Baixe Equações Diferenciais Parciais (EDP's) e Suas Aplicações em Engenharia Química e outras Notas de aula em PDF para Engenharia Química, somente na Docsity! Solução de equações diferenciais parciais (EDP’S) As leis da conservação de massa, momento e energia são básicas para o fenômeno dos transportes. Essas leis aplicadas a sistemas de engenharia química, em sua forma dinâmica com mais de uma variável independente, geram equações diferencias parciais. Por exemplo, equação do balanço de massa: - equação do balanço de momento: Onde J = x, y, z. A equação do balanço de energia: Uma EDP de segunda ordem linear possui a seguinte forma canônica geral: Onde a, b, c, e, f e g são constantes ou função de variáveis independentes. Essa equação pode ser classificada em: b2-ac<0, elíptica b2-ac=0, parabólica b2-ac>0, hiperbólica E se g = 0, a equação é dita homogênea. Então, tem-se que: - Equação de Laplace (elíptica) - Equação da condução ou difusão (parabólica) -Equação da onda (hiperbólica) Condições de contorno a) Condições de contorno do 1° tipo ( condição de Dirichlet) T= F(x) em t=0 e 0≤x≤1 Ou T = T0 em t=0 e 0≤x≤1 b)Condição de contorno do 2º tipo ( condição de Neumann) Discretização de um EDP Elíptica Considere a equação adimensionalizada do problema de calor de duas dimensões. 0< x, y < 1 x= 0 , x= 1, = 1 y = 0, y =1, Uma malha bidimensional uniforme com “I” subdomínio na direção x e “J” subdomínio na direção y é utilizada para discretização do problema. Essa malha é aplicada nos pontos ondeij não é conhecida, isto é, para ( xi, yj) i=0, 1, .. I-1 e j = 0,1,....J, conforme figura da malha da transparência mostrada anteriormente. Então, ( xi, yj), i = 0, ..., I-1 e j= 0,1,...,J Com as seguintes condições de contorno discretizadas. x=0 F 0D E F 0 D E x=1 F 0D E y=0 F 0D E F 0 D E y=1 F 0D E Com a substituição das equações do contorno na equação diferencial, obtém-se um sistema algébrico de I× (J+1) equações lineares. A solução desse sistema pelo método direto só é computacionalmente eficiente se o número de equações for em torno de 100. Para sistemas grandes ( 500 ou mais) os métodos iterativos são mais eficientes. Para um sitema cuja matriz é pentagonal o método mais indicado é o fortemente modificado (modified strong implicit procedure). Exercício O sistema formado pelas equações acima, deverá ser resolvido com F 06 2i = 0,1 G= 2 e I = J=5,10,20 e 40 (hx = hy = h). Sugestão: Utilize o método SOR (seção 2.1.7 do livro de métodos numéricos dado eletrônicamente) Desenvolvimento da equações do exemplo anterior ( xi, yJ) i=0, 1, .. i-1 e J = 0,1,....J x= 0 , x= 1, = 1 y = 0, y =1, i = 0, ..., I-1 e j= 0,1,...,J Com as seguintes condições de contorno discretizadas , x= 0 , y =0 x=1 F 0D E para y =1 F 0D Ej=J Agora substitui-se esses valores na equação: supondo hx = hy = h i=0, 1, .. I-1 e j = 0,1,....J Para i=0 F 0D E Se A, B, C são positivos e A+B+C≤ 1, então o esquema numérico é estável. Caso isso não ocarra, então se reescreve a equação discretizada, com a derivada de primeira ordem com a diferença para frente. Agora substitui-se essa equação na equação da difusão, mantendo-se a derivada segunda com diferenças centrais, então Que para se estável necessita de : F 0 B 30 F 0 D E ≤ 1 Essa inequação, determina a relação dos tamanhos do passo na direção x(∆x) e na direção do tempo (∆t). Se for considerado que Então, a equação do método explícito fica: Deve ser observado que a discretização no tempo, introduz um erro de ordem O (∆t) e a discretização na direção x, um erro de ordem O (∆x2). Dessa forma, ganha-se estabilidade e perde- se um pouco de precisão. Se a equação for não homogênea, da forma: Com discretização nas mesmas condições da equação anterior, gera-se a seguinte forma explícita O mesmo tratamento é dado para a equação parabólica em duas dimensões: Resultando na seguinte fórmula: A estabilidade é dada por: Ou seja, Quando se considera a equação em três dimensões, o critério de estabilidade é Considera-se agora, alguns métodos implicitos para solução de equações parabólicas. Neste caso, as derivadas parciais são substituídas por diferenças centrais em torno do ponto “ n +1/2”. Onde é um fator de ponderação e encontra-se no intervalo 0≤ ≤1 Combinando-se essas equações, tem-se que: Que é a fórmula para o método implicito das variáveis ponderadas. Essa fórmula é implícita, pois no lado esquerdo da equação, tem-se mais que um valor da posição “ n+1”. Quando =0 , a fórmula acima reduz a fórmula do método explícito. Quando =1, a fórmula acima reduz-se para: Que é chamada de aproximação implícita “back ward”. Finalmente, quando =1/2 é obtida a fórmula do crank-Nicolson implícito método. Para uma equação não homogênea da forma: Então, para o método descrito anteriormente, se faz necessário calcular o valor de f no ponto ( i, n+1/2). Ele é dado por: fi, n+1/2=1/2(fi, n+1+fi, n) Com as mesma considerações feitas para o método implícito nas discretizações, obtém-se a seguinte equação discretizada com =1/2 Que é o método implícito de Crank-Nicolson para solução da equação parabólica não homogênea. LEVANTAMENTO DAS SINGULARIDADE Agora será dado um exemplo, onde existe uma singularidade na equação. Seja a equação do trocador de calor adimensionalizada: onde Com 0 ≤ i≤ N, o nº de equações irá depender do tamanho da malha. Levando-se as condições de contorno no problema fica: (*) . . . . . . (**) As equações (*) e (**) serão modificadas de acordo com as condições de contorno. Por exemplo, se condições de contorno de Dirichlet foram dadas em x=0 e t> 0, então, U0=F 06 2 para t>0 U0(o)=F 06 2 Por outro lado, se condições de Neumam forem dadas em x=0 para t>0 Então, Esse método dá uma solução estável para as equações parabólicas.
