Baixe Equações Diferenciais Ordinárias - indi e outras Notas de estudo em PDF para Equações Diferenciais, somente na Docsity! PREFÁCIO As equações diferenciais ordinárias apareceram de forma natural com os métodos do Cálculo Diferencial e Integral, descobertos por Newton e Leib- nitz no final do século XVII, e se converteram na linguagem pela qual muitas das leis, em diferentes ramos da Ciência, se expressam. Assim, as equações diferenciais ordinárias modelam fenômenos que ocorrem na Física, Biologia, Economia e na própria Matemática. Historicamente, no fim do século XVIII, as equações diferenciais ordinárias se transformaram numa disciplina independente na Matemática, impulsio- nada por matemáticos famosos como Euler, Lagrange e Laplace, entre outros, que estudaram as equações diferenciais ordinárias no Cálculo das Variações, na Mecânica Celeste, na Dinâmica dos Fuidos, etc. No século XIX os funda- mentos da Matématica experimentaram uma revisão geral, fixando com exa- tidão conceitos até então nebulosos. Matemáticos como Cauchy, Gauss, Rie- mann e principalmente Poincaré são referências obrigatórias no estudo mo- derno das equações diferenciais ordinárias. Na atualidade, a teoria qualitativa das equações diferenciais ordinárias é objeto de efervescente pesquisa em todo o mundo, incluindo o Brasil. Nestas notas abordaremos toda a ementa das disciplinas Cálculo Diferen- cial e Integral III e EDO oferecidas pelo Departamento de Análise do IME– UERJ. A autora gostaria agradecer ao professor do Departamento de Análise do IME–UERJ, Mauricio A. Vilches, pelo estímulo para que estas notas fossem organizadas na forma do presente livro bem como por sua valiosa contribuição na elaboração das figuras e gráficos que aparecem ao longo do texto. Patrícia Nunes da Silva Universidade de Rio de Janeiro Rio de Janeiro/2005 i Conteúdo 1 Introdução 1 1.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Problemas de Valor Inicial (PVI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Campos de Direções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Teorema de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Modelos 12 2.1 Molas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Lei de Resfriamento de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Crescimento e Decrescimento Exponencial . . . . . . . . . . . . 13 2.3.1 Crescimento Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.2 Decrescimento Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4 Crescimento Logístico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.5 Problemas de Mistura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.6 Epidemias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.7 Lei de Torricelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.8 Circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.9 Reações Químicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.9.1 Reações Irreversíveis Mononucleares . . . . . . . . . . . 20 2.9.2 Reação Bimolecular Irreversível . . . . . . . . . . . . . . 21 2.10 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 Edo’s de Primeira Ordem 23 3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 Edo’s de Variáveis Separáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2.1 Obtenção de Soluções não Constantes . . . . . . . . . . . 24 3.3 Edo’s de Primeira Ordem Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3.1 Obtenção de Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4 Equação de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4.1 Obtenção de Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4.2 Outro método de resolução de EDOs do tipo Bernoulli . 31 ii
