Livro de Pré Cáculo Vol.1, Manuais, Projetos, Pesquisas de Física

Baixe Livro de Pré Cáculo Vol.1 e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Física, somente na Docsity! Sumário Aula 1 – Números naturais e inteiros . . . . . . . . . . . . . . . 9 Aula 2 – Números racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Aula 3 – Números irracionais - enfoque geométrico . . . . . . . . 41 Aula 4 – Números reais – representação decimal . . . . . . . . . . 55 Aula 5 – Números reais: potências, radicais e expressões numéricas 71 Aula 6 – Números reais: relação de ordem, intervalos e inequações 85 Aula 7 – Módulo de um número real, distribuição de números na reta e inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Aula 8 – Sistemas de coordenadas em um plano . . . . . . . . . . 125 Aula 9 – Distância entre pontos do plano euclidiano . . . . . . . 145 Aula 10 – Equação da reta e inclinação . . . . . . . . . . . . . . 153 Aula 11 – Equação da reta e inclinação – continuação . . . . . . 175 Aula 12 – Mudanças de coordenadas e equações quadráticas . . . 187 Aula 13 – Equações quadráticas – continuação . . . . . . . . . . 201 Aula 14 – Inequações lineares e quadráticas . . . . . . . . . . . . 211 Aula 15 – Coletânea de exerćıcios programados . . . . . . . . . . 219 1 Prezado aluno e aluna. A você que inicia hoje o estudo da disciplina Pré-cálculo, trago as boas vindas e o desejo de que possamos juntos fazer uma feliz e produtiva cami- nhada. Este é o primeiro módulo desta disciplina, que possui dois outros módulos, cada um deles contendo dez aulas e, como o próprio nome revela, uma in- trodução ao cálculo. O Cálculo Diferencial e Integral é um dos principais pilares da proposta do conteúdo espećıfico de nosso Curso de Licenciatura em Matemática. E para dar conta desta tarefa teremos ainda mais quatro outras disciplinas, cobrindo os conteúdos essenciais desta importante área da Matemática. Creio que é útil pontuar este ińıcio com algumas reflexões sobre as idéias que orientam em geral a Matemática e em particular a proposta desta disciplina. De um lado, Matemática é um jogo lúdico e, por excelência, a arte de resolver problemas, e este é o oxigênio que vitaliza, desde sempre, sua permanente evolução. No ato de aprender Matemática não existe receita para galgar o entendimento, a não ser no exerćıcio das ferramentas. Como um paciente escultor, que, com seu formão, conquista da madeira bruta a bela obra de arte, resolver problemas em Matemática é a via prazerosa de firmar conceitos e descobrir recônditas belezas. Num estudo introdutório ao cálculo, a visualização geométrica é es- pecialmente importante. Em todo o desenvolvimento deste módulo é forte o apelo à visualização, seja através da representação dos números reais na reta, da expressao do piano através de coordenadas ou na visualização de re- tas, semi-retas, hiperplanos e alguns conjuntos especiais do espaço definidos através de equações e inequações. Creio que é uma direção adequada para colocar a visão intuitiva que temos do espaço a favor do entendimento dos conceitos fundamentais, que fazem parte desta etapa inicial. Desejo a você uma feliz caminhada, e que seu esforço o recompense! Celso Costa Números naturais e inteiros A consideração e compreensão do infinito é um grande salto de abstração, só posśıvel pela mente humana! - Quais são as propriedades fundamentais do conjunto N de números naturais? São as propriedades conhecidas como Axiomas de Peano. Dentre elas destacamos duas. A primeira propriedade é a que garante a existência de um primeiro número natural, o número 1. A segunda propriedade garante que todo número natural tem um “sucessor”. O sucessor de 4 é 5, o sucessor de 199 é 200 e, em geral, o sucessor de n é n + 1. Giuseppe Peano 1858-1932 Destacado lógico e matemá- tico italiano, com contri- buições importantes em Fun- damentos da Aritmética e da Geometria. Para saber mais sobre Peano e seus axiomas, consulte: http://users.hotlink.com.br/ marielli/matematica/ geniomat/peano.html Números inteiros Os números naturais são úteis para resolver problemas de contagem, no entanto insuficientes para solucionar problemas do dia-a-dia, como perda, prejúızo etc ... No fim do mês passado, dia 28, recebi uma terŕıvel not́ıcia ao pedir, no banco, o extrato de minha conta corrente num terminal eletrônico. Os valores impressos em tinta vermelha (advertência!) sentenciavam Saldo atual: −305, 00. E é isto. Convencionamos para representar, por exemplo, a perda de 2 ove- lhas em colocar o sinal “−” antes do número. Assim, −2 expressaria esta perda. Do mesmo modo, meu saldo de −305, 00 no dia 28, expunha minha desagradável condição de devedor junto ao banco. Incorporando aos números naturais, os números negativos e o número zero, chegamos ao conjunto dos números inteiros, Z = {. . . ,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .} . Os números naturais também são chamados de inteiros positivos. Note que como conjuntos, N ⊂ Z . Adição e multiplicação de números inteiros No conjunto Z temos as operações fundamentais de adição e multi- plicação. Estas operações permitem construir novos números a partir de pares de números dados, e são essenciais para o processo de contagem. Os negativos de números naturais inicialmente não eram considerados números de verdade. Entretanto eles mostraram indispensáveis aos cálculos práticos, e ga- nharam direito de integrarem o universo dos números. Uma reação muito interes- sante contra os números ne- gativos tinha a seguinte argu- mentação: se −1 < 1, então por que −1 1 = 1 −1 ? O absurdo apontado pelos incrédulos dos números ne- gativos era a igualdade das frações acima. Como isto pode acontecer se a pri- meira fração tem o nume- rador menor que o denomi- nador enquanto na segunda fração ocorre justamente o contrário! CEDERJ 10 Números naturais e inteiros MÓDULO 1 - AULA 1 As propriedades fundamentais da adição (representada por +) e da multiplicação (representada por × ou por ·) de números inteiros são as se- guintes: Para números inteiros quaisquer a, b e c: a) propriedade comutativa: a + b = b + a e a · b = b · a b) propriedade associativa: (a + b) + c = a + (b + c) e (a · b) · c = a · (b · c) c) propriedade distributiva: (a + b) · c = a · c + b · c d) o número 1 desempenha o papel de unidade na multiplicação: a · 1 = 1 · a = a e) o número zero é neutro na adição: a + 0 = 0 + a = a . O simétrico de um número inteiro Um número inteiro m é simétrico de um número n se m + n = 0 . Note que m ser simétrico de n, é equivalente a n ser simétrico de m. De fato, m + n = 0 é equivalente a n + m = 0. Observe ainda que sendo m simétrico de n então m = −n. Exemplo 1.1 1. −5 é simétrico de 5, pois −5 + 5 = 0. 2. 5 é simétrico de (−5), pois 5 = −(−5). 11 CEDERJ Números naturais e inteiros 3. de modo geral −n é o simétrico de n ( e n é o simétrico de −n ). 4. O produto de qualquer número inteiro por (−1) é igual ao simétrico do número −1(a) = −a = a(−1) . Exemplo 1.2 Simplifique a expressão 5x(−y) + y(−x), onde x e y representam inteiros quaisquer. Subtrair o inteiro n do inteiro m se escreve m − n; equivale a somar m ao simétrico de n. Assim, m − n = m + (−n). Solução: 5x(−y) + y(−x) = −5xy − yx = −5xy − xy = −6xy Representação de Z sobre uma reta É muito útil representar os números inteiros sobre uma reta orientada. Escolha uma reta no plano e sobre ela marque dois pontos, o ponto O e o ponto I. Vamos associar aos pontos O e I, respectivamente, os números 0 (zero) e 1. 0 O 1 I Figura 1.1: O segmento unidade. O segmento de reta cujos extremos são os pontos O e I é denominado “segmento unidade”. Com este segmento como padrão, definimos a posição de todos os números inteiros sobre a reta! O segmento OI estabelece dois sentidos de percurso sobre a reta: o que vai de O para I e o que vai de I para O. Escolhemos um desses sentidos como sendo o positivo e o outro como o negativo. A convenção que predomina universalmente é a de escolher como sentido positivo o que vai de O para I. Também é uma convenção universal escolher o ponto I à direita de O, como na Figura 1.1. A partir do ponto 0 (zero), e seguindo no sentido positivo da reta, vamos justapondo sucessivamente o segmento unidade de modo a relacionar cada número natural com um único ponto da reta. Esta construção é feita de tal modo que o segmento de reta cujos extremos são um número natural n CEDERJ 12 Números naturais e inteiros MÓDULO 1 - AULA 1 Propriedades operacionais para a soma e multiplicação Veja as propriedades operacionais para a soma e multiplicação de números inteiros, popularmente denominadas “regras de sinais”. Para adicionar números inteiros de mesmo sinal, adicione seus valores abso- lutos, e dê ao resultado o mesmo sinal das parcelas. Exemplo 1.4 Calcule a soma −6 + (−43) Ambas as parcelas são números negativos. Logo a soma resultará um número negativo cujo valor absoluto é a soma dos valores absolutos das par- celas. −6 + (−43) = −6 − 43 = −(6 + 43) = −49 Para adicionar números inteiros de sinais diferentes, subtraia o menor valor absoluto do maior. Dê ao resultado o mesmo sinal do inteiro de maior valor absoluto. Exemplo 1.5 Calcule a soma −63 + 43 Temos a adição de um número negativo com um número positivo. O número negativo tem maior valor absoluto. Portanto a soma será um número negativo, cujo valor absoluto é a diferença entre o maior e o menor valor absoluto. −63 + 43 = −(63 − 43) = −20 O produto de dois inteiros que têm sinais diferentes é um número negativo cujo valor absoluto é obtido pelo produto do valor absoluto dos números. Exemplo 1.6 Calcule (−63) · 43 (−63) · 43 = −(63 · 43) = −2709 15 CEDERJ Números naturais e inteiros O produto de dois inteiros de mesmo sinal é um número positivo, cujo valor absoluto é obtido pelo produto dos valores absolutos dos números. Exemplo 1.7 Calcule (−3) · (−4) (−3) · (−4) = +(3 · 4) = +12 = 12 Atividade 1.2: Hierarquia das operações aritméticas: Observe os exemplos a) e b): a) 9 − 2 × 3 × 9 − 2 × 3 Solução As multiplicações sempre devem ser efetuadas antes das adições ou subtrações, a menos que a expressão contenha parênteses, chaves, colchetes, etc... que subvertam essa hierarquia. Expressões numéricas que envolvam apenas adições ou subtrações, po- dem ser calculadas de acordo com a ordem em que as operações vão surgindo. Portanto 9 − 2 × 3 × 9 − 2 × 3 = 9 − 54 − 6 = 9 − 60 = −51 b) (9 − 2 × 3) × (9 − 2 × 3) Solução Agora devemos efetuar primeiro as operações entre parênteses 9 − 2 × 3 = 9 − 6 = 3 Assim (9 − 2 × 3) × (9 − 2 × 3) = 3 × 3 = 9 Note que os exemplos a) e b) contêm os mesmos números e as mes- mas operações. Todavia as respostas são completamente diferentes, devido à presença de parênteses. CEDERJ 16 Números naturais e inteiros MÓDULO 1 - AULA 1 c) Calcule você mesmo: i) 3 × 5 − 2 × 4 + 3 − 1 Resposta: ii) 3 × {5 − 2 × [4 + 3 − 1]} Resposta: iii) Você obteve o mesmo resultado nos dois itens acima? Resposta: Múltiplos e divisores Definição 1.1 (Múltiplos de um número inteiro) Dado um número inteiro n, os múltiplos de n são aqueles números obtidos pelo produto de n por um número inteiro arbitrário. Representamos por M(n) o conjunto de todos os números inteiros múltiplos de n. Exemplo 1.8 a) M(2) = {. . . ,−6,−4,−2, 0, 2, 4, 6, 8, . . .} é o conjunto dos múltiplos do número 2. b) M(0) = {0}. De fato, como 0 = 0 × m, para qualquer número inteiro m, então 0 é o único múltiplo de 0. c) M(−3) = M(3) = {. . . ,−9,−6,−3, 0, 3, 6, 9, . . .} Nota: Veja o que ocorreu nos três exemplos anteriores: o zero aparece em todos os conjuntos. De fato, o número 0 (zero) é múltiplo de qualquer número inteiro n. Pois 0 = 0 × n. Em śımbolos podemos então escrever, 0 ∈ M(n), para qualquer n . Atividade 1.3 a) Escreva dois conjuntos contendo, respectivamente, os sete primeiros múltiplos positivos de 5 e de 7. b) Identifique o menor número comum aos dois conjuntos do item anterior. 17 CEDERJ Números naturais e inteiros O algoritmo de Euclides Vamos tratar a questão da divisibilidade do ponto de vista geométrico. Isto será muito útil mais tarde. Vamos começar com um exemplo. Considere os números inteiros 17 e 3. Queremos dividir 17 por 3. Tomando os primeiros múltiplos positivos de 3 encontramos 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, . . . . Na seqüência anterior, identificamos o número 15 como o último número que é menor que 17. O próximo número, 18, já supera 17. Euclides ± 325 / ± 265 a.C. Quase nada se sabe sobre a vida deste notável matemático grego. O que se costuma afirmar é que Euclides fundou uma escola de Matemática em Alexandria e, do conhecimento acumulado à época, escreveu “Os Elementos”. Para saber mais, acesse: http://www.numaboa.com.br/ criptologia/historia/euclides.php Escrevemos 17 = 3 · 5 + 2 ou 17 3 2 5 Na expressão anterior, 17 é o dividendo, 3 é o divisor, 5 é o quociente e 2 é o resto. Preste atenção na relação existente entre o divisor e o resto, 0 ≤ 2 < 3. O resto é maior ou igual a zero e inferior ao divisor. Vamos a outro exemplo. Dividir o número −18 pelo número 7. Repeti- mos o processo anterior, escrevendo em ordem decrescente, da direita para a esquerda, os múltiplos de 7: . . . − 42,−35,−28,−21,−14,−7, 0, 7 . Note que lendo a lista da esquerda para a direita, e portanto na ordem crescente dos números, −21 é o número mais próximo de −18 que é inferior a −18. Escrevemos então −18 = −3 · 7 + 3 ou -18 7 3 -3 Note que comparando o resto 3 com o divisor 7, encontramos que 0 ≤ 3 < 7 . De novo vale: o resto é maior ou igual a zero e menor que 7. Moral da história: Estamos realizando divisões entre números inteiros, onde o divisor é “sempre positivo” e estamos exigindo no processo que o resto seja maior ou CEDERJ 20 Números naturais e inteiros MÓDULO 1 - AULA 1 igual a zero e inferior ao divisor. O fato que o divisor é um número positivo e a propriedade que estamos exigindo sobre o resto define um método de divisão, que chamamos de Divisão Euclidiana. Convido você a olhar geométrica e ludicamente os dois exemplos ante- riores. Afinal, Matemática tem muito de jogo e diversão. Considere as divisões de 17 por 3 e de −18 por 7 e os números inteiros representados sobre uma reta orientada. Imagine dois sapinhos S1 e S2, respectivamente relacionados à primeira e segunda divisão, pulando a partir do zero em direção aos dividendos, com as seguintes caracteŕısticas: Primeiro: S1 salta para a direita em direção ao dividendo 17, com pulos de comprimento 3 que é o divisor, salta 5 vezes que é o quociente caindo no número 15 para ter uma aproximação máxima de 17. Um próximo pulo superaria 17. Isto é, 3 × 5 + 2 = 17. Veja a Figura 1.4. Figura 1.4: Divisão euclidiana I. Segundo: S2 salta para a esquerda em direção ao dividendo −18, com pulos de comprimento 7 que é o divisor, salta 3 vezes até superar pela primeira vez a marca do ponto −18. Como o salto é para a esquerda, o número de pulos é denotado por −3 e é preciso superar −18. Isto é, (−3) · 7 + 3 = −18. Compare com o primeiro caso e examine a Figura 1.5. Figura 1.5: Divisão euclidiana II. Note que neste processo, a diferença entre a posição final dos sapinhos e os pontos de chegada são sempre inferiores ao comprimento do pulo. Esta diferença pode ser nula no caso excepcional em que o sapinho caia exatamente sobre o dividendo. 21 CEDERJ Números naturais e inteiros Atividade 1.6 Realize geometricamente na reta os três exemplos com os dados: a) dividendo 101, divisor 13; b) dividendo −47, divisor 8; c) dividendo −121, divisor 11. Podemos agora olhar de modo geral o problema da divisão. Queremos dividir um número inteiro m por outro número inteiro d > 0. Imagine, desde já estes dois números identificados na reta e um sapinho no ponto zero, disposto à cada pulo vencer um comprimento d, saltando para a esquerda se m < 0, para a direita se m > 0, ou permanecendo imóvel se m = 0. Seja então q o número de saltos que mais aproxima o sapinho de m, aproximação por falta. Veja a Figura 1.6, onde esta representada uma situação onde m < 0. Nesta situação vale m = q · d + r, 0 ≤ r < d . Figura 1.6: Divisão euclidiana III. Baseados nestas discussões é evidente chegar ao importante resultado denominado algoritmo de Euclides. Algoritmo de Euclides Dados m, d ∈ Z, sendo d > 0, podemos escrever m como soma de um múltiplo de d e de um posśıvel resto r menor que d e maior ou igual a zero. Isto é, m = q · d + r . Esta maneira de escrever é única. O número q é o quociente e r é o resto da divisão euclidiana de m por d. Exerćıcios 1) Escreva, se posśıvel, uma expressão mais simples e equivalente à ex- pressão dada, onde a, b, m, x e y são números inteiros. a) 13a + 5a b)21x − 10x c) 3(5m − 14m) d) 3(x + 2y) − 2y e) 4(3x + 2) + (2x + 3) 2) Dois números inteiros a e b são tais que 5ab2 + 2a2b + a2b2 = 99 e 5b + 2a + ab = 3. Calcule o produto desses números. CEDERJ 22 Números racionais MÓDULO 1 - AULA 2 Aula 2 – Números racionais Objetivos • trabalhar com propriedades operatórias do conjunto dos números raci- onais; • recordar a representação dos números racionais na reta numérica; • revisar a representação decimal dos números racionais. Você está numa festa de aniversário e o dono da casa oferece um sabo- roso pedaço de bolo. Em virtude daquele regime que você começou ontem, o pedaço parece exagerado. Você exclama a duras penas: - É muito grande! Por favor, quero apenas um terço deste pedaço de bolo. O que aconteceu? O pedaço de bolo representava uma unidade que lhe era oferecida e você solicita que esta unidade seja dividida em três partes iguais, das quais apenas uma será sua parte. Você deseja uma exata parte, ou uma fração da unidade oferecida. A maneira abstrata de representar esta idéia é escrever 1 3 . Os números racionais surgem para expressar ou medir quantidades onde aparecem envolvidas partes da unidade. Veja na figura a seguir, um bolo de forma retangular dividido, em partes iguais de dois modos diferentes. Em 3 partes e em 9 partes, respectivamente. Figura 2.1: Divisão da unidade. Do ponto de vista da quantidade, uma das partes do bolo dividido na Figura 2.1, à esquerda, representa 1 3 , enquanto que uma das partes na Figura 2.1, à direita, representa 1 9 . Agora é evidente que um pedaço de bolo representado na Figura 2.1, à esquerda, é o mesmo que 3 pedaços de bolo representado na Figura 2.1, à direita. Isto sugere que vale a igualdade 1 3 = 3 9 , e fica evidente que podemos representar de vários modos uma mesma porção da unidade. 25 CEDERJ Números racionais Expressões do tipo m n , onde m e n são números inteiros e n 6= 0, são chamadas frações. O termo acima do traço é o numerador e o termo abaixo do traço é o denominador da fração. Note que 1 3 é igual a 3 9 , pelo simples fato que multiplicamos por 3 o número de divisões da unidade e também multiplicamos por 3 o número das partes que utilizamos para formar a nova fração. Este exemplo permite induzirmos que ao multiplicarmos o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número inteiro não nulo, não alteramos o valor da fração. Isto é, m n = p q , se existe um número inteiro k, não nulo, tal que p = k · m e q = k · n. Igualdade ou equivalência de frações Duas frações m n e p q são equivalentes ou iguais se e somente se mq = pn. Em śımbolos, vale a regra do produto cruzado: m n = p q ⇐⇒ mq = pn . A igualdade de frações enunciada acima pode ser provada do seguinte modo: como n e q são números inteiros não nulos podemos escrever m n = mq nq e p q = pn qn . Veja que os denominadores das frações transformadas agora coincidem. Então, a igualdade entre m n e p q ocorre exatamente e apenas quando os numeradores coincidem. Isto é, mq = pn . Números racionais Nota: Duas frações equivalen- tes representam o mesmo nú- mero racional. Agora podemos introduzir o conjunto Q dos números racionais. Q é o conjunto de todas as frações m n , onde m e n são números inteiros e n 6= 0. Em śımbolos: Q = {m n ; m, n ∈ Z, n 6= 0 } . CEDERJ 26 Números racionais MÓDULO 1 - AULA 2 Soma e produto de números racionais Sejam m n e p r números racionais quaisquer. Então: m n + p r = r · m + n · p n · r e m n · p r = m · p n · r são respectivamente, a soma e o produto dos números racionais. Notas 1) Inclusão de conjuntos Vale a inclusão de conjuntos, Z ⊂ Q. Pois se m ∈ Z, então m = m 1 ∈ Q. Comentário: É muito importante poder considerar Z dentro de Q. Mais importante ainda é o fato que as operações de adição e multiplicação definidos em Q herdam todas as propriedades já enunciadas para as mesmas operações em Z. Reveja estas propriedades na Aula 1. 2) Frações Redut́ıveis e Irredut́ıveis Uma fração m n é irredut́ıvel se não existe nenhum número natural d > 1, que seja divisor de m e divisor de n. Caso contrário, a fração é redut́ıvel. Comentário: m n é uma fração irredut́ıvel se m e n são números primos entre si. Por exemplo, −33 5 é irredut́ıvel e 10 4 é redut́ıvel. 3) Fração Irredut́ıvel com denominador positivo Toda fração redut́ıvel é equivalente a uma fração irredut́ıvel e com de- nominador positivo. Comentário: Para encontrar a fração irredut́ıvel na forma desejada, que seja equivalente a uma fração redut́ıvel dada, basta efetuar as divisões necessárias no denominador e numerador. Se, ao final das divisões, o denominador for negativo, multiplicamos por (−1) o numerador e o denominador, para en- contrar a fração irredut́ıvel com denominador positivo. Veja os dois exemplos a seguir: 120 150 = 12 15 = 4 5 , 81 −126 = 27 −42 = 9 −14 = −9 14 . 27 CEDERJ Números racionais Exemplo 2.2 Você se lembra do bolo da festa? Pois é ... Considere agora o problema de representar o número racional 2 3 que representa a parte do bolo que você não comeu. Este número é uma fração da unidade. Basta dividir a unidade em três partes iguais, e “avançar” duas casas a partir do ponto inicial. Veja a Figura 2.2. Figura 2.2: Representação do número 2 3 . Exemplo 2.3 O mesmo procedimento vale quando queremos representar o número racional r n , onde 0 ≤ r < n. Nesta situação geral, dividimos o segmento que representa a unidade em n partes iguais, e avançamos r casas a partir do ponto inicial. -1 11 n 2 0 I r n ... Figura 2.3: Representação do número r n . Exemplo 2.4 Considere o número racional 153 4 . Usando o algoritmo de Euclides, podemos escrever 153 = 4 × 38 + 1 . Então, 153 4 = 4 × 38 + 1 4 = 4 × 38 4 + 1 4 = 38 + 1 4 . O que fazemos agora? Bom, em primeiro lugar vamos ao intervalo de comprimento 1 da reta determinado pelos pontos correspondentes aos números inteiros 38 e 39. 38 39 IR Figura 2.4: Intervalo unitário. CEDERJ 30 Números racionais MÓDULO 1 - AULA 2 Agora, dividimos o intervalo unitário destacado em quatro partes iguais. Em seguida, a partir do ponto representado pelo número 38 “avançamos” uma casa para encontrar o ponto correspondente ao número procurado. Em destaque, na figura a seguir está indicado o ponto que corresponde ao número 153 4 . 38 39 IR 38+1/4 Figura 2.5: Representação do número 153 4 . Exemplo 2.5 Representar na reta o número racional −127 5 . Pelo algoritmo da divisão de Euclides, 127 = 5 × 25 + 2 . Dáı, −127 = −5 × 25 − 2 . Nota oportuna: Este procedi- mento fornece um caminho para efetuar a divisão euclidi- ana quando o dividendo é um número negativo. Mas não devemos esquecer que o resto na divisão euclidiana é sempre po- sitivo ou nulo. A fim de obter um resto euclidiano, basta subtrair e adicionar o divisor 5. −127 = −5 × 25 − 5 + 5 − 2 = −5 × 26 + 3 = 5 × (−26) + 3 . Portanto, a divisão euclidiana de −127 por 5 resulta um quociente −26 e um resto 3. Prosseguindo, −127 5 = 5 × (−26) + 3 5 = 5 × (−26) 5 + 3 5 = −26 + 3 5 . Portanto, entre os pontos da reta que representam os números −26 e −25, localizamos o ponto que representa o número racional −127 5 . Veja a Figura 2.6. -26 -25-27 -127 5 Figura 2.6: Representação do número −127 5 . 31 CEDERJ Números racionais De modo geral, usando o algoritmo de Euclides podemos concluir que todo número racional m n , com n > 0, se escreve como m n = p + r n , onde p ∈ Z , 0 ≤ r < n . A expressão acima para um número racional permite a representação do número sobre uma reta. Atividade 2.2 Verifique que na Figura 2.7 temos uma boa representação dos números 73 4 , −3 2 e 1 2 . -2 -1 0 1 ... 18 19 -3 2 1 2 73 4 Figura 2.7: Representação de números. Relação de ordem nos números racionais A representação dos números racionais sobre uma reta orientada per- mite estabelecer uma relação de ordem no conjunto Q. Suponha que os números racionais estão representados sobre uma reta horizontal, estando os números negativos à esquerda e os positivos à direita. Definição 2.1 Dizemos que o número racional q = m n é menor que o número racio- nal s = p r se na representação sobre uma reta orientada o ponto que representa q estiver à esquerda do ponto que representa s. Para explorar um pouco mais a relação de ordem, suponha que m n e p r estão escritos de modo que n > 0 e r > 0. Note que m n = m · r n · r e p r = p · n r · n . Olhando os segundos membros das igualdades vemos que os números racio- nais estão expressos com o mesmo denominador. Logo, é posśıvel concluir que m n < p r ⇐⇒ m · r < p · n . CEDERJ 32 Números racionais MÓDULO 1 - AULA 2 De modo geral, uma expressão do tipo m, n1 n2 n3 . . . np , (2.1) onde m é um número inteiro e n1, . . . np são algarismos, é a representação decimal do número racional obtido pela seguinte soma: m, n1 n2 n3 . . . np = m + n1 10 + n2 100 + n3 1000 + . . . + np 10p , se m ≥ 0 e m, n1 n2 n3 . . . np = − ( − m + n1 10 + n2 100 + n3 1000 + . . . + np 10p ) , se m < 0 . Basta efetuar a soma das frações e as simplificações convenientes para encon- trar, nas expressões acima, à direita, o número racional em forma de fração. Neste momento é importante formular uma pergunta: - Todo número racional pode ser expresso em notação decimal? Ou perguntando de outro modo: - Partindo de um número racional m n podemos escrevê-lo na forma m n = a0, a1 a2 . . . ap ? Para encontrar uma resposta, voltemos aos três exemplos trabalhados 312 25 = 12, 48 , 267 1000 = 0, 267 e − 88 25 = −3, 52 . Partindo das frações e usando o algoritmo de Euclides, encontramos 312 25 267 1000 88 25 - 25 12,48 - 2000 0, 267 - 75 3,52 62 6700 130 - 50 - 6000 - 125 120 7000 50 - 100 - 7000 - 50 200 0 0 - 200 0 As contas acima são auto-explicativas e mostram que partindo de frações, o algoritmo euclidiano é a ferramenta para chegar à representação decimal de um número racional. 35 CEDERJ Números racionais Mas, calma lá, não vivemos no melhor dos mundos! E os números 1 3 e 8 33 ? Vamos efetuar a divisão euclidiana para nos surpreender! 10 3 80 33 - 9 0,33 . . . - 66 0,2424 . . . 10 140 - 9 - 132 10 80 ... - 66 140 - 132 80 ... Os resultados da divisão mostram a necessidade de expressar 1 3 e 8 33 através de somas envolvendo infinitas parcelas 1 3 = 0, 333 . . . = 3 10 + 3 100 + . . . + 3 10n + . . . e 8 33 = 0, 2424 . . . = 2 10 + 4 100 + 2 1000 + 4 10000 + . . . . Veremos mais adiante, nos conteúdos das disciplinas de Cálculo que somas com infinitas parcelas, como as somas acima no segundo membro das igualdades, representam os números escritos no primeiro membro. Então, é correto escrever, 1 3 = 0, 333 . . . 8 33 = 0, 2424 . . . . As expressões à direita das igualdades são chamadas representações ou expansões decimais infinitas e periódicas, ou simplesmente d́ızimas periódicas. A palavra periódica refere-se à repetição indeterminadamente do número 3 e do número 24, respectivamente, na representação de 1 3 e 8 33 . Agora podemos responder a pergunta: - Todo número racional pode ser expresso na forma decimal? Se entendessemos forma decimal, apenas expressões do tipo (2.1), ex- pressão onde aparece apenas um número finito de algarismos após a v́ırgula, a resposta é não. CEDERJ 36 Números racionais MÓDULO 1 - AULA 2 No entanto, ao considerarmos somas infinitas e expressões decimais com infinitos algarismos, provaremos na próxima aula, quando tratarmos da representação de números racionais através de d́ızimas, o seguinte resultado: “Todo número racional pode ser representado em forma de uma ex- pressão decimal (finita) ou sob forma de uma expansão decimal infinita e periódica.” Mas lembra de como motivamos a notação decimal? Argumentamos com as necessidades práticas do comércio, da indústria, etc. Pois bem, para estas necessidades são suficientes valores que aproximam o valor real. A aproximação com maior ou menor erro, depende da natureza da operação realizada. Por exemplo, 1 3 pode ser aproximado por 0,333. Neste caso, usamos 3 algarismos após a v́ırgula. O que significa esta escolha? 0, 333 = 3 10 + 3 100 + 3 1000 = 300 + 30 + 3 1000 = 333 1000 . Note que 1 3 − 333 1000 = 1000 − 999 3000 = 1 3000 < 1 1000 . Isso mostra que 1 3 ' 0, 333, com erro de um milésimo. O śımbolo ' lê-se “aproximadamente”. Então 1 3 é aproximadamente 0,333 e o erro é inferior a um milésimo. Numa máquina de calcular, quando dividimos 1 por 3 aparece no visor o número zero, seguido de um ponto (substituindo a v́ırgula) e uma quantidade finita de algarismos 3. Quanto maior for a capacidade da máquina, maior o número de d́ıgitos 3 após o ponto (ou a v́ırgula) e tanto mais próximo do valor exato 1 3 é o valor fornecido pela máquina. Atividade 2.4 a) Mostre que 1 3 < 0, 334. b) Mostre que 0, 334 − 1 3 < 1 1000 . c) Conclua que 1 3 ' 0, 334 com erro inferior a um milésimo . 37 CEDERJ Números racionais Atividade 2.4 a) 0, 334 = 334 1000 > 1 3 , uma vez que 3 × 334 > 1000 b) 0, 334 − 1 3 = 334 1000 − 1 3 = 1002 − 1000 3000 = 2 3000 < 1 1000 c) Basta examinar o resultado em b) Exerćıcios propostos 1. n < 8 2. a) e b) x 6= −1 e x 6= 1 c) x 6= ± √ 2 3. a) e b) 4. a) 5 2 , b) r > 4 ou r < 0 5. a) −31 7 < −0, 3259 < 21 10 < 2, 1342 < 2, 134201 b) 24, 30034 6. z = 60 CEDERJ 40 Números irracionais - enfoque geométrico MÓDULO 1 - AULA 3 Aula 3 – Números irracionais - enfoque geométrico Objetivos • concluir que os números racionais são insuficientes para realizar todas as medidas; • descrever uma infinidade de números irracionais; • realizar sobre a reta real a representação geométrica de alguns números irracionais. Estamos acompanhando o desenvolvimento da idéia de número. É um processo longo que pontuou a história do homem sobre a Terra. Relato da necessidade humana de contar objetos que levou à idéia abstrata de números naturais. E a partir dáı, a necessidade de considerar números negativos e números racionais, estes últimos como expressões de partes da unidade. Também trabalhamos nas aulas passadas a representação dos números naturais sobre uma reta orientada. Recorde com a Figura 3.1. A repre- sentação é tal que a distância entre o ponto 0 e o ponto 1 define uma unidade de medida. Assim dois números inteiros quaisquer consecutivos estão locali- zados na reta distantes um do outro, exatamente de uma unidade padrão de medida. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 4 5 a 6 11 3 2 3 -11 Figura 3.1: Números racionais na reta. Por exemplo, o número −11 3 é tal que −11 3 = −9 + 2 3 = − ( 3 + 2 3 ) . Isto significa que −11 3 é um ponto à esquerda da reta, situado entre os pontos −4 e −3. Para dar conta da posição exata do número −11 3 , dividimos o intervalo definido pelos números −4 e −3 em três partes iguais e assinalamos a posição procurada naquele ponto mais próximo de −4. Com isto, localizamos o número −11 3 sobre a reta. Volte e observe a Figura 3.1. 41 CEDERJ Números irracionais - enfoque geométrico De modo geral, seja m n um número racional. Como localizar m n na reta numérica? Vamos supor que, inicialmente, m e n são positivos e, portanto m n é positivo. Temos duas situações para examinar: m < n ou m ≥ n. Primeiro caso: m < n ou seja, m n < 1. Nesta situação, dividindo o intervalo cujos extremos são 0 e 1 em n partes iguais e tomando m destas partes, localizamos o número m n . Veja na Figura 3.1, a localização do número 2 3 . Segundo caso: m > n ou seja, m n ≥ 1. Neste caso, podemos efetuar a divisão euclidiana de m por n. Suponha que m = q · n + r , 0 ≤ r < n . Logo, m n = q · n + r n = q · n n + r n = q + r n . Em vista da divisão efetuada, conclúımos que o número m n é um ponto sobre a reta, localizado entre os números inteiros q e q + 1. Isto é q ≤ m n < q + 1 . Em seguida, dividimos o intervalo de reta definido pelos números inteiros q e q + 1 em n partes iguais e tomamos r destas partes. Acompanhe na Figura 3.1, o exemplo de localização do número 11 4 . Temos que, 11 4 = 2 · 4 + 3 4 = 2 · 4 4 + 3 4 = 2 + 3 4 . Depois desta discussão, podemos descrever geometricamente sobre uma reta todos os números racionais. De fato, considere uma reta orientada so- bre a qual estão representados os números inteiros. Selecione dois números inteiros consecutivos, por exemplo, p e p + 1, veja a Figura 3.2. P P+1 0 1 Figura 3.2: Um intervalo genérico. Para encontrar números racionais no intervalo definido pelos números p e p + 1, escolhemos um número natural n, dividimos o intervalo em n partes iguais. Cada ponto definido por uma destas divisões representa um número racional. CEDERJ 42 Números irracionais - enfoque geométrico MÓDULO 1 - AULA 3 Para provar a proposição 3.1, vamos dar um passo é preparatório. Passo preparatório: Vamos provar que se m é ı́mpar então m2 é ı́mpar. Veja como é a prova. Se m é ı́mpar então m = 2p + 1, para algum p ∈ N. Isto é, m2 = (2p + 1)2 = 4p2 + 4p + 1 = 2(2p2 + 2p) + 1, evidenciando que m2 é ı́mpar. Provamos então que m ı́mpar ⇒ m2 ı́mpar . Tendo estabelecido o resultado preparatório voltamos à prova da pro- posição. Queremos provar que se m2 é par então m é par. Em śımbolos necessitamos provar a implicação m2 par ⇒ m par . (3.1) Mas, Cuidado! Leia com atenção a afirmação 3.1 acima! Para qualquer afirmação que se faça, em particular para esta afirmação com a qual estamos trabalhando, existem somente duas possibilidades: a afirmação é falsa ou é verdadeira. Nosso trabalho é mostrar que é verdadeira (. . .) ou mostrar que ela não é falsa. Isto em Matemática é incŕıvel! E veja como provar que a afirmação escrita em (3.1) não é falsa. Suponha que é falsa. Então encontraremos algum número natural m tal que m2 é par e m é ı́mpar (m2 par ⇒ m ı́mpar). Uma situação destas pode existir? É claro que não. O passo intermediário, mostrou que se m é ı́mpar então m2 é ı́mpar (m ı́mpar ⇒ m2 ı́mpar). Juntando os racioćınios encontramos que m2 par ⇒ m ı́mpar ⇒ m2 ı́mpar . Temos uma contradição, evidenciando que a implicação (3.1) não pode ser falsa. Portanto, a afirmação (3.1) é verdadeira. Isto finaliza a prova da Proposição 3.1.  O método de prova, usado na proposição 3.1, é chamado de método da contraposição. O método garante que para pro- var que A ⇒ B é suficiente mostrar que a suposição que A é verdadeira e B é falsa induz uma contradição. Agora estamos prontos para provar que, não existe um número racio- nal que meça a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos lados medem a unidade. Isto é, não existe m n ∈ Q, tal que ( m n )2 = 2 . (3.2) 45 CEDERJ Números irracionais - enfoque geométrico Na igualdade anterior podemos supor que m n é uma fração irredut́ıvel. Ou seja, m e n não possuem divisores comuns além da unidade. Agora, se existisse um número racional com as propriedades anteriores, então m2 = 2n2 . Vamos em frente! Veja a igualdade acima. Ela diz que m2 é par. Ora se m2 é par então m é par (proposição 3.1). Isto é, m = 2p, para algum p ∈ N. Então voltando à igualdade escrevemos (2p)2 = 2n2 ⇒ 4p2 = 2n2 ⇒ 2p2 = n2 . A última igualdade mostra que n2 é par. Mas então n também é par (usamos aqui de novo a proposição 3.1). Mas dáı, m é par e n é par. Uma contradição, pois sendo a fração m n irredut́ıvel não pode ser simplificada por 2. Isto mostra que a igualdade 3.2 não pode acontecer. Conclusão: Existem medidas que não podem ser expressas por um número racional. Veja a Figura 3.4, que localiza sobre a reta orientada o número a, tal que a2 = 2. Denotamos, simbolicamente, este número por a = √ 2 e o denominamos a raiz quadrada de 2. -2 -1 0 a 1 1 22 Figura 3.4: O número irracional √ 2. UFA! Acabamos de subir uma pequena ladeira. Nesta posição um pouco mais elevada, a vista é larga e abrangente. Vale a pena recordar nossa subida e tirar algumas conseqüências. - Qual foi o procedimento? Encontramos o primeiro número irracional ao medirmos a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos lados medem 1. Isto foi posśıvel porque provamos que, se a é o número que representa a medida da hipotenusa deste triângulo então a 6= m n , quaisquer que sejam m , n ∈ Z . CEDERJ 46 Números irracionais - enfoque geométrico MÓDULO 1 - AULA 3 Denotamos a = √ 2 e encontramos nosso primeiro número irracional. Vamos às conseqüências. Observe que se p ∈ Z é um inteiro qualquer não nulo, então p √ 2 é também irracional. Vamos provar isto. Suponha, por absurdo, que p √ 2 é racional. Então, para algum m e n inteiros, com n 6= 0, p √ 2 = m n ⇒ √ 2 = m n · p . Isto implicaria que √ 2 é racional. Isto é uma contradição. Logo p √ 2 é irracional. Conclusão: temos já um número infinito de números irracionais . . . − 3 √ 2, −2 √ 2, − √ 2, √ 2, 2 √ 2, 3 √ 2, 4 √ 2, . . . Afirmamos também que, para qualquer número natural n, √ 2 n é um número irracional. De fato, suponha por absurdo que √ 2 n = p q , onde p, q ∈ Z, q 6= 0. Então √ 2 = p · n q implicando que √ 2 seria racional. Esta contradição garante que √ 2 n é irracional. - Como representar na reta numérica √ 2 n ? Tomamos o segmento de reta cujos extremos são os pontos 0 (zero) e√ 2 e dividimos o segmento em n partes iguais. O ponto da divisão mais próximo de zero, representa √ 2 n . Veja na figura o ponto √ 2 3 . 0 3 2 2 2 Figura 3.5 O mesmo tipo de argumento desenvolvido acima, é suficiente para pro- var que p q √ 2 é um número irracional, onde p, q ∈ Z, q 6= 0. Também é fácil de encontrar o ponto que representa p q √ 2 na reta orientada. Veja como isto é realizado. 47 CEDERJ Números irracionais - enfoque geométrico No entanto, foram precisos mais de 3400 anos para que, em 1882, o matemático inglês Ferdinand Lindeman pudesse provar que o número π é irracional. Para encerrar a aula, queremos apresentar ainda dois resultados sobre existência de números irracionais. Você pode concluir através da Atividade 2 que, para qualquer número natural m existe um segmento cuja medida l é tal que l2 = m. Faz sen- tido, portanto, definir o comprimento destes segmentos por √ m. Com esta definição, √ m é a medida de um segmento e vale √ m · √m = m . O número √ m é dito a raiz quadrada de m e uma questão relevante é a seguinte: dado um número natural m, decidir se √ m é racional ou irracional. Para encerrar esta Aula, provaremos que √ 3 e √ 2p são números irra- cionais, se p é qualquer número natural ı́mpar. Para provar estes resultados precisamos de preparação. Imitando a Proposição 3.1, vamos provar que: Proposição 3.2 Seja m um número natural. Se m2 é diviśıvel por 3 então m é diviśıvel por 3. Prova: O que queremos provar é: m2 diviśıvel por 3 ⇒ m diviśıvel por 3 . Ora, se m2 é div́ısivel por 3, então m2 = 3q , para algum número natural q. Agora, efetuando a divisão euclidiana de m por 3 encontramos que m = 3k + r , onde 0 ≤ r < 3 . (3.3) Isto é, k > 0 e o resto r é um dos números 0, 1 ou 2. Então, 3q = m2 = (3k + r)2 = 9k2 + 6kr + r2 . Ou seja, q = 3k2 + 2kr + r2 3 ⇒ r 2 3 = q − 3k2 − 2kr . - O que mostra a última igualdade? CEDERJ 50 Números irracionais - enfoque geométrico MÓDULO 1 - AULA 3 Do lado direito temos um número inteiro q− 3k2 − 2kr. Então, do lado esquerdo, o número deve ser inteiro. Mas 0 ≤ r < 3. Isto é, r = 0, 1 ou 2. Note que os valores r = 1 e r = 2 produzem para r2 3 os valores não inteiros 1 3 e 4 3 . Logo, r = 0 e em (3.3), escrevemos m = 3k. Portanto, m é diviśıvel por 3.  Usando o resultado da Proposição 3.2, podemos provar que: Proposição 3.3 O número √ 3 é irracional. Prova: De fato, suponha, por absurdo, que √ 3 é um número racional. Então √ 3 = m n , onde m n é uma fração irredut́ıvel com n > 0. Logo, ( m n )2 = ( √ 3)2 ⇒ m2 = 3n2 . A última igualdade mostra que m2 é diviśıvel por 3. Então a Proposição 3.2 garante que m é diviśıvel por 3. Isto é, m = 3q, para algum número natural q. Então m2 = 3n2 ⇒ (3q)2 = 3n2 ⇒ 3q2 = n2 . Então n2 é diviśıvel por 3. De novo, a Proposição 3.2 garante que n é diviśıvel por 3. Mas isto não pode ocorrer, porque m e n diviśıveis por 3 contraria o fato que m n é uma fração irredut́ıvel. Este absurdo prova que √ 3 6= m n , para quaisquer números inteiros m e n. Portanto, √ 3 é irracional.  Proposição 3.4 Se p é um número natural ı́mpar então √ 2p é irracional. De fato, vamos supor, por absurdo, que existe uma fração irredut́ıvel m n , n > 0, tal que √ 2p = m n . (3.4) 51 CEDERJ Números irracionais - enfoque geométrico Então, 2p = ( m n )2 ⇒ m2 = 2pn2 . logo m2 é par. Pela Proposição 3.1, m é também par. Isto é, m = 2k, para algum k ∈ N. Logo, (2k)2 = 2pn2 ⇒ 4k2 = 2pn2 ⇒ 2k2 = pn2 . Isto mostra que pn2 é par. Mas como p é um número ı́mpar, para pn2 ser par a única possibilidade é que n2 seja par. Pela Proposição 3.1, n2 sendo par temos que n é par. Ora, m par e n par implica que m n é redut́ıvel (podemos dividir por 2). Isto é uma contradição. Logo não é posśıvel escrever a igualdade (3.4) e √ 2p é um número irracional. Atividade 3.3 Prove com aux́ılio da Proposição 3.4, que são irracionais os números: a) √ 2 + √ 3 b) √ 2 − √ 3 Exerćıcios 1. Assinale verdadeiro (V) ou falso (F) para cada uma das afirmações abaixo e justifique sua resposta. (a) Se r e q são números racionais então r + q é um número racional. (b) Se r e q são números racionais e ambos não inteiros então r − q pode ser um número inteiro. (c) Se r e q são números racionais, com q 6= 0, então r+q √ 2 é sempre irracional. (d) Existem infinitos números irracionais. 2. A partir de dois segmentos de reta de medidas m e n, mostre como construir um segmento de medida √ mn. 3. Prove que √ 2 + √ p é um número irracional se p é um número primo. CEDERJ 52 Números reais – representação decimal MÓDULO 1 - AULA 4 Aula 4 – Números reais – representação decimal Objetivos • entender os números reais positivos como medida de um segmento da reta real; • encontrar representações decimais para números racionais; • distinguir entre os números racionais, aqueles que possuem representação decimal finita daqueles que só possuem representação decimal infinita; • associar representação decimal infinita e periódica a números racionais; • entender que um número irracional tem uma representação decimal infinita e não periódica. Na aula anterior tomamos contato com o primeiro número irracional. Este número foi representado pelo śımbolo √ 2 e expressa a medida do com- primento da hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem a unidade. Este resultado mostrou que os números racionais não são suficien- tes para medir o comprimento de todos os segmentos. É preciso mais uma vez aumentar o nosso conjunto de números. Recorde como começamos! Necessidade de contar objetos levou à idéia abstrata do conjunto dos números naturais, N = {1, 2, 3, . . .} . Em seguida, devido à necessidade de expressar contagem negativa (perda, prejúızo) chegamos aos números inteiros Z, Z = {. . . − 3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .} . Como N ⊂ Z, o que fizemos foi uma ampliação do conjunto N. Indo mais além, a necessidade de considerar partes da unidade levou à formulação dos números racionais, Q = { m n ; m, n ∈ Z e n 6= 0 } . 55 CEDERJ Números reais – representação decimal Foi mais uma ampliação na nossa capacidade de medir. E neste ńıvel atingido temos que N ⊂ Z ⊂ Q . No entanto, com a impossibilidade de exprimir o comprimento da hipo- tenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem uma unidade, por um número racional, somos levados a promover nova ampliação. Ao conjunto dos números racionais Q, devemos adicionar o conjunto dos números irracionais I. - E quais são todos estes números irracionais? Apelamos para nosso modelo usual, uma reta orientada onde estão lo- calizados os números racionais. Neste modelo os números irracionais são interpretados como medida de segmentos que não podem ser medidos pelos números racionais. Juntando ao conjunto dos números racionais Q ao con- junto dos números irracionais I, chegamos ao conjunto dos números reais R. Então R = Q ∪ I . Nesta aula vamos aprofundar um pouco nosso conhecimento sobre os números irracionais e por conseqüência sobre os números reais. Para motivar o desenvolvimento lanço uma pergunta: - Qual é o comprimento do maior lado da mesa de sua sala? Figura 4.1: Medida da largura da mesa I. Vamos imaginar que a mesa seja retangular, como ilustrada na Figura 4.1. Sobre a mesa está representada uma reta r orientada sobre a qual estão localizados os números inteiros. Note que a reta r está posta perpendicularmente ao menor lado AB da mesa e o ponto 0 (zero) está localizado sobre este lado. Suponha ainda que o ponto 1 também esteja estrategicamente localizado, de modo que o comprimento do segmento cujos extremos são 0 e 1 vale um metro. Este segmento é o segmento unidade U. CEDERJ 56 Números reais – representação decimal MÓDULO 1 - AULA 4 Também, o ponto l, localizado sobre a reta e sobre o segmento CD, representa um número que definirá a medida do comprimento da mesa. Certamente, a medida l será superior a dois metros e inferior a três metros. - Em que circunstâncias podemos garantir que l é um número racional? Existe uma resposta muito simples a esta pergunta. Pense um pouco, antes de ler a resposta. Resposta: O número l é racional se for posśıvel dividir o segmento de extremos 2 e 3 em n partes iguais (n um número natural bem escolhido) de modo que um ponto da divisão caia sobre l. Para exemplificar uma possibilidade, suponha que após a divisão do segmento de extremos 2 e 3 em 512 partes iguais, um dos pontos da subdi- visão cai sobre o ponto l e este é o ponto número 204, quando contamos as subdivisões da esquerda para a direita. Então l = 2 + 204 512 = 1024 + 204 512 = 1228 512 = 307 128 , que é um número racional. Por outro lado, se a medida l é representada por um número irracional, então para toda divisão do intervalo de extremos 2 e 3 em n partes iguais, nenhum ponto das subdivisões encontradas coincidirá com o ponto l. Esta situação ocorre, por exemplo, se o comprimento l da mesa é 2 √ 2. Vamos explorar um pouco esta possibilidade de l ser igual a 2 √ 2. É claro que a medida 2 √ 2 metros para a largura da mesa é extremamente precisa, mas nunca utilizada na prática. Imagine que você está numa loja de móveis e pergunta ao vendedor a largura de uma mesa em exposição na vitrine. Nunca o vendedor responderá 2 √ 2 metros. Ele responderá uma medida racional muito próxima de 2 √ 2. Como isto acontece? Como se expressa no dia a dia esta medida? Bem, o vendedor da loja lança mão de um “metro”. Este instrumento de trabalho é uma barra ou régua de madeira expressando a unidade de comprimento usual denominada metro. Este metro está dividido em 10 partes iguais, cada uma destas partes definindo um dećımetro e cada dećımetro aparece dividido em 10 partes iguais, definindo um cent́ımetro. Se o metro for especial, pode ainda dividir o cent́ımetro em 10 partes iguais, definindo um miĺımetro. A unidade U de medida usada pelo vendedor é o metro. A relação entre as outras medidas pelo fracionamento estão assim relacionadas: 1 m = 10 dm, 1 dm = 10 cm, 1 cm = 10 mm . Ou ainda, 1 dm = 1 10 m, 1 cm = 1 100 m, 1 mm = 1 103 m . 57 CEDERJ Números reais – representação decimal Assim 2 √ 2 = m n − 1 500 = 500m − n 500n , Logo √ 2 = 500m − n 1000n . - O que mostra a igualdade anterior? No segundo membro temos no numerador 500m− n, que é um número inteiro e no denominador 1000n, outro número inteiro. Isto leva à con- clusão que o segundo membro é um número racional. No entanto, o primeiro membro é √ 2, um número irracional. Isto é uma contradição. Um número irracional não pode ser igual a um número racional. - O que nos levou a esta contradição? Foi o fato de supormos, no ińıcio de nossa prova que 2 √ 2 + 1 500 é um número racional. Então não tem sáıda, 2 √ 2 + 1 500 é um número irracional. Atividade 4.1 a) Use argumentos como no exemplo 4.1 acima para provar o seguinte: Se i é um número irracional e n é um número inteiro então i + n é um número irracional. b) Represente numa reta numérica os números 0 (zero), 1 e os números do conjunto {m + √ 2 ; m ∈ Z} . Representação decimal de números reais positivos A motivação central desta aula é a representação decimal dos números reais. Considere uma reta real, como na Figura 4.3, onde localizamos um ponto, sobre o qual está identificado o número real b. Temos dois segmentos em destaque, o segmento unidade U, cujos extremos são os pontos (números) 0 (zero) e 1 e o segmento B cujos extremos são os pontos (números) 0 (zero) e b. Vale a pena destacar que medida (U) = 1 e medida (B) = b . CEDERJ 60 Números reais – representação decimal MÓDULO 1 - AULA 4 Isto é, os comprimentos dos segmentos U e B são dados pelos números reais 1 e b, respectivamente. Figura 4.3: Os segmentos B e U . Vamos medir o segmento B e identificar o número real b. Nesta direção vamos encontrar a representação decimal do número real b. Temos que con- siderar algumas possibilidades. 1a possibilidade: b é um número inteiro, por exemplo, b = 3. Neste caso, b = 3, 0000 . . . é a representação decimal de b. 2a possibilidade: b é um número racional não inteiro ou irracional e, neste caso, também vamos definir o valor de b através de sua representação decimal. Suponha que o ponto b tem localização na reta como na Figura 4.4. Procedemos do seguinte modo. Definimos U como unidade de medida, U mede 1. Você pode imaginar U como sendo o metro do vendedor da loja. Figura 4.4: A medida do segmento B. Encaramos o segmento B como um caminho a ser percorrido de 0 (zero) até b. Ou ainda, um caminho que queremos pavimentar ou ladrilhar linear- mente com varetas. Varetas são segmentos cujos comprimentos são baseados na unidade U e em suas divisões decimais. Vamos olhar este processo de pavimentar com varetas o caminho re- tiĺıneo de 0 até b como uma brincadeira. Expliquemos melhor nosso jogo. Temos tantas varetas quanto quisermos de comprimento 1. Temos 9 va- retas de comprimento 1 10 , 9 varetas de comprimento 1 100 , 9 de comprimento 1 103 , . . . , 9 de comprimento 1 10n , . . . e assim por diante. - Mas qual é a regra da brincadeira? 61 CEDERJ Números reais – representação decimal Regra: A pavimentação começa no ponto 0 (zero) e vai em direção ao ponto b. Usando em ordem, primeiro as varetas de comprimento 1, depois as de comprimento 1 10 , depois as de 1 100 e, assim por diante. Só paramos de usar um tipo de vareta se esta não couber mais no caminho, isto é, a vareta se colocada ultrapassa o ponto b. Nesta situação, passamos a usar o tipo seguinte de vareta de comprimento 10 vezes menor. Para facilitar a linguagem, a vareta (segmento) unidade é denotada por U. Cada uma das varetas seguintes de comprimentos 1 10 , 1 102 , 1 103 , . . . , 1 10n , . . ., são denotadas por U1, U2, U3, . . . , Un, . . .. Dentro das regras do jogo, em primeiro lugar, usamos o tipo maior de varetas, representadas pelo segmento unidade U. Acompanhe pela Figura 4.4 e observe que encontramos que cabem 3 vezes o segmento U no segmento B. Isto significa que podemos escrever que b ∼ 3 . Isto é, b é um número real próximo a 3. Mas, b é superior a 3, uma vez que se encontra mais à frente no sentido de percurso da reta real. Ou dito em outras palavras, do ponto em que não podemos mais usar varetas de comprimento 1 até chegar ao ponto b, temos ainda um segmento restante a ser percorrido (pavimentado). Este segmento restante está identificado com o segmento B1 e representado na Figura 4.4. Para cobrir B1 lançamos mão dos segmentos (varetas) U1 de compri- mento 1 10 . Note que possúımos 9 destas varetas U1. E não precisaremos mais que estas, uma vez que 10 segmentos de comprimento 1 10 resultam comprimento 1 e B1 tem medida inferior à unidade. Veja a Figura 4.5. Figura 4.5: Medida do segmento B1. Trabalhando agora com hipóteses, suponha posśıvel colocar 4 segmen- tos U1 no segmento restante B1 e que, no entanto, 5 segmentos U1 seriam excessivos para cobrir B1. Neste caso, escrevemos b ∼ 3 + 4 10 = 30 + 4 10 = 34 10 . Ou, b ∼ 3 + 4 10 = 3 + 0, 4 = 3, 4 . CEDERJ 62 Números reais – representação decimal MÓDULO 1 - AULA 4 2o caso: b se expressa como soma de um número infinito de parcelas, b = b0 + b1 10 + b2 102 + . . . + bm 10m + . . . , (4.3) onde b0 é um número inteiro maior ou igual a zero e b1, b2, . . . , bm, . . . são números inteiros maiores ou iguais a zero e menores ou iguais a 9. Ou seja, podemos escrever b = b0, b1 b2 b3 . . . bm . . . (4.4) Neste caso não acontece a possibilidade de que a partir de um certo ı́ndice m todos os d́ıgitos bm+1, bm+2, bm+3, etc sejam nulos. E dentro do quadro que até agora pintamos, ficam duas questões. A primeira é identificar os números racionais cuja representação decimal é finita. A segunda questão é identificar dentre os números cuja representação decimal é infinita, aqueles que são racionais. - Vamos nos dedicar a este assunto? Números racionais com representação decimal finita Do que vimos até agora existem números reais b, cuja representação decimal é finita. Isto é, b = a0, a1 a2 . . . an , onde a0 ∈ Z e a1, a2, . . . , an são números inteiros maiores ou iguais a zero e menores ou iguais a 9. Estes números são racionais, como expressa a fórmula 4.2. Interessante notar que o denominador de (4.2) é 10n = 2n × 5n. Isto é, na fatoração do denominador aparecem apenas os primos 2 e 5. Note que o número racional que aparece em (4.2) pode não ser a ex- pressão de b como uma fração irredut́ıvel. Isto acontece se o numerador 10na0 + 10 n−1a1 + 10 n−2a2 + . . . + an , for diviśıvel por 2 ou por 5. De qualquer modo, após as simplificações a partir de (4.2), a expressão irredut́ıvel de b = m n é tal que o denominador n de b tem como fatores primos no máximo os números 2 e 5. Isto motiva uma pergunta e induz a resposta. - Que números racionais têm representação decimal finita? 65 CEDERJ Números reais – representação decimal Resposta: Aqueles números racionais b = m n , que escritos na forma de uma fração irredut́ıvel, o denominador tem como fatores primos, no máximo, o número 2 e o número 5. Exemplo 4.2 Vamos encontrar a representação decimal de b = 18 25 . Vemos que a fração é irredut́ıvel e a fatoração do denominador fornece 25 = 52. Logo b tem representação decimal finita. Devemos encontrar um denominador como potência de 10. Escrevemos b = 18 × 4 25 × 4 = 72 100 = 70 + 2 100 = 70 100 + 2 100 = 7 10 + 2 102 . Logo b = 0, 72 é a representação decimal. Números racionais com representação decimal infinita Vimos em (4.3) e (4.4), a possibilidade da representação decimal de um número se expressar através de uma soma onde comparecem um número infinito de parcelas não nulas. Veja (4.3). - Tem sentido somas com uma infinidade de parcelas? A resposta é sim. Estas somas chamam-se séries numéricas e podemos (dependendo da natureza da série) associar um número como soma da série. Só podemos dar sentido à uma soma com infinito número de parcelas se a soma for convergente. Este é um assunto a ser tratado em Cálculo 1. Adiantamos que somas com infinitas parcelas (ou séries) como as escritas em (4.3) são convergentes e então podemos associar um número real à soma.As mais elementares séries con- vergentes são as progressões geométricas de razão posi- tiva e inferior a unidade. Por exemplo, se a > 0 e 0 < r < 1 então a + a r + a 2 r 2 + . . . + a n r n + . . . = a 1−r . Por exemplo, 1 + 1 2 + 1 4 + . . . + 1 2n + . . . = 2 - Qual é a representação decimal de um número racional b = m n , onde a fração que expressa o número é irredut́ıvel e o denominador n possui fatores primos distintos de 2 e 5? A resposta a esta pergunta pode ser encontrada se olharmos como fica a representação decimal de números racionais como b = 5 7 e c = 19 11 . CEDERJ 66 Números reais – representação decimal MÓDULO 1 - AULA 4 Para encontrar a representação decimal, usamos repetidas vezes o al- goritmo de Euclides para a divisão de números inteiros, 50 7 19 11 → 10 0,71428571 → 80 1, 72727 30 30 20 → 80 60 30 40 → 80 50 → 10 30 Olhe detalhadamente os exemplos acima e encontre o caminho para a resposta. Os números racionais que tem representação decimal com infinitos algarismos têm na representação decimal obrigatoriamente a partir de uma certa posição, um bloco de algarismos que se repete periodicamente. Nos exemplos tratados 5 7 = 0, 71428571 . . . 19 11 = 1, 7272 . . . . Para 5 7 o bloco periódico é 714285 e para 19 11 o bloco é 72. Podemos usar uma notação simplificada nestes casos, e escrever 5 7 = 0, 714285 e 19 11 = 1, 72 , onde a barra identifica o bloco de algarismos que se repete indefinidamente. Com estes exemplos estudados, podemos responder como é a repre- sentação decimal de um número racional b = m n , escrito em forma de fração irredut́ıvel e onde n possui fator primo distinto de 2 ou 5. De fato, como motivado nos exemplos concretos que acabamos de examinar acima, após efe- tuarmos a divisão euclidiana repetida de m por n, os números que aparecem como restos na divisão estão necessariamente no conjunto {1, 2, 3, . . . , n−1}. Isto ocorre porque o resto é inferior ao divisor n. Ora, como o processo é infinito, o resto deve se repetir uma primeira vez no processo de divisão. A partir da primeira repetição no resto, tudo acontece de modo automático, repetindo os algarismos no quociente. Reexamine os exemplos anteriores. No número racional 5 7 , ao dividir 5 por 7 encontramos o resto 1 repetindo uma primeira vez, definindo a repetição do bloco periódico 714285 no quociente. No número racional 19 11 o resto que se repete pela primeira vez é o resto 8. Esta repetição determina o bloco periódico 72 no quociente. 67 CEDERJ Números reais: potências, radicais e expressões numéricas MÓDULO 1 - AULA 5 Aula 5 – Números reais: potências, radicais e expressões numéricas Objetivos Depois de trabalhar esta aula, você: • compreenderá os conceitos de potenciação e radiciação de números reais; • estará apto a resolver ou simplificar expressões numéricas. Você já deve ter experiência desde o Ensino Fundamental e Médio de lidar com o assunto que iniciamos nesta aula: potenciação. De um lado temos uma questão de notação. Quando escrevemos, por exemplo 34, estamos expressando em śımbolos e abreviadamente o produto 3 · 3 · 3 · 3. Notamos vantagem nesta convenção. Imagine se tivermos que expressar através de produto de fatores 3500. É muito fatigante! Dáı, o poder da notação. Doutro lado, o estudo de potências leva, com o aprofundamento, à con- sideração de importantes classes de funções. Mais especialmente, as funções exponenciais e funções logaŕıtmicas entre outras. Será então o momento de estudarmos funções como ex, log x, xn e xm/n. Nesta aula, vamos desenvolver as idéias mais simples de potenciação, no entanto, fundamentais. Potências de um número real Antes da primeira definição é bom você recordar nossa escolha. O conjunto dos números naturais não contem o zero. Isto é, N = {1, 2, 3, . . .}. Definição 5.1 Seja b um número real. a) Se n é um número natural então bn = b · b · . . . · b (n fatores iguais a b) . 71 CEDERJ Números reais: potências, radicais e expressões numéricas b) Se b 6= 0 e m é um número inteiro negativo, bm = (b−1)−m = ( 1 b )−m = 1 b · 1 b · . . . · 1 b . Acima temos um produto com −m fatores. Note que −m > 0. c) Se b 6= 0 então b0 = 1. Notas 1) Na definição 5.1, b é chamado a base e n, m e 0 (zero) são os expoentes. 2) Observe, na definição 5.1, a questão da abrangência dos números reais que servem de base. No item a) b é qualquer número real; nos itens b) e c) é necessária à condição b 6= 0. Vamos a alguns exemplos! Exemplo 5.1 a) ( − 1 3 )3 = ( − 1 3 ) · ( − 1 3 ) · ( − 1 3 ) = 1 9 ( − 1 3 ) = − 1 27 . b) ( − √ 2 5 )−4 = ( − 5√ 2 )4 = ( − 5√ 2 ) · ( − 5√ 2 ) · ( − 5√ 2 ) · ( − 5√ 2 ) = = 25 2 · 25 2 = 625 4 . c) (3, 12)0 = ( 312 100 )0 = 1 . Mais algumas observações relevantes 1) Atenção! Não tem sentido matemático a expressão 00. 2) Aproveito a ocasião para lembrar que, você já deve ter topado com ou- tras expressões matemáticas sem sentido, ou indeterminadas. Recordo mais um exemplo: 0 0 não tem sentido ou é indeterminado. Propriedades da potenciação As propriedades da potenciação que enunciamos a seguir são conseqüências diretas das propriedades fundamentais das operações de adição e multi- plicação de números reais. CEDERJ 72 Números reais: potências, radicais e expressões numéricas MÓDULO 1 - AULA 5 b) Se a é um número real negativo, b um número real positivo e n é um número natural ı́mpar, então n √ a · b = n√a · n √ b . A verificação da validade das propriedades a) e b) é imediata. Note que ( n √ a · n √ b)n = n √ a · n √ b · n√a · n √ b . . . n √ a · n √ b (n fatores n √ a · n √ b) . Usando a propriedade comutativa do produto de números reais, orga- nizamos o segundo membro para encontrar que ( n √ a · n √ b)n = n √ a · n√a . . . n√a · n √ b · n √ b . . . n √ b = = ( n √ a)n · ( n √ b)n = a · b . Portanto, n √ a · n √ b é a raiz enésima de a · b. Isto é, n√a · n √ b = n √ a · b. Exemplo 5.3 a) 3 √ 27 = 27 1 3 = 3. Pois, 3 · 3 · 3 = 33 = 27 b) Não tem sentido √ −4 quando trabalhamos com números reais. Uma vez que, não existe um número real x, tal que x2 = −4. c) 5 √ −32 = −2. Pois (−2)5 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = −32. d) √ 8 = √ 22 · 2 = √ 22 · √ 2 = 2 √ 2 e) 3 √ −81 = 3 √ (−3)3 · 3 = 3 √ (−3)3 · 3 √ 3 = −3 √ 3. Notas importantes 1. Observe que (−3)2 = 9 e 32 = 9. No entanto √ 9 = 3. É errado escrever√ 9 = −3!! Pois para todo número real positivo b e todo número natural n, n √ b é, por definição, um número positivo. 2. Sendo √ 9 = 3 então tomando os números simétricos (ou multiplicando por −1) escrevemos − √ 9 = −3. 75 CEDERJ Números reais: potências, radicais e expressões numéricas Atividade 2 Verifique as seguintes igualdades: a) 3 √ −250 = −5 3 √ 2 b) 4 √ 48 = 2 4 √ 3 c) 5 √ −512 = −2 5 √ 16 Potências racionais de números reais Dado um número racional r podemos sempre supor que a fração que o representa é irredut́ıvel e o denominador é positivo. Isto é, podemos escrever r na forma, r = m n , onde m e n são números inteiros primos entre si (sem fator comum) e n > 0. Dentro destas condições estabelecidas introduzimos a próxima definição. Definição 5.3 Sejam b um número real e r = m n tais que uma das condições é satisfeita: a) bm < 0 e n é um número natural ı́mpar. Ou b) bm > 0 Então, br = b m n = n √ bm . Nota: Veja que as condições a) e b) impostas na definição 5.3, são ne- cessárias para que as operações de radiciação e potência fiquem bem defi- nidas. Também, observe que em virtude das propriedades da radiciação vale b m n = n √ bm = ( n √ b)m . Exemplo 5.4 a) 16 2 4 = 4 √ 162 = 4 √ (42)2 = 4 √ 44 = 4 4 4 = 41 = 4. b) (−8) 5 3 = 3 √ (−8)5 = 3 √ (−8)3 · (−8)2 = 3 √ (−8)3 · 3 √ (−8)2 = −8 3 √ 64 = −8 × 4 = −32. c) (27) − 2 3 = 3 √ 27−2 = 3 √( 1 27 )2 = ( 3 √ 1 27 )2 = ( 1 3 )2 = 1 9 . Atividade 3 Mostre que valem as seguintes igualdades: a) (−500) 1 3 = −5 3 √ 4 b) (−32)− 1 5 = −1 2 . CEDERJ 76 Números reais: potências, radicais e expressões numéricas MÓDULO 1 - AULA 5 A definição 5.3 coloca o conceito de potenciação de modo bem geral, englobando o conceito de radiciação dado na definição 5.2. Por exemplo, para um número real b e um número natural n ı́mpar n √ b = b 1 n . A questão que permanece no ar é a seguinte: Como definir em toda generalidade ba, onde b e a são números reais arbitrários? Chegamos perto desta generalidade. Veja que conseguimos definir br, onde b é número real e r é número racional, em grande parte dos casos. No entanto, que sentido dar à expressão 3 √ 2, ou mesmo, √ 3 √ 2 . A técnica para tratar a questão de definir ba, onde a é irracional, é através de convergência de seqüências. Devemos encontrar seqüências de números racionais (rn) = (r1, r2, . . . , rn, . . .) que convergem para a (rn → a) e definir ba como o limite de brn. Mas estas são questões que envolvem convergência de seqüências de números reais, e você deve aguardar a disciplina de Cálculo 1, para um estudo deste assunto. Além disso, problemas de natureza indeterminada podem ocorrer no processo de convergência. A definição geral é delicada. Expressões numéricas e simplificações Uma expressão onde aparecem números reais, operações entre os números e sinais convencionais de organização da ordem das operações é o que chama- mos de uma expressão numérica real ou simplesmente expressão numérica. Por exemplo E = { − 2 3 √ 5 + [( 1 2 + 3 √ 5 − 1 6 ) × 3 + 52 ] ÷ 2 } × 5 , é uma expressão numérica. Na expressão destacada acima aparecem as operações fundamentais, a potenciação, a radiciação e os śımbolos organi- zadores, chaves {,}, colchetes [,] e os mais populares parênteses (,). A expressão numérica é, geralmente, a tradução (equacionamento) da solução de um problema qualquer que porventura estejamos resolvendo. Por- tanto, diante de expressão algébrica, o objetivo maior é resolvê-la, achando o número real que a representa ou, na impossibilidade, realizar operações para simplificá-la. Uma expressão numérica, portanto, é uma coisa do tipo decifra-me ou te devoro! 77 CEDERJ Números reais: potências, radicais e expressões numéricas Solução de d) E4 = √ 2 − √ 3 4 √ 2 + 4 √ 3 = √ 2 − √ 3√√ 2 + √√ 3 = √ 2 − √ 3√√ 2 + √√ 3 · √√ 2 − √√ 3√√ 2 − √√ 3 = = ( √ 2 − √ 3)( 4 √ 2 − 4 √ 3)√ 2 − √ 3 = 4 √ 2 − 4 √ 3 . Exemplo 5.7 Racionalize ou simplifique a expressão E = 2√ 7 − √ 2 − 1 3 √ 5 . Solução E = 2√ 7 − √ 2 − 1 3 √ 5 = 2( √ 7 + √ 2) ( √ 7 − √ 2)( √ 7 + √ 2) − 3 √ 52 3 √ 5 · 3 √ 52 = = 2( √ 7 + √ 2) ( √ 7)2 − ( √ 2)2 − 3 √ 25 3 √ 53 = 2( √ 7 + √ 2) 7 − 2 − 3 √ 25 5 = = 2 √ 7 + 2 √ 2 − 3 √ 25 5 . Chegamos ao fim de mais uma aula. O conteúdo fundamental foi o estudo de potenciação e de suas propriedades básicas. Definimos (demos sentido) a uma expressão do tipo br, onde r é um número racional e b é um número eal. Algumas restrições foram exigidas de b, dependendo do valor de r. Você deve conhecer bem até onde b pode se “espalhar” na reta condicionado ao valor de r. Só para lembrar: (−2) 14 não tem sentido. Lembre que a equação fundamental envolvendo a simbologia introdu- zida é b m n = n √ bm. Agora trabalhe os exerćıcios, procure seus colegas para discussão em grupo. Não deixe acumular as dúvidas. Procure as tutorias presencial e a distância. Exerćıcios 1. A expressão numérica E = 1√ 3 [( 1√ 2 − √ 3 − 3 ) ÷ √ 3 − 2 (√ 3 − 1√ 6 )] é igual a: a) √ 3 − 3 3 b) √ 3 + 9 3 c) √ 3 − 9 3 CEDERJ 80 Números reais: potências, radicais e expressões numéricas MÓDULO 1 - AULA 5 2. Mostre que são verdadeiras as igualdades: a) ( √ 2 − 1)3 = 5 √ 2 − 7 b) ( 1 2 √ 2 − 1 ) ÷ √ 2 − 2 2 = 3 + √ 2 2 3. Determine o valor de x em cada uma das equações abaixo: a) 53x−2 = 1 b) 16x+2 = 23x−1 c) (x2 + 3)x 2−x = 1 4. O número 1√ 3 − √ 2 − 3 3 √ −3 é igual a: a) √ 3 − √ 2 − 3 √ 9 3 b) 3 √ 3 + 3 √ 2 + 3 √ 9 3 c) 3 √ 3 − 3 √ 2 + 3 √ 9 3 d) √ 3 + √ 2 + 3 √ 9 5. Verifique que as seguintes igualdades são verdadeiras: a) 5√ 5 = √ 5 b) 3 4 √ 3 = 4 √ 33 c) 3 √ 2√ 8 − √ 5 − √ 5√ 8 + √ 5 = 17 + √ 10 3 6. Considere a e b números reais diferentes de zero. Mostre que são ver- dadeiras as afirmações e igualdades abaixo: a) a2 = b2 então a = b ou a = −b b) se a 6= b então (a3 − b3) ÷ (a − b) = a2 + ab + b2 c) se a < 0 então (√ 1 − 3√a )6 = 1 + 3 3 √ a( 3 √ a − 1) − a. 7. Mostre que são negativos os números: a) 3 − 2 √ 3 e b) √ 3 + √ 3 − √ 3 √ 3 81 CEDERJ Números reais: potências, radicais e expressões numéricas Auto-avaliação Antes de passar a aula seguinte você deve: • Ter resolvido todas as atividades propostas e os exerćıcios; • Poder definir dado um número racional r = m n , com n > 0, qual é o domı́nio de variação do número real b, para ter sentido a expressão br. Respostas das atividades 1. a) ( √ 2 ÷ √ 3)−4 = (√ 2√ 3 )−4 = (√ 3√ 2 )4 = √ 3 · √ 3 · √ 3 · √ 3√ 2 · √ 2 · √ 2 · √ 2 = 9 4 b) ( ( √ 2)−2 )−3 = [( 1√ 2 )2]−3 = ( 1 2 )−3 = 23 = 8 c) ( √ 2 − 5)2 = ( √ 2)2 + 2 · √ 2 · (−5) + (−5)2 = = 2 − 10 √ 2 + 25 = 27 − 10 √ 2 2. a) 3 √ −250 = 3 √ −2 · 53 = 3 √ 2 · (−5)3 = −5 3 √ 2 b) 4 √ 48 = 4 √ 24 × 3 = 2 4 √ 3 c) 5 √ −512 = 5 √ −29 = 5 √ (−2)5 · 24 = −2 5 √ 24 = −2 5 √ 16 3. a) (−500) 1 3 = (−4 · 53) 1 3 = [4 · (−5)3] 1 3 = 4 1 3 · (−5) 3 3 = −5 3 √ 4 b) (−32)− 1 5 = (−25)− 1 5 = [(−2)5]− 1 5 = (−2)−1= ( 1 −2 )1 =−1 2 Respostas dos exerćıcios 1. E = √ 3 3 [(√ 2 − √ 3 2 − 3 − 3 ) · 1√ 3 − 2 (√ 3 − √ 6 6 )] = = √ 3 3 [ − ( √ 2 − √ 3 + 3) √ 3 3 − 2 √ 3 + √ 6 3 ] = = √ 3 3 ( − √ 6 3 + 1 − √ 3 − 2 √ 3 + √ 6 3 ) = √ 3 − 9 3 2. a) ( √ 2 − 1)3 = ( √ 2 − 1)2 · ( √ 2 − 1) = (2 − 2 √ 2 + 1)( √ 2 − 1) = = (3 − 2 √ 2)( √ 2 − 1) = 5 √ 2 − 7 b) (√ 2 4 − 1 ) · 2√ 2 − 2 = √ 2 − 4 4 · 2( √ 2 + 2) ( √ 2 − 2)( √ 2 + 2) = = √ 2 − 4 4 · (− √ 2 − 2) = 3 + √ 2 2 CEDERJ 82 Números reais: relação de ordem, intervalos e inequações MÓDULO 1 - AULA 6 Aula 6 – Números reais: relação de ordem, intervalos e inequações Objetivos Após estudar esta aula, você terá condições de: • compreender a estrutura de ordem dos números reais e suas principais propriedades; • compreender o conceito de intervalo de números reais, realizar operações com intervalos e representá-los graficamente na reta; • utilizar as propriedades de ordem dos números reais para resolver ine- quações e usar os intervalos para expressar os conjuntos soluções. A representação dos números reais sobre uma reta é uma poderosa ferramenta. É como se constrúıssemos uma ponte ligando a aritmética e a álgebra à geometria. Além disso, permite fazer uma representação mental unificada dos números reais. Isto é extremamente útil. Quando nos é co- locado um problema sobre números reais vamos verificar como funciona no modelo geométrico constrúıdo sobre uma reta. Operações com números reais A adição e a multiplicação são as operações fundamentais entre números reais. Elas gozam de propriedades similares já enunciadas para os números inteiros. Convido você a recordar estas propriedades relendo-as na Aula 1. As operações fundamentais podem ser definidas ou interpretadas geometri- camente sobre a reta real. Vamos lá! Soma de dois números reais a e b Vamos supor que os números reais a e b sejam positivos. Isto é, a e b pertencem à semi-reta real positiva. Veja a Figura 6.1. a a+b 0 b 1 A B A+B IR Figura 6.1: Soma de dois números. 85 CEDERJ Números reais: relação de ordem, intervalos e inequações Os números reais a e b correspondem às medidas dos comprimentos dos segmentos A e B, respectivamente. A soma a+b é a medida do comprimento do segmento A + B, obtido pela justaposição (soma) dos segmentos A e B. O caso de soma de dois números reais negativos é similar ao caso de dois números positivos. A única diferença é que a operação é realizada na semi-reta real negativa. O caso de soma de um número real negativo com um número real posi- tivo é representado geometricamente por subtração de segmentos e também não apresenta dificuldade. Veja a atividade 1 logo adiante. Produto de dois números reais a e b Em primeiro lugar temos a “regra dos sinais” para o produto de dois números reais: a.b é positivo se a e b são ambos positivos ou ambos negativos; a.b é negativo se a for positivo e b negativo ou se a negativo e b positivo. Com estas observações em mente vamos interpretar geometricamente apenas a multiplicação de dois números reais positivos. Veja a Figura 6.2. Figura 6.2: Multiplicação de dois números. Os números a e b estão representados sobre a reta R. Usamos uma semi-reta auxiliar s com ińıcio no ponto 0 (zero). Transportamos, a partir de 0, sobre s o segmento A, encontrando o ponto x. O ponto y é determinado sobre s de modo que os segmentos 1x e by sejam paralelos. Finalmente assinalamos o ponto ab sobre R para representar o número igual a medida do segmento Oy. Veja que a linha tracejada que une o ponto y ao ponto ab é um arco de ćırculo de centro no ponto O. Nesta situação, usando a semelhança dos triângulos Ox1 e Oyb, podemos verificar que, b 1 = Oy Ox ⇒ b = Oy a ⇒ Oy = ab . E áı está a construção geométrica que permite multiplicar dois números positivos a e b. CEDERJ 86 Números reais: relação de ordem, intervalos e inequações MÓDULO 1 - AULA 6 Não é demais recordar mais uma vez as propriedades fundamentais da adição e da multiplicação de números reais. Para o enunciado das proprie- dades 1 até 5, considere números reais a, b e c arbitrários. Então: Propriedade 1: A adição e a multiplicação são comutativas. a + b = b + a e a.b = b.a . A Propriedade 1 estabelece que mudar a ordem das parcelas não altera a soma e mudar a ordem dos fatores não altera o produto. Propriedade 2: Associatividade a + (b + c) = a + (b + c) e a(bc) = (ab)c . A Propriedade 2 estabelece que agrupar as parcelas de diferentes modos não altera a soma e agrupar os fatores não altera o valor do produto. Propriedade 3: Elementos neutros Os números 0 (zero) e 1 satisfazem, a + 0 = 0 e a.1 = a . Propriedade 4: Simétrico e inverso de um número a + (−a) = 0 e a.a−1 = 1 , (a 6= 0) . A Propriedade 4 estabelece que os números −a e a−1 são, respectivamente, o simétrico e o inverso do número real a. Portanto, a−1, o inverso de a, verifica a−1 = 1 a . Propriedade 5: Distributividade a.(b + c) = a.b + a.c . A Propriedade 5 estabelece que o produto se distribue em relação à soma. 87 CEDERJ Números reais: relação de ordem, intervalos e inequações A relação de ordem introduzida nos números reais tem propriedades muito interessantes. Vamos recordar cinco delas ao longo desta aula. Para o enunciado das propriedades considere que, a, b e c são números reais arbitrários. Propriedade 6: Entre dois números reais a e b apenas uma das três possibilidades abaixo acontece: a < b ou b < a ou a = b . O enunciado da Propriedade 6 é evidente por si, se os números já estão representados na reta. Dados dois números ao acaso, suas posições na reta real R coincidem ou então um deles está à esquerda do outro. No entanto, a afirmação contida na propriedade merece a seguinte pergunta: - Dados dois números reais distintos, como identificar o menor deles? Ou melhor, como identificar aquele que deve ser representado à esquerda do outro na reta? Primeiro, é evidente a resposta se os números são inteiros. Os números inteiros estão bem espalhados sobre a reta real e é fácil identificar o menor dentre os dois, aquele número que deve ser assinalado à esquerda. Por exem- plo, se os números são 5 e 8, 5 está à esquerda. Se os números são −12 e −8, −12 está à esquerda. Isto é, 5 < 8 e −12 < −8. Para dois números racionais, os quais podemos supor escritos com deno- minadores positivos, temos o seguinte resultado, chamado regra do produto cruzado: m n < p q se e somente se mq < np . Veja porque vale a afirmação. Como os denominadores são positivos, então m n = mq nq e p q = pn nq . Logo, m n < p q ⇔ mq nq < pn nq ⇔ mq < pn , provando a equivalência prometida. Agora vamos atacar o problema bem geral. Como escolher entre dois números reais distintos a e b aquele que é menor? Temos três casos a considerar: CEDERJ 90 Números reais: relação de ordem, intervalos e inequações MÓDULO 1 - AULA 6 Primeiro Caso: Os números tem sinais contrários. Por exemplo, a é negativo e b positivo. Neste caso, óbvio, o número negativo é menor (a < b). Segundo Caso: Um dos números é zero. Por exemplo, a = 0. Neste caso, a < b se b é positivo ou b < a se b é negativo. Terceiro Caso: Os números possuem o mesmo sinal. Neste caso, precisamos considerar a expansão decimal. Suponha, em primeiro lugar que a e b são positivos. Então a = a0, a1 a2 a3 . . . an . . . , b = b0, b1 b2 b3 . . . bn . . . Nestas expansões estamos supondo a possibilidade que a partir de um certo ı́ndice todos os d́ıgitos sejam nulos. Nesta situação, a < b se uma das seguintes situações ocorrerem: 1) a0 < b0 ou 2) existe um número natural k tal que a0 = b0, a1 = b1, . . . , ak−1 = bk−1 e ak < bk. Exemplo 3, 0125 < 3, 01312111 . . . Por outro lado, se a e b são negativos, então a = −a0, a1 a2 a3 . . . an . . . , b = −b0, b1 b2 b3 . . . bn . . . Nestas expansões estamos também considerando a possibilidade de que a partir de certo ı́ndice todos os algarismos sejam nulos. Nesta situação, a < b se uma das seguintes situações ocorrerem. 1) a0 > b0 ou 2) existe um número natural k tal que a0 = b0, a1 = b1, . . . , ak−1 = bk−1 e ak > bk. Propriedade 7. Se a < b e b < c então a < c. Veja um exemplo. −3 < 5 e 5 < 25 ⇒ −3 < 25 . Propriedade 8. Se a < b então a + c < b + c. 91 CEDERJ Números reais: relação de ordem, intervalos e inequações A propriedade 8 é muito útil para resolver inequações, assunto que trataremos adiante. Veja um exemplo! Queremos determinar todos os valores inteiros x que satisfazem a desigualdade, x− 12 < −9. Usando a Propriedade 8, temos que x − 12 < −9 ⇒ x − 12 + 12 < −9 + 12 ⇔ x < 3 . Logo, os valores são x = 2, 1, 0, −1, −2, . . .. Propriedade 9. Se a < b e c > 0 então a.c < b.c. Esta propriedade é enunciada ressaltando que multiplicando ambos os mem- bros de uma desigualdade por um número positivo a desigualdade perma- nece. Exemplo: −250 < −32 ⇒ −500 < −64 . Propriedade 10. Se a < b e c < 0 então a.c > b.c. Esta propriedade é enunciada ressaltando que multiplicando ambos os mem- bros de uma desigualdade por um número negativo a desigualdade inverte de sentido. Intervalos de números reais Intervalos são subconjuntos de números reais que expressam um con- tinuum dos números reais. Esta caracterização implica que se dois números a e b estão num intervalo I e a < b, então qualquer número entre a e b está em I. Mais tarde, ao estudar cálculo, você poderá apreciar melhor esta ca- racterização de intervalos. Mas falamos do bicho intervalo, sem apresentá-lo. Vamos às definições. Definição 6.1 Dados os números reais a e b, com a < b, definimos os seguintes conjuntos de números reais: a) (a, b) = {x ∈ R; a < x < b}, b) [a, b) = {x ∈ R; a ≤ x < b}, c) (a, b] = {x ∈ R; a < x ≤ b}, d) [a, b] = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b}, Os intervalos acima definidos são referidos como intervalos abertos (a), fechado à esquerda e aberto à direita (b), aberto à esquerda e fechado à direita (c), e intervalo fechado (d). Os números a e b são os extremos do intervalo. CEDERJ 92 Números reais: relação de ordem, intervalos e inequações MÓDULO 1 - AULA 6 Resolver a inequação é explicitar o subconjunto de números reais onde a variável pode assumir valores, de modo que a inequação seja satisfeita. A linguagem dos intervalos é muito útil para expressar o conjunto solução de uma inequação. Veja alguns exemplos. Exemplo 6.3 Encontre o conjunto solução das inequações abaixo: a) 6 − 2x ≤ 8x e b) −x2 + x > −6 Solução de a) 6 − 2x ≤ 8x ⇒ 6 ≤ 8x + 2x ⇒ 6 ≤ 10x Então 6 10 ≤ x ⇒ x ≥ 3 5 . Logo o conjunto solução S da inequação é S = { x ∈ R; x ≥ 3 5 } = [ 3 5 ,∞ ) . Solução de b) Multiplicando ambos os membros da inequação por −1 e invertendo o sinal da desigualdade, a inequação é equivalente a x2 − x < 6 ⇒ x2 − x − 6 < 0 . Olhando para a equação do segundo grau x2 − x − 6 = 0, encontramos ∆ = b2 − 4ac = (−1)2 − 4 · 1 · (−6) ⇒ ∆ = 25 . Logo, x = −b ± √ ∆ 2a = 1 ± √ 25 2 = 1 ± 5 2 , definem as ráızes, como sendo x1 = 3 e x2 = −2 . Logo, x2 − x − 6 = (x − 3)(x + 2) . Assim, a inequação que precisamos resolver é (x − 3)(x + 2) < 0 . 95 CEDERJ Números reais: relação de ordem, intervalos e inequações Ora as soluções posśıveis ocorrem apenas quando os fatores do primeiro membro da inequação possuem sinais contrários. Então x − 3 > 0 e x + 2 < 0 ou x − 3 < 0 e x + 2 > 0 são as soluções. Desenvolvendo, encontramos x > 3 e x < −2 ou x < 3 e x > −2 . Como não existe número x tal que x > 3 e x < −2, ficamos somente com a segunda possibilidade x < 3 e x > −2. Portanto, o conjunto solução é representado pela interseção de intervalos, S = (−∞, 3) ∩ (−2,∞) = (−2, 3) . Atividade 6.4 a) Use a Propriedade 9 para descrever todos os números reais tais que: 2x < −7. b) Use a propriedade 10 para descrever os números reais x tais que: −13x < −5. Exemplo 6.4 Para que valores reais de x a desigualdade abaixo faz sentido e é verdadeira. 1 x − 1 − 1 x + 1 > 0 . Solução Primeiramente é preciso que x 6= 1 e x 6= −1 , para que faça sentido as frações que aparecem na desigualdade. Podemos escrever 1 x − 1 − 1 x + 1 = x + 1 − (x − 1) (x − 1)(x + 1) = 2 (x − 1)(x + 1) > 0 . Ora para que a desigualdade seja verdadeira é suficiente que (x − 1)(x + 1) > 0 . CEDERJ 96 Números reais: relação de ordem, intervalos e inequações MÓDULO 1 - AULA 6 Vamos fazer uma tabela para identificar os sinais de x−1 e x+1. Veja a Figura 6.8. Figura 6.8: Os sinais de x − 1 e x + 1. Note que x + 1 > 0 ⇔ x > −1 e (x − 1) > 0 ⇔ x > 1 . Também, x + 1 < 0 ⇔ x < −1 e (x − 1) < 0 ⇔ x < 1 . Com isto, conclúımos, a partir da Figura 6.8 que (x + 1)(x − 1) > 0 ⇔ x < −1 ou x > 1 . Portanto, o conjunto solução S da inequação é S = (−∞,−1) ∪ (1,∞) = R − [−1, 1] . Para encerrar esta aula, vamos provar uma proposição muito útil so- bre desigualdades de números reais. Você certamente já conhece e usa este resultado para resolver suas contas. Aprecie. Proposição 6.1 Sejam a e b números reais positivos. Então a < b se e somente se a2 < b2. Prova: Em śımbolos, a proposição garante que para números reais positivos a e b a < b ⇔ a2 < b2 . Outra maneira de escrever a equivalência é a − b < 0 ⇔ a2 − b2 < 0 . Veja como ainda podemos melhorar o retrato de nossa equivalência: a − b < 0 ⇔ (a − b)(a + b) < 0 . A proposição traduzida na forma desta última equivalência pode agora ser provada. 97 CEDERJ Números reais: relação de ordem, intervalos e inequações 10. Prove que são verdadeiras as desigualdades: a) 1√ 5 + √ 3 < 2 √ 2, b) √ 3 √ 3 < 7 3 . 11. Mostre que se n é um número natural então existe um outro número natural m tal que n 2 − √ 2 < m < n 2 + √ 2. Auto-avaliação Antes de passar à aula seguinte, veja se você: • Resolveu e não tem dúvidas sobre as atividades desta aula. • Domina as dez propriedades operacionais dos números reais enunciadas. • Sabe definir todos os tipos de intervalos e fazer as operações de soma e interseção de conjuntos. • Resolveu os exerćıcios da série A. Respostas das atividades Atividade 6.1 Se a = 3 2 e b = −2, então como os sinais são diferentes, devemos subtrair segmentos. O segmento B cuja medida é 2 e maior que o segmento A de medida 3 2 . Logo, o resultado da soma é negativo e representa, em módulo, o compri- mento de B − A. Quanto ao produto, usamos a mesma resolução baseada na Figura 6.2. Para trabalhar com dois números positivos, buscamos o valor de a·(−b). Este número é positivo e colocado à direita na reta. Faça a construção como na Figura 6.2. O número a · b é o simétrico e situado à esquerda na reta. CEDERJ 100 Números reais: relação de ordem, intervalos e inequações MÓDULO 1 - AULA 6 Atividade 6.2 Você acertou se respondeu para o canal e para o volume. Atividade 6.3 a) Se x ∈ (−1, √ 2) ⇒ −1 < x < √ 2. Em particular, x < 3. Logo, x ∈ (−∞, 3). Isto prova a). b) Se x ∈ (− √ 3, 10) então − √ 3 < x < 10. Se x ∈ [0, 10 √ 2) então 0 ≤ x < 10 √ 2. Como 10 < 10 √ 2, um número real x para estar simultaneamente em ambos os conjuntos deve satisfazer 0 ≤ x < 10. Atividade 6.4 a) Usando a Propriedade 9, encontramos que 2x < −7 ⇒ 1 2 · 2x < 1 2 · (−7) ⇒ x < −7 2 . Logo, todos os números reais menores que −7 2 são soluções. Deste modo, o conjunto solução S é dado por S = ( −∞,−7 2 ) . b) Usando a Propriedade 10, encontramos que −13x < −5 ⇔ 13x > 5 ⇔ x > 5 13 . Logo, S = ( 5 13 ,∞ ) é o conjunto solução. Atividade 6.5 a) Basta fazer a multiplicação. b) Use a proposição 6.1 e o item a). Respostas dos exerćıcios 1. Note que −13 12 = −13 × 17 12 × 17 = − 221 12 × 17 e − 18 17 = −18 × 12 17 × 12 = −216 17 × 12 . Sendo −221 < −216, então −13 12 < −18 17 . 101 CEDERJ Números reais: relação de ordem, intervalos e inequações Do mesmo modo, aproveitando as contas já feitas, vem que 216 < 221 e então 18 17 < 13 12 . Logo, −13 12 < −18 17 < 18 17 < 13 12 . 2. Note que −1 2 = −3 2 × 3 e − √ 3 3 = −2 √ 3 3 × 2 . Agora, −2 √ 3 < −3. Portanto − √ 3 3 < −1 2 . Do mesmo modo 7 5 < √ 2, uma vez que ( 7 5 )2 < (√ 2 )2 . Ou seja, 49 25 < 2. Portanto, − √ 3 3 < −1 2 < 7 5 < √ 2 . 3. Mostrar que 3 < √ 10 é equivalente a mostrar que 32 < (√ 10 )2 (veja a Proposição 6.1) e isto é verdade, pois 9 < 10. Por outro lado, √ 10 < 3, 2 é equivalente a (√ 10 )2 < (3, 2)2 = 10, 24. Portanto, 3 < √ 10 < 3, 2 . 4. Veja que √ 5 n > 1√ 5 ⇔ √ 5 n · √ 5 > √ 5√ 5 ⇔ 5 n > 1 . Ou seja, 5 > n. Portanto, n = 1, 2, 3 e 4, satisfazem a desigualdade original. 5. a) IR 0 1 2−1−2 2− b) IR 10 2 3 7 8 4 10 c) IR 3210 6. a) [−2, 0), b) (−1, 1), c) (−∞, 1], d) [− √ 2 2 ,∞ ) CEDERJ 102