contacto pasa por P (punto primitivo). ξ ξ ξ ξ Figura 8.5 – Envolvente = perfil conjugado. - Dado un perfil ξ1, si dicho perfil ξ1 es el perfil conjugado de ξ2 y éste lo es a su vez del perfil ξ3: entonces, ξ1 es perfil conjugado de ξ3 (Fig. 8.6). ξ ξ ξ Figura 8.6 – Propiedad transitiva de los perfiles conjugados. DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES TEMA 8 – MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORÍA DE MÁQUINAS - 8.11 - 8.5 Perfiles de los dientes 8.5.1 PERFIL DE EVOLVENTE Interesa encontrar perfiles conjugados que, por una parte, satisfagan la ley general del engrane y, por otra, sean fáciles de construir. Un perfil que cumple estas condiciones es el de evolvente (Fig. 8.7), que se emplea en la mayor parte de los engranes. Evolvente Circunferencia base O A Figura 8.7 – Perfil de Evolvente. La Evolvente es una curva tal que el lugar geométrico de los centros de curvatura de todos sus puntos forma una circunferencia. De forma intuitiva, el perfil de evolvente se obtiene al desarrollar, manteniéndolo tenso, un hilo de una circunferencia y dibujar la trayectoria de uno de sus puntos. La circunferencia sobre la que se desarrolla se denomina Circunferencia Base , o también, evoluta. Conocido el punto por donde debe de pasar el perfil, se puede calcular por puntos el correspondiente perfil de evolvente. Se traza la tangente a la circunferencia base desde el punto (A), se divide en segmentos iguales y se avanza sobre la circunferencia base trasladando esos segmentos. Desde cada nuevo punto se traza la tangente (cada vez con un segmento menos), para acabar uniendo los extremos de las sucesivas tangentes. Entre las propiedades de los perfiles de evolvente están: 1- La línea de engrane es una recta. Llamábamos línea de engrane al lugar geométrico de los puntos de contacto entre perfiles conjugados. En el caso de los perfiles de evolvente la línea de engrane es AB: la tangente común a las circunferencias base de ambos perfiles (Fig. 8.8). La normal a los perfiles de evolvente, que coincide con la línea de engrane, da la dirección de transmisión de los esfuerzos El ángulo α que forma la línea de engrane con la horizontal, recibía el nombre de ángulo de presión. El ángulo de presión en este caso es constante, lo que resulta beneficioso desde el punto de vista dinámico. DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES TEMA 8 – MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORÍA DE MÁQUINAS - 8.12 - 2- Engranan a cualquier distancia entre centros. Al modificar la distancia entre centros, los perfiles siguen engranando, aunque con distinto ángulo de presión α' y distintos radios primitivos -R1’ y R2’-. Ello es debido a que la relación de velocidades depende sólo de los radios de la circunferencia base (ρ1 y ρ2), y no de la distancia entre centros. Conclusión que puede deducirse de forma directa observando la figura 8.8: cte R R PO PO cosRcosPOBO cosRcosPOAO 1 2 2 1 2 1 2 1 2222 1111 =µ= ω ω === ρ ρ    α⋅=α⋅==ρ α⋅=α⋅==ρ (4) αα Figura 8.8 – Propiedades 1 y 2 de los perfiles de evolvente. 3- Los perfiles de evolvente son fáciles de generar. Apoyándose en la fórmula de Euler-Savary puede comprobarse que todos los perfiles de evolvente son conjugados entre sí, porque todos son conjugados a una ruleta constituida por un plano móvil con un perfil solidario que es una línea recta. Dicho plano apoya, a su vez, sobre una base que no es otra que la circunferencia primitiva del engranaje. Sea un plano móvil, en el que se encuentra una curva Cm de centro de curvatura Om. Su conjugada en el plano fijo es Cf, de centro de curvatura Of. El punto de contacto entre ambas es A (Fig. 8.9). Sea también que se conocen la base y la ruleta del movimiento relativo de ambos planos. La fórmula de Euler-Savary establece: ( ) ctesenPOm1OfP1 =ϕ+ (5) Y también se verifica: ϕ Figura 8.9 DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES TEMA 8 – MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORÍA DE MÁQUINAS - 8.15 - 8.6 Engranajes cilíndrico-rectos Los engranajes cilíndricos transmiten una rotación entre dos ejes paralelos separados una distancia "d" y con una relación de transmisión µ= ω2/ ω1 constante dada. Sus antecesores en llevar a cabo esta tarea son los "Cilindros o Ruedas de Fricción" (Fig. 8.12), para cuyo dimensionamiento basta con resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas siguiente: dRRódRR 1221 =−=+ (9) (cilindros exteriores o interiores) 2 1 1 2 R R=ω ω=µ (10) de donde se pueden despejar los radios de los cilindros rozantes: 1 dR 1 dR 21 +µ = +µ µ = (cils.ext.) (11) µ− = µ− µ = 1 dR 1 dR 21 (cils.int.) (12) Figura 8.12 – Cilindros de Fricción ρ ρ µ ϕ Figura 8.13 Pero en este tipo de mecanismos, la transmisión de esfuerzos es muy desfavorable, ya que el esfuerzo normal de contacto pasa por el centro de giro sin proporcionar momento. Por tanto, el par transmitido se reduce al originado por la fuerza de rozamiento Froz=T=µ.N (Fig. 8.13) y como los valores de µ son reducidos, se precisan N muy elevadas para obtener una transmisión de momentos motores pequeña. Ello limita el empleo de ruedas de fricción y obliga a adoptar perfiles en los que se aproveche el par creado por N. Estos mecanismos se deslizan y ruedan, uno sobre otro, y constituyen los "Mecanismos de Palancas Rodantes con Deslizamiento", pero el movimiento que proporcionan no es continuo. Para resolver esta cuestión se plantea el uso de varias palancas sucesivas iguales cuyo contacto asegura la conducción sólo durante una fracción de vuelta; suficiente para que el par de palancas siguientes tome contacto y continúe la transmisión de movimiento. Surgen así las "Ruedas Dentadas o Engranajes". DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES TEMA 8 – MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORÍA DE MÁQUINAS - 8.16 - 8.6.1 NOMENCLATURA En la figura 8.14 puede observarse el desarrollo de los dientes de un engranaje cilíndrico recto, a la vez que la nomenclatura empleada en el estudio de los engranajes. Figura 8.14 – Nomenclatura de los engranajes Los parámetros que permiten definir un engranaje y la nomenclatura empleada en ellos son: - Circunf. primitiva (R), o de paso: la del cilindro rodante o de fricción equivalente. - Circunf. exterior (Re): llamada también de cabeza o de addendum. - Circunf. interior (Rp): Llamada también de fondo, de pie o de dedendum. - Anchura de cara o Longitud del diente: dimensión del diente medida en dirección axial. - Addendum (a): distancia radial entre la c. primitiva y la de cabeza. a = Re – R - Dedendum (l): distancia radial entre la c. primitiva y la de pie: l = R - Rp - Paso circular (p): distancia entre dos puntos homólogos de dos dientes consecutivos. En general, se mide sobre la c. primitiva: p = 2πR/z - Paso angular (pa): ángulo entre dos puntos homólogos de dos dientes consecutivos. pa = 2π/z - Hueco (h): anchura del hueco entre dientes sobre la c. primitiva: h = p - e - Juego (j): diferencia entre el hueco de un diente y el espesor del que engrana con él: j = h1 - e2 - Holgura o espacio libre de fondo (c): diferencia entre el dedendum de un diente y el addendum del que engrana con él: c = l2 - a1 DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES TEMA 8 – MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORÍA DE MÁQUINAS - 8.17 - - Altura del diente (hT): distancia radial entre la c. de pie y la de cabeza: hT = a + l - Espesor del diente (e): medido sobre la c. primitiva. - Nº de dientes (z): nº de dientes que tiene el engranaje. - Módulo o paso diametral (m, pd): cociente entre el diámetro primitivo del engranaje y el nº de dientes: m = 2R/z = p/π - Piñón, rueda, borde superior o cabeza, cara (copa), flanco, fondo o borde inferior y radio de acuerdo o chaflán. El valor numérico de módulo determina el tamaño del diente, ya que el paso es el mismo sin importar si los dientes se colocan en una rueda pequeña o en una rueda grande -a mayor "m", mayor será el diente-. Por otro lado, y con respecto a otro tipo de pasos (p, pa) el módulo o paso diametral tiene la ventaja de no depender del número π. 8.6.2 ENGRANAJES NORMALIZADOS En general, para que dos ruedas dentadas con perfil de evolvente sean intercambiables entre sí deben de cumplir las siguientes condiciones. - Tener el mismo módulo ( o mismo paso circular, ya que m = p / π). - Igual ángulo de presión de generación ϕ. - Presentar addendum y dedendum normalizados. - Anchura del hueco igual al espesor del diente, ambos sobre la circunferencia primitiva. Un "Sistema de Dientes" es una norma que especifica las relaciones que deben existir entre addendum, dedendum, espesor del diente y ángulo de presión, con el objetivo de posibilitar la intercambiabilidad de las ruedas dentadas. No obstante, también hay que constatar que la necesidad de obtener ruedas de alto poder de transmisión puede aconsejar importantes desviaciones con respecto a lo señalado en los sistemas de ruedas normalizadas. En el estado español, la construcción y valores a emplear para los engranajes ha sido normalizada por el Instituto Nacional de Racionalización del Trabajo, siguiendo las recomendaciones de la norma ISO. Así, existe una normalización sobre: - El valor a tomar para el módulo del engranaje. Están definidas tres series de valores representadas en la tabla 8.2, de los que conviene evitar los valores comprendidos en las series II y III, dando preferencia a los módulos comprendidos en la serie I. I 1 1,25 1,5 2 2,5 3 4 5 6 8 10 12 16 20 II 1,125 1,375 1,75 2,25 2,75 3,5 4,5 5,5 7 9 11 14 18 III 3,25 3,75 6,5 Tabla 8.2 – Series de módulos normalizados - el tipo de diente: normal o corto. Se establecen sus dimensiones con respecto al valor del módulo "m". DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES TEMA 8 – MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORÍA DE MÁQUINAS - 8.20 - 8.6.4.2 Generación por cremallera Aprovechando la última propiedad del perfil de evolvente -todos los perfiles de evolvente son conjugados a una ruleta constituida por un plano móvil, que apoya sobre una base que es la circunferencia primitiva del engranaje, con un perfil solidario que es una línea recta-, podemos generar los engranes por medio de una cremallera, haciendo que la línea primitiva de ésta ruede sobre la circunferencia primitiva del engranaje. La cremallera consiste en varios planos rectos unidos rígidamente, de modo que pueden generarse simultáneamente las dos caras del diente. Partiendo de un cilindro de acero, la cremallera se emplea como herramienta de corte en el sentido perpendicular al plano del dibujo (Fig. 8.17). Una vez efectuado el corte, se levanta la cremallera, se gira el engrane que se está tallando un ángulo ∆ϕ, se avanza la cremallera R.∆ϕ y se corta otra vez. Repitiendo esta operación sucesivas veces obtenemos el engrane Figura 8.17 – Generación de engranajes: Cremallera 8.6.4.3 Generación por piñón Como todos los perfiles de evolvente son conjugados entre sí, también podemos generar una rueda haciéndola engranar con un piñón herramienta (H) con un determinado número de dientes (zH). El proceso de tallado puede llevarse a cabo de dos formas posibles: - Si la pieza bruta (B) de la futura rueda dentada (Fig. 8.18) se fabrica en material blando, girando ambas piezas tal y como se aprecia en la figura con velocidades ω y ωH, la herramienta (H) penetra en la pieza bruta (B) generando los perfiles conjugados a los perfiles de los dientes de la herramienta. Este método -poco extendido- se suele emplear para ruedas dentadas de módulo pequeño. DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES TEMA 8 – MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORÍA DE MÁQUINAS - 8.21 - Cuando el material de partida es blando puede ser directamente mecanizado en frío, en caso contrario necesita de un precalentamiento. El número de dientes generados vendrá determinado por la relación de velocidades angulares, ya que: ωH/ω = z/zH El procedimiento puede invertirse manteniendo una de las ruedas fijas y variando la velocidad angular de la otra para obtener el número de dientes "z" deseado. Por consiguiente basta con una sola rueda-herramienta de módulo "m" dado para poder fabricar ruedas dentadas del mismo módulo y con diferentes números de dientes "z". Figura 8.18 – Generación por piñón - Análogamente al caso de la cremallera, pero con una mortajadora en forma de piñón (Fig. 8.19). La rueda herramienta (H) con zH dientes se afila y convierte en herramienta de corte. La mortajadora además del giro comunica un movimiento complementario de vaivén axial. Después de cada operación de corte la rueda-herramienta y la pieza bruta giran unos ángulos que mantienen la misma relación que las velocidades angulares: ∆ϕH/∆ϕ = z/zH Figura 8.19 – Generación de engranajes: Mortajadora en forma de piñón DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES TEMA 8 – MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORÍA DE MÁQUINAS - 8.22 - 8.6.5 INTERFERENCIA DE TALLADO Y DE FUNCIONAMIENTO Se llama interferencia al contacto entre partes de perfiles que no son conjugadas, y a la interferencia de la propia materia. Pueden distinguirse, en base a lo visto, dos tipos: - Interferencia de tallado o penetración. - Interferencia de funcionamiento. 8.6.5.1 Interferencia de tallado o penetración Habrá que diferenciar si el tallado se lleva a cabo con cremallera o con piñón. Este tipo de interferencia tiene lugar cuando la cremallera o el piñón de generación cortan material en puntos situados en el interior de la circunferencia base -es decir, más allá de donde termina el perfil de evolvente-. Ello destruye parcialmente el perfil de evolvente y provoca un debilitamiento en la base del diente que afecta muy negativamente a sus propiedades resistentes. Figura 8.20 – Penetración El tallado de un engranaje con cremallera se realiza haciendo rodar la "línea primitiva de la cremallera" (circunferencia primitiva de R = ∞) sobre la circunferencia primitiva de la rueda. Así los dientes de la rueda se tallan como perfiles conjugados de los dientes de la cremallera (envolventes de sus sucesivas posiciones). Pero hay que tener en cuenta que el perfil de evolvente termina en el punto C -punto de la circunferencia base-, y si la línea exterior de la cremallera pasa por debajo de C se produce interferencia de tallado. En la figura 8.21 se ha representado la posición extrema de tallado, en la que la cremallera está tallando el punto C de evolvente (último punto posible del perfil de evolvente. ϕ ϕ ρ Figura 8.21 – Tallado con cremallera Para que ello no ocurra, el addendum de la cremallera "ac" deberá cumplir: ac ≤ PM = CP senϕ = R sen2ϕ (14) y recordando que (por definición) m = 2R / z ⇒ ϕ≤ 2c sen2 mza (15) DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES TEMA 8 – MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORÍA DE MÁQUINAS - 8.25 - ρ ρ ϕ ϕ Figura 8.25 – Tallado con piñón ϕ Figura 8.26 – Detalle 8.6.6 ARCO DE CONDUCCIÓN Y RELACIÓN DE CONTACTO Se denomina ángulo de conducción (γt) al ángulo girado por el engranaje desde que dos dientes establecen el contacto hasta que lo pierden. A su vez, arco de conducción (qt) es el arco determinado por el ángulo de conducción sobre la circunferencia primitiva. Cada uno de los dos engranes que forman el par de engrane tiene su propio ángulo de conducción (γτ1 y γt2), pero ambos ángulos interceptan el mismo arco sobre la circunferencia primitiva, ya que se parte del supuesto previo de la rodadura entre circunferencias primitivas. Todos los puntos de contacto entre los dientes están situados en el segmento de engrane AB definido sobre la línea de engrane por las circunfs. exteriores de los engranajes (Fig. 8.27). El punto A corresponde al contacto del flanco del diente conductor con la punta del diente conducido y el B al punto en que se pierde el contacto entre la punta del diente conductor y el flanco del diente conducido. Dentro de ese contacto entre los dos dientes se distingue una fase de aproximación - entre el instante en el que los dos dientes entran en contacto (A) y el instante en el que el punto de contacto es el punto primitivo P- y una fase de retroceso o alejamiento -desde el instante anterior hasta el momento en el que ambos dientes dejan de estar en contacto (B)-. Figura 8.27 – Zona de engrane DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES TEMA 8 – MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORÍA DE MÁQUINAS - 8.26 - A partir de ahí se definen: - AP: Segmento de aproximación. - γa: Ángulo de aproximación. - qa: Arco de aproximación. - BP: Segmento de alejamiento. - γr: Ángulo de alejamiento. - qr: Arco de alejamiento. De la definición de evolvente se deduce que existe una relación directa entre las distancias medidas sobre la línea de engrane y el ángulo girado por el engranaje. En efecto, de la idea intuitiva de ver la evolvente como un hilo que va enrollándose en la circunferencia base, se concluye que las distancias medidas sobre la línea de engrane -lo que se acorta el hilo- son iguales a los arcos medidos sobre la circunferencia base -lo que se recoge el hilo sobre la circunferencia-. ρ γ γ Figura 8.28 Entonces se cumplirá (Fig. 8.28) que: AP=A'P' y PB=P'B'. Y se trata de determinar qué ángulo giran los engranajes cuando se pasa del punto de contacto en A al contacto en B. Sabemos que:    ρ=γ ρ=γ ⇒    γρ= γρ= 22r 22a 2r2 2a2 PB AP PB AP (20) Por geometría: ( ) ϕ−ρ−+=−= senRaRPDADAP 222222 (21) ( ) ϕ−ρ−+=−= senRaRBDPDPB 121211 (22) El arco de conducción será por lo tanto: ( ) ( )2222r2a2t PBAPRRq ρ+ρ=γ+γ= (23) que de forma desarrollada puede expresarse: ( ) ( ) ( )( )ϕ+−ρ−++ρ−+ρ= senRRaRaRRq 21222222121122t (24) Por otro lado, se llama relación de contacto (εc) al cociente entre el arco de conducción y el paso circular (εc = qt / p). Da una idea del número de dientes que engranan en cada instante y nunca podrá ser menor que la unidad. Por ejemplo, una relación de contacto de 1.8 significa que el 80% del tiempo hay dos pares de dientes en contacto simultáneamente, mientras que el 20% restante sólo hay uno. Cuanto mayor sea esta relación de contacto, menor será el esfuerzo que soporta cada diente -ya que el esfuerzo de transmisión se reparte entre un número mayor de dientes- y, por tanto, mayor podrá ser la potencia a transmitir por el par de engrane. El interés se fijará por ello en la obtención de relaciones de contacto altas. Normalmente, se recomienda que la relación de contacto alcance, por lo menos, un valor de 2, a poder ser entero y nunca menor que 1 -o, mejor dicho, nunca menor que 1.2, para evitar que los errores de fabricación y montaje den lugar a una εc<1-. DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES TEMA 8 – MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORÍA DE MÁQUINAS - 8.27 - Por otro lado, las cada vez mayores exigencias de confort obligan a reducir el nivel de ruido en los engranajes. En este ruido existen dos componentes fundamentales: el ruido provocado por el choque de dos dientes en el momento en que empiezan a engranar, y el ruido generado por el rozamiento entre dos dientes que están deslizando entre sí. Ambos casos dependen directamente de la fuerza que deba transmitir cada par de dientes, y ello depende -como se ha visto- de la relación de contacto: cuanto mayor sea ésta, menor será el esfuerzo normal entre los dientes que están engranando y, por lo tanto, menor será el ruido de engrane y mayor el confort. 8.6.7 ESTUDIO ANALÍTICO DEL PERFIL DE EVOLVENTE. ESPESOR DEL DIENTE θ ρψ Figura 8.29 – Perfil de evolvente. Estudio analítico Observando la Figura 8.29 y teniendo en consideración el sentido físico de la evolvente (desenrolle de un hilo), el arco BA coincide con AT, luego: ( ) ( ) ( ) ( )ψ+θ=ψ      = ψ+θρ= ψρ= tg ABarcAT ABarc tgAT (25) de donde despejando θ se obtiene la denominada Función Evolvente de Ψ: ( )ψ=ψ−ψ=θ Evtg (26) y, a su vez, despejando Ψ resulta la Función Evolvente Inversa de θ: ( )θ=ψ −1Ev (27) Dado el ángulo Ψ, calcular su función evolvente (θ) resulta sencillo, basta una simple calculadora; sin embargo, el problema inverso es más complicado y su resolución precisa el uso de valores tabulados y su posterior interpolación, o el empleo de una calculadora programable. A partir de aquí, la ecuación del perfil de evolvente puede escribirse en coordenadas polares (r, θ) de la forma:: ( )( )θ ρ = ψ ρ = −1Evcoscos r (28) Para hallar el espesor del diente en un punto T, conocido dicho espesor en otro punto A, el análisis de la Figura 8.30 de la página siguiente permite establecer las siguientes relaciones: AAA TTT R2e R2e β⋅⋅= β⋅⋅= (29) ( ) ( ) AATT AATT EvEv β+ψ=β+ψ β+θ=β+θ (30) DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES TEMA 8 – MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORÍA DE MÁQUINAS - 8.30 - ρ ρ ϕ ϕ ρ ρ ϕ ϕ ρ ρ ϕ ϕ Engranajes sin corrección Engranajes corregidos Condiciones de funcionamiento Figura 8.34 – Condiciones de funcionamiento de engranajes corregidos Las circunferencias base no varían, por lo que se cumple: VV222 VV111 cosRcosR cosRcosR ϕ=ϕ=ρ ϕ=ϕ=ρ (39) Para deducir las condiciones de funcionamiento de los engranajes corregidos habrá que estudiar la forma en que varía el espesor del diente. Partimos para ello (Fig. 8.35) de una cremallera en la que colocamos la línea primitiva y la línea media (línea en la que la que la anchura del diente es igual a la anchura del hueco, y que en el caso de engranajes no corregidos coincide con la línea primitiva). Podemos distinguir: ϕ Figura 8.35 - e: espesor del diente tallado a cero -con la circunferencia primitiva normal- e = p/2 = mπ/2 (40) - e': espesor del diente tallado con la circunferencia primitiva con corrección (circunferencia primitiva de tallado). ϕ⋅⋅⋅+= tgmx2e'e (41) Los espesores de los dientes sobre las circunferencias primitivas de tallado serán entonces: ϕ⋅⋅⋅+π= ϕ⋅⋅⋅+π= tgmx22 me tgmx22 me 2 , 2 1 , 1 (42) con lo que al variar el espesor del diente y en igual medida, pero con signo contrario, la anchura del hueco en las circunferencias primitivas de tallado, éstas ya no podrán ser las circunferencias primitivas de funcionamiento. DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES TEMA 8 – MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORÍA DE MÁQUINAS - 8.31 - Teniendo en cuenta la expresión vista para el espesor de un diente para un radio dado conocido el espesor en otro punto del mismo (34), los espesores del diente en las nuevas circunferencias primitivas de funcionamiento serán: ( ) ( )[ ]       ϕ−ϕ⋅+⋅= V 1 , 1 V1 , V1 EvEv2R eRe (43) ( ) ( )[ ]       ϕ−ϕ⋅+⋅= V 2 , 2 V2 , V2 EvEv2R eRe (44) E igualando la suma de los espesores de los dientes de ambas ruedas al paso medido sobre las circunferencias primitivas de funcionamiento: 1 V1 1 V1 1 V1 V , V2 , V1 R Rm m R2 R2 z R2pee π=π=π==+ (45) Sustituyendo (43) y (44) en la expresión (45) anterior queda: ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 1 V1 V 2 , 2 V2V 1 , 1 V1 R RmEvEv2 R eREvEv2 R eR π=       ϕ−ϕ++       ϕ−ϕ+ (46) que, operando, resulta: ( ) ( )[ ]{ } ( ) ( )[ ]{ } 1 V1 V2 , 2 2 V2 V1 , 1 1 V1 R RmEvEvR2e R REvEvR2e R R π=ϕ−ϕ++ϕ−ϕ+ (47) Teniendo en cuenta que, según (39) la relación de radios permanece constante, 2V 1V 2 1 2 1 R R R R == ρ ρ , se puede simplificar esta expresión quedando: ( ) ( )[ ]{ } ( ) ( )[ ]{ } π=ϕ−ϕ++ϕ−ϕ+ mEvEvR2eEvEvR2e V2,2V1,1 (48) Sustituyendo (40) y (41), sacando factor común y simplificando: ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 0EvEv 2 zzmtgxxm V2121 =ϕ−ϕ + +ϕ+ (49) Luego de la condición geométrica de que un engranaje engrane con otro sin juego, se obtiene una relación entre las correcciones y las condiciones de funcionamiento: ( ) ( ) ( )( ) ϕ+ + +ϕ=ϕ tg zz xx2EvEv 21 21 V (50) DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES TEMA 8 – MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORÍA DE MÁQUINAS - 8.32 - 8.7 Engranajes cilíndrico-helicoidales 8.7.1 CARACTERÍSTICAS Los engranajes rectos tienen la característica de que cada diente empieza a engranar bruscamente en toda su longitud y termina de engranar del mismo modo. Por lo tanto, los pequeños errores geométricos inevitables en la fabricación de los dientes se traducen en pequeños choques al empezar el engrane, acompañados del correspondiente ruido. Además, al ser variable con el tiempo el número de dientes en contacto (por ejemplo, para una relación de contacto del 1,7), ello se traduce en variaciones de carga súbitas sobre los dientes (no es lo mismo que un diente soporte toda la carga que ésta sea repartida entre dos); es decir, variaciones bruscas de la fuerza transmitida a cada diente. Debido a esto, los engranajes cilíndricos rectos no resultan adecuados para transmitir potencias importantes (producen vibraciones, ruidos,...). Una primera aproximación para solucionar este problema podría consistir en tallar engranajes rectos desplazados, de modo que los saltos súbitos se suavicen. Es lo que se conoce como engranajes cilíndricos escalonados (Fig. 8.36) y su funcionamiento es tanto más suave cuanto mayor es el número de escalones en los que es tallado el engranaje. Figura 8.36 – Las ruedas helicoidales pueden considerarse el límite de una rueda escalonada La idea de los engranajes helicoidales surge así como el paso al límite de los engranajes escalonados, en donde los saltos son tan pequeños (infinitesimales) que hay continuidad (Fig. 8.36). En ellos, el engrane de dos dientes empieza y termina de forma gradual, lo que se traduce en una marcha más “suave” (menos ruido y vibraciones). Al mismo tiempo, los dientes helicoidales permiten obtener, con cualquier número de dientes, una relación de contacto tan grande como se desee. DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES TEMA 8 – MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORÍA DE MÁQUINAS - 8.35 - - El perfil normal (de datos ϕn, mn y a), que se obtiene cortando la cremallera por un plano normal a la directriz de los dientes. Este plano forma un ángulo β con el plano frontal o aparente (Fig. 8.41). Este perfil es el que debe tenerse en cuenta en el tallado de la rueda y al calcular la resistencia de los dientes. Figura 8.41 – Perfil frontal y perfil normal de una cremallera de dientes inclinados La Figura 8.42 representa la cremallera cortada por un plano normal y otro frontal, y permite determinar la relaciones angulares entre los parámetros definidos en cada plano. Por la forma de hacer estas secciones se comprende que los dos perfiles tendrán el mismo addendum o altura de cabeza (a). No obstante, el perfil frontal resulta un perfil más estirado (como un acordeón), con un mayor paso (un mayor módulo) y un mayor ángulo de presión (ϕ). De la Figura se deduce que: pn = pa·cosβ ⇒ mn = ma·cosβ (57) qn = qa·cosβ y como: qa = a·tgϕa , qn = a·tgϕn resulta tgϕn = tgϕa·cosβ (58) Figura 8.42 – Relación perfil normal vs. frontal En una rueda helicoidal existe también el perfil frontal, pero no cabe definir un perfil normal ya que, por la forma alabeada del diente, no cabe cortarlo por un plano que sea perpendicular a la DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES TEMA 8 – MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORÍA DE MÁQUINAS - 8.36 - superficie del diente en todos los puntos de corte. Por ello, cuando se habla del perfil normal de una rueda helicoidal se sobreentiende que se está hablando del de la herramienta utilizada para tallarlo. 8.7.3 RELACIÓN DE CONTACTO Se llama salto de base (sb) de un diente helicoidal al arco que avanza un extremo del diente con respecto del otro, medido sobre el cilindro base (Fig. 8.43). Llamando “b” a la anchura de la rueda y recordando el ángulo de hélice sobre el cilindro base (βb), será: sb = b·tgβb (59) Figura 8.43 – Salto de un diente (sb) La existencia del salto mejora notablemente la relación de contacto o coeficiente de recubrimiento de un engranaje helicoidal. En efecto, cuando un extremo del diente deje de engranar, el otro extremo todavía tendrá que girar un arco (sb) para dejar de engranar; de modo que el arco de conducción queda aumentado en un valor igual al salto, y será la suma del correspondiente al perfil frontal (visto para los engranajes cilíndricos rectos) más el salto. π ρ⋅β⋅+ = ρ⋅+ =ε a bt a bt m Rtgbq p Rsq (60) Una buena norma de proyecto es hacer que el salto (sb) sea siempre mayor que el paso aparente, con lo cual la relación de contacto será siempre mayor que la unidad por pequeño que sea la relación de contacto del perfil frontal. Esta propiedad permite utilizar un trozo muy pequeño de la línea de engrane (AB), y por lo tanto addendums tan pequeños como se quiera, sin preocuparse de si la relación de contacto será suficiente. Una altura de cabeza pequeño tiene la ventaja de que el diente es más robusto y , además, el contacto se realiza siempre más cerca del punto primitivo (polo del movimiento relativo) con lo que el deslizamiento es menor (y, por lo tanto, también será menor el desgaste por rozamiento). La libertad de escoger el pequeño trozo útil (AB) dentro de la línea de engrane (CD) permite adaptarse a condiciones especiales. En particular, si interesa mucho reducir el rozamiento y el ruido, conviene situar el segmento de engrane (AB) completamente del lado de salida de la línea de engrane, o sea del lado de la rueda conducida. Estas propiedades se llevan al límite en los perfiles de contacto instantáneo, en los cuales los perfiles se modifican de modo que sólo se toquen al pasar por un punto próximo al punto primitivo P. En este caso, el coeficiente de recubrimiento frontal es prácticamente nulo y la continuidad del engrane se confía al salto (sb). 8.7.4 GENERACIÓN POR CREMALLERA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES TEMA 8 – MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORÍA DE MÁQUINAS - 8.37 - La cremallera que se utiliza en los engranajes cilíndricos helicoidales es idéntica a la usada para tallar dientes rectos, pero inclinada una ángulo ###β respecto al eje del cilindro (Fig. 8.44). El proceso a seguir para el tallado será también el mismo. a - Engranaje cilíndrico recto b - Engranaje cilíndrico helicoidal Figura 8.44 – Tallado con cremallera de un engranaje cilíndrico El perfil de la herramienta se convierte en el perfil normal de la cremallera generadora imaginaria. En cambio, el perfil frontal o aparente de la cremallera generadora tendrá un paso y un ángulo de presión mayores. Si los datos nominales de la herramienta son mt, ϕt y at, los datos del perfil frontal de la superficie generadora serán: tta t ta tt ta aa,cos tgtg, cos m cos pp = β ϕ =ϕ β ⋅π = β = (61) Las ruedas helicoidales pueden también tallarse a cero o con desplazamiento, aunque la talla con desplazamiento tiene mucho menos interés que en el caso de ruedas rectas. Los datos intrínsecos que determinan la rueda obtenida quedan definidos con su perfil frontal y su ángulo de inclinación: - El perfil frontal se calcula igual que si fuese una rueda de dientes rectos tallada con una cremallera recta cuyo perfil fuera el perfil frontal calculado en (61); es decir, empleando (ϕta mta) en lugar de (ϕt mt) –o, lo que es lo mismo, (ϕa ma) en lugar de (ϕ m); ya que rueda y herramienta tenían el mismo módulo y el mismo ángulo de presión-. - El ángulo de inclinación de la hélice de la base (βb) obtenida se calcula aplicando la expresión (54) tgβb = tgβ · cosϕat (62) Por lo tanto, los engranes helicoidales serán estudiados en las secciones frontales o aparentes, necesitando para ello definir los llamados parámetros aparentes: DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES TEMA 8 – MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORÍA DE MÁQUINAS - 8.40 - - Engranajes Cilíndrico-helicoidales: La carga F corta siempre al eje instantáneo del movimiento relativo (pasa siempre por el punto primitivo P del perfil frontal correspondiente), pero su posición exacta respecto a las caras frontal y trasera de la rueda dentada depende de qué trozo del diente esté engranando: En la Figura 8.46, se supone aplicada en un punto intermedio de la rueda, pudiéndose deducir que: T = F·cosϕ·cosβ (71) A = F·cosϕ·senβ (72) R = F·senϕ (73) o bien, en función de los pares transmitidos: T = M1/R1 = M2/R2 (74) A = T·tgβ (75) R = T·tgϕ /cosβ (76) En este caso, debe tenerse especial cuidado a la hora de establecer el sentido de la componente axial A. Figura 8.46 – Fuerza sobre un diente cilíndrico-helicoidal La figura 8.47 puede servir de orientación para determinar correctamente dicho sentido. Figura 8.47 – Sentidos de la componente axial 8.8.2 RENDIMIENTO Sea el caso de la figura 8.48 donde una primera rueda motora engrana con una segunda rueda conducida . Si consideramos la presencia de rozamiento, aparecerá una fuerza que se opone al deslizamiento relativo entre los dientes de ambas ruedas. Para estudiar ese deslizamiento relativo paramos la rueda introduciendo en el sistema una velocidad angular de –ω1. En tal caso, la ω de la rueda será: ωr = ω1 + ω2 (puesto que ω1 y ω2 eran de sentido opuestos al tratarse de engranajes exteriores). DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES TEMA 8 – MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORÍA DE MÁQUINAS - 8.41 - El punto de contacto, como perteneciente a la rueda , tenderá a ir hacia abajo, y la fuerza de rozamiento se opondrá a ese desplazamiento. Aparecen así dos fuerzas iguales y de sentidos contrarios sobre cada uno de los dientes (Fig. 8.48) y de valor igual a µ·F. Tomando momentos respecto de O1 y O2: ( ) 0xsenRFcosRFM 111 =−ϕµ+ϕ⋅− (77) ( ) 0xsenRFcosRFM 222 =+ϕµ+ϕ⋅− (78) Se define el rendimiento η como: 1najegraendelsalequePotencia 2najegraendelsalequePotencia =η (79) Por lo tanto: 2 1 1 2 11 22 R R M M M M ⋅= ω⋅ ω⋅− =η (80) Figura 8.48 – Rozamiento entre engranajes Introduciendo las expresiones (77) y (78) en (80) y recordando que el coeficiente de rozamiento puede expresarse como µ=tgα: ( ) ( ) 1 2 2 1 11 22 R xFtgsenFtgcosF R xFtgsenFtgcosF R R xsenRFcosRF xsenRFcosRF ⋅⋅α+ϕ⋅⋅α−ϕ ⋅⋅α−ϕ⋅⋅α−ϕ =⋅ −ϕµ−ϕ⋅ +ϕµ−ϕ⋅ =η Operando, obtenemos la expresión del rendimiento en función del punto de contacto: 1 2 R xFsensensenFcoscosF R xFsensensenFcoscosF ⋅⋅α+αϕ−αϕ ⋅⋅α−αϕ−αϕ =η ⇒ ( ) ( ) 1 2 R xsencos R xsencos ⋅α+ϕ+α ⋅α−ϕ+α =η (81) De donde puede deducirse que para que el rendimiento h → 1 ha de cumplirse que: - x → 0, α → 0 (que ambos valores sean lo menores posibles). - R1, R2 → ∞ (que las circunferencias pirmitivas de funcionamiento sean grandes). Calcularemos un valor medio para el rendimiento; para ello, hay que recordar que, siendo P (punto primitivo) el polo del movimiento relativo entre ambas ruedas dentadas, la velocidad de deslizamiento en el punto de contacto es (Fig. 8.49): vd = (ω1+ω2)·l (82) Figura 8.49 – Velocidad de deslizamiento en el punto de contacto DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES TEMA 8 – MECANISMOS DE CONTACTO DIRECTO: ENGRANAJES TEORÍA DE MÁQUINAS - 8.42 - En tal caso, el espacio diferencial recorrido por la fuerza de deslizamiento en un dt es: ds = vd·dt = (ω1+ω2)·l·dt (83) Además, los ángulos girados por las ruedas y en ese intervalo diferencial (ω1·dt y ω2·dt), se pueden expresar (recordando como a partir de la definición del perfil de evolvente deducíamos que los segmentos medidos sobre la recta de engrane son iguales a los arcos descritos sobre la circunferencia base): ω1·dt = dl / R1·cosϕ (84) ω2·dt = dl / R2·cosϕ (85) Sustituyendo (84) y (85) en (83) e integrando el “ds” entre 0 y l1, l2 respectivamente (longs. de los segmentos de aproximación y alejamiento sobre el segmento de engrane, Fig. 8.49): ϕ       += cos dl R l R lds 21 (86) ϕ⋅       += ϕ       +== ∫∫ cos2 l R 1 R 1dl·l cos 1 R 1 R 1dsS 2 1 21 l '0 21 l '01 11 (87) ϕ⋅       += ϕ       +== ∫∫ cos2 l R 1 R 1dl·l cos 1 R 1 R 1dsS 2 2 21 l '0 21 l '02 22 (88) ϕ⋅ +       +=+= cos2 ll R 1 R 1SSS 2 2 2 1 21 21 (89) En tal caso, el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento será: ϕ⋅ +       +⋅⋅µ= cos2 ll R 1 R 1FW 2 2 2 1 21 roz (90) Por otro lado, el trabajo aprovechable de la fuerza motora (trabajo útil) es: ( )21útil llFW +⋅= (91) De donde se deduce que el rendimiento medio es: ( ) ( ) 21 2 2 2 1 21 2 2 2 1 21 21 21 ll ll R 1 R 1 cos2 1 1 cos2 ll R 1 R 1FllF llF + +       +⋅ ϕ⋅ µ + = ϕ⋅ +       +⋅⋅µ++⋅ +⋅ =η (92) Expresión que permite concluir que para que el rendimiento aumente es necesario: - Minimizar el coeficiente de rozamiento (µ) entre las superficies de los dientes. - Aumentar el radio (R1 y R2) de los cilindros primitivos de funcionamiento. - Aumentar el cosϕ; es decir, disminuir el ángulo de presión ϕ. - Minimizar las longitudes (l1 y l2) de los segmentos de aproximación y alejamiento.