Baixe algebra de boole e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity! ÁLGEBRA DE BOOLE POSTULADOS, TEOREMAS E PROPRIEDADES A aplicação principal da álgebra de Boole é o estudo e a simplificação algébrica de circuitos lógicos. As variáveis booleanas podem assumir apenas dois valores: 0 e 1. Na realidade uma expressão booleana é uma expressão matemática cujas variáveis são booleanas e o resultado será sempre 0 ou 1. Consideremos por exemplo: S = A + B Tanto S, como A, como B só podem assumir os valores 0 ou 1. POSTULADOS: Os postulados são utilizados na minimização bem como na manipulação de expressões lógicas. 1 - POSTULADO DA COMPLEMENTAÇÃO: 2 - POSTULADO DA ADIÇÃO: Este postulado determina as regras da adição na álgebra de Boole, sendo que o circuito lógico desse postulado é representado pela função OR. A variável “A” poderá assumir as identidades a seguir: 3 - POSTULADO DA MULTIPLICAÇÃO: Este postulado determina as regras da multiplicação na álgebra de Boole, sendo que o circuito lógico desse postulado é representado pela função AND. A variável “A” poderá assumir as identidades a seguir: Veja a seguir exemplos para melhor elucidação: PROPRIEDADES: a) comutativa b) associativa c) distributiva 1 PAGE 9 ELETRÔNICA DIGITAL – ÁLGEBRA DE BOOLE – Postulados, Teoremas e Propriedades 1 – Propriedade comutativa na adição: A + B = B + A Tomemos como exemplo a expressão: A + B + C = S Aplicando a propriedade comutativa veremos que as expressões se equivalem: A + C + B = S C + B + A = S B + C + A = S, e assim por diante Vejamos como fica a montagem da tabela da verdade: A B C A + C + B C + B + A B + C + A S 0 0 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 0 0 1 0 + 1 + 0 1 + 0 + 0 0 + 1 + 0 1 0 1 0 0 + 0 + 1 0 + 1 + 0 1 + 0 + 0 1 0 1 1 0 + 1 + 1 1 + 1 + 0 1 + 1 + 0 1 1 0 0 1 + 0 + 0 0 + 0 + 1 0 + 0 + 1 1 1 0 1 1 + 1 + 0 1 + 0 + 1 0 + 1 + 1 1 1 1 0 1 + 0 + 1 0 + 1 + 1 1 + 0 + 1 1 1 1 1 1 + 1 + 1 1 + 1 + 1 1 + 1 + 1 1 2 – Propriedade comutativa na multiplicação: A . B = B . A Tomemos como exemplo a expressão: A . B . C = S Aplicando a propriedade comutativa veremos que as expressões se equivalem: A . C . B = S C . B . A = S B . C . A = S, e assim por diante Vejamos como fica a montagem da tabela da verdade: A B C A . C . B C . B . A B . C . A S 0 0 0 0 . 0 . 0 0 . 0 . 0 0 . 0 . 0 0 0 0 1 0 . 1 . 0 1 . 0 . 0 0 . 1 . 0 0 0 1 0 0 . 0 . 1 0 . 1 . 0 1 . 0 . 0 0 0 1 1 0 . 1 . 1 1 . 1 . 0 1 . 1 . 0 0 1 0 0 1 . 0 . 0 0 . 0 . 1 0 . 0 . 1 0 1 0 1 1 . 1 . 0 1 . 0 . 1 0 . 1 . 1 0 1 1 0 1 . 0 . 1 0 . 1 . 1 1 . 0 . 1 0 1 1 1 1 . 1 . 1 1 . 1 . 1 1 . 1 . 1 1 3 – Propriedade associativa na adição: Na expressão A + B + C = S, aplicando a propriedade associativa temos várias equivalências, como por exemplo: A + (B + C) F 0 E 8 (A + B) + C F 0 E 8 B + (C + B)... A tabela da verdade abaixo elucida melhor o conceito: 2 PAGE 9 ELETRÔNICA DIGITAL – ÁLGEBRA DE BOOLE – Postulados, Teoremas e Propriedades Veja na tabela a seguir as equivalências: REGRA GERAL PARA A APLICAÇÃO DE DE MORGAN Dada a expressão: A + B + C + D 1. Converte-se a função OR em AND; 2. Complementa-se individualmente cada variável ou termo; 3. Complementa-se toda expressão: Cada variável pode ser considerada como um termo. No exemplo acima, a expressão possui 4 variáveis ou 4 termos. Por exemplo, no caso da expressão: A + BC + D = S, a mesma possui 4 variáveis mas está expressa em 3 termos. A = primeiro termo BC = segundo termo D = terceiro termo Aplicando De Morgan nos três termos: Partindo da expressão A + BC + D = S, podemos aplicar De Morgan apenas no segundo termo: Teremos então: EXEMPLO: Dada a expressão abaixo, utilizar De Morgan: 1. Utilizando a regra geral, podemos converter para uma função AND. 2. Se aplicarmos De Morgan nos termos BC e AC que estão complementados, tudo poderá ser convertido em função OR. Lembrar que o complemento do produto é a soma dos complementos. Partindo então da mesma expressão: 5 PAGE 9 ELETRÔNICA DIGITAL – ÁLGEBRA DE BOOLE – Postulados, Teoremas e Propriedades Para resolver: Para fixar o conceito sobre a aplicação das leis ou teoremas de De Morgan e as propriedades da álgebra de Boole, preencha a tabela a seguir, a partir da expressão: Trata-se da expressão utilizada como exemplo. O resultado em S (saída) deverá ser o mesmo para as três colunas. A B C S 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 6 PAGE 9 ELETRÔNICA DIGITAL – ÁLGEBRA DE BOOLE – Postulados, Teoremas e Propriedades