(Parte 1 de 10)

MAKRON Books

CAPÍTULO 1EDITORA

Tudo o que vamos estudar no curso de Cálculo se referirá a conjuntos de números reais. Estudaremos funções que são definidas e assumem valores nesses conjuntos. Assim, ao estudarmos limite, continuidade, derivadas e integrais dessas funções, usaremos os fatos elementares a respeito dos números reais.

Neste 12 capítulo, vamos analisar o conjunto dos números reais. Enunciaremos os axiomas básicos, deduziremos propriedades, e apresentaremos exemplos envolvendo estas propriedades.

1.1 CONJUNTOS NUMÉRICOS

Os primeiros números conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos ou naturais. Temos então o conjunto

N = {1, 2, 3,}.
Os números —1, —2, —3,são chamados inteiros negativos. A união do conjunto dos

números naturais com os inteiros negativos e o zero (0) define o conjunto dos números inteiros que denotamos por

Z={0,±1,±2,±3,...}.

Os números da forma mln, n O, m, n E Z, são chamados de frações e formam o conjunto dos números racionais. Denotamos:

Q= {x I x mln , m, n e Z, n O}.

n O, m, n e Z, tais como -& = 1,414, n = 3,14159 ..., e = 2,71 ... . Estes números

Finalmente encontramos números que não podem ser representados na forma mln, formam o conjunto dos números irracionais que denotaremos por Q'.

Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais resulta o conjunto dos números reais, que denotamos por

1? = Qu Q'

A seguir apresentaremos os axiomas, definições e propriedades referentes ao conjunto dos números reais.

No conjunto dos números reais introduzimos duas operações, chamadas adição e multiplicação que satisfazem os axiomas abaixo:

1.1.1 Fechamento. Se a e b e 1?, existe um e somente um número real denotado por a + b, chamado soma e existe um e somente um número real, denotado por ab (ou a x b, ou a - b) chamado produto.

1.1.2 Comutatividade. Se a, b e R entãoa+b=b+a e a-b=b-a.

1.1.3 Associatividade. Se a, b e c e R então a + (b + c) = (a + b) + c e a (b c) = (a•b) • c.

1.1.4 Distributividade. Se a, b, c E 1? então a• (b + c) = ab + ac.

1.1.5 Existência de Elementos Neutros. Existem O e 1 e R tais que a + O = a e a • 1= a, para qualquer a E R.

1.1.6 Existência de Simétricos. Todo a E R tem um simétrico, denotado por —a, tal que a + (—a) = O.

1.1.7 Existência de Inversos. Todo a E IR, a O tem um inverso, denotado por

1/a, tal que a • 1 —a = 1.

Usando 1.1.6 e 1.1.7 podemos definir a subtração e a divisão de números reais.

1.1.8 Subtração. Se a, b E IR, a diferença entre a e b, denotada por a — b, é definida por a — b = a + (—b).

1.1.9 Divisão. Se a,bEIReb O, o quociente de a e b é definido por —a = a b•

1.2 DESIGUALDADES

Para podermos dizer que um número real é maior ou menor que outro, devemos introduzir o conceito de número real positivo e uma relação de ordem.

1.2.1 Axioma de Ordem. No conjunto dos números reais existe um subconjunto denominado de números positivos, tal que:

(i)se a E E, exatamente uma das três afirmações ocorre: a -= O; a é positivo; — a é positivo;

(i)a soma de dois números positivos é positiva; (i) o produto de dois números positivos é. positivo.

1.2.2 Definição. O número real a é negativo se e somente se — a é positivo.

1.2.3 Os símbolos < (menor que) e > (maior que) são definidos: (i)a < b <=> b — a é positivo; (i)a > b .:;=> a — b é positivo.

1.2.4 Os símbolos 5_ (menor ou igual que) e (maior ou igual que) são definidos: (i)a 5_ b <=> a < b ou a =-- b;

Expressões envolvendo os símbolos definidos acima são chamadas de DESI-

GUALDADES. a<bea>b são desigualdades estritas enquanto abea b são desigualdades não estritas.

1.2.5 Propriedades. Sejam a, b, c, d e N. (i)Sea>b eb>c, então a > c. (i)Se a>bec> O, então ac > bc. (i)Se a>be c< O, então ac < bc. (iv)Se a > b, então a+c>b+c para todo real c. (v)Sea>bec> d, entãoa+c>b+ d. (vi)Sea>b>Oec>d> O, então ac>bd.

As propriedades enunciadas podem ser facilmente provadas usando-se as definições anteriores. Por exemplo:

Prova da Propriedade i). (Sea>beb> c, então a > c).

(def) Se a > b (a — b) > O.

(def) Se b > c (b — c) > O.

Usando 1.2.1 (i), temos (a — b) + (b — c) > O

(def) ou a—c>0a>c.

Prova da Propriedade i). (Se a > b e c > O, então ac > bc).

(def.) Se a > b (a — b) > O.

Usando 1.2.1 (i) temos (a — b) • c > O ou (ac — bc) > O e finalmente, pela definição, ac > bc.

1.3 VALOR ABSOLUTO

1.3.1 Definição. O valor absoluto de a, denotado por lal, é definido como lal = a, se a O lal = — a, se a < O.

1.3.2 Interpretação Geométrica. Geometricamente o valor absoluto de a, também chamado módulo de a, representa a distância entre a e O. Escreve-se então lal =.

1.3.3 Propriedades.

(Parte 1 de 10)

Comentários