Baixe grafos...Cap6 e outras Notas de estudo em PDF para Eletrônica, somente na Docsity! EA-513 - Circuitos Elétricos I DECOM-FEEC-UNICAMP Capítulo 6 Independência das Equações DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I 6.1 Grafo de uma Rede Estudo de como os elementos de uma rede elétrica são conectados (topologia). Topologia de redes: fornece um método sistemático para a determinação de quantas equações são necessárias para a análise, quantas delas são independentes e a escolha do melhor conjunto de equações para a análise direta. Problema a ser resolvido: análise de redes complicadas, geralmente não planares e com muitos laços. Circuitos não planares: não permitem a análise por malhas e a aplicação direta da lei de Kirchhoff de tensão. DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I Grafo de rede é conexo se existe um percurso de um ou mais ramos entre quaisquer dois nós. Exemplo de grafo de rede não conexo: a b c d e f g sem ligação DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I 6.2 Árvore e Co-Árvore Árvore é uma porção conexa de um grafo (subgrafo) que contém todos os nós mas nenhum laço. Exemplo: 1 2 4 3 5 6 7 1 2 3 árvoregrafo 1 2 7 árvore Total de árvores: 24 3 ramos determinam uma árvore, mais que isso formam um laço. Combinação de 7 ramos 3 a 3 = 35, entretanto, 11 delas não são árvores. DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I 1 2 3 árvore Ramos do grafo que não estão na árvore são denominados enlaces. Enlaces mais os seus nós = co-árvore da árvore correspondente. Exemplo: 4 6 7 co-árvore 5 DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I Exemplo: v1 + v2 – + v4 – v3 v5 v6 + – + ++ –– – Pela lei de Kirchhoff de tensão: 316 215 234 vvv vvv vvv −= −= −= tensões de enlace tensões de ramo da árvore DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I Procedimento para se obter as equações de tensões de ramo da árvore: • Abre-se um ramo da árvore separando-a em duas partes. • Correntes fluem entre as duas partes através do ramo aberto e pelos enlaces. • Aplica-se a lei de Kirchhoff de corrente, a soma algébrica destas correntes em um dado sentido é zero. • Escreve-se a equação de tensões. • Repete-se este procedimento para os outros ramos da árvore. DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I Exemplo: a 0,5 Ω 1 Ω + - 20 V 2 Ω 11 A + v2 - b c 1 Ω + v1 - d a 20 – v1 – v2 + 20 – v1 – + v1 – 20 V v2 v1 + v2 + – + + + – – – b c d I Imaginando ramo a-b (v1) aberto ⇒a árvore é dividida em 2 partes. Estas partes são conectadas pelo ramo a-b e os enlaces: (a, c), (b, d) e (d, c) como indicado pela linha marcada com I. Correntes no sentido da seta: 011 2 20 11 1121 =−−−++ vvvv DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I Exemplo: i1 i2 i3 i5i4 i6 i7 Grafo CS CS = conjunto de corte {i7, i5, i3, i2} Lei de Kirchhoff de corrente: i2 – i3 + i5 + i7 = 0 Mesma equação para a Lei de Kirchhoff de corrente aplicada no supernó contendo i6. i1 i2 i3 i5i4 i6 i7 Árvore e enlaces DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I i1 i2 i3 i5i4 i6 i7 CS-1 CS-2 CS-3 CS-1: i1 – i2 = 0 CS-2: i4 + i5 – i3 + i2 = 0 CS-3: i2 – i3 + i6 = 0 DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I i1 i2 i3 i5i4 i6 i7 Conjunto de corte não baseado na árvore dada: Conjunto de corte incidente: elementos conectados (ou incidentes) ao nó a. i1 – i3 + i5 + i4 = 0 a DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I 6.4 Equações Independentes de Corrente Forma sistemática para escrever as equações de laços para uma rede genérica com B ramos e N nós. Para uma dada árvore existem B – N + 1 enlaces. Supondo que todas as correntes de enlaces são iguais a zero, isto é, que os enlaces são circuitos abertos, e que a árvore não contém laços, então todas as correntes da árvore dependem das correntes de enlace. Assim, pode-se expressar as correntes da árvore em termos das correntes de enlace. Note que se a corrente de árvore for independente das correntes de enlace, ela não poderá ser igualada a zero ao se abrir os enlaces. Note ainda que se o enlace não for tornado um circuito aberto, existirá um laço no grafo e uma corrente fluirá no enlace. DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I As B – N + 1 correntes de enlace são um conjunto independente. A análise do circuito necessita de B – N + 1 equações independentes. Processo sistemático para calcular B – N + 1 laços independentes: • a partir da árvore adiciona-se um dos enlaces. • determina-se o laço que contém aquele enlace. • remove-se este enlace e adiciona-se outro à árvore, determinando o 2º laço. • continua-se até que os B – N + 1 laços sejam encontrados. O conjunto é independente porque cada laço contém um enlace diferente. DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I Exemplo: 1 a b c d e f 2 3 4 5 9 6 7 8 Laço I: enlace 2 + ramos 1, 8, 9. Laço II: enlace 3 + ramos 7, 9, 1. Laço III: Enlace 4 + ramos 5, 7, 9. Laço IV: Enlace 6 + ramos 5, 7, 8. DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I 3. Cada malha subseqüente é formada pela conexão de ramos e nós às malhas anteriores. • Cada ramo adicionado acrescenta um nó, a não ser no último ramo onde nenhum nó é acrescentado. Assim, o número de nós adicionado é menor em uma unidade que o número de ramos. DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I 4. Se a segunda malha acrescenta k2 ramos, então ela adiciona k2 – 1 nós, e assim por diante. 5. A última malha adiciona kM ramos e kM – 1 nós. 6. Se no grafo inteiro o número de ramos é B e o número de nós é N, temos: k1 + k2 + ... + kM = B (k1) + ( k2 – 1 ) + ... + ( kM – 1 ) = N k1 + k2 + ... + kM – (M – 1) = N B – (M – 1) = N M = B – N + 1 Número de enlaces no grafo. DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I Correntes de malha constituem um conjunto de correntes que descreve completamente uma rede planar. Nº de correntes independentes de malha = Nº de correntes independentes de enlace. Pois, cada nova malha contém pelo menos um ramo inexistente na malha anterior. DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I v2 10 V 3v2 v1 + – + + + – – b c e a d 2v1 – + 6 A Por inspeção: 10 102103 3 1 21221 21 −= −−=−+−= −= vv vvvvvv vvv ae dc bc 0362 22 1 =++++ aedcbc vv vv 0322 21 =+− vvvdc Substituindo vbc, vdc e vbe nas expressões e resolvendo, obtemos: [ ] [ ] V 20 e V 11 21 −=−= vv DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I 6.6 Equivalência Estrela-Triângulo (Y−∆ ou T−Π) + - i1 v1 R3 R1 R2 1 2 + - v2 i2 3 + - i1 v1 Rc Ra Rb 1 2 3 + - i2 v2 ( ) ( ) 232132 231311 iRRiRv iRiRRv ++= ++= ( ) ( ) 212 211 i RRR RRR i RRR RR v i RRR RR i RRR RRR v cba cab cba bc cba bc cba bac ++ ++ ++ = ++ + ++ += DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I ( ) 231311 iRiRRv ++= ( ) 211 iRRR RR i RRR RRR v cba bc cba bac ++ + ++ += ( ) 232132 iRRiRv ++= ( ) 212 iRRR RRR i RRR RR v cba cab cba bc ++ ++ ++ = ( ) cba bc cba bac RRR RR R RRR RRR RR ++ = ++ +=+ 3 31 ( ) cba cab RRR RRR RR ++ +=+ 32 cba ca RRR RR R ++ =1 cba bc RRR RR R ++ =3 cba ba RRR RR R ++ =2 Resistência Y = Produto das resistências ∆ adjacentes Soma das resistências ∆