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Baixe GA Notas e outras Notas de estudo em PDF para Geometria, somente na Docsity! Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici Notas de aula - versão preliminar BC0404 - Geometria Analı́tica UFABC - Universidade Federal do ABC Santo André http://hostel.ufabc.edu.br/˜daniel.miranda Versão compilada em: 1 de dezembro de 2010 Escrito em LATEX. Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici SUMÁR IO Sı́mbolos e notações gerais v 1 Estrutura Vetorial do Plano e do Espaço 1 1.1 Definições Elementares 1 1.1.1 Operações com Vetores 4 1.2 Dependência e Independência Linear de Vetores 16 1.3 Bases 32 1.4 Soma de Ponto com Vetor 34 2 Vetores em Coordenadas 41 2.1 Sistemas de Coordenadas 42 2.1.1 Operações Vetoriais em Coordenadas 46 2.2 Bases Ortonormais e Coordenadas Cartesianas 52 2.3 Ângulo entre dois Vetores: Produto Escalar 55 2.3.1 Projeção Ortogonal 59 2.4 Vetor Perpendicular a dois Vetores Dados: Produto Vetorial 62 2.5 Escolha do Sistema de Coordenadas 68 2.6 O Problema do Lugar Geométrico 72 2.7 Coordenadas Polares 76 2.7.1 Gráficos de curvas em coordenadas polares 81 3 Retas e Planos 87 3.1 Equações da Reta 87 3.1.1 Equações da reta no plano 92 3.2 Equações do Plano 98 3.2.1 Equações Paramétricas e Vetoriais do Plano 98 3.2.2 Equação Geral de um Plano 99 3.3 Posições Relativas 103 3.3.1 Posição relativas entre retas 103 3.3.2 Posição relativas entre retas e planos 109 3.3.3 Posição relativas entre planos 112 3.4 Ângulos 115 3.4.1 Ângulo entre duas Retas 116 i Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici S ÍMBOLOS E NOTA Ç ÕES GERA I S ∃ : existe ∀ : qualquer que seja ou para todo(s) ⇒ : implica ⇔ : se, e somente se ∴ : portanto := : definição (o termo à esquerda de := é definido pelo termo ou expressão à direita) i.e. : id est (em português, isto é)  : indica o final de uma demonstração ←→ AB : reta passando pelos pontos A e B AB : segmento de reta ligando os pontos A e B AB : segmento orientado de reta ligando os pontos A e B −→ AB : vetor determinado pelos pontos A e B v : vetor v ‖AB‖ : comprimento do segmento AB ‖v‖ : comprimento do vetor v ‖−→AB‖ : comprimento do vetor −→AB |A| : determinante da matriz A Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici 1 ESTRUTURA VETOR IAL DO PLANO E DO ESPA ÇO 1.1 definições elementares Nossa apresentação dos vetores será primordialmente geométrica, e para tanto utiliza- remos livremente os resultados da geometria Euclideana plana e espacial. Assim supo- remos conhecidos os conceitos de ângulos, retas, planos, comprimento de segmentos, distância de dois pontos, etc. E ao longo destas notas denotaremos por E3 o espaço eu- clideano tridimensional e por E2 o plano euclideano. Usaremos letras maiúsculas, A, B, etc. para representar os pontos, letras minúsculas r, s, etc. para indicar as retas e as letras gregas minúsculas π,α, etc. para denotar os planos. Isso posto, comecemos nosso estudo com uma das estruturas sobre a qual pode-se fundamentar a geometria analı́tica: os vetores. Os vetores permitem uma descrição ele- gante e unificada da geometria Euclideana e desempenham um papel importante na fı́sica, onde são usados para representar grandezas que possuem intensidade (denomi- nada também tamanho, comprimento, magnitude ou norma), direção e sentido. Assim por exemplo a velocidade e a aceleração de um objeto e as forças que agem sobre ele são descritas por vetores. b A b B Para tornarmos clara a definição de vetor, começaremos com um termo relacionado: os vetores aplicados. Um vetor aplicado ou seg- mento orientado é um par ordenado de pontos do espaço Euclideano, ou, de modo equivalente, um segmento de reta no qual se escolheu um dos extremos A, como ponto inicial. Nesse caso o outro extremo B do segmento será denominado ponto final e o vetor aplicado com ponto inicial A e final B será denotado por AB. Para nossas considerações um ponto A é considerado um segmento que denominaremos segmento nulo. Esse segmento será denotado por AA ou por 0. O comprimento do um segmento AB será denotado por ∣∣AB ∣∣. Os vetores são grandezas matemáticas construı́das para representar para representar grandezas que possuem intensidade, direção e sentido. Os vetores aplicados servem parcialmente a esses propósitos, através deles podemos representar grandezas com es- ses atributos. Porem essa representação não é única, existem vários vetores com pontos iniciais e finais distintos, mas que possuem intensidade, direção e sentido iguais. Para 1 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici u v Figura 1.3: Vetores ortogonais 1.1.1 Operações com Vetores Por tradição, grandezas que possuem apenas magnitude, ou seja que são representadas por números reais são denominadas grandezas escalares. Seguindo essa tradição deno- minamos um número real k de escalar. Vamos definir duas operações envolvendo vetores: a soma de vetores e a multiplicação por escalares. Multiplicação por Escalar: Dado um vetor v e um escalar k podemos realizar a multiplicação de k e v obtendo o vetor kv definido do seguinte modo: • Se o vetor v é nulo ou o escalar k é zero então kv = 0 • Se k > 0, o vetor kv é o segmento de reta com o mesmo sentido, mesma direção e com comprimento |k| ‖v‖. • Se k < 0 então o vetor kv tem a mesma direção e sentido oposto ao vetor v e comprimento |k| ‖v‖. A −A 1 2 A Figura 1.4: Multiplicação de um vetor por um escalar. Um vetor de comprimento 1 é chamado vetor unitário. Dado um vetor v o vetor unitário 1 ‖v‖ · v = v ‖v‖ possui a mesma direção e sentido que v e é chamado versor de v. 4 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici Um termo que usaremos ocasionalmente é o de vetor direcional ou vetor diretor. Muito frequentemente estaremos interessados apenas na direção de um vetor e não no seu tamanho. Por exemplo, como veremos posteriormente, uma reta é completamente determinada por um ponto P e um vetor v. Nesse caso o tamanho de v não é importante e podemos multiplica-lo livremente por um escalar. Através da multiplicação de vetores por escalares podemos dar uma caracterização algébrica para o paralelismo de vetores: Teorema 1.1 Se dois vetores u, v são paralelos e v 6= 0 então u = λv para algum λ ∈ R. Demonstração: Vamos tratar primeiro o caso em que u e v têm mesmo sentido. Neste caso, visto que ‖v‖ 6= 0, podemos escolher λ = ‖u‖ ‖v‖ Com essa escolha, provemos que u =λv. Como u e v são paralelos, u e λv possuem a mesma direção. E como estamos assu- mindo que u e v possuem o mesmo sentido e como λ é maior que zero então pela definição de multiplicação por escalares u e λv possuem o mesmo sentido. Finalmente ‖λv‖ = λ‖v‖ = ‖u‖‖v‖‖v‖ = ‖u‖ O que prova que eles tem o mesmo comprimento. A demonstração do caso em que u e λv possuem direção contrária é análoga, porém nesse caso escolhemos λ = −‖u‖‖v‖ .  Corolário 1.2 Dois vetores u, v são paralelos se e somente se u =λv para algum λ ∈ R ou v =θu para algum θ ∈ R. Demonstração: Suponha que u, v são paralelos. Caso v 6= 0, pelo teorema acima, temos que u =λv para algum λ ∈ R. Caso contrário, i.e., se v = 0 então v =θu para θ = 0. A implicação contrária segue da definição de multiplicação de um vetor por um escalar. Se u =λv ou v =θu então u e v têm mesma direção, ou seja, são paralelos.  E como consequência do corolário anterior temos: Teorema 1.3 Três pontos A,B,C pertencem a mesma reta se e somente se −→ AB = λ −→ BC ou −→ BC = θ −→ AB. 5 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici b A b B b C −→ AB −→ BC Demonstração: Claramente se A,B,C pertencem a mesma reta então os vetores −→ AB e −→ BC são paralelos e consequentemente pelo corolário acima temos: −→ AB = λ −→ BC ou −→ BC = θ −→ AB Se −→ AB = λ −→ BC ou −→ BC = θ −→ AB, então pelo corolário anterior os segmentos AB e BC são paralelos. Consequentemente são paralelas as retas ←→ AB e ←→ BC. Mas como o ponto B pertence a ambas as reta, essas são coincidentes, i.e., os pontos A,B,C pertencem a mesma reta.  Soma de vetores Dois ou mais vetores podem ser somados do seguinte modo: a soma, v + u, de dois vetores v e u é determinada da seguinte forma: A partir de um segmento orientado AB, representante arbitrário de v, tome um segmento orientado BC que representa u, i.e., tome um representante de u com origem na extremidade final do representante de v, desta forma o vetor v+ u é definido como o vetor representado pelo segmento orientado AC, ou seja, pelo segmento que vai da origem do representante de v até a extremidade final do representante de u. u v u+ v Figura 1.5: Soma de Vetores A soma de vetores também pode ser feita através da regra do paralelogramo. Para somar dois vetores v e u através dessa regra tomamos representantes desses vetores que começam num ponto comumO, como na figura 1.6. Então, a partir do ponto final de cada vetor traçamos uma reta paralela ao outro vetor. Essas retas se interceptam no ponto P. E logo um paralelogramo é formado. O vetor diagonal −→ OP é a soma dos vetores v e u. O vetor v+ u obtido por esse método é o mesmo que o obtido pelo método anterior, pois 6 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici u v v uu+v Figura 1.8: Propriedade Comutativa da Soma u v w u+ v w v+w Figura 1.9: Propriedade Associativa da Soma A propriedade M1 segue de modo simples a partir da regra do paralelogramo. Dei- xamos os detalhes a cargo do leitor. M2 e M5 são resultados imediatos da definição de multiplicação de vetor por escalar. Para demonstrarmos a propriedade M3, i.e., a associatividade da multiplicação por escalares (λ1λ2)u = λ1(λ2u) observamos inicialmente que os vetores (λ1λ2)u e λ1(λ2u) possuem a mesma direção e sentido independentemente do sinal de λ1 e λ2 (terão o mesmo sentido de u se λ1 e λ2 tiverem o mesmo sinal, e sentido oposto a u se λ1 e λ2 tiverem sinais contrários). Além disso, os comprimentos de (λ1λ2)u e λ1(λ2u) são os mesmos pois: ‖λ1(λ2u)‖ = |λ1| · ‖λ2u‖ = |λ1| · (|λ2| ‖u‖) = |λ1λ2| · ‖u‖ = ‖(λ1λ2)u‖ . A propriedade M4, i.e, a distributiva dos vetores em relação aos escalares (λ1 + λ2)u = λ1u+ λ2u, segue da observação de que a direção e o sentido dos vetores (λ1 + λ2)u e λ1u+ λ2u é a mesma. Esse fato é claro se λ1 e λ2 tiverem o mesmo sinal, ou se λ1 + λ2 = 0, no outros casos o sentido é determinado pelo escalar de maior módulo |λ1| e |λ2| . Se o sinal de λ1 e λ2 forem o mesmo, teremos que ‖(λ1 + λ2)u‖ = |(λ1 + λ2)| ‖u‖ = (|λ1|+ |λ2|)‖u‖ = ‖λ1u‖+ ‖λ2u‖. Pela definição de adição de vetores é fácil ver que a soma de dois vetores de mesmo sentido é um vetor também de mesmo sentido e com o comprimento igual a soma do comprimento dos vetores somados. Daı́ temos: 9 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici ‖λ1u‖+ ‖λ2u‖ = ‖λ1u+ λ2u‖. Por outro lado, caso os sinais de λ1 e λ2 sejam contrários, teremos: ‖(λ1 + λ2)u‖ = ∣∣(λ1 + λ2) ∣∣‖u‖ = ∣∣ |λ1|− |λ2| ∣∣‖u‖ = ∣∣‖λ1u‖− ‖λ2u‖ ∣∣. Novamente, pela definição de soma vetorial, segue que: ∣∣‖λ1u‖− ‖λ2u‖ ∣∣ = ‖λ1u+ λ2u‖.  Todas as propriedades algébricas dos vetores podem ser deduzidas das 9 propriedades acima. Essas propriedades são análogas as propriedades dos números reais e grande parte da álgebra desenvolvida para números reais se estende para as operações vetoriais. De modo mais geral podemos definir um espaço vetorial como um conjunto com uma operação + e uma operação de multiplicação por escalares satisfazendo os nove axiomas acima. Os espaços vetoriais são uma das estruturas matemáticas de maior importância. Vejamos algumas propriedades algébricas dos vetores: Exemplo 1.5 v+ v = 2v Demonstração: Pela propriedadeM5 temos que v+ v = 1v+ 1v e pela propriedadeM4 temos que1v+ 1v = (1+ 1)v = 2v e logo v+ v =2v  Exemplo 1.6 v+ (−1v) = 0, ou seja o vetor oposto a v é −1v. Demonstração: Pela propriedade M5 temos que v+ (−1v) = 1v+ (−1v) e pela proprie- dade M4 temos que 1v+ (−1v) = (1− 1) v = 0v. Finalmente a propriedade M2 nos diz que 0v =0 Como o vetor oposto é único temos que o vetor oposto a v é −1v.  10 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici Exemplo 1.7 u+ v = w se, e somente se, u = w− v. Demonstração: Vamos provar a primeira implicação. Se u+ v = w então, u = w− v Vamos começar calculando (u+ v) −v (u+ v) −v= u+(v− v) por S2 (1.1) u+(v− v) = u por M4 e M5 (1.2) por outro lado, como w = u+ v: (u+ v) −v = w− v = u (1.3) e consequentemente por 1.2 e ?? temos: u = (u+ v)−v = w− v A implicação contrária é semelhante. O leitor pode tentar, assim, co pletar os detalhes.  Exemplo 1.8 Os segmentos que unem os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado. b A b B b C b M2 b M1 Solução: Seja o triângulo ∆ABC e seja M1 o ponto médio do lado AB e M2 o ponto médio do lado AC. O vetor −−−→ AM1 é igual a metade do vetor −→ AC pois ambos possuem mesma direção e sentido e o comprimento de −−−→ BM1 é metade do comprimento de −−−→ AM1. Analogamente, temos que −−−→ AM2 é metade do vetor −→ AC, i.e., 11 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici e) −→ AG f) −→ AB+ −→ FG g) −−→ AD+ −→ HG h) 2 −−→ AD− −→ FG− −→ BH+ −→ GH Ex. 1.2 — Sendo ABCDEF um hexágono regular, como na figura abaixo. Expresse os seguintes vetores em função dos vetores −→ DC, −→ DE b A b B b C b D b E bF b O a) −→ DF b) −−→ DA c) −→ DB d) −−→ DO e) −→ EC f) −→ EB g) −→ OB Ex. 1.3 — Sendo ABCDEF um hexágono regular, como no exercı́cio anterior. Expresse os seguintes vetores em função dos vetores −−→ OD, −→ OE a) −−→ OA+ −→ OB+ −→ OC+ −−→ OD+ −→ OE+ −→ OF b) −→ AB+ −→ BC+ −→ CD+ −→ DE −→ EF+ −→ FA c) −→ AB+ −→ BC+ −→ CD+ −→ DE+ −→ EF d) −−→ OA+ −→ OB+ −−→ OD+ −→ OE e) −→ OC+ −→ AF+ −→ EF Ex. 1.4 — Dados os vetores f1, . . . f5 os vetores que ligam um vértice de um hexágono regular aos outros vértices como mostra a figura abaixo. a) Determine a soma desses vetores em função dos vetores f1 e f3. 14 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici f5 f4 f3 f2f1 Ex. 1.5 — Dado um triângulo ∆ABC, sejam M,N,P os pontos médios dos segmentos AB, BC e CA respectivamente. Exprima os vetores −→ BP, −−→ AN e −−→ CM em função dos vetores −→ AB e −→ AC. Ex. 1.6 — Dado um triângulo ∆ABC, seja M um ponto do segmento AB. Suponha que o vetor −−→ AM é igual a λ vezes o vetor −−→ MB. Exprima o vetor −−→ CM em função dos vetores −→ AC e −→ BC. Ex. 1.7 — Dado um quadrilátero ABCD, tal que −−→ AD = 5u, −→ BC = 3u e tal que −→ AB = v. a) determine o lado −→ CD e as diagonais −→ BD e −→ CA em função de u e v b) prove que ABCD é um trapézio. Ex. 1.8 — Prove que v‖v‖ é um vetor unitário com a mesma direção e sentido que v Ex. 1.9 — Usando as propriedades da soma de vetores e da multiplicação por escalares resolva a equação nas incógnitas x e y, i.e., escreva os vetores x e y em função de u e v: a) { x+ 3y = u 3x− 5y = u+ v b) { x+ 2y = u 3x− 2y = u+ 2v Ex. 1.10 — Dados os vetores u, v,w e z tais que w = u+w e u é paralelo a z. Prove que w é paralelo a z se, e somente se, v é paralelo a z. 15 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici Ex. 1.11 — Usando as propriedades da soma de vetores e da multiplicação por escalares prove que: a) (−α) v = −(αv) b) α (−v) = − (αv) c) −α (−v) = αv Ex. 1.12 — Prove que se αv =βv e v 6= 0 então α = β. Ex. 1.13 — Prove que αv = 0 então ou α = 0 ou v = 0 Ex. 1.14 — Dado um pentágono regular eO o seu centro. Mostre que a soma dos vetores ligando o centro do pentágono a seus vértices é o vetor nulo. Ex. 1.15 — Prove que dados dois vetores u e v não paralelos então se λ1u+ λ2v = O então λ1 = λ2 = 0 Ex. 1.16 — Se ∆EFG é um triângulo qualquer e P,Q e R são os pontos médios dos lados EF FG e GE respectivamente, demostrar que EPQR é um paralelogramo b A b B b C b M b L bN 1.2 dependência e independência linear de vetores Como vimos na seção anterior, a adição de vetores e a multiplicação de um vetor por um escalar nos permitem obter novos e diferentes vetores a partir de alguns vetores dados. Por exemplo, multiplicando um vetor não-nulo por um escalar de módulo diferente de 1 obtemos um vetor de módulo diferente do vetor original. De modo semelhante, dados 16 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici para α2,α3, . . . ,αn ∈ R. Somando (−1)v1 a ambos os lados da igualdade chegamos a: (−1)v1 + n ∑ i=2 αivi = 0. Logo ∑n i=1 αivi = 0 com α1,α2, . . . ,αn não todos nulos (pois α1 = −1). Reciprocamente, considere que existem α1,α2, . . . ,αn não todos nulos tal que n ∑ i=1 α1v1 = 0. Suponha, sem perda de generalidade que α1 6= 0. Multiplicando ambos os lados da igualdade por 1α1 e isolando v1 chegamos a: v1 = n ∑ i=2 − αi α1 vi. Ou seja, o vetor v1 é combinação linear dos demais.  A negativa lógica de tal proposição nos leva ao seguinte teorema: Teorema 1.14 Os vetores v1, . . . , vn são linearmente independentes se e somente se ( n ∑ i=1 αivi = 0 ) =⇒ (α1 = · · · = αn = 0) Ou seja, a única relação linear entre os vetores é a trivial, ou ainda, o vetor 0 pode ser escrito de modo único como combinação de vi. A partir do Teorema 1.14 e da Proposição 1.13, estudar a dependência linear dos vetores v1, . . . , vn é uma tarefa simples. Basta estudar a equação: n ∑ i=1 αivi = 0, com incógnitas αi (i ∈ {1, 2, . . . ,n}). Se tal equação admitir apenas a solução αi = 0 para todo i ∈ {1, 2, . . . ,n}, então os vetores v1, . . . , vn são LI. Caso contrário, são LD. A dependência e independência linear de vetores de V2 e V3 pode, também, ser carac- terizada geometricamente. Para isso definamos a dependência geométrica de vetores: Definição 1.15 Para vetores em V2 e V3 definimos: 19 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici 1. Um vetor v é geometricamente dependente (GD) se v = 0. 2. Dois vetores u, v são geometricamente dependentes (GD) se u e v são paralelos a uma mesma reta. 3. Três vetores u, v,w são geometricamente dependentes (GD) se u, v e w são parale- los a um mesmo plano. 4. Quatro ou mais vetores são, por definição, geometricamente dependentes (GD). Um dado conjunto de vetores é dito geometricamente independente (GI) se ele não é geometricamente dependente (GD). Veremos que um conjunto de vetores é geometricamente dependente [independente] se e somente se são linearmente dependente [independente]. Observamos que dois vetores u, v são LD se e somente u é paralelo a v (o que inclui o caso em que um deles é o vetor nulo). Além disso, observamos que um ponto O e dois vetores u, v linearmente independen- tes determinam um plano. Para ver isso, tome representantes de u, v com origem emO. É fácil ver que existe um único plano do espaço E3 que contém tais representantes. Assim sendo, dados três vetores u, v,w com u, v linearmente independentes, então u, v,w são LD se e somente se w é paralelo ao plano determinado por u, v e um ponto qualquer do espaço. Provemos agora dois lemas de fundamental importância, não apenas para a demonstração da equivalência entre os conceitos de dependência linear e geométrica, mas para toda ge- ometria analı́tica: Lema 1.16 (Lema da Base para Planos) Considere três vetores u, v, f geometricamente depen- dentes com u, v geometricamente independentes. Temos que f pode ser escrito como combinação linear de u, v, isto é: f = α1u+ α2v, para α1,α2 ∈ R. Demonstração: Considere um ponto arbitrário O do espaço. Primeiramente observe que f é paralelo ao plano determinado pelo ponto O e pelos vetores u, v. Considere o representante de f que começa no pontoO e termina em P, i.e., seja f = −→ OP. Considere a reta paralela a u que passa pelo ponto P e a reta paralela a v que passa por O. Essas retas se encontram num ponto K (Por quê?). É fácil ver, então, que f = −→ OK+ −→ KP. 20 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici b O v u b P f b K α2v α1u Figura 1.13: Lema da Base para Planos Como −→ KP é paralelo a u, tal vetor é um escalar vezes u, ou seja, −→ KP = α1u. De maneira análoga −→ OK = α2v. Desta forma temos: f = α1u+ α2v.  Lema 1.17 (Lema da Base para V3) Considere três vetores u, v,w ∈ V3 geometricamente in- dependentes. Temos que, para qualquer f ∈ V3, vale que f é combinação linear de u, v,w, ou seja: f = α1u+ α2v+ α3w, para α1,α2,α3 ∈ R. α3w bO b P f u w v b K α1u α2v−→ OK Figura 1.14: Lema da Base para o Espaço Demonstração: A demonstração é análoga a demonstração anterior. Começamos esco- lhendo representantes dos vetores f,u, v,w que começam no ponto O (veja a figura ??). Seja então a reta paralela a w passando por P. Essa reta intercepta o plano determinado por u, v no ponto K. O vetor −→ OK estando no mesmo plano que u, v, pode ser escrito como combinação linear desses vetores: −→ OK = α1u+α2v 21 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici Exemplo 1.20 Dado as retas r e s e um ponto O não pertencente as retas. Dadas duas retas t1 e r2, que interceptam r e s nos pontos A,B,C,D conforme a figura abaixo. Mostre os segmentos AB e CD são paralelos se e somente se ‖OA‖ ‖AC‖ = ‖OB‖ ‖BD‖ . u v s r t1 t2 b O b C b D b A b B Solução: Como os pontos O,A,B não são colineares, os vetores u = −−→ OA e v = −→ OB não são paralelos e assim são LI. Como os segmentos AB, CD são paralelos temos que −→ AB = λ −→ CD Como −→ OC é paralelo à −−→ OA temos que −→ OC = xu De modo análogo temos que −−→ OD = yv E assim −→ CD = −−→ OD− −→ OC = yv− xu Consequentemente −→ AB = v− u = λ(yv− xu) e logo (1− λx)u+ (λy− 1)v = 0 24 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici Como os vetores u, v são LI, temos que { 1− λx = 0 λy− 1 = 0 e logo x = y = 1λ . E finalmente temos que ‖OA‖ ‖AC‖ = ‖OB‖ ‖BD‖ . Faremos agora a recı́proca. Se ‖OA‖ ‖AC‖ = ‖OB‖ ‖BD‖ então ‖AC‖ ‖OA‖ = ‖BD‖ ‖OB‖ . e assim ‖OA‖+ ‖AC‖ ‖OA‖ = ‖OB‖+ ‖BD‖ ‖OB‖ . ⇒ OC OA = OD OB e assim igualando a k, temos que OCOA = OD OB = k Como os segmentos OC e OA são paralelos temos que −→ OC = k −−→ OA. De modo similar temos que −−→ OD = k −→ OB E assim −→ AB = −−→ OA− −→ OB −→ CD = −−→ OD− −→ OC = k( −−→ OA− −→ OB) Consequentemente os vetores −→ AB e −→ CD são paralelos.  Exemplo 1.21 Dado um paralelogramo ABCD. Seja l uma linha reta que intercepta AB,AC e AD nos pontos B1,C1 e D1 respectivamente. Prove que se −→ AB1 = λ1 −→ AB, −−→ AD1 = λ2 −−→ AD e −−→ AC1 = λ3 −→ AC então: 1 λ3 = 1 λ1 + 1 λ2 25 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici b A b D b B b C b B1 l b C1 b D1 Solução: Assuma que −→ AB = a, −−→ AD = b e −→ AC = a+ b. Então −→ AB1 = λ1a, −−→ AD1 = λ2b e AC1 = λ3(a+ b) Como os três pontos A1,B1 e C1 estão na mesma reta então: −−−→ B1C1 = k −−−→ B1D1 (1.11) Mas −−−→ B1C1 = −→ AC1 − −→ AB1 = (λ3 − λ1) a+ λ3b e −−−→ B1D1 = AD1 −AB1 = −λ1a+ λ2b Substituindo as expressões acima em 1.11, obtemos: (λ3 − λ1) a+ λ3b =− kλ1a+ kλ2b Isolando a,b: a (λ3 − λ1 + kλ1) + b (λ3 − kλ2) = 0 E logo λ3 − λ1 + kλ1 = 0 e λ3 − kλ2 = 0. Da segunda equação obtemos k = λ3 λ2 . Substituindo k na primeira equação e dividindo a mesma por λ1λ3 segue 1 λ3 = 1 λ1 + 1 λ2  Exemplo 1.22 Sejam M1,M2,M3 os pontos médios dos lados AB,BC e CA do triângulo ABC. Prove que as três medianas têm um único ponto comum, que divide AM1,BM2 e CM3 na razão 2 para 1. Esse ponto é conhecido como baricentro do triângulo. Solução: Dividiremos a resolução em duas partes: 1. Mostrar que G divide AM1 e BM2 na razão 2 para 1, ou seja, que: −→ AG = 2 3 −−−→ AM1 −→ BG = 2 3 −−−→ BM2. 26 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici Como a,b são LI: { 1 3 − β 2 = 0 −23 +β = 0 Tal sistema admite uma solução: β = 2 3 . Dessa forma temos que os pontos C, G e M3 são colineares e que G divide CM3 na razão 2 para 1.  Exercı́cios. Ex. 2.1 — Dados os vetores a,b e c como na figura abaixo. Escreva o vetor c como combinação de a e b. b c a3 2 6 30◦ 30◦ Ex. 2.2 — Dados os vetores a,b e c como na figura abaixo. Escreva o vetor c como combinação de a e b. 4 3 3 135◦ 120◦ Ex. 2.3 — Sejam B um ponto no lado ON do paralelogramo AMNO e e C um ponto na diagonal OM tais que −→ OB = 1 n −−→ ON 29 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici e −→ OC = 1 1+n −−→ OM. Prove que os pontos A, B e C estão na mesma reta. Ex. 2.4 — Dado um paralelogramo MNPQ, seja A o ponto de intersecção das diagonais e sejam B e C os pontos médios dos lados opostosMN e PQ. Prove que se os pontos A,B e C estão sobre a mesma reta entãoMNPQ é um trapézio (um trapézio é um quadrilátero com dois lados paralelos). b Q b P b M b N b A b C b B Ex. 2.5 — Se −→ AB+ −→ BC = 0, prove que os vetores −−→ OA, −→ OB e −→ OC são LD para qualquer ponto O. Ex. 2.6 — Os pontos P eQ dividem os lados CA e CB de um triângulo ∆ABC nas razões x 1− x , y 1− y respectivamente. Prove que se −→ PQ = λ −→ AB então x = y = λ. Ex. 2.7 — As diagonais AC e BD de um quadrilátero ABCD se interceptam no ponto P, que divide o segmento AC na razão m : n e o segmento BD na razão m ′ : n ′. Dado Q o ponto de intersecção das retas contendo os segmentos AC e BD. Encontre a razão AQ : DQ e BQ : CQ. m n m ′ n ′ b Q b A b B b D b C b P Ex. 2.8 — Chama-se diagonal de um paralelepı́pedo a um segmento ligando dois vértices não pertencentes a uma mesma face. Demostre que as diagonais de um paralelepı́pedo dividem-se mutuamente ao meio. 30 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici Ex. 2.9 — Dado um triângulo ∆OAB, sejam C e D pontos sobre o lado AB dividindo esse segmento em três partes congruentes. Por B traçamos a reta paralela a OA, e sejam X e Y a intersecção dessa reta com as retas ligando OC e OD respectivamente. a) Expresse os vetores −→ OX e −→ OY em função de −−→ OA e −→ OB. b) Determine as razões nas quais X divide BY, C divide a OX e D divide a OY. b O b B b A b C b D b X b Y Ex. 2.10 — Num quadrilátero ABCD, oQ o ponto de intersecção das diagonais AC e BD se interceptam dividem as diagonais nas razões 43 e 2 3 respectivamente. Em qual razão divide o ponto P determinado pelas intersecção os lados AB e CD a estes segmentos. Ex. 2.11 — Dado o ponto médio da mediana AE do triângulo ∆ABC se a reta BD corta o lado AC no ponto F, determine a razão que F divide AC b A b B b C b E b DbF Ex. 2.12 — Dado um triângulo ∆ABC e I um ponto interior ao triângulo. Passando por I, traçamos os segmentos PQ,RS, TU paralelos respectivamente a AB, BC e CA respecti- vamente. (Com os pontos P, S em AC, T ,Q em BC e U,R em AB. Demonstre que ‖PQ‖ ‖AB‖ + ‖RS‖ ‖BC‖ + ‖TU‖ ‖CA‖ = 2 31 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici 1.4 soma de ponto com vetor b P b Q v Dado um ponto P e um vetor −→v podemos definir uma soma de vetor com ponto do seguinte modo. Seja um representante de −→v que começa em P e seja Q o ponto final desse representante. Definimos então: P+ v := Q Ou seja, a soma do ponto com o vetor v nos retorna a translação do ponto P ao ser transportado pela direção, sentido e compri- mento de v. Podemos reescrever a definição de soma de ponto com vetor de outra forma: diremos que P+ v = Q se e somente se −→ PQ = v. Se escolhermos um ponto fixo no espaço O que chamaremos de origem, cada ponto P do espaço (ou plano) pode ser escrito como P = O+ −→ OP Nesse caso o vetor −→ OP é dito vetor posição de P. Proposição 1.27 A soma de ponto com vetor tem as seguintes propriedades: 1. P+O = P 2. P+ u = P + v se e somente se u = v 3. (P + u) + v = P+ (u+ v) 4. (P + u) − u = P 5. P+ −→ PQ = Q Demonstração: Faremos a demonstração dos três primeiras propriedades e deixaremos as outras como exercı́cio ao leitor. 1. É imediata pois PP = 0 2. Se P + u = P + v, seja Q = P + u, então u = −→ PQ = v e assim u = v. A recı́proca é imediata. 34 Ve rs ão Pr eli m in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici 3. SejaQ1 = P+u,Q2 = Q1+v eQ3 = P+(u+ v). Para demonstrar que (P+u)+v = P+ (u+ v) basta mostrarmos que Q2 = Q3. Por definição Q1 = P + u implica que u = −−→ PQ1. De modo análogo, Q2 = Q + v, implica que v = −−−→ Q1Q2 e Q3 = P+ (u+ v) implica que (u+ v) = −−→ PQ3. Logo −−→ PQ3 = (u+ v) = −−→ PQ1 + −−−→ Q1Q2 (1.12) ⇒ −−→PQ3 = −−→ PQ2 (1.13) ⇒ Q3 = Q2 (1.14)  Exemplo 1.28 Dado ∆ABC um triângulo e P um ponto sobre BC. Se Q = P + −→ AP + −→ PB+ −→ PC demonstre que ABQC é um paralelogramo e assim Q não depende da escolha de P. b A b B b C b Q b P Solução: Como Q = P+ −→ AP+ −→ PB+ −→ PC então −→ PQ = −→ AP + −→ PB+ −→ PC e logo −−→ AQ− −→ AP = −→ AP + −→ AB+ −→ AP + −→ AC+ −→ AP e logo −−→ AQ = −→ AB+ −→ AC E assim −→ CQ = −−→ AQ− −→ AC = −→ AB. De modo análogo podemos provar que −→ BQ = −→ AC e assim ABQC é um paralelogramo.  35 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici Exemplo 1.29 Dado um triângulo ∆ABC e O um ponto qualquer. Então o baricentro G do triângulo ∆ABC é dado por: G = O+ −−→ OA+ −→ OB+ −→ OC 3 b A b B b C b O b G Solução: Seja P = O+ −−→ OA+ −→ OB+ −→ OC 3 . Como −→ OB = −−→ OA+ −→ AB e −→ OC = −−→ OA+ −→ AC, temos que: P = O+ −−→ OA+ −−→ OA+ −→ AB+ −−→ OA+ −→ AC 3 que simplificando fica: P = O+ −−→ OA+ −→ AB+ −→ AC 3 E como A = O+ −−→ OA, a expressão anterior é equivalente a: P = A+ −→ AB+ −→ AC 3 No exercı́cio 1.22 já provamos que −→ AG = −→ AB+ −→ AC 3 ou na forma de soma de ponto com vetor que: G = A+ −→ AB+ −→ AC 3 E assim temos que G = P, ou seja, demonstramos que: G = O+ −−→ OA+ −→ OB+ −→ OC 3 36 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici Ex. 4.15 — Mostre que a bissetriz de um triângulo ∆ABC se interceptam num único ponto, denominado circuncentro cujo vetor posição é: sen 2αa+ sen 2βb+ sen 2γc sen 2α+ sen 2β+ sen 2γ Ex. 4.16 — Dado O o circuncentro e H o ortocentro de um triângulo ∆ABC, mostre que: a) −−→ OA+ −→ OB+ −→ OC = −−→ OH b) −→ HA+ −→ HB+ −→ HC = 2 −−→ HO 39 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici 2 VETORES EM COORDENADAS No primeiro capı́tulo estudamos vetores de um ponto de vista totalmente geométrico. Apesar de úteis, principalmente do ponto de vista intuitivo, as definições geométricas acabam perdendo um pouco de seu poder quando nos deparamos com problemas mais complexos. Por isso é necessário que tenhamos em mãos uma representação algébrica, não apenas de vetores, mas de todo o espaço Euclidiano. Uma representação que nos permita fazer cálculos mais finos e assim facilitar o estudo de resultados mais complexos. Os primeiros passos no sentido de encontrar tais representações já foram dados no capı́tulo anterior, ao estudarmos o conceito de base. Neste capı́tulo daremos continui- dade a estas ideias e veremos como utilizar as propriedades geométricas estudadas até agora para encontrar representações algébricas não apenas para vetores, mas também para os pontos do espaço Euclidiano. Tais representações serão chamadas de sistemas de coordenadas, e serão o foco principal deste capı́tulo. Antes de mais nada vamos tentar entender de maneira mais formal como se relaci- onam vetores e pontos no espaço, e como a representação de um pode ser facilmente traduzida para o outro. Tomemos então o espaço Euclidiano (E3 ou E2). O primeiro passo necessário para encontrarmos um sistema de coordenadas é “localizar” os pontos no espaço. Para isto precisaremos de um ponto qualquer para servir de referência. Fixemos então um ponto O ∈ E3 e chamemos este ponto de origem. Este será o ponto a partir do qual a posição de todos os outros pontos será medida ou, no caso de vetores, será o ponto inicial a partir do qual todos os vetores serão representados. Tome agora um ponto P qualquer em E3(ou E2) e lembre-se que, fixado O, podemos escrever P = O + −→ OP. Ou seja, tendo o ponto O como referência relacionamos a cada ponto de E3(E2) um vetor de V3(V2). Se considerarmos {f1, f2, f3}uma base de V 3, pelo teorema da base para o espaço temos que v = v1f1 + v2f2 + v3f3. Definimos assim uma bijeção entre os pontos de E3(E2) e os vetores de V3(V2): a cada vetor v podemos associar a tripla (v1, v2, v3). Isso nos permite que a partir de qualquer representação algébrica dos vetores de V3(V2) encontremos uma representação 41 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici Temos também que −→ AC = e1 + e2 e que −→ AA, sendo o vetor nulo, é igual a 0e1 + 0e2. Assim as coordenadas são A : (0, 0)Σ1 pois −→ AA = 0e1 + 0e2 B : (1, 0)Σ1 pois −→ AB = 1e1 + 0e2 C : (1, 1)Σ1 pois −→ AC = 1e1 + 1e2 D : (0, 1)Σ1 pois −−→ AD = 0e1 + 1e2. Para encontrar as coordenadas dos vetores −→ BD e −→ AC basta observar que −→ BD = −e1 + e2 e −→ AC = e1 + e2, e portanto temos −→ BD : (−1, 1)Σ1 −→ AC : (1, 1)Σ1 (2)Vamos agora escrever as coordenadas dos pontosA,B,C,D no sistema Σ2 = ( A, e3, 1 2 e1 ) . Para tanto devemos escrever os vetores −→ BA, −→ BB, −→ BC e −→ BD como combinação de f1 e f2 sendo f1 = e3 e f2 = 1 2 e1. Observe que −→ BA = −e1 = −2 ( 1 2 e1 ) = −2f2, −→ BB = 0f1 + 0f2 (vetor nulo), −→ BC = e2 = −e3 + e1 = −1f1 + 2f2 −→ BD = e3 − 2e1 = f1 − 4f2. E assim as coordenadas dos pontos são A : (0,−2)Σ2 B : (0, 0)Σ2 C : (−1, 2)Σ2 D : (1,−4)Σ2 44 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici Calculando as coordenadas dos vetores −→ BD e −→ AC, usando que e2 = e3 − e1 obtemos que −→ BD = −e1 + e2 = e3 − 2e1 = f1 − 4f2 −→ AC = e3 = f1, e portanto vale −→ BD : (1,−4)Σ2 −→ AC : (1, 0)Σ2 .  Exercı́cios. Ex. 1.1 — Dado o hexágono regular ABCDEF de centro O, conforme a figura abaixo: b A b B b C b D b E bF b O Determine as coordenadas dos pontos OA,B,C,D,E e F nos seguintes sistemas de coor- denadas: a) (O; −→ OC, −−→ OD) b) (O; −→ OC, −→ OE) c) (B; −→ BC, −→ BO) d) (B; −→ BC, −→ BE) Ex. 1.2 — Encontre as coordenadas dos seguintes vetores nos sistemas de coordenadas do exercı́cio anterior: a) −→ CD b) −→ BD c) −→ AC 45 Ve rs ão Pr eli m in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici d) −→ BE Ex. 1.3 — Dado o paralelogramo retângulo ABCDEFGH abaixo. Sejam e1 = −→ AB, e2 =−→ AC, e3 = AF, e4 = AE. Determine as coordenadas dos pontos A,B,C,D,E, F,G e H nos seguintes sistemas de coordenadas: a) (A; e1; e2; e3) b) (A; e2; e1; e3) c) (A; e4; e1; e3) d) (H; e1; e2; e3) e) (G;−e3; 1 2e1; 3e3) f) (A; 12e1; 1 2e2; 1 2e3) Ex. 1.4 — Determine as coordenadas dos vetores −→ AB, −→ AC, −→ AF, −→ AG, −→ EF, −→ FG, −→ EH nos seguin- tes sistemas de coordenadas: a) (A; e1; e2; e3) b) (A; e2; e1; e3) c) (H; e1; e2; e3) d) (H; e2; e1; e3) e) (G;−e3; 1 2e1; 3e3) 2.1.1 Operações Vetoriais em Coordenadas Agora que sabemos como representar vetores e pontos em coordenadas precisamos saber como operar com estas representações. A proposição abaixo nos diz como as 46 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici Exemplo 2.6 Achar o ponto médio M = (x,y, z) de um segmento com ponto inicial P1 = (x1,y1, z1) e P2 = (x2,y2, z2), num sistema de coordenadas Σ = (f1, f2, f3,O) Solução: Primeiro vemos que −−−→ P1P2 = 2 −−−→ P1M já que possuem o mesmo sentido e ∥∥∥−−−→P1P2 ∥∥∥ é duas vezes ∥∥∥−−−→P1M ∥∥∥. Assim (x2 − x1)f1 + (y2 − y1)f2 + (z2 − z1)f3 = 2(x− x1)f1 + 2(y− y1)f2 + 2(z− z1)f3 o que implica que x2 − x1 = 2(x− x1) y2 − y1 = 2(y− y1) z2 − z1 = 2(z− z1) e logo x = x1 + x2 2 ,y = y1 + y2 2 , z = z1 + z2 2 , e M : ( x1 + x2 2 , y1 + y2 2 , z1 + z2 2 ) .  De posse da representação dos vetores em coordenadas podemos agora fornecer critérios para a dependência e a independência linear de vetores: Teorema 2.7 Os vetores u : (a1,a2,a3), v : (b1,b2,b3) e w : (c1, c2, c3) são LI se e somente se ∣∣∣∣∣∣∣ a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 ∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0 Demonstração: Os vetores u, v,w são LI se o sistema: xu+ yv+ zw = 0 (2.3) Tiver somente a solução trivial x = y = z = 0 Em coordenadas podemos expressar a equação 2.4 como: x (a1,a2,a3) + y (b1,b2,b3) + z (c1, c2, c3) = 0 (2.4) 49 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici E logo teremos o sistema:      a1x+ b1y+ c1z = 0 a2x+ b2y+ c2z = 0 a3x+ b3y+ c3z = 0 Pela regra de Cramer (ver Apêndice) o sistema anterior tem solução única se e somente se ∣∣∣∣∣∣∣ a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 ∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0  Exercı́cios. Ex. 1.5 — Os pontos médios dos lados de um triângulo são (2, 5) , (4, 2) e (1, 1). Deter- mine as coordenadas dos três vértices. Ex. 1.6 — Dados dois pontos P : (x1,y1, z1) e Q : (x2,y2, z2), encontre a coordenada do ponto R, que se encontra sobre o segmento ligando os pontos P e Q e tal d(R,Q) = λd(R,P). Ex. 1.7 — Prove utilizando coordenada que o segmento de reta que une os pontos médios das laterais de um trapézio é paralelo às bases e sua medida é a média aritmética das medidas das bases. Ex. 1.8 — Prove que se u : (a1,a2,a3)Σ e P : (p1,p2,p3)Σ então: P+ u : (a1 + p1,a2 + p2,a3 + p3)Σ Ex. 1.9 — Determine quais dos conjuntos abaixo são L.I. a) {(1,−1, 2) , (1, 1, 0) , (1,−1, 1)} b) {(1,−1, 1) , (−1, 2, 1) , (−1, 2, 2)} c) {(1, 0, 1) , (0, 0, 1) , (2, 0, 5)} Ex. 1.10 — Exprima o vetor w : (1, 1) como combinação linear de u : (2,−1) e v : (1,−1). 50 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici Ex. 1.11 — Sejam u = (2, 1) e B = (1, 3). Mostre que todo vetor (c1, c2) pode ser expresso como combinação linear de u, v Ex. 1.12 — Sejam u = (1, 1, 1), v = (0, 1, 1) e w = (1, 1, 0) vetores no espaço. a) encontre as componentes de um vetor z = (a,b, c) na base formada por u, v,w. b) Mostre que se z = 0 então as componentes de z na base formada por u, v,w são todas iguais a zero. c) encontre as componentes de um vetor z = (1, 2, 3) na base formada por u, v, e w. Ex. 1.13 — Mostre que dois vetores não nulos u : (a1,a2,a3) e v : (b1,b2,b3) são LD se e somente se existe λ tal que: (a1,a2,a3) = (λb1, λb2, λb3) Utilize esse critério para decidir se os vetores abaixo são LI ou LD: a) u = (1, 2, 3) v = (4, 5, 6) b) u = (1, 0, 3) v = (−2, 0,−6) c) u = (1, 2, 5) v = ( 1 2 , 1, 5 4 ) Ex. 1.14 — Utilizando o exercı́cio anterior, mostre que dois vetores não nulos u : (a1,a2,a3) e v : (b1,b2,b3) são LI se e somente se ao menos um dos determinantes ∣∣∣∣∣ a1 a2 b1 b2 ∣∣∣∣∣ , ∣∣∣∣∣ a2 a3 b2 b3 ∣∣∣∣∣ ou ∣∣∣∣∣ a1 a3 b1 b3 ∣∣∣∣∣ é não nulo. Ex. 1.15 — Determine m,n de modo que os vetores u, v sejam LD, onde: a) v = (1,m,n+ 1)w = (m,n, 2) b) v = (1,m− 1,m)w = (m,n, 4) Ex. 1.16 — Dado (e1, e2, e3) uma base. Determine condições necessárias e suficientes sobre a,b de modo que os vetores (u, v,w) sejam LI, com u, v,w dados por: a) u = e1 − e2, v = e1 + e2 + e3,w = ae1 + be2 + e3 b) u = e1 − e2 + e3, v = e1 + e2 + 3e3,w = ae1 + be2 + (b 2 + 2a)e3 51 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici 120◦6 45◦ 4 30◦ 3 Ex. 2.2 — Dados os vetores a,b, c conforme a figura abaixo. Determine as componentes dos vetores a,b, c e de a+ b+ c 4 3 3 135◦ 120◦ Ex. 2.3 — Dados A : (−3, 2), B : (3, 5) e C : (0, 3) desenhe o triângulo ABC e ache: a) A distância entre os pontos A e B; b) A distância entre os pontos B e C; c) O vetor −→ BA e o vetor −→ AC; d) O vetor −→ BA+ −→ AC e) O ponto médio do segmento AC f) O ponto na reta ←→ AB que dista três vezes mais de A do que de B. (Duas respostas) Ex. 2.4 — Dados A : (4, 8, 11), B : (−3, 1, 4) e C : (2, 3,−3) desenhe o triângulo ABC e ache: a) O comprimento dos três lados do triângulo; b) Os pontos médios dos três lados do triângulo; c) Os vetores −→ AB, −→ BC e −→ CA; d) A soma −→ AB+ −→ BC+ −→ CA. Porque essa soma deve ser zero?; e) Os ângulos entre −→ AB e −→ BC. Dica: use a lei dos cossenos; f) A área do triângulo; 54 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici g) O ponto D tal que ABCD é um paralelogramo (Três respostas) Ex. 2.5 — Qual o ponto do eixo x é equidistante dos pontos A = (1,−3) e B = (3;−1)? Ex. 2.6 — O triângulo ABC, com A = (−a; 0) B = (a; 0) C = (0;y) é equilátero. Quais são os possı́veis valores de y? Ex. 2.7 — Três vértices de um retângulo são (2,−1), (7,−1) e (7; 3) : Determinar o quarto vértice e a área. 2.3 ângulo entre dois vetores: produto escalar Na seção anteriores nos utilizamos de ângulos entre vetores (ou entre vetores e retas) para definir uma nova forma de representar pontos do espaço Euclidiano. Surge então a pergunta: como podemos utilizar os sistemas de coordenadas para determinar o ângulo entre dois vetores u e v? O primeiro passo é escolher um sistema de coordenadas cartesiano Σ = (i, j,k,O) e escrever os vetores neste sistema, ou seja: u = a1i+ a2j+ a3k v = b1i+ b2j+ b3k b O a b b− a Observe agora que pela lei dos cossenos |v− u|2 = |u|2 + |v|2 − 2 |u| |v| cos(θ), e portanto (a1 − b1) 2 + (a2 − b2) 2 + (a3 − b3) 2 = a21 + a 2 2 + a 2 3 + b 2 1 + b 3 2 + b 2 3 − 2 ‖u‖ ‖v‖ cos(θ). 55 Ve rs ão Pr eli m in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici Assim cos(θ) = a1b1 + a2b2 + a3b3 ‖u‖ ‖v‖ . Ao termo a1b1 + a2b2 + a3b3 daremos o nome de produto escalar (ou de produto interno ) de u por v e denotaremos por u · v. Resumindo: Se Σ = (i, j,k,O) é um sistema de coordenadas cartesiano, u = (a1,a2,a3)Σ e v = (b1,b2,b3)Σ, então u · v := a1b1 + a2b2 + a3b3 e cos(θ) = u · v ‖u‖ ‖v‖ Observe também que, da definição acima, segue diretamente que dois vetores não- nulos u e v são perpendiculares se e somente se u · v = 0 (por quê?). Exemplo 2.9 Achar o ângulo entre u = i+ j+ k e v = i+ j Solução: cos θ = u · v ‖u‖ ‖v‖ = 12√ 3 √ 2 ⇒ θ = cos−1 √ 2 3 ≈ 35.26o  Exemplo 2.10 Os vetores 3i+ 4j+ k e 2i− 3j+ 6k são perpendiculares pois o produto interno entre eles é zero: (3, 4, 1) · (2,−3, 6) = 3 · 2+ 4 · (−3) + 1 · 6 = 6− 12+ 6 = 0 56 Ve rs ão Pr eli m in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici E logo b · a = c · a, ou seja, a · (c− b) = 0⇒ −−→OA · −→BC = 0 Desta forma a reta OA é perpendicular ao lado BC, sendo assim a altura relativa ao vértice A. Essa reta intercepta as outras alturas no ponto O, e assim as três retas se interceptam num único ponto, que é denominado ortocentro do triângulo ∆ABC.  2.3.1 Projeção Ortogonal Passemos agora a um novo problema. Dados dois vetores v e u, com u não nulo, quere- mos decompor o vetor v em dois vetores p,q tais que p é paralelo a u e q é perpendicular a u, ou seja, queremos encontrar p,q tais que v = p+ q, p = λu para algum λ ∈ R e q · u = 0. Reescrevendo as condições acima temos que (v− p) · u = 0 e logo (v− λu) · u= 0 v · u− λ ‖u‖2 = 0 Desta forma λ = v · u ‖u‖2 e p = v · u ‖u‖2 u Do mesmo modo podemos ver que o vetor p assim determinado é único. Tal vetor é chamado de projeção ortogonal de v sobre u e é denotado por Proju v. Demostramos assim o seguinte resultado. Proposição 2.15 Dado u um vetor não nulo, e v um vetor qualquer, então a projeção ortogonal Proju v de v em u existe e é única. 59 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici Exemplo 2.16 Sejam A = (x1,y1),B = (x2,y2),C = (x3,y3) pontos no plano. Então a área do △ABC é dada por S = ±1 2 ∣∣∣∣∣∣∣ x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1 ∣∣∣∣∣∣∣ Demonstração: Temos que −→ BA = (x1 − x2,y1 − y2) e −→ BC = (x3 − x2,y3 − y2). Além disso, é claro que v = (y2 − y3, x3 − x2) é um vetor ortogonal a −→ BC. A área do △ABC é dada por: S = 1 2 || −→ BC||h, onde h = |Projv −→ BA| = |〈−→BA,v〉| ||v|| , é a altura do △ABC relativa ao lado BC. Como ||v|| = || −→ BC||, temos que S = 12 | −→ BA · v|. Temos que: | −→ BA · v| = |(x1 − x2)(y2 − y3) + (y1 − y2)(x3 − x2)| = |x1(y2 − y3) + y1(x3 − x2) + x2y3 − x3y2| = |det   x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1   | , concluindo a demonstração.  Exercı́cios. Ex. 3.1 — Pela fórmula do cos ache os três ângulos do triângulo cujos vértices são a) (2,−1) , (7,−1) e (7, 3) (use uma calculadora) b) (4, 7, 11) , (−3, 1, 4) e (2, 3,−3) Ex. 3.2 — Se u = (2, 1,−1) e v = (1,−1, 2), encontre um vetor não nulo w tal que u ·w = v ·w = 0. Ex. 3.3 — Se u = (2,−1, 2) e v = (1, 2,−2), encontre escalares a,b tais que w = au+ bw e w · v = 0. 60 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici Ex. 3.4 — Prove que os vetores u = 7i− 3j+ 6k, v =3i+ 3j− 2k e w =6i− 16j− 15k são dois a dois perpendiculares. Ex. 3.5 — Ache os três ângulos de um triângulo cujos vértices são (3, 1) , (5,−2) e (6, 3). Ache também a área do triângulo. Ex. 3.6 — Dados vetores a,b e c tais que a+ b+ c = 0 com ‖a‖ = 3, ‖b‖ = 5 e ‖c‖ = 7. Calcule o ângulo entre a e b. Ex. 3.7 — Prove que v ·w = 14 ( ‖v+w‖2 − ‖v−w‖2 ) Ex. 3.8 — Mostre que se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares então ele é um losango. Ex. 3.9 — Decomponha o vetor u = −i− 3j+ 2k como a soma de dois vetores v1 e v2, com v1 paralelo ao vetor j+ 3k e v2 ortogonal a este último. Ex. 3.10 — Suponha que −→ AB seja o diâmetro de um circulo e seja C outro ponto qualquer desse circulo. Mostre que os vetores −→ CA e −→ CB são ortogonais. Ex. 3.11 — Prove que: a) Proju λv = λProju v b) Proju(v+w) = Proju v+ Projuw c) Proju ( Proju v ) = Proju v d) v · Projuw = Proju v ·w Ex. 3.12 — Calcule o cosseno do ângulo formado por duas diagonais de um cubo. Ex. 3.13 — Prove que |u · v| 6 ‖u‖ ‖v‖ e que |u · v| = ‖u‖ ‖v‖ se e somente se um vetor é múltiplo do outro (Desigualdade de Schwarz). Ex. 3.14 — Prove que ‖u+ v‖ 6 ‖u‖+ ‖v‖ (Desigualdade Triangular). 61 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici 3. Produto misto u· (v×w) = (u× v) ·w = ∣∣∣∣∣∣∣ a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 ∣∣∣∣∣∣∣ 4. ‖u× v‖2 = ‖u‖2 ‖v‖2 − |u · v|2 5. ‖u× v‖ = ‖u‖ ‖v‖ sen (θ) , onde θ é o ângulo entre os vetores u e v. Demonstração: A demonstração dos três primeiros itens é direta e é deixada como exercı́cios: Para demonstrarmos a quarta propriedade basta observar que ‖u‖2 ‖v‖2 − |u · v|2 = = ( a21 + a 2 2 + a 2 3 ) ( b21 + b 2 2 + b 2 3 ) − (a1b1 + a2b2 + a3b3) 2 = ( a21b 2 1 + a 2 1b 2 2 + a 2 1b 2 3 + a 2 2b 2 1 + a 2 2b 2 2 + a 2 2b 2 3 + a 2 3b 2 1 + a 2 3b 2 2 + a 2 3b 2 3 ) −a21b 2 1 − 2a1a2b1b2 − 2a1a3b1b3 − a 2 2b 2 2 − 2a2a3b2b3 − a 2 3b 2 3 = a21b 2 2+a 2 1b 2 3−2a1a2b1b2−2a1a3b1b3+a 2 2b 2 1+a 2 2b 2 3−2a2a3b2b3+a 2 3b 2 1+ a23b 2 2 (a2b3 − a3b2) 2 + (a1b3 − a3b1) 2 + a1b2 − a2b1 = ‖u× v‖2 . A quinta propriedade decorre facilmente da anterior, bastando para isso lembrar que |u · v|2 = ‖u‖2 ‖v‖2 · cos2 (θ) e portanto ‖u× v‖2 = ‖u‖2 ‖v‖2 − |u · v|2 = ‖u‖2 ‖v‖2 − ‖u‖2 ‖v‖2 · cos2 (θ) = ‖u‖2 ‖v‖2 ( 1− cos2 (θ) ) = = ‖u‖2 ‖v‖2 sen2 (θ)  Vamos agora explorar algumas consequências geométricas do produto vetorial. Área de um Paralelogramo e de um Triângulo Primeiro considere o paralelogramo determinado por dois vetores não paralelos u e v, como na figura abaixo A altura do paralelogramo é dada por ‖v‖ sen(θ) e portanto, da propriedade 5 do pro- duto vetorial, concluı́mos facilmente que sua área é dada por ‖u‖ ‖v‖ sen (θ) = ‖u× v‖. Em resumo, mostramos que a área do paralelogramo de lados u e v é igual ao compri- mento do produto vetorial destes vetores. A = ‖u× v‖ 64 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici v u ‖v‖ senθ b A b B b C b DA partir da expressão anterior podemos encontrar uma ex- pressão para a área de um triângulo ∆ABC. Para isso considere o paralelogramo determinado pelos vetores AB e BC, como na figura abaixo. A diagonal BC desse paralelogramo divide este em dois triângulos de áreas iguais. Logo a área do triângulo será metade da área do paralelogramo: A = 1 2 ∥∥∥−→AB×−→BC ∥∥∥ Volume de um Paralelepipedo A seguir vamos calcular o volume de um paralelepı́pedo, em função dos vetores u = −→ AB, v = −−→ AD e w = −→ AE. Sabemos que o volume do paralelepı́pedo é dado pelo produto V = Abh da área Ab da base pela altura h. Como já vimos a área da base pode ser calculada por Ab = ‖u× v‖ . Já a altura é dada pela norma da projeção do vetor w sobre o vetor u× v. Como Proju×vw = (u× v) ·w ‖u× v‖2 (u× v), 65 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici segue que ∥∥Proju×vw ∥∥ = |(u× v) ·w| ‖u× v‖2 ‖u× v‖ = |(u× v) ·w| ‖u× v‖ . Segue portanto que V = Abh = ‖u× v‖ |(u× v) ·w| ‖u× v‖ = |(u× v) ·w| . Exercı́cios. Ex. 4.1 — Calcule o produto vetorial entre a) 7i− 3j+ 6k e 5i− 15j− 13k b) 6i− 16j− 15k e 3i+ 3j− 2k c) 3i+ 3j e 5i+ 4j Ex. 4.2 — Se u = (3, 41), v =(2, 3, 2) e w = (4, 2, 3) encontre a) 2u+3v− 7w b) u ·w c) v ·w, d) u · v, e) u× v, f) v× u g) w · (v× u) Ex. 4.3 — Dados os vetores u = (1, 2,−1) e v = (2, 1, 0). Expresse o vetor a = (2, 2, 3) como combinação de u, v,u× v; Ex. 4.4 — Dado b = 1, 2, 1, determine a tal que a é ortogonal ao eixo z e a× b = (1,−1, 1) Ex. 4.5 — Determine v = (x,y, z) tal que (x,y, z)× (1, 2,−1) = (1, 1, 3) 66 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici x y O (x1, y1) (x2, y2) (x3, y3) tipo (b, 0), já que ambos estão sobre o eixo x. Já o ponto C, que está posicionado sobre o eixo y, tem coordenadas do tipo (0, c). x y O(a, 0) (b, 0) (0, c) Veja que com a escolha adequada do sistema de coordenadas conseguimos reduzir o número de variáveis de 6 para apenas 3. A seguir apresentamos exemplos onde a escolha de um sistema de coordenadas ade- quado facilita a demonstração de propriedades geométricas. Você consegue demonstrar estas propriedades usando um sistema de coordenadas arbitrário? Exemplo 2.18 Se um triângulo é isósceles, as medianas dos dois lados de mesmo comprimento possuem o mesmo tamanho. Solução: Consideremos o mesmo sistema de coordenadas descrito acima. Neste sistema temos A : (a, 0), B : (b, 0) e C : (0, c). 69 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici Supondo que segmentos CA e CB possuem o mesmo comprimento, concluı́mos que √ a2 + c2 = ∣∣CA ∣∣ = ∣∣CB ∣∣ = √ b2 + c2 e logo a2 = b2. Segue que a = b ou a = −b. Se a = b não temos um triângulo já que dois vértices coincidem, de onde segue que a = −b. Seja M1 o ponto médio de AC. Pelo exemplo 2.6 temos que as coordenadas de M1 =( a 2 , c 2 ) = ( −b 2 , c 2 ) . Analogamente, o ponto médio M2 de BC tem coordenadas ( b 2 , c 2 ) . Como a mediana de CA é dada pelo segmento BM1 e a de CB é dada pelo segmento AM2, segue que ∣∣BM1 ∣∣ = ∥∥∥∥(− b 2 , c 2 ) − (b, 0) ∥∥∥∥ = √ 9b2 4 + c2 4 e ∣∣AM2 ∣∣ = ∥∥∥∥( b 2 , c 2 ) − (−b, 0) ∥∥∥∥ = √ 9b2 4 + c2 4 e as medianas relativas aos vértices A e B possuem o mesmo tamanho.  Exemplo 2.19 Num triângulo retângulo o ponto médio da hipotenusa é equidistante dos três vértices. Solução: Para um triângulo retângulo ∆ABC com hipotenusa AB um sistema de coorde- nadas adequado é o que toma como origem o vértice C = O e como eixos as retas que ligam C a A e C a B. x y O A : (a, 0) B : (0, b) Neste Sistema de coordenadas temos que A : (a, 0) , B : (0,b) e C : (0, 0) . O comprimento da hipo- tenusa é |AB| = √ a2 + b2 Já o ponto médio M da hipotenusa tem coordena- das M : ( a 2 , b 2 ) e logo o comprimento da mediana é |CM| = √ a2 4 + b2 4 = 1 2 √ a2 + b2 = 1 2 |AB| Logo temos que a distância do vértice C a M é metade da distância entre os vértices A e B, e logo M está equidistante dos três vértices.  Exercı́cios. 70 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici x y O(a, 0) (b, 0) (0, c) (d, c) trapézio x y O(a, 0) (b, 0) (0, c) (b− a, c) paralelogramo Ex. 5.1 — Mostrar que (−5, 0) , (0, 2) e (0,−2) são os vértices de um triângulo isósceles e achar sua área. Ex. 5.2 — Sejam A = (a, 0) e B = (0,a), com a 6= 0. Ache x de modo que o ponto C = (x, x) seja o terceiro vértice do triângulo equilátero ABC. Ex. 5.3 — Dado um paralelogramo ABCD, escolha um sistema de coordenadas ade- quado e mostre que AB 2 +BC 2 +CD 2 +DA 2 = AC 2 +BD 2 (ou seja, a soma dos quadra- dos dos lados de um paralelogramo é igual à soma dos quadrados das suas diagonais). Ex. 5.4 — Num triângulo retângulo, a altura relativa a hipotenusa é a média geométrica das projeções ortogonais dos catetos sobre essa hipotenusa. Prove esse fato escolhendo um sistema de coordenadas no qual a hipotenusa esta sobre o eixo OX e o vértice do ângulo reto sobre o eixo OY. Ex. 5.5 — Se no triângulo ABC as medianas que partem dos vértices A e B são iguais, prove que os lados AC e BC são iguais, logo o triângulo é isósceles. Ex. 5.6 — Enunciar e demonstrar a recı́proca do teorema de Pitágoras. Ex. 5.7 — Se as diagonais de um paralelogramo são iguais então ele é um retângulo. Ex. 5.8 — Determine a soma dos quadrados (dos comprimentos) das medianas do triângulo ∆ABC, sabendo que os lados do δABC medem a, b e c. 71 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici Exemplo 2.25 Como vimos (x− a)2 + (y− b)2 = r2 é a equação do cı́rculo de raio r e centro em P : (a,b) . Exemplo 2.26 Determinar a equação do lugar geométrico formado por todos os pontos cuja a distãncia a um ponto fixoF é igual a distância a uma reta fixa d. FO D Solução: Dados uma reta fixa d, chamada diretriz, e um ponto fixo F chamado foco, a parábola é o conjunto dos pontos P equidistantes do foco e da diretriz, ou seja, o ponto P tal que ∥∥∥−→PD ∥∥∥ = ∥∥∥−→PF ∥∥∥ , onde D é o ponto de d mais próximo de P. A reta passando por F perpendicular a d é chamada eixo da parábola. O ponto de intersecção entre o eixo da parábola e a parábola é chamado vértice da parábola. Observe que o vértice está localizado na metade da distância do foco a diretriz. Escolheremos como sistema de coordenadas os eixos formados pelo eixo da parábola F : (m, 0)O D x = m P : (x, y)m e a reta passando pelo vértice da parábola, perpen- dicular ao eixo. Essa última reta é paralela a diretriz da parábola. Seja 2m a distância entre o foco e a diretriz d. No sistema de coordenadas que adotamos F tem coordenadas (m, 0) e a equação da diretriz é x = −m. Como P satisfaz ∥∥∥−→PD ∥∥∥ = ∥∥∥−→PF ∥∥∥ temos que √ (x−m) 2 + y2 = x+m. Elevando ao quadrado ambos os lados da igualdade concluı́mos que (x−m)2 + y2 = (x+m)2 m2 − 2mx+ x2 + y2 = ( m2 + 2mx+ x2 ) y2 = 4mx é a equação satisfeita pelos pontos da parábola neste sistema de coordenadas.  74 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici Intersecção Dadas duas equações f (x,y) = 0 g (x,y) = 0, os pontos que pertencem ao lugar geométrico de ambas as equações é chamados de pontos de intersecção. Analiticamente as coordenadas de tal ponto satisfazem ambas as equações. A intersecção de duas equações pode ser vazia, neste caso diremos que os seus lugares geométrico não se interceptam. Exemplo 2.27 Determinar analı́tica e graficamente os pontos de intersecção de x− 12 = 0 y2 − 3x = 0 Solução: Primeiro observemos que x − 12 = 0 é a equação de uma reta paralela ao eixo y, enquanto y2 − 3x = 0 é a equação de uma parábola com vértice na origem e diretriz paralela ao eixo y. Assim o conjunto dos pontos de intersecção dos dois lugares geométricos é formado de no máximo dois pontos. Analiticamente, concluı́mos da primeira equação que todo ponto de intersecção (x,y) deve ter x = 12. Substituindo na equação da parábola encontramos que y2 = 36, e portanto y = ±6. De modo que os pontos de intersecção são (12, 6) e (12,−6).  Exercı́cios. Ex. 6.1 — Escrever a equação do lugar geométrico dos pontos no plano que satisfazem a condição: a) O conjunto dos pontos P tal que P está sempre duas unidades a esquerda do eixo Y b) O conjunto dos pontos P tal que P dista sempre duas unidades do eixo X 75 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici c) O conjunto dos pontos P tal que a abscissa de P é igual ao inverso da sua ordenada d) O conjunto dos pontos P tal que P está a distância igual do eixo x e do eixo y. Ex. 6.2 — Determine a equação do lugar geométrico de um ponto que se move de modo de modo que a soma das distancias a dois pontos F : (c, 0) e F′:(−c,O) é constante igual a 2a. Ex. 6.3 — Determinar a equação do lugar geométrico de um ponto no espaço que se move de modo que a soma das distancias a dois pontos F : (c, 0, 0) e F′:(−c, 0, 0) é cons- tante igual a 2a. Ex. 6.4 — Dados dois pontos dois pontos F : (c, 0, 0) e F′:(−c, 0, 0) , determinar a equação do lugar geométrico de um ponto P que se move no espaço de modo que ∣∣‖PF‖− ∥∥PF′ ∥∥∣∣ = 2a Ex. 6.5 — Determinar a equação do lugar geométrico de um ponto que se move de modo que a distância ao ponto (1, 0, 0) é sempre igual a distância ao plano YZ. 2.7 coordenadas polares b O b A b P : (r, θ) r θ Num sistema de coordenadas polares um ponto P é locali- zado no plano em relação a uma semi-reta −−→ OA. A origem O dessa semi reta é denominada origem do sistema de co- ordenadas polares ou polo e a semi-reta −−→ OA é dito eixo polar. As coordenadas de um ponto P num sistema de coor- denadas polares é um par (r, θ), onde r é a distância do ponto ao polo, isto é, r = d(O,P) e θ é o ângulo orientado que a semi-reta −→ OP faz com a semi-reta −−→ OA. Claramente a posição do ponto fica bem determinada se conhecemos r e θ. O par (r, θ) é denominadocoordenadas polares do ponto P, e neste caso escreveremos simplesmente P : (r, θ) 76 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici Outras coordenadas possı́veis para o ponto são ( 1, 74π+ 2πn ) e ( −1, 74π+ π (2πn+ 1) ) .  Exemplo 2.30 Determinar a equação retangular do lugar geométrico cuja equação polar é r = 2 1− cosθ Solução: A equação dada é equivalente a r− r cos θ = 2. Substituindo r e r cos θ temos: ± √ x2 + y2 − x = 2 Transpondo x e elevando ao quadrado temos x2 + y2 = (2+ x)2 que simplifica para y2 = 4(x+ 1) (uma parábola).  Exemplo 2.31 Mostre que a distância d entre os pontos (r1, θ1) e (r2, θ2) em coordenadas pola- res é d = √ r21 + r 2 2 − 2r1r2 cos(θ1 − θ2) θ2 θ1 b O b P b Q Solução: Usando a lei dos cossenos temos: ‖PQ‖2 = ‖OP‖2 + ‖OQ‖2 − 2‖OP‖2‖OQ‖ cos(θ2 − θ1) (2.10) = r21 + r 2 2 − 2r1r2 cos(θ2 − θ1) (2.11) E consequentemente a distância do ponto P ao ponto Q é: ‖PQ‖ = √ r21 + r 2 2 − 2r1r2 cos(θ2 − θ1) 79 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici  Exercı́cios. Ex. 7.1 — Ache as coordenadas polares dos pontos cujas coordenadas cartesianas são: a) (0, 4) b) (1,− √ 3) c) (− √ 3,−1) d) (−3, 3) Ex. 7.2 — Ache as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas polares são: a) (3, π/3) b) (−5, π/4) c) (2,π) d) (4, 5π/6) Ex. 7.3 — Transforme as seguintes equações para coordenadas polares: a) y2 + 4ax = 4a2 b) y2 = 4ax c) x2 + y2 = 16 d) 3x+ 4y = 5 e) (x2 + y2) = a2(x2 − y2) Ex. 7.4 — Transforme as seguintes equações para coordenadas cartesianas: a) r = 4a cos θ b) r2 = a2 cos(2θ) c) r = 41+cosθ d) √ r cos θ 2 = √ a e) 1 r = 1+ e cos(θ) Ex. 7.5 — Prove que os pontos (0, 0◦), (3, 90◦) e (3, 30◦) formam um triângulo equilátero. 80 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici Ex. 7.6 — Mostre que a área A de um triângulo cujos vértices são o polo e (r1, θ1) e (r2, θ2) é dada pela fórmula A = 1 2 |r1r2 sen (θ1 − θ2)| Ex. 7.7 — Utilizando a formula anterior, mostre que a área de um triângulo de vértices (r1, θ1), (r2, θ2) e (r3, θ3) é A = 1 2 (r2r3 sen(θ3 − θ2) + r1r2 sen(θ2 − θ1) + r1r3 sen(θ1 − θ3)) 2.7.1 Gráficos de curvas em coordenadas polares Nesta seção vamos apresentar algumas estratégias para o traçado do gráfico de curvas f (r, θ) = 0 em coordenadas polares. A grande diferença para o traçado de curvas no sistema cartesiano é que em coorde- nadas polares um ponto pode admitir várias coordenadas diferentes. Esse fato deve ser levado em conta dentre outras coisas na determinação de intersecções e simetrias. Uma curva f (r, θ) = 0 admite algumas representações equivalentes, por exemplo se trocarmos r por −r e θ por θ+ π/2 ou se trocarmos θ por θ+ 2πn. Equações que repre- sentam o mesmo lugar geométrico serão ditas equivalentes. Intersecções As intersecções com o eixo x ocorrem quando θ = 2nπ ou quando θ = (2n+ 1)π. As intersecções com o eixo y ocorrem quando θ = (2n+1)π2 . A curva passa pelo polo se existe θ tal que r = 0. Simetrias Dizemos que uma curva em coordenadas polares é simétrica em relação ao eixo x se a equação da curva permanece sem modificação ou é modificada para uma equivalente quando trocamos θ por −θ. Para curvas simétricas em relação ao eixo x, o conhecimento de seu gráfico no primeiro e segundo quadrante nos permite obter o seu gráfico nos outros quadrantes, fazendo a reflexão no eixo x Uma curva é simétrica em coordenadas polares em relação ao eixo y se a equação da curva permanece sem modificação ou é modificada para uma equivalente quando trocamos θ por π− θ. Para curvas simétricas em relação ao eixo y, o conhecimento de 81 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici A curva é limitada pois 4 cos (2θ) 6 4 já que −1 6 cos θ 6 1 e o máximo é atingido quando cos (2θ) = +1 ou seja quando θ = nπ. Veja que para θ entre π/4 e 3π/4, 4 cos (2θ) é negativo e como r2 é positivo, a curva não está definida nesses intervalos. Como a curva possui as simetrias acima basta tomarmos valores entre 0 e π/4. Atri- buindo alguns valores para θ temos: θ r (θ) = 4 cos (2θ) 0 r (0) = 4 π/12 r (π/12) = 2 √ 3 ≈ 3. 464 1 π/6 r (π/6) = 2 π/4 r (π/4) = 0 b (π/12,3.46) b (π/6,2) b (π/4,0) b (0,4)  Exercı́cios. Ex. 7.8 — Desenhe a curva cuja equação é: a) r = 2 (1− cos θ) b) r = 2 secθ c) r = a cos θ d) r = 21−cosθ e) r = a(1+ senθ) (cardioide) f) r2 = a2 sen (2θ) (lemniscata) g) rθ = a (espiral hiperbólica) h) r = eθ Ex. 7.9 — Determinar analiticamente e graficamente os pontos de intersecção das curvas 84 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici a) r = aθ com a 6= 0 e θ = π4 b) r = 2 senθ e r = 1 c) r cos θ = 4 e r senθ = 4 Ex. 7.10 — Determine o perı́metro do quadrilátero cujos vértices são (0, 19o) , ( 1, π3 ) ,( 2, π4 ) e (3, 0) Ex. 7.11 — Mostre que a equação de uma reta que passa pelo polo é da forma θ = k Ex. 7.12 — Mostre que todos os pontos da reta x cosω+ y senω − p = 0 satisfazem a equação r cos(θ−ω) = p. Ex. 7.13 — Reescreva as seguintes equações em coordenadas cartesianas, então identifi- que e desenhe a curva a) r = 6 senθ b) r+ 6 senθ = 0 c) r2 − 3r+ 2 = 0 85 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici Ve rs ão Pr eli m in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici As equações paramétricas ficam então x = t,y = 1+ 2t, z = 1− t. As equações simétricas para essa reta são obtidas isolando o parâmetro t nas equações anteriores, ou seja, x = y− 1 2 = z− 1 −1 .  Exemplo 3.2 Dada a reta r de equação paramétricas r : X = (1, 3, 2) + (1, 1, 2)t. 1. Encontre três pontos pertencentes a essa reta. 2. Encontre um conjunto de equações vetoriais para essa reta na qual o ponto inicial seja distinto. 3. Encontre um conjunto de equações vetoriais para essa reta na qual o vetor diretor seja distinto Solução: 1. Claramente o ponto (1, 3, 2) pertence a essa reta. Para obter outros pontos desta reta bastan que escolhamos valores distintos para o parâmetro t. Assim, se t = 1 temos que (1, 3, 2) + (1, 1, 2) = (2, 4, 4) pertence a reta. E tomando t = −2 temos que (1, 3, 2) − 2(1, 1, 2) = (−1, 1,−2) pertence a reta. 2. Substituindo o ponto inicial por outro ponto pertencente a reta obtemos equações com as propriedades exigidas. Escolhendo, por exemplo, o ponto (−1, 1,−2) obte- mos a equação vetorial r : X = (−1, 1,−2) + (1, 1, 2)t. 3. Substituindo o vetor diretor por um de seus múltiplos não nulos obtemos equações com as propriedades exigidas. Se, por exemplo, multiplicarmos o vetor diretor por 1 2 encontramos a equação vetorial r : (−1, 1,−2) + ( 1 2 , 1 2 , 1)t.  89 Ve rs ão Pr eli m in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici Exemplo 3.3 Verifique se os pontos A : (4, 1, 5) e B : (0, 0, 0) pertencem a reta r : (1, 1, 2) + (1, 0, 1)t. Solução: Para que o ponto A pertença a reta r é necessário que exista t ∈ R tal que: (4, 1, 5) = (1, 1, 2) + (1, 0, 1)t Ou seja, deve existir t tal que o sistema de equações      4 = 1+ t 1 = 1+ 0t 5 = 2+ t tenha solução. O sistema acima possui solução, t = 3, e logo o ponto A pertence à reta r. De modo análogo, para que o ponto B pertença a reta r é necessário que exista t ∈ R tal que (0, 0, 0) = (1, 1, 2) + (1, 0, 1)t, ou seja, deve existir t tal que o sistema de equações      0 = 1+ t 0 = 1+ 0t 0 = 2+ t tenha solução. Como sistema acima não possui solução, o ponto B não pertence à reta r.  Exemplo 3.4 Identifique o lugar geométrico dado pelas equações 2− 3x 7 = 2y− 2 3 = 5z− 1 2 Solução: Dividindo os numeradores e os denominadores de cada fração pelo coeficiente das variáveis, obtemos x− 23 7 3 = y− 1 3 2 = z− 15 2 5 . 90 Ve rs ão Pr el im in ar BC0404 - Geometria Analı́tica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici Esta são as equações na forma simétrica de uma reta. E portanto o lugar geométrico é uma reta passando pelo ponto (23 , 1, 1 5) com vetor diretor ( 7 3 , 3 2 , 2 5 ).  Exemplo 3.5 Verifique se as retas r : X = (1, 1, 1) + (1, 0, 1)t e s : X = (0, 4, 3) + (−1, 1, 0)t se interceptam. Solução: Para que um ponto P pertença simultaneamente as retas r e s, devem existir números reais t1 e t2 tais que P = (1, 1, 1) + (1, 0, 1)t1 e P = (0, 4, 3) + (−1, 1, 0)t2. De onde encontramos que (1, 1, 1) + (1, 0, 1)t1 = (0, 4, 3) + (−1, 1, 0)t2 Resolvendo o sistema acima encontramos t1 = 2, t2 = −3. Como o sistema possui solução, concluı́mos que as retas r e s se interceptam. Para determinar o ponto de intersecção substituı́mos t→ t1 na equação P = (1, 1, 1) + (1, 0, 1)t1 e obtemos P : ((3, 1, 3)). É importante observar que para determinarmos se as retas interceptam, usamos parâmetros distintos para cada reta. Isso é fundamental, pois o ponto P apesar de pertencer a ambas as retas, é descrito em cada conjunto de equações por um valor distinto de t.  Exercı́cios. Ex. 1.1 — Dados v e v ′ vetores não nulos paralelos, ou seja, v = λv ′. Mostre que X = A+ vt e X = A+ v ′t são equações vetoriais para a mesma reta. (Dica: Mostre que as retas são paralelas e passam pelo mesmo ponto sendo assim coincidentes). Ex. 1.2 — Determine as equações na forma paramétrica e na forma simétricas das se- guintes retas: a) A reta que passa pelos pontos A : (1, 4,−2) e B : (0, 1, 1) b) A reta que passa pelos pontos A : (1, 0,−2) e B : (3, 1, 1) c) As retas que determinam os eixos x,y, z 91