operações aritmeticas, Notas de estudo de Matemática

Baixe operações aritmeticas e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! 1 Universidade Estadual do Ceará- UECE Faculdade de Educação, Ciências e Letras do Sertão Central Curso: Licenciatura plena em Matemática OPERAÇÕES ARITMÉTICAS DAS ANTIGAS CIVILIZAÇÕES Aluno: Vitor Araújo Damascena. Orientado:Antonio Grangeiro Filho Quixadá-CE, 05 de Agosto de 2010. 2 Índice Sistema posicional.....................................................................................3 Operação aritmética (multiplicação) hindu.................................................6 Operação aritmética (Divisão) suméria......................................................13 Operação aritmética (Adição, subtração, multiplicação e Divisão) egípcia.18 5 animais tendo então sido contados, desfazia-se o colar das dezenas e enfiava se uma concha numa correia vermelha , reservada desta vez para às centenas.E assim sucessivamente até o final da contagem. Nos dias atuais podemos ver um exemplo pratico de base no hôdometro dos veículos. Constituído por seis retângulos cujo primeiro é o do quilometro, segundo hectômetro, terceiro decâmetro, quarto metro, quinto decímetro por ultimo o centímetro da esquerda para a direita. Funciona da seguinte forma a cada 10 centímetro rodado o ultimo retângulo zera e aumenta 1 no quinto retângulo quando chega a 10 decímetro, zera e aumenta uma casa 1 no quarto retângulo e assim sucessivamente. Portanto nosso sistema de numeração usamos os símbolos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 para representar quantidades de elementos (os grupos de varias ordens )que não são equivalentes aos dedos da mão e a ordem de cada símbolo da esquerda para direita indica a ordem do grupo começando dos elementos não agrupados por justa posição. O que significa, por exemplo, a quantidade 142328? Significa 1 grupo de quinta ordem, 4 grupo de quarta ordem, 2 grupos de terceira ordem, 3 grupos de segunda ordem, 2 grupos de primeira ordem e 8 não agrupados. Exemplos: 365- 5 não agrupados, 6 grupos de ordem 1,3 grupos de ordem 2. 2356- 6 não agrupados, 5 grupos de ordem 1,3 grupos de ordem 2, 2 grupos de ordem 3 Adição Adicionar significa juntar. Então adicionar dois números (ou quantidades) a resultante é dito soma. Vamos simbolizar adição pelo símbolo alemão (+) criado em 489 d.C. Para os exemplos a seguir utilizaremos os desenhos I para as unidades, para o grupo de 1° ordem , para os grupo de 2° ordem e para os grupos de 3º ordem. Exemplos: 6 Para facilitar mais ainda foi criado o algoritmo Para somar grupos de mesma ordem basta colocar um abaixo do outro.E após a soma deve-se fazer as transformação. Temos então 478+897=(4+8) grupos de 2° ordem,(7+4)grupos de 1º ordem , (8+7) unidades. Como nosso sistema de numeração é de base 10 para cada grupo de 10 em cada ordem cancela se 10 da ordem inferior e aumenta uma ordem na superior. (4+8) grupos de 2° ordem, (7+9) grupos de 1° ordem, (8+7) unidades. (12) grupos de 2° ordem, (16) grupos de 1° ordem, (15) unidades. (12) grupos de 2° ordem, (17) grupos de 1° ordem, (5) unidades. (13) grupos de 2° ordem, (7) grupos de 1° ordem, (5) unidades. Temos então: 13 grupos de 2° ordem, 7 grupos de 1° ordem, 5 unidades Ou de forma simplifica 478+897=(4+8)(7+9)(8+7)=(12)(16)(15)=(12)(17)(5)=(13)(7)(5)=(1)(3)(7)(5)=1375 Basta respeitar a ordem dos grupos e soma de grupos de mesma ordem Subtração Subtrair uma quantidade de outra da mesma espécie significa retirar esta quantidade daquela. Subtrair uma quantidade (número) de outra maior. O símbolo utilizado será o (-) criado em1489 na Alemanha. Exemplos 7 Tiramos sempre grupos de mesma ordem.Quando isto não é possível transformamos um grupo de uma ordem em 10 de uma ordem menor. De forma simplificada temos: 643-349=(6)(3)(13)-349=(5)(13)(13)-349=(5-3)(13-9)(13-8)=(2)(9)(4)=245 Para isto basta respeitar a ordem dos grupos e fazer transformações sempre que necessário. Para facilitar as operações subtração isenta de explicações tem-se o algoritimo seguinte: Os fato é que os passos são feitos mentalmente e só o resultado aparece para facilitar ainda mais as operações, em vez de diminuir o grupo superior a esquerda de um número de baixo, quando este é maior que o de cima, aumentando o de baixo que esta a esquerda e mantendo o de cima fixo.Isto é valido pois a diferença não altera e ganhamos velocidade na operação.Isto é feita mentalmente. Temos então: 10 1746 por 9 Observe que 1746=17 grupos de ordem 2,4 grupos de ordem 1 e 6 unidades. Dividindo os 17 grupos para 9 dá um grupo de ordem 2 para cada e sobra 8 grupos de ordem 2 ,transformaremos estes 8 grupos em 80 grupos de ordem 1.Como tínhamos 4 grupos de ordem 1 temos agora 84 grupos de ordem 1.Dividindo pra 9 cada um ganhará 9 grupos de ordem 1 e sobra 3 grupos de ordem 1.Transformando 3 grupos de ordem 1 em 30 grupos de ordem 0 teremos 36 unidades no total.Dividindo os 36 grupos de ordem 0 por 9 tem-se 4 grupos de ordem0.Somando cada resultado parcial obtemos o resultado final:100+90+4=194 Como dividir números maiores para compreender melhor tomemos o exemplo dividir 1746 por 9.Poderíamos dizer que este resultado é 194 pois 9x194=1746, mas teríamos que saber deste fato e estaríamos sempre dependente da multiplicação.Vejamos agora como fazermos: Vemos que não é necessário neste algoritmo preocupar-se com a ordem dos algarismos do resultado, pois destes estará perfeitamente definida pela ordem do algarismo das unidades , o ultimo a ser colocado.A ordem seguida deve ser obedecida já que o sistema é posicional.Quando não for possível dividir pelo fato do numero ser menor que o divisor, deve ser colocado um zero no quociente para guarda posição .Desta forma o algoritmo faz todos os passos que fizemos de forma simplificada e eficiente. 11 Hindus (século VI) A multiplicação hindu era operada através de um procedimento denominado “por quadriculagem ou per gelosia”. Os hindus utilizavam os seguintes símbolos numéricos; Para maior compreensão utilizaremos aqui os nossos símbolos numéricos Multiplicaremos 24 por 12 através do método hindu: Como o multiplicador tem dois algarismos e o multiplicador dois também, desenha- se um quadro retângulo de duas colunas e duas linhas e escrever os números da seguinte forma no quadro retângulo. Divide cada casa do quadrado em duas meias, traçando na diagonal. Depois se escrever em cada casa o produto dos dois números colocados no alto da linha e da coluna correspondente. Escreve-se o algarismo de sua dezena na meia casa inferior e o de suas unidades na meia casa superior direita.Se falta um destas ordens de unidades, basta colocar um zero na meia casa correspondente. No primeiro quadrado de cima á direita ,escreve-se então o resultado da multiplicação de 4 por 2 ou seja 8 colocando o 0 na meia casa da esquerda e o 8 na da sua direita. E assim por diante: Somam-se depois os algarismo de cada diagonal , começando por aquela que é formada pelo algarismo 8 no alto e a direita do quadro Em seguida procede-se por diagonal partindo da direita para a esquerda e de cima para baixo. Se preciso ,guarda-se o resto de uma diagonal para a seguinte , obtendo-se assim, no exterior do quadro, um em seguida do outro, todos os algarismo do produto 12 final.A leitura do resultado é feita sem hesitação, da esquerda para a direita.Aqui, 288: Exemplos: 5225x128= 15 E por ultimo, resta-lhes converte esta bolinha em 10 pequenos cones com valor de unidades, e subtrair 7 por 10, para acabar a operação: Ao final da desta sexta divisão parcial, a ultima pessoa atingida pela operação recebeu sua parte sendo o quociente correspondente igual a 1) , sobraram 3 sílas de cevada , que não foi mais possivel distribuir.Concretamente , o número procurado foi obtido guardando 4 esfera perfurada na na primeira divisão parcial, 5 esferas na segunda, 4 cones perfurados na terceira,3 cones na quarta, 5 bolinhas na quinta e um pequeno cone na ultima.Tendo como resultado final. O quociente final da divisão (isto é, o número total de pessoas da divisão tendo recebido 7 síla de cevada a parti de 115200 síla) foi obtido somando sucessivamente : - os 4x36000 encontrados na primeira etapa; -os 5x3600 encontrados na segunda; -os 4x600 encontrados na terceira; -os 2x60 encontrados na quarta; -os 5x10 encontrados na quinta -1 na ultima com resto 3 Exemplos: 16 Dividir 324000 por 70 90X3600 são 9 esferas. Converte esse resto em múltiplo de 600 (ordem de unidade imediatamente inferior no sistema sumério), Equivale a 120 cones furados ,depois repartimos em grupos de 70. Converte esse resto em múltiplo de 60 (ordem de unidade imediatamente inferior no sistema sumério), Equivale a 500 cones, depois repartimos em grupos de 70. Converte esse resto em múltiplo de 1 (ordem de unidade imediatamente inferior no sistema sumério), Equivale a 600 cones pequenos, depois repartimos em grupos de 70. 17 O número de grupos de 7 pequenos cones que resulta da quinta divisão é igual a 8 (quociente) e restam 40 pequenos cones. O quociente final obtém-se fazendo a adição dos quocientes obtidos nas várias divisões, com efeito: 1×3600+1x600+7×60+8x1=4628 (quociente da divisão de 324000 por 70) Resultado final 20 1580/10=158 Substituindo cada símbolo pelo de ordem inferior, pois se trata do décimo do símbolo temos então. Mas para a multiplicação ou a divisão de outros números eles procedem de outra forma: sabendo apenas multiplicar ou dividir diretamente por 2, eles geralmente fazem para tanto duplicações sucessivas, isto é, séries de multiplicações por 2. Tomemos 128 multiplicado por 12 para resolver esta questão os egípcios procedem da seguinte maneira: 21 Com este algarismo hieróglifos, ele inscreve o multiplicador 12 na coluna da direita e o número 1 em frente, na coluna da esquerda. Depois duplica sucessivamente cada um dos dois números, até o momento em que o multiplicando 128 aparece na coluna da esquerda. O número 1536, que corresponde a 128 na coluna da esquerda, constitui então o resultado desta operação; 128 x 12=1536. Temos, agora, 84 multiplicado por 15 para resolver esta questão os egípcios procedem da seguinte maneira: 22 Como o multiplicando 84 não aparece desta vez na coluna da esquerda, ele prossegue a duplicação até obter o maior número contido neste multiplicando. No número 64, Pará na coluna da esquerda, procurando nela os números cujo o total seja igual a 84.Em seguida, marca com um pequeno traço esses números (aqui os números 64, 16 e 4) e, com uma barra oblíqua, os números correspondentes na coluna da direita (isto é,960, 240, 60). A somar os números marcados com traço obliquo, obtemos o seguinte resultado; 84 x 15=960+240+60=1260