Planejamento e Organização na Panificação, Notas de estudo de Engenharia de Alimentos

Baixe Planejamento e Organização na Panificação e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia de Alimentos, somente na Docsity! ALINE REGINA NORONHA COSTA PROGRAMAÇÃO DA PRODUÇÃO OTIMIZADA EM INDÚSTRIAS DE PANIFICAÇÃO. Dissertação apresentada como requisito parcial à obtenção de grau de Mestre em Ciências, Programa de Pós- Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia, Setor de Ciências Exatas e de Tecnologia, Universidade Federal do Paraná. Orientador: Prof.º Arinei Carlos Lindbeck da Silva CURITIBA 2009 TERMO DE APROVAÇÃO Aline Regina Noronha Costa “PROGRAMAÇÃO DA PRODUÇÃO OTIMIZADA EM INDÚSTRIAS DE PANIFICAÇÃO” Dissenação aprovada como requisito parcial para obtanção do grau de Mestre no curso de Pós-Graduação em Métodes Numéricos em Engerharia — Área de Concentração em Programação Matemática, Setores de Tecnologia e de Ciências Exatas da Universidade Federal do Paraná, vela seguinte barca examinadora: Criprtador Pro? Dr Arnel Cds Thee da sia PPGMNE - UFPR ET Profs Drº Laura Beatriz Xar: e o fa Alimentos — PUC-PR e; VEL dr Prot? Drº Robson'Sale; TR Dopartamento de En ido Produção FATEG Intenacional Dos 99) Prof? Dr” Deise Maria Bertholdi Costa PPGMNE - UFPR Carmiba, 11 da março de 2009  4.3.2 Variáveis ......................................................................................................... 39 4.3.3 Funções Objetivo ............................................................................................ 43 4.3.4 Restrições ....................................................................................................... 46 4.3.5 Índices ............................................................................................................ 50 5 IMPLEMENTAÇÃO ........................................................................................ 55 5.1 ETAPAS ......................................................................................................... 55 5.2 EQUIPAMENTOS ................................................................................................ 56 5.3 MASSAS ............................................................................................................ 58 5.4 TEMPOS E EQUIPAMENTOS ................................................................................. 59 5.5 PRODUTOS ....................................................................................................... 61 5.6 LOCALIZAR E ALTERAR ...................................................................................... 62 5.7 PEDIDOS ........................................................................................................... 63 5.8 DADOS DO PLANEJAMENTO ................................................................................ 64 5.8.1 Tempo de operação........................................................................................ 64 5.8.2 Pesos da Função Objetivo .............................................................................. 64 5.8.3 Início da produção .......................................................................................... 65 5.8.4 Relatórios ....................................................................................................... 66 6 RESULTADOS ............................................................................................... 70 7 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ............... 75 REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 77 ANEXO 1................................................................................................................... 80 ANEXO 2................................................................................................................. 100 ANEXO 3................................................................................................................. 107 ANEXO 4................................................................................................................. 111 vi LISTA DE TABELAS TABELA 1- DADOS TÉCNICOS SOBRE O PROCESSAMENTO DA MASSA SALGADA ................................................................................................................. 41 TABELA 2 – MOMENTO INICIAL E TEMPO DE OCUPAÇÃO PARA A ETAPA DE EMBALAGEM (R=6) NOS PADRÕES 1 A 4. ............................................................ 48 TABELA 3 – TEMPOS DE PROCESSAMENTO DAS MASSAS SALGADA E DOCE. .................................................................................................................................. 60 TABELA 4 –PESOS DAS FUNÇÕES OBJETIVO UTILIZADOS NOS TESTES PRELIMINARES ........................................................................................................ 71 TABELA 5 – ÍNDICES DE ATENDIMENTO E NÚMERO DE LOTES ABAIXO DA CAPACIDADE MÁXIMA. ........................................................................................... 71 TABELA 6 – OCUPAÇÃO DOS EQUIPAMENTOS E PRODUÇÃO (EM PESO). ..... 72 TABELA 7 – RESULTADOS DOS TESTES PRELIMINARES APROVADOS........... 72 TABELA 8 – ÍNDICES OBTIDOS PELO SOFTWARE APÓS O PLANEJAMENTO REAL E UTILIZADOS PARA A TOMADA DE DECISÃO. ......................................... 74 TABELA 9- PRODUTOS CADASTRADOS PARA USO NO CASO REAL .............. 109 TABELA 10 - PROCESSO DA MASSA SALGADA UTILIZADO NO MODELO REAL ................................................................................................................................ 109 TABELA 11 - PROCESSO DA MASSA DOCE UTILIZADO NO MODELO REAL ... 109 TABELA 12 - TABELA DE DEMANDA GERADA PELO SOFTWARE NO PLANEJAMENTO DO MODELO REAL. ................................................................. 110 TABELA 13 – PEDIDO REAL, APÓS A CONVERSÃO DE HORA EM TEMPO ..... 110 vii LISTA DE ILUSTRAÇÕES FIGURA 1 - CONTINUIDADE DO PROCESSO PRODUTIVO. ................................. 16 FIGURA 2 – REPRESENTAÇÃO DAS LINHAS DE PROCESSO CRUZADAS ........ 17 FIGURA 3– DIAGRAMA DE FLUXO DO PROCESSO DE FABRICAÇÃO DE MASSA SALGADA EM UMA INDÚSTRIA DE PANIFICAÇÃO. .............................................. 18 FIGURA 4– DIAGRAMA DE FLUXO DO PROCESSO DE FABRICAÇÃO DE MASSA DOCE EM UMA INDÚSTRIA DE PANIFICAÇÃO. .................................................... 19 FIGURA 5– DIAGRAMA DE FLUXO DO PROCESSO DE FABRICAÇÃO DE MASSA PARA CONFEITAR EM UMA INDÚSTRIA DE PANIFICAÇÃO. ............................... 20 FIGURA 6– DIAGRAMA DE FLUXO DO PROCESSO DE FABRICAÇÃO DE MASSA ESPECIAL EM UMA INDÚSTRIA DE PANIFICAÇÃO. ............................................. 21 FIGURA 7– FLUXO DE INFORMAÇÕES NO SOFTWARE DESENVOLVIDO NESTE TRABALHO. .............................................................................................................. 22 FIGURA 8 – FLUXO PARA SOLUCIONAR PROBLEMAS ATRAVÉS DA MODELAGEM MATEMÁTICA OU DOS MÉTODOS TRADICIONAIS. ..................... 30 FIGURA 9 - ÁRVORE DE DECISÃO DE UM ALGORITMO BRANCH-AND-BOUND. .................................................................................................................................. 34 FIGURA 10- PADRÃO GERAL APRESENTADO EM FORMATO DE MATRIZ. ....... 42 FIGURA 11 - PADRÃO P4 APRESENTADO NA FORMA DE MATRIZ. ................... 42 FIGURA 12 - PLANO DE PRODUÇÃO COM X3_5 = 1. ............................................. 49 FIGURA 13 - PLANO DE PRODUÇÃO COM X3_5 = 1 E X3_8 = 1. ............................ 49 FIGURA 14 - EQUIPAMENTO 2 NOS PADRÕES 3 E 4. .......................................... 50 FIGURA 15 - TELA DE INTERFACE DO SOFTWARE DE PLANEJAMENTO DE PRODUÇÃO. ............................................................................................................ 55 FIGURA 16 – TELA PARA CADASTRO DE ETAPAS DOS PROCESSOS .............. 56 FIGURA 17 - LISTA DE ETAPAS CADASTRADAS GERADA PELO SOFTWARE .. 56 FIGURA 18 – TELA PARA CADASTRO DE EQUIPAMENTOS................................ 57 FIGURA 19 - LISTA DE EQUIPAMENTOS GERADA PELO SOFTWARE ............... 57 FIGURA 20 – TELA PARA CADASTRO DO TIPO DE MASSA E AS ETAPAS QUE PARTICIPAM DO PROCESSO PRODUTIVO ........................................................... 58 FIGURA 21 - LISTA DE MASSAS GERADA PELO SOFTWARE ............................. 58 FIGURA 22 – DIAGRAMA DE BLOCOS DOS PROCESSOS GERADO PELO SOFTWARE .............................................................................................................. 59 x RESUMO Este trabalho propõe a resolução do problema de planejamento da produção de uma indústria de panificação utilizando um modelo matemático de programação linear inteira mista e o desenvolvimento de um software para utilização diária. O modelo utiliza dados técnicos de tempos de processo, produtos e equipamentos existentes na indústria, além da demanda real e permite ao tomador de decisão ponderar sobre a importância dos seguintes objetivos: produzir toda a demanda, atender aos pedidos no tempo, utilizar os equipamentos da melhor forma e não desperdiçar produtos. O modelo é resolvido pelo software de otimização MOSEK e apresenta um relatório de seqüenciamento da produção de fácil interpretação para uso direto dos operadores da fábrica. xi ABSTRACT This paper proposes to solve the problem of the production planning of an bakery industry using a mathematical model of mixed integer linear programming and its implementation to be used daily. Using technical data from time to process, products and equipment in the industry, beyond the actual demand and allows the decision-maker to consider the importance of the following objectives: to produce any demand, meet the demands in time, using the best equipment way and not to waste products. The model is solved by the optimization software MOSEK and issues a complete report with sequencing of the production of easy interpretation for direct use by plant operators. 1 INTRODUÇÃO Permanecer no mercado com preço competitivo e com produtos de qualidade reconhecida é uma tarefa que requer constante aperfeiçoamento e adaptação, conseqüentemente, diversos ramos da indústria buscam alternativas para aprimorar seu desempenho e atingir altos níveis de qualidade com custo reduzido e com flexibilidade. Os sistemas de planejamento e controle de produção permitem que as indústrias melhorem seu desempenho, reduzindo os custos da linha produção com baixos investimentos. As decisões sobre a manufatura devem estar integradas com as decisões estratégicas da organização, aplicando o conceito de Estratégia da Manufatura (MOURA JÚNIOR, 1996). Diversos sistemas de planejamento e controle de produção estão disponíveis no mercado e podem ser adequados a diversos tipos de indústria, inclusive às indústrias de alimentos, para os quais o planejamento é a “longo prazo” ou a linha de produção pode ser interrompida. Para as indústrias de alimentos com planejamento a “curto prazo”, sob demanda ou com processos contínuos, a adaptação dos sistemas existentes é mais complexa. Este trabalho visa apresentar uma metodologia para automatizar a programação e o seqüenciamento de uma produção contínua baseada em pedidos diários, bem como desenvolver um programa de fácil acesso que possibilite a implantação desta metodologia em indústrias de alimentos. O presente trabalho deu-se no momento em que uma indústria de panificação apresentou sua enorme dependência de um funcionário com conhecimentos avançados para o planejamento e seqüenciamento da produção diária. Devido aos diferentes tipos de indústria, ao tamanho das empresas e as diferenças entre as estruturas administrativas e produtivas, não é possível generalizar soluções para o planejamento e controle de produção (PCP). Este trabalho busca então uma solução para a empresa de médio porte, do ramo de 2 DESCRIÇÃO DO PROBLEMA 2.1 AS INDÚSTRIAS DE PANIFICAÇÃO O desenvolvimento da tecnologia de cereais permitiu a industrialização de produtos antigamente artesanais, como o pão francês, broas e pães de hambúrguer. No Brasil existem grandes indústrias de panificação concorrendo com os produtos recém fabricados de pequenas e médias panificadoras. O planejamento da produção é a maior dificuldade das indústrias de panificação que operam com uma grande variedade de produtos e buscam o baixo uso de conservantes. A programação e seqüenciamento da produção é imprescindível para que os pedidos estejam prontos no horário correto. Cada produto possui particularidades e exige tempos específicos de processo em cada equipamento antes de estar pronto para o consumidor, como o pão francês que, para não perder qualidade, deverá ser entregue ao consumidor em até uma hora após o término do processamento. Esse prazo torna-se um problema quando o local de venda não é o mesmo do processamento. Indústrias de panificação que comercializam produtos assados precisam programar o horário de entrega para garantir a qualidade dos pães. Os equipamentos utilizados em uma indústria de panificação são compartilhados por diversas linhas de produção, sendo utilizados na produção de diversos tipos de pães. Este compartilhamento exige uma programação para reduzir o tempo ocioso das máquinas e não causar filas, dado que os produtos panificados, em sua maioria, possuem fermento biológico em sua formulação e exigem um processamento contínuo. Este trabalho está focado no planejamento de produção sob encomenda, de produtos que podem permanecer na indústria por diferentes prazos, que variam de 30 minutos a 4 horas. Atualmente o planejamento da produção é efetuado por um funcionário que toma decisões com base na experiência. Cada cliente solicita uma quantidade diferente de cada produto e determina o horário de entrega. Os hotéis, por exemplo, determinam quantos pães franceses, bolos e baguettes vão precisar para o café da manhã que é servido às 6 horas. 16 A variedade de produtos é grande e a indústria precisa decidir com rapidez a ordem de fabricação, que não podem ter seu processo interrompido e não devem permanecer parados na indústria por muito tempo. 2.2 PARTICULARIDADES DO PROCESSO PRODUTIVO A partir do momento em que a água e o fermento são adicionados ao restante dos ingredientes da formulação, o lote deverá respeitar os tempos de processo até ser finalizado, logo não é possível deixar o lote “esperando” para entrar em uma etapa ou equipamento, o processo precisa ser contínuo, conforme apresentado na FIGURA 1 FIGURA 1 - Continuidade do processo produtivo. 2.2.1 Os tipos de pães Existem diversos tipos de massa, receitas e formulações. Para estudo, podemos dividir as massas em 4 grandes grupos: Massa salgada ou de sal: É a massa do pão francês e baguette. Tem como características principais a crocância, grande volume e miolo macio. Pode receber temperos como orégano e pimenta calabresa no meio da massa ou parmesão e gergelim apenas na superfície. Mesmo com o uso de aditivos e conservantes o prazo de validade na indústria1 é de 30 minutos, considerando tempo gasto para transporte de 30 minutos. Massa doce: É a massa do pão de hambúrguer e hot-dog. Tem como características principais a casca macia e de coloração marrom escura e o miolo macio e denso. Tem sabor levemente adocicado e cheiro característico. Não costuma sofrer variações. Possui 4 horas de prazo de validade para a indústria. 1 Tempo recomendado para permanência do produto na empresa, antes de ser transportado até o consumidor. 17 Após este período é considerado inadequado para a entrega, considerando que um revendedor exige um prazo de validade2 de 3 dias após o recebimento do produto em seu estabelecimento. Massa para confeitar: É a massa das roscas e chineques. Recebe frutas na massa ou superfície e coberturas de baunilha, açúcar ou chocolate. Massa especial: É a massa das broas (normalmente integrais) e dos pães de forma. São confeccionados em assadeiras especiais e exigem grande mão de obra. Pode ser confeccionada com diversos tipos de farinha e afins (centeio fino, centeio grosso, trigo integral, batata, cenoura). Tem como características principais as dimensões e o formato (possível de fatiar e/ou retirar a casca), casca levemente crocante e miolo bem firme. Assim como a massa doce, possui 4 horas de prazo de validade para a indústria. Todas as massas podem ser comercializadas congeladas (quando o processo é desviado, antes da etapa de desenvolvimento do fermento, para a etapa de congelamento). O prazo de validade das massas congeladas é de 30 a 60 dias, dependendo da sua formulação. 2.2.2 As etapas Cada tipo de massa possui uma linha de produção. Alguns equipamentos são compartilhados entre elas (as linhas de produção são cruzadas) conforme representado na FIGURA 2. As etapas podem variar conforme a indústria. Os diagramas de blocos apresentados nas FIGURAS 3 a 6 mostram as etapas, os equipamentos utilizados e os tempos de processo das massas: salgadas, doces, para confeitar e especiais, respectivamente. FIGURA 2 – Representação das linhas de processo cruzadas 2 Tempo indicado para consumo. Após este período as características organolépticas e a segurança alimentar podem estar comprometidas. 20 FIGURA 5– Diagrama de fluxo do processo de fabricação de massa para confeitar em uma indústria de panificação. Pesagem dos ingredientes Mistura Ingredientes são misturados em tacho, a temperatura ambiente, por 15 minutos. A temperatura da massa não ultrapassa 26ºC. A massa é dividida manualmente – 6 minutos Modelagem Cada unidade é modelada manualmente – 3 minutos Embalagem O produto é embalado em pacotes plásticos folha a folha, lacrados e etiquetados – 5 minutos Tempo de espera Acondicionados em estantes com empilhamento máximo de 2 pacotes. O produto permanece na indústria por até 1 hora Distribuição A distribuição é feita apenas por carros sem refrigeração. Acondicionamento em formas Acondicionamento manual da massa modelada em fôrmas de aço inox – 1 minuto Crescimento As fôrmas permanecem em estufa a 35°C por aproximadamente 3 horas. Cocção A massa crescida é assada durante 20 minutos a 180°C em forno a lastro. Resfriamento O produto permanece em sala fechada até atingir a temperatura ambiente – 20 minutos Divisão Acondicionados em potes plásticos e balança analítica – 2 minutos Adição de confeitos A massa crescida recebe confeitos como frutas e farofas, na superfície – 1 minuto. Adição de coberturas O produto permanece recebe cobertura açucarada ou de chocolate – 2 minutos 21 FIGURA 6– Diagrama de fluxo do processo de fabricação de massa especial em uma indústria de panificação. Cada tipo de massa possui uma variedade de produtos com diferentes sabores e pesos líquidos. Cada equipamento possui uma capacidade mínima e máxima de produção e operação. Os pedidos são efetuados por tipo de produto e o planejador precisa agrupar as massas semelhantes para viabilizar o uso dos equipamentos (atingir a capacidade mínima de cada equipamento). Pesagem dos ingredientes Acondicionamento em potes plásticos e balança analítica – 3 minutos Mistura Ingredientes são misturados em tacho, a temperatura ambiente, por 15 minutos. A temperatura da massa não ultrapassa 26ºC. A massa é dividida em blocos conforme o peso do produto – 1 minuto Embalagem O produto é embalado em pacotes plásticos individualmente, lacrados e etiquetados – 7 minutos Tempo de espera Acondicionados em estantes e permanecem na indústria por até 4 horas Distribuição A distribuição é feita apenas por carros sem refrigeração. Acondicionamento em formas É feito o acondicionamento manual da massa modelada em fôrmas individuais de aço inox – 1 minuto Crescimento As fôrmas permanecem em estufa a 35°C por aproximadamente 4 horas. Cocção A massa crescida é assada durante 25 minutos a 180°C em forno a lastro. Resfriamento O produto permanece em sala fechada até atingir a temperatura ambiente – 30 minutos Divisão 22 Conforme apresentado, o planejador, para decidir a ordem de produção de cada dia, precisa ter em mente diversas informações sobre os produtos, o processo e os equipamentos disponíveis. E essa atividade é efetuada diariamente, porém a demanda varia e basear-se na ordem de sucesso utilizada no dia anterior não garante o atendimento da demanda do próximo dia. Assim sendo, este trabalho busca reunir todas as informações necessárias ao planejamento e organizá-las de forma a seqüenciar a produção diária de uma indústria de panificação (FIGURA 7) FIGURA 7– Fluxo de informações no software desenvolvido neste trabalho. 25 Planejamento e Controle da Capacidade: Calcula a carga de trabalho para cada período futuro visando prever se a estrutura terá capacidade para executar um determinado plano de produção, no prazo estabelecido. Esta etapa fornece informações que permitem identificar gargalos, estabelecer programações a “curto prazo” e estimar prazos viáveis para encomendas futuras além de comparar a situação atual com a planejada a tempo de efetuar medidas corretivas a “curto prazo”. Os índices de eficiência calculados permitem determinar a acuracidade do planejamento, o desempenho de cada centro produtivo e o desempenho do sistema de manufatura. Programação e Sequenciamento da Produção: Determina o prazo das atividades a serem cumpridas baseados em informações de demanda, disponibilidade de máquinas e mão-de-obra, prioridades de produção e prazos. As ordens de fabricação iniciam a execução do Planejamento de Produção. Controle da Produção e Materiais: Acompanha a fabricação e compra dos itens planejados, visando garantir os prazos estabelecidos nos planos. Recolhe dados de quantidade trabalhada, refugo, material utilizado e hora-máquina utilizada e aciona as atividades de planejamento quando ocorrer algum desvio significativo nos indicadores. Zaccarelli (1975) dividiu o PCP em outros 5 grupos: planejamento geral, planejamento específico, ferramentas e equipamentos, padrões e estimativas. O “planejamento geral” determina como e a que custo será produzido cada produto, os padrões de produção, os tempos de processo e o material necessário. O “planejamento específico” estabelece os detalhes da produção. Determina como estará distribuído no tempo e nos equipamentos. O resultado desta etapa é a folha de operações, com detalhes de qual produto deverá ser executado em qual ordem e utilizando qual equipamento. “Ferramentas e equipamentos” é a divisão que mantém condições estruturais de operação, planeja manutenções e demonstra a necessidade de novas aquisições. “Padrões” é a divisão que determina quais as etapas de processo para cada tipo de produto, quais os tempos e especificações de cada etapa, quais os equipamentos em que esta pode ser executada e qual a ordem de preferência. 26 “Estimativas” é a divisão que estabelece preços de venda, bases para controle de custos e fundamenta decisões sobre fazer ou comprar, plano de operações e alterações no projeto do produto. O objetivo do sistema de administração da produção é dar suporte à busca dos objetivos estratégicos de uma organização (CORRÊA et al, 2007). Segundo Moura Júnior (1996), os objetivos da programação e seqüenciamento da produção são aumentar a utilização dos recursos, reduzir o estoque em processo e reduzir os atrasos no término dos trabalhos. A programação pode acontecer em três níveis: Programação no nível de planejamento da produção, quando se procura encontrar as quantidades de cada tipo de produto que devem ser fabricados em períodos de tempo sucessivos. Programação no nível de Emissão de Ordens, onde se determinam quais itens devem ser reabastecidos e suas datas associadas de término de fabricação e chegada de fornecimento externo. Programação no nível de Liberação da Produção, onde se determina, para cada ordem de fabricação, quando é necessário iniciar a fabricação e quanto é preciso trabalhar em cada uma das operações planejadas. Isso é possível pelo conhecimento do tempo de passagem de cada componente, o qual contém o tempo de processamento e de montagem de cada operação, os tempos de movimentação e espera existentes entre cada operação (RESENDE, 1989). No presente trabalho, a organização estudada não utiliza de todo o sistema de administração da produção, utiliza apenas aquela que atinge diretamente os resultados da organização, conforme justificado a seguir. A previsão de demanda não é efetuada em indústrias que produzem através de pedidos. O planejamento de recursos, em indústrias de panificação, é relativamente simples devido ao fato de utilizar os mesmos recursos para uma grande variedade de produtos. O planejamento de materiais torna-se facilitado pela pequena variedade de matéria-prima e devido a grande estabilidade da mesma em estoque, ou seja, um longo prazo de validade, que facilita as compras e o estoque. Já a programação e seqüenciamento da produção é a etapa crítica do PCP, por possuir diversas peculiaridades no processo produtivo e que não são compartilhadas com outras indústrias alimentícias. Na maioria das indústrias este planejamento é efetuado por um funcionário, com alto conhecimento do processo, no momento da 27 produção. Esta filosofia torna estas indústrias altamente dependentes destes funcionários, o que dificulta a tomada de decisões. Torna-se importante buscar uma solução para esta etapa do PCP, para indústrias de panificação de pequeno e médio porte. 3.2 OS SISTEMAS DE PLANEJAMENTO E CONTROLE DE PRODUÇÃO As atividades de Planejamento e Controle da Produção (PCP) podem ser implementadas e operacionalizadas através do auxílio de, pelo menos, três sistemas: MRP / MRPII; JIT; OPT, baseados fundamentalmente na lógica do cálculo das necessidades de recursos a partir das necessidades futuras de produtos (CORRÊA et al, 2007). O sistema MRP ("Material Requirements Planning" - Planejamento das necessidades de materiais) surgiu durante a década de 60, com o objetivo de executar computacionalmente a atividade de planejamento das necessidades de materiais, permitindo determinar as prioridades das ordens de compra e de fabricação. É um sistema complexo e tem foco em estoques (de matéria-prima e produto acabado) (RUSSOMANO, 1995). O MRP permite que, baseado na decisão de produção dos produtos finais, determine-se o que, quanto e quando produzir e comprar matérias-primas, componentes e os semi-acabados (CORRÊA et al, 2007). O sistema MRP contribuiu para simplificar a gestão de materiais, mas sabe- se que garantir a disponibilidade dos materiais não garante a viabilidade da produção de determinados itens em determinados momentos (CORRÊA et al, 2007). O sistema MRP II ("Manufacturing Resources Planning" - Planejamento dos Recursos da Manufatura) é a evolução natural da lógica do sistema MRP, com a extensão do conceito de cálculo das necessidades ao planejamento dos demais recursos de manufatura (MOURA JÚNIOR, 1996). A sua complexidade e dificuldade de adaptá-lo às necessidades das empresas é uma crítica comum a este sistema, porém introduziu o conceito de demanda dependente e é um sistema de informações integrado que disponibiliza um grande número de informações para os diversos setores da empresa (CORRÊA; GIANESI, 1993). 30 realocou tripulações quando da ocorrência de desajustes nos horários dos vôos em 2003 e obteve economia anual de 40 milhões de dólares (HILLIER; LIEBERMAN, 2006). Até recentemente, gerentes utilizavam em larga escala a intuição gerencial para a tomada de decisão. O baixo poder computacional e a pouca quantidade de informações sobre a situação favoreciam este procedimento. Nos dias de hoje, com a evolução computacional, o uso dos processos de modelagem para a tomada de decisões aumentou consideravelmente, porém o uso da intuição não deve ser descartado, e sim, atuar em conjunto com a modelagem do problema. A tomada de decisão “é o processo de identificar o problema ou uma oportunidade e selecionar uma linha de ação para resolvê-lo” (LACHTERMACHER, 2007). A Pesquisa Operacional é um conjunto de técnicas que auxiliam a tomada de decisão. É composta por diversas etapas, como identificação do problema, reformulação do problema, definição do método de resolução, validação, manutenção e aprimoramento da formulação ou método, conforme apresentado na FIGURA 8. FIGURA 8 – Fluxo para solucionar problemas através da modelagem matemática ou dos métodos tradicionais. Fonte: PUCCINI; PIZZOLATO, 1990. O diagnóstico do sistema real leva à definição de um problema. O método convencional de reformular o problema de modo a torná-lo interessante para análise é através da formulação de um modelo matemático que represente a essência deste problema (HILLIER; LIEBERMAN, 2006). 31 Algumas hipóteses simplificadoras ajudam a formar um modelo matemático, onde se estabelecem as variáveis de decisão e as relações relevantes existentes no sistema (PUCCINI; PIZZOLATO, 1990). Após a formulação do modelo, define-se um método de resolução para o mesmo, através da escolha de algum algoritmo padrão da PO ou através de heurísticas (HILLIER; LIEBERMAN, 2006). Diversos softwares como o LINGO, LINDO, CPLEX, MOSEK e muitos outros solucionam modelos através dos algoritmos-padrão. O modelo do presente trabalho foi solucionado utilizando-se o MOSEK. A solução deste modelo deverá ser analisada e criticada e o modelo deverá ser revisado até apresentar resultados satisfatórios para então considerá-lo pronto para ser implementado e para solucionar o problema proposto. Outra forma de solucionar o problema é através de métodos tradicionais como “tentativa e erro”, consulta à opinião de especialistas ou até mesmo foco no problema específico sem analisar se é uma boa solução para o sistema em geral. (PUCCINI; PIZZOLATO, 1990). 3.3.1 Programação Linear A Programação Linear (PL) é uma ferramenta da Pesquisa Operacional que usa um modelo matemático composto por funções necessariamente lineares para minimizar ou maximizar parâmetros. Os modelos de PL podem ser resolvidos por diversos métodos (Simplex, Ponto Interior e outros). Segundo Hillier (2006), o método Simplex resolve problemas de PL de forma eficiente. A Programação Linear pode ser aplicada em diversas áreas como administração da produção, análise de investimentos, alocação de recursos limitados, logística, custo de transporte e outros (LACHTERMACHER, 2007). Segundo Puccini e Pizzolato (1990), “modelo é uma idealização, ou uma visão simplificada da realidade”, a partir desta visão, utilizam-se símbolos matemáticos para representar as variáveis de decisão do sistema real. As funções matemáticas utilizam estas variáveis e representam o funcionamento desse sistema. A solução consiste em encontrar os valores adequados para as variáveis de decisão de modo a otimizar o sistema estudado. 32 Uma aplicação comum da PL é o problema de “alocar da melhor forma possível (isto é, ótima) recursos limitados para atividades que competem entre si” (HILLIER; LIEBERMAN, 2006). Um modelo é constituído por uma equação que descreve a “função objetivo” com parâmetros a serem maximizados ou minimizados e um conjunto de equações ou inequações que descrevem as restrições do problema real. As variáveis envolvidas no modelo devem ser determinísticas e positivas ou nulas (PUCCINI; PIZZOLATO, 1990). Para a Programação Linear, qualquer valor estipulado para o conjunto de variáveis de decisão, dentro do domínio da função, é considerado uma solução para o modelo. Esta solução é chamada “solução viável” quando todas as restrições são satisfeitas e “solução inviável” quando ao menos uma das restrições é violada. Uma solução é chamada “ótima” quando é viável e possui o valor mais favorável da função objetivo (maior valor para maximização e menor valor em caso de minimização da função objetivo). O modelo pode ter soluções ótimas múltiplas, não ter solução viável ou não ter solução ótima3 (HILLIER; LIEBERMAN, 2006). Abaixo um modelo de programação linear em notação matricial: 0 * : 'max ≥ ≤ = x bxA asujeito xcZ Onde: Z é a medida do desempenho global (função objetivo); A (m x n) é a matriz tecnológica 4; x (n x 1) é o vetor das variáveis de decisão; b (m x 1) é o vetor dos recursos; c (n x 1) é o vetor dos coeficientes da função objetivo Z. Segundo Hillier (2006) e Lachtermacher (2007) a Proporcionalidade, Aditividade, Divisibilidade e Certeza são hipóteses da PL e podem ser descritas como se segue: 3 Quando a função objetivo é ilimitada 4 Matriz que contém as informações sobre uso dos recursos. 35 3.3.3 Programação Linear Multi-Objetivo A Programação Linear possui inúmeras aplicações e grande parte delas possui mais que um objetivo, e em geral, conflitantes. Estes casos são conhecidos como Programação Linear Multi-Objetivo (PLMO), ou seja, um problema de otimização multi-objetivo envolve a minimização (ou maximização) de vários critérios conflitantes que não podem ser satisfeitos simultaneamente (ARRUDA et al, 2008). O problema multi-objetivo busca encontrar a melhor solução dentro de um universo multidimensional (JASZKIEWICZ; SLOWINSKI,1995). A história da análise multicritério começou com o trabalho de Pareto em 1896 onde analisou-se a agregação de critérios (PARDALOS et al, 1995). A modelagem multi-objetivo considera vários aspectos de um problema e, ao invés de obter uma ou um conjunto de soluções ótimas, com o mesmo valor para a função objetivo, obtém um conjunto de soluções não dominadas, não comparáveis entre si5 dentre as quais o usuário poderá escolher, considerando aspectos operacionais e gerenciais (LOBIANCO; ANGULO-MEZA, 2007). Processos iterativos de solução são caracterizados pela alternância de resultados de decisão e resultados computacionais (JASZKIEWICZ; SLOWINSKI,1995). Considerando duas soluções quaisquer x1 e x2 de um problema que tem mais de um objetivo, f = (f1, f2,... , fi), i = 1,..., n e n > 2, têm-se duas possibilidades - ou uma solução domina a outra ou ninguém domina ninguém. Diz-se que a solução x1 domina x2 quando as duas condições são satisfeitas (ARRUDA et al, 2008): )()(: )()(: 21 21 xfxfi xfxfi ii ii <∃ ≤∀ O conjunto de soluções não dominadas (conjunto de Pareto) é formado por soluções viáveis tais que não exista outra solução viável que forneça uma melhora em uma função objetivo sem provocar uma piora em pelo menos uma outra função objetivo (LOBIANCO; ANGULO-MEZA, 2007). Para denominar estas funções utiliza-se o método de escalarização, onde o problema multi-objetivo é transformado em um problema mono-objetivo através de uma função escalar substituta, que carrega parâmetros de preferência do decisor (LOBIANCO; ANGULO-MEZA, 2007). 5 com relação ao valor da função objetivo 36 Existem três tipos de função de escalarização. A primeira consiste em otimizar uma das funções objetivo, restringindo as outras. A função considerada de maior importância é escolhida como função substituta e as demais são tratadas como restrições. O segundo tipo é o de minimizar a distância ao ponto de referência, utilizando uma dada métrica6. O terceiro tipo, adotado no presente trabalho, consiste na soma ponderada das funções objetivo, no qual se atribui pesos para cada função de forma que a soma dos pesos seja igual a 1. Diferentes pesos levam as mesmas soluções não dominadas, denominada região de indiferença7 (LOBIANCO; ANGULO-MEZA, 2007). O uso de uma abordagem por ponderação para a otimização multicritério permite variar a importância de cada objetivo de um modo fácil para o usuário, no entanto, a solução calculada é fortemente dependente das ponderações utilizadas para combinar os objetivos. O problema de planejamento e seqüenciamento da produção apresentado no capítulo 2 do presente trabalho foi representado através de um modelo matemático linear inteiro misto, com função objetivo multicritério (por ponderação) e solucionado utilizando-se o MOSEK. 6 uma métrica mede a distância entre dois pontos em Rn,ou seja, é uma função de distância que atribui a cada par de vetores um escalar 7 intervalo de variação dos pesos aonde a função objetivo permanece constante 4 MÉTODO Neste tópico são abordados os critérios utilizados na formulação do modelo matemático, os parâmetros de entrada, o formato de organização dos dados e o modelo matemático utilizado neste trabalho. 4.1 CRITÉRIOS DO TRABALHO O planejamento ocorre para até 24h (vinte e quatro horas) de operação, minuto a minuto, após o início da produção. As etapas com menos de um minuto devem ser agrupadas à etapa seguinte ou deve-se considerar o tempo de processamento igual a um minuto no momento do cadastro. Os lotes processados estão divididos por tipo de massa. O modelo possui quatro objetivos (apresentados no item 4.3) que juntos visam o frescor dos produtos e o aumento da competitividade. Utilizam-se apenas dois tamanhos de lote (lotes com dois pesos líquidos), o lote mínimo e o lote máximo. Lotes menores que o mínimo ou maiores que o máximo não podem ser processados (limite de carga nos equipamentos) e os lotes intermediários não são utilizados por esta empresa para facilitar a padronização de formulação. As perdas referentes ao processo produtivo (como água durante o cozimento) estão consideradas no planejamento através do peso bruto do produto. O planejamento não considera perdas de processo causadas por erros de processamento ou desperdícios na linha de processo. 4.2 DADOS DE ENTRADA O modelo possui informações técnicas sobre o processo produtivo, como: equipamentos e tempos de processo de cada tipo de massa (linha de produção), capacidades dos equipamentos (mínimas e máximas), demanda por hora de entrega 40
Prazo de validade na indústria (PVm);
Tempo de processamento do padrão (TPi);
Tempo de processo em cada equipamento, em ordem (TPq);
Quantidade de equipamentos necessária para o processo (nq). Se o mesmo produto pode ser processado de duas formas diferentes, como alguns tipos de massas especiais que podem ser cozidas em fornos rotativos ou em fornos a lastro e em cada tipo de forno o tempo de processo é diferente, este produto dará origem a quatro diferentes padrões9, dois com cada tipo de equipamento e de cada dois, um com o lote máximo e um com o lote mínimo. Em geral, produtos possuem apenas uma linha de processo e dão origem a dois padrões, um com peso igual ao lote máximo e outro com lote mínimo. O tempo de processamento do padrão (TPi) é calculado somando-se o tempo de processo em cada etapa da fabricação. "" "" : qoequipamentdoprocessodetempoTP ipadrãodoprocessodetempoTP onde iqTPTP q i qi = = ∈∀=∑ O valor do número de equipamentos necessários para processar o lote (nq ) é oriundo da razão entre o peso do lote (Li) e a capacidade do equipamento “q”. q máxima i q q C L n condiçãoarespeitaquenteiroimenoroén ≥ : "" )( ""º : qoequipamentdomáximacapacidadeC ipadrãolotedopesoL qosequipamentdenn onde q máxima i q = = = 9 Formas possíveis de processar este produto conforme as normas da empresa em estudo. Considera apenas a possibilidade de trabalhar na capacidade mínima ou máxima dos equipamentos. 41 Um padrão é representado da seguinte forma: "_"_"_"""_""_""_"" 111 e q e q e qqqqimi TPabvnTPabvnTPTPVVLPmMP K= """""" """""" )1(""""º"" "" "" "" "" : "" : eetapanautilizadoqoequipamentdoprocessodetempoTP eetapanautilizadoqoequipamentdonomedoaabreviaturabv eadeariaveetapanasnecessárioqtipodoosequipamentdenn inutosmemipadrãodoprocessodetempoTP nutosmiemmmassadavalidadedeprazoPV lotedopesoL massadanúmerom porossubstituídsãoaspasentrevaloresos ipadrãoP onde e q e q e q i m i = = = = = = = = TABELA 1- Dados técnicos sobre o processamento da massa salgada Massa Etapa Equipamento Tempo (min.) Capac. Max. Peso bruto (kg) Salgada Pesagem Balança (BA) 1 25 Salgada Mistura Masseira (MA) 3 70 Salgada Crescimento Estufa (ES) 7 25 Salgada Cozimento Forno Rotativo (FR) 5 25 Salgada Embalagem EmbalaAmb (EM) 2 70 Com as informações técnicas da TABELA 1, considerando o lote mínimo de 25kg e o prazo de validade da massa Salgada igual a 30 minutos, forma-se o seguinte padrão: P3= M1_P25_V30_T18_1BA1_1MA3_1ES7_1FR5_1EM2 Considerando o lote máximo de 70kg, o padrão relacionado é escrito da seguinte forma: P4= M1_P70_V30_T18_3BA1_1MA3_3ES7_3FR5_1EM2 Um padrão também pode ser apresentado na forma de matriz, conforme a FIGURA 10. 42 """""" """""" )1(""""º"" "" "" "" "" : "" : eetapanautilizadoqoequipamentdoprocessodetempoTP eetapanautilizadoqoequipamentdonomedoaabreviaturabv eadeariaveetapanasnecessárioqtipodoosequipamentdenn inutosmemipadrãodoprocessodetempoTP nutosmiemmmassadavalidadedeprazoPV lotedopesoL massadanúmerom porossubstituídsãoaspasentrevaloresos ipadrãoP onde e q e q e q i m i = = = = = = = = FIGURA 10- Padrão geral apresentado em formato de matriz. Apresentando o padrão P4 na forma de matriz têm-se a FIGURA 11. P4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 M1_P70_V30_T18 0 1 70 30 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3BA1 1 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1MA3 2 3 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3ES7 3 21 0 0 0 0 3 3 3 3 3 3 3 0 0 0 0 0 0 0 3FR5 4 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 3 3 3 0 0 1EM2 5 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 FIGURA 11 - Padrão P4 apresentado na forma de matriz. A posição (0,0) da matriz (linha zero e coluna zero, de valor igual a 1) apresenta o tipo de massa deste padrão. A posição (0,1) apresenta o peso do lote a processar (70kg de massa úmida). A posição (0,2) apresenta o tempo de espera permitido (prazo de validade para a indústria) e a posição (0,3) apresenta o tempo total (em minutos) utilizado para processar este padrão. Os campos de (1,1) até (5,18) apresentam a quantidade de equipamentos utilizados em cada tempo de processo (em minutos), ou seja, no primeiro minuto após o início do processo do padrão 4 serão utilizadas três balanças (BA). No 45 jtemponoipadrãodoprocessaralotesdequantidadex ipadraocadaparaTPTOPoperaçãodeTempoJ padrõesdenúmerop onde xf ji ii pi ji Jj i = −= = = ∑ ∑ →= →= _ 1 _ 1 3 ,)( : min A função que busca otimizar a linha de produção, atendendo toda a demanda, minimiza o somatório das variáveis Am, que representam o peso de produto presente na lista de pedidos e não produzido. produzidosnãommassadaprodutosdequantidadeA massasdenúmeronm onde Af m nmm m = = = ∑ →= : min 1 4 A função objetivo é uma composição das quatro funções, onde os pesos (frações) indicam a importância do critério na tomada de decisão. 110 : **** 41 44332211 = +++= ∑ →=Z ZZ obj FeeentrevaloruméF onde fFfFfFfFf Reescrevendo a função objetivo temos: entregadehoráriomassadetipoorepresentak eentrevalorobjetivofunçãodadentroZfunçãodapesoF produzidosnãommassadaprodutosdequantidadeA jtemponoipadrãodoprocessaralotesdequantidadex ipadraocadaparaTPTOPoperaçãodeTempoJ padrõesdenúmerop excessoemdemandasemproduzidosprodutosdepesoemquantidadeC horárionoproduzidosnãoprodutosdepesoemquantidadeD entregadehoráriosdiferentesdenúmeroh pedidonomassasdenúmeronm onde AFxFCFDFf Z m ji ii m k nmm m pi Jj ji nmm m hnmk Kobj i / )10( ,)( )( : ****min _ 1 4 1 1 _3 1 2 *1 1 = = = −= = = = = =         +++= ∑∑ ∑∑∑ →=→= →=→=→= 46 4.3.4 Restrições O modelo possui três grupos de restrições: O primeiro grupo de restrições busca atender a demanda total, independente do horário, ou seja, o somatório do produto das variáveis de decisão e seus lotes, mais a variável de falta de produção, menos a variável de excesso tem que ser igual a demanda daquele tipo de massa. Cada massa gera uma equação. .1,, 1 0 _ nmmmtipomassadeiQCAxL mmm pi Jj jii i →=∀         ∀=−+        ∗∑ ∑ →= →= mtipomassadakilosemproduçãodeDemandaQ ipadrãonokilosemlotedotamanhoL produzidosnãommassadaprodutosdequantidadeA jtemponoipadrãodoprocessaralotesdequantidadex ipadraocadaparaTPTOPoperaçãodeTempoJ excessoemdemandasemproduzidosprodutosdepesoemquantidadeC pedidonomassasdenúmeronm onde m i m ji ii m ,, )( ,)( )( : _ = = = = −= = = Ao limitar o tempo máximo de início do processo (Ji), o modelo garante que todos os lotes processados terão seu término dentro do turno de trabalho estipulado. O segundo grupo de restrições busca respeitar os horários de entrega dos produtos, ou seja, o somatório do produto das variáveis de decisão válidas e seus lotes, mais a variável de “não atendidos” tem que ser igual a demanda daquele tipo de massa naquele horário de entrega. nmhkmtipomassadeiQDxL kk pi TTj jii *1, 1 21 _ →=∀         ∀≥+        ∗∑ ∑ →= →= entregadehoráriosdiferentesdenúmeroh pedidonomassasdenúmeronm horárionoprodutosdepesoemdemandaQ horárionoproduzidosnãoprodutosdepesoemquantidadeD entregadehoráriomassadetipoorepresentak ipadrãonokilosemlotedotamanhoL jtemponoipadrãodoprocessaralotesdequantidadex padrõesdenúmerop estoquedemáximotempovalidadedeprazoPV TPentregadeHoraT PVTPentregadeHoraT onde k k i ji i ii = = = = = = = = −= −−= / )( )( 2 1 : _ 47 Em T1(minutos) é o momento de iniciar a produção para que o produto esteja pronto antes da hora da entrega no limite do prazo de validade e em T2 (minutos) para que fique pronto exatamente no momento da entrega. Tempos entre T1 e T2 são considerados entregues dentro do horário. O último grupo de restrições limita a sobrecarga nos equipamentos e está dividido em duas fases. Na primeira fase, para cada equipamento, os padrões são comparados de modo a não permitir que se sobreponham dentro do quadro do planejamento ou que extrapolem a quantidade máxima de equipamentos disponíveis. A cada tempo inicial de um padrão, verificam-se quais tempos iniciais de outros padrões ocupariam o mesmo equipamento neste mesmo instante. Para tal, utiliza-se o valor do período de ocupação (TP) e dos momentos iniciais de cada equipamento (α ) baseados nas linhas de processos. ".""" ipadrãopeloroequipamentdoocupaçãodeperíodooéTP r i anterioretapanaocupadooequipamentdoformaçõesinr ipadrãonoroequipamentdoinicialmomento onde TP r i r i r i r i =− = += −− 1 """" : 11 α αα As restrições apresentam-se da seguinte forma: ( ) r I r iIi ir iI pI Jj quedesde TP jI r Iji r i rJjqxuxu IIi r i Ii ααβ γβ γ γβ −= ∀→=∀≤             + ∑ ∑ ≠∀ →= ≤++ →= ++ , 1 )( 1 )_(_ ,1,** , , disponívelroequipamentdoquantidadeq ipadrãooparaválidomáximoTempoJ ipadrãopeloroequipamentdoocupaçãodetempoTP ipadrãonoroequipamentdoinicialmomento jtemponoipadrãodoprocessaralotesdequantidadex ipadrãopeloutilizadosrtipodoosequipamentdequantidadeu onde r i r i r i ji r i = = = = = = "." ".""" """" """" "" : _ α 50 disponívelroequipamentdoquantidadeq oequipamentr jtemponoipadrãodoprocessaralotesdequantidadex TPentregadeHoraT ipadrãopeloroequipamentdousodetempoTP TPU ipadrãopeloutilizadosrtipodoosequipamentdequantidadeu onde rTtqxuxu iiesequivalentpadrõesdoiscadaA r ji i r i r i r i r Uttj ji r iji r i = = = −= = −= = ∀→=∀≤+ + ∑ +→= ++ _ 1 211 _11_ 2 12 : ,21,** :)1,( Por exemplo, para o equipamento Masseira (r=2), nos padrões i=3 e i=4, apresentados na FIGURA 14 temos: .33,1,1,1 24 2 32 2 4 2 3 ===== TPeTPquu P3 M1_P25_V30_T18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1MA3 r=2 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 P4 M1_P70_V30_T18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1MA3 r=2 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 FIGURA 14 - Equipamento 2 nos padrões 3 e 4. O conjunto de restrições para este equipamento segue o modelo a seguir: 1311111 1111111 2_42_312_412_322_422_3 3_43_32_42_31_41_3 ≤+++++ ≤+++++ −−−− TTTTTT xxxxxx xxxxxx M 4.3.5 Índices A quantidade de produtos não produzidos (QNP), presente no final do relatório de produção, representa uma quantidade, em peso, de produtos solicitados pelos clientes e que não foram colocados no planejamento (f4 minimiza QNP). 51 produzidosnãoprodutosdepesoemquantidadeQ produzidosnãommassadaprodutosdequantidadeA pedidonomassasdenúmeronm onde AQ NP m nmm mNP = = = = ∑ →= : 1 Os produtos produzidos em excesso, também presentes no relatório de produção, são aqueles que não foram solicitados pelos clientes e fazem parte do planejamento de produção (f2 minimiza QPE). excessoemproduzidosprodutosdepesoemquantidadeQ excessoemdemandasemproduzidosprodutosdepesoemquantidadeC pedidonomassasdenúmeronm onde CQ PE m nmm mPE = = = =∑ →= )( : 1 No relatório aparece também a quantidade de produtos não produzidos dentro do horário estipulado, o que não significa que deixaram de ser produzidos. Estes produtos podem ter sido produzidos fora do horário (f1 minimiza QPF). estipuladohoráriodo dentroproduzidossãonãoqueprodutosdepesoemquantidadeQ horárionoproduzidosnãoprodutosdepesoemquantidadeD entregadehoráriomassadetipoorepresentak pedidonomassasdenúmeronm onde DQ PF k hnmk KPF = = = =∑ →= / : *1 O mapa de produção apresenta o percentual da capacidade utilizada dos equipamentos por minuto. O valor deste percentual é calculado da seguinte forma: 52 "" """" "" """" : %100* 1 qoequipamentdontoprocessamedepesoemmáximacapacidadeC ttemponoqoequipamentno ipadrãopeloprocessadopesoemquantidadeQ ttemponoqoequipamentdoocupaçãodepercentualP onde C Q P q máxima i qproc t t qocup q máxima pi i qproc t t qocup = = =           = ∑ →= A tabela de ocupação dos equipamentos apresenta a taxa de ocupação total do equipamento dentro do período de produção. inutosmemperíodooperaçãodetotaltempoTOP qoequipamentdontoprocessamedepesoemmáximacapacidadeC ttemponoqoequipamentno ipadrãopeloprocessadopesoemquantidadeQ períodotemponoqoequipamentdoocupaçãodetaxaT onde TOPC Q T q máxima i qproc t q ocup q máxima TOPt pi i qproc t q ocup )( "" """" "" "" : %100* * 1 1 = = = =                       = ∑ ∑ →= →= A tabela de atendimento compara a demanda à produção e identifica valores produzidos fora do horário de entrega. Os produtos fora do prazo de entrega são aqueles que encerraram sua produção antes do necessário e precisarão ficar em estoque mais tempo que o recomendado pelo prazo de validade. Tais produtos possuem sua qualidade comprometida. O percentual de produtos fora do prazo de validade serve de base para prever o índice de reclamações (caso este produto seja entregue) e é calculado da seguinte forma: 5 IMPLEMENTAÇÃO Neste tópico é apresentado o software desenvolvido e os termos utilizados pelo mesmo. O método e modelo matemático estão apresentados em detalhes no capítulo anterior. A entrada de dados necessários ao funcionamento do modelo dá-se através de uma tela de interface com o usuário (FIGURA 15). FIGURA 15 - Tela de interface do software de planejamento de produção. 5.1 ETAPAS Para utilizar este programa é necessário cadastrar informações sobre o processo produtivo. A primeira informação a ser cadastrada são as etapas existentes na linha de produção, independente de em qual produto ela é utilizada. Ao clicar em “Etapas” aparece a tela mostrada na FIGURA 16. 56 FIGURA 16 – Tela para cadastro de etapas dos processos Após preencher cada etapa e salvar é possível visualizar a lista de etapas cadastradas (FIGURA 17). FIGURA 17 - Lista de etapas cadastradas gerada pelo software 5.2 EQUIPAMENTOS O segundo grupo de informações é sobre os equipamentos existentes na indústria, disponíveis ou não. Ao clicar em “Equipamentos”, a tela mostrada na FIGURA 18 aparecerá para preenchimento. Todos os campos, exceto as observações, deverão ser obrigatoriamente preenchidos. Caso o verificador do campo “Ativo” seja nulo (“desclicado”) o equipamento continuará cadastrado, porém, 57 não fará parte do plano de produção e não será uma opção válida para o processo. Este campo deve ser usado em caso de retirada do equipamento para manutenção ou limpeza completa. FIGURA 18 – Tela para cadastro de equipamentos No campo “Etapa Relacionada” aparecerá na lista de opções, a lista de etapas previamente cadastrada. O tipo de processo deverá ser Contínuo ou Batelada. Processos em batelada ocorrem por lotes. A alimentação é única e o processo é concluído, como em uma batedeira onde se coloca a matéria-prima e retira-se o produto acabado. No processo contínuo a batedeira receberia material constantemente e liberaria produto misturado constantemente e simultaneamente. A capacidade máxima e mínima do equipamento deverá ser preenchida em kg para equipamentos que operam em batelada e em kg/minuto para equipamentos contínuos. A lista de equipamentos cadastrados está representada pela FIGURA 19. FIGURA 19 - Lista de equipamentos gerada pelo software 60 FIGURA 23 – Tela para cadastro dos tempos e equipamentos utilizados no processo produtivo Os tempos de processo e equipamentos cadastrados para cada etapa do processo produtivo da massa salgada estão na TABELA 3 TABELA 3 – Tempos de processamento das massas salgada e doce. Massa Etapa Equipamento Tempo (min.) Salgada Pesagem Balança 1 Salgada Mistura Masseira 3 Salgada Crescimento Estufa 7 Salgada Cozimento FornoRot 5 Salgada Embalagem EmbalAmb 2 Doce Pesagem Balança 2 Doce Mistura Tacho 4 Doce Crescimento Estufa 5 Doce Cozimento FornoRot 4 Doce Embalagem EmbalAmb 1 No caso da etapa de mistura (FIGURA 23), aparecem duas opções de equipamentos previamente cadastrados (ver cadastro de equipamentos na FIGURA 18). Para a massa “Salgada”, apenas o equipamento “Masseira” pode ser utilizado, e o tempo de processo neste equipamento, para esta massa, é de 5 minutos. 61 5.5 PRODUTOS O último grupo de informações sobre o processo produtivo é sobre os produtos. O cadastro dos produtos é efetuado através da tela representada pela FIGURA 24. Os tipos de massas cadastrados aparecem na lista de opção do campo “Tipo de Massa”. O peso unitário deve estar em kilos e o prazo de validade (tempo máximo de permanência na indústria) em horas. FIGURA 24 - Cadastro de Produtos A FIGURA 25 mostra a lista de produtos cadastrados, acessada através do botão “Visualizar produtos cadastrados”. 62 FIGURA 25 - Lista de produtos gerada pelo software 5.6 LOCALIZAR E ALTERAR Para localizar e alterar um registro, de qualquer grupo de cadastro, na tela de cadastro, deve-se escrever o código no campo “código” e clicar em TAB. O registro será aberto para edição. Salvar após alterações ou excluir. Estes formulários alimentam a base de dados técnicos. Estes dados ficam armazenados mesmo após o encerramento do programa. Para apagá-los, clicar em “Apagar cadastros” na tela inicial (FIGURA 15) e ativar o validador do cadastro desejado e clicar em “OK” (FIGURA 26). FIGURA 26 – Tela para apagar dados cadastrados no software 65 Para cada uma delas é possível determinar um “peso”, valor de 0 a 100, que indica o percentual de importância deste item para o planejador. Os valores para a entrega de produtos no prazo, redução de desperdícios e para número de lotes é preenchida nos campos correspondentes (FIGURA 15). O valor para a produção da demanda é o que falta para completar 100 (100%). 5.8.3 Início da produção A hora de início da produção, ou início do turno de trabalho, deve ser digitada no formato: HH:MM, nos campos correspondentes na tela inicial (FIGURA 15). Clicar em “OK” para iniciar o planejamento. Quando existem pedidos impossíveis de atender pois o horário de entrega é inferior ao tempo de processamento deste produto adicionado ao tempo de início do processo produtivo (mesmo que inicie o processamento deste lote no primeiro minuto da produção não seria capaz de terminá-lo antes do horário de entrega) o software comunica o usuário com um alerta na região das ocorrências (FIGURA 15) e aguarda um novo pedido. O programa reorganiza os dados em uma tabela chamada “Demanda” disponível em arquivo texto (FIGURA 29). FIGURA 29 - Arquivo texto gerado pelo software com tabela de demandas. As informações técnicas são agrupadas em padrões, que representam os fluxogramas dos processos de fabricação Os padrões referentes ao exemplo acima estão listados a seguir: P1= M3_P25_V30_T18_1BA2_1TA4_1ES5_1FR4_1EM1 P2= M3_P70_V30_T18_3BA2_1TA4_3ES5_3FR4_1EM1 P3= M1_P25_V30_T18_1BA1_1MA3_1ES7_1FR5_1EM2 P4= M1_P70_V30_T18_3BA1_1MA3_3ES7_3FR5_1EM2 66 O significado, a formação e o uso dos padrões estão apresentados na seção_4.3. Um modelo matemático é escrito e então resolvido pelo MOSEK. O tempo máximo de otimização utilizado pelo MOSEK, para encontrar a melhor solução inteira pode ser alterado pelo usuário através do botão “Editar tempo total de operação do MOSEK”. Para o modelo acima o tempo de operação máximo configurado foi de 600 segundos (10 minutos). 5.8.4 Relatórios Para análise e interpretação dos dados, o programa disponibiliza, conforme apresentado na FIGURA 30,a opção para visualizar um relatório de produção, um mapa de capacidades, uma tabela de percentual de uso dos equipamentos e uma tabela de atendimento. FIGURA 30 - Tela de interface do sotware após o planejamento O relatório de produção é salvo em um arquivo texto conforme apresentado na FIGURA 31. 67 FIGURA 31 - Relatório de produção gerado pelo software O relatório apresenta o horário de início do turno de trabalho e sua duração. É apresentado, ordenado por horário, o início da produção de cada lote, com seu tamanho e tipo de massa. O final do relatório apresenta a tabela com o resumo dos desvios de produção (falta, excesso ou perda por validade) e seus pesos na função objetivo. O programa disponibiliza um mapa de capacidades (FIGURA 32), que mostra a utilização dos equipamentos em três grupos, abaixo de 50% (em azul), entre 50 e 100% (em verde) e acima de 100% (em vermelho), a cada 60 minutos. 6 RESULTADOS Para a definição dos pesos13 das funções objetivos a serem utilizados pelo programa, alguns testes preliminares foram realizados. O fluxograma utilizado nos testes foi reduzido14 e está apresentado em detalhes no capítulo 5 “implementação”. A quantidade de produtos no pedido está acima do dobro da média solicitada por hora da empresa em estudo. Isto busca reduzir o impacto da alteração do fluxograma e dos tempos de processo. Os testes preliminares foram realizados considerando apenas uma hora de produção para manter a proporção com relação aos tempos de processo utilizados. O pedido médio da empresa em estudo é de 1,33 ton de massa úmida por turno (aprox. 166 kg/h). O pedido utilizado nos testes preliminares totaliza 347,5 kg de massa úmida (bruta) para serem processados em até 1 hora, a partir das 05:30, conforme demanda apresentada na FIGURA 35. FIGURA 35 – Arquivo com demanda de 347,5kg calculada pelo software nos teste preliminares A TABELA 4 mostra a composição dos pesos nos 10 testes preliminares realizados com a demanda apresentada na figura acima. Lembrando que cada função possui um objetivo: 13 Nível de importância (percentual). 14 Fluxograma com menos tempo de processamento e apenas algumas etapas. 71 TABELA 4 –Pesos das funções objetivo utilizados nos testes preliminares Pesos n F1 F2 F3 F4 1 0 0 0 100 2 100 0 0 0 3 90 10 0 0 4 80 10 10 0 5 70 10 10 10 6 10 70 10 10 7 10 10 70 10 8 10 10 10 70 9 0 10 10 80 10 0 0 10 90 Onde: F1 = Entregar no horário; F2 = Reduzir o desperdício; F3= Reduzir o número de lotes; F4 = Atender a demanda O interesse da indústria utilizada como base para o presente trabalho está em atender a maior parte da demanda dentro do horário (maior %DH), porém, caso não seja possível, prefere-se não deixar de produzir nenhum pedido (%NA=0 se possível), mesmo que precise estar pronto antes do tempo (se necessário o %SQ pode ser maior que 0). Os índices de rendimento e os percentuais de atendimento, obtidos como resultados dos testes preliminares estão apresentados na TABELA 5. TABELA 5 – Índices de Atendimento e número de lotes abaixo da capacidade máxima. Pesos REND. % ATENDIMENTOS n F1 F2 F3 F4 %L %DH %SQ %NA 1 0 0 0 100 47% 59,7% 40,3% 0,0% 2 100 0 0 0 25% 65,5% 2,2% 32,4% 3 90 10 0 0 67% 66,9% 2,2% 30,9% 4 80 10 10 0 25% 65,5% 2,2% 32,4% 5 70 10 10 10 43% 77,7% 22,3% 0,0% 6 10 70 10 10 80% 79,9% 18,0% 2,2% 7 10 10 70 10 0% 76,3% 22,3% 1,4% 8 10 10 10 70 43% 77,7% 22,3% 0,0% 9 0 10 10 80 43% 59,7% 40,3% 0,0% 10 0 0 10 90 0% 59,7% 40,3% 0,0% Onde: F1 = Entregar no horário; F2 = Reduzir o desperdício; F3 = Reduzir o número de lotes; F4 = Atender a demanda; BA = Balança; MA = Masseira; TA = Tacho; ES = Estufa; FR = Forno rotativo; EM = Embalagem a temperatura ambiente%L = Fração de lotes abaixo da capacidade máxima; %DH = Entregas dentro do horário; %SQ = Entregas sem qualidade; %NA = Pedidos não atendidos (não produzidos e produzidos depois do horário) 72 A TABELA 6 apresenta os percentuais de ocupação dos equipamentos em relação à capacidade total dos mesmos, obtidos nos testes preliminares. É importante lembrar que o processo precisa iniciar e terminar dentro do período. O teste n=1, que busca atender a demanda sob qualquer custo (F4 = 100), tem produção máxima no período (1 hora) e traz os valores máximos de ocupação dos equipamentos para esta demanda. TABELA 6 – Ocupação dos Equipamentos e Produção (em peso). Pesos % DE OCUPAÇÃO DOS EQUIPAMENTOS Produção n F1 F2 F3 F4 BA MA TA ES FR EM Kg 1 0 0 0 100 27,3% 17,1% 23,6% 4,0% 53,0% 23,2% 735,0 2 100 0 0 0 7,3% 10,0% 4,5% 1,4% 18,0% 8,9% 235,0 3 90 10 0 0 7,6% 10,0% 4,8% 1,4% 18,3% 9,1% 240,0 4 80 10 10 0 7,3% 10,0% 4,5% 1,4% 18,0% 8,9% 235,0 5 70 10 10 10 11,1% 15,0% 6,9% 2,1% 27,2% 13,5% 355,0 6 10 70 10 10 10,8% 13,9% 6,9% 2,0% 25,9% 12,7% 340,0 7 10 10 70 10 10,9% 15,0% 6,7% 2,1% 26,8% 13,3% 350,0 8 10 10 10 70 11,1% 15,0% 6,9% 2,1% 27,2% 13,5% 355,0 9 0 10 10 80 11,1% 15,0% 6,9% 2,1% 27,2% 13,5% 355,0 10 0 0 10 90 14,0% 15,0% 10,0% 2,4% 31,5% 15,0% 420,0 Onde: F1 = Entregar no horário; F2 = Reduzir o desperdício; F3 = Reduzir o número de lotes; F4 = Atender a demanda; BA = Balança; MA = Masseira; TA = Tacho; ES = Estufa; FR = Forno rotativo; EM = Embalagem a temperatura ambiente Considerando o objetivo da organização de maior %DH, %NA=0 se possível e, se necessário, o %SQ pode ser maior que 0 optou-se pelos pesos utilizados nos testes número 5 e 8, conforme a TABELA 7, apresentada a seguir. TABELA 7 – Resultados dos testes preliminares aprovados Pesos REND. % ATENDIMENTOS n F1 F2 F3 F4 %L %DH %SQ %NA 5 70 10 10 10 43% 77,7% 22,3% 0,0% 8 10 10 10 70 43% 77,7% 22,3% 0,0% Onde: F1 = Entregar no horário; F2 = Reduzir o desperdício; F3 = Reduzir o número de lotes; F4 = Atender a demanda; BA = Balança; MA = Masseira; TA = Tacho; ES = Estufa; FR = Forno rotativo; EM = Embalagem a temperatura ambiente%L = Fração de lotes abaixo da capacidade máxima; %DH = Entregas dentro do horário; %SQ = Entregas sem qualidade; %NA = Pedidos não atendidos (não produzidos e produzidos depois do horário) O relatório de produção, gerado pelo teste preliminar número 5 (aprovado no teste preliminar) está apresentado na FIGURA 36. 7 CONCLUSÃO E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS Para solucionar o problema de planejamento da produção de uma indústria de panificação que possui horários de entrega definidos pelo cliente e baixos tempos de permanência dos produtos (após produzidos) dentro da indústria foi utilizado um modelo matemático linear inteiro misto com função objetivo que pondera a importância de quatro objetivos. Este modelo foi implementado em um software que busca permitir a utilização do modelo no planejamento diário da produção. O modelo desenvolvido foi suficiente para solucionar o problema da indústria de panificação e definir um plano de produção (apresentado aos funcionários pelo relatório de produção). O modelo foi implementado e solucionado pelo MOSEK. O software desenvolvido para gerar o modelo e transformar os resultados do MOSEK em um relatório de produção é de fácil manipulação. As telas de interface com o usuário são auto-explicativas e as informações técnicas podem ser alteradas a qualquer momento. O relatório de produção apresenta todas as informações necessárias ao operador da fábrica de forma clara e objetiva. O software também disponibiliza índices para que o agente decisor possa analisar o desempenho do plano de produção proposto. Dado um pedido, de qualquer dimensão, o software desenvolvido no presente trabalho modela o problema, planeja a produção para que os objetivos da organização sejam atendidos da melhor forma possível e apresenta um relatório completo. Um pedido com até 1,33 toneladas, para produção em até 8 horas, é modelado e planejado com tempo computacional de até 2 horas em notebook Sony Vaio Core 2 Duo com 1,83GHz e 1GB de memória RAM. Os índices (valores de proporção de atendimentos) atingidos pelo planejamento são diretamente relacionados ao tipo de produto, horários de entrega e quantidades solicitadas. Não é possível garantir que todos os pedidos com o mesmo volume (1,33 toneladas / turno) apresentem os mesmo índices, nem mesmo que apresentem índices satisfatórios, pois a dependência da combinação de produto, horário e quantidade pode inviabilizar a produção. Por exemplo, um pedido de 1,33 toneladas para um mesmo horário de um produto com prazo de validade 76 inferior a 1 hora pode ser inviável enquanto que um pedido com 1,33 toneladas de produtos variados e horários de entrega entre 03:00 e 06:00 (como o utilizado neste trabalho) pode ser viável para esta organização. Os equipamentos disponíveis possuem um limite de capacidade/h de produção que varia conforme o produto e influenciam diretamente na viabilidade da produção. Com volumes superiores a 1,3 toneladas ou tempos de produção superiores a 8 horas torna-se necessário o uso de um processador de maior capacidade para manter o tempo computacional inalterado. Os diferentes resultados dos pesos, obtidos ao resolver o modelo considerando parte e considerando todas as etapas do processo produtivo mostra a necessidade de realizar testes com todas as etapas utilizadas pela empresa para determinar os valores dos pesos que apresentem os resultados que melhor representem os objetivos da organização. A facilidade de alteração dos pesos para a modelagem permite que qualquer funcionário da organização realize os testes. Fica pendente a necessidade de comparar os resultados obtidos pelo modelo matemático linear inteiro misto com outros métodos, como técnicas de simulação e algoritmos genéticos, em busca de reduzir o tempo computacional de planejamento. No caso de indústrias que operam com tamanho de lote variável, fica também a necessidade de aumentar a quantidade de tamanho de lotes permitidos (padrões) ou utilizar outro método que aceite tamanho de lote variável. Os dados técnicos podem ser facilmente alterados antes da modelagem, caso ocorram alterações de processo. O método implementado permite total controle do usuário e o planejamento do mesmo pedido pode ser repetido diversas vezes com diferentes pesos. O método desenvolvido e implementado no presente trabalho não dispensa a interferência humana no momento da decisão. Ele dispensa apenas o conhecimento prático e técnico do agente decisor, tornando a empresa independente da presença do especialista técnico no momento do planejamento, porém, resta ainda a necessidade do conhecimento dos valores e objetivos da organização para a tomada de decisão (escolha dos pesos). REFERÊNCIAS ARNOLD, J. R. T. Administração de Materiais. São Paulo: Atlas, Cap. 15, 1999. ARRUDA, L. V.; NEVES JÚNIOR, F.; SWIECH, M. C. S.; DELGADO, M. R., Um método evolucionário para sintonia de controladores PI/PID em processos multivariáveis. Sba Controle & Automação vol.19 no.1, Natal, Mar. 2008. BUFFA, E. S.; SARIN, R.K., Modern production/operations management. New York, John Wiley & Sons, Inc., 1987. 834p. CORRÊA, L. H., GIANESI, I., Just-in-Time, MRP II e OPT : um enfoque estratégico, São Paulo : Atlas, 1993. CORRÊA, L. H., GIANESI, I., CAON, M., Planejamento, Programação e Controle da Produção, São Paulo : Atlas, 2007. DUTRA, F. A. F., Análise do planejamento e controle da produção visto como um sistema complexo adaptativo. Dissertação (Mestrado em Administração – Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2006. Disponível em <http://www.tede.ufsc.br/teses>. Acesso em: 11/11/2008. FURLAN, C. F.; RONCONI, D. P.,Programação de ordens de produção com diferentes instantes de liberação para uma data única de entrega. XI Simpósio de Engenharia de Produção, UNESP, 2004. GOLDBARG, M. C.; LUNA, H. P. L.,Otimização Combinatória e Programação Linear. 2ª edição. Rio de Janeiro: Editora Campus, 2005. HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J., Introdução a Pesquisa Operacional. 8ª edição. São Paulo: McGraw-Hill, 2006. ANEXO 1 Modelo Matemático do Fluxograma Reduzido 81 O modelo matemático gerado pelo programa com os dados apresentados no Capítulo 5 – implementação apresentado de forma completa: minimize 0.20x1_1+0.20x1_2+0.20x1_3+0.20x1_4+0.20x1_5+0.20x1_6+0.20x1_7+0.20x1_8+0.20x1_9+0.20x1_10+0.20x1_11 +0.20x1_12+0.20x1_13+0.20x1_14+0.20x1_15+0.20x1_16+0.20x1_17+0.20x1_18+0.20x1_19+0.20x1_20+0.20x1_21+0.20x1_22 +0.20x1_23+0.20x1_24+0.20x1_25+0.20x1_26+0.20x1_27+0.20x1_28+0.20x1_29+0.20x1_30+0.20x1_31+0.20x1_32+0.20x1_33 +0.20x1_34+0.20x1_35+0.20x1_36+0.20x1_37+0.20x1_38+0.20x1_39+0.20x1_40+0.20x1_41+0.20x1_42+0.20x1_43+0.20x1_44 +0.20x1_45+0.20x1_46+0.20x1_47+0.20x1_48+0.20x1_49+0.20x1_50+0.20x1_51+0.20x1_52+0.20x1_53+0.20x1_54+0.20x1_55 +0.20x1_56+0.20x1_57+0.20x1_58+0.20x1_59+0.20x1_60+0.20x1_61+0.20x1_62+0.20x1_63+0.20x1_64+0.20x1_65+0.20x1_66 +0.20x1_67+0.20x1_68+0.20x1_69+0.20x1_70+0.20x1_71+0.20x1_72+0.20x1_73+0.20x1_74+0.20x1_75+0.20x1_76+0.20x1_77 +0.20x1_78+0.20x1_79+0.20x1_80+0.20x1_81+0.20x1_82+0.20x1_83+0.20x1_84+0.20x1_85+0.20x1_86+0.20x1_87+0.20x1_88 +0.20x1_89+0.20x1_90+0.20x1_91+0.20x1_92+0.20x1_93+0.20x1_94+0.20x1_95+0.20x1_96+0.20x1_97+0.20x1_98+0.20x1_99 +0.20x1_100+0.20x1_101+0.20x1_102+0.20x1_103+0.20x1_104 +0.20x2_1+0.20x2_2+0.20x2_3+0.20x2_4+0.20x2_5+0.20x2_6+0.20x2_7+0.20x2_8+0.20x2_9+0.20x2_10+0.20x2_11 +0.20x2_12+0.20x2_13+0.20x2_14+0.20x2_15+0.20x2_16+0.20x2_17+0.20x2_18+0.20x2_19+0.20x2_20+0.20x2_21+0.20x2_22 +0.20x2_23+0.20x2_24+0.20x2_25+0.20x2_26+0.20x2_27+0.20x2_28+0.20x2_29+0.20x2_30+0.20x2_31+0.20x2_32+0.20x2_33 +0.20x2_34+0.20x2_35+0.20x2_36+0.20x2_37+0.20x2_38+0.20x2_39+0.20x2_40+0.20x2_41+0.20x2_42+0.20x2_43+0.20x2_44 +0.20x2_45+0.20x2_46+0.20x2_47+0.20x2_48+0.20x2_49+0.20x2_50+0.20x2_51+0.20x2_52+0.20x2_53+0.20x2_54+0.20x2_55 +0.20x2_56+0.20x2_57+0.20x2_58+0.20x2_59+0.20x2_60+0.20x2_61+0.20x2_62+0.20x2_63+0.20x2_64+0.20x2_65+0.20x2_66 +0.20x2_67+0.20x2_68+0.20x2_69+0.20x2_70+0.20x2_71+0.20x2_72+0.20x2_73+0.20x2_74+0.20x2_75+0.20x2_76+0.20x2_77 +0.20x2_78+0.20x2_79+0.20x2_80+0.20x2_81+0.20x2_82+0.20x2_83+0.20x2_84+0.20x2_85+0.20x2_86+0.20x2_87+0.20x2_88 +0.20x2_89+0.20x2_90+0.20x2_91+0.20x2_92+0.20x2_93+0.20x2_94+0.20x2_95+0.20x2_96+0.20x2_97+0.20x2_98+0.20x2_99 +0.20x2_100+0.20x2_101+0.20x2_102+0.20x2_103+0.20x2_104 +0.20x3_1+0.20x3_2+0.20x3_3+0.20x3_4+0.20x3_5+0.20x3_6+0.20x3_7+0.20x3_8+0.20x3_9+0.20x3_10+0.20x3_11 +0.20x3_12+0.20x3_13+0.20x3_14+0.20x3_15+0.20x3_16+0.20x3_17+0.20x3_18+0.20x3_19+0.20x3_20+0.20x3_21+0.20x3_22 +0.20x3_23+0.20x3_24+0.20x3_25+0.20x3_26+0.20x3_27+0.20x3_28+0.20x3_29+0.20x3_30+0.20x3_31+0.20x3_32+0.20x3_33 +0.20x3_34+0.20x3_35+0.20x3_36+0.20x3_37+0.20x3_38+0.20x3_39+0.20x3_40+0.20x3_41+0.20x3_42+0.20x3_43+0.20x3_44 +0.20x3_45+0.20x3_46+0.20x3_47+0.20x3_48+0.20x3_49+0.20x3_50+0.20x3_51+0.20x3_52+0.20x3_53+0.20x3_54+0.20x3_55 +0.20x3_56+0.20x3_57+0.20x3_58+0.20x3_59+0.20x3_60+0.20x3_61+0.20x3_62+0.20x3_63+0.20x3_64+0.20x3_65+0.20x3_66 +0.20x3_67+0.20x3_68+0.20x3_69+0.20x3_70+0.20x3_71+0.20x3_72+0.20x3_73+0.20x3_74+0.20x3_75+0.20x3_76+0.20x3_77 +0.20x3_78+0.20x3_79+0.20x3_80+0.20x3_81+0.20x3_82+0.20x3_83+0.20x3_84+0.20x3_85+0.20x3_86+0.20x3_87+0.20x3_88 +0.20x3_89+0.20x3_90+0.20x3_91+0.20x3_92+0.20x3_93+0.20x3_94+0.20x3_95+0.20x3_96+0.20x3_97+0.20x3_98+0.20x3_99 +0.20x3_100+0.20x3_101+0.20x3_102++0.20x4_1+0.20x4_2+0.20x4_3+0.20x4_4+0.20x4_5+0.20x4_6+0.20x4_7+0.20x4_8+0.20x4_9 +0.20x4_10+0.20x4_11 +0.20x4_12+0.20x4_13+0.20x4_14+0.20x4_15+0.20x4_16+0.20x4_17+0.20x4_18+0.20x4_19+0.20x4_20+0.20x4_21+0.20x4_22 +0.20x4_23+0.20x4_24+0.20x4_25+0.20x4_26+0.20x4_27+0.20x4_28+0.20x4_29+0.20x4_30+0.20x4_31+0.20x4_32+0.20x4_33 +0.20x4_34+0.20x4_35+0.20x4_36+0.20x4_37+0.20x4_38+0.20x4_39+0.20x4_40+0.20x4_41+0.20x4_42+0.20x4_43+0.20x4_44 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