Pilares de concreto armado - prof. Paulo Sérgio, Notas de estudo de Engenharia Civil

Baixe Pilares de concreto armado - prof. Paulo Sérgio e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA UNESP - Campus de Bauru/SP FACULDADE DE ENGENHARIA Departamento de Engenharia Civil Disciplina: 1309 - ESTRUTURAS DE CONCRETO II NOTAS DE AULA PILARES DE CONCRETO ARMADO Prof. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS (wwwp.feb.unesp.br/pbastos) ALUNOS COLABORADORES: Antonio Carlos de Souza Jr. Caio Goila Nogueira João Paulo Pila D'Aloia Rodrigo Fernando Martins Bauru/SP Junho/2005 APRESENTAÇÃO Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina 1309 — Estruturas de Concreto II, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da Universidade Estadual Paulista - UNESP, Campus de Bauru/SP. O texto apresenta parte das prescrições contidas na nova NBR 6118/2003 (“Projeto de estruturas de concreto — Procedimento” — versão corrigida) para o dimensionamento de pilares de concreto armado. O dimensionamento dos pilares é feito com base nos métodos do pilar padrão com curvatura e rigidez aproximadas. Outros métodos mais exatos e aqueles simplificados constantes da norma não são apresentados. Ainda, são estudados os pilares de seção retangular e de nós fixos (contraventados), com índice de esbeltez até 90. A apresentação do dimensionamento dos pilares é feita em função da classificação usual dos pilares, ou seja, pilares intermediários, de extremidade e de canto. Vários exemplos numéricos estão apresentados para cada um deles. Os itens 2 e 3, “Requisitos de Qualidade das Estruturas” e “Cobrimento da Armadura” não são específicos dos pilares, porém, foram inseridos na apostila porque são importantes no projeto das estruturas de concreto (especialmente o cobrimento) e contém alterações em relação à versão anterior da norma. No item 4 - “Conceitos Iniciais” - são apresentadas algumas informações básicas iniciais e os conceitos relativos ao chamado “Pilar Padrão”, cujo modelo é utilizado pela NBR 6118/03 para a determinação aproximada dos momentos fletores de segunda ordem. Por último são apresentados exemplos numéricos de dimensionamento de pilares de um edifício baixo e com planta de fôrma simples. A apostila é uma versão inicial do estudo dos pilares de concreto armado, que não esgota todas as informações. Por isso, o aprendizado deve ser complementado com o estudo dos textos sugeridos nas Referências Bibliográficas, entre outras publicações. Em versões posteriores serão acrescentadas novas informações, com aplicação do estudo dos pilares nos edifícios, considerando o sistema de contraventamento e a ação do vento. Quaisquer críticas e sugestões serão muito bem-vindas, pois assim a apostila poderá ser melhorada. O autor agradece aos alunos que colaboraram no estudo dos pilares de acordo com a nova norma e ao técnico Ederson dos Santos Martins, pela confecção de vários desenhos. 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 1 PILARES DE CONCRETO ARMADO 1. INTRODUÇÃO Pilares são “elementos lineares de eixo reto, usualmente dispostos na vertical, em que as forças normais de compressão são preponderantes” (NBR 6118/03, item 144.12). Pilares-parede são “elementos de superfície plana ou casca cilíndrica, usualmente dispostos na vertical e submetidos preponderantemente à compressão. Podem ser compostos por uma ou mais superfícies associadas. Para que se tenha um pilar-parede, em alguma dessas superfícies a menor dimensão deve ser menor que 1/5 da maior, ambas consideradas na seção transversal do elemento estrutural” (item 14.4.2.4). O dimensionamento dos pilares é feito em função dos esforços externos solicitantes de cálculo, que compreendem os esforços normais (Ng), os momentos fletores (Mas e My) e os esforços cortantes (Vas e Vay) no caso de ação horizontal. A nova NBR 6118/03 fez modificações em algumas das metodologias de cálculo das estruturas de concreto armado, como também em alguns parâmetros aplicados no dimensionamento e verificação das estruturas. Especial atenção é dada à questão da durabilidade das peças de concreto. Particularmente no caso dos pilares, a nova norma introduziu várias modificações, como nos valores das excentricidades acidental e de 2º ordem, um maior cobrimento de concreto, uma nova metodologia para o cálculo da esbeltez limite relativa à consideração ou não dos momentos fletores de 2º ordem e, principalmente, com a consideração de um momento fletor minimo, que pode substituir o momento fletor devido à excentricidade acidental. No item 17.2.5 (“Processos aproximados para o dimensionamento à flexão composta”) a NBR 6118/03 apresenta métodos simplificados de pilares retangulares ou circulares sob flexão composta normal e oblíqua. Esses processos simplificados não serão apresentados porque os processos mais exatos indicados pela norma são simples de serem aplicados. Os próximos dois itens não são específicos dos pilares, porém, foram inseridos na apostila porque são importantes no projeto das estruturas de concreto (especialmente o cobrimento) e contém alterações em relação à versão anterior da norma. 2. REQUISITOS DE QUALIDADE DAS ESTRUTURAS A NBR 6118/03 (item 5.1) propõe requisitos gerais de qualidade das estruturas de concreto e a avaliação de conformidade do projeto. De um modo geral, as estruturas de concreto devem atender aos requisitos minimos de qualidade, durante sua construção e ao longo de toda sua vida útil. Os requisitos de qualidade de uma estrutura de concreto são: a) capacidade resistente - consiste basicamente na segurança à ruína da estrutura; b) desempenho em serviço - consiste na capacidade da estrutura manter-se em condições plenas de utilização, não devendo apresentar danos decorrentes de fissuração, deformações, vibrações excessivas, etc., que comprometam em parte ou totalmente o uso para o qual foram projetadas; c) durabilidade - consiste na capacidade da estrutura resistir às influências ambientais previstas durante o período correspondente à sua vida útil. Por vida útil de projeto, UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 2 entende-se o período de tempo durante o qual se mantém as caracteristicas definidas para as estruturas de concreto. Quanto ao projeto, a qualidade da solução estrutural adotada deve considerar as condições arquitetônicas, funcionais, construtivas, estruturais e a conformidade com os outros projetos, como o elétrico, o hidráulico e o de ar condicionado. Um dos fatores importantes que influem na durabilidade das estruturas de concreto armado é a qualidade do concreto utilizado, bem como a espessura do cobrimento da armadura. 3. COBRIMENTO DA ARMADURA Define-se como cobrimento de armadura (item 7.4 da NBR 6118/03) a espessura da camada de concreto responsável pela proteção da armadura ao longo da estrutura. Essa camada inicia-se a partir da face externa das barras da armadura transversal (estribos) ou da armadura mais externa e se estende até a face externa da estrutura em contato com o meio ambiente. Para garantir o cobrimento minimo (cmin) o projeto e a execução devem considerar o cobrimento nominal (Cnom), que é o cobrimento minimo acrescido da tolerância de execução (Ac). Com = Cmin + AC (Eq. 1) Nas obras correntes o valor de Ac deve ser maior ou igual a 10 mm. Esse valor pode ser reduzido para 5 mm quando houver um adequado controle de qualidade e rígidos limites de tolerância da variabilidade das medidas durante a execução das estruturas de concreto. Em geral, o cobrimento nominal de uma determinada barra deve ser: Crom 2 Pbarra (Eq. 2) Cuom E Preso = Pa = ON A dimensão máxima característica do agregado graúdo utilizado no concreto não pode superar em 20 % a espessura nominal do cobrimento, ou seja: Ama <1,2 Com (Eq. 3) Para determinar a espessura do cobrimento é necessário antes definir a classe de agressividade ambiental a qual a estrutura está inserida. Segundo a NBR 6118/03 (item 6.4.2), “Nos projetos das estruturas correntes, a agressividade ambiental deve ser classificada de acordo com o apresentado na Tabela 6.1 e pode ser avaliada, simplificadamente, segundo as condições de exposição da estrutura ou de suas partes”. A Tabela 6.1 está apresentada na Tabela 1. A Tabela 2 (Tabela 7.2 na NBR 6118/03) mostra os valores para o cobrimento nominal de lajes, vigas e pilares, para a tolerância de execução (Ac) de 10 mm, em função da classe de agressividade ambiental, conforme mostrada na Tabela 1. UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 3 Tabela 1 - Classes de agressividade ambiental. Classe de o Classificação geral do . . x agressividade Agressividade tipo de ambiente para Risco de Grtenioração ambiental efeito de projeto a es a Rural mi I Fraca Submersa Insignificante II Moderada Urbana) 9 Pequeno Marinha) HI DS Grand: Forte IndustrialD ? Tanee AD IV Muito forte Ind Tastrial T Elevado Respingos de maré Notas: 1) Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) para ambientes intemnos secos (salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa € pintura); 2) Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) em: obras em regiões de clima seco, com umidade relativa do ar menor ou igual a 65 %, partes da estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos, ou regiões onde chove raramente; 3) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em indústrias de celulose e papel, armazéns de fertilizantes, indústrias químicas. Tabela 2 - Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal para 4c = 10 mm. Classe de agressividade ambiental Tipo de estrutura | Componente I I II Iv? ou Elemento Cobrimento nominal (mm) Laje» 20 25 35 45 Viga/Pilar 25 30 40 50 Notas: 1) Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento tais como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos e outros tantos, as exigências desta tabela podem ser substituídas por 7.4.7.5, respeitado um cobrimento nominal > 15 mm; 2) Nas faces inferiores de lajes e vigas de reservatórios, estações de tratamento de água e esgoto, condutos de esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente agressivos, a armadura deve ter cobrimento nominal > 45 mm. Concreto Armado 4. CONCEITOS INICIAIS 4.1 SOLICITAÇÕES NORMAIS Os pilares sob esforços normais podem também estar submetidos a esforços de flexão. Dessa forma, os pilares poderão estar sob os seguintes casos de solicitação: a) Compressão Simples A compressão simples também é chamada compressão centrada ou compressão uniforme. A aplicação da força normal de cálculo Na é no centro geométrico (C.G.) da peça, cujas tensões na seção transversal são uniformes (Figura 1). UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 6 4.4 EQUAÇÃO DA CURVATURA DE PEÇAS FLETIDAS A determinação dos efeitos locais de 2º ordem em barras comprimidas pode ser feita por métodos aproximados, entre eles o do pilar padrão com curvatura aproximada, como preconizado na NBR 6118/03. Com o intuito de subsidiar a apresentação do pilar padrão, que se fará adiante, apresenta-se a equação da curvatura de elementos fletidos, item já estudado em Resistência dos Materiais. Considerando a lei de Hooke (o = E . £), a equação da curvatura de peças fletidas, como aquela mostrada na Figura 5, tem a seguinte dedução: Adx g->O dx Adx o DD=— Eq. 4 dE (Eq. 4) . M Aplicando o = ERÁ na Eq. 4 fica: sax M sáx M dx EI” y El O comprimento dx pode ser escrito: dx=r dê > do= 88. 2dx Ma (Eq. 5) I y EI Rearranjando os termos da Eq. 5 chega-se a equação da curvatura: do 1 M DH=1=— Eq. 6 dr EI (Eq. 6) So .& dx +Adx Figura 5 - Curvatura de uma peça fletida. UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto II — Pilares de Concreto Armado Do cálculo diferencial tem-se a expressão exata da curvatura (linha elástica): ld (Ea. 7) o. “< “he Para pequenos deslocamentos (pequena inclinação) tem-se (8) <<1,o que leva a: 2 dy = Eq. 8 dx? (Eq. 8) = Im Juntando as Eq. 6 e 8 encontra-se a equação aproximada para a curvatura: (Eq. 9) A relação existente entre a curvatura e as deformações nos materiais (concreto e aço) da peça, considerando-se a lei de Navier (s =y . 1/1), como mostrado na Figura 6 é: Lo m+p, >= A Eq. 10 E (Eq. 10) & =& 1 s 1/r af hn d &s ' Figura 6 - Relação entre as deformações nos materiais e a curvatura. Para o concreto armado a Eq. 10 torna-se: (Eq. 11) com: es= deformação na armadura tracionada; £c = deformação no concreto comprimido; d = altura útil da peça. UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto II — Pilares de Concreto Armado 4.5 COMPRESSÃO AXIAL Considere a barra comprimida como mostrada na Figura 4. Como definido na Eq. 8, a equação simplificada da curvatura é: 2 1. dy r dx? no : . dy M O momento fletor externo solicitante é Mex = F . y. Considerando a Eq. 9 CE ET com material elástico linear, e fazendo o equilíbrio entre o momento fletor externo e o momento fletor interno (Mex = Mint) tem-se: dy 2 dy. E,- Ky = +k?y=0 dx EI y com k = F/EI. A solução geral para a equação diferencial tem a forma: y=Cisenkx+C>coskx (Eq. 12) As condições de contormo para definição das constantes Cy e C, são: ajparax=0 => y=0 > C.0+C,.1=0 > .C,=0 A Eq. 12 simplifica-se para: y=C senkx (Eq. 13) dy bparax=/ > ="=0 ) P dx dy, — =|kCicoskx| ,=kC;cosk(=0 (Eq. 14) x=€ Para barra fletida a constante C; na Eq. 14 deve ser diferente de zero, o que leva a: cosk/=0 > kl(=7n/2 > k=n/20 A Eq. 13 toma a forma: y=C, sent x (Eq. 15) Para x= £ o deslocamento y é igual ao valor a (ver Figura 4). Portanto, aplicando a Eq. 15: y=€, senT= a, donde resulta que Cj=a. Sendo 24 = (. (fe = comprimento de flambagem) e com a determinação da constante Ci, define-se a equação simplificada para a curvatura da barra comprimida: y=a sen TE (Eq. 16) “e UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 1 Com essas premissas classificam-se os elementos verticais dos edificios em elementos de contraventamento e elementos (pilares) contraventados. Define-se o sistema de contraventamento como “o conjunto de elementos que proporcionarão a estabilidade horizontal do edifício e a indeslocabilidade ou quase- indeslocabilidade dos pilares contraventados”, que são aqueles que não fazem parte do sistema de contraventamento. A NBR 6118/03 (item 15.4.3) diz que, “por conveniência de análise, é possível identificar, dentro da estrutura, subestruturas que, devido à sua grande rigidez a ações horizontais, resistem à maior parte dos esforços decorrentes dessas ações. Essas subestruturas são chamadas subestruturas de contraventamento ” Os elementos de contraventamento são constituídos por pilares de grandes dimensões (pilares-parede ou simplesmente paredes estruturais), por treliças ou pórticos de grande rigidez, núcleos de rigidez, etc., como mostrados na Figura 8. As lajes dos diversos pavimentos do edifício também podem participar da estabilidade horizontal, ao atuarem como elementos de rigidez infinita no seu próprio plano (o que se chama diafragma rígido), fazendo a ligação entre elementos de contraventamento formados por pórticos, por exemplo. Segundo SUSSEKIND (1984, p. 175), “Toda estrutura, independentemente do número de andares e das dimensões em planta, deve ter seu sistema de contraventamento estudado e adequadamente dimensionado ” Pilares ou Elementos de Contraventamentos l l Ay Figura 8 - Pilares contraventados e elementos de contraventamento (FUSCO, 1981). 5.2 ESTRUTURAS DE NÓS FIXOS E MÓVEIS No item 15.4.2 a NBR6118 define o que são estruturas de nós fixos e de nós móveis. a) Estruturas de nós fixos São aquelas em que os deslocamentos horizontais dos nós são pequenos e, por decorrência, os efeitos globais de 2º ordem são desprezíveis, isto é, se apresentam inferiores a 10 % dos respectivos esforços de 1º ordem (Figura 9 e 10). Nessas estruturas basta considerar os efeitos locais e localizados de 2º ordem. UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 12 b) Estruturas de nós móveis São aquelas em que os deslocamentos horizontais não são pequenos e, em decorrência, os efeitos globais de 2º ordem são importantes (superiores a 10 % dos respectivos esforços de 1º ordem), Figura 9 e 10. Nessas estruturas devem ser considerados tanto os esforços de 2º ordem globais como os locais e localizados. —4 A — A » 7 z - — Flexível Rígido Pilares Contraventados Elementos de Contraventamento Figura 9 - Pilares contraventados e elementos de contraventamento (FUSCO, 1981). As subestruturas de contraventamento podem ser de nós fixos ou de nós móveis, de acordo com as definições acima. Para verificar se a estrutura está sujeita ou não a esforços globais de 2º ordem, ou seja, se a estrutura pode ser considerada como de nós fixos, lança-se mão do cálculo do parâmetro de instabilidade o. (NBR 6118/03, item 15.5.2) ou do coeficiente y, (item 15.5.3). Esses coeficientes serão estudados em profundidade na disciplina Estruturas de Concreto IV. “7 Estrutura deslocável Estrutura indeslocável Figura 10 — Estruturas de nós fixos e móveis (FUSCO, 1981). UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 13 Para mais informações sobre a estabilidade global dos edifícios devem ser consultados FUSCO (2000) e SÚSSEKIND (1984). 5.3 ELEMENTOS ISOLADOS A NBR 6118/03 (item 15.4.4) classifica os elementos isolados como aqueles que: a) são elementos estruturais isostáticos; b) são elementos contraventados; c) são elementos que fazem parte das estruturas de contraventamento de nós fixos; d) são elementos das subestruturas de contraventamento de nós móveis, desde que, aos esforços nas extremidades, obtidos numa análise de 1º ordem, sejam acrescentados os determinados por análise global de 2º ordem. Nesta apostila estudam-se os chamados elementos contraventados. 6. ÍNDICE DE ESBELTEZ O índice de esbeltez é a razão entre o comprimento de flambagem e o raio de giração, nas direções a serem consideradas: t e = (Eq. 21) i com o Taio de giração sendo: 1 = EE x a . 3,46 4 Para seção retangular o índice de esbeltez é: A = o £ (Eq. 22) onde: 1.= comprimento de flambagem; i = raio de giração da seção geométrica da peça (seção transversal de concreto, não se considerando a presença de armadura); 1 = momento de inércia; A=área da seção; h = dimensão do pilar na direção considerada. O comprimento de flambagem de uma barra isolada depende das vinculações na base e no topo do pilar, conforme os esquemas mostrados na Figura 11. A. Simples Engaste Engaste E. Elástico Figura 11 — Comprimento de flambagem. UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 16 1 4-——— (Eq. 25) " 100/H com: H=altura do lance, em metro, conforme mostrado na Figura 15; 1/400 = para estruturas de nós fixos lmin” [1/300 => para estruturas de nós móveis e imperfeições locais Ormáx = 1/200 Pilar de Pilar contraventamento contraventado / / / / : . o, Se Elemento de "=, [a travamento à Pá ç / H, 8, 5x7 º 9, 77777 777 a) Elementos de travamento b) Falta de retilinidade | c) Desaprumo do pilar (tracionado ou comprimido) no pilar Figura 15 - Imperfeições geométricas locais. A excentricidade acidental para um lance do pilar resulta do ângulo 0: e,= 85 (Eq. 26) 7.3 EXCENTRICIDADE DE 2* ORDEM “Sob a ação das cargas verticais e horizontais, os nós da estrutura deslocam-se horizontalmente. Os esforços de 2º ordem decorrentes desses deslocamentos são chamados efeitos globais de 2º ordem. Nas barras da estrutura, como um lance de pilar, os respectivos eixos não se mantêm retilíneos, surgindo aí efeitos locais de 2º ordem que, em princípio, afetam principalmente os esforços solicitantes ao longo delas” (NBR 6118, item 15.4.1). “A análise global de 2º ordem fornece apenas os esforços nas extremidades das barras, devendo ser realizada uma análise dos efeitos locais de 2º ordem ao longo dos eixos das barras comprimidas”. Os elementos isolados, para fins de verificação local, devem ser formados pelas barras comprimidas retiradas da estrutura, com comprimento (e, porém aplicando-se às suas extremidades os esforços obtidos através da análise global de 2º ordem (item 15.7.4). “Os efeitos locais de 2º ordem em elementos isolados podem ser desprezados quando o índice de esbeltez for menor que o valor limite A” (item 15.8.2), calculado pela expressão: 25+12,5E h n=—— À (Eq. 27) Lp UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 17 com 35<A<90, onde: e; = excentricidade de 1º ordem (não inclui a excentricidade acidental e,); e//h = excentricidade relativa de 1º ordem; A NBR 6118/03 não define em que posição ao longo do comprimento do pilar deve-se considerar a excentricidade e; para aplicação no cálculo de A, o que pode levar a pequenas diferenças caso se considere a excentricidade nas extremidades do pilar ou na posição onde ocorre a máxima excentricidade de 2º ordem. Deve-se ter pilar de seção e armadura constantes ao longo do eixo longitudinal. O valor de ap deve ser obtido conforme estabelecido a seguir: i) para pilares biapoiados sem cargas transversais Mp 04 =0,6+0,4 47 (Eq. 28) A onde: 10>0ÔÂw>0,4 Ma e Mg são os momentos de 1º ordem nos extremos do pilar. Deve ser adotado para MA o maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado e para Mg o sinal positivo, se tracionar a mesma face que MA, e negativo em caso contrário. ii) para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura ap =1 iii) para pilares em balanço u,=08+02M€ 0,85 (Eq. 29) IN onde: Ma = momento de 1º ordem no engaste; Mc = momento de 1º ordem no meio do pilar em balanço. iv) para pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores que o momento mínimo ap =1 O fator q consta do ACI 318 (1995) com a notação Cm (item 10.12.3.1). Porém, ao contrário da NBR 6118/2003, que também considera a excentricidade relativa e,/h, tanto o ACI como o Eurocode 2 (1992) e o MC-90 (1990) do CEB, calculam a esbeltez limite em função da razão entre os momentos fletores ou entre as excentricidades nas extremidades do pilar. 7.4 EXCENTRICIDADE DEVIDA À FLUÊNCIA “A consideração da fluência deve obrigatoriamente ser realizada em pilares com índice de esbeltez À > 90 e pode ser efetuada de maneira aproximada, considerando a excentricidade adicional ecc dada a seguir” (item 15.8.4): O Nos M PN ecc [a e) 2,718NeNs 1 (Eq. 30) sg UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 18 10E,lI No=—— SA (Eq. 31) 7a te onde: e, = excentricidade devida a inperfeições locais; Msg € Nsg = esforços solicitantes devidos à combinação quase permanente; p= coeficiente de fluência; Ec = módulo de elasticidade tangente; I. = momento de inércia; e = comprimento de flambagem. 8. DETERMINAÇÃO DOS EFEITOS LOCAIS DE 2º ORDEM De acordo com a NBR 6118/03 o cálculo dos efeitos locais de 2º ordem pode ser feito pelo método geral ou por métodos aproximados. O método geral é obrigatório para À > 140 (item 15.83). A norma apresenta quatro diferentes métodos aproximados, sendo eles: método do pilar- padrão com curvatura aproximada (item 15.8.3.3.2), método do pilar-padrão com rigidez x aproximada (item 15.8.3.3.3), método do pilar-padrão acoplado a diagramas M, N, 1/ (item 15.8.3.3.4) e método do pilar-padrão para pilares de seção retangular submetidos à flexão composta oblíqua (item 15.8.3.3.5). Serão agora apresentados os métodos do pilar-padrão com curvatura aproximada e com rigidez aproximada, que são simples de serem aplicados no dimensionamento dos pilares. Os dois métodos baseiam-se no pilar-padrão, conforme demonstrado no item 4.6. 8.1 MÉTODO DO PILAR-PADRÃO COM CURVATURA APROXIMADA Neste método a não-linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo- se que a deformação da barra seja senoidal. A equação senoidal para a linha elástica foi definida na Eq. 16, que define os valores para a deformação de 2º ordem (e») ao longo da altura do pilar. A não-linearidade física é considerada através de uma expressão aproximada da curvatura na seção crítica. A expressão aproximada da curvatura na seção mais solicitada foi mostrada nas Eq. 11e 18. O momento fletor total máximo no pilar deve ser calculado pela expressão: o 021. |Muaas Maio = % Mia + Ná 10r z M (Eq. 32) 1d;mín onde: cy = parâmetro definido no item 7.3; Na = força normal solicitante de cálculo; e = comprimento de flambagem. 1/r = curvatura na seção crítica, avaliada pela expressão aproximada (Eq. 18): 1. 0005 0,005 r h(v+0,5) h A força normal adimensional (v) foi definida na Eq. 19, sendo: v=—Ni Ac La UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 21 9.2 PILAR DE EXTREMIDADE Os pilares de extremidade, de modo geral, encontram-se posicionados nas bordas dos edifícios, vindo daí o termo “pilar de extremidade”, como mostrado na Figura 17. Na situação de projeto os pilares de extremidade estão submetidos à flexão composta normal, que decorre da interrupção, sobre o pilar, da viga perpendicular à borda de extremidade. Existem, portanto, os momentos fletores Ma e Mg de 1º ordem nas extremidades do lance do pilar, como descritos no item 7.3. Nas seções do topo e da base dos pilares de extremidade ocorrem excentricidades e, de 1º ordem, oriundas dos momentos fletores de 1º ordem MA e Mp, com valor: M M Cia = No e &B = N (Eq. 37) a a PLANTA A y SITUAÇÃO DE PROJETO 8 x Ng Figura 17 - Arranjo estrutural e situação de projeto dos pilares de extremidade. Os momentos fletores Ma e Mp de 1º ordem devidos ao carregamento vertical são obtidos calculando-se os pilares em conjunto com as vigas formando pórticos ou então de uma maneira mais simples e que pode ser feita manualmente, com a aplicação das equações já apresentadas na apostila de “Vigas de Concreto Armado”, de BASTOS (2005). Conforme a Figura 18 os momentos fletores inferior e superior no pilar são calculados pelas expressões: r Mit = Meg —— (Eq. 38) Tinf + Isup + Tviga Map = Mag — (Eq. 39) Tinf + Uoup + viga UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 22 com: Mens = momento fletor de ligação entre a viga e o pilar; 1=I// = índice de rigidez relativa; I= momento de inércia da seção na direção considerada; t=vão teórico da viga ou comprimento de flambagem do pilar. O valor Meng nas Eq. 38 e 39 pode ser calculado fazendo o vão extremo adjacente ao pilar como biengastado, ou pode também ser o momento resultante da viga vinculada ao pilar por meio de um engaste elástico (mola), como feito em BASTOS (2005). Nos edifícios de pavimentos os momentos fletores que aparecem nos pilares são provenientes da superposição dos efeitos das vigas dos diferentes níveis (Figura 18). Considerando-se por exemplo o lance do pilar compreendido entre os pavimentos ie i+1,os momentos fletores na base e no topo do lance são: Mae = Maupã + 0,5 Mingin supi M po = Mingisi + 0,5 Mai (Eq. 40) , , i1M Mintin+2Msupi | NívEL(+1) ÍMsup, h— | PILAR DE EXTREMIDADE N À ) Muca | À] M sup N A Maui 4 4 N k + supi+?2 Miníist Na] V NÍVEL aa nz 1 VE q! NO) Mimi + 5 Moupin Nut N | TRAMO EXTREMO N J, : Meir +3Minti =] N NÍvEL(-1) Mim ——E 1 Figura 18 — Momentos fletores nos pilares provenientes da ligação com as vigas (FUSCO, 1981). Os exemplos numéricos apresentados no item 18 mostram o cálculo dos momentos fletores solicitantes por meio das Eq. 38 a 41. 9.3 PILAR DE CANTO De modo geral, os pilares de canto encontram-se posicionados nos cantos dos edifícios, vindo daí o termo “pilar de canto”, como mostrado na Figura 19. Na situação de projeto os pilares de canto estão submetidos à flexão composta oblíqua, que decorre da interrupção das vigas perpendiculares às bordas do pilar. Existem, portanto, os momentos fletores Ma e Mg (item 7.3) de 1º ordem nas extremidades do pilar, nas suas duas direções. Esses momentos podem ser calculados da forma como apresentado nos pilares de extremidade. Nas seções do topo e da base dos pilares de extremidade ocorrem excentricidades e, de 1º ordem nas duas direções do pilar. UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 23 1309 - Estruturas de Concreto II — Pilares de Concreto Armado PLANTA SITUAÇÃO DE PROJETO eiy Z & Figura 19 - Arranjo estrutural e situação de projeto dos pilares de canto. 10. DETERMINAÇÃO DA SEÇÃO SOB O MÁXIMO MOMENTO FLETOR Sendo constante a força normal de cálculo (Ng) ao longo da altura do pilar, no cálculo de dimensionamento deve ser analisada qual seção do pilar estará submetida ao máximo momento fletor, seção essa que conduzirá a maior armadura longitudinal no pilar. Normalmente basta verificar as seções de extremidade (topo e base) e uma seção intermediária C, onde atua o máximo momento fletor de 2º ordem (M>q). A Figura 20 mostra os casos de momentos fletores solicitantes mais comuns nos pilares. No caso do momento fletor ser variável, o valor máximo deve ser nomeado Ma e considerado positivo. O momento na outra extremidade será nomeado Mp e considerado negativo se tracionar a fibra oposta a de Ma. IL Ma Ma oro M= Mp — SEÇÃO INTERMEDIÁRIA ou B ar MB MB Figura 20 - Momentos fletores de 1º ordem com o de 2º ordem nas seções do lance do pilar. UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 26 y N N al a x Sixa S.P. 1º s.c. Figura 22 — Situação de projeto e de cálculo para as seções de extremidade dos pilares de extremidade. ex Qu — Los [Ee eax Sixc Ctxmí S.P. 1º s.c. 2º sc. Figura 23 — Situação de projeto e de cálculo para a seção intermediária dos pilares de extremidade. 11.3 PILARES DE CANTO Nos pilares de canto a solicitação de projeto é a flexão composta obliqua, com a existência de excentricidade de 1º ordem nas duas direções principais do pilar. Na seção de extremidade A, como mostrado na Figura 24, apenas uma situação de cálculo é suficiente, comparando-se as excentricidades de 1º ordem com as excentricidades mínimas em cada direção. Na seção intermediária C as excentricidades de 1º ordem alteram-se de e; para e,c, como apresentado na Figura 25. Existindo as excentricidades de 2º ordem, elas devem ser acrescentadas às excentricidades de 1º ordem, segundo a direção em que existir. A armadura final do pilar será a maior calculada entre as situações de cálculo, considerando-se as barras distribuídas de modo idêntico no cálculo das armaduras. y [Ema Sixmin Sixa mí N Ny ram AS o - ” 1yA 4 Sia A [5 VA A A tymín x S.P. 1º s.c. Figura 24 — Situação de projeto e de cálculo para as seções de extremidade dos pilares de canto. UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 27 Ny —— sm y Say Ng ey » .— » M =[e e / =[e"€ rd etymín A etymin Sax o Pa = ºixe temin ex > Lesemin SP. 1ºso. 2 se. Figura 25 — Situação de projeto e de cálculo para a seção intermediária dos pilares de canto. 12. CÁLCULO DA ARMADURA COM AUXÍLIO DE ÁBACOS No dimensionamento manual dos pilares os ábacos são imprescindíveis e importantissimos, pois permitem a rápida determinação da taxa de armadura, sem que haja a necessidade de aplicar as equações teóricas da Flexão Composta Normal ou Obliqua. Além disso, os ábacos proporcionam o fácil cálculo com diferentes arranjos da armadura na seção transversal. Nesta apostila serão adotados os ábacos de VENTURINI (1987) para a Flexão Composta Normal e de PINHEIRO (1994) para a Flexão Composta Oblíqua. Para cada caso de solicitação diversos ábacos podem ser utilizados para o cálculo da armadura do pilar. No entanto, deve ser escolhido o ábaco que resultar na menor e, portanto, a armadura mais econômica. 12.1 FLEXÃO COMPOSTA NORMAL A Figura 26 mostra a notação aplicada na utilização dos ábacos para a flexão composta normal. d' representa uma distância paralela à excentricidade entre a face da seção e o centro da barra do canto. De modo geral tem-se d = c + dr + 4,/2, com c = cobrimento de concreto, dy = diâmetro do estribo e 4, = diâmetro da barra longitudinal. NM a o... pa imê + º e e .' .' h/2 e e I e e e “ h/2 “ e “e. e e y b d Figura 26 — Notação para a flexão composta normal (VENTURINI, 1987). UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 28 As equações para a construção dos ábacos foram apresentadas na publicação de PINHEIRO (1994). A determinação da armadura é iniciada pelo cálculo dos esforços adimensionais v -ni eu - mi. O valor adimensional v foi definido na Eq. 19, sendo aqui repetido: v= Na Ac fa Maio - dit gy Eq. 48 K RA, £y (Eq. 48) =vÊ (Eq. 49) nova q com: Na= força normal de cálculo; Aç= área da seção transversal; fea = resistência de cálculo do concreto à compressão (a/c); Mato = momento fletor total de cálculo; h= dimensão do pilar na direção considerada; e = excentricidade na direção considerada. Escolhida uma disposição construtiva para a armadura no pilar determina-se o ábaco a ser utilizado, em função do tipo de aço e do valor da relação d”/h. No ábaco, com o par v e qu obtém- se a taxa mecânica q. A armadura é então calculada pela expressão: A-= DA fa (Eq. 50) s fa 12.2 FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA A Figura 27 mostra a notação aplicada na utilização do ábacos para a flexão composta obliqua. d' e d”, têm o mesmo significado de d”, porém, cada um numa direção do pilar. 4 yjle e 06) + Na «le 0| > Mya se... + hy Figura 27 — Flexão composta oblíqua (PINHEIRO, 1994). UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 31 a) Esforços solicitantes A força normal de cálculo é (Eg. 53): Na=Y% yr. Nk=1,0.1,4.785,7=1.100kN. Tratando-se de um pilar intermediário, não existem momentos fletores e excentricidades de 1º ordem em ambas as direções do pilar. b) Índice de esbeltez (Eq. 22) O índice de esbeltez deve ser calculado para as direções x e y, conforme os eixos mostrados na Figura 28. Procurou-se padronizar a notação, o que pode resultar diferenças em telação àquelas já estudadas nas disciplinas anteriores. L . a= 3,46 Cox 346-280 | 19.4 h, 50 3,46 . =D 9- 3.46 -280 =48,4 ” h, 20 y c) Momento fletor minimo O momento fletor mínimo, em cada direção, é calculado pela Eq. 33: Miamin= Na (1,5 + 0,03 h), com h em cm. Dir. x: Migminx= 1100 (LS + 0,03.50)= 3.300 KN.cm ; erxmin = 3,00 cm Dir. y: Migminy = 1100 (LS + 0,03. 20)= 2.310 KN.cm ; ey min = 2,10 cm e) Esbeltez limite (Eq. 27) 25 412,5 A h M=—"——— — com 35<A,<90 Gp Nos pilares intermediários não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1º ordem nas extremidades do pilar em ambas as direções x e y, isto é, Ma = Mg = 0. Dai resulta que o é igual a 1,0 (ver item 7.3). Assim: Ms=My=25>35 . Ms=My=35 Desse modo: A =194<Mx -. não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; Ny=484>My -. são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y. e) Momento de 2º ordem O momento de 2º ordem será avaliado pelos métodos do pilar-padrão com curvatura aproximada e do pilar-padrão com rigidez x aproximada. el) Método do pilar-padrão com curvatura aproximada (Eq. 32) (2 Mia Maio = &p Ma +Ng-E-> ' ator = Op Mig a + Na Tor e, Força normal adimensional (Eq. 19): v= Na 1100 UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 32 1309 - Estruturas de Concreto II — Pilares de Concreto Armado Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2º ordem (Eq. 18): 1. 0005 | 0005 1,9685.10“ cm” sie 25.10“ em! 7 h(v+0,50) 20(0,77+0,5) A excentricidade de 2º ordem na direção y é (Eq. 17): 280º s= e. 19685.10 4 =1,54 em Fazendo Miga = Miamin em cada direção, tem-se os momentos fletores totais em cada direção principal do pilar: Dir. x: Matox = Miaminx = 3.300 kN.em 280" | 9685.1074 = 4008 kKN.cm Dir.y: Maray = L0.2310+1100 «. Masoty = 4.008 KN.cm > Mig mín.y = 2.310 KN.em A situação de projeto e as situações de cálculo estão mostradas na Figura 29. y Na ——€— exy=1,54 e,=3684 0 Siymin = 21 Na Na 1 1 e x e Etxmin 300 — S.P. t's.c. 2's.c. Figura 29 — Situações de projeto e de cálculo. Com v = 0,77 e utilizando os ábacos de VENTURINI (1987) para flexão reta faz-se o cálculo de q (Eq. 48 ou 49) e d”/h, segundo as direções x e y: Dir. x: p= Mame 3300 005 he Acta 50,100022 Se 40 008=0,10 Ábaco A-25 (o = 0,05) h. 30 Outros ábacos diferentes do A-25 poderiam ter sido utilizados. O ábaco A-25 é interessante porque não fixa o número de barras a serem dispostas na seção transversal, ele fixa apenas as faces do pilar que deverão alojar as barras da armadura. O ábaco A-25 também proporciona que as barras sejam distribuídas no lado maior do pilar. Dir. y: Maioy 4008 3,64 e =D =014 q =v=0,77 20 14, 20 p= tty =014 h,.Acfa 20.1000 UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 33 d, 4 : — =" =0,20 Abaco A-4 (wo = 0,38) h, 0 Para a solicitação na direção y o ábaco A-4 é compatível com o ábaco A-25 da direção x, pois proporciona o mesmo arranjo de barras do ábaco A-25 na seção transversal, ou seja, as barras distribuídas ao longo do lado maior do pilar. Para se chegar a essa conclusão deve-se comparar a direção das barras com a direção da excentricidade, fazendo-se a analogia coma 1º s.c. Portanto, a maior armadura é calculada para o maior valor de q: 0,38 .1000 2 DA fa 14 2 E 5300 12,49 em yd Adi 115 As= e2) Método do pilar-padrão com rigidez x aproximada Aplicando a Eg. 36 numericamente para a direção y, com Mig a = Miamin, tem-se: 19200 MZ + (3840 h N4 — 22 h Ng — 19200 0, Mg a) Mara — 3840 4, h Ná Mia = O 19200 M2w + (3840. 20 .1100- 48,42. 20.1100-19200.1,0.2310) My — - 3840.1,0.20.1100.2310=0 19200 Má so — 11408320 My sy — 1951488 .10! = 0 Mica — 594,2 Mao — 10164000 = O A raiz positiva da equação de 2º grau é: Mato = 3.500 KN.em > Miamin,y = 2.310 KN.em Com v=0,77 e utilizando os ábacos de VENTURINI (1987) para flexão reta: u= Mary 2 3500 0,12 hy Acta 20.100022 L4 d . dy 40 0,20 Ábaco A-4 (o =0,30) h, 20 At 030 100055 A= Doca 986 em fa 0 LIS 13.2.2 Exemplo Numérico 2 Este segundo exemplo (Figura 30) é semelhante ao primeiro, com exceção da maior força normal de compressão. São conhecidos: UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 36 0,78 10002 esátu Mssóem fa So LIS As= e2) Método do pilar-padrão com rigidez x aproximada Aplicando a Eq. 36 numericamente para a direção y tem-se: 19200 MZ 4 +(3840h N4 2h N4 19200 4, Mia) Mara — 3840 0, h Ny Mas =0 19200 MZ + (3840 . 20 .1500— 48,4? . 20 .1500- 19200 .1,0.3150) Mara — - 3840.10.20 .1500.3150=0 19200 MJ y — 15556800 My o; — 3,6288.10 = 0 Mica — 810,25 Ma o: — 18900000 = O A raiz positiva da equação de 2º grau é: Mato = 4.771 KN.cm > Miamin = 3.150 KN em Com v = 1,05 e utilizando os ábacos de VENTURINI (1987) para flexão reta: u- laty st -0,17 h,.Acfa 20,100020 14 d : 4 0 Ábaco A-4 (w= 0,76) h, 2 AE 0761000 20 a-CAta 1 97 Ea 50 L15 Comparando-se com o Exemplo 1 nota-se um aumento considerável da armadura, em torno de 100 %, para um aumento de apenas 36 % para a força normal do exemplo 2. Embora apenas dois exemplos numéricos tenham sido apresentados, pelos valores obtidos pode-se observar que o método da rigidez aproximada resulta armaduras inferiores ao método da curvatura aproximada. Para a força normal maior a diferença de armadura diminuiu de 21,1 % para 2,6 %. 14. CÁLCULO DOS PILARES DE EXTREMIDADE Apresenta-se a seguir um roteiro de cálculo dos chamados pilares de extremidade, com a aplicação do “Método do pilar-padrão com curvatura aproximada” e do “Método do pilar-padrão com rigidez x aproximada”. Em seguida são apresentados quatro exemplos numéricos de aplicação. 14.1 ROTEIRO DE CÁLCULO a) Esforços Solicitantes A força normal de cálculo pode ser determinada como Ng = Ja . yr. Nk onde: Ny = força normal característica no pilar; UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 37 Yn = coeficiente de majoração da força normal (ver Tabela 13.1 da NBR 6118/03); »£ = coeficiente de majoração da força normal, como definido na Tabela 11.1 da NBR 6118/03. b) Índice de Esbeltez (Eq. 21 e 22) . HI 3,460 i=d— , para seção retangular: À = e A= Eu c) Momento Fletor Minimo (Eq. 33) Mia min = Na (1,5 + 0,03 h) com h = dimensão do pilar, em em, na direção considerada. d) Esbeltez Limite (Eq. 27) 25 412,5 5 A=————+. com — <A <90 Lp Lp e; O na direção da viga não continua sobre o pilar de extremidade; h= dimensão do pilar na mesma direção de ey; A < M - não se considera o efeito de 2º ordem para a direção considerada; A > MA - se considera o efeito de 2º ordem para a direção considerada. e) Momento de 2º Ordem el) Método do Pilar-Padrão com Cuwrvatura Aproximada Determina-se Mato pela Eq. 32: Migs > Miámin e2) Método do Pilar-Padrão com Rigidez K Aproximada Determina-se Mato pela Eq. 36: 19200 M3 cy +(3840h N4 — 22 h N$ 19200 1, Mia) Mato — 3840 04 h Ná Mu = O 14.2 EXEMPLOS NUMÉRICOS Os exemplos numéricos a seguir são de pilares de extremidade, biapoiados, de nós fixos (contraventados) e sem forças transversais atuantes. Os seguintes dados são comuns em todos os exemplos: concreto C20; aço CA-50; d'=40 em ; ye=Y=1,4. 14.2.1 Exemplo Numérico 1 Este exemplo é semelhante aquele encontrado em FUSCO (1981, p. 297), com a diferença das alterações do concreto de C15 para C20 e da largura do pilar, de 25 em para 20 cm (Figura 32). São conhecidos: UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 38 1309 - Estruturas de Concreto II — Pilares de Concreto Armado Nk = 1.110 kN y Max = 2.170 kN.cm (ey = 1,40 em) seção 20 x 70 (Aç = 1.400 em?) 7 (ex = ley= 280 em “um 5 R Ng n & EM x | h,=20cm Figura 32 — Arranjo estrutural do pilar na planta de fôrma e dimensões da seção. RESOLUÇÃO a) Esforços solicitantes A força normal de cálculo é: Na=)n.Y%.Nk=1,0.1,4.1110=1.554kN. Além da força normal de compressão ocorrem também momentos fletores nos extremos do pilar (Mis x = - Mix = 2.170 kN.cm), que solicitam o pilar na direção x, em função de existir uma viga não continua sobre o pilar na direção x (Figura 32): b) Índice de esbeltez L . A- 3,46 (cx 3,46:280 | A8,4 20 x x 3,460 . . o 346:280 45 A. — E y h, 70 c) Momento fletor minimo Miamin= Na (L,5 + 0,03 h), com h em cm. O momento fletor minimo, em cada direção é: Dir.x: Migminx= 1554 (1,5 + 0,03. 20) =3.263,4 kKN.em ; eremin = 2,10 em Dir. y: Miaminy= 1554 (1,5 + 0,03. 70) = 5.594,4 kN .cm ; eymin = 3,60 cm UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 4 - Max (O 5628 44 ou E he. Aef 20 O x ea 20.1400 Ábaco A-4 (w=0,40) Dir. y: M e po Sidi SO 7= 004 ou u=vl= 0,828. - 0,04 h, Acta 40.140022 h, 70 14 d . O dO 006=005 Ábaco A-24 (=0,08) h, 70 as 0,40 .1400 2º A= DÃcda IM 18,40 em? fa 50 115 e2) Método do pilar-padrão com rigidez x aproximada O momento total na direção x é: 19200 MZ + (3840 h Ny — 22 h Ny 19200 0, Mig a) Mar — 3840 4, h Ny Ma = O 19200 M? «+ (3840. 20.1554- 48,42. 20.1554- 19200 .1,0.3263,4) My ty — -3840.1,0.20.1554.32634=0 19200 MJ (q — 16116845 My (g — 389477652480 = 0 Mia — 839,4 Ma ju — 20285294 = 0 A raiz positiva da equação de 2º grau é: Mastotx = 4.943,1 KN.cm > Mig minx = 3.263,4 KN.cm Com v = 0,78 e utilizando-se os ábacos de VENTURINI (1987) para flexão reta: po Mas 44 gp «Acta 20,14002 ds AO =0,20 Ábaco A-4 (w=0,33) h, 20 Ag 033.140 = p-LOAca o Liss Ea 50 L15 14.2.2 Exemplo Numérico 2 Este exemplo é também semelhante aquele encontrado em FUSCO (1981, p. 311), com a diferença das alterações do concreto de C15 para C20 e da largura do pilar de 25 cm para 20 em (Figura 36). São conhecidos: UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 42 1309 - Estruturas de Concreto II — Pilares de Concreto Armado y fr hy=70cm I | r I E | | 8 Ny x 4 q | A 4 —— + & tm I 1 Nk= 1.110 kN Max = 3.260 KN.cm (ex = 2,10 cm) seção 20 x 70 (Ac = 1.400 cm) (ex = Ley = 460 em Figura 36 - Arranjo estrutural do pilar na planta de fôrma e dimensões da seção. RESOLUÇÃO a) Esforços solicitantes A força normal de cálculo é: Na=Yn.Y%. Nk=1,0.1,4.1110=1.554kN. Além da força normal de compressão ocorrem também momentos fletores nos extremos do pilar (Mis x = - Mix = 3.260 kN.cm), que solicitam o pilar na direção x, em função de existir uma viga não continua sobre o pilar na direção x (Figura 37). S 3260 kN.cm 2,10cm 460 3260 kN.cm| 3260 kN.cm 210em IN 460 N 3260 kN.cm 2,10cm Figura 37 — Momentos fletores de cálculo de 1º ordem e excentricidades no topo e na base do pilar na direção x. b) Índice de esbeltez Fazendo o cálculo como no exemplo anterior, resulta: A«=22,7 e Ay = 79,6. UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 43 c) Momento fletor minimo Miamin= Na (1,5 + 0,03 h), com h em cm. O momento fletor minimo, em cada direção, é: Dir.x: Miaminx= 1554 (1,5 + 0,03. 70) = 5.594,4 KN.em ; eremin = 3,60 em Dir. y: Miaminy= 1554 (1,5 + 0,03. 20)=3.263,4 KN.cm ; eiymin = 2,10 cm d) Esbeltez limite 25 412,5 E h => com 35<A,<90 Ly Dir. x: A excentricidade de 1º ordem na direção x (ex) é 2,10 cm. Os momentos fletores de 1º ordem na direção x (Mia x = - Miapx = 3.260 KN.cm) são menores que o momento fletor minimo nesta direção, o que leva a ap = 1,0. Assim: 25 412,5 210 Ma == 2542 35 > Ma=35 Dir. y: Na direção y não ocorrem momentos e excentricidades de 1º ordem, portanto ey = 0ea=1,0. Assim: 25 +12,5 1 My = —+w =250>3 > « My=35 Desse modo: Mx =22,7<Msx -. não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; N=796>My -. são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y. e) Momento de 2º ordem O momento de 2º ordem será avaliado pelos métodos do pilar-padrão com curvatura aproximada e do pilar-padrão com rigidez x aproximada. el) Método do pilar-padrão com curvatura aproximada 021. )Miaas Mata — % -Myga + NgE-> ' dtot =p Mig a 110 e, A força normal adimensional e a curvatura (na direção y, sujeita a esforços de 2º ordem) são os mesmos do exemplo anterior: v=0,78e 1/r= 1,953. 10“ cm. A excentricidade de 2º ordem na direção y é: ey a 1953.10!= 4,13 em Fazendo Mis > Miamin em cada direção, tem-se o momento total máximo: Dir. x: Masotx = 3.260,0 KN.cm > Miaminx = 5.594,4 kN.cm - > «. Matotx = 5.594,4 kN.cm Dir. y: Mas = LO. 3263,4 + 1554 460" 1953.107! = 9.685,4 > Migminy = 3.263,4 kN .em -. Mastoty = 9.685,4 KN.cm UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 46 RESOLUÇÃO a) Esforços solicitantes A força normal de cálculo é: Na=Y%h.Yr. Nk=1,0.1,4.500 = 700 kN. Além da força normal de compressão ocorrem também momentos fletores nos extremos do pilar (Muay = MiaBy = 7.000 KN.cm), que solicitam o pilar na direção y (Figura 40). b) Índice de esbeltez ' . 3,460 . 1,586 tm 346280 o, . 1 o 3,46-280 h 20 ” h, 40 x y =242 c) Momento fletor minimo Miamin= Na (1,5 + 0,03 h), com h em cm. Assim, o momento minimo, em cada direção é: Dir.x: Miaminx= 700 (1,5 + 0,03. 20) = 1.470,0 kN.em ; ersmin = 2,10 em Dir.y: Miaminy = 700 (1,5 + 0,03. 40) = 1.890,0 KN.em ; esyamin = 2,70 cm d) Esbeltez limite 25 412,5 E h => com 35<A,<90 Ly Dir. x: Nesta direção não ocorrem momentos e excentricidades de 1º ordem, portanto ex =0 e ap= 1,0. Assim: 25 412,5 Ma= o O -950>35 > « Ms=35 Dir. y: A excentricidade de 1º ordem nesta direção (ei) é 10,0 cm, e os momentos fletores de 1º ordem são Muay = Miasy = 7.000 KN.cm, maiores que o momento fletor minimo nesta direção, o que leva ao cálculo de op e de Ary: a = 0,6+ 0,4MB =0,6+041000-10 R 7000 25 +12,5100 my=——— 40 -98]>35 > My=35 ' LO Desse modo: Ax=48,4>Msx -. são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; N=242<My -. não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y. e) Momento de 2º ordem pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada 021. )Miaa Maia = Oy Myga + Ny -co>d té dot = Cp -Miga 110r e, Força normal adimensional: v= Na. is qo 0,61 Acta 8002 1,4 Dir. x: UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 47 1309 - Estruturas de Concreto II — Pilares de Concreto Armado Curvatura segundo a direção x sujeita a esforços de 2º ordem: 1. 005 (005º o omas2em! < a = 0,00025 em” 7 n(v+0,50) 20(0,61+0,5) A excentricidade de 2º ordem na direção x é: 280? 0,0002252 =1,77 em 2x Matata = 1,0. 1470,0 + 700 e 0,0002252 = 2.705,9 kN.cm > Migminx = 1.470,0 EN .em «. Matotx = 2.705,9 KN.em Dir. y: Nesta direção o pilar deve ser dimensionado para o máximo momento fletor que ocorre nas extremidades do topo e da base, sem se acrescentar o momento minimo. Masoty = 7.000,0 kN.cm > Miaminy = 1.890,0 KN.em A situação de projeto e as situações de cálculo estão mostradas nas Figuras 41 e 42. y y Na Na e, e ey =|10,00 e,= 10,00 ' x x SP. f's.c. Figura 41 — Situações de projeto e de cálculo da seção de extremidade. eyo= 10,00 e,=|10,00 sP. so. Pee. Figura 42 — Situações de projeto e de cálculo da seção intermediária. Com v=0,61 e utilizando-se os ábacos de VENTURINI (1987) para flexão reta: Dir. x: Mura p= ama — 2059 1 q u=vê=o638! on ho Acfa 2080020 h, 20 UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 48 =" =0,20 Ábaco A-29 (w=0,20) Dir. y: M e p= — taty ia 7-5 015 ou u= vL= 0,6118:00 =0415 hy Ac fa 40 80020 h, 40 14 d , Cy 40 0,10 Ábaco A-27 (o =0,28) h, 40 A po 028.800 > A= DA ta -— É =736 em fa 50 115 14.2.4 Exemplo Numérico 4 Este exemplo é semelhante ao anterior, com a diferença do momento fletor que agora não é constante ao longo da altura do pilar, como mostrado na Figura 43. São conhecidos: y Nk = 500 kN 7000 kN.cm Mu, - Muy = 7.000 kN.em eia eyB= 10,0 cm | seção 20 x 40 (A. = 800 cm?) Ny «ey = 280 em E a 5 & Ss x n e h,=20cm 7000 kN.cm Figura 43 — Dimensões da seção transversal e momentos fletores de 1º ordem. RESOLUÇÃO a) Esforços solicitantes A força normal de cálculo é: Na=Y) yr. Nk=L0.1,4.500=700 kN. Além da força normal de compressão ocorrem também momentos fletores nos extremos da base e do topo do pilar (Mi ay = - MiBy = 7.000 kN.cm), que solicitam o pilar na direção y (Figura 43). b) Índice de esbeltez Como calculados no exemplo anterior: À, = 48,4 e À, = 24,2. c) Momento fletor minimo O momento fletor mínimo, em cada direção é: Dir. x: Miaminx= 700 (1,5 + 0,03. 20) = 1.470,0 kN.cm ; erxmin = 2,10 em UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 51 15. CÁLCULO DOS PILARES DE CANTO Apresenta-se a seguir um roteiro de cálculo dos chamados pilares de canto, com a aplicação do “Método do pilar-padrão com curvatura aproximada”. Outros métodos de cálculo constantes da nova norma não são apresentados neste trabalho. Três exemplos numéricos de aplicação são apresentados na sequência. 15.1 ROTEIRO DE CÁLCULO a) Esforços Solicitantes A força normal de cálculo pode ser determinada como Ng = Ja . yr. Nk onde: Ny = força normal característica no pilar; Yn = coeficiente de majoração da força normal (ver Tabela 13.1 da NBR 6118/03); »g = coeficiente de majoração da força normal, como definido na Tabela 11.1 da NBR 6118/03. b) Índice de Esbeltez (Eq. 21 e 22) ' . 3,460 p= i 1 , para seção retangular: A=——*. i A h c) Momento Fletor Minimo (Eq. 33) Mia min = Na (1,5 + 0,03 h) com h = dimensão do pilar, em em, na direção considerada. d) Esbeltez Limite (Eq. 27) 25 412,5 A=——— com 35<A<90 Lp e; O na direção da viga não continua sobre o pilar de extremidade; h= dimensão do pilar na mesma direção de ey; A < M - não se considera o efeito de 2º ordem para a direção considerada; A > M - se considera o efeito de 2º ordem para a direção considerada. e) Momento de 2º Ordem Determina-se Mato pela Eq. 32: (2 10 Mia Mai = %y Mia + Na > M Mig > Miámin Idmín 15.2 EXEMPLOS NUMÉRICOS Os exemplos numéricos a seguir são de pilares de canto, biapoiados, de nós fixos (contraventados) e sem forças transversais atuantes. Os seguintes dados são comuns em todos os exemplos: concreto C20; aço CA-50; d'=40 em ; ye=Yy=1,4. 15.2.1 Exemplo Numérico 1 Este exemplo é semelhante aquele encontrado em FUSCO (1981, p. 313), com a diferença das alterações do concreto de C15 para C20 e da largura do pilar, de 25 cm para 20 cm (Figura 46). São conhecidos: UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 52 1309 - Estruturas de Concreto II — Pilares de Concreto Armado LA — 8 hy=50 cm e1y e JA Pix, Ne = 820 kN Max = 2.041 kN.em (ex = 1,78 em) May = 1.726 kN.cm (er = 1,50 em) seção 20 x 50 (Ac = 1.000 em?) (ex = ley= 280 em ,=20cm Figura 46 — Arranjo estrutural do pilar na planta de fôrma e dimensões da seção. RESOLUÇÃO a) Esforços solicitantes A força normal de cálculo é: Na=%n.Y%.Nk=1,0.1,4.820=1.148kN. Além da força normal de compressão ocorrem também momentos fletores nos extremos do pilar, Miasx = - MiaBx = 2.041 KN.cm na direção x, e Miaay = - Miupy = 1.726 kN.cm na direção y (Figura 47), em função de existirem duas vigas não continuas sobre o pilar nas direções xey. b) Índice de esbeltez 3,46 (x 3,46-280 A=2D—e ->D 2 48,4 h, 20 3460 . 1, o 346280 194 h y c) Momento fletor minimo Miamin= Na (1,5 + 0,03 h), com h em cm. O momento fletor minimo, em cada direção é: Dir.x: Migminx= 1148 (1,5 + 0,03. 20) = 2.410,8 KN.em ; eremin = 2,10 em Dir. y: Miaminy= 1148 (1,5 40,03. 50)=3.444,0 kN cm ; eryamin = 3,00 em UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 53 Figura 47 — Momentos fletores de 1º ordem de cálculo (kN.cm) nas direções x e y. d) Esbeltez limite 25 412,5 E h Ah=————— com 35<A,<90 Lp Dir. x: A excentricidade de 1º ordem e, na direção x é 1,78 cm. Os momentos fletores de 1º ordem nesta direção são Mia ax = - Miapx = 2.041 KN.cm, menores que o momento fletor mínimo, o que leva a op = 1,0. Assim: 25 +12,5 78 Ms=———— 20. -961>35 > Mx=35 » LO Dir. y: A excentricidade de 1º ordem e; na direção y é 1,50 cm. Os momentos fletores de 1º ordem nesta direção são Miay = - Miasy = 1.726 kN.cem, menores que o momento fletor mínimo, o que leva também a ay = 1,0. Assim: 25 +12,5 130. My = + =254235 > « My=35 Desse modo: Ax=48,4>Msx -. são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; N=194<My -. não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y. e) Momento de 2º ordem pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada 021. )Miaa Mata — % Ma +NyE— dot = Cp -Miga 110r e, UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 56 direção y (Figura 51), em função de existirem duas vigas não continuas sobre o pilar nas direções xey. b) Índice de esbeltez ' . à, 3860 - 346:460 ng ç h, 20 3464 . a=>>"8 = 3416-460 sq h 50 y Figura 51 — Momentos fletores de 1º ordem de cálculo (kN.cm) nas direções x e y. c) Momento fletor minimo Miamin= Na (L,5 + 0,03 h), com h em cm. O momento fletor minimo, em cada direção é: Dir.x: Migminx= 1148 (1,5 + 0,03. 20) = 2.410,8 KN.em ; eremin = 2,10 em Dir.y: Miamny= 1148 (1,5 + 0,03. 50) = 3.444,0 KN.cm ; Esyanin = 3,00 cm d) Esbeltez limite 25 412,5 E h M=—"————— com 35<A,<90 Gp Dir. x: A excentricidade de 1º ordem e; na direção x é 1,24 cm. Os momentos fletores de 1º ordem nesta direção são Miaax = - MiaBx = 1.423 KN.cm, menores que o momento fletor mínimo, o que leva a op = 1,0. Assim: 25 412,5 24 1x E —+4 = 258235 > « Mx=35 A, UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto II — Pilares de Concreto Armado 57 Dir. y: A excentricidade de 1º ordem e; na direção y é 1,31 cm. Os momentos fletores de 1º ordem nesta direção são Miay = - Miasy = 1.509 kN.em, menores que o momento fletor mínimo, o que leva também a ay = 1,0. Assim: 25 +12,5 121 My = —+ =254>35 > My=35 Desse modo: Ax=79,6>Msx -. são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; N=318<My -. não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y. e) Momento de 2º ordem pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada 021. )Miaa M =% .Mya +NiE-> ” ator = Op Mg + Na To e, Força normal adimensional: v= Ny - 48 = qo 0,80 Ac-£a 10002 14 Curvatura segundo a direção x sujeita a esforços de 2º ordem: 1. 0005 | 005 os gt mic ss 104 em! r h(v+050) 20(0,80+0,5) 20 A excentricidade de 2º ordem na direção x é: ex= a 1923.10-! = 4,07 em Fazendo Mis > Miamin em cada direção, tem-se o momento total máximo: Dir. x: 460º Matas = 1,0. 2410,8+ 1148 1923.107! = 7.082,1 > Miaminx = 2.410,8 kN .cm * Matotx= 7.082,1 KN.cm Dir. y: Masoty = 1.509,0 KN.cm > M iaminy = 3.444,0 KN.cm => Masoy = 3.444,0 kN.cm A situação de projeto e as situações de cálculo estão mostradas nas Figuras 52 e 53. y Na Ny 7 7 &rymin= 3,00 eya tai) dom “ 1 14 x Six 124 210 S.P. 1ºs.c. Figura 52 — Situações de projeto e de cálculo da seção de extremidade. UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 58 y x 817 o NM Ng ” F +. Styamine 3.00 ” ryan enc 7 4 ' A b í ” x enc Stxmin Sox Stein 0,50 2,10 4,07 210 S.P. f's.c. 2c. Figura 53 — Situações de projeto e de cálculo da seção intermediária. Coeficientes adimensionais da flexão, considerando a 1º s.c. da seção intermediária: meo ams TO 05 ou n=vêc-os08T 025 he Acfa 20.100020 x M e ty = —— tt = e 7=005 ou u=vl= 0,80209.-0,05 ho Acta 50. 100020 h, 50 & 40 020 O 40 008=010 h. 20 h, 50 Com v = 0,80 e utilizando o ábaco A-50 de PINHEIRO (1994) para flexão composta oblíqua, a taxa de armadura resulta q = 0,91. A armadura é: Aço OL 1000 EE a-Oácia Lê o900 em Ea 50 115 15.2.3 Exemplo Numérico 3 Este exemplo tem momentos fletores de 1º ordem superiores aos momentos fletores mínimos (Figura 54). São conhecidos: | ZE : | Na 5 218 I o o x A CO | & ix Nk = 360 kN ' Max = 2.683 kN.cm (ex = 5,32 em) May = 1.105 kN.cm (er, = 2,19 cm) h,=30 cm seção 20 x 30 (A, = 600 em?) =280 em Figura 54 — Arranjo estrutural do pilar na planta de fôrma e dimensões da seção. UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 61 eymne|2,10 txmin 240 S.P. fºs.c. Figura 57 — Situações de projeto e de cálculo da seção intermediária. Força normal adimensional: v= Na = SM 0,59 A, fa 600 20 14 Coeficientes adimensionais da flexão considerando a 1º s.c. da seção de extremidade: po Matas 26830 19 ou u=vt:-0,5922 010 x =, ? : he Acfa 3060020 h, 30 M e ty = — tt - Modo 0,06 ou u=v-0,5922. 0,06 hy Acfa 206002 h, 0 LM 913=015 d,.40 0:20 h, 30 h, 20 Com v = 0,59 e utilizando o ábaco A-66 de PINHEIRO (1994) para flexão composta oblíqua, a taxa de armadura resulta q = 0,20. A armadura é: Ag 02060020 A Ohio Lts? Ea So 115 16. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS 16.1 RELAÇÃO ENTRE A DIMENSÃO MÍNIMA E O COEFICIENTE DE SEGURANÇA Os pilares com forma retangular são diferenciados dos pilares-parede em função da relação entre os lados, conforme mostrado na Figura 58. UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 62 h<5b > pilar a h>5b = pilar-parede (Eq. 54) Figura 58 — Classificação dos pilares e pilares-parede. A NBR 6118/03 (item 13.2.3) impõe que “A seção transversal de pilares e pilares-parede maciços, qualquer que seja a sua forma, não devem apresentar dimensão menor que 19 cm.” Em casos especiais, permite-se a consideração de dimensões entre 19 em e 12 cm, desde que as ações a serem consideradas no dimensionamento sejam multiplicadas por um coeficiente adicional Yn , de acordo com o indicado na Tabela 3. “Em qualquer caso, não se permite pilar com seção transversal de área inferior a 360 en?” (12 x 30 em). 16.2 ARMADURA LONGITUDINAL As disposições relativas à armadura longitudinal dos pilares encontram-se no item 18.4.2 da NBR 6118/03 e são descritas a seguir. Tabela 3 — Coeficiente m de majoração das ações. b >19 18 17 16 15 14 13 12 Ya 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 Nota: O coeficiente Yn deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo nos pilares, quando do seu dimensionamento. onde Yn = 1,95 — 0,05 b b=menor dimensão da seção transversal. 16.2.1 Diâmetro Mínimo O diâmetro das barras longitudinais (4,) deve ser: >10 mm dej.d (Eq. 55) <2 8 com b sendo a menor dimensão do pilar. 16.2.2 Distribuição Transversal “As armaduras transversais devem ser dispostas na seção transversal de forma a garantir a adequada resistência do elemento estrutural. Em seções poligonais deve existir pelo menos uma barra em cada vértice; em seções circulares, no mínimo seis barras distribuídas ao longo do perímetro.” O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, fora da região de emendas, deve ser: UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 63 onde: 2em min 24 045 Oreixe » Oya (Eq. 56) 1,2 dás. aoreg 4,= diâmetro da barra longitudinal; Praise = dn = dn; Amáx. agregs = diâmetro máximo do agregado (19 mm para brita 1 e 25 mm para brita 2). “Esses valores se aplicam também às regiões de emendas por transpasse das barras.” O espaçamento máximo entre eixos das barras longitudinais ou do centro de feixes de barras deve obedecer: 2b Emix < 40em (Eq. 57) 16.2.3 Armadura Mínima e Máxima onde: A armadura longitudinal mínima é calculada por (item 17.3.5.3.1): Na Amin = 01554 >0,004A, (Eq. 58) yd Na = força normal de cálculo; fa = resistência de cálculo de início de escoamento do aço; Aç= área da seção transversal (b. h). A armadura longitudinal máxima (item 17.3.5.3.2) é dada por: Ami = 8% A, (Eq. 59) s,máx Na região de emenda a armadura total deve respeitar a armadura máxima. 16.2.4 Detalhamento da Armadura Um exemplo dos arranjos longitudinais típicos das armaduras dos pilares contraventados dos edifícios está mostrado na Figura 59. UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto II — Pilares de Concreto Armado 66 P9 P1o t lo ls p8 ta Pi2 P11 ta Figura 61 — Processo simplificado para determinação da área de influência dos pilares. 18. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL As equações para pré-dimensionamento da seção transversal expostas a seguir servem apenas para pilares de construções de pequeno porte (baixa altura), e aço do tipo CA-50. Edifícios onde a ação do vento origina solicitações significativas devem ter a seção transversal majorada em telação àquelas resultantes deste pré-dimensionamento. a) Pilar Intermediário = Na “0,6fa+0,42 b) Pilares de Extremidade e de Canto = L45Na * 0,6f,+0,42 onde: Aç= área da seção transversal do pilar (cm?); Na = força normal de cálculo (kN); fo = resistência característica do concreto (EN/em?). (Eq. 63) (Eq. 64) UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 67 19. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO DE PILARES DE EDIFÍCIO Nos itens seguintes apresentam-se exemplos práticos do dimensionamento de pilares de edifícios. A Figura 63 mostra a planta de fôrma do pavimento tipo de um edificio baixo, com quatro pavimentos. Por simplicidade, os efeitos do vento não foram considerados. As seguintes informações são conhecidas: concreto C20 (fa = 20 MPa), aço CA-50, Ye = 1,4, Yys= 1,15, Com = 2,0 em, concreto com brita 1, sem brita 2. A largura de todos os pilares foi fixada em 20 cem. Serão dimensionados os lances entre o 1º e o 2º pavimentos, como indicado na Figura 62. A carga normal característica aplicada na base dos lances dos pilares a serem dimensionados está indicada na Tabela 4. Tabela 4 — Carga normal característica nos pilares. Pilar Nk P1 220 P2 500 PS 1.020 P6 480 P8 1.080 Figura 62 - Lance a ser dimensionado. UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 68 500 500 | J V1 (20x40) E E P1 & p2 P3 20/ 20/ 20/ h=1lem 8 & É V2 (20x50) NL Z — + & BIA P4 PS P6 | 20/ 20/ 20/ 5 h=10cm h=10 cm 2 o z V3 (20x50) /) P7 P8 P9 20/ 20/ 20/ o h=10cm h=10cm & 2 2 g 8 & & e 5 > dp N4 (20x40) b H PIO PIL PI2 20/ 500 20/ s00 20/ Figura 63 — Planta de fôrma do pavimento tipo do edifício. UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos A 1309 - Estruturas de Concreto II — Pilares de Concreto Armado As 0,80.1000 20 A- DAcda IM 26,29 cm? Fa So 115 e2) Método do pilar-padrão com rigidez x aproximada Aplicando a Eq. 36 numericamente para a direção x, tem-se: 19200 M2 4 +(3840h N,- 22h Ny -19200 0, My a) Maru — 3840 0, DN4 Ma = O 19200 MZ + (3840. 20.1512- 48,4? .20.1512-19200.1,0.3175) Mara — — 3840.1,0.20.1512.3175=0 19200 Mi y —15677414M q 1 — 3.6869.10" = 0 MZ a —816,53 My sy — 19202400 = 0 A raiz positiva da equação de 2º grau é: Mato = 4.810 KN.cm > Migmin = 3.175 kN.cm Com v = 1,06 e utilizando os ábacos de VENTURINI (1987) para flexão reta: Hm mt o UE 0 017 x Mecced 20.1000— 4 40 ; 50 =0,20 Abaco A-4 (w=0,77) AS 0,77 1000 25 a-LOácia o bi oss30m Fa So L15 f) Detalhamento Armadura mínima (Eq. 58): Na 1512 > Asmin = 0,154 >0,004 A, = Amy = 015-5É=5220m yd ada 115 As=26,29 em” > Asmn > 144 16mm (28,00 em?) A taxa de armadura resulta: A, p=—100= 2800 99 =28 % A 1000 e p=28%< Pmx=4% Conforme o item 1.2.3 a taxa máxima de armadura é 8 %. No entanto, considerando simplificadamente que a armadura do lance superior seja igual a do lance em análise, na região de emenda a armadura será multiplicada por dois, o que leva a taxa máxima de 4 % em cada lance. O diâmetro (dr) e espaçamento (t) dos estribos (Eq. 60 e 61) são: UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado n “0,=5 = 4/4 EN 4, = 5mm 5mm 20 4, =10 em 20 em Smáx <420 em “+ t=19em 126,=12.16=19,2em A distância entre o eixo da barra do canto e a face da barra adjacente é: 50-[2-(2,0+0,5)+7-1,6] 1,6 vE—> > TS + =64em 6 O estribo protege contra a flambagem as barras (até 6) que estiverem dentro da distância 20 dr, como mostrado na Figura 65. Existem, portanto, seis barras não protegidas, o que justifica a colocação de um grampo suplementar, o qual protege as barras adjacentes que encontram-se também dentro da distância 20 «4 para cada lado do grampo. Fo BR “|| 8iS Q Os O O) S o Mm IDO Ea) 4 O Õ eç=6,4 Figura 65 — Detalhamento da armadura na seção transversal. 19.2 PILAR DE EXTREMIDADE P6 Dados: Ny = 480 kN (ex = Ley = 280 em a) Esforços solicitantes A força normal de cálculo é: Na =. yr. Nk=1,0.1,4.480=672 kN. Além da força normal de compressão ocorrem também momentos fletores nos extremos do pilar, que solicitam o pilar na direção x, em função de existir a viga V2 não continua sobre o pilar (Figura 62). Pré-dimensionamento (Eq. 63): UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 3 145:Ny 145-672 =D d = DL -60lcm? 0,6fw +0,42 0,6-2,0+0,42 Pode-se adotar: Aç = 20 x 35 = 700 em? (Figura 66). h=35 mo * y o aq | x ho G Ne Figura 66 — Dimensões da seção transversal. b) Índice de esbeltez 3460. 3,46-280 A. =27] h, 35 3,460 . A, =D 09. 3,46 -280 =48,4 h, 20 c) Excentricidade de 1º ordem e — My com Mxa = momento fletor de ligação entre a viga V2 e o pilar P6, na Na direção x. O momento fletor solicitante na base e no topo do pilar será avaliado pelas Eq. 38 e 39, sendo: L o o pilar Mkint = Mk sup = Mk eng — Tpsup + lviga + Ipint Supondo que a seção transversal do pilar não varia ao longo da sua altura, tem-se: 20-35º I - = pilar 12 3 Ipitar = Ip.sup > Ipinf > ro = 80 =2552 em A rigidez da viga V2, com seção transversal 20 x 50 cm e com vão adotado simplificadamente de centro a centro dos apoios (493 cm), é: “bh? 20.50" Liga 5 2 208.333 cm” I Tviga — o = — = 422,6 cm” “teor Para o momento de engastamento perfeito da viga V2 no pilar P6 será adotada a carga total de 28 kN/m, conforme mostrado na Figura 67. UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto II — Pilares de Concreto Armado Dir. y: 2,1368107! = 2.537 > Miaminy = 1.411,2 kN cm Matoty = 1,0.1411,2+ 672 “.Matoy = 2.537 KN.em Com v = 0,67 e utilizando-se os ábacos de VENTURINI (1987) para flexão reta: Dir. x: no Mame 3257 om he Acta 3570020; O q a =0,11=0,10 Ábaco A-25 (0=0,12) Dir. y: p= Vas 2557 q); h,.Acfa 2070020 d : dy 40 =0,20 Abaco A-4 (w=0,27) h, 20 At 027.700 A, Lheta -—Ê- 6,21 cm” fa A 115 £g) Detalhamento Armadura mínima (Eq. 58): N 2 Amin & 015 200044, > Am 01582. = 2,32> 0,004. 700 = 2,80 em? yd D+ 115 A=621cn? >A > 8410mm=6,40 em A taxa de armadura resulta: A, 6,40 =—€100=—100 = 0,91 % < pmáx= 4% a. 700 25 Prá dA O diâmetro e o espaçamento dos estribos são: 4,/4 =. 0, = 5mm > > Smm 20 4, =10 em 20 em Smáx <420 em “+ t=12em 124,=12.10=12em A distância entre o eixo da barra do canto e a próxima barra é: UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos ma 1309 - Estruturas de Concreto II — Pilares de Concreto Armado . 35 brzo+os)ra:1e), 0. 92em h 3 en 204, ! "9,2" 10,0 Figura 69 — Detalhamento da armadura na seção transversal. 19.3 PILAR DE EXTREMIDADE P5 Dados: Nk = 1.020 kN l (ey = 280 em lex = ly a) Esforços solicitantes A força normal de cálculo é: Na =. yr. Nk=1,0.1,4. 1020 = 1.428 kN. Além da força normal de compressão ocorrem também momentos fletores nos extremos do pilar, que solicitam o pilar na direção y, em função de existir a viga V6 não continua sobre o pilar (Figura 62): Pré-dimensionamento (Eq. 63): - L4S-Ng 1451428 mê 0,6f,+0,42 0,6:2,0+0,42 Pode-se adotar: Ac = 20 x 65 = 1.300 em (Figura 70). y Me o AN I x O He he=65 Ny Figura 70 — Dimensões da seção transversal. b) Índice de esbeltez 3460. 3,46-280 h, 65 x =149 dx UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 78 3461 3,46-280 y h, A =48,4 c) Excentricidade de 1º Ordem Mya ey = y com Mya = momento fletor de ligação entre a viga V6 e o pilar P5, na a direção y. O momento fletor solicitante na base e no topo do pilar será avaliado pelas Eq. 38 e 39, sendo: L o o pilar Mint =Myp = Mk eng —— To up HIviga + Ipint Supondo que a seção transversal do pilar não varia ao longo da sua altura, tem-se: 65-20º I - - pilar o 12 3 Ipitar = Ip.sup > Ipinf > ro = 80 =1548em Rigidez da viga V6 com seção transversal 20 x 50 cm e com o vão adotado simplificadamente de centro a centro dos apoios (535 cm): — dy? 20-50? Liga 5 =208.333cm” Toa 208333 Vin 535 “teor = 389,4 cm” Para o momento de engastamento perfeito da viga V6 no pilar P5 será adotada a carga total de 35 kN/m, conforme mostrado na Figura 71. 35 kN/m ANN « «q P8 Ps 535 em Figura 71 — Esquema estático e carregamento no vão da viga adjacente ao pilar. O momento de engastamento perfeito no pilar P5 é: qu? 35.5,35? M..= =D Dr es 12 12 = 83,48kN.m= 8.348 kN.cm Os momentos fletores na base e no topo do lance do pilar resultam: 1548 My = My ap =8348-——— É =1.848,7 kN.em kinf sup 154,8+389,4+1548 UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 81 p=Se100 DB 10O = 0,86 Yo < Prix = 4% c O diâmetro e o espaçamento (t) dos estribos são: 4,/4 =. 0, = 5mm > > Smm 20 4, =10 em 20 cm Smáx <420 em “+ t=12em 124,=12.10=12em O espaçamento entre as barras é: 65- [2:(2.0+0,5)+7:10] | LO e =93cm r 6 2 “h 7 9,3 x . . “ . “ o a ] = . . . . e 204 710,07 h,=65 Figura 73 — Detalhamento da armadura na seção transversal. 19.4 PILAR DE EXTREMIDADE P2 Dados: Nk = 500 kN (ex = Ley = 280 em a) Esforços solicitantes A força normal de cálculo é: N4=Yn . Ys. Nk = 1,0. 1,4. 500 = 700 kN. Além da força normal de compressão ocorrem também momentos fletores nos extremos do pilar, que solicitam o pilar na direção y, em função do carregamento oriundo da viga VI não ser aplicado no C.G. do pilar (Figura 62): Pré-dimensionamento (Eq. 63): CC ASNy 1,45:700 c— =" =627 em? 0,6fw +0,42 0,6-2,0+0,42 Pode-se adotar: Aç = 20 x 35 = 700 em? (Figura 74). UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 82 h,=35 E + hç=20 Figura 74 — Dimensões da seção transversal. b) Índice de esbeltez f . 1, 346 - 346:280 494 h, 20 3,460 . 1, o 346:280 h 35 y c) Excentricidade de 1º ordem No dimensionamento do pilar P2 deve ser considerada a excentricidade de 1º ordem de origem geométrica, pois o ponto de aplicação da carga da viga Vl encontra-se fora do centro de gravidade da seção do pilar, como pode-se notar na Figura 75. Essa excentricidade inicial geométrica deve ser considerada porque não há viga na direção vertical, que poderia proporcionar um apoio ao pilar. A laje não tem a rigidez necessária para travar o pilar. y vi t Na < N aq ey 75 cG 15 P2 20 Figura 75 — Excentricidade inicial de 1º ordem no pilar P2. Da Figura 75 tem-se a excentricidade de 1º ordem no pilar: e; = 7,5 cm. O momento de 1º ordem é (Figura 76): Migy = Na. &1y = 700 . 7,5 = 5.250 EN. em UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 83 N N E Monee s2so Figura 76 — Momentos fletores de 1º ordem de cálculo no pilar (kN.cm) na direção y. d) Momento fletor mínimo Miamin= Na (L,5 + 0,03 h), com h em cm. O momento fletor minimo, em cada direção é: Dir. x: Miamns= 700 (1,5 + 0,03. 20) = 1.470 KN.cm Dir.y: Miaminy = 700 (1,5 + 0,03. 35) = 1.785 kN.cm e) Esbeltez limite 25 412,5 h M=——— — com 35<A,<90 Gp Dir. x: Na direção x não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1º ordem, portanto, ex = 0 e ap = 1,0. Assim: 25 412,58. -—— WO Ma = =25>35 > 2 Ms=35 LO Dir. y: A excentricidade de 1º ordem e; na direção y é 7,50 cm. Os momentos fletores de 1º ordem na direção y são Muay = - MiaBy = 5.250 KN.cm, maiores que o momento fletor mínimo nesta direção, o que leva ao cálculo de op: a, =0,6+ 0,4MB -0,6+0,4 (65250) 0,2>0,4 -.w=0,4 MA 5250 25 12,550 My=——— 5 =69,2>35 > My=692 ” 0,4 Desse modo: Ax=48,4>Msx -. são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; NW=211<My -. não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y. UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto II — Pilares de Concreto Armado 86 g1) Armadura longitudinal composta por 10 4 10 mm Taxa de armadura: A 8,00 p= "(5100 = 55 100=L14 % < pose=4% c O diâmetro e o espaçamento (t) dos estribos são: “0,=5 (> 4,/4 EN d mm Smm 20 4, =10 em 20 cm Smáx <420 cm “+ t=12 em 124,=12.10=12em O espaçamento entre as barras é (Figura 78): =3,7 em e du [o-t2o +05) 4:10] 10 3 O espaçamento mínimo entre as barras é: 2em Shamin 240, =1,0 em “. Enmin—2,3 em 12d, =12-19=2,3em 'máx. agreg 3,7 hy-35 & o [e oc. .| o, S a + Figura 78 — Detalhamento da armadura na seção transversal para 10 9 10 mm. 19.5 PILAR DE CANTO P1 Dados: Nk = 220 kN (ex = Ley = 280 em UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 87 a) Esforços solicitantes A força normal de cálculo é: Ng =. Ys. Ne = 1,0.1,4.220=308 kN. Além da força normal de compressão ocorrem também momentos fletores nos extremos do pilar, que solicitam o pilar nas direções x e y, em função de existirem as vigas Vl e V5 não continuas sobre o pilar (Figura 62): Pré-dimensionamento (Eq. 63): CC 1AS.N, 145.308 c— =" =976cem? 0,6fw +0,42 0,6-2,0+0,42 Pode-se adotar: A, = 20 x 30 = 600 cm? (Figura 79). y h,= 20 e hç=30 p—— dE 4 Figura 79 — Dimensões da seção transversal. b) Índice de esbeltez — 3,46 Cx — 3,46-280 A, =323 a, 3,460 . 1 o 346:280 4 h 20 y c) Excentricidades de 1º ordem Direção x: M a ex= com Mxa = momento fletor de ligação entre a viga Vl e o pilar Pl, na a direção x. O momento fletor solicitante na base e no topo do pilar será avaliado pelas Eq. 38 e 39, sendo: L o o pilar Mint =Myp = Mk eng —— To up HIviga + Ipint Supondo que a seção transversal do pilar não varia ao longo da sua altura, tem-se: 20-30º I = = a 3 Ipitar = Ipsup > Ipjinf > o = 280 = 160,7 em UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 88 Rigidez da viga Vl com seção transversal 20 x 40 cm e com o vão adotado simplificadamente de centro a centro dos apoios (495 cm): pow «hP 20-40? im =106.667 em” Liga 106667 ia 495 “teor =2155em* Para o momento de engastamento perfeito da viga V1 no pilar Pl será adotada a carga total de 21 kN/m, conforme mostrado na Figura 80. 21 kNim A , Z ú P1 p2” y 495 cm / Figura 80 — Esquema estático e carregamento no vão da viga adjacente ao pilar. O momento de engastamento perfeito no pilar P1 é: ql - 21.4,95? Mas = = 42,88kN.m = 4.288 KN.em Os momentos fletores na base e no topo do lance do pilar resultam: 160,7 > = 1.283 kN.em 160,7+215,5+160,7 Mint = Mk up = 4288 Considerando a propagação dos momentos fletores no pilar, os momentos fletores de cálculo totais, na base e no topo, são: Maiopo =— Mapase = L4 (12038) = 2.695 kN.em 2695 ex=———=8,75em =" 308 Direção y: M ey o com Mya = momento fletor de ligação entre a viga V5 e o pilar Pl, na a direção y. Supondo que a seção transversal do pilar não varia ao longo da sua altura, tem-se: UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 91 Desse modo: Mx =32,3<Msx -. não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; Ny=484<My -. não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y. f) Momento total solicitante e cálculo da armadura Como não existem excentricidades de 2º ordem o momento total é igual ao máximo momento de 1º ordem, ou seja: Dir. x: Muatotx = Mid ax = 2.695 KN.cm > Migminx = 739,2 KN.cm Dir. y: Masoty = Mia ay = 1.183 EN.cm > Miaminy = 646,8 kN.cm Força normal adimensional (Eq. 19): Na 308 “acto 20 O e cd 600 L4 Coeficientes adimensionais de flexão considerando a flexão obliqua (Eq. 51 e 52): mo Mame 2695 93) Mo Acfa 39,600.20 O Maas 0 IB gm E UE 207 O y Aefa 20.600. a 20 -0,13=0,5 “40 020 30 h, 20 Com v = 0,36 e utilizando o ábaco A-67 de PINHEIRO para flexão composta oblíqua, a taxa de armadura resulta da interpolação entre v = 0,20 e v = 0,40: - para v=0,20 > wo =0,20 - para v=0,40 > mv=0,15 -para v=0,36 > mv=0,16 A armadura resulta: As O16. 600.22. A,= Lhe ta -— 315 em? fa D+ LIS £g) Detalhamento Armadura mínima (Eq. 58): UNESP (Bauru/SP) — Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1309 - Estruturas de Concreto Il - Pilares de Concreto Armado 92 Asmin = 015 Na 20,004 A > Amã 0155 =1,06> 0,004. 600 = 2,40 cm? yd + 115 As=3,15 em? > Asma > 4410mm(3,20 cm), Figura 83. A taxa de armadura resulta: p=S100-&PB100 - 0,53 Yo < Pás = 4% c O diâmetro e o espaçamento dos estribos são: “0,=5 = 4/4 EN 4, = 5mm 5mm 20 4, =10 em 20 em Smáx <420 em “+ t=12em 124,=12.10=12cm h,=20 h.=30 x Figura 83 — Detalhamento da armadura na seção transversal. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. Building code requirements for structural concrete, ACI 318 R-95. Farmington Hills, 1995, 369p. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto — Procedimento, NBR 6118. Rio de Janeiro, ABNT, 2003, 170p. COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. CEB-FIP Model Code 1990: final draft. 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