Mecânca dos Fluidos - Escoamentos Pulsantes

Mecânca dos Fluidos - Escoamentos Pulsantes

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1) INTRODUÇÃO E DEFINIÇÕES

1.1) FLUIDOS

Fluidos são substâncias que são capazes de escoar e cujo volume toma a forma de seu recipiente. Quando em equilíbrio, os fluidos não suportam forças tangenciais ou cisalhantes. Todos os fluidos possuem certo grau de compressibilidade e oferecem pequenas resistências à mudança de forma.

Os fluidos podem ser divididos em líquidos e gases. As principais diferenças entre eles são: os líquidos são praticamente incompressíveis, ao passo que os gases são compressíveis e muitas vezes devem ser assim tratados e os líquidos ocupam volumes definidos e tem superfícies livres ao passo que uma dada massa de gás expande-se até ocupar todas as partes do recipiente.

A mecânica dos fluidos lida com o comportamento dos fluidos em repouso ou em movimento. O escoamento dos fluídos é complexo e nem sempre sujeito à análise matemática exata.

A matéria apresenta-se no estado sólido ou no estado fluido, este abrangendo os estados líquido e gasoso. O espaçamento e a atividade intermoleculares são maiores nos gases, menores nos líquidos e muito reduzido nos sólidos.

1.2) ESCOAMENTO DE FLUIDOS

O escoamento de fluidos pode ser permanente (estável) ou nãopermanente (instável); uniforme ou não-uniforme (variado); laminar ou turbulento; unidimensional, bidimensional ou tridimensional; rotacional ou irrotacional.

O escoamento unidimensional de um fluido incompressível ocorre quando a direção e a intensidade da velocidade é a mesma para todos os pontos.

O escoamento bidimensional ocorre quando as partículas do fluído se movem em planos ou em planos paralelos e, suas trajetórias são idênticas em cada plano. As grandezas do escoamento variam em duas dimensões.

1.3) LINHAS DE CORRENTE

Linhas de corrente são curvas imaginárias tomadas através do fluido para indicar a direção da velocidade em diversas seções do escoamento no sistema fluido. Uma tangente a curva em qualquer ponto representa a direção instantânea da velocidade das partículas fluidas naquele ponto.

1.4) TUBO DE CORRENTE

Um tubo de corrente é um tubo imaginário envolvido por um conjunto de linhas de corrente, que delimitam o escoamento. O tubo de corrente é também conhecido como “veia líquida”. As linhas imaginárias fechadas que limitam o tubo é chamado diretriz do tubo.

1.5) SEÇÃO TRANSVERSAL

Seção transversal é cada superfície limitada pelo tubo (ou pelo filamento) de corrente e traçada segundo a normal às linhas de corrente no ponto considerado.

Três conceitos são importantes nos fundamentos de escoamento dos fluídos: 1. O princípio da conservação da massa, a partir do qual a equação da continuidade é desenvolvida; estabelece que a quantidade total de energia em um sistema isolado permanece constante. 2. O princípio da conservação da energia, a partir do qual algumas equações são deduzidas; diz que num sistema isolado constituído por corpos que interagem apenas com forças conservativas, a energia mecânica total permanece constante. 3. O princípio da conservação da quantidade de movimento, a partir do qual as equações que determinam as forças dinâmicas exercidas pelos fluídos em escoamento, podem ser estabelecidas; afirma que a quantidade de movimento total do sistema se conserva se não existir nenhuma força externa atuando no sistema.

1.6) EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE

Para o escoamento permanente a massa de fluido que passa por todas as seções de uma corrente de fluido por unidade de tempo é a mesma.

ou

Para fluidos incompressíveis onde ,

onde A1 e V1 são respectivamente a seção reta em m2 e a velocidade média da corrente em m/s a seção 1, com os termos semelhantes para a seção 2.

Na figura, esquematizamos um tubo. Sejam A1 e A2 as áreas das seções retas em duas partes distintas do tubo. As velocidades de

escoamento em A1 e A2 valem, respectivamente, .

Como o líquido é incompressível, o volume que entra no tubo no tempo t é aquele existente no cilindro de base A1 e altura x1 = v1

.t. Esse volume é igual àquele que, no mesmo tempo, sai da parte cuja secção tem

Volume (1) = Volume (2)

Se dividirmos o volume escoado V pelo tempo de escoamento t, teremos uma grandeza denominada vazão em volume, e é representado pela letra Q.

Podemos afirmar então, que: E finalmente chegamos a Equação da continuidade:

Pela equação da continuidade podemos afirmar que “a velocidade de escoamento é inversamente proporcional à área da seção transversal”.

A equação de energia resulta da aplicação do princípio de conservação de energia ao escoamento. A energia que um fluido em escoamento possui é composta da energia interna e das energias devidas à pressão, à velocidade e à posição.

Esta equação para escoamento permanente de fluidos incompressíveis, nos quais a variação de energia interna é desprezível simplifica-se:

Esta equação é conhecida como o teorema de Bernoulli.

1.7) EQUAÇÃO DE BERNOULLI

Daniel Bernoulli, mediante considerações de energia aplicada ao escoamento de fluidos, conseguiu estabelecer a equação fundamental da Hidrodinâmica. Tal equação é uma relação entre a pressão, a velocidade e a altura em pontos de uma linha de corrente.

Considerando duas secções retas de áreas A1 e A2 num tubo de corrente, sejam p1 e p2 as pressões nessas secções. A massa específica é “ρ” e as velocidades de escoamento valem, respectivamente, v1 e v2

. Sejam

as forças de pressão exercidas pelo fluido restante sobre o fluido contido no tubo.

Como Obtemos

Também sabemos que

Chegamos a Dividindo cada termo por V, obtemos:

E finalmente chegamos na Equação de Bernoulli

1.8) EQUAÇÃO DE NAVIER-STOKES

Na sua forma mais geral, uma lei de conservação estabelece que a razão de mudança de uma propriedade continua L definida em todo volume de controle deve ser igual aquilo que é perdido através das fronteiras do volume, carregado para fora pelo movimento do fluido, mais o que é criado/consumido pelas fontes e sorvedouros dentro do volume de controle. Isto é expresso pela equação integral:

Onde v é a velocidade do fluido e representa as fontes e sorvedouros no fluido.

Se o volume de controle é fixado no espaço então a equação integral pode ser expressa assim:

Note que o teorema da divergência de Gauss foi usado na dedução desta última equação, de forma a expressar o primeiro termo do lado direito no interior do volume de controle, portanto:

A expressão acima é válida para Ω, que é um volume de controle que permanece fixo no espaço. Devido a Ω não variar no tempo, é possível

trocar os operadores "" e "". E como esta expressão é valida para todos os domínios podemos, além disso, remover a integral. Com a introdução da derivada material obtemos, quando Q = 0 (nenhuma fonte ou sorvedouro):

- Equação da continuidade A conservação da massa é descrita assim:

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