Apostila de Estatística

Apostila de Estatística

CAPITULO 1

O que é estatística?

É a ciência que fornece métodos para coleta, organização, descrição, análise e interpretação dos dados e para utilização dos mesmos na tomada de decisões.

A Estatística trabalha com fenômenos coletivamente típicos, isto é, com fenômenos ligados a coletividade e que podem ser repetidos.

  • Fenômenos determinísticos: Já se conhece a priori o resultado.

Ex.: Preço total a pagar pela aquisição de uma determinada quantidade de um produto.

  • Fenômeno aleatório: Conhecemos todos os possíveis resultados, mas não se sabe o resultado concreto que irá acontecer.

Ex.: lançamento de um dado honesto.

A estatística se divide em duas partes:

(1) ESTATÍSTICA DESCRITIVA: Responsável pela coleta, organização e descrição dos dados observados.

(2) ESTATÍSTICA INDUTIVA OU INFERENCIAL: Responsável pela análise e interpretação dos dados.

A estatística trabalha com fenômenos de natureza aleatória, logo o cálculo das probabilidades é essencial para o estudo da Estatística indutiva.

Fases do método estatístico:

- Coleta dos dados: Feito através de registros – nascimento, casamento, óbitos, importação e exportação de mercadoria, banco de dados de empresas, questionários,....

- Crítica dos dados: Para verificar possíveis erros por parte dos informantes, por distração ou má interpretação das perguntas que lhe forem feitas.

- Exposição ou apresentação dos dados: Tabulação e gráficos.

- Análise dos resultados: Conclusão sobre o todo (POPULAÇÃO) a partir de informações fornecidas por parte representativa do todo (AMOSTRA).

POPULAÇÃO: é o conjunto de indivíduos ou objetos que apresentam pelo menos uma característica comum.

AMOSTRA: é um subconjunto finito de uma população.

Exemplo: Digamos que a Secretaria Estadual de Educação queira pesquisar o grau de satisfação dos alunos no que se refere à qualidade da merenda escolar.

População: Alunos da rede estadual.

Amostra: Parte do total de alunos que representa o todo (população).

Variável em estudo: variáveis que possam informar a satisfação dos alunos com a merenda escolar.

As variáveis podem ser QUANTITATIVAS ou QUALITATIVAS.

Qualitativas: quando seus valores são expressos por atributos.

Exemplos: População: Candidatos a um exame de vestibular.

Variável: sexo (masculino ou feminino).

Quantitativa: Quando seus valores são expressos em números. Podem ser subdivididas em discretas (assumem valores enumeráveis, números inteiros não-negativos, contagens) e contínuas (assumem valores num certo intervalo, medições).

Exemplos: População: casais residentes em uma cidade.

Variáveis: Número de filhos (quantitativa discreta)

Idade (quantitativa continua)

Peso dos alunos (quantitativa contínua)

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

1) O que é estatística?

2) O que é população?

3) o que é amostra?

4) A Estatística se divide em duas partes. Cite e explique cada uma delas.

5) Quais são as fases do método estatístico?

6) Qual a diferença entre variável qualitativa e quantitativa?

7) Classifique as variáveis em qualitativas, quantitativas contínuas ou quantitativas discreta.

a) População: Alunos de uma escola.

Variável: Cor da pele ___________________________

b) População: Casais residentes em um bairro.

Variável: Nº de filhos ___________________________

c) População: Jogadas de um dado.

Variável: O ponto obtido em cada jogada______________________

d) População: Peças produzidas por certa máquina.

Variável: Número de peças produzidas por hora_________________

e) População: Aparelho produzido em uma linha de montagem.

Variável: Nº de defeitos por unidade__________________________

f) População: Pessoas residentes em uma cidade.

Variável: Idade ___________________________

g) População: Bolsa de valores de São Paulo.

Variável: Nº de ações negociadas_________________________

h) População: Funcionários de uma empresa.

Variável: Salário ___________________________

i) População: Pregos produzidos por uma máquina.

Variável: Comprimento do prego_________________________

j) População: Casais residentes em uma cidade.

Variável: Sexo dos filhos ___________________________

8) Dizer quais dos seguintes itens representam dados discretos e quais representam dados contínuos.

  1. Altura de precipitação da chuva em centímetros, de uma cidade durante vários meses do ano.____________________________

  2. Velocidade de um automóvel em km/h._________________________

  3. Número de notas de vinte dólares em circulação nos Estados Unidos, em qualquer época._________________________________

  4. Valor total das ações vendidas diariamente na Bolsa de Valores.______________________

  5. Número de estudantes matriculados em uma universidade, em certo número de anos._____________________________

9) Estabelecer quais dos dados seguintes são discretos e quais são contínuos.

  1. Temperatura registrada a cada meia hora em um posto de meteorologia.______________________

  2. Vida média das válvulas de televisão produzidas por uma determinada companhia.___________________________

  3. Comprimento de 1000 parafusos produzidos numa fábrica. __________________

GABARITO

7.

  1. QUALITATIVA

  2. QUANT. DISCRETA

  3. QUANT. DISCRETA

  4. QUANT. DISCRETA

  5. QUANT. DISCRETA

  6. QUANT. CONTÍNUA

  7. QUANT. DISCRETA

  8. QUANT. DISCRETA

  9. QUANT. CONTÍNUA

  10. QUALITATIVA

8.

  1. CONTÍNUA

  2. CONTÍNUA

  3. DISCRETA

  4. DISCRETA

  5. DISCRETA

9.

  1. CONTÍNUA

  2. CONTÍNUA

  3. CONTÍNUA

CAPITULO 2

O objetivo da estatística é sintetizar os valores que uma ou mais variáveis podem assumir e isso ela consegue apresentando esses valores em TABELAS E GRÁFICOS.

TABELAS ESTATÍSTICAS

  • TABELA É UM QUADRO QUE RESUME UM CONJUNTO DE OBSERVAÇÕES

Produção de café

Brasil - 1978-82

ANOS

PRODUÇÃO (1.000 T)

1978

2.535

1979

2.666

1980

2.122

1981

3.750

1982

2.007

Fonte: IBGE

SÉRIES ESTATÍSTICAS

Definição: Série Estatística é toda tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados em função da época, do local ou da espécie.

Classificação das Séries Estatísticas:

  • SÉRIE HISTÓRICA, CRONOLÓGICA, TEMPORAIS: Descrevem valores da variável, em determinado local, discriminados segundo intervalos de tempo. (OS DADOS VARIAM COM O TEMPO).

PRODUÇÃO MEDIA DE SOJA NO BRASIL - 2005-2006

ANOS

PRODUÇÃO (1.000 t)

2005

2006

51.138

52.223

FONTE: IBGE.

  • SÉRIES GEOGRÁFICAS, ESPACIAIS, TERRITORIAIS OU DE LOCALIZAÇÃO: Descrevem valores da variável, em determinado instante, discriminados segundo regiões. (OS DADOS VARIAM NO LOCAL).

DURAÇÃO MÉDIA DOS ESTUDOS SUPERIORES 1994

PAÍSES

NÚMERO DE ANOS

Itália

Alemanha

França

Holanda

7,5

7,0

7,0

5,9

FONTE: APA.

  • SÉRIES ESPECÍFICAS OU CATEGÓRICAS: Descrevem valores da variável em determinado tempo e local, discriminados segundo especificações e categorias (OS DADOS VARIAM DE ACORDO COM A ESPÉCIE OU QUALIDADE DO FENÔMENO).

EXPORTAÇÃO BRASILEIRA2005

PRODUTOS

QUANTIDADE

(em bilhões de toneladas)

Grãos

Farelo

Óleo

20,5

14,2

2,4

FONTE: Companhia Nacional de Abastecimento (Conab).

  • SÉRIES CONJUGADAS, TABELAS DE DUPLA ENTRADA: Quando precisamos apresentar em uma única tabela a variação de valores de mais de uma variável (OS DADOS SÃO RELATIVOS A 2 OU 3 ASPECTOS SIMULTANEAMENTE).

GRÁFICOS ESTATÍSTICOS

O gráfico estatístico é uma forma de apresentar os dados estatísticos, com o objetivo de mostrar uma impressão mais rápida do fenômeno em estudo, com simplicidade, clareza e veracidade.

  • Títulos completos e o mais claro possível;

  • Sempre que possível a escala vertical deve ser escolhida de modo a aparecer na linha o valor zero;

  • A escala horizontal deve ser lida da esquerda para direita e a escala vertical deve ser lida de baixo para cima.

Tipos mais comuns de gráficos:

  • Gráfico em colunas ou em barras

  • Gráfico de linhas ou em curva

  • Gráfico em setores ou de pizza:

Rebanhos Brasileiros

Brasil - 1988

Espécie

Quantidades

(milhões de cabeças)

Bovinos

140

Suínos

32

Ovinos

20

Caprinos

11

Total

203

Fonte: IBGE

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

  1. Construa as tabelas referentes aos dados pesquisados e classifique-as:

  1. Dados referentes à produção de borracha natural nos anos de 1991 (29.243 toneladas), 1992 (30.712 toneladas) e 1993 (40.663 toneladas). Fonte IBGE.

  2. Dados referentes à Avicultura Brasileira no ano de 1992 segundo as seguintes espécies: galinhas (204.160 cabeças), Galos, frangos, frangas e pintos (435.465 cabeças) e Codornas (2.488 cabeças). Fonte IBGE.

  3. Dados referentes ao total de vacinação contra a Poliomilite no ano de 1993 segundo as seguintes regiões: Norte (211.209), Nordeste (631.040), Sudeste (1.119.708), Sul (418.785) e Centro-oeste (185.823). Fonte Ministério da saúde.

GABARITO

1.

  1. TEMPORAL

  2. ESPECÍFICA

  3. GEOGRÁFICA

CAPITULO 3

Após a coleta de dados relativos a um determinado fenômeno em estudo, que compõem uma amostra, obtemos um conjunto de dados que será tabulado.

Por exemplo:

TABELA 1: ALTURA DOS ALUNOS

Observe que os dados não estão organizados. Dessa forma ela recebe o nome de DADOS BRUTOS.

Precisamos organizar os dados através de uma ordenação crescente ou decrescente.

TABELA 2: ALTURA DOS ALUNOS

Obteremos uma segunda ordenação que receberá o nome de ROL (seqüência ordenada dos dados brutos).

Dessa forma podemos saber com facilidade qual a menor altura (150) e qual a maior (173); qual a amplitude de variação (173-150=23cm); qual o ponto médio (160+161)/2 = 160,5.

Ainda assim, a variável observada (altura dos alunos) será mais facilmente estudada quando dispusermos os valores ordenados em uma coluna e ao lado de cada valor o número de vezes que aparece repetido. Obtemos dessa forma uma tabela que recebe o nome de DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA.

Outra solução aceitável e mais conveniente para diminui o tamanho da tabela quando o número de valores da variável é grande, seria agrupá-los em vários intervalos. Nesse caso a tabela passa a ser denominada: DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA POR INTERVALO DE CLASSE.

Lê-se: 4 alunos têm altura entre 150 e 154 anos (exclusive) – intervalo fechado à esquerda.

Critério para calcular o número de classes a ser utilizado.

Observação: Não é obrigatório! O bom senso também funciona.

CRITÉRIO DA RAIZ

Se a seqüência estatística contém n elementos e se indicarmos por i o número de classes a ser utilizado, então:

Onde n = número total de observações.

Amplitude do intervalo de classe que chamaremos de h é determinada por: , onde AT é a Amplitude Total e

Exemplo:

n = 40

Então, = 6,324, portanto o inteiro mais próximo é 6.

Devemos trabalhar com o inteiro mais próximo da raiz de n, o inteiro imediatamente anterior e o inteiro imediatamente superior.

Logo, as opções para i são: 5, 6 ou 7.

Então, a amplitude do intervalo de classe (h) é determinada por:

ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA.

(1) CLASSE (i): São intervalos de variação da variável.

Ex.: Intervalo 150 a 154 define a 1ª classe (i=1),

i = 1, 2, 3,......, k

i = classe

k = número total de classes.

(2) LIMITES DE CLASSE: São os extremos de cada classe.

= Limite inferior = Limite superior

Ex.: Na primeira classe: = 150 e = 154.

(3) AMPLITUDE DE UM INTERVALO DE CLASSE (): É a medida do intervalo que define a classe. Diferença entre o limite superior e inferior da classe.

Ex.: Na primeira classe: = 150 e = 154.

= = 154 – 150 = 4 cm.

(4) AMPLITUDE TOTAL DA DISTRIBUIÇÃO (AT): É a diferença entre o Limite superior da ultima classe e o Limite inferior da primeira classe.

AT = L(Max) – l(min)

Ex.: 174 – 150 = 24 cm

Observe que quando as classes possuem o mesmo intervalo vale a relação:

24/4 = 6 (6 = Número total de classes)

(5) PONTO MÉDIO DE UMA CLASSE (): É o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais.

Ex.: Classe 1: (150 + 154)/2 = 152 cm

TIPOS DE FREQÜÊNCIA:

(1) FREQÜÊNCIA SIMPLES OU ABSOLUTA (): É o número de observações correspondentes a classe ou a um valor.

Exemplo:

= 4 => freqüência da classe 1 e = 9 => freqüência da classe 2.

A soma de todas as freqüências será: , n = número total de observações.

(2) FREQÜÊNCIA ACUMULADA (): É o total das freqüências de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de classe.

Exemplo:

, ou seja, existem 24 alunos com estatura inferior a 162 cm.

(3) FREQÜÊNCIA RELATIVA (): É a razões entre a freqüência simples a freqüência total.

Exemplo:

(4) FREQÜÊNCIA ACUMULADA RELATIVA (): É a freqüência acumulada da classe dividida pela freqüência total da distribuição.

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA.

Histograma

  • Consiste em um conjunto de retângulos, tantos quantos forem às classes de uma distribuição.

  • As classes são as bases dos retângulos (tantas partes quantas forem às classes)

  • A escala para marcação dos pontos no eixo Y corresponde às freqüências.

Exemplo:

Polígono de freqüências

Freqüência Simples:

Freqüência Acumulada: As bases dos retângulos vão estar centradas nos pontos médios das classes.

Exemplo:

CAPITULO 4

MEDIDAS DE POSIÇÃO: MÉDIA, MODA e MEDIANA;

O estudo sobre a Distribuição de Freqüência permitiu descrever, de um modo geral, os valores que uma variável pode assumir. Agora precisamos de um “indicativo” generalizado.

O modo mais comum de se obter esse tipo de informação é através das MEDIDAS DE POSIÇÃO, estatística que representa à posição relativa da distribuição em relação ao eixo horizontal.

As medidas de posição mais importantes são as MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL – recebem esse nome pelo fato dos dados observados, em geral, se agruparem em torno dos valores centrais.

São elas: MÉDIA ARITMÉTICA, MODA, MEDIANA, SEPARATRIZES, QUARTIS e PERCENTIS.

Essas medidas quando bem interpretadas, podem fornecer-nos informações muito valiosas com respeito às séries estatísticas, ou seja, com estas medidas tenta-se encontrar um valor numérico que represente o comportamento típico da serei em estudo.

(1) MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES ()

MÉDIA PARA DADOS NÃO AGRUPADOS (dados brutos ou rol): Quando desejamos conhecer a média dos dados não agrupados, determinamos a média aritmética simples.

, onde () é a média aritmética, () os valores da variável e (n) o número de valores.

Ex.: Produção leiteira diária da vaca A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros. Qual a produção média da semana.

MÉDIA PARA DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALO DE CLASSE.

, observe que é a freqüência simples de cada variável que neste caso funciona como fator de ponderação (MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA).

Exemplo:

Exercício: Calcule a Média.

Variável estudada X(idade): 2, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 8, 8 Resposta: 5,6

IDADES

fi

fixi

2

5

6

8

Total

MÉDIA PARA DADOS AGRUPADOS COM INTERVALO DE CLASSE.

,

() é o ponto médio de cada intervalo de classe.

() a freqüência simples de cada intervalo de classe.

Exemplo:

Exercício: Resposta: 161 cm

(2) MODA (Mo)

É o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de dados. Quando uma série de dados não apresentar moda chamaremos de AMODAL. Dois valores na série, duas modas, chamaremos de BIMODAL.

MODA PARA DADOS NÃO AGRUPADOS (dados brutos ou rol)

Exemplo:

MODA PARA DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALO DE CLASSE.

Basta verificar o valor da variável de maior freqüência.

Uma vez agrupado os dados basta fixar o valor da variável de MAIOR freqüência. A moda nesse caso é 3.

Exercício: Qual a moda e o tipo para os dados agrupados em freqüência:

DADOS AGRUPADOS COM INTERVALO DE CLASSE.

A classe que apresentar a maior freqüência é denominada CLASSE MODAL que servirá de base para os seguintes cálculos:

a) Moda de KING:

b) Moda de CZUBER:

Exercício: Calcule a moda utilizando os dois métodos

Resposta.: 50

Observação:

1) A moda é utilizada quando desejamos obter uma medida rápida e aproximada de posição ou quando o valor da distribuição deve ser o valor mais típico da distribuição.

2) A moda é uma medida de posição, pois indica a região das máximas freqüências.

(3) MEDIANA (Md)

É o valor que divide o conjunto de dados ordenados em duas metades, com metade dos valores acima da mediana e a metade dos valores abaixo dela. Quando o número de observações (n) é ímpar, a mediana é o valor que ocupa a posição central. Quando n for par, há duas posições centrais no conjunto, então a mediana é a média aritmética dos dois valores que ocupam as posições centrais.

MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALO DE CLASSE.

1) Se n for ímpar (n=número de observações), o valor mediano será o de ordem , ou seja, o valor do elemento que ocupa está posição será a mediana.

2) Se n for par, o rol admite dois termos centrais que ocupam as posições. O de ordem

, então, a mediana será a média dos valores que ocupam estas posições.

Exemplos:

Exemplo:

1)

A mediana vai ser a média entre o 17º valor e o 18º valor da série => meninos.

2)

A mediana será a média entre o 4º e o 5º elemento da série =>

Exercícios: Calcule a mediana. Resposta: 8

MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS COM INTERVALO DE CLASSE.

Onde:

Exemplo:

idade

fi

Fi

3 |--- 6

2

2

6 |--- 9

5

7

9 |--- 12

7

14

12 |--- 15

3

17

15 |--- 18

2

19

total

19

==10,1

Exercício: Calcule a mediana para o caso da distribuição de freqüência abaixo:

Salário

fi

Fi

450 |--- 550

8

550 |--- 650

10

650 |--- 750

11

750 |--- 850

16

850 |--- 950

13

950 |--- 1.050

5

1.050 |-- 1.150

1

total

64

Observação:

No caso de existir uma freqüência acumulada exatamente igual a , a Mediana será o limite superior da classe correspondente.

Por exemplo:

Classes

fi

Fi

0 |---10

1

1

10 |---20

3

4

20 |---30

9

13

30 |---40

7

20

40 |---50

4

24

50 |---60

2

26

total

26

==30

Nota:

  1. A mediana pode coincidir ou não com um elemento da série. Vimos que, quando tivermos um número de elementos ímpar na série de dados, há coincidência.

Quanto o número de elementos de uma série é par, na há coincidência.

  1. A mediana depende da posição e não dos valores centrais na série ordenada.

  2. Usamos a mediana quando desejamos obter o ponto que divide a distribuição em partes iguais e quando há valores extremos afetando de uma maneira acentuada a média.

(3) SEPARATRIZES

As separatrizes, como o próprio nome sugere são medidas que separam a série em partes iguais.

QUARTIS: São valores de uma série que a dividem em 4 partes iguais. Assim temos:

= 1º quartil: Separa a seqüência ordenada deixando 25% dos valores a sua esquerda e 75% dos valores a sua direita.

= 2º quartil: Separa a seqüência ordenada deixando 50% dos valores a sua esquerda e 50% dos valores a sua direita.

= 3º quartil: Separa a seqüência ordenada deixando 75% dos valores a sua esquerda e 25% dos valores a sua direita.

Pode-se observar que o 2º quartil e a mediana tem os mesmos valores, pois ambos dividem uma série ordenada em duas partes iguais.

!---------!---------!---------!---------!

Q1 Q2 Q3

!-------------------!-------------------!

Md

Cálculo do QUARTIL

É o mesmo cálculo de mediana sendo que deve ser substituído por , onde k é o número de ordem do quartil.

Exemplo:

  1. Calcule o Q1 da seqüência X: 2, 5, 8, 5, 5, 10, 1, 12, 12, 11, 13, 15.

Ordenar a série: X: 1, 2, 5, 5, 5, 8, 10, 11, 13, 15

Q1 = 5

Calcule o Q1 e Q3

(classe 2) (classe4)

Exercício: Para os dados agrupados em freqüência, encontre o primeiro e segundo quartil.

Resposta: 4 e 6

QUINTIS: Quando dividimos uma série em 5 partes iguais, cada parte ficará com 20% dos elementos da série. Assim temos:

= 1º quintil – separa a seqüência ordenada deixando 20% dos valores a sua esquerda e 80% dos valores a sua direita.

= 2º quintil – separa a seqüência ordenada deixando 40% dos valores a sua esquerda e 60% dos valores a sua direita.

= 3º quintil – separa a seqüência ordenada deixando 60% dos valores a sua esquerda e 40% dos valores a sua direita.

= 4º quintil – separa a seqüência ordenada deixando 80% dos valores a sua esquerda e 20% dos valores a sua direita.

!---------!---------!---------!---------!---------!

Cálculo do QUINTIL

É o mesmo cálculo de mediana sendo que deve ser substituído por , onde k é o número de ordem do quintil.

Exemplo: Considerando a tabela de distribuição de freqüência por intervalo de classe, calcule K2.

(classe 3)

Exercício: A distribuição de freqüência abaixo representa o consumo por nota de 54 notas fiscais emitidas durante um dia em uma loja de departamentos. Calcule o quintil de ordem 2.

Consumo por nota (R$)

Nº de notas

0 |---- 50

10

50 |---- 100

28

100 |---- 150

12

150 |---- 200

2

200 |---- 250

1

250 |---- 300

1

Total

54

Resposta: 70,71

DECIS: Quando dividimos uma série em 10 partes iguais, cada parte ficará com 10% dos elementos da série. Assim temos:

= 1º decil – separa a seqüência ordenada deixando 10% dos valores a sua esquerda e 90% dos valores a sua direita.

= 2º decil – separa a seqüência ordenada deixando 20% dos valores a sua esquerda e 80% dos valores a sua direita.

= 3º decil – separa a seqüência ordenada deixando 30% dos valores a sua esquerda e 70% dos valores a sua direita.

.

.

.

= 8º decil – separa a seqüência ordenada deixando 80% dos valores a sua esquerda e 20% dos valores a sua direita.

= 9º decil – separa a seqüência ordenada deixando 90% dos valores a sua esquerda e 10% dos valores a sua direita.

!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9

Cálculo do DECIL

É o mesmo cálculo de mediana sendo que deve ser substituído por , onde k é o número de ordem do decil.

Exemplo: Considerando a tabela de distribuição de freqüência por intervalo de classe, calcule D3.

(classe 2)

Exercício: Uma empresa de aviação observou em seus registros recentes, o tempo de mão-de-obra gasto na revisão completa de um motor de jato. O seguinte quadro foi obtido. Calcule o decil de ordem 3. Resposta: 9,44

PERCENTIS ou CENTIL: São valores de uma série que a dividem em 100 partes iguais. Cada parte ficará com 1% dos elementos da série. Assim temos:

= 1º percentil: separa a seqüência ordenada deixando 1% dos valores a sua esquerda e 99% dos valores a sua direita.

= 2º percentil: separa a seqüência ordenada deixando 2% dos valores a sua esquerda e 98% dos valores a sua direita.

= 3º percentil: separa a seqüência ordenada deixando 3% dos valores a sua esquerda e 97% dos valores a sua direita.

.

.

= 98º percentil: separa a seqüência ordenada deixando 98% dos valores a sua esquerda e 2% dos valores a sua direita.

= 99º percentil: separa a seqüência ordenada deixando 99% dos valores a sua esquerda e 1% dos valores a sua direita.

!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!

P10 P20 P30 P40 P50 P60 P70 P80 P90

Cálculo do PERCENTIL

É o mesmo cálculo de mediana sendo que deve ser substituído por , onde k é o número de ordem do percentil.

Exemplo: Considerando a tabela de distribuição de freqüência por intervalo de classe, calcule P8.

(classe 1)

Podemos notar que os quartis, quintis e decis podem ser expressos em termos dos precentis.

Q1=P25

K1=P20

D1=P10

Q2=P50

K2=P40

D2=P20

Q3=P75

K3=P60

D3=P30

K4=P80

D4=P40

D5=P50

D6=P60

D7=P70

D8=P80

D9=P90

CAPITULO 5:

MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE

As medidas de dispersão ou variabilidade servem para avaliar o quanto os dados são semelhantes, descreve então o quanto os dados distam do valor central.

Dessas medidas, estudaremos as seguintes:

- Medidas de variação absoluta: Amplitude total, Variância e o Desvio Padrão.

- Medidas de variação relativa: Coeficiente de Variação.

(1) MEDIDAS DE VARIAÇÃO ABSOLUTA

Amplitude Total: É a diferença entre o maior e o menor valor observado. Tem o inconveniente de só levar em conta os dois valores extremos da série, não levando em consideração os valores intermediários. Ela é apenas uma indicação aproximada da dispersão ou variabilidade.

AT = L (Max) – l (min)

Variância e Desvio Padrão: A variância e o desvio padrão são medidas que levam em consideração a totalidade dos valores da variável em estudo, o que faz delas índices de variabilidade bastante estáveis e, por isso mesmo, os mais geralmente empregados.

Cálculo da Variância (): A variância é a média aritmética do quadrado dos desvios (em relação à média).

Etapas do cálculo da Variância:

  1. - Calcular a média aritmética

  2. - Subtrair a média de cada valor do conjunto , o que chamamos de desvio;

  3. - Elevar cada desvio ao quadrado

  4. - Somar os quadrados dos desvios

  5. - Dividir a soma por (n-1) quando se tratar de dados amostrais, ou simplesmente por n se os dados representam todos os valores de uma população.

Sendo a variância calculada a partir dos quadrados dos desvios, ela é um número em unidade quadrada em relação à variável em questão, o que, sob o ponto de vista prático, é um inconveniente.

Por isso mesmo, imaginou-se uma nova medida que tem a interpretação prática, denominada desvio padrão, definida como a raiz quadrada da variância.

Desvio Padrão:

Observação:

(1) O desvio padrão sempre será positivo!

(2) O desvio padrão de uma série indica o quanto os dados estão afastados da média e, que se os dados são iguais, o valor da medida é zero.

Exemplo 7: Em uma turma de aluno, verificaram-se através da análise das notas de 15 alunos (amostra), os seguintes desempenhos:

Alunos

Conceito na Prova

1

4,3

9,1204

2

4,5

7,9524

3

9

2,8224

4

6

1,7424

5

8

0,4624

6

6,7

0,3844

7

7,5

0,0324

8

10

7,1824

9

7,5

0,0324

10

6,3

1,0404

11

8

0,4624

12

5,5

3,3124

13

9,7

5,6644

14

9,3

3,9204

15

7,5

0,0324

Total

109,8

44,16

Média

7,32

3,155

Variância

Desvio Padrão

1,77

Observamos no exemplo, que a média das provas, foi estimada em 7,32 com desvio padrão em 1,77. Concluímos que a maioria das notas concentrou-se em 9,09 e 5,55.

Exercício: Calcular a média aritmética e o desvio padrão dos seguintes dados relativos à dosagem de hemoglobina verificada numa amostra de 12 animais bovinos (mg).

15 14 13 11 13 14 13,5 12 16 14,5 12 9

Resp.: Média = 13,083mg Variância = 3,583mg2 Desvio padrão = 1,892mg

(2) MEDIDAS DE VARIAÇÃO RELATIVA

O coeficiente de variação: . É a razão entre o desvio padrão e a média aritmética da série dos dados. Pode ser expresso em percentual . Usado para comparar a variabilidade de diferentes grupos de dados.

Exercício: Os dados abaixo referem-se as medidas da altura de parafusos e do diâmetro de rolamentos. Determine o coeficiente de variação, para verificar em relação a qual medida (parafuso ou rolamento) a variabilidade é maior, sabendo-se que o desvio padrão dos parafusos é de 0,46 cm e dos rolamentos é de 0,27 cm?

Parafusos (cm)

10,2

10,6

9,8

10,0

9,8

10,4

9,2

Rolamentos (cm)

2,2

2,5

1,8

1,9

2,0

1,7

1,9

Resposta: CVp = 4,6 e CVr = 13,5. Os rolamentos apresentam maior variabilidade.

CAPITÚLO 6:

Experimento Aleatório, Espaço Amostral, Eventos E PROBABILIDADE.

DEFINIÇÕES:

EXPERIMENTO ALEATÓRIO: São aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.

Ex.: Em uma jogada de futebol, é provável que seu time: perca; que ele ganha; que ele empate.

ESPAÇO AMOSTRAL (S): Cada experimento aleatório corresponde, em geral, a vários resultados possíveis. O conjunto desses resultados possíveis recebe o nome de espaço amostral ou conjunto universo, representado por S.

Exemplo: Lançamento de uma moeda: S = {Ca, Co}

Lançamento de um dado: S={1, 2, 3, 4, 5, 6}

Cada um dos elementos de “S” que correspondem a um resultado recebe o nome de PONTO AMOSTRAL, por exemplo, 2 a S => 2 é um ponto amostral de S (no caso do lançamento do dado).

EVENTOS (A): Chamamos de evento qualquer subconjunto do espaço amostral S de um experimento aleatório.

Exemplo: Lançamento de um dado:

Espaço amostral: S={1, 2, 3, 4, 5, 6}

Eventos:

a) Obter um número par na face superior:

A={2, 4, 6} => , logo, A é um evento de S.

Seja S o seu espaço amostral. Se todos os elementos de S tem a mesma chance de acontecer, então, chamamos de PROBABILIDADE DE UM EVENTO A, , o número real P(A), tal que:

, onde n(A) é o número de elementos de A e n(S) é o número de elementos de S.

Exemplos: Considere o lançamento de uma moeda e o evento A “obter cara”.

S= {Ca, Co} n(S) = 2 A = {Ca} n(A) = 1 P(A) =

EVENTOS COMPLEMENTARES

Exemplo: Pesquisa afirma que de um grupo de 100 pacientes fumantes aparecem as seguintes evidências1.

Eventos (evidências): e1 = Normal; e2 = Bronquite; e3 = Câncer no Pulmão;

e4 = Tuberculose

Espaço Amostral: = {Normal; Bronquite; Câncer no Pulmão; Tuberculose}

Evidências

Normal

Bronquite

Câncer no Pulmão

Tuberculose

Nº de Pacientes

25

60

10

5

Se a probabilidade de um paciente apresentar tuberculose é de 0,05. Então se abordarmos um paciente, ao acaso, qual a probabilidade de que ele tenha tuberculose ausente.

Resolução:

“e4”: paciente tem tuberculose:

Como: Então, onde significa: paciente tem tuberculose ausente.

Assim, a chance de abordarmos um paciente que tem tuberculose ausente é 95%.

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS

Se os mesmos elementos não podem ocorrer simultaneamente.

P(AB) = P(A) + P(B), a probabilidade de que um ou outro se realize é igual a soma das probabilidades.

Exemplo: Considerando os dados do exemplo (1).

Evidências

Normal

Bronquite

Câncer no Pulmão

Tuberculose

Nº de Pacientes

25

60

10

5

Se abordarmos um paciente, ao acaso, qual é a probabilidade de que ele tenha câncer de pulmão ou tuberculose?

Resolução:

EVENTOS QUE NÃO SÃO MUTUAMENTE EXCLUSIVOS

P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

De um grupo de 80 pessoas considere:

SITUAÇÃO EMPREGATÍCIA

SITUAÇÃO ESCOLAR

Total

Até o Nível Médio

Nível Superior

Empregada

10

35

45

Desempregada

15

20

35

Total

25

55

80

A probabilidade de uma pessoa estar desempregada ou ter nível superior.

Resolução:

EVENTOS INDEPENDENTES

Dois eventos são independentes quando a ocorrência ou a não ocorrência de um evento não tem efeito algum na probabilidade de ocorrência do outro evento. Quando lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles independe do resultado obtido no outro.

P(A e B) = P(AB) = P(A)P(B)

Exemplo: Se dois por cento da população apresenta esquizofrenia. A probabilidade de se encontrar duas pessoas com esquizofrenia ausente é:

Resolução:

Ou seja, a chance de ambos apresentarem esquizofrenia é de 96,04%.

EVENTOS DEPENDENTES

Quando dois eventos são dependentes, o conceito de probabilidade condicional é empregado para indicar a probabilidade de ocorrência de um evento relacionado. A expressão P(B/A) indica a probabilidade de ocorrer o evento B, dado que tenha ocorrido o evento A. Note que “B/A” não é uma fração.

P(B/A) = =

Exemplo: Em um grupo de 50 turistas temos as seguintes variáveis descritas abaixo:

NACIONALIDADE

SEXO

Total

M

F

Brasileiro (B)

20

15

35

Estrangeiro (E)

5

10

15

Total

25

25

50

Calcule as seguintes probabilidades:

a) O turista ser masculino se é brasileiro.

0,5714

b) O turista ser masculino se é estrangeiro.

(0,3333)

c) O turista ser feminino se é brasileiro.

0,4286

d) O turista ser feminino se é estrangeiro.

(0,6667)

e) O turista ser brasileiro se é masculino.

0,80

f) O turista ser estrangeiro se é masculino.

(0,20)

g) O turista ser brasileiro se é feminino.

0,60

h) O turista ser estrangeiro se é feminino.

(0,40)

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

  1. Qual a probabilidade de sair ás de ouros quanto retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas?

  2. Qual a probabilidade de sair um rei quanto retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas?

  3. Um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça, calcule?

    1. A probabilidade de essa peça ser defeituosa:

    2. A probabilidade de essa peça não ser defeituosa:

  4. No lançamento de dois dados, calcule a probabilidade de se obter soma igual a 5.

  5. De dois baralhos de 52 cartas retiram-se, simultaneamente, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo baralho. Qual a probabilidade de a carta do primeiro baralho ser um rei e a do segundo baralho ser o 5 de paus?

  6. Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; Uma urna B contém: 5 bolas brancas, 2 pretas, 1 verde; Uma urna C contém: 2 bolas brancas, 3 pretas e 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual a probabilidade de as 3 bolas retiradas da primeira, segunda e terceira urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde?

  7. De um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem reposição. Qual a probabilidade de a primeira carta ser o ás de paus e a segunda ser o rei de paus?

  8. Qual a probabilidade de sair uma figura quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas?

  9. Qual a probabilidade de sair uma carta de copas ou de ouros quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas?

10) No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter um número não inferior a 5?

GABARITO

1. A = sair ás de ouros P(A)=1/52

2. A = sair rei P(A)=4/52

3.

a) A= a peça ser defeituosa P(A)=4/12

b) B=a peça ser perfeita P(B)=8/12

4. A= a soma ser 5 A={(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} P(A) = 4/36

5. A= sair rei

B= sair 5 de paus

P(A E B) = P(A)x P(B) = 4/52 x 1/52 = 4/2704

6.

A= 3 bolas retiradas da primeira, segunda e terceira urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde

P(A)= 3/9 x 2/8 x 4/9 = 24/648

7. C= sair ás de paus e reis de paus

P(C1 e C2)= P(C1). P(C2/C1) = 1/52 x 1/51 = 1/2652

8.

Figuras = valete, dama e rei

A= sair uma figura

P(A) = 12/52

9. A= sair copas ou ouros P(A)=13/52 + 13/52 = 26/52

10. A= número maior que 5 P(A)=1/6

CAPÍTULO 07

DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE

Quando conhecemos todos os valores de uma variável aleatória juntamente com suas respectivas probabilidade, temos uma distribuição de probabilidade.

Exemplo: Distribuição de probabilidade no número de acidentes aéreos com a GOL, dentre sete acidentes.

  • A probabilidade de 0 acidentes com a GOL (dentre sete acidentes) é 0,210;

  • Os valores denotados 0+ representam probabilidades muito pequenas;

A representação gráfica de uma DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES é feita através do HISTOGRAMA DE PROBABILIDADES, semelhantes ao HISTOGRAMA DE FREQÜÊNCIA, sendo que a escala vertical apresenta probabilidades, em lugar das correspondentes freqüências.

Condições para uma DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE:

1) A soma de todas as probabilidades individuais é 1:

2) Para qualquer evento A implica que p(x) deve estar entre 0 e 1 para qualquer valor de x:

MÉDIA DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE

VARIÂNCIA DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

1) Determine se é dada uma distribuição de probabilidade. Nos casos em que não é descrita uma distribuição de probabilidade, identifique a condição que não é satisfeita. E quando for descrita uma distribuição de probabilidade, determine sua média e desvio padrão.

  1. Se sua faculdade contrata os 4 próximos funcionários sem distinção de sexo e o conjunto de candidatos é grande, com números iguais de homens e mulheres, a tabela a seguir dá a distribuição de probabilidade do número x de mulheres contratadas.

Resposta: 2 e 1

  1. Ao avaliar riscos de crédito, Jefferson investiga o número de cartões de crédito que a pessoa tem. Com x sendo o número de cartões de crédito que os adultos possuem a tabela a seguir dá a distribuição de probabilidade para um conjunto de solicitantes.

Resposta: 2,8 e 2,52

2)Seja X uma variável aleatória discreta assumido valores no conjunto {1, 2, 3} e com distribuição de probabilidade dada por:

  1. Calcule a média de X. (resposta: 2,165)

  2. Calcule a ( (resposta: 0,666)

  3. Calcule a ( (resposta: 0,5)

3)O tempo T, em minutos, necessário para um operário processar certa peça é uma variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidade:

Calcule o tempo médio de processamento. Resposta: 4,6 minutos

DISTRIBUIÇÕES ESTATÍSTICAS: DISCRETA E CONTÍNUA

(1) DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL (discreta)

Vimos que uma variável aleatória associa um valor numérico a cada resultado de um experimento aleatório e uma distribuição de probabilidade associa uma probabilidade a cada valor de uma variável aleatória.

Veremos agora como determinar as probabilidades para uma categoria importante de distribuição de probabilidades: OS EXPERIMENTOS BINOMIAIS.

Os experimentos binomiais têm a característica de apresentarem exatamente dois resultados complementares: SUCESSO E FRACASSO.

Exemplo: Em processos industriais: as peças falham ou não falham.

Na medicina: um paciente sobrevive ou morre.

Em propaganda, um consumidor reconhece um produto ou não.

Definição:

Um experimento binomial é um experimento que satisfaz as seguintes condições:

  1. O experimento deve comportar um número fixo de provas (n).

  2. As provas devem ser independentes (o resultado de qualquer prova não afeta as probabilidades das outras provas.)

  3. Cada prova deve ter todos os resultados classificados em duas categorias (sucesso e fracasso).

  4. As probabilidades devem permanecer constantes para cada prova.

Quando fazemos um experimento binomial, a distribuição da variável aleatória x é chamada uma DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL.

Notação:

p => probabilidade de sucesso

q => probabilidade de fracasso

x => denota um número específico de sucessos em n provas, podendo ser qualquer inteiro entre 0 e n, inclusive.

P(x) => denota a probabilidade de obter exatamente x sucessos em n provas.

Parâmetros da Distribuição Binomial:

Cálculo da Probabilidade de uma Distribuição Binomial:

Para x = 0, 1, 2, .....,n

Média de uma Distribuição Binomial: E(x) = np

Variância da Distribuição Binomial: V(x) = npq

Obs.: lembrando que 0! = 1 (por definição)

Exercício:

  1. Aplicando a fórmula da probabilidade binomial, determine a probabilidade de obter 3 estudantes canhotos em uma turma de 15 estudantes, dado que 10% da população são canhotos. Isto é determine P(3), se n=15, x=3, p=0,1 e 1=0,9.

Resposta: 0,1285

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

  1. Suponha que em um experimento binomial, uma prova se repita n vezes. Determine a probabilidade de x sucessos, dada a probabilidade p de sucesso em uma prova: Respostas:

    1. n = 3, x= 2, p=0,9 (0,243)

    2. n=8, x=7, p=0,99 (0,0745)

    3. n=10, x=4, p=0,30 (0,2001)

    4. n=6, x=1, p=0,05 (0,2321)

  1. Uma firma afirma que 20% de suas pastilhas de chocolate M&M são vermelhas. Determine a probabilidade de que, em 15 pastilhas M&M escolhidas aleatoriamente, exatamente 20%, ou seja, 3 pastilhas sejam vermelhas.

Resposta: 0,250

  1. Acredita-se que 20% dos moradores das proximidades de uma grande indústria siderúrgica têm alergia aos poluentes lançados ao ar. Admitindo que este percentual de alérgicos é real (correto), calcule a probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham alergia entre 13 selecionados ao acaso.

Resposta: 0,252

  1. Três em cada quatro alunos de uma universidade fizeram cursinho antes de prestar vestibular. Se 16 alunos são selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de que:

Respostas

  1. Pelo menos 12 tenham feito cursinho? (0,6302)

  2. No máximo 13 tenham feito cursinho? (0,8029)

  3. Exatamente 12 tenham feito cursinho? (0,2252)

(2) DISTRIBUIÇÃO NORMAL OU GAUSS (contínua)

Se X é uma variável aleatória contínua, então X assume todos os valores em um intervalo de números reais ().

- A distribuição de probabilidade de X é descrita por uma curva de densidade, ou função de densidade.

  • Π (Pi): (≈ 3,14159)

  • e: (≈ 2,71828).

- A probabilidade de qualquer evento é a área sob a curva de densidade entre os valores de X que compõe o evento.

- A área total sob qualquer curva de densidade é 1, de modo que a probabilidade de um evento varia entre 0 e 1.

- Parâmetros da Distribuição Normal

Média da Distribuição Normal: E(X) = 

Variância da Distribuição Normal: VAR(X) =

Algumas propriedades da Distribuição Normal:

    • P(X=x) = f(X) = 0 (pois não existe a probabilidade no ponto e sim na área)

    • f(X) é simétrica ao redor da média, ou seja, a probabilidade de ocorrer valor menor do que a média é igual a probabilidade de ocorrer valor menor do que a média.

    • A curva normal depende de duas constantes,  e 2:

-  corresponde ao centro da simetria da curva e 2 graficamente, fornece a distância do centro da simetria aos pontos onde a curva muda de sentido.

Distribuição Normal Padrão:

Na prática desejamos calcular probabilidades para diferentes valores de  e . Para isso, a variável cuja distribuição é é transformada numa forma padronizada com distribuição (distribuição normal padrão), pois tal distribuição é tabelada. A quantidade é dada por:

Exemplo:

1) Se já X a variável aleatória que representa os diâmetros dos parafusos produzidos por certa máquina. Suponha que essa variável tenha Distribuição Normal com média 2cm e desvio padrão 0,04cm.

a) A probabilidade de um parafuso ter um diâmetro com valor entre 2 e 2,05 é:

b) P(-1,25<Z<0) =

c) P(0,8<Z<1,23) =

d) P(Z>0,6) =

Obs.: Quando temos uma variável aleatória com distribuição Normal, nosso principal interesse é obter a probabilidade de essa variável aleatória assumir um valor em um determinado intervalo.

Tabela: Probabilidades da Distribuição Normal

Z

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,0

0,000000

0,003989

0,007978

0,011966

0,015953

0,019939

0,023922

0,027903

0,031881

0,035856

0,1

0,039828

0,043795

0,047758

0,051717

0,055670

0,059618

0,063559

0,067495

0,071424

0,075345

0,2

0,079260

0,083166

0,087064

0,090954

0,094835

0,098706

0,102568

0,106420

0,110261

0,114092

0,3

0,117911

0,121720

0,125516

0,129300

0,133072

0,136831

0,140576

0,144309

0,148027

0,151732

0,4

0,155422

0,159097

0,162757

0,166402

0,170031

0,173645

0,177242

0,180822

0,184386

0,187933

0,5

0,191462

0,194974

0,198468

0,201944

0,205401

0,208840

0,212260

0,215661

0,219043

0,222405

0,6

0,225747

0,229069

0,232371

0,235653

0,238914

0,242154

0,245373

0,248571

0,251748

0,254903

0,7

0,258036

0,261148

0,264238

0,267305

0,270350

0,273373

0,276373

0,279350

0,282305

0,285236

0,8

0,288145

0,291030

0,293892

0,296731

0,299546

0,302337

0,305105

0,307850

0,310570

0,313267

0,9

0,315940

0,318589

0,321214

0,323814

0,326391

0,328944

0,331472

0,333977

0,336457

0,338913

1,0

0,341345

0,343752

0,346136

0,348495

0,350830

0,353141

0,355428

0,357690

0,359929

0,362143

1,1

0,364334

0,366500

0,368643

0,370762

0,372857

0,374928

0,376976

0,379000

0,381000

0,382977

1,2

0,384930

0,386861

0,388768

0,390651

0,392512

0,394350

0,396165

0,397958

0,399727

0,401475

1,3

0,403200

0,404902

0,406582

0,408241

0,409877

0,411492

0,413085

0,414657

0,416207

0,417736

1,4

0,419243

0,420730

0,422196

0,423641

0,425066

0,426471

0,427855

0,429219

0,430563

0,431888

1,5

0,433193

0,434478

0,435745

0,436992

0,438220

0,439429

0,440620

0,441792

0,442947

0,444083

1,6

0,445201

0,446301

0,447384

0,448449

0,449497

0,450529

0,451543

0,452540

0,453521

0,454486

1,7

0,455435

0,456367

0,457284

0,458185

0,459070

0,459941

0,460796

0,461636

0,462462

0,463273

1,8

0,464070

0,464852

0,465620

0,466375

0,467116

0,467843

0,468557

0,469258

0,469946

0,470621

1,9

0,471283

0,471933

0,472571

0,473197

0,473810

0,474412

0,475002

0,475581

0,476148

0,476705

2,0

0,477250

0,477784

0,478308

0,478822

0,479325

0,479818

0,480301

0,480774

0,481237

0,481691

2,1

0,482136

0,482571

0,482997

0,483414

0,483823

0,484222

0,484614

0,484997

0,485371

0,485738

2,2

0,486097

0,486447

0,486791

0,487126

0,487455

0,487776

0,488089

0,488396

0,488696

0,488989

2,3

0,489276

0,489556

0,489830

0,490097

0,490358

0,490613

0,490863

0,491106

0,491344

0,491576

2,4

0,491802

0,492024

0,492240

0,492451

0,492656

0,492857

0,493053

0,493244

0,493431

0,493613

2,5

0,493790

0,493963

0,494132

0,494297

0,494457

0,494614

0,494766

0,494915

0,495060

0,495201

2,6

0,495339

0,495473

0,495604

0,495731

0,495855

0,495975

0,496093

0,496207

0,496319

0,496427

2,7

0,496533

0,496636

0,496736

0,496833

0,496928

0,497020

0,497110

0,497197

0,497282

0,497365

2,8

0,497445

0,497523

0,497599

0,497673

0,497744

0,497814

0,497882

0,497948

0,498012

0,498074

2,9

0,498134

0,498193

0,498250

0,498305

0,498359

0,498411

0,498462

0,498511

0,498559

0,498605

3,0

0,498650

0,498694

0,498736

0,498777

0,498817

0,498856

0,498893

0,498930

0,498965

0,498999

3,1

0,499032

0,499065

0,499096

0,499126

0,499155

0,499184

0,499211

0,499238

0,499264

0,499289

3,2

0,499313

0,499336

0,499359

0,499381

0,499402

0,499423

0,499443

0,499462

0,499481

0,499499

3,3

0,499517

0,499534

0,499550

0,499566

0,499581

0,499596

0,499610

0,499624

0,499638

0,499651

3,4

0,499663

0,499675

0,499687

0,499698

0,499709

0,499720

0,499730

0,499740

0,499749

0,499758

3,5

0,499767

0,499776

0,499784

0,499792

0,499800

0,499807

0,499815

0,499822

0,499828

0,499835

3,6

0,499841

0,499847

0,499853

0,499858

0,499864

0,499869

0,499874

0,499879

0,499883

0,499888

3,7

0,499892

0,499896

0,499900

0,499904

0,499908

0,499912

0,499915

0,499918

0,499922

0,499925

3,8

0,499928

0,499931

0,499933

0,499936

0,499938

0,499941

0,499943

0,499946

0,499948

0,499950

3,9

0,499952

0,499954

0,499956

0,499958

0,499959

0,499961

0,499963

0,499964

0,499966

0,499967

4,0

0,499968

0,499970

0,499971

0,499972

0,499973

0,499974

0,499975

0,499976

0,499977

0,499978

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

  1. Determinar o valor, ou valores, de z em cada um dos casos, nos quais as áreas referem-se às limitadas pela curva normal:

Resposta:

    1. a área entre 0 e z é 0,3770 (z= 1,16)

    2. a área a esquerda de z é 0,8621 (z=1,09)

  1. O peso médio de 500 estudantes do sexo masculino de uma determinada universidade é 75,5kg e o desvio padrão é de 7,5 kg. Admitindo-se que os pesos estão distribuídos normalmente, determinar quantos estudantes pesam:

Resposta

    1. entre 60 e 77,5kg (P(-2,06<z<0,266)=0,6 => 300 estudantes)

    2. mais do que 92,5kg (P(z>2,26)=0,0119 = > 6 estudantes)

  1. A média dos diâmetros internos de uma amostra de 200 arruelas produzidas por certa máquina é 0,502 polegadas e o desvio padrão é 0,005 polegadas. A finalidade para a qual essas arruelas são fabricadas permite a tolerância máxima, para o diâmetro, de 0,496 a 0,508 polegadas; se isso não se verifica, as arruelas serão consideradas defeituosas. Determinar a porcentagem de arruelas defeituosas produzidas pela máquina, admitindo-se que os diâmetros são distribuídos normalmente. Resposta: 23,02%

  1. Se z é normalmente distribuída, com média zero e variância 1, determinar:

Resposta:

    1. P(z>-1,64) = (0,9495)

    2. P(-1,96<z<1,96) = (0,95)

    3. P(0<z<1,44) = (0,4251)

    4. P(-0,85<z<0) = (0,3023)

    5. P(-1,48<z<2,05) = (0,9104)

    6. P(0,72<z<1,86) = (0,2044)

CAPITULO 8

INTRODUÇÃO

A REGRESSÃO e a CORRELAÇÃO são técnicas utilizadas para estimar uma relação que possa existir na população, enquanto as técnicas anteriormente estudadas (Medidas de Tendência Central e de Dispersão: Média, Desvio Padrão, Variância, etc.) servem para estimar um único parâmetro populacional.

A análise de correlação e regressão compreende a análise de dados amostrais para saber se e como duas ou mais variáveis estão relacionadas uma com a outra numa população.

A correlação mede a força, ou grau, de relacionamento entre duas variáveis; a regressão dá a equação que descreve o relacionamento em termos matemáticos.

(1) CORRELAÇÃO

Definição: Quando duas variáveis estão ligadas por uma relação estatística, dizemos que existe correlação entre elas.

Por exemplo:

- A circunferência C e o raio r estão perfeitamente correlacionados, porque r.

- As variáveis altura e peso de indivíduos revelariam alguma correlação.

Diagrama de dispersão: O diagrama de dispersão é um gráfico onde pontos no espaço cartesiano XY são usados para representar simultaneamente os valores de duas variáveis quantitativas medidas em um conjunto de dados.

Por exemplo:

Um dos objetivos dos pesquisadores neste estudo é encontrar uma maneira de conhecer o peso do urso através de uma medida mais fácil de se obter do que a direta (carregar uma balança para o meio da selva e colocar os ursos em cima dela) como, por exemplo, uma medida de comprimento (altura, perímetro do tórax, etc.).

O problema estatístico aqui é encontrar uma variável que tenha uma relação forte com o peso, de modo que, a partir de seu valor medido, possa ser calculado (estimado) o valor peso indiretamente, através de uma equação matemática.

O primeiro passo para encontrar esta variável é fazer o diagrama de dispersão das variáveis candidatas (eixo horizontal) versus o peso (eixo vertical), usando os pares de informações de todos os ursos. Você pode tentar as variáveis: idade, altura, comprimento da cabeça, largura da cabeça, perímetro do pescoço e perímetro do tórax.

A Figura  mostra a relação entre peso e altura e entre peso e perímetro do tórax.

Analisando o gráfico:

1) Podemos ver que, tanto a altura quanto o perímetro do tórax são fortemente associados ao peso do urso, no sentido de que quanto mais alto o urso ou quanto maior a medida de seu tórax, mais pesado ele será.

2) Note que este crescimento é linear para o perímetro do tórax e não-linear para a altura.

3) Os pontos estão mais dispersos no gráfico da altura, a variável mais adequada para estimar o peso é o perímetro do tórax.

Observação: A correlação entre duas variáveis pode ser POSITIVA, NULA ou NEGATIVA.

Gráfico 1 (+) Gráfico 2 (-)

Gráfico 3 (nula)

Cálculo do Coeficiente de Correlação Linear de Pearson

Definição: Dado n pares de valores (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn), o coeficiente entre as duas variáveis X e Y é dado pela média dos valores dos produtos padronizados das variáveis.

Indica o grau de intensidade entre duas variáveis e ainda o sentido dessa correlação (positivo ou negativo).

Só deve ser utilizado com variáveis contínuas.

A partir dos valores de r, podemos verificar o tipo da correlação existente entre as variáveis estudadas, conforme tabela seguinte:

Valor de r

Correlação

0,0

Nula

0,0 ----| 0,3

Fraca

0,3 ----| 0,6

Media

0,6 ----| 0,9

Forte

0,9 ----| 0,99

Fortíssima

1,0

Perfeita

Exemplo: Considerando uma amostra aleatória, formada por dez dos 98 alunos de uma classe da faculdade A e pelas notas obtidas por eles em Matemática e Estatística:

Calcule o coeficiente de correlação e interprete seu valor.

Conclusão: O resultado nos indica uma correlação linear positiva altamente significativa entre as duas variáveis.

Se o relacionamento entre X e Y for consistente e necessitamos fazer uma predição para o valor de Y, conhecido um valor de X, através de uma formula matemática adequada, podemos aplicar a chamada ANÁLISE DE REGRESSÃO SIMPLES.

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

1) Observou-se que o volume mensal de lixo gerado em uma cidade, em função do número de dormitórios das residências, é o seguinte (em m3):

No Dormitórios

1

2

3

4

Volume de lixo

0,15

0,29

0,45

0,57

  1. Calcular o coeficiente de correlação de Pearson. (0,9986)

2) A função de demanda de um produto está representada na tabela abaixo:

Preço (R$)

56,00

60,00

63,00

68,00

74,00

Demanda (un.)

100

93

87

81

75

  1. Calcular o coeficiente de correlação de Pearson. (-0,983)

3) Os gastos com propaganda e o respectivo volume de vendas gerado, de um certo produto, são dados abaixo:

Gastos com propaganda (em milhares de R$)

20

40

10

100

70

Volume de vendas (em milhares de R$)

1.110

1.250

1.000

1950

1600

  1. Calcular o coeficiente de correlação de Pearson. (0,9969)

(2) REGRESSÃO

Objetivo: A regressão linear simples constitui uma tentativa de estabelecer uma equação matemática linear (linha reta) que descreva o relacionamento entre duas variáveis.

Para obter uma reta de regressão, n pares de observações das variáveis são utilizados. Considerando Y como a variável dependente ou variável resposta e, X como a variável independente ou preditora, a reta de regressão é dada por:

Y = + X + u

 é o coeficiente linear (intercepto), ou seja, é o ponto onde a reta corta o eixo Y;

 é o coeficiente angular, ou seja, determina a inclinação da reta.

Graficamente:

  • u representa o incremento em Y quando X aumenta em uma unidade;

ESTIMADORES DE  E  PARA O MODELO DE REGRESSÃO LINEAR

Os valores de a e b serão determinados, através do Método dos Mínimos Quadrados (MMQ). O objetivo é encontrar a e b tal que a soma dos erros quadráticos médios seja o menor possível.

O erro é determinado por:

tal que

Os valores de a e b são encontrados através da seguinte fórmula:

É importante observar que:

- b mede a variação que ocorre em Y por unidade de variação de X.

- Quando não houver relação entre X e Y teremos , pois b=0

- Quando as relações entre X e Y forem proporcionais, a reta passa na origem e

a = 0, logo bX

Exemplo:

1) Um laboratório está interessado em medir o efeito da temperatura sobre a potência de um antibiótico. Dez amostras de 50 gramas cada foram guardadas a diferentes temperaturas, e após 15 dias, mediu-se a potência. Os resultados estão no quadro abaixo.

Temperatura

30

36

50

54

60

73

78

82

91

95

Potência

38

43

32

26

33

19

27

23

14

21

Podemos concluir que o gráfico se trata de uma correlação retilínea, de modo a permitir o ajustamento de uma reta, imagem da função Y = + X + u. (se não houvesse uma correlação significativa, nossa melhor predição da potência do antibiótico seria ).

Então, precisamos calcular os valores dos parâmetros da equação que é uma estimativa da verdadeira equação da reta de regressão, onde é o estimado.

Identificação das variáveis:

Variável dependente: Potência do antibiótico

Variável independente: Temperatura

Estimadores da reta de regressão:

(Coef. Linear)

(Coef. Angular ou Intercepto)

Logo,

Interpretação da reta de regressão: cada ponto da reta de regressão fornece uma estimativa do valor médio ou esperado de Y correspondente ao valor X escolhido; O valor =-0,35114, que mede a declividade da reta, mostra que, dento da escala da amostra de X entre 30ºC e 95ºC, quando X aumenta em , digamos 1ºC, a potência estimada do antibiótico diminui em 0,35ºC. O valor de 50,389, que é o intercepto da reta, indica o nível médio da potência do antibiótico quando a temperatura é zero.

Determinar a potência do antibiótico quando a exposição for de 65oC.

Exemplo 2: Um funcionário de uma pista de corrida local gostaria de desenvolver um modelo para prever a quantia apostada (em mil dólares) com base na freqüência do público (por 100 apostadores). Após realizar a reta de regressão, o funcionário obteve os resultados abaixo. Escreve a equação da reta e interprete-a:

Coeficiente

Intercepto

4,3424

Coef. Linear

0,0465

Resposta:

Y = variável dependente = quantidade apostada

X = variável independente = freqüência do público

A equação da reta será:

Assim, o valor apostado quando a freqüência é zero (0) é de 4,3424 mil dólares. Além disso, para cada 100 pessoas a mais na pista o total apostado subirá em 0,0465.

Uma importante função de determinar a reta de regressão para duas variáveis é a possibilidade de realizar previsões, ou seja, uma vez que obtemos a reta de regressão, podemos escolher um valor de interesse para a variável independente (X) e determinar o valor esperado para a variável dependente (Y).

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

1) Observou-se que o volume mensal de lixo gerado em uma cidade, em função do número de dormitórios das residências, é o seguinte (em m3):

No Dormitórios

1

2

3

4

Volume de lixo

0,15

0,29

0,45

0,57

  1. Determinar a equação da reta de regressão. (y = 0,142x + 0,01)

  2. Estimar o volume de lixo para uma residência com 5 dormitórios. (0,11082)

2) A função de demanda de um produto está representada na tabela abaixo:

Preço (R$)

56,00

60,00

63,00

68,00

74,00

Demanda (un.)

100

93

87

81

75

  1. Determinar a equação da reta de regressão. (y = -1,3831x + 176)

  2. Estimar a demanda se o preço for R$ 80,00. (65,352)

3) Os gastos com propaganda e o respectivo volume de vendas gerado, de um certo produto, são dados abaixo:

Gastos com propaganda (em milhares de R$)

20

40

10

100

70

Volume de vendas (em milhares de R$)

1.110

1.250

1.000

1950

1600

  1. Determinar a equação da reta de regressão. (v=10,496p+878,175)

  2. Estimar o volume de vendas para um gasto de R$ 150,00 em propaganda.

(2.452,575)

  1. Caso não se faça nenhum investimento em propaganda, qual o volume de vendas esperado? (878,175)

  1. Se a expectativa de vendas for de R$ 1.500,00, quando se deve investir em propaganda para esse produto? (59,24)

: COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO

Uma das formas de determinar se o modelo encontrado é satisfatório para explicar os dados é calculando o COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO do modelo. Esse coeficiente compara a variabilidade do modelo com a variabilidade total dos dados.

CÁLCULO DO :

  • A variabilidade do modelo (variabilidade explicada ou soma dos quadrados explicada) pode ser calculada como: .

  • A variabilidade total (soma dos quadrados total) pode ser calculada como: .

Observação:

Exemplo 1: Calcular e interpretar o coeficiente de determinação R2 para os dados do primeiro exercício.

Temperatura

(X)

Potência (Y)

Valores

preditos ()

30

38

39.86

108.16

150.21

36

43

37.75

237.16

103.01

50

32

32.83

19.36

27.40

54

26

31.43

2.56

14.67

60

33

29.32

29.16

2.97

73

19

24.76

73.96

8.07

78

27

23.00

0.36

21.13

82

23

21.60

21.16

36.01

91

14

18.44

184.96

83.92

95

21

17.03

43.56

111.63

27,6

720,4

559,02

R2

0,7759

Interpretação: o modelo explica 77,59% da variabilidade total de Y. Em outras palavras, a variabilidade da potência do antibiótico é 77,59% explicada pela sua temperatura de armazenamento.

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

Uma amostra de 5 ratos da raça Wistar foi obtida e suas idades (em dias) e pesos (em gramas) são apresentados na tabela abaixo:

Idade (dias)

Peso médio (gramas)

30

63,94

34

74,91

38

81,65

42

95,05

46

105,89

  1. Esboce um diagrama de dispersão para essas variáveis.

  2. Calcule o coeficiente de correlação de Pearson.

  3. Com base nos itens (a) e (b), você acha que há relação entre as duas variáveis? Que tipo de relação é essa?

  4. Deseja-se obter uma reta que explique o peso médio dos ratos em função das suas idades. Qual deve ser a variável independente e qual deve ser a variável dependente?

  5. Obtenha e interprete a reta de regressão.

  6. Calcule o coeficiente de determinação para a reta obtida. Você acha que o modelo se ajusta bem aos dados observados? Por quê?

  7. Qual o peso médio, em gramas, para ratos com 32, 40, 43 e 49 dias?

Bibliografia

TRIOLA, Mário F., Introdução à ESTATÍSTICA - 7ª Edição – Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A.

CRESPO, Antônio Arnot, Estatística Fácil – 18ª Edição – São Paulo, 2002.

1 Considere estas evidências as mais comuns entre pacientes. Suponha também que as evidências acima sejam exclusivas.

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