Baixe Transformações de Lorentz via Grupos e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! Transformações de Lorentz Neste pequeno trabalho, pretendo mostrar uma maneira de chegar às transformações de Lorentz, tão usadas na f́ısica, a partir das ferramentas fornecidas pela Teoria de Grupos. Este é um caminho bem mais natural e mais consistente do que o que normalmente se vê nos livros de F́ısica, pois ele não precisa necessariamente admitir a homogeneidade e a isotropia do espaço, e, nem que a teoria seja linear. Vamos nos restringir ao caso de uma transformação em duas dimensões (1 + 1), mas, que pode ser expandida para uma transformação mais usual 4-dimensional (3 + 1), utilizando um racioćınio análogo. Primeiramente, vamos partir da definição do grupo O(1,1), o grupo de transformações ortogonais em 1 + 1 dimensões: O(1, 1) = L ∈M(R, 2);< Lx, ηLy >R=< x, ηy >R (1) onde:< x, ηy >= −x1y1 + x2y2, pois: η = ( −1 0 0 1 ) (2) Sendo que x e y são vetores reais, com componentes: x = (x1, x2) e y = (y1, y2). Logo: ηy = ( −1 0 0 1 )( y1 y2 ) = ( −y1 y2 ) Então: < x, ηy >= (x1, x2)(−y1, y2) = −x1y1 + x2y2 E, esta forma é invariante sob a ação de tal grupo. Da definição (1), temos que: < x, ηy >=< Lx, ηLy > e, passando L para o outro lado no lado direito da expressão acima, temos que: < x,LTηLy >=< x, ηy > que também pode ser escrito como: < x, ηy > − < x,LTηLy >= 0 ⇒ < x, (η − LTηL)y >= 0 1 Para que a igualdade acima seja verdadeiro, é necessário que: η = LTηLy. E, então, admitindo que a matriz L tem uma inversa, podemos multiplicar L−1 pela direita em ambos os lados, o que dar em: LTη = ηL−1 que também pode ser escrita como: L−1 = η−1LTη de (2), já conhecemos a forma de η, e, verifica-se facilmente que: η−1 = η. Logo: L−1 = ηLTη (3) E, aplicando (3), temos: L−1 = ηLTη det(L−1) = det(η)det(LT )det(η) det(L−1) = [det(η)]2det(LT ) det(L−1) = (−1)2det(LT ) 1 det(L) = 1.det(LT ) 1 det(L) = det(L) [det(L)]2 = 1 det(L) = ±1 (4) Para o caso onde det(L) = 1, temos o grupo: SO(1, 1). E, para det(L) = −1, temos o grupo O(1, 1). Logo, para a primeira situação,podemos redefinir o grupo, como: SO(1, 1) = {L ∈ O(1, 1); det(L) = 1} (5) E, generalisando a matriz L, temos: L = ( a b c d ) (6) L−1 = ( d −b −c a ) (7) LT = ( a c b d ) (8) 2 Sabemos que: M2L1 = (M 2 1 ) L = IL = I (19) E, substituindo (19) em (18), temos: eθM1 = ∞∑ L=0 1 2L! θ2LI + ∞∑ L=0 1 (2L+ 1)! θ2L+1IM1 (20) Em (20), podemos encontrar a expressão da série da Taylor de duas funções conhecidas: ∞∑ L=0 θ2L (2l)! = cosh(θ) e ∞∑ L=0 θ2L+1 (2l + 1)! = senh(θ) E, sabendo disso, temos: L(z) = ezM1 = cosh(z)I + senh(z)M1 (21) E, podemos ainda escrever: L++ = { L(z) = ( cosh(z) (z) −senh(z) cosh(z) ) , z ∈ R } E, parametrizando novamente, temos: tgh(z) = v c (22) ,onde c é uma constante e v é um parâmetro. O gráfico da função tgh é da forma: Figura 1: Logo, temos que: v ∈ [−c, c]. E, também, sabemos que: cosh2(z)− senh2(z) = 1 (23) 5 que podemos multiplicar tudo por 1 cosh2(z) , que fica: 1− tgh2(z) = 1 cosh2(z) de (22), nós podemos substituir, que fica: 1− v 2 c2 = 1 cosh2(z) ⇒ cosh2(z) = 1 1− v2 c2 E, substituindo o resultado acima em (23), temos: 1 1− v2 c2 − senh2(z) = 1 −senh2(z) = 1− 1 1− v2 c2 −senh2(z) = −v2 c2 1− v2 c2 senh2(z) = v2 c2 1− v2 c2 (24) Podemos ainda definir uma nova variável de parametrização: γ(v) = 1√ 1− v2 c2 E, então, a matriz L(z) poderá sem escrita como: L(z) = ( cosh(z) −senh(z) −senh(z) cosh(z) ) = ( γ(v) −v c γ(v) −v c γ(v) γ(v) ) (25) E, a equação (25) é a matriz de transformação de Lorentz para duas dimensões, uma espacial e uma temporal. c.q.d. 6
