Baixe Sistema Comunicação - tsin (1-157) e outras Provas em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity! T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) F ic ha de di sc ip li na L IC E N C IA T U R A E M __ __ __ __ __ __ __ __ E N G E N H A R IA E L E C T R O T É C N IC A E D E C O M P U T A D O R E S A N O L E C T IV O __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 20 02 /2 00 3 N O M E D A D IS C IP L IN A __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ T E O R IA D O S I N A L A N O : 2º __ __ __ __ __ __ _ SE M E ST R E : 1º __ __ __ __ __ __ __ __ E SC O L A R ID A D E : 3 T + 1 T P D E P A R T A M E N T O Q U E L E C C IO N A A D IS C IP L IN A __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ D E E C D O C E N T E S: R E G E N T E C A T E G O R IA A U L A S T E Ó R IC A S: Jo rg e M ar ti ns de C ar va lh o P ro f. C at ed rá ti co A rm an do Jo rg e P ad ilh a P ro f. A ss oc ia do A U L A S P R Á T IC A S: A rm an do Jo rg e P ad ilh a P ro f. A ss oc ia do D ia m an ti no F re it as P ro f. A ux ili ar P au lo L op es do s Sa nt os P ro f. A ux ili ar N º.T .T E Ó R IC A S: 2 N º. T .P R Á T IC A S: 0 N º. T .T E Ó R ./P R Á T .: 12 T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) F ic ha de di sc ip li na O B JE C T IV O S D A D IS C IP L IN A A qu is iç ão do s co nc ei to s fu nd am en ta is pa ra ca ra ct er iz aç ão e pr oc es sa m en to de si na is co nt ín uo s e di sc re to s, in cl ui nd o a ca pa ci da de de an ál is e de si st em as li ne ar es in va ri an te s po r m ei o de m ét od os de F ou ri er e de tr an sf or m ad as de L ap la ce e Z .C om pr ee ns ão do s pr oc es so s e m ét od os pr es en te s em si st em as de fi lt ra ge m e am os tr ag em de si na is . C O N T E Ú D O D A D IS C IP L IN A S in ai s e si st em as , co nt ín uo s e di sc re to s. S is te m as li ne ar es , in va ri an te s. A ná li se de F ou ri er pa ra si na is e si st em as . In tr od uç ão à tr an sf or m ad a de L ap la ce e à tr an sf or m ad a- Z . In tr od uç ão à fi lt ra ge m de si na is co nt ín uo s e di sc re to s. A m os tr ag em de si na is co nt ín uo s. (v er pr og ra m a an ex o) . M E T O D O L O G IA D A D IS C IP L IN A A ul as te ór ic as : E xp os iç ão da s m at ér ia s do pr og ra m a, il us tr aç ão do s m ét od os po r m ei o da re so lu çã o de pr ob le m as e da an ál is e de ca so s co nc re to s. A ul as te ór ic o- pr át ic as : P ro po st a e di sc us sã o de tr ab al ho s de ca sa ,r es ol uç ão de pr ob le m as na au la . F or a da s au la s: E st ud o da s m at ér ia s da di sc ip li na , re so lu çã o de pr ob le m as pr op os to s (d e m od o co nv en ci on al e ta m bé m fa ze nd o us o do M at L ab ,d is po ní ve ln a re de F E U P ). T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) F ic ha de di sc ip li na B IB L IO G R A F IA O B R IG A T Ó R IA (B ib lio te ca D E E C ) -A la n V .O pp en he im ,A la n S. W il ls ky ,S .H am id N aw ab .S ig na ls an d Sy st em s . 2n d ed it io n. Pr en ti ce -H al lS ig na lP ro ce ss in g Se ri es ,1 99 7. B IB L IO G R A F IA R E C O M E N D A D A (B ib lio te ca D E E C ) -D ou gl as K .L in dn er ;I nt ro du ct io n to S ig na ls an d Sy st em s; M cG ra w -H il l, 19 99 . -B uc k, D an ie l, S in ge r; C om pu te r E xp lo ra ti on s in Si gn al s an d Sy st em s (u si ng M at la b) ;P re nt ic e- H al l S ig na lP ro ce ss in g Se ri es ,1 99 7. -O pp en he im ,S ch af er ;D ig it al Si gn al Pr oc es si ng ;P re nt ic e- H al lI nt er na ti on al E di ti on s, 19 75 . -D av id J. D eF at ta , Jo se ph G . L uc as , W il li am S. H od gk is s; D ig it al Si gn al Pr oc es si ng : a Sy st em D es ig n A pp ro ac h; Jo hn W il ey & So ns ,1 98 8. -S te ve n A .T re tt er ;I nt ro du ct io n to D is cr et e- T im e Si gn al Pr oc es si ng ;J oh n W il ey & So ns ,1 97 6. -A th an as io s Pa po ul is ;S ig na lA na ly si s; M cG ra w -H il lI nt er na ti on al E di ti on s, 19 84 . -H . K w ak er na ak , R . Si va n; M od er n Si gn al s an d Sy st em s; Pr en ti ce -H al l In te rn at io na l E di ti on s, 19 91 . T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) F ic ha de di sc ip li na - av al ia çã o O s m ét od os de av al ia çã o re sp ei ta m as N or m as G er ai s de A va li aç ão ap ro va da s pe lo C on se lh o P ed ag óg ic o da FE U P, en qu ad ra nd o- se no nº 3 do A rt º 1º - “a va li aç ão di st ri bu íd a co m ex am e fi na l” . A lu no s em re gi m e no rm al C on si de ra m -s e du as co m po ne nt es da av al ia çã o: • A va li aç ão di st ri bu íd a, ef ec tu ad a na s au la s te ór ic o- pr át ic as pe lo re sp ec ti vo do ce nt e (i nc lu in do pa rt ic ip aç ão e de se m pe nh o na s au la s , be m co m o os re su lt ad os em 2 m in i- te st es ef ec tu ad os em da ta s a fi xa r o m ai s ce do po ss ív el ). • E xa m e es cr it o (p ro va fi na l, se m co ns ul ta ,c om du ra çã o nã o su pe ri or a 2 ho ra s e 30 m in ut os ). A ap ro va çã o na di sc ip li na pr es su põ e um m ín im o de 30 % em qu al qu er da s du as co m po ne nt es . S e fo r ex ce di do o li m ite de fa lt as ou se nã o fo r at in gi do o m ín im o de 30 % na av al ia çã o di st ri bu íd a, o al un o nã o te m fr eq uê nc ia ,f ic an do se m ac es so a ex am e, se ja na ép oc a no rm al ou de re cu rs o. P ar a os al un os em re gi m e no rm al co m ac es so a ex am e, a cl as si fi ca çã o fi na lé ob ti da pe la m éd ia po nd er ad a da cl as si fi ca çã o na av al ia çã o di st ri bu íd a (3 0% ) e no ex am e (7 0% ). E st a po nd er aç ão é co ns id er ad a pa ra as pr ov as de ép oc a no rm al e de re cu rs o; no ca so de pr ov as re al iz ad as pa ra m el ho ri a de cl as si fi ca çã o, a no ta ob ti da é ap en as a do co rr es po nd en te ex am e, o qu al to da vi a se rá id ên ti co ao do s al un os em re gi m e es pe ci al (v er ad ia nt e) . A av al ia çã o di st ri bu íd a te rá co m o ba se os re su lt ad os ob ti do s em pe qu en os te st es ,d e du ra çã o in fe ri or a 30 m in ut os e em nú m er o de 2, re al iz ad os se m co ns ul ta de el em en to s de es tu do ,s en do aj us ta da pe la av al ia çã o do ní ve l de pa rt ic ip aç ão e da qu al id ad e do de se m pe nh o do al un o na s au la s. O s m in i- te st es co ns is te m em pr ob le m as de na tu re za se m el ha nt e ao s qu e an te s te nh am si do pr op os to s co m o tr ab al ho de ca sa e di sc ut id os e an al is ad os na s au la s te ór ic o- pr át ic as . T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) F ic ha de di sc ip li na - av al ia çã o A lu no s em re gi m e es pe ci al O s al un os ad m it id os a ex am e po r te re m di sp en sa de fr eq uê nc ia (a o ab ri go da s al ín ea s a) ,b ) e c) do A rt ig o 4º da s N or m as G er ai s de A va li aç ão ) re al iz ar ão , em qu al qu er da s ép oc as de ex am e, ex am es es cr it os es pe ci ai s, co m du ra çã o nã o su pe ri or a 3 ho ra s . O s m es m os ex am es se rã o re al iz ad os pe lo s al un os ad m it id os pa ra m el ho ri a de cl as si fi ca çã o. A s pr ov as a re al iz ar pe lo s al un os co m ac es so a ex am e em ép oc as es pe ci ai s (p on to 5 do A rt º 6º da s N or m as G er ai s de A va lia çã o) po de rã o se r or ai s, ca so em qu e o av is o se rá fe ito at em pa da m en te . O bs er va çã o im po rt an te A ob te nç ão de cl as si fi ca çã o fi na l su pe ri or a 18 va lo re s (1 9 ou 20 ) ex ig e a pr es ta çã o de um a pr ov a or al , a re al iz ar ap ós o fi m da ép oc a de ex am e de re cu rs o. O s al un os em co nd iç õe s de re al iz ar em as re fe ri da s pr ov as or ai s se rã o de vi da m en te as si na la do s na s pa ut as de cl as si fi ca çã o af ix ad as ap ós os ex am es es cr it os . T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) F ic ha de di sc ip li na H O R Á R IO S O s al un os da s tu rm as 8 e 13 de ve rã o so li ci ta r, co m a m ai or an te ce dê nc ia po ss ív el , ao do ce nt e de ou tr a qu al qu er tu rm a pa ra , na se m an a de 28 de O ut ub ro a 1 de N ov em br o, se re m au to ri za do s a fr eq ue nt ar a co rr es po nd en te au la ,d e m od o a nã o fi ca re m pr ej ud ic ad os pe la oc or rê nc ia do fe ri ad o a 1 de N ov em br o. A T E N D IM E N T O Jo rg e M ar ti ns de C ar va lh o (e di fí ci o I, ga bi ne te I- 31 5) te rç as -f ei ra s, 16 .0 0 – 17 .3 0 A rm an do Jo rg e P ad il ha (e di fí ci o I, ga bi ne te I- 30 9) se gu nd as -f ei ra s, 15 .0 0 – 16 .3 0 te rç as -f ei ra s, 17 .0 0 – 18 .3 0 D ia m an ti no F re it as (e di fí ci o I, ga bi ne te I- 21 6) se gu nd as -f ei ra s, 18 .3 0 – 19 .3 0 te rç as -f ei ra s, 14 .3 0 – 16 .0 0 P au lo L op es do s S an to s (e di fí ci o I, ga bi ne te I- 20 9) qu ar ta s- fe ir as ,9 .3 0 – 10 .3 0 se xt as -f ei ra s, 11 .3 0 – 12 .3 0 D at as do s m in i- te st es : 1º ,n a se m an a de 21 de O ut ub ro 2º ,n a se m an a de 2 de D ez em br o T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) Si na is e Si st em as ,C on tí nu os e D is cr et os C am po s d e ap li ca çã o: C om u n ic aç õe s m od u la çã o; m od em s; … A er on áu ti ca e A st ro n áu ti ca se n so re s /r ea li m en ta çã o; … C on tr ol o de pr oc es so s qu ím ic a /a li m en ta r; m áq u in as -f er ra m en ta ;… E co n om ia /D em og ra fi a pr ev is õe s de m er ca do bo ls is ta ;a n ál is e de m ig ra çõ es ;… A gr ic u lt u ra m at u ra çã o de ce re ai s; … P ro du çã o de en er gi a an ál is e de fe n óm en os tr an si tó ri os ;e xp lo ra çã o de pe tr ól eo s; … P ro sp ec çã o m in ei ra lo ca li za çã o /q u an ti fi ca çã o de ja zi go s E n ge n h ar ia bi om éd ic a di ag n ós ti co E C G ’s ;r ea li da de vi rt u al ;… E le ct ró n ic a pr oj ec to de ci rc u it os ;… C on st ru çã o ci vi l co m po rt am en to de es tr u tu ra s; … C ar to gr af ia re ce n se am en to /p la n ea m en to u rb an o; … E co lo gi a va ri aç õe s de po pu la çõ es an im ai s /f lo re st ai s; … … ( te m p o co n tí n u o ? /t em p o d is cr et o ? ) In tr od uç ão à di sc ip li na T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) O bj ec ti vo s de es tu do C a ra ct er iz a çã o d e si st em a s – an ál is e : po r ex em pl o, o es tu do do si st em a au di ti vo h u m an o, ou de u m ec os si st em a; P ro je ct o d e si st em a s – sí nt es e : po r ex em pl o, re st au ra çã o de im ag en s, ou fi lt ra ge m de ru íd o; M od if ic a çã o d e si st em a s – co nt ro lo :p or ex em pl o, co n tr ol o de m áq u in as -f er ra m en ta ,o u co n tr ol o de si st em as fi n an ce ir os . In tr od uç ão à di sc ip li na T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) N o ca so di sc re to te m os : em qu e - pa rt e pa r de x[ n] - pa rt e ím pa r de x [n ] po de m se r ob tid as da se gu in te fo rm a: D ec om po si çã o em pa rt e pa r e pa rt e ím pa r [] [] [] n x n x n x i p + = [] n x p [] n x i [] [] [ ] 2 n x n x n x p − + = [] [] [ ] 2 n x n x n x i − − = Si na is e si st em as ,c on tín uo s e di sc re to s T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) O va lo r m éd io de x( t) pa ra o in te rv al o [t 1; t 2 ] é de fi ni do da se gu in te fo rm a: ou pa ra to do o do m ín io (e m re gr a, ne st e ca so om it e- se o ín di ce ∞ ) N o ca so di sc re to te m os ,c on so an te o ca so : V al or m éd io () [ ] () 2 1 2 1 ; 1 2 1 t t t t x t x t dt t t = − ∫ () () 2 2 1 lim D D D x t x t dt D − → ∞ = ∫ [ ] [ ] 2 2 1 1 2 1 1 1 [ ; ] n n n n n k n x n x k − + = = ∑ Si na is e si st em as ,c on tín uo s e di sc re to s [ ] [ ] 1 2 1 lim M M M k M x n x k + → ∞ =− = ∑ T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) O si na lx (t ) é pe ri ód ic o se ex is tir um va lo r po si tiv o T pa ra o qu al – pa ra m in te ir o ve ri fi ca -s e qu e – o pe rí od o fu nd am en ta l é o m en or va lo r de T ex em pl o: N o ca so di sc re to um si na lx [n ] é pe ri ód ic o se ex is ti r um in te ir o po si ti vo N ta lq ue O m en or va lo r po ss ív el de N é o pe rí od o fu nd am en ta l. Q ua lq ue r m úl tip lo do pe rí od o fu nd am en ta lé ta m bé m um pe rí od o de x[ n] . Si na is pe ri ód ic os () ( ) t T t x t x ∀ + = () ( ) t m T t x t x ∀ + = -2 T -T 0x (t ) T 2T t … … [] [ ] n N n x n x ∀ + = Si na is e si st em as ,c on tín uo s e di sc re to s T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) Se x( t) é pe ri ód ic o co m pe rí od o T em qu e -v al or m éd io de x( t) {o u pa rt e co nt ín ua ou co m po ne nt e co nt ín ua } -p ar te al te rn ad a de x( t) E xe m pl o: D ec om po si çã o em co m po ne nt es co nt ín ua e al te rn ad a () () () () () ac ac T x t x t x t x t x t ∞ = + = + () () T x t x t ∞ = () t x a c -3 -2 -1 1 2 3 4 t 5 2 … v ( t ) … () () () 2 1 1 1 1 2 2 0 0 2 1 T T T v t v t dt v t dt dt = = = = ∫ ∫ ∫ -1 t 1 … … v a c( t) () () () ac T v t v t v t = − Si na is e si st em as ,c on tín uo s e di sc re to s T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) Pa ra a m ai or ia do s si na is qu e no s in te re ss am ,u m a ve z qu e re pr es en ta m fe nó m en os fí si co s, fa z se nt id o de fi ni r a su a en er gi a e a su a po tê nc ia ; A en er gi a de um si na lx (t ) no in te rv al o [t 1, t 2 ] é da da po r: e a su a po tê nc ia m éd ia ,n o m es m o in te rv al o, é da da po r: E ne rg ia e P ot ên ci a ∫ = 2 1 2 ) ( t t dt t x E ∫ − = 2 1 2 1 2 ) ( 1 t t dt t x t t P Si na is e si st em as ,c on tín uo s e di sc re to s T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) Pa ra os si na is di sc re to s te m os as se gu in te s de fi ni çõ es eq ui va le nt es : A en er gi a de um si na lx [n ] no in te rv al o [n 1, n 2 ] é da da po r: e a su a po tê nc ia m éd ia pa ra o m es m o in te rv al o é da da po r: em qu e n 2 -n 1+ 1 é o nú m er o de po nt os do in te rv al o. E ne rg ia e P ot ên ci a ∑ = = 2 1 2 ] [ n n n n x E ∑ = + − = 2 1 2 1 2 ] [ 1 1 n n n n x n n P Si na is e si st em as ,c on tín uo s e di sc re to s T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) Se qu is er m os de fi ni r en er gi a e po tê nc ia m éd ia no in te rv al o -∞ < t< ∞ no ca so co nt ín uo e -∞ < n< ∞ no ca so di sc re to ,t em os ,p ar a o ca so co nt ín uo ,a s se gu in te s ex pr es sõ es pa ra a en er gi a e pa ra a po tê nc ia m éd ia : e e pa ra o ca so di sc re to : e O va lo r ef ic az de um si na lp er ió di co ,c on tín uo ou di sc re to ,é da do po r: O B S : M os tr e qu e, pa ra si na is pe ri ód ic os ,a po tê nc ia m éd ia po de se r ob tid a co m um do m ín io de in te gr aç ão de ex te ns ão ex ac ta m en te ig ua la um pe rí od o! O qu e re su lta ? E ne rg ia e P ot ên ci a 2 2 1 ( ) lim ( ) ; 2 C C C E x t dt P x t dt C ∞ ∞ ∞ → ∞ −∞ − = = ∫ ∫ 2 2 1 [ ] lim [ ] . 2 1 D D n n D E x n P x n D ∞ ∞ ∞ → ∞ =− ∞ =− = = + ∑ ∑ Si na is e si st em as ,c on tín uo s e di sc re to s ef V P ∞ = T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) Po de m os cl as si fi ca r os si na is em tr ês ca te go ri as de ac or do co m os va lo re s da su a en er gi a e da su a po tê nc ia m éd ia . O s si na is co m en er gi a fi ni ta ,E ∞ < ∞ ,s ão de no m in ad os “s in ai s de en er gi a” .E st es si na is tê m P ∞ = 0. E xe m pl os : O s si na is co m po tê nc ia m éd ia fi ni ta ,P ∞ < ∞ ,s ão de no m in ad os “s in ai s de po tê nc ia ”. E st es si na is tê m E ∞ = ∞ . E xe m pl o: Fi na lm en te ,e xi st e um a ca te go ri a de si na is em qu e E ∞ e P ∞ sã o in fi ni to s. E xe m pl o: E ne rg ia e P ot ên ci a  < < − =  < < − = n n n x t t t x ou tr os 0 0 3 1 ] [ ou ou tr os 0 1 1 1 ) ( 7 ] [ ou 3 ) ( = = n x t x n n x t t x 2 ] [ ou ) ( = = Si na is e si st em as ,c on tín uo s e di sc re to s T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) C t x( t) a> 0 C t x( t) a< 0 E xp on en ci al co m pl ex a co nt ín ua • C as o 1: C e a sã o re ai s. E st am os pe ra nt e um a ex po ne nc ia lr ea l. Si na is co nt ín uo s e di sc re to s bá si co s at C e t x = ) ( Si na is e si st em as ,c on tín uo s e di sc re to s T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) E xp on en ci al co m pl ex a co nt ín ua • C as o 2: a é pu ra m en te im ag in ár io . N es te ca so te m os (c on si de ra nd o C = 1, se m pe rd a de ge ne ra li da de ): co m E st e si na lé pe ri ód ic o, is to é, ex is te um va lo r de T pa ra o qu al O m en or va lo r de T é da do po r: pa ra A pa rt e re al do si na lé co -s in us oi da le a pa rt e im ag in ár ia é si nu so id al : Si na is co nt ín uo s e di sc re to s bá si co s at C e t x = ) ( 0 a jω = ) ( 0 0 T t j t j e e + = ω ω 0 0 2 T π ω = Si na is e si st em as ,c on tín uo s e di sc re to s 0 ( ) j t x t e ω = 0 0 ω ≠ ( ) ( ) 0 0 0 ( ) co s si n j t x t e t j t ω ω ω = = + T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) C = 1+ j2 a= 0. 1+ j1 .5 x R (t )= R e{ C ea t } co s( 1. 5 t+ ar ct g 2) -| C |e 0. 1t|C |e 0. 1t E xp on en ci al co m pl ex a co nt ín ua • C as o 3: C e a sã o co m pl ex os (c as o ge ra l) . Si na is co nt ín uo s e di sc re to s bá si co s at C e t x = ) ( Si na is e si st em as ,c on tín uo s e di sc re to s 0 ; j C C e a r j θ ω = = + ( ) ( ) () () { } ( ) 0 0 0 ( ) ; R e co s r j t j t j rt rt R x t C e e C e e x t x t C e t ω ω θ θ ω θ + + = = = = + T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) D eg ra u un it ár io co nt ín uo (d eg ra u de H ea vi si de ) Im pu ls o un it ár io co nt ín uo (i m pu ls o de D ir ac ) O im pu ls o un itá ri o δ( t) re la ci on a- se co m u( t) da se gu in te fo rm a: Si na is co nt ín uo s e di sc re to s bá si co s 0, 0 ( ) 1, 0 t u t t <  =  >  t u( t) 1 ( ) ( ) t u t d δ τ τ −∞ = ∫ Si na is e si st em as ,c on tín uo s e di sc re to s t δ( t) T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) M em ór ia U m si st em a di z- se se m m em ór ia se o se u va lo r de sa íd a, pa ra um da do va lo r da va ri áv el in de pe nd en te (t em po ), só de pe nd er do va lo r da en tr ad a ne ss e m es m o te m po . U m si st em a co nt ín uo co m a se gu in te re la çã o en tr e a en tr ad a e a sa íd a: nã o te m m em ór ia . Já os si st em as ca ra ct er iz ad os pe la s se gu in te s re la çõ es en tr e a en tr ad a e a sa íd a tê m m em ór ia : P ro pr ie da de s do s Si st em as () () () t x t x t y 3 2 + = () ( ) 1− = t x t y [] [ ]1− = n x n y () ( ) 1 t y t x d C τ τ −∞ = ∫ [] [] ∑ −∞= = n k k x n y Si na is e si st em as ,c on tín uo s e di sc re to s T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) Si st em as in ve rt ív ei s U m si st em a é in ve rt ív el se en tr ad as di st in ta s pr od uz ir em sa íd as di st in ta s, ou se ja ,s e a ob se rv aç ão da sa íd a pe rm iti r de te rm in ar a en tr ad a. D ito ai nd a de ou tr a fo rm a, um si st em a é in ve rt ív el se fo r po ss ív el co ns tr ui r um ou tr o si st em a ( s is te m a in ve rs o) qu e, lig ad o em sé ri e co m o pr im ei ro ,p ro du za um a sa íd a id ên tic a à en tr ad a de ss e. E xe m pl o: o si st em a te m um si st em a in ve rs o E xe m pl o: o si st em a te m um si st em a in ve rs o P ro pr ie da de s do s Si st em as () () 2 y t x t = [] [] [ ]1− − = n y n y n z [] [] ∑ −∞= = n k k x n y () () ty t z 21 = Si na is e si st em as ,c on tín uo s e di sc re to s T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) C au sa lid ad e U m si st em a é ca us al se a su a sa íd a, pa ra qu al qu er in st an te de te m po ,d ep en de r ap en as do s va lo re s pr es en te e pa ss ad os da en tr ad a, is to é, o si st em a nã o an te ci pa as en tr ad as . Se a um si st em a ca us al fo re m ap lic ad as en tr ad as id ên tic as at é um ce rt o in st an te t 0 ou n 0 ,a s su as sa íd as de ve m se r id ên tic as at é es se in st an te . E xe m pl os : o si st em a é ca us al ; o si st em a nã o é ca us al ; o si st em a nã o é ca us al ; o si st em a é ca us al ; P ro pr ie da de s do s Si st em as () ( ) 2 − = t x t y ( ) () ( ) 2 + − = t x t x t y[ ] [ ] ∑ −= − + = M M k k n x M n y 1 2 1 [] [] [ ] 2 1− − = n x n x n y Si na is e si st em as ,c on tín uo s e di sc re to s T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) E st ab ili da de D iz -s e qu e um si st em a é es tá ve l se , pa ra en tr ad as lim ita da s, a sa íd a ta m bé m fo r lim ita da . O si st em a é es tá ve l, po rq ue co m o a sa íd a co rr es po nd e à m éd ia de 2 M + 1 en tr ad as co ns ec ut iv as , se es sa s en tr ad as fo re m lim ita da s, a sa íd a se rá ob ri ga to ri am en te lim ita da . O si st em a nã o é es tá ve l, po rq ue en tr ad as lim ita da s po de m or ig in ar sa íd as ili m ita da s. Se , po r ex em pl o, a en tr ad a fo r um de gr au un itá ri o u( t) , co m o a sa íd a co rr es po nd e à ac um ul aç ão da s en tr ad as de sd e - ∞ ,a sa íd a é ili m ita da . P ro pr ie da de s do s Si st em as [] [ ] ∑ −= − + = M M k k n x M n y 1 2 1 [] [] ∑ −∞= = n k n x n y Si na is e si st em as ,c on tín uo s e di sc re to s T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) In va ri ân ci a te m po ra l U m si st em a é in va ri an te no te m po se um a tr an sl aç ão te m po ra l do si na l de en tr ad a or ig in ar a m es m a tr an sl aç ão no si na ld e sa íd a. Se ,n o ca so co nt ín uo , ou ,n o ca so di sc re to , a in va ri ân ci a te m po ra li m pl ic a qu e e P ro pr ie da de s do s Si st em as () () [] [] ny n x t y t x → → ( ) ( ) 0 0 t t y t t x − → − [ ] [ ] 0 0 n n y n n x − → − Si na is e si st em as ,c on tín uo s e di sc re to s T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) L in ea ri da de U m si st em a é li ne ar qu an do po ss ui a pr op ri ed ad e da so br ep os iç ão . Pa ra qu e um si st em a se ja lin ea r é ne ce ss ár io qu e: – a re sp os ta à en tr ad a se ja ,e m qu e e sã o as re sp os ta s a e re sp ec tiv am en te ; e qu e – a re sp os ta a se ja . C om bi na nd o a du as pr op ri ed ad es an te ri or es , a di ti vi da de e ho m og en ei da de ,t em os ou ,n o ca so di sc re to P ro pr ie da de s do s Si st em as () () t x t x 2 1 + () () t y t y 2 1 + () () t y t y 2 1 () () t x t x 2 1 () 1 a x t () 1 a y t () () () () t by t ay t bx t ax 2 1 2 1 + → + [] [] [] [] n by n ay n bx n ax 2 1 2 1 + → + Si na is e si st em as ,c on tín uo s e di sc re to s T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) U m a pr op ri ed ad e do s si st em as L in ea re s e In va ri an te s no T em po (L T I) , qu e tr ad uz o pr in cí pi o da so br ep os iç ão ,d et er m in a qu e a re sp os ta de ss es si st em as a um a en tr ad a qu e se ja a co m bi na çã o lin ea r de si na is , é a m es m a co m bi na çã o lin ea r da s re sp os ta s do si st em a a ca da um de ss es si na is co m po ne nt es , Po rt an to , se fo r po ss ív el re pr es en ta r qu al qu er si na l de en tr ad a co m o a co m bi na çã o lin ea r de si na is bá si co s, ba st a co nh ec er a re sp os ta de um si st em a L T I a es se s si na is bá si co s pa ra se po de r de te rm in ar a su a re sp os ta a qu al qu er si na ld e en tr ad a. R ep re se nt aç ão de si na is po r m ei o de im pu ls os Si st em as lin ea re s e in va ri an te s () () () () 1 1 2 2 3 3 ... x t a x t a x t a x t = + + + () () () () 1 1 2 2 3 3 ... y t a y t a y t a y t = + + + T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) (d ec om po si çã o em im pu ls os un it ár io s) C as o di sc re to C om o po de -s e es cr ev er C as o co nt ín uo C om o su bs tit ui nd o t 0 po r τe in te gr an do te m os R ep re se nt aç ão de si na is po r m ei o de im pu ls os [] [ ] [ ] [ ] , 0 0 0 n n n x n n n x − = − δ δ ( ) ( ) () ( ) () ( ) () x t d x t t d x t t d x t τ δ τ τ δ τ τ δ τ τ ∞ ∞ ∞ −∞ −∞ −∞ − = − = − = ∫ ∫ ∫ [] [] [ ] . ∑∞ −∞= − = k k n k x n x δ () ( ) ( ) ( ) , 0 0 0 t t t x t t t x − = − δ δ Si st em as lin ea re s e in va ri an te s T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) E m al te rn at iv a, po de m os ch eg ar ao m es m o re su lta do da se gu in te fo rm a: Se se ap ro xi m ar um si na l x( t) , ut ili za nd o im pu ls os de la rg ur a ∆ e am pl itu de 1/ ∆, ob té m -s e o se gu in te si na l: O si na l te nd e pa ra se fi ze rm os ∆ te nd er pa ra ze ro . ou se ja R ep re se nt aç ão de si na is po r m ei o de im pu ls os () ( ) ( ) ˆ . k x t x k t k δ ∞ ∆ =− ∞ = ∆ − ∆ ∆ ∑ ∆ t () tx () tx̂ () tx̂ () tx () ( ) ( ) 0 lim , k x t x k t k δ ∞ ∆ ∆ → =− ∞ = ∆ − ∆ ∆ ∑ Si st em as lin ea re s e in va ri an te s () ( ) ( ) . x t x t d τ δ τ τ ∞ −∞ = − ∫ T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) A sa íd a de um si st em a di sc re to lin ea r qu an do é su je ito ao se gu in te si na ld e en tr ad a é da da pe la so br ep os iç ão da s re sp os ta s a ca da um do s im pu ls os . Se a re sp os ta a um im pu ls o fo r en tã o a sa íd a do si st em a, y[ n] , se rá um a co m bi na çã o lin ea r do s si na is h k [n ] Si st em as di sc re to s: so m at ór io de co nv ol uç ão [ ]k n − δ [ ] [ ] [ ] k x n x k n k δ ∞ =− ∞ = − ∑ []n h k [ ] [ ] [ ] k k y n x k h n ∞ =− ∞ = ∑ Si st em as lin ea re s e in va ri an te s T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) C on si de re m os um si na l x[ n] e um si st em a pa ra o qu al co nh ec em os as re sp os ta s a im pu ls os un itá ri os si tu ad os em n= 0, h 0 [n ], e em n= 1, h 1 [n ]. x[ n] po de se r de co m po st o em do is im pu ls os un itá ri os , x[ 0] δ[ n] e x[ 1] δ[ n- 1] . A re sp os ta do si st em a a x[ n] , y[ n] , se rá ig ua l à so br ep os iç ão da s re sp os ta s do si st em a ao s im pu ls os un itá ri os em qu e fo i de co m po st o x[ n] , is to é, se rá ig ua l à so m a de x[ 0] h 0 [n ] co m x[ 1] h 1 [n ]. Si st em as di sc re to s: so m at ór io de co nv ol uç ão Si st em as lin ea re s e in va ri an te s ⇒ ⇒ = + x[ n] x[ 0] δ[ n] x[ 1] δ[ n- 1] n n n 2 2 -1 -1 n h 0 [n ] 1 -1 n x [ 0] h 0 [n ] 2 -2 n h 1 [n ] 1 -1 n x [ 1] h 1 [n ] 1 -1 n y[ n] 3 -21 T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) Se o si st em a, pa ra al ém de lin ea r, fo r in va ri an te no te m po ,e nt ão as re sp os ta s sã o ve rs õe s tr an sl ad ad as de k da re sp os ta a .N es se ca so o so m at ór io tr an sf or m a- se no so m at ór io de co nv ol uç ão em qu e é a re sp os ta im pu ls io na ld o si st em a. U m si st em a di sc re to lin ea r e in va ri an te no te m po (S L IT ou L T I) é co m pl et am en te ca ra ct er iz ad o pe la su a re sp os ta im pu ls io na l, h[ n] . Si st em as di sc re to s: so m at ór io de co nv ol uç ão [] [] [] . ∑∞ −∞= = k k n h k x n y [] n h k []n h 0 [] nδ [] [] [ ] [] [] . n h n x k n h k x n y k ∗ = − = ∑∞ −∞= [] [] n h n h 0 = Si st em as lin ea re s e in va ri an te s T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) In ve rt ib ili da de A co nd iç ão pa ra um si st em a de re sp os ta im pu ls io na lh [n ] ou h( t) se r in ve rt ív el é qu e se ja po ss ív el de te rm in ar um si st em a in ve rs o, de re sp os ta im pu ls io na lh 1[ n] ou h 1 (t ), qu e de ve rá ob ed ec er a ou E xe m pl o: O si st em a “a tr as o” ,c om t 0 > 0, te m re sp os ta im pu ls io na l e o se u si st em a in ve rs o, si st em a “a va nç o” te m re sp os ta im pu ls io na l P ro pr ie da de s do s Si st em as L T I [] [] []n n h n h δ = ∗ 1 () () () . 1 t t h t h δ = ∗ () ( ) 0t t x t y − = () ( ) , 0t t t h − = δ () ( ) . 0 1 t t t h + = δ Si st em as lin ea re s e in va ri an te s T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) C au sa lid ad e A sa íd a de um si st em a ca us al nã o po de de pe nd er de va lo re s fu tu ro s da en tr ad a. Po r in sp ec çã o da so m a e do in te gr al de co nv ol uç ão co nc lu i- se qu e, pa ra um si st em a se r ca us al ,s e de ve ve ri fi ca r ou E st ab ili da de A co nd iç ão de es ta bi lid ad e ob ri ga a qu e um si st em a su je ito a um a en tr ad a lim ita da te nh a um a sa íd a ta m bé m lim ita da . E m te rm os da re sp os ta im pu ls io na l, a es ta bi lid ad e ob ri ga a qu e ou P ro pr ie da de s do s Si st em as L T I [] 0 ,0 < = n n h () .0 ,0 < = t t h [] ∞ < ∑+∞ −∞= k k h () ∞ < ∫+∞ ∞− τ h Si st em as lin ea re s e in va ri an te s T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) E m m ui to s ca so s ca ra ct er iz am -s e os si st em as pe la su a re sp os ta a um de gr au un itá ri o, em ve z de pe la re sp os ta im pu ls io na l. A re sp os ta ao de gr au un it ár io de si gn a- se po r re sp os ta in di ci al e ex pr im e- se po r s( t) ou s[ n] . A re sp os ta in di ci al po de re la ci on ar -s e co m a re sp os ta im pu ls io na l. C as o di sc re to A re sp os ta in di ci al é ig ua la s[ n] po de se r vi st a co m o a re sp os ta de um si st em a L T I de re sp os ta im pu ls io na l u[ n] a um a en tr ad a h[ n] . U m si st em a co m re sp os ta im pu ls io na l u[ n] é um si st em a “a cu m ul ad or ”, lo go O si st em a in ve rs o te m re sp os ta im pu ls io na l R es po st a de um si st em a L T I a um de gr au un it ár io A ná lis e de F ou ri er [] [] [] [] []nu n h n h n u n s ∗ = ∗ = [] [] . ∑ −∞= = n k k h n s [] [] [ ].1− − = n s n s n h T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) C as o co nt ín uo A re sp os ta in di ci al é ig ua la D e m od o se m el ha nt e, no ca so co nt ín uo , a re sp os ta in di ci al é a re sp os ta de um in te gr ad or (q ue te m re sp os ta im pu ls io na l u( t) ) a um a en tr ad a h( t) . A re cu pe ra çã o da re sp os ta im pu ls io na l a pa rt ir da re sp os ta in di ci al fa z- se po r m ei o do si st em a in ve rs o, di fe re nc ia do r: E m co nc lu sã o, po de -s e af ir m ar qu e um si st em a L T I fi ca co m pl et am en te ca ra ct er iz ad o pe la su a re sp os ta im pu ls io na l– h( t) ou h[ n] – ou ,a lte rn at iv am en te ,p el a su a re sp os ta in di ci al – s( t) ou s[ n] – um a ve z qu e, a pa rt ir de st a úl tim a, se po de ob te r a pr im ei ra . R es po st a de um si st em a L T I a um de gr au un it ár io A ná lis e de F ou ri er () () () () () tu t h t h t u t s ∗ = ∗ = () () ∫ ∞− = t d h t s τ τ () () () t s dt t ds t h ′ = = T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) C on si de re m os um si st em a co nt ín uo cu ja s en tr ad a e sa íd a es tã o re la ci on ad as pe la se gu in te eq ua çã o di fe re nc ia l: A re sp os ta do si st em a es tá ex pr es sa de fo rm a im pl íc ita na eq ua çã o. Pa ra ex pr im ir a re sp os ta ex pl ic ita m en te ,é ne ce ss ár io re so lv er a eq ua çã o di fe re nc ia l. C on si de re -s e, en tã o, qu e a en tr ad a é o si na l ,c om k re al . A so lu çã o co m pl et a da eq ua çã o co ns is te na so m a de um a so lu çã o pa rt ic ul ar ,y p( t) ,d a eq ua çã o co m pl et a, co m um a so lu çã o ho m og én ea , y h (t ), da eq ua çã o se m se gu nd o m em br o. Si st em as de sc ri to s po r eq ua çõ es di fe re nc ia is A ná lis e de F ou ri er () () () tx t y dt t dy = + 2 () ( ) () 0 co s x t k t u t ω = T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) Po de -s e ve ri fi ca r qu e a so lu çã o pa rt ic ul ar é ig ua la on de .P or ou tr o la do ,a so lu çã o ho m og én ea te m a fo rm a Pa ra qu e a sa íd a fi qu e co m pl et am en te de te rm in ad a pe la en tr ad a é ne ce ss ár io fi xa r co nd iç õe s au xi li ar es (n es te ca so , ap en as um a) . Fi xa nd o, po r ex em pl o, y( 0) =y 0, a so lu çã o ge ra lé A so lu çã o ap re se nt ad a nã o é lin ea r (n om ea da m en te a sa íd a nã o é nu la qu an do a en tr ad a o é) ,m as ap en as in cr em en ta lm en te lin ea r. Si st em as de sc ri to s po r eq ua çõ es di fe re nc ia is A ná lis e de F ou ri er () ( ) ,0 , co s 4 0 2 0 > − + = t t k t y p θ ω ω ( ) 2 0 ω θ ar ct g = () . 2t h A e t y − = () ( ) () 2 2 0 0 2 0 co s co s 4 t t k y t y e t e u t ω θ θ ω − −   = + − −   + T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) Pa ra o si st em a se r lin ea r, a co nd iç ão au xi lia r de ve se r nu la ,i st o é y 0 = 0. Pa ra o si st em a se r ca us al de ve -s e fa ze r um a es co lh a pa rt ic ul ar da s co nd iç õe s au xi lia re s. T ra ta -s e da co nd iç ão de re po us o in ic ia l, qu e de te rm in a qu e A ss im ,a eq ua çã o só pr ec is a de se r re so lv id a pa ra t> t 0 , us an do -s e a co nd iç ão au xi lia r y( t 0 )= 0, qu e se de si gn a po r co nd iç ão in ic ia l. T am bé m se po de pr ov ar qu e a co nd iç ão in ic ia l nu la al ém de ga ra nt ir a ca us al id ad e do si st em a, ta m bé m ga ra nt e a su a in va ri ân ci a te m po ra l. Si st em as de sc ri to s po r eq ua çõ es di fe re nc ia is A ná lis e de F ou ri er () . pa ra 0 en tã o , pa ra 0 ) ( se 0 0 t t t y t t t x ≤ = ≤ = T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) N o ca so ge ra l, um a eq ua çã o di fe re nc ia l lin ea r de co ef ic ie nt es co ns ta nt es ,d e or de m N , é da da po r A or de m N re fe re -s e à de ri va da m ai s el ev ad a da sa íd a co m co ef ic ie nt e nã o nu lo . N es te ca so ,p ar a o si st em a se r li ne ar ,c au sa l e in va ri an te no te m po ,d ev em us ar -s e as co nd iç õe s in ic ia is se gu in te s: Si st em as de sc ri to s po r eq ua çõ es di fe re nc ia is A ná lis e de F ou ri er () () k k M k k N k k k k dt t x d b dt t y d a ∑ ∑ = = = 0 0 ( ) ( ) ( ) .0 1 0 1 0 0 = = = = − − N N d t t y d dt t dy t y T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) N o ca so di sc re to , a eq ua çã o às di fe re nç as lin ea r de co ef ic ie nt es co ns ta nt es , de or de m N ,é da da po r A so lu çã o de um a ta le qu aç ão po de se r ef ec tu ad a po r um m ét od o in te ir am en te an ál og o ao us ad o no ca so co nt ín uo . N o en ta nt o, é po ss ív el se gu ir um ca m in ho al te rn at iv o, re co nh ec en do qu e a an te ri or eq ua çã o po de se r re es cr ita co m o A ne ce ss id ad e de co nd iç õe s au xi lia re s é ev id en te ne st a fo rm ul aç ão ,p oi s pa ra ca lc ul ar y[ n] , é ne ce ss ár io co nh ec er y[ n- 1] , ... , y[ n- N ]. Se a en tr ad a fo r nu la at é n= n 0 , en tã o pa ra o si st em a se r li ne ar , ca us al e in va ri an te , de ve m -s e im po r co nd iç õe s in ic ia is nu la s. U m a eq ua çã o co m o a an te ri or de si gn a- se po r eq ua çã o re cu rs iv a. Si st em as de sc ri to s po r eq ua çõ es às di fe re nç as A ná lis e de F ou ri er [ ] [ ]k n x b k n y a M k k N k k − = − ∑ ∑ = = 0 0 [] [ ] [ ]. 1 1 0 0   − − − = ∑ ∑ = = N k k M k k k n y a k n x b a n y T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) N o ca so es pe ci al em qu e N = 0, a eq ua çã o re du z- se a qu e é de si gn ad a po r nã o- re cu rs iv a, e po de se r re so lv id a se m co nd iç õe s au xi lia re s. Po r cá lc ul o di re ct o, a re sp os ta im pu ls io na ld es te si st em a é A eq ua çã o às di fe re nç as ,n es te ca so ,é o so m at ór io de co nv ol uç ão . A re sp os ta im pu ls io na l de um si st em a nã o- re cu rs iv o só é nã o- nu la nu m in te rv al o de te m po fi ni to , po r es sa ra zã o, es se s si st em as de si gn am -s e po r si st em as de re sp os ta im pu ls io na lf in it a ou F IR (f in it e im pu ls e re sp on se ). O s si st em as re cu rs iv os tê m re sp os ta im pu ls io na l de du ra çã o ili m ita da e de si gn am -s e po r si st em as de re sp os ta im pu ls io na li nf in it a ou II R (i nf in it e im pu ls e re sp on se ). Si st em as de sc ri to s po r eq ua çõ es às di fe re nç as A ná lis e de F ou ri er [] [ ] k n x ab n y M k k −     = ∑ =0 0 []    > ∨ < ≤ ≤ = M n n M n ab n h n 0 ,0 0 , 0 T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) Si st em as di sc re to s O s el em en to s gr áf ic os bá si co s a us ar sã o o so m ad or , o m ul ti pl ic ad or po r um co ef ic ie nt e, e o at ra so un itá ri o, re pr es en ta do s co m o se gu e: C om o ilu st ra çã o si m pl es co ns id er em -s e os se gu in te s si st em as (s em pr e su po st os in ic ia lm en te em re po us o) : R ep re se nt aç õe s de si st em as po r di ag ra m as de bl oc os A ná lis e de F ou ri er x 1 [n ] x 2 [n ] x 1 [n ]+ x 2 [n ] + x[ n] a x[ n] a D x[ n] x[ n- 1] D + x[ n] y[ n] y[ n- 1] - a b x[ n] y[ n] x[ n- 1] b 0 b 1 D + [] [ ] []nxb n y a n y = − + 1 [] [] [ ]1 1 0 − + = n x b n x b n y T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) C on si de re -s e ag or a o si st em a de sc ri to po r A re sp os ta gl ob al é a as so ci aç ão em sé ri e de do is su bs is te m as , co m o se po de m os tr ar co ns id er an do o si na li nt er m éd io w [n ]: C om o a re sp os ta de um si st em a sé ri e nã o de pe nd e da or de m em qu e oc or re m os re sp ec tiv os co m po ne nt es é po ss ív el re de se nh ar o di ag ra m a- bl oc os do si st em a ou R ep re se nt aç õe s de si st em as po r di ag ra m as de bl oc os A ná lis e de F ou ri er [] [ ] [] [ ]1 1 1 0 − + = − + n x b n x b n y a n y [] [] [ ]1 1 0 − + = n x b n x b n w [] [ ] []n w n y a n y + − − = 1 + y[ n] - a x[ n] b 0 b 1 D + w [n ] D + y[ n] - a x[ n] b 0 b 1 D + z[ n] D + y[ n] - a x[ n] b 0 b 1 D + T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) Sé ri e de F ou ri er E xe m pl o 1: C on si de re o se gu in te si na lp er ió di co x( t) co m fr eq uê nc ia fu nd am en ta l2 π: on de R ep re se nt e- o gr af ic am en te . E xe m pl o 2: C on si de re qu e o si na ld o ex em pl o an te ri or fo ia pl ic ad o à en tr ad a de um si st em a co m a se gu in te re sp os ta im pu ls io na l: C al cu le o si na là sa íd a do si st em a, A ná li se de F ou ri er () , 3 3 2 ∑ −= = k t jk k e a t x π . 31 , 2 1 , 4 1 ,1 3 3 2 2 1 1 0 = = = = = = = − − − a a a a a a a () () . t u e t h t− = () , 3 3 2 ∑ −= = k t jk k e a t x π () ( ) 0 3 0 3 jk t k k y t a H k e ω ω + = − = ∑ T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) Se um si na lp er ió di co x( t) po de se r re pr es en ta do po r um a sé ri e de Fo ur ie r, é ne ce ss ár io de te rm in ar os co ef ic ie nt es a k . E ss es co ef ic ie nt es ob tê m -s e da se gu in te fo rm a: Se se m ul tip lic ar em am bo s os m em br os da eq ua çã o de de fi ni çã o da sé ri e de Fo ur ie r po r e- jn ω 0 t , ob té m -s e e in te gr an do de 0 at é T 0= 2π /ω 0, is to é, du ra nt e um pe rí od o fu nd am en ta l, fi ca ou Sé ri e de F ou ri er () 0 0 0 jn t jk t jn t k k x t e a e e ω ω ω ∞ − − =− ∞ = ∑ A ná lis e de F ou ri er () ∫∑ ∫ ∞ − ∞ = − − = 0 0 0 0 0 0 0 T k t jn t jk k T t jn dt e e a dt e t x ω ω ω () ( ) ∑ ∫ ∫ ∞ − ∞ = − −     = k T t n k j k T t jn dt e a dt e t x 0 0 0 0 0 0 ω ω T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) Po de -s e m os tr ar ,u sa nd o a re la çã o de E ul er ,o se gu in te : lo go E st a eq ua çã o de si gn a- se po r eq ua çã o de an ál is e. A eq ua çã o de an ál is e e a eq ua çã o de sí nt es e de fi ne m co m pl et am en te a sé ri e de Fo ur ie r. O s co ef ic ie nt es a k sã o de si gn ad os po r co ef ic ie nt es da sé ri e de F ou ri er ou po r co ef ic ie nt es es pe ct ra is de x( t) . Sé ri e de F ou ri er () 0 0 01 jk t k T a x t e dt T ω − = ∫ () ∑∞ −∞= = k t jk k e a t x 0 ω A ná lis e de F ou ri er ( ) 0 0 0 0 , 0 T j k n t T k n e dt k n ω − =  =  ≠  ∫ T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) E xe m pl o 3: C al cu le os co ef ic ie nt es da sé ri e de Fo ur ie r do se gu in te si na l: E xe m pl o 4: C al cu le os co ef ic ie nt es da sé ri e de Fo ur ie r do se gu in te si na l: E xe m pl o 5: C al cu le os co ef ic ie nt es da sé ri e de Fo ur ie r do si na lp er ió di co da fi gu ra : cu jo pe rí od o se de fi ne da se gu in te fo rm a Sé ri e de F ou ri er A ná li se de F ou ri er () ( ) 0 si n x t t ω = () ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 si n 2 co s co s 2 4 x t t t t π ω ω ω = + + + + ()    < < < = 2 ,0,1 0 1 1 T t T T t t x x( t) t... ... T 1 T 0/ 2 T 0 0 T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) A de co m po si çã o de si na is em ex po ne nc ia is co m pl ex as , de qu e re su lta a sé ri e de Fo ur ie r, ve ri fi ca a pr im ei ra da s pr op ri ed ad es ap on ta da s co m o de se já ve is pa ra es sa re pr es en ta çã o: ‘o co nj un to de si na is bá si co s de ve pe rm iti r co ns tr ui r um a cl as se va st a e út il de si na is ’. D e fa ct o, a re pr es en ta çã o pe la sé ri e de Fo ur ie r é vá lid a pa ra qu al qu er si na l pe ri ód ic o qu e se ja co nt ín uo ,o qu e re pr es en ta já um a va st a cl as se de si na is . Po r ou tr o la do ,o co nj un to de si na is re pr es en tá ve is é ai nd a m ai s va st o, po de nd o in cl ui r de sc on tin ui da de s, de sd e qu e se ja m sa tis fe ita s as tr ês co nd iç õe s de D ir ic hl et : 1. x( t) de ve se r ab so lu ta m en te in te gr áv el ao lo ng o de um pe rí od o, is to é, Sé ri e de F ou ri er A ná lis e de F ou ri er () 0T x t dt < ∞ ∫ T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) 2. E m qu al qu er in te rv al o de te m po fi ni to ,x (t ) de ve se r de va ri aç ão lim ita da ,i st o é, nã o de ve ha ve r m ai s do qu e um nú m er o fi ni to de m áx im os e m ín im os du ra nt e um pe rí od o do si na l. 3. E m qu al qu er in te rv al o de te m po fi ni to ,x (t ) de ve te r ap en as um nú m er o fi ni to de de sc on tin ui da de s, as qu ai s de ve m se r fi ni ta s. E xe m pl o 6 (F en óm en o de G ib bs ): V er if iq ue o qu e oc or re co m a ap ro xi m aç ão à on da qu ad ra da ,q ua nd o só se to m am em co ns id er aç ão 2N + 1 te rm os ,i st o é, fa ze nd o co m N = 1, 3, 7, 19 ,7 9. Sé ri e de F ou ri er A ná lis e de F ou ri er () ∑ −= = N N k t jk k e a t x 0 ω T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) Sé ri e de F ou ri er Fe nó m en o de G ib bs (N = 1, 3, 5, 7) N = 1 N = 3 N = 5 N = 7 A ná lis e de F ou ri er T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) C om o vi m os a sé ri e de Fo ur ie r só pe rm ite a re pr es en ta çã o de si na is pe ri ód ic os . U m a fo rm a de ch eg ar a um a re pr es en ta çã o ba se ad a na de co m po si çã o em ex po ne nc ia is co m pl ex as qu e po ss a se r ap lic ad a a si na is ap er ió di co s, co ns is te na ex te ns ão da re pr es en ta çã o pe la sé ri e de Fo ur ie r, fa ze nd o o si na l pe ri ód ic o te nd er pa ra um si na l ap er ió di co . N o ca so da on da qu ad ra da , se fi ze rm os o pe rí od o T 0 te nd er pa ra in fi ni to , ob te m os o se gu in te si na la pe ri ód ic o T ra ns fo rm ad a de F ou ri er x( t) t T 1 -T 1 A ná lis e de F ou ri er T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) Pa rt in do da ex pr es sã o pa ra os co ef ic ie nt es da sé ri e de Fo ur ie r da on da qu ad ra da po de m os re pr es en ta r T 0a k da se gu in te fo rm a: A fu nç ão é a en vo lv en te de T 0a k, is to é, os co ef ic ie nt es T 0a k sã o am os tr as de ss a fu nç ão es pa ça da s de ω 0 . T ra ns fo rm ad a de F ou ri er ( ) 0 1 0 0 0 0 2 si n 2 , k k T a k T T ω π ω ω = = ( ) ( ) 0 0 1 1 0 0 2 si n 2 si n k k k T T T a k ω ω ω ω ω ω = = = ( )ω ω 1 si n 2 T A ná lis e de F ou ri er T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) T ra ns fo rm ad a de F ou ri er A ná lis e de F ou ri er T 0a k T 0a k Se T 0 te nd er pa ra in fi ni to a on da re ct an gu la r te nd e pa ra um si na l ap er ió di co e de ce rt a fo rm a os co ef ic ie nt es da sé ri e de Fo ur ie r m ul tip lic ad os po r T 0 te nd em pa ra a fu nç ão en vo lv en te . A s fi gu ra s m os tr am es ta ev ol uç ão pa ra os va lo re s T 0= 4T 1 e T 0= 16 T 1. T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) Se co ns id er ar m os um si na l x( t) de du ra çã o fi ni ta , is to é x( t) = 0 pa ra |t| > T 1, é po ss ív el fo rm ar um si na lp er ió di co ,d e pe rí od o T 0, co in ci de nt e co m x( t) nu m pe rí od o. Se T 0 te nd er pa ra in fi ni to , te nd e pa ra x( t) . T ra ns fo rm ad a de F ou ri er ()t x~ ( )t x~ A ná lis e de F ou ri er x( t) t T 1 -T 1 x( t) t T 1 -T 1 ~ ... ... T 0 T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) C om o po de se r re pr es en ta do pe la sé ri e de Fo ur ie r, te m os e C om o pa ra |t| < T 0/ 2 e x( t) = 0 fo ra de ss e in te rv al o, a eq ua çã o de an ál is e po de se r re es cr ita da se gu in te fo rm a T ra ns fo rm ad a de F ou ri er () t x~ () 0 0 0 2 0 2 1 . T jk t k T a x t e dt T ω − − = ∫ () ∑∞ −∞= = k t jk k e a t x 0 ~ ω () ()tx t x = ~ () ∫∞ ∞− − = dt e t x T a t jk k 0 01 ω A ná lis e de F ou ri er T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) A nt es ai nd a de ca lc ul ar a tr an sf or m ad a de Fo ur ie r de um si na l pe ri ód ic o, co ns id er e- se o si na lx (t ) cu ja tr an sf or m ad a de Fo ur ie r é um ún ic o im pu ls o de ár ea 2π ,l oc al iz ad o em ,i st o é, . A ap lic aç ão da tr an sf or m ad a in ve rs a pe rm ite ob te r . D e um a fo rm a m ai s ge ra l, se X ( ω ) fo r um a co m bi na çã o lin ea r de im pu ls os ig ua lm en te es pa ça do s em fr eq uê nc ia ,i st o é en tã o, po r ap lic aç ão da tr an sf or m ad a in ve rs a ob té m -s e qu e é ex ac ta m en te a sé ri e de Fo ur ie r de um si na lp er ió di co . T ra ns fo rm ad a de F ou ri er A ná lis e de F ou ri er 0 ω ω = ( ) ( ) 0 2 ω ω δπ ω − = X () t j e t x 0 ω = ( ) ( ) ∑+∞ −∞= − = k k k a X 0 2 ω ω δ π ω () ∑+∞ −∞= = k t jk k e a t x 0 ω T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) A tr an sf or m ad a de Fo ur ie r de um si na l pe ri ód ic o, co m co ef ic ie nt es da sé ri e de Fo ur ie r {a k} , po de se r in te rp re ta da co m o um tr em de im pu ls os qu e oc or re m na s fr eq uê nc ia s ha rm on ic am en te re la ci on ad as ,c om ár ea s qu e sã o 2 π ve ze s o re sp ec tiv o co ef ic ie nt e. C on si de ra nd o m ai s um a ve z a on da re ct an gu la r si m ét ri ca , de pe rí od o T 0 e du ty -c yc le 2T 1/ T 0, co m co ef ic ie nt es da sé ri e de Fo ur ie r da do s po r po de -s e co nc lu ir qu e a su a tr an sf or m ad a de Fo ur ie r é da da po r T ra ns fo rm ad a de F ou ri er A ná lis e de F ou ri er k T k a k πω 1 0 si n = ( ) ( ) ( ) 0 1 0 0 si n 2 2 ω ω δ ω ω ω δ π ω k k T k k a X k k k − = − = ∑ ∑ +∞ − ∞ = +∞ − ∞ = T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) E xe m pl o4 : D et er m in e e re pr es en te as tr an sf or m ad as de Fo ur ie r do s si na is se gu in te s: a) b) E xe m pl o5 : D et er m in e e re pr es en te a tr an sf or m ad a de Fo ur ie r do tr em de im pu ls os pe ri ód ic o se gu in te : T ra ns fo rm ad a de F ou ri er A ná li se de F ou ri er () ; si n 0 1 t t x ω = () . co s 0 2 t t x ω = () ( ) ∑ +∞ −∞= − = k kT t t x δ T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) P ro pr ie da de s Pa ra si m pl if ic ar a no ta çã o us a- se m ui ta s ve ze s F{ x( t) } pa ra in di ca r a tr an sf or m ad a de Fo ur ie r de x( t) e F- 1 { X (ω )} pa ra in di ca r a tr an sf or m ad a in ve rs a de X (ω ). O pa r tr an sf or m ad o x( t) e X (ω ) é fr eq ue nt em en te re pr es en ta do da se gu in te fo rm a: • L in ea ri da de T ra ns fo rm ad a de F ou ri er () ( ) ω X t x F  → ← () () ( ) ( ) ω ω 2 1 2 1 X b X a t x b t x a F ⋅ + ⋅  → ← ⋅ + ⋅ A ná lis e de F ou ri er T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) P ro pr ie da de s • Si m et ri a Se x( t) fo r re al , D es ta pr op ri ed ad e de co rr em as se gu in te s, no ca so de x( t) se r re al : – a pa rt e re al da tr an sf or m ad a de Fo ur ie r é pa r, – a pa rt e im ag in ár ia da tr an sf or m ad a de Fo ur ie r é ím pa r, – o m ód ul o da tr an sf or m ad a de Fo ur ie r é pa r, – a fa se da tr an sf or m ad a de Fo ur ie r é ím pa r, – se x( t) fo r pa r, a tr an sf or m ad a de Fo ur ie r é re al e pa r, – se x( t) fo r ím pa r, a tr an sf or m ad a de Fo ur ie r é im ag in ár ia e ím pa r. T ra ns fo rm ad a de F ou ri er ( ) ( ) ω ω * X X = − A ná lis e de F ou ri er T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) P ro pr ie da de s • T ra ns la çã o te m po ra l A tr an sl aç ão te m po ra la pe na s se m an if es ta nu m a tr an sl aç ão da fa se da tr an sf or m ad a de Fo ur ie r (d e va lo r ωt 0) ;o m ód ul o da tr an sf or m ad a de Fo ur ie r nã o é af ec ta do . • D if er en ci aç ão e In te gr aç ão T ra ns fo rm ad a de F ou ri er ( ) ( ) ω ω X e t t x t j F 0 0 −  → ← − ( ) ( ) ω ω X j dt t dx F  → ← ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 t F x d X X j τ τ ω π δ ω ω −∞ ← → + ∫ A ná lis e de F ou ri er T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) P ro pr ie da de s • E sc al on am en to no te m po e na fr eq uê nc ia • D ua lid ad e Pa rt in do do pa r tr an sf or m ad o a tr an sf or m ad a de Fo ur ie r do si na lf (t ) é da da po r T ra ns fo rm ad a de F ou ri er ( ) 1 F x at X a aω   ← →     () ( ) , ω f t g F  → ← () ( ) 2 F f t g π ω ← → − A ná lis e de F ou ri er T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) T ra ns fo rm ad a de F ou ri er P ro pr ie da de s () ( ) 0 0 j t F e x t X ω ω ω ← → − () ( ) F d X jt x t d ω ω − ←  → () ( ) () ( ) 1 0 F x t x t X d jt ω π δ η η −∞ − + ←  → ∫ •T ra ns la çã o fr eq ue nc ia l, di fe re nc ia çã o fr eq ue nc ia l, e in te gr aç ão fr eq ue nc ia l Pa rt in do da du al id ad e é po ss ív el es ta be le ce r as se gu in te s pr op ri ed ad es ,t en do em co nt a as su as co rr es po nd en te s no do m ín io te m po ra l. A ná lis e de F ou ri er T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) P ro pr ie da de s • R el aç ão de P ar se va l • P ro pr ie da de da co nv ol uç ão Pa ra si st em as lin ea re s e in va ri an te s no te m po ,e nq ua nt o qu e no do m ín io do s te m po s a sa íd a do si st em a é ig ua l à co nv ol uç ão da en tr ad a co m a re sp os ta im pu ls io na l do si st em a, no do m ín io da s fr eq uê nc ia s a tr an sf or m ad a de Fo ur ie r da sa íd a é ig ua l ao pr od ut o da tr an sf or m ad a de Fo ur ie r da en tr ad a pe la tr an sf or m ad a de Fo ur ie r da re sp os ta im pu ls io na l, is to é, pe la re sp os ta em fr eq uê nc ia do si st em a. T ra ns fo rm ad a de F ou ri er () ( ) ∫ ∫ ∞ ∞− ∞ ∞− = ω ω π d X dt t x 2 2 21 () () () ( ) ( ) ( ) F y t h t x t Y H X ω ω ω = ∗ ← → = ⋅ An ál is e de F ou ri er T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) P ro pr ie da de s •P ro pr ie da de da m od ul aç ão E st a pr op ri ed ad e de si gn a- se po r pr op ri ed ad e da m od ul aç ão po rq ue a m ul tip lic aç ão de um si na l po r um ou tr o si na l es pe cí fi co , um a si nu só id e, co rr es po nd e a um tip o de m od ul aç ão de am pl it ud e. A s m od ul aç õe s sã o us ad as no s si st em as de co m un ic aç õe s pa ra ad ap ta r o si na l qu e se pr et en de tr an sm iti r ao ca na ld e tr an sm is sã o. E st a pr op ri ed ad e é a du al da pr op ri ed ad e da co nv ol uç ão . T ra ns fo rm ad a de F ou ri er () () () ( ) ( ) ( ) [ ] ω ω π ω P S R t p t s t r F ∗ =  → ← ⋅ = 21 A ná lis e de F ou ri er T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) T ra ns fo rm ad a de F ou ri er E xe m pl o 6: D et er m in ar a sa íd a de um si st em a L T I, co m re sp os ta im pu ls io na l ,q ua nd o a en tr ad a é , us an do an ál is e de Fo ur ie r. (N ot a: no ca so a= b ,p od e- se us ar a pr op ri ed ad e du al de di fe re nc ia çã o pa ra in ve rt er Y (ω )) . E xe m pl o 7: Se ja s( t) um si na lc om es pe ct ro S( ω) ,t al co m o se m os tr a a se gu ir : C on si de re -s e ta m bé m o si na l .D et er m in ar o es pe ct ro de r( t) = s( t) p( t) . () () , 0 at h t e u t a − = > () () , 0 bt x t e u t b − = > A ná lis e de F ou ri er () 0 co s p t t ω =ω 1 -ω 1 ω S( ω) 0 A T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) T ra ns fo rm ad a de F ou ri er E xe m pl o8 : C on si de ra nd o os m es m os si na is r( t) e p( t) do ex em pl o an te ri or ,d et er m in ar o es pe ct ro do si na l g (t )= r( t) p( t) . Su po nd o qu e g( t) é ap lic ad o, co m o en tr ad a, a um si st em a L T I cu ja re sp os ta em fr eq uê nc ia é co ns ta nt e pa ra ,e nu la pa ra ,c om o se rá a sa íd a? E xe m pl o9 : C on si de re -s e o si na ls (t ) se gu in te (a dm iti nd o ) e o si na l [N ot a: ,c om o se vi u no E xe m pl o5 ]. O si na lr (t )= s( t) p( t) é co ns tit uí do po r am os tr as de s( t) es pa ça da s a in te rv al os de du ra çã o T. C om o é R (ω )? É po ss ív el re cu pe ra r s( t) a pa rt ir de r( t) ? 1 ω ω < 0 ω ω > ( ) 1 0, S ω ω ω = > s( t) t 0 A ná lis e de F ou ri er () ( ) k p t t kT δ +∞ =− ∞ = − ∑ ( ) 2 2 k k P T T π π ω δ ω +∞ =− ∞   = −     ∑ T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) C ir cu it os el éc tr ic os R L ,R C e R L C A ná lis e de F ou ri er () () () 1 1 d x t d y t y t dt L R dt = + R L y( t) x( t) ( ) ( ) ( ) R L Y j R H X j ω ω ω ω ω = = + () () () () R R t t L L d h t R e u t s t R e u t dt − −   = =     () () () 1 d y t x t y t C R dt = + R C x( t) y( t) ( ) ( ) ( ) 1 1 C R C Y H X j ω ω ω ω = = + () () () () 1 1 t t R C R C h t e u t s t R e u t C − −   = = −     T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) C ir cu it os el éc tr ic os R L ,R C e R L C A ná lis e de F ou ri er () () () () 2 2 1 d x t d y t d y t R L y t dt dt dt C = + + R C x( t) y C (t ) y L (t ) L y R (t ) y( t) () () () () 2 2 1 1 d y t d y t d x t R y t dt L dt L C L dt + + = () () () () 2 2 2 2 2 n n n d y t d y t d x t y t C dt dt dt ξω ω ω + + = 1 2 n R C L L C ω ξ = = -10123456 R 3 = 30 0 Ω (ξ = 1. 5) R 2 = 20 0 Ω (ξ = 1) R 1 = 10 0 Ω (ξ = 0. 5) C = 1 µF L = 10 m H m A ξ = 1. 5 ξ = 1 ξ = 0. 5 R es po st a IN D IC IA L T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) C ir cu it os el éc tr ic os R L ,R C e R L C A ná lis e de F ou ri er () () () () 2 2 1 1 d x t d y t d y t y t C dt R dt L dt = + + R C x( t) L y( t) y C (t ) y L (t ) y R (t ) () () () () 2 2 1 1 1 d y t d y t d x t y t dt R C dt L C C dt + + = () () () () 2 2 2 2 2 n n n d y t d y t d x t y t L dt dt dt ξω ω ω + + = 1 1 2 n L R C L C ω ξ = = -1 00 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 V ξ= 1. 5 ξ = 1 ξ = 0. 5 R 3 = 10 0 Ω (ξ = 0. 5) R 2 = 50 Ω (ξ = 1) R 1 = 10 0/ 3 Ω (ξ = 1. 5) C = 1 µF L = 10 m H R es po st a IN D IC IA L T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) T ra ns fo rm ad a de L ap la ce .D ef in iç ão bi la te ra l. N o es tu do da tr an sf or m ad a de Fo ur ie r co nt ín ua ,v iu -s e qu e a sa íd a de um si st em a L T I, co m re sp os ta im pu ls io na lh (t ), pa ra um a en tr ad a ex po ne nc ia ld a fo rm a es t , er a da da po r y( t) = H (s ) es t , em qu e A tr an sf or m ad a de L ap la ce bi la te ra ld e um si na lg er al x( t) é de fi ni da co m o N ot e- se qu e, se s= j ω ,e nt ão . Po r ou tr o la do ,s e s= σ+ jω ,v er if ic a- se fa ci lm en te qu e ( ) () st H s h t e dt +∞ − −∞ = ∫ ( ) () st X s x t e dt +∞ − −∞ = ∫ ( ) () { } s j X s x t ω = = F () { } ( ) () { }t x t X j x t e σ σ ω − = + = L F T ra ns fo rm ad a de L ap la ce T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) T ra ns fo rm ad a de L ap la ce .R eg iã o de co nv er gê nc ia . A re gi ão de co nv er gê nc ia (R O C ) da tr an sf or m ad a de L ap la ce (g am a de va lo re s de s pa ra a qu al o in te gr al de L ap la ce co nv er ge ) é de fi ni da pe lo co nj un to de va lo re s de σ pa ra os qu ai s x( t) e- σ t te m tr an sf or m ad a de Fo ur ie r. A es pe ci fi ca çã o co m pl et a de um a tr an sf or m ad a de L ap la ce ex ig e nã o só a ex pr es sã o al gé br ic a de X (s ), m as ta m bé m a de fi ni çã o da R O C . E xe m pl o1 : D et er m in ar as tr an sf or m ad as de L ap la ce do s si na is in di ca nd o a re sp ec tiv a R O C . E xe m pl o2 : D et er m in ar a tr an sf or m ad a de L ap la ce ,i nc lu in do R O C ,d o si na l T ra ns fo rm ad a de L ap la ce () () () ( ) 1 2 at at x t e u t x t e u t − − = = − − () b t x t e− = T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) T ra ns fo rm ad a in ve rs a de L ap la ce A tr an sf or m ad a in ve rs a de L ap la ce é da da po r A lte rn at iv am en te ,s e a tr an sf or m ad a de L ap la ce fo r ra ci on al e fa ct or iz áv el ,p od e- se us ar a de co m po si çã o em fr ac çõ es pa rc ia is ,p ro cu ra nd o- se id en tif ic ar a tr an sf or m ad a in ve rs a de ca da fr ac çã o po r m ei o do s ca so s co nh ec id os ,l ev an do em co ns id er aç ão a R O C e as pr op ri ed ad es da tr an sf or m ad a de L ap la ce bi la te ra l. E xe m pl o3 : D et er m in ar o si na lx (t ) cu ja tr an sf or m ad a de L ap la ce é da da po r co ns id er an do to da s as po ss ív ei s R O C ’s . T ra ns fo rm ad a de L ap la ce () ( ) 1 2 j st j x t X s e ds j σ σ π + ∞ − ∞ = ∫ ( ) ( )( ) 1 1 2 X s s s = + + T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) P ro pr ie da de s da R O C da T ra ns fo rm ad a de L ap la ce Pr op ri ed ad e 1. A R O C de X (s ) co ns is te em fa ix as do pl an o- s pa ra le la s ao ei xo -j ω. Pr op ri ed ad e 2. Pa ra tr an sf or m ad as de L ap la ce ra ci on ai s, a R O C nã o co nt ém pó lo s. Pr op ri ed ad e 3 . Se x( t) fo r de du ra çã o fi ni ta e se a tr an sf or m ad a de L ap la ce co nv er gi r pa ra pe lo m en os um va lo r de s, en tã o a R O C é to do o pl an o- s. Pr op ri ed ad e 4 . Se x( t) fo r lim ita da à es qu er da e se a lin ha R e{ s} = s 0 es tiv er na R O C , en tã o to do s os va lo re s de s ta is qu e R e{ s} > s 0 es ta rã o ta m bé m na R O C . T ra ns fo rm ad a de L ap la ce x( t) t x( t) t T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) P ro pr ie da de s da R O C da T ra ns fo rm ad a de L ap la ce Pr op ri ed ad e 5. Se x( t) fo r lim ita da à di re ita e se a lin ha R e{ s} = s 0 es tiv er na R O C , en tã o to do s os va lo re s de s ta is qu e R e{ s} < s 0 es ta rã o ta m bé m na R O C . Pr op ri ed ad e 6 . Se x( t) fo r bi la te ra le se a lin ha R e{ s} = s 0 es tiv er na R O C ,e nt ão a R O C co ns is tir á nu m a fa ix a do pl an o- s qu e in cl ui a lin ha R e{ s} = s 0 . T ra ns fo rm ad a de L ap la ce x( t) t x( t) t T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) P ro pr ie da de s da T ra ns fo rm ad a de L ap la ce L in ea ri da de T ra ns la çã o te m po ra l T ra ns la çã o no do m ín io -s E sc al a te m po ra l C on vo lu çã o D if er en ci aç ão te m po ra l D if er en ci aç ão no do m ín io -s In te gr aç ão no do m ín io te m po ra l T ra ns fo rm ad a de L ap la ce () () () () ax t bx t aX s bX s R O C R O C R O C 1 2 1 2 1 2 + ← →  + → ∩ L ( ) () x t t e X s R O C R O C st − ← →  → − 0 0 L () ( ) { } e x t X s s R O C R O C tr an sl ad ad a de e s s t 0 0 0 L ← →  − → ℜ ( ) x at a X s a R O C R O C es ca la da de a L ← →      → 1 1 () () () () x t x t X s X s R O C R O C R O C 1 2 1 2 1 2 ∗ ← →  ⋅ → ∩ L () () dx t dt s X s R O C R O C L ← →  → () () − ← →  → tx t dX s ds R O C R O C L ( ) () {} { } x d s X s R O C R O C e s t τ τ −∞∫ ← →  → ∩ ℜ > L 1 0 T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) Si na is e si st em as di sc re to s. A ná li se de F ou ri er . O de se nv ol vi m en to do s m ét od os de an ál is e de Fo ur ie r pa ra si na is e si st em as di sc re to s se rá fe ito de fo rm a ab re vi ad a, e se gu in do pa ra le la m en te ao qu e se fe z pa ra si na is e si st em as co nt ín uo s, em bo ra as ra íz es hi st ór ic as de un s e ou tr os m ét od os se ja m di st in ta s. R es po st a de si st em as lin ea re s in va ri an te s a ex po ne nc ia is co m pl ex as A s se qu ên ci as ex po ne nc ia is co m pl ex as sã o fu nç õe s pr óp ri as do s si st em as di sc re to s L T I. Su po nd o qu e um si st em a te m re sp os ta im pu ls io na l h [n ], a su a re sp os ta a um a en tr ad a ,e m qu e z é um nú m er o co m pl ex o, é da da po r: Po de -s e, po rt an to ,v er if ic ar qu e é um a fu nç ão pr óp ri a do si st em a, se nd o o co rr es po nd en te va lo r pr óp ri o A ná lis e de F ou ri er .S is te m as di sc re to s. [ ] n x n z = [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] n k n k k k k y n h n x n h k x n k h k z z h k z +∞ +∞ +∞ − − =− ∞ =− ∞ =− ∞ = ∗ = − = = ∑ ∑ ∑ n z ( ) [ ] k k H z h k z +∞ − =− ∞ = ∑ T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) Si na is e si st em as di sc re to s. A ná li se de F ou ri er . C on si de ra nd o um a en tr ad a co m po st a po r um a co m bi na çã o lin ea r de ex po ne nc ia is co m pl ex as ob té m -s e: C om o no ca so co nt ín uo ,c on si de ra m -s e ap en as ex po ne nc ia is co m pl ex as de ex po en te im ag in ár io ( ), ex pr es sa s na fo rm a . R ep re se nt aç ão de si na is pe ri ód ic os pe la sé ri e di sc re ta de F ou ri er O co nj un to de to do s os si na is di sc re to s ex po ne nc ia is co m pl ex os qu e sã o pe ri ód ic os co m pe rí od o N é da do po r (s in ai s ha rm on ic am en te re la ci on ad os ,d e fr eq uê nc ia fu nd am en ta l ): A ná lis e de F ou ri er .S is te m as di sc re to s. [ ] [ ] ( ) n n k k k k k k k x n a z y n a H z z = = ∑ ∑ 1 z = j n e Ω 2 N π [ ] ( ) 2 , 0, 1, 2, jk N n k n e k π φ = = ± ± … T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) Sé ri e de F ou ri er di sc re ta C on tr ar ia m en te ao ca so co nt ín uo ,o s si na is an te ri or es ap en as in cl ue m N ex po ne nc ia is co m pl ex as di st in ta s, um a ve z qu e U m a se qu ên ci a pe ri ód ic a m ai s ge ra l, de pe rí od o N ,p od e se r re pr es en ta da po r co m bi na çã o lin ea r de si na is : O s so m at ór io s em k es te nd em -s e a ap en as N su ce ss iv os va lo re s in te ir os ,o qu e se de no ta rá , de m od o ab re vi ad o, po r ,r es ul ta nd o: A an te ri or re pr es en ta çã o de x[ n] é a sé ri e di sc re ta de F ou ri er . [ ] [ ], 0, 1, 2, k k rN n n r φ φ + = = ± ± … [ ] k n φ [ ] [ ] ( ) 2 jk N n k k k k k x n a n a e π φ = = ∑ ∑ k N = 〈 〉 [ ] ( ) 2 jk N n k k N x n a e π = = ∑ A ná lis e de F ou ri er .S is te m as di sc re to s. T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) T ra ns fo rm ad a de F ou ri er di sc re ta .P ro pr ie da de s. P ri m ei ra di fe re nç a e so m a E sc al am en to te m po ra le fr eq ue nc ia l S e se de fi ni r o si na l A ná lis e de F ou ri er .S is te m as di sc re to s. [ ] [ ] ( ) ( ) 1 1 F j x n x n e X − Ω − − ← → − Ω [ ] ( ) ( ) ( ) 1 0 2 1 n F j m k x m X X k e π δ π +∞ − Ω =− ∞ =− ∞ ← → Ω + Ω − − ∑ ∑ [ ] ( ) F x n X − ← → −Ω ( )[ ] [ ], 0, k x n k pa ra n m úl ti pl o de k x n pa ra n nã o m úl tip lo de k  =   ( )[ ] ( ) F k x n X k ← → Ω T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) T ra ns fo rm ad a de F ou ri er di sc re ta .P ro pr ie da de s. D if er en ci aç ão na fr eq uê nc ia R el aç ão de P ar se va l P ro pr ie da de de co nv ol uç ão C om o no ca so co nt ín uo ,a pr op ri ed ad e de co nv ol uç ão é út il pa ra de te rm in ar a re sp os ta de si st em as di sc re to s, po r in ve rs ão do pr od ut o da s tr an sf or m ad as de Fo ur ie r di sc re ta s da en tr ad a e da re sp os ta im pu ls io na l. Pa ra es se ef ei to ,u sa -s e a de co m po si çã o em fr ac çõ es pa rc ia is de Y (Ω ), co ns id er ad o co m o um co ci en te de po li nó m io s em e- jΩ ,p ro cu ra nd o- se re co nh ec er as tr an sf or m ad as in ve rs as po r in sp ec çã o. Pa re s tr an sf or m ad os de m ai or in te re ss e sã o: A ná lis e de F ou ri er .S is te m as di sc re to s. [ ] ( ) 2 2 2 1 2 n x n X d π π +∞ =− ∞ = Ω Ω ∑ ∫ [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) F y n x n h n Y X H = ∗ ← → Ω = Ω Ω [ ] ( ) F dX n x n j d Ω ← → Ω T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) T ra ns fo rm ad a de F ou ri er di sc re ta .P ro pr ie da de s. P ro pr ie da de de m od ul aç ão A ex pr es sã o de Y (Ω ) re pr es en ta a co nv ol uç ão pe ri ód ic a de X 1( Ω ) co m X 2( Ω ). [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 2 F y n x n x n Y X X d π θ θ θ π = ← → Ω = Ω − ∫ A ná lis e de F ou ri er .S is te m as di sc re to s. [ ] 1 , 1 1 F n j a u n a a e− Ω < ← → − ( ) [ ] ( )2 1 1 , 1 1 F n j n a u n a a e− Ω + < ← → − ( ) ( ) [ ] ( ) 1 ! 1 , 1 ! 1 ! 1 F n r j n r a u n a n r a e− Ω + − < ← → − − T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) T ra ns fo rm ad a de F ou ri er di sc re ta . R es po st a em fr eq uê nc ia de si st em as ca ra ct er iz ad os po r eq ua çõ es às di fe re nç as lin ea re s de co ef ic ie nt es co ns ta nt es A eq ua çã o ge ra ld es te tip o de si st em as é: A dm iti nd o qu e ex is te m as tr an sf or m ad as de Fo ur ie r di sc re ta s de x[ n] ,y [n ] e h[ n] (r es po st a im pu ls io na ld o si st em a) ,o bt ém -s e, us an do as pr op ri ed ad es de lin ea ri da de ,d e tr an sl aç ão te m po ra le de co nv ol uç ão : V er if ic a- se ,p or ta nt o, qu e, co m o no ca so co nt ín uo ,a re sp os ta em fr eq uê nc ia de si st em as de sc ri to s po r eq ua çõ es às di fe re nç as lin ea re s de co ef ic ie nt es co ns ta nt es po de se r es cr ita di re ct am en te ,p or in sp ec çã o. A ná lis e de F ou ri er .S is te m as di sc re to s. [ ] [ ] 0 0 N M k k k k a y n k b x n k = = − = − ∑ ∑ ( ) ( ) ( ) 0 0 M jk k k N jk k k b e Y H X a e− Ω = − Ω = Ω Ω = = Ω ∑ ∑ T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) T ra ns fo rm ad a de F ou ri er di sc re ta . Si st em as de 1ª or de m A eq ua çã o de um si st em a L T I ca us al de 1ª or de m é N es te ca so , A re sp os ta in di ci al de st e si st em a é da da po r N ot e- se qu e a co ns ta nt e a de se m pe nh a um pa pe ls em el ha nt e a τ (c on st an te de te m po ) no s si st em as co nt ín uo s, m as ne st e ca so sã o po ss ív ei s ef ei to s de ov er sh oo te de ri ng in g, se a< 0. A ná lis e de F ou ri er .S is te m as di sc re to s. [ ] [ ] [ ] 1 , 1 y n ay n x n a − − = < ( ) [ ] [ ] 1 1 n j H h n a u n a e− Ω Ω = = − [ ] [ ] [ ] [ ] 1 1 1 n a s n h n u n u n a+ − = ∗ = − T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) T ra ns fo rm ad a de F ou ri er di sc re ta . Si st em as de 2ª or de m A eq ua çã o de um si st em a L T I ca us al de 2ª or de m ge né ri co po de se r A re sp os ta em fr eq uê nc ia é Se ,a s du as ra íz es sã o di fe re nt es ,o bt en do -s e A ná lis e de F ou ri er .S is te m as di sc re to s. [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 co s 1 2 , 0 1, 0 y n r y n r y n x n r θ θ π − − + − = < < ≤ ≤ ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 2 co s 1 1 j j j j j j H r e r e re e re e θ θ θ − Ω − Ω − Ω − − Ω Ω = = − +    − −    0 e θ θ π ≠ ≠ ( ) ( ) ( ) 2 si n 2 si n 1 1 j j j j j j e e j j H re e re e θ θ θ θ θ θ − − Ω − − Ω Ω = − − − [ ] ( ) [ ] si n 1 si n n n h n r u n θ θ   +   = T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) T ra ns fo rm ad a de F ou ri er di sc re ta . Pa ra ,r es ul ta Pa ra ,r es ul ta A s re sp os ta s in di ci ai s sã o da da s po r: A ná lis e de F ou ri er .S is te m as di sc re to s. 0 θ = θ π = ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] 2 1 1 1 n j H h n n r u n r e− Ω Ω = = + − ( ) ( ) [ ] ( )( ) [ ] 2 1 1 1 n j H h n n r u n r e− Ω Ω = = + − + [ ] ( ) ( ) [ ] 1 1 1 1 , 0 e 2 si n 1 2 si n 1 n n j j j j j j r e r e e e s n u n j r e j r e θ θ θ θ θ θ θ θ π θ θ + + − − −       − −       = − ≠ ≠       − −         [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] 2 2 1 1 , 0 1 1 1 n n r r s n r n r u n r r r θ   = − + + =   − − −     [ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ] 2 2 1 1 , 1 1 1 n n r r s n r n r u n r r r θ π   = − − + + − =   + + +     T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) T ra ns fo rm ad a Z .D ef in iç ão bi la te ra l. N o es tu do da tr an sf or m ad a de Fo ur ie r di sc re ta ,v iu -s e qu e a sa íd a de um si st em a L T I, co m re sp os ta im pu ls io na lh [n ], pa ra um a en tr ad a ex po ne nc ia ld a fo rm a zn ,e ra da da po r y[ n] = H (z ) zn ,e m qu e A tr an sf or m ad a- Z (b ila te ra l) de um si na ld is cr et o ge ra lx [n ] é de fi ni da co m o N ot e- se qu e, se z= ej Ω ,e nt ão Po r ou tr o la do ,s e z= r e jΩ ,v er if ic a- se fa ci lm en te qu e T ra ns fo rm ad a Z ( ) [ ] n n H z h n z +∞ − =− ∞ = ∑ ( ) [ ] n n X z x n z +∞ − =− ∞ = ∑ ( ) [ ] { } j z e X z x n Ω = = F FFF [ ] { } ( ) [ ] { } j n x n X re x n r Ω − = = Z F Z F Z F Z F T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) T ra ns fo rm ad a Z .R eg iã o de co nv er gê nc ia . A re gi ão de co nv er gê nc ia (R O C ) da tr an sf or m ad a- Z (g am a de va lo re s de z pa ra a qu al o in te gr al co nv er ge ) é de fi ni da pe lo co nj un to de va lo re s de r pa ra os qu ai s x[ n] r- n te m tr an sf or m ad a de Fo ur ie r di sc re ta . A es pe ci fi ca çã o co m pl et a de um a tr an sf or m ad a- Z ex ig e nã o só a ex pr es sã o an al íti ca de X (z ), m as ta m bé m a de fi ni çã o da R O C . A R O C de um a tr an sf or m ad a- Z te m pr op ri ed ad es se m el ha nt es às da tr an sf or m ad a de L ap la ce ,m as te nd o em co nt a a re pr es en ta çã o po la r ( ), en qu an to qu e na tr an sf or m ad a de L ap la ce se us av a a re pr es en ta çã o ca rt es ia na ( ). A R O C da tr an sf or m ad a- Z é, po rt an to ,l im ita da po r ci rc un fe rê nc ia s ce nt ra da s na or ig em do re fe re nc ia l. j z re Ω = T ra ns fo rm ad a Z s j σ = + Ω T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) T ra ns fo rm ad a Z .E xe m pl os e in ve rs ão . E xe m pl o1 : D et er m in ar as tr an sf or m ad as -Z do s si na is in di ca nd o a re sp ec tiv a R O C . E xe m pl o2 : D et er m in ar a tr an sf or m ad a- Z ,i nc lu in do R O C ,d o si na l T ra ns fo rm ad a- Z in ve rs a Po r de fi ni çã o, a tr an sf or m ad a- Z in ve rs a é da da po r T od av ia ,e m m ui to s ca so s, é po ss ív el us ar a de co m po si çã o em fr ac çõ es pa rc ia is co m o na tr an sf or m ad a de L ap la ce . T ra ns fo rm ad a Z [ ] [ ] [ ] [ ] 1 2 1 n n x n a u n x n a u n = = − − − [ ] n x n b = [ ] ( ) 1 1 2 n x n X z z dz j π − = ∫ T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) T ra ns fo rm ad a Z .P ro bl em as . E xe m pl o 3. C on si de re o si na ls eg ui nt e e de te rm in e a su a tr an sf or m ad a Z ,R O C e di ag ra m a ze ro -p ol ar . E xe m pl o 4. C on si de re a se gu in te tr an sf or m ad a Z e de te rm in e a re sp ec tiv a se qu ên ci a te m po ra l, pa ra as se gu in te s R O C ’s :a ) |z |> 1 / 3 ;b ) 1 / 4 < |z |< 1 / 3 . E xe m pl o 5. C on si de ra nd o qu e a tr an sf or m ad a Z do ex em pl o an te ri or re pr es en ta a fu nç ão de tr an sf er ên ci a de um si st em a L T I, de te rm in e a eq ua çã o às di fe re nç as qu e ca ra ct er iz a o si st em a. [ ] , 0 1, 0 0, ou tr os n a n N a x n n  ≤ ≤ − > =   T ra ns fo rm ad a Z ( ) ( )( ) 1 5 6 1 1 1 1 4 3 3 1 1z H z z z − − − − = − ⋅ − T eo ri a do Si na l P ro du çã o L C R (2 00 1/ 20 02 ), R ev is ão JN P (2 00 2/ 20 03 ) N oç ão de fi lt ra ge m fr eq ue nc ia l E m m ui ta s e im po rt an te s ap lic aç õe s pr oc ur a- se al te ra r as am pl itu de s re la tiv as da s di ve rs as co m po ne nt es fr eq ue nc ia is de um si na l, po r m ei o de um pr oc es so de si gn ad o po r fi lt ra ge m . Pa ra si st em as L T I, o es pe ct ro da sa íd a de um fi ltr o é o es pe ct ro da en tr ad a m ul tip lic ad o pe la re sp os ta em fr eq uê nc ia do fi ltr o. N es te ca so ,a fi ltr ag em po de se r co nv en ie nt em en te re al iz ad a po r m ei o da es pe ci fi ca çã o de um a re sp os ta em fr eq uê nc ia ap ro pr ia da . F ilt ro s se le ct iv os de fr eq uê nc ia id ea is U m fi ltr o se le ct iv o de fr eq uê nc ia id ea lé aq ue le qu e de ix a pa ss ar (c om fi de li da de ) as ex po ne nc ia is co m pl ex as de um ce rt o co nj un to de fr eq uê nc ia s e qu e re je ita co m pl et am en te as re st an te s. O co nj un to de fr eq uê nc ia s qu e o fi ltr o de ix a pa ss ar de si gn a- se po r ba nd a pa ss an te , de si gn an do -s e as re st an te s po r ba nd a de re je iç ão ;a fr eq uê nc ia de se pa ra çã o en tr e es sa s du as ba nd as de si gn a- se po r fr eq uê nc ia de co rt e. A pl ic aç õe s. F ilt ra ge m .