Baixe Livro Mat Financ e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Matemática, somente na Docsity! NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA 5 MATEMÁTICA FINANCEIRA OPERAÇÕES COMERCIAIS Porcentagem, taxas de acréscimo, descontos, taxa de lucro ou margem sobre o preço de custo e sobre o pre- ço de venda Porcentagem Porcentagem sobre a venda Porcentagem ou percentagem é a relação de determinado valor com ca- da 100 unidades. Se mencionamos DEZ POR CENTO de um valor qualquer, estamos dizendo que de cada 100 partes desse valor tomamos DEZ PARTES. DEZ POR CENTO, que é representado por 10%, chama-se TAXA DE PERCENTA- GEM. Desta forma, uma fração expressa com o denominador 100 seria uma per- centagem e o numerador seria a taxa de porcentagem. Na razão 10/100 a taxa de porcenta- gem é 10. Lê-se DEZ POR CENTO. Calcular 10% de R$ 500,00 Pode ser calculado por regra de três simples. Se em R$ 100,00 temos 10 em R$ 500,00 teremos x 500,00 x 10 Logo, x será = -------------- = R$ 50,00 100 Principal é o número ou a quantia sobre a qual se calcula a porcentagem. No exemplo dado, o principal é de R$ 500,00. Exercícios: Calcular: 01) 15% de R$ 30.000,00 02) 25% de R$ 99.000,00 03) 4% de R$ 70.400,00 04) 8,5% de R$ 425.000,00 05) 10,2% de R$ 510.000,00 06) 4,7% de R$ 940.000,00 07) Qual a percentagem obtida com a venda por R$ 348,00 de uma máquina de calcular adquirida ao preço de custo de R$ 240,00? 08) O preço de custo de um computa- dor é de R$ 3.600,00. Desejando obter um lucro bruto de 60%, qual seria o valor de venda? 09) Um negociante efetua compra de mercadorias no valor de R$ 27.000,00. Qual será o seu lucro se aplicar uma taxa de 90% desse valor e os seus gerais fo- rem de 20% sobre o preço de venda? 10) Um vendedor ganhou R$ 2.700,00. Sendo a comissão de 9%, pergunta-se qual o valor de compra da mercadoria. Percentagem sobre a compra A percentagem também pode ser calculada sobre o preço de compra. Neste caso, 100% é o preço de compra. Exemplo: Uma mercadoria adquirida por R$ 750,00 foi vendida com um lucro de R$ 150,00. Pergunta-se qual a taxa lucro ou margem sobre o preço de custo e sobre o preço de venda? Preço de custo: R$ 750,00 – 100% R$ 150,00 – x 150,00 x 100 750 X = = 20% é lucro sobre o preço de venda. Preço de venda: R$ 900,00 – 100% R$ 750,00 - x 150x100 900 x = =16,66% NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA 6 Exercícios: 01) Determine a porcentagem de lucro sobre o valor de compra de uma merca- doria que custou R$ 480,00 e foi vendida por R$ 648,00. R. 35%. 02) Sabendo que um bem vendido por 1.261,50 custou R$ 870,00,00, determine os percentuais sobre os preços de custo e de venda. R. 45% e 31%. 03) A venda de um automóvel por R$ 12.650,00 ensejou um lucro de 10% so- bre o preço de custo. Determine o custo. R. R$ 11.500,00 04) Tendo ganho R$ 330,00 na venda de um computador por 2.530,00, qual foi a porcentagem sobre o preço de compra? R. 15% 05) Uma venda por R$ 6.250,00 ensejou um lucro de 20% sobre esse valor. Calcu- le a porcentagem sobre o preço de com- pra. R. 25% Venda com desconto Uma mercadoria que constava na vitrine por R$ 480,00 teve um desconto de 20%. Pergunta-se quais os valores do desconto e da venda? 100,00 – 20% (se em 100 o desconto é de 20) 480,00 - x (em 480,00 o desconto será de x) 480,00 20 100 xx = =R$ 96,00 (foi o valor do desconto) 480,00 – 96,00 = 384,00 (foi o valor de venda) Exemplo: Uma impressora vendida por R$ 504,00 teve um desconto de 40%. Qual o valor anunciado pela loja? 60% – 504,00 (se 60% equivale a R$ 504,00) 100% - x (100% equivalerá a x) Logo: 100%x504,00 60 x = == 840,00 é o preço a- nunciado pela loja, sem desconto. Exercícios: 01) O preço de um automóvel é de R$ 24.000,00, mas, se pago a vista, o valor é reduzido para R$ 21.120,00. Qual a per- centagem de desconto? R. 12% 02) Ao pagar R$ 607,20 por uma merca- doria que valia 660,00, qual foi o descon- to obtido? R. 8% 03) Um bem vendido por 1.107,00 custou 820,00. Qual o percentual de acréscimo? R. 35% 04) Ao pagar uma conta de R$ 1.450,00, desembolsei R$ 1.580,50. Qual foi a mora cobrada pelo atraso? R. 9% 05) Um bem que valia R$ 360,00 foi ad- quirido por R$ 400,00. Qual o valor do ágio? R. 11% Taxa de porcentagem Considere o seguinte anúncio de jornal: “ Vendem-se tênis: desconto de 50%”. Observe que neste anúncio aparece a ex- pressão 50%, que se lê cinqüenta por cento, e pode ser indicada por 50 em 100 ou 50 100 . A expressão “50% de desconto” pode ser entendida como um desconto de $ 50,00 em cada $ 100,00 do preço de uma mercadoria. NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA 9 Juros simples Considere a seguinte situação: “ A importância de $ 100.000,00 foi em- prestado por um Banco ao cliente Epami- nondas da Silva. O Banco cobrará do cli- ente 10% e juros mensal. Quanto será cobrado? Vamos denominar e convencionar uma representação para cada dado do problema: O dinheiro emprestado, $100.000,00, chama-se quantia principal. Representa-se por C. A retribuição periódica pela cessão do dinheiro, eu corresponde à quantia que será cobrada pelo Ban- co, é o aluguel que se paga em ca- da período. Recebe o nome de juro e representa-se por j. A taxa de juro, 10% é a taxa que funciona como o aluguel que o cli- ente pata por 100 unidades de di- nheiro que o Banco lhe empresta; representa-se por i. A referência de tempo. Um mês em que o dinheiro ficou aplicado, re- presenta-se por t. Problemas desse tipo podem ser resolvi- dos utilizando-se uma regra de três. Va- mos estabelecer um problema genérico e obter uma formula que permite obter a solução de problemas semelhantes. “Quem aplica $ 100,00 à taxa de 1% ao período (ano, ou mês, ou dia etc.) recebe no fim do período $ 1,00 de juros. Se a- plicasse um capital C à taxa i ao período, então receberia o juros j”. Monta-se uma regra de três compos- ta: Capital taxa tempo juro 100 1 1 1 C i t j ↓ ↓ ↓ ↓ Como são grandezas diretamente proporcionais em relação à grandeza do juro, podemos escrever: 100 . 1 . 1 = 1 . C I t j J = C i t 100 Vamos calcular o juros pago por uma pes- soa que tomou emprestada quantia de $ 50 000,00, durante 8 meses, a uma taxa de 1,2% ao mês: Dados C = $ 50.000,00 j = C i t I = 1,2% ao mês 100 t = 8 meses j = 50.000 . 1,2 . 8 j = ? 100 j = 4.800 foram pagos $ 4.800,00 de juro. Vamos, agora , determinar a quantia que deve ser aplicada por uma pessoa a uma taxa de 6% ao ano, para que após 2 anos receba $ 18.000,00 de juro. Dados C = ? j = C i t I = 6% ao ano 100 t = 2 anos 18.000 = C . 6 . 2 j = $ 18.000,00 100 12 . C = 1. 800.000 C = 18.000.000 12 C = 150.000 A quantia que deve ser aplicada é de $150.000,00. Exercício 1. Resolva os seguintes problemas : a) Qual o juro sobre $ 25.000,00 à taxa de 1% ao mês, em 16 meses? b) A que taxa foi depositado o capital de $15.000,00 que em 4 anos produziu $ 6.000,00 de juros? c) Qual o capital que, aplicado a 3% ao mês , produz $ 6.000,00 de juro em 10 meses? NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA 10 d) Uma pessoa toma emprestado de um Banco $ 54.000,00 e após 6 meses e 15 dias devolve $60.000,00. A que taxa foi tomado o empréstimo? e) Uma pessoa empregou $ 50.000,00 . Sabendo-se que após 10 meses ela irá receber $ 100.000,00 calcule a que taxa de juro foi empregado este dinheiro. f) Qual o capital que aplicado a 8% ao mês, num período de 6 meses, produz $ 24.000,00 de juro? g) A que taxa foi empregado o capital de $25.000,00, sabendo h) Uma pessoa toma emprestado $ 10.000,00 durante 5 meses. Qual a taxa de juro que essa pessoa pagou, sabendo- se que ela devolveu $ 15.000,00? JUROS SIMPLES Cálculo dos juros, do principal, da ta- xa, do prazo e do montante. Como já vimos anteriormente, Juro é a remuneração paga por um capital em- prestado, calculado sobre determinada taxa e período. Nos juros simples, a remuneração sempre é calculada sobre o principal ou valor emprestado. Exemplo: Um capital de R$ 1.000,00, em- prestado durante 5 anos a 10%a.a. PERÍODO SALDO INICIAL JUROS MONTANTE 0 1.000,00 0 1.000,00 1 1.000,00 100,00 1.100,00 2 1.100,00 100,00 1.200,00 3 1.200,00 100,00 1.300,00 4 1.300,00 100,00 1.400,00 5 1.400,00 100,00 1.500,00 Fórmula tradicional para cálculo dos juros j Cit= 100 Fórmula Atual j Cin= (sempre i/100) MONTANTE (NOS JUROS SIMPLES) M = C + J Não tendo o valor dos juros, utilizar a sua fórmula M = C + Cin Coloca-se C em evidência M C Cin ---- = --- + ----- (Simplificando C:C= 1 e C C C Cin:C = in) M --- = 1 + in (C dividindo para o outro C lado multiplicando) Logo, a formula do montante nos ju- ros simples : M = C(1 + in) Exemplo 1: Quanto receberá quem aplicar R$ 100.000,00, à taxa de juros simples de 5%a.m., durante um mês? M = 100.000,00 (1+0,05.1) = 105.000,00 Obedecendo a hierarquia das ope- rações, primeiro elimina-se os parêntesis. Para tanto, dentro deles, em primeiro lu- gar efetuamos a multiplicação de 0,05 por 1 = 0,05. Após, soma-se ao número UM e o resultado é multiplicado pelos 100.000,00. Exemplo 2: (prazo da operação diferente do prazo da taxa) NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA 11 Qual será o montante de um capital de R$ 100.000,00, aplicado à taxa de ju- ros de 5%a.m. durante 45 dias? 45100.000,00(1 0,05. )107.500,00 30 M = + (0,05 x 45 : 30 + 1) x 100.000,00 = 107.500,00 Cálculo com prazo fracionário: Qual o montante produzido pelo capital de R$ 5.000,00, à taxa de 2%a.m. e prazo de 45 dias? Com taxa mensal o prazo é dividido por 30: M = 5.000,00 (1 + 0,02.45/30) = R$ 5.150,00 Com taxa anual o prazo é dividido por 360. M = 2.000,00 (1 + 0,18 . 60/360) = 2.060,00 CAPITAL Se M = C(1+in) M --- = C (1 + in) Ou, invertendo a ordem M C = ------- (1 + in) Qual o capital que, aplicado durante 45 dias, à taxa de juros simples de 5%a.m., gerou um montante de R$ 107.500,00? 107.500,00 C = --------------------- = 100.000,00 (1 + 0,05 . 45/30) TAXA Se M = C(1 + in) M --- = 1 + in C Inverte-se: M 1 + in = --- C M in= ---- - 1 C Logo: M ---- - 1 C i = --------- n Utilizando os dados do problema an- terior: 107.500,00 -------------- - 1 100.000 i = ------------------- = 0,05 45/30 Se 1 equivale a 0,05 100 equivalerá a x 100 x 0,05 Logo: x = ------------- = 5% a.m. 1 PRAZO Utilizando os dados do problema anterior. 107.500,00 -------------- - 1 100.000,00 n = -------------------- = 1,5 mês 0,05 Se 1 mês tem 30 dias 1,5 meses terá x dias 1,5 x 30 Logo: x = ------------ = 45 dias 1 NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA 14 ber o montante de 120.000,00? R 7,174% a.a. 4) Uma aplicação de R$ 20.000,00, a taxa de juros compostos de 5%a.a, sem mo- vimento durante 9 anos terá um montan- te de quanto? R$ 31.026,60 5) Qual o tempo necessário para um capi- tal qualquer duplicar à taxa de juros com- postos de 8% a.a.? R 9a 2d. 6) Determine qual o capital deverei aplicar à taxa de juros compostos de 6%a.a. pa- ra, ao final de 6 anos, chegar a um mon- tante de R$ 17.765,00. R. 25.200,00. 7) A que taxa devo emprestar R$ 50.000,00 à taxa de juros compostos, pa- ra, em 5 anos, possuir um montante de R$ 85.000,00. 8) Tendo aplicado R$ 42.500,00 e recebi- do R$ 36.726,60, à taxa de juros compos- tos de 5%a.a., qual foi o prazo da opera- ção? R 3 anos. 9) Efetuei uma aplicação de R$ 30.000,00 à taxa de juros compostos de 7%a.a. e prazo de 4 anos e 2 meses. Determine o montante. R 39.782,70. 10) Tendo recebido R$ 80.000,00, à taxa de juros compostos de 7,45%a.a. e 4 a- nos de prazo, qual foi o capital aplicado? R. 60.000,00. TAXAS Equivalência entre taxas de desconto Nas operações de desconto COMERCIAL, haverá sempre uma taxa implícita de ju- ros, também chamada de “taxa efetiva” da operação. Podemos encontrar a relação entre a taxa de desconto e a taxa efetiva (ou taxa im- plícita de juros) através das fórmulas a- baixo: ( ) d i i n = + ⋅1 ou ( ) i d d n = − ⋅1 A taxa “i” (desconto racional) também é conhecida como “taxa efetiva” da opera- ção. Neste tipo de operação DC = DR Diferença entre os descontos: ( )D D i nC R= ⋅ + ⋅1 Neste tipo de operação i = d. QUESTÃO DE CONCURSO (RESOLVI- DA) 01) TFC/2001 (ESAF) - Um indivíduo ob- teve um desconto de 10% sobre o valor de face de um título ao resgatá-lo um mês antes do seu vencimento em um banco. Como esta operação representou um em- préstimo realizado pelo banco, obtenha a taxa de juros simples em que o banco a- plicou os seus recursos nessa operação. a) 9% ao mês b) 10% ao mês c) 11,11% ao mês d) 12,12% ao mês e) 15% ao mês Solução: Se a taxa de DESCONTO é d = 10%, quer-se calcular a taxa de juros equiva- lente para o prazo n = 1 mês. Usando a fórmula: i d d n = −1 . Substituindo-se os dados... i = − = = ≅ 01 1 01 01 0 9 1 9 0111, , , , , ... ou 11,11% a.m. Resposta: letra c. CONVENÇÃO LINEAR E EXPONENCIAL As convenções são utilizadas quando é pedido no problema a resolução através de uma das convenções e é dado o tempo fracionado, por exemplo: 2 meses e 5 dias ou 258 anos e 2 meses.... LINEAR-> Para resolvermos esse tipo de problema usa-se a fórmula M = C ( 1 + i ) NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA 15 t' x ( 1 + i t''), onde t' é a parte inteira e t'' é a fração. Obs: O termo linear refere-se ao fator ( 1 + it'') que nada mais é do que uma função linear ou de 1º grau. Vamos exemplificar: Se o tempo dado é 5 anos e 6 meses, a taxa de juros é 10% a.a. e o capital é R$35.600,00 , então: M= 35.600 [1 + (10 ÷ 100)]5 x [ 1 + (10 ÷ 100) x (6 ÷ 12)] M = 35.600 (1,6105) x (1,05) = R$60.200,49. EXPONENCIAL A diferença da linear é que se utiliza a seguinte fórmula: M = C ( 1 + i ) t' + t'' Obs: O termo exponencial refere-se ao fator (1 + i) t' + t'' que é uma função ex- ponencial. *Considerando os mesmos dados do pro- blema anterior teremos: M = 35.600 [ 1 + (10 ÷ 100) ] 5 + (6 ÷ 12) M = 35.600 ( 1,6891 ) = R$60.131,96 TAXAS Nominal e efetiva; proporcionais en- tre si; equivalentes entre si em juros simples e em juros compostos; taxa over; utilização de tabelas para cálcu- los. Taxa Nominal e Efetiva Para que você guarde a diferença entre a taxa de juros nominal e efetiva ai vai uma dica: Sempre que o prazo de capitalização for o mesmo que o prazo a que a taxa se refere teremos uma taxa de juros efetiva. Já se o prazo de capitalização for diferente do prazo a que a taxa se refere teremos uma taxa de juros nominal. Taxa nominal é a expressão dos juros não considerando o prazo pelo qual ele incidirá e efetiva é a taxa ajustada ao prazo cor- respondente. Por exemplo: Um Banco informa que cobra 5% de juros ao mês. Entretanto, sua operação será liquidada em 35 dias. O cálculo que o Banco efetua é demons- trado a seguir: Taxa nominal = 5,00% a.m. Taxa efetiva Substituindo:{[(((5/100)+1) ^ (35/30))]– 1}*100 = 5,86% Note que agora a taxa representa os juros cobrados pelo período. Diz-se então que a taxa é 5,86 % efetiva ou pelo período. Taxas Proporcionais Taxas Proporcionais são taxas de juros simples, cuja razão possui a mesma cons- tante de proporcionalidade que os respec- tivos tempos a que se referem. 1 1 2 2 i n i n = Exemplo: As taxas de 6% ao ano e 3% ao semestre são proporcionais, pois: 6% 12 meses 3% 6 meses = Taxas Equivalentes Taxas Equivalentes são aquelas que, quando aplicadas ao mesmo capital, du- rante o mesmo intervalo de tempo, pro- duzirão o mesmo montante. Em juros simples não há distinção entre taxas proporcionais e equivalentes, pois significam a mesma coisa. NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA 16 Ex.: Aplicando-se, a juros simples, o capi- tal de R$ 100,00 (ou outro qualquer) a uma taxa de 24% a.a., durante um ano teremos o mesmo montante se o capital for aplicado à taxa de 2% a.m., durante 12 meses. Em juros compostos, a equivalência se dá pela fórmula do juro composto: ( ) ( )' "1 21 1 n ni i+ = + onde: i1 2 e i ão as taxas a serem relacio- nadas; n’ e n” são os prazos, em unidades compatíveis de tempo. Taxa Nominal Taxa Nominal é, na verdade, uma taxa de juros simples, cuja capitalização ocorre em período diferente do período de refe- rência da taxa. Exemplo: taxa de 24% ao ano com capi- talização mensal. Para convertermos uma taxa nominal em efetiva, utilizamos o critério da proporcio- nalidade. Taxa Efetiva Taxa Efetiva é aquela cujo período de ca- pitalização coincide com o período da pró- pria taxa. Normalmente, costuma-se omi- tir o período de capitalização em uma taxa efetiva. Exemplo: taxa de 2% ao mês com capi- talização mensal, ou, simplesmente, 2% ao mês. Taxa Real Taxa Real é aquela efetivamente paga em uma operação qualquer, após descontar- mos a inflação. 1 1 1 + = + + i i ir ap i onde: ir é a taxa real; iap é a taxa apa- rente e ii é a taxa de inflação. QUESTÕES DE CONCURSOS (RESOL- VIDAS) 01) BB/1998 (FCC) - Qual a taxa semes- tral equivalente à taxa de 25% ao ano? a) 11,8% b) 11,7% c) 11,6% d) 11,5% e) 11,4% Solução: Um problema simples de conver- são de taxas efetivas. Basta aplicarmos a fórmula: ( ) ( )1 11 1 2 2+ = +i in n Relacionando “ano” com “semestre”, te- mos: n1 = 2 (pois há dois semestre em um a- no) n2 = 1 ( ) ( )1 1 0 251 2 1+ = +i , Como a incógnita do problema é “i1”, de- veremos extrair a raiz quadrada do se- gundo membro: 1 1251+ =i , É óbvio que, sem usarmos calculadora eletrônica, é necessário termos uma tabe- la financeira (que normalmente é forneci- da com provas que envolvem cálculos de juros compostos). Mas, e no caso de não haver tabela na prova? Teremos um pouquinho mais de trabalho: iremos representar o 1,25 por sua fração decimal: 125 100 . A seguir, iremos decompor o 125 em fatores primos (en- contramos 53). E 100 = 102. Substituindo na equação: 1 5 5 10 1 5 10 51 2 2 1 + = ⋅ ⇒ + =i i . Nesse ponto, é útil lembrar dos valores aproximados das seguintes raízes: 2 = 1,414; 3 = 1,732; 5 = 2,236 Ficamos, então, com: 1 1 2 5 1 2 236 2 1 1118 01181 1 1 1+ = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ =i i i i. , , , Sempre que calculamos a taxa, ela será dada na forma “unitária”. Para obtermos a taxa “percentual”, basta multiplicarmos o NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA 19 b) R$ 26.520,00 c) R$ 26.620,00 d) R$ 26.720,00 e) R$ 26.820,00 03) Um capital de US$ 2,000.00, aplicado à taxa de 5% a.m., em 1 ano produz um montante de: Dado: (1,05)12 = 1,79586 a) US$ 3.291,72 b) US$ 3.391,72 c) US$ 3.491,72 d) US$ 3.591,72 e) US$ 3.691,72 04) A aplicação de um capital de Cz$ 10.000,00, no regime de juros compostos, pelo período de três meses, a uma taxa de 10% ao mês, resulta, no final do ter- ceiro mês, num montante acumulado: a) de Cz$ 3.000,00 b) de Cz$ 13.000,00 c) inferior a Cz$ 13.000,00 d) superior a Cz$ 13.000,00 e) menor do que aquele obtido por juros simples 05) Um investidor aplicou a quantia de CR$ 100.000,00 à taxa de juros compos- tos de 10% a.m. Que montante este capi- tal irá gerar após 4 meses? a) CR$ 140.410,00 b) CR$ 142.410,00 c) CR$ 144.410,00 d) CR$ 146.410,00 e) CR$ 148.410,00 06) A caderneta de poupança remunera seus aplicadores à taxa nominal de 6% a.a., capitalizada mensalmente, no regime de juros compostos. Qual é o valor do juro obtido pelo capital de R$ 80.000,00 du- rante 2 meses? a) R$ 801,00 b) R$ 802,00 c) R$ 803,00 d) R$ 804,00 e)R$ 805,00 07) AFC/1993 (ESAF) - Um título de valor inicial CR$ 1.000,00 vencível em um ano com capitalização mensal a uma taxa de juros de 10% ao mês, deverá ser resga- tado um mês antes do seu vencimento. Qual o desconto comercial simples à mesma taxa de 10% ao mês? a) CR$ 313,84 b) CR$ 285,31 c) CR$ 281,26 d) CR$ 259,37 e) CR$ 251,81 08) AFTN/1985 (ESAF) - Um capital de Cr$ 100.000 foi depositado por um prazo de 4 trimestres à taxa de juros de 10% ao trimestre, com correção monetária trimes- tral igual à inflação. Admitamos que as taxas de inflação trimestrais observadas foram de 10%, 15%, 20% e 25% respec- tivamente. A disponibilidade do depositan- te ao final do terceiro trimestre é de, a- proximadamente: a) Cr$ 123.065 b) Cr$ 153.065 c) Cr$ 202.045 d) Cr$ 212.045 e) Cr$ 222.045 09) AFCE/1995 (ESAF) - Para que se ob- tenha R$ 242,00 ao final de seis meses, a uma taxa de juros de 40% a.a., capitali- zados trimestralmente(*), deve-se inves- tir hoje a quantia de: a) R$ 171,43 b) R$ 172,86 c) R$ 190,00 d) R$ 200,00 e) R$ 220,00 (*) Ver o capítulo sobre taxas, a seguir. 10) BB/1998 (CESGRANRIO) - Um inves- tidor dispunha de R$ 300.000,00 para a- plicar. Dividiu esta aplicação em duas par- tes. Uma parte foi aplicada no banco alfa, à taxa de 8% ao mês, e a outra parte no banco Beta, à taxa de 6% ao mês, ambas em juros compostos. O prazo de ambas as aplicações foi de 1 mês. Se, após este prazo, os valores resgatados forem iguais nos dois bancos, os valores de aplicação, em reais, em cada banco, foram, respec- tivamente: a) 152.598,13 e 147.401,87 b) 151.598,13 e 148.401,87 c) 150.598,13 e 149.401,87 d) 149.598,13 e 150.401,87 e) 148.598,13 e 151.401,87 NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA 20 11) BB/1998 (CESGRANRIO) - Um aplica- dor aplica R$ 10.000,00 em um CDB do Banco do Brasil, de 30 dias de prazo e uma taxa prefixada de 3% ao mês. Consi- derando o Imposto de Renda de 20% no resgate, o valor líquido a ser resgatado pelo aplicador, em reais, e a taxa de ren- tabilidade efetiva da aplicação são, res- pectivamente: a) 10.300,00 e 2,40% b) 10.240,00 e 2,45% c) 10.240,00 e 2,40% d) 10.240,00 e 2,35% e) 10.200,00 e 2,35% 12) CEF/1998 (FCC) - Um capital de R$ 2.500,00 esteve aplicado à taxa mensal de 2%, num regime de capitalização com- posta. Após um período de 2 meses, os juros resultantes dessa aplicação serão a) R$ 98,00 b) R$ 101,00 c) R$ 110,00 d) R$ 114,00 e) R$ 121,00 13) CEF/1998 (FCC) - Pretendendo guar- dar uma certa quantia para as festas de fim de ano, uma pessoa depositou R$ 2.000,00 em 05/06/97 e R$ 3.000,00 em 05/09/97. Se o banco pagou juros com- postos à taxa de 10% ao trimestre, em 05/12/97 essa pessoa tinha um total de a) R$ 5 320,00 b) R$ 5 480,00 c) R$ 5 620,00 d) R$ 5 680,00 e) R$ 5 720,00 14) BB/1999 (CESPE-UnB) - Na tabela abaixo, que apresenta três opções de um plano de previdência privada com inves- timentos mensais iguais por um período de 10 anos, a uma mesma taxa de juros, capitalizados mensalmente, o valor de x será Valor (em reais) investido men- salmente a receber após 10 anos 200,00 41.856,00 500,00 104.640,00 1.000,00 X a) inferior a R$ 200.000,00. b) superior a R$ 200.000,00 e inferior a R$ 205.000,00. c) superior a R$ 205.000,00 e inferior a R$ 210.000,00. d) superior a R$ 210.000,00 e inferior a R$ 215.000,00. e) superior a R$ 215.000,00. 15) PMPA/1993 (PMPA) - Um capital de CR$ 50.000,00, aplicado a juros compos- tos, à taxa de 26% ao mês, produzirá um montante de CR$ 126.023,60 no prazo de: Observação: Se necessário, utilize a tabe- la seguinte: n 1,26n 1 1,26000 2 1,58760 3 2,00038 4 2,52047 5 3,17580 6 4,00150 7 5,04190 8 6,35279 9 8,00451 a) 2 meses b) 2 meses e meio c) 3 meses d) 4 meses e) 6 meses 16) PMPA/1993 (PMPA) - Urna inflação mensal de 26% acarreta uma inflação a- cumulada no semestre, aproximadamen- te, igual a: Observação: Se necessário, utilize a tabe- la da questão anterior. a) 156% b) 200% c) 250% d) 300% e) 400% 17) TCDF/1994 (CESPE-UnB) - No Brasil, as cadernetas de poupança pagam, além da correção monetária, juros compostos à taxa nominal de 6% a.a., com capitaliza- ção mensal. A taxa efetiva bimestral é, então, de: a) 1,00025% b) 1,0025% c) 1,025% NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA 21 d) 1,25% e) 12,5% 18) BACEN/1994 (ESAF) - A taxa de 30% ao trimestre, com capitalização mensal, corresponde a uma taxa efetiva bimestral de: a) 20% b) 21% c) 22% d) 23% e) 24% 19) AFTN/1991 (ESAF) - Uma aplicação é realizada no dia primeiro de um mês, ren- dendo uma taxa de 1% ao dia útil, com capitalização diária. Considerando que o referido mês possui 18 dias úteis, no fim do mês o montante será o capital inicial aplicado mais: a) 20,324% b) 19,6147% c) 19,196% d) 18,174% e) 18% 20) TCU/1992 (ESAF) - Um certo tipo de aplicação duplica o valor da aplicação a cada dois meses. Essa aplicação renderá 700% de juros em: a) 5 meses e meio b) 6 meses c) 3 meses e meio d) 5 meses e) 3 meses 21) AFTN/1996 (ESAF) - A taxa de 40% ao bimestre, com capitalização mensal, é equivalente a uma taxa trimestral de: a) 60,0% b) 66,6% c) 68,9% d) 72,8% e) 84,4% 22) AFTN/1996 (ESAF) - Uma empresa aplica $ 300 à taxa de juros compostos de 4% ao mês por 10 meses. A taxa que mais se aproxima da taxa proporcional mensal dessa operação é: a) 4,60% b) 4,40% c) 5,00% d) 5,20% e) 4,80% 23) TCDF/1995 (CESPE-UnB) - A renda nacional de um país cresceu 110% em um ano, em termos nominais. Nesse mesmo período, a taxa de inflação foi de 100%. O crescimento da renda real foi então de: a) 5% b) 10% c) 15% d) 105% e) 110% Gabarito 1 - b 2 - c 3 - d 4 - d 5 - d 6 - b 7 - a 8 - c 9 - d 10 - e 11 - c 12 - c 13 - e 14 - c 15 - d 16 - d 17 - b 18 - b 19 - b 20 - b 21 - d 22 - e 23 - a OVER A taxa de “Over Night”, mais comumente chamada de taxa de “over”, é a taxa de juros de um dia útil, multiplicada por 30 (convenção de mercado, pois um mês tem 23 dias úteis). É uma forma de expressar a taxa de juros muito usada no mercado financeiro, mais especificamente no mer- cado aberto (open market) Muitos produtos do mercado tem sua rentabilidade ou custo expresso na taxa de OVER (exemplo, CDI, HOT MONEY). Toda taxa nominal “over’ deve informar o número de dias úteis que os juros serão capitalizados de forma que se possa apurar a taxa efetiva do período. Exemplo Suponha que a taxa “over” em determi- nado momento esteja definida em 5,4% a.m.. No período de referência da taxa, estão previstos 22 dias úteis. Qual a taxa efetiva do período? Solução Como a taxa “over” é geralmente definida por juros simples (taxa nominal), a taxa diária atinge: NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA 24 Desconto Comercial ou “por fora” Denomina-se Desconto Comercial Simples de um título de crédito aos juros simples calculados sobre seu valor Nomi- nal. Fórmulas CD N d n= ⋅ ⋅ onde: DC é o desconto; N é o va- lor nominal do título, d é a taxa de des- conto e n é o prazo de antecipação do título C CA N D= − onde: AC é o valor atual comerci- al; N é o valor nominal do título, DC é o desconto comercial. Por uma simples manipulação al- gébrica, podemos “reunir” as duas fórmu- las acima: ( )1CA N d n= ⋅ − ⋅ LEMBRE-SE das observações feitas no capítulo de juros simples (elas valem para qualquer problema de Matemática Financeira): 1. Taxa e o prazo devem estar SEMPRE na mesma referência de tempo 2. A taxa deve estar na forma U- NITÁRIA. Exemplos: 1) Qual é o desconto comercial (ou bancário) sobre um título de R$ 5.000,00, resgatado 2 meses antes do seu venci- mento à taxa de 6% a.m.? Solução: Dados: N = 5000 n = 2 meses i = 6% ao mês DC = ? Temos taxa e prazo em meses → não é necessário fazer transformações de unidades! Fórmula: CD N d n= ⋅ ⋅ 65000 2 600 100C D = ⋅ ⋅ = DC = 600 Resposta: R$ 600,00 2) Calcular o valor atual comercial de um título cujo valor nominal é R$ 1.200,00 à taxa de 15% a.a., descontado 8 meses antes do vencimento. Solução: Dados: N = 1200 n = 8 meses i = 15% a.a. AC = ? Temos taxa ao ano e prazo em meses → iremos converter o prazo para “ano”, por meio de uma regra de três simples: 1 ano  12 meses x  8 meses 8 2 12 3 x = = ano Podemos realizar os cálculos de duas formas: (1) calculamos o valor do desconto, e, a seguir, o valor atual (sub- traindo o desconto do valor nominal do título); (2) calculamos o valor atual dire- tamente pela fórmula (6.2.3). Utilizaremos o procedimento dado em (1): Fórmulas: CD N d n= ⋅ ⋅ e C CA N D= − 15 21200 120 100 3C D = ⋅ ⋅ = AC = 1200- 120 = 1080 Resposta: R$ 1.080,00 3) Uma promissória foi descontada à taxa de 45% a.a., 1 mês e 12 dias antes de seu vencimento. Qual o valor nominal desse título se o desconto comercial foi de R$ 105,00. NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA 25 Solução: Dados: DC = 105 n = 1 mês 12 dias i = 45% a.a. N = ? O prazo de antecipação não está compatível, em unidade de tempo, com a taxa. Temos aqui: n = (30 + 12) dias, ou n = 42 dias. Por meio de uma regra de três, passaremos esse prazo para “ano”: 1 ano  360 dias x  42 dias 42 7 360 60 x = = ano Fórmula: CD N d n= ⋅ ⋅ 45 7 3 7105 105 100 60 100 4 21 105 400105 2000 400 21 N N N N N = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ = Resposta: R$ 2.000,00 QUESTÃO DE CONCURSO (RESOLVI- DA)1 01) TFC/2001 (ESAF) - Um título de valor nominal de R$ 10.000,00, a vencer exa- tamente dentro de 3 meses, será resgata- do hoje, por meio de um desconto comer- cial simples a uma taxa de 4% ao mês. O desconto obtido é de a) R$ 400,00 b) R$ 800,00 c) R$ 1.200,00 d) R$ 2.000,00 e) R$ 4.000,00 Solução: Um problema de aplicação direta da fór- mula do Desconto Comercial Simples: . .CD N d n= , onde: DC é o desconto comercial simples; N é o valor nominal do título; d é a taxa de des- 1 Teste extraído do livro: MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - 500 questões de concursos resolvidas e comen- tadas, de autoria do prof. Milton Araújo. conto; n é o prazo de antecipação. Te- mos: N = 10000; n = 3 meses; d = 4% ao mês. 410000 3 1200 100C D = × × = Resposta: letra c. TESTES PROPOSTOS: 01) Uma duplicata foi descontada por fo- ra, 3 meses e 10 dias antes do seu ven- cimento, à taxa de 10% a.m., produzindo um desconto de R$ 40,00. O valor nomi- nal da duplicata era (R$): a) 120 b) 100 c) 90 d) 110 e) 80 02) Um título com valor de face de R$ 240,00 foi descontado a 4,5% a.m., 6 meses antes de seu vencimento. Qual o valor do desconto? (R$) a) 63,60 b) 64,80 c) 62,00 d) 65,60 e) 65,00 03) Uma duplicata foi resgatada em 16/09/99, quando seu vencimento estava marcado para 10/11/99. O desconto foi de R$ 440,00 e a taxa foi de 6% a.m. O valor nominal da duplicata é (R$): a) 2000 b) 2500 c) 3000 d) 4000 e) 3500 04) Um título com vencimento em 04/08/01 foi descontado em 12/05/01, a uma taxa de 5% a.m. O valor nominal do título era R$ 3.500,00. Nestas condições, seu valor atual é (R$): a) 2830 b) 2960 c) 3200 d) 3000 e) 3010 05) Uma duplicata foi descontada 1 mês e 18 dias antes do vencimento, à taxa de 4,5% a.m. O valor líquido foi de R$ 203,00. Então, o valor de face da duplica- ta era de (R$): a) 220,00 b) 219,65 c) 199,50 d) 210,00 e) 218,75 06) Em 25/07/99, descontou-se em um banco uma duplicata de R$ 600,00, cujo vencimento era para 23/10/99. A taxa da operação foi de 48% a.a. Nesta condições, qual foi o valor líquido do título? (R$) a) 480,00 b) 528,00 NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA 26 c) 400,00 d) 426,00 e) 540,00 07) Jaime descontou duas duplicatas em um banco, à uma taxa de 15% a.a. A primeira venceria em 9 meses e a segun- da em 5 meses e 10 dias, sendo essa úl- tima de valor nominal 50% superior à primeira. O total dos descontos foi de R$ 382,50. Qual era o valor nominal do título que produziu o maior desconto? (R$) a) 1.500 b) 2.000 c) 1.200 d) 2.400 e) 1.800 08) Um título de R$ 5.000,00 foi descon- tado por R$ 3.000,00, à uma taxa de 120% a.m. Qual foi o prazo de antecipa- ção? a) 8 dias b) 10 dias c) 12 dias d) 9 dias e) 11 dias 09) Uma promissória de R$ 200,00 foi descontada por R$ 120,00, 4 meses antes do seu vencimento. A taxa mensal da o- peração é: a) 12% b) 15% c) 10% d) 18% e) 20% 10) João descontou 2 duplicatas em um banco. A primeira, de R$ 560,00, com vencimento para 35 dias e a segunda, de R$ 450,00, para vencimento em 40 dias. O valor atual da primeira superou o da segunda em R$ 109,60. A taxa de descon- to foi de: a) 15% a.a. b) 18% a.a. c) 9% a.a. d) 24% a.a. e) 12% a.a. 11) Um título de valor nominal R$ 12.000,00 sofre um desconto à taxa de 6% a.a., 120 dias antes do vencimento. Qual o valor do desconto? (R$) a) 260 b) 300 c) 240 d) 850 e) 680 12) Qual o valor atual de uma duplicata que sofre um desconto por fora de R$ 500,00, a 50 dias de seu vencimento, à taxa de 3% ao mês? (R$) a) 9.500 b) 9.600 c) 10.500 d) 12.000 e) 10.000 13) Utilizando o desconto bancário, o va- lor que deve ser pago por um título com vencimento daqui a 6 meses, se o seu valor nominal for de $ 295,00 e com taxa de 36% ao ano, é de: a) 240,00 b) 275,00 c) 188,00 d) 241,90 e) 250,00 Gabarito 1 - b 2 - b 3 - d 4 - e 5 - e 6 - b 7 - e 8 - b 9 - c 10 - c 11 - c 12 - a 13 - d Desconto Racional ou “por dentro” O Desconto Racional Simples é calculado sobre seu valor Atual. Fórmulas ( )1R N i nD i n ⋅ ⋅ = + ⋅ onde: DR é o desconto; N é o valor nomi- nal do título, i é a taxa de juros e n é o prazo de antecipação do título R RA N D= − onde: AR é o valor atual racional; N é o valor nominal do título, DR é o desconto racional. Por uma simples manipulação algébrica, podemos “reunir” as duas fórmulas acima: ( )1R NA i n = + ⋅ LEMBRE-SE das observações feitas no capítulo de juros simples): 1. Taxa e o prazo devem estar SEM- PRE na mesma referência de tempo 2. A taxa deve estar na forma UNITÁ- RIA. Exemplos: 1) Qual é o desconto sobre um título de R$ 1.500,00, resgatado 9 meses antes do seu vencimento à taxa de juros 6% a.a.? NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA 29 Fator de Acumulação de Capital an= (1+i)n Fator de Valor Atual de uma série de Pagamentos an¬i=(1+i)n-1 / i*(1+i)n Fator de Acumulação de Capital de uma série de Pagamentos Sni = (1+i)n-1 / i n\i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 1 1,01000 1,02000 1,03000 1,04000 1,05000 1,06000 1,07000 1,08000 1,09000 1,10000 2 1,02010 1,04040 1,06090 1,08160 1,10250 1,12360 1,14490 1,16640 1,18810 1,21000 3 1,03030 1,06121 1,09273 1,12486 1,15763 1,19102 1,22504 1,25971 1,29503 1,33100 4 1,04060 1,08243 1,12551 1,16986 1,21551 1,26248 1,31080 1,36049 1,41158 1,46410 5 1,05101 1,10408 1,15927 1,21665 1,27628 1,33823 1,40255 1,46933 1,53862 1,61051 6 1,06152 1,12616 1,19405 1,26532 1,34010 1,41852 1,50073 1,58687 1,67710 1,77156 7 1,07214 1,14869 1,22987 1,31593 1,40710 1,50363 1,60578 1,71382 1,82804 1,94872 8 1,08286 1,17166 1,26677 1,36857 1,47746 1,59385 1,71819 1,85093 1,99256 2,14359 9 1,09369 1,19509 1,30477 1,42331 1,55133 1,68948 1,83846 1,99900 2,17189 2,35795 10 1,10462 1,21899 1,34392 1,48024 1,62889 1,79085 1,96715 2,15892 2,36736 2,59374 11 1,11567 1,24337 1,38423 1,53945 1,71034 1,89830 2,10485 2,33164 2,58043 2,85312 n\i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,934579 0,925926 0,917431 0,909091 2 1,970395 1,941561 1,913470 1,886095 1,859410 1,833393 1,808018 1,783265 1,759111 1,735537 3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012 2,624316 2,577097 2,531295 2,486852 4 3,901966 3,807729 3,717098 3,629895 3,545951 3,465106 3,387211 3,312127 3,239720 3,169865 5 4,853431 4,713460 4,579707 4,451822 4,329477 4,212364 4,100197 3,992710 3,889651 3,790787 6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324 4,766540 4,622880 4,485919 4,355261 7 6,728195 6,471991 6,230283 6,002055 5,786373 5,582381 5,389289 5,206370 5,032953 4,868419 8 7,651678 7,325481 7,019692 6,732745 6,463213 6,209794 5,971299 5,746639 5,534819 5,334926 9 8,566018 8,162237 7,786109 7,435332 7,107822 6,801692 6,515232 6,246888 5,995247 5,759024 10 9,471305 8,982585 8,530203 8,110896 7,721735 7,360087 7,023582 6,710081 6,417658 6,144567 n\i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 2 2,010000 2,020000 2,030000 2,040000 2,050000 2,060000 2,070000 2,080000 2,090000 2,100000 3 3,030100 3,060400 3,090900 3,121600 3,152500 3,183600 3,214900 3,246400 3,278100 3,310000 4 4,060401 4,121608 4,183627 4,246464 4,310125 4,374616 4,439943 4,506112 4,573129 4,641000 5 5,101005 5,204040 5,309136 5,416323 5,525631 5,637093 5,750739 5,866601 5,984711 6,105100 6 6,152015 6,308121 6,468410 6,632975 6,801913 6,975319 7,153291 7,335929 7,523335 7,715610 7 7,213535 7,434283 7,662462 7,898294 8,142008 8,393838 8,654021 8,922803 9,200435 9,487171 8 8,285671 8,582969 8,892336 9,214226 9,549109 9,897468 10,259803 10,636628 11,028474 11,435888 9 9,368527 9,754628 10,159106 10,582795 11,026564 11,491316 11,977989 12,487558 13,021036 13,579477 10 10,462213 10,949721 11,463879 12,006107 12,577893 13,180795 13,816448 14,486562 15,192930 15,937425 NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA 30 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS Valor atual de um fluxo de caixa; flu- xos de caixa equivalentes entre si; utilização de tabelas para cálculos. No juro simples ser equivalente é ser proporcional, ou seja 12% a.a. é equiva- lente e é proporcional a 1% a.m., considerando as demais variáveis constantes (Ceteris Paribus para a turma de Economia). Neste caso o valor nominal é também o valor efetivo. $ 166,32 aplicado durante 2 anos a uma taxa de 12% a.a. -> j = cit => j = 166,32 x (12÷ 100) x 2 = 39,9168. $166,32 aplicado durante 2 anos a uma taxa de 1% a.m. -> j = cit => j = 166,32 x (1÷ 100) x (2x12) = 39,9168. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS – usar qualquer data focal para se efetuar a equivalência - dois esquemas financeiros são ditos equivalente, a uma determinada taxa de juros simples ou composta, quan- do apresentam o mesmo valor atual, a mesma taxa de juros, na data focal escolhida. - não esquecer que para se analisar fluxos diferentes, o A= N / ( 1 + i ) n , ou seja, quanto maior for o expoente, maior será o divisor e menor será o valor atual. Portan- to , em mesmos casos de prazo, quanto menor for o valor de N menos isto influen- ciará. O fluxo com as maiores parcelas iniciais terá o maior valor presente inicial. - quando se quer pôr um número x de parcelas e quer que fique um outro número, basta multiplicar pelo fator de acumulação quando quer ir para uma data focal maior e dividir pelo fator quando quer uma data focal menor, sendo que na ida usa a taxa do juros e na volta o juros do descon- to -quando quero transformar várias parce- las em 1 só, o macete é quando vai para frente ( data focal posterior) usar sn¬i , quando vai para trás ( data focal anterior) usar an¬i -rentabilidade é igual a taxas médias -montar sempre fluxos, e na hora, não esquecer de colocar ÍNICIO, FINAL. A data focal zero tem que ser analisada, não é sempre 0. VALOR ATUAL DE UM FLUXO DE CAI- XA No regime de capitalização composta, dois (ou mais) capitais são equivalentes com uma taxa dada, se seus valores, cal- culados em qualquer data (data focal), com essa taxa, forem iguais. Também nesse regime de capitalização podem-se ter capitais equivalentes com desconto comercial composto ou capitais equivalentes com juros compostos (ou desconto racional composto), conforme sistemática de cálculo usada na equiva- lência. Na prática apenas é utilizada a equivalên- cia com juros compostos. Suponham-se os capitais N1 e N2 dis- poníveis em datas que sucedem à data focal 0 de n1 e n2 períodos, respectiva- mente, e sejam A1 e A2 seus valores atu- ais calculados na data focal com taxa i. Se N1 e N2 são equivalentes, tem-se: A1 = A2 O diagrama representativo e as equações de equivalência serão os seguintes: NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA 31 para a equivalência feita com desconto comercial composto e: para a equivalência feita com juros com- postos. Exemplo Um título no valor de R$ 50.000,00 para 30 dias foi trocado por outro, de R$ 60.000 para 90 dias. Qual a taxa de des- conto comercial composto que foi utilizada para que esses títulos fossem considera- dos equivalentes? N1 (1- i) n1 = N2 (1- i) n2 => 50.000 (1- i)1 = 60.000 (1-i)3 => => (1 – i)2 = 0,833 ... => i = 1 - 0,833 = 0,0871 Reposta: Foi utilizada a taxa de 8,71% a.m. Estime o valor de x de modo a tornar os fluxos de caixa apresentados na tabela seguinte equivalentes na data focal seis. Considere uma taxa de juros compostos, igual a 18% ao período. Resposta. R$ 1.224,43. João contraiu um empréstimo de $ 100,00 no Banco X, e pagará $ 108,00 daqui a dois meses. Então o fluxo de caixa será: De acordo com o ponto de vista do João: Recebeu $100,00 do banco Terá que pagar, passados dois meses, $108,00 ao banco Entrada de dinheiro Desembolso Seta para ci- ma Seta para baixo Ponto de vista do Banco X: Entregou $100,00 ao João Será ressarcido do emprés- timo, dentro de dois meses, de $108,00 pelo João. Saída de di- nheiro Entrada de dinheiro Seta para baixo Seta para cima Observe que nesta situação temos: C = $ 100,00 M = $ 108,00 J = $ 8,00 i = 8% a.b. (ao bimestre ou bimestral) Exemplo Prático: Um carro que custa $ 50.000,00 é vendido a prazo, por cinco prestações mensais de $12.000,00, com a pri- meira prestação vencendo um mês após a compra. Então do ponto de vista do vendedor te- mos: Período Fluxo 1 Período Fluxo 2 0 420,00 3 960,00 1 318,00 7 320,00 4 526,00 9 x NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA 34 n = nesse caso é uma incógnita (quem aprendeu equações do segundo grau usou muitas incógnitas. Todos aqueles x, y, z são incógnitas.) referente ao período de tempo (dias, semanas, meses, anos...) de uma aplicação financeira. Lembre-se da expressão : "levou n dias para devolver o dinheiro..." a.d. = abreviação usada para designar ao dia a.m. = abreviação usada para designar ao mês a.a. = abreviação usada para designar ao ano d = do inglês Discount , é usado para re- presentar o desconto conseguido numa aplicação financeira. N = do inglês Nominal , é usado para representar o valor Nominal ou de face de um documento financeiro. A = do inglês Actual , é usado para repre- sentar o valor real ou atual de um docu- mento financeiro em uma determinada data. V = incógnita usada para representar o Valor Atual em casos de renda certa ou anuidades T = incógnita usada para representar o Valor Nominal em casos de renda certa ou anuidades an¬i = expressão que representa o fator de valor atual de uma série de pagamen- tos. Sn¬i = expressão que representa o fator de acumulação de capital de uma série de pagamentos. Exemplo: Um carro é vendido a prazo em 12 paga- mentos mensais e iguais de $2.800,00 (num total de $ 36.000,00), sendo a pri- meira prestação no ato da compra, ou seja, o famoso " com entrada", ou ainda, um caso de renda certa antecipada. Sen- do que a loja opera a uma taxa de juros de 8% a.m., calcule o preço à vista desse carro. Aplicando a fórmula: n = 12 T = 2800 V = 2800+2800.a11¬8% = $ 22.789,10 Calculando o Montante em casos de Rendas Certas Como você deve se lembrar , Montante nada mais é do que a somatória dos juros com o capital principal. No caso de rendas certas , a fórmula é dada por: M=T.Sn¬i Para saber o valor de Sn¬i você pode: -usar as tabelas -calcular usando a fórmula (1+i)n-1/i. Exemplo: Calcule o Montante de uma aplicação de $ 100,00 , feita durante 5 meses, a uma taxa de 10% a.m. Aplicando a fórmula (esse é um caso de postecipada, porque o primeiro rendimento é um mês após a aplicação) : n = 5 T = 100 i = 10% a.m. M = 100.S5¬10% = $ 610,51 Quando for uma situação de: antecipada: subtraia 1 de n diferenciada: após determinar Sn¬i, divi- da o resultado por (1+i)m INFLAÇÃO Taxas aparente, de correção monetá- ria e real (fórmula de Fisher); taxas de juros com correção pré e pós fixa- das; valores correntes e valores cons- tantes; cálculo da correção e de sal- dos corrigidos; utilização de tabelas para cálculos. NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA 35 Juros e Inflação As taxas geralmente praticadas no Merca- do são TAXAS APARENTES, que incluem o juros propriamente dito ( juros reais ) e a compensação da inflação ( correção mo- netária ). Para estabelecermos o relacionamento entre estes parâmetros , consideramos: i - taxa aparente ir - taxa real I - inflação Caso não houvesse inflação na economia a taxa aparente seria igual a taxa real : i = ir conseqüentemente: FV = PV (1+ir) = PV + PV × ir Havendo a inflação I%, ela atua como uma taxa de juros e o valor do nosso principal quando do recebimento será: PV* = PV (1+I) Aplicando a taxa de juros real ir em cima do principal corrigido: FV = PV* (1+ir) Pela substituição de PV* teríamos: FV = PV(1+I)(1+ir) Caso considerássemos uma taxa aparente de i% no mesmo negócio teríamos : FV* = PV(1+i) Os negócios seriam equivalentes quando: FV* = FV e conseqüentemente a taxa i seria equiva- lente a taxa ir "+" I PV(1+i)= PV(1+I )(1+ir) ou (1+i)= (1+I)(1+ir) FORMULA (QUA- DRO 1) Fórmula que nos permite calcular a equi- valência das três taxas conhecendo-se as outras duas: Quadro 1 TAXA DE- SEJADA TAXAS CO- NHECIDAS FÓRMULA I ir e I (1+i ) = (1+I )(1+ir ) Ir i e I (1+ir ) = (1+i) / (1+I ) I i e ir (1+I ) = (1+I ) / (1+ir ) Exemplo Qual a taxa aparente equivalente a uma taxa real de 1% e uma correção monetá- ria de 30% ? (1+i ) = (1 +0,30)(1 +0,01) = 1,313 ou 31, 3% CORREÇÃO MONETÁRIA REAL Como se calculam os juros reais? É possí- vel calcular juros reais sem uso de índices de preços? Afinal, o que significa o adjeti- vo "real" aposto à palavra "juro"? É claro que juros reais são os juros na ausência da inflação, ou seja, quando se corrige para os preços do "setor real" da economia, pois "real" pode vir do setor real de mercadorias e serviços. Não tem como se "adjetivar" algo como "real" sem correlacionar com algo do setor real. O setor financeiro tem seus multiplicado- res próprios (multiplicador de depósitos e de crédito/títulos) que geram liquidez, sendo que, a curto prazo, é independente do setor real de mercadorias e serviços. Portanto, valor real de certa quantia mo- netária-financeira, hoje, a curto prazo, deve envolver algo como "poder de com- pra" de bens reais, numa tentativa de ve- rificar o quanto o bem financeiro já se a- NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA 36 fastou ou não da "realidade" (real) do consumo e da produção física. Cabe ao Judiciário pronunciar-se sobre questões relativas a: Estão sendo cobra- dos os juros fixados em lei? Se a TR está sendo aplicada sobre os juros legais de 1% do SFH, qual é o juro real que está sendo pago pelos mutuários? Será que a lei está sendo respeitada? Ora, juros reais se calculam pela equação de Fisher e inflação é sempre aumento de preços. Veja-se : Ao contrário da taxa de juros nominal, a taxa de juros real mede a taxa de retorno de uma aplicação, em termos de quanti- dade de bens. A taxa de juros real é calculada como: taxa de juros real = (1 + taxa de juros nominal)/(1 + taxa de inflação) –1 (CAR- DOSO, 1993. p.130) A taxa de juro real não depende da infla- ção, pois é justamente isso que ela visa eliminar, sendo por isso invariante, abso- luta. É dada pela fórmula de Fisher: (1 + taxa real ) = (1 + taxa nominal)/(1 + taxa de inflação) (1) Da fórmula da taxa de juros real fa- zem parte duas componentes: I - O numerador (1+ taxa nominal) vem do setor de "liquidez" (setor financeiro, bancário, das aplicações financeiras, títu- los) com suas taxas nominais de juros. II - O denominador (1 + taxa inflação) vem do setor "real" (do setor de mercado- rias e serviços, objetos vendidos e com- prados em certo período) sendo quantida- de "exata" e bem determinado ex-post: INPC, IPC etc. Portanto, no quociente estão dois setores totalmente distintos: o setor dos juros nominais, ou seja, o setor dos ativos fi- nanceiros e monetários, incluindo-se a moeda corrente, os depósitos à vista, os empréstimos, as carteiras de títulos etc. e o setor dos preços de mercadorias e ser- viços. APLICAGÕES COM JUROS E ATUALI- ZAÇÃO MONETARIA Em épocas de inflação, nas aplicações fi- nanceiras, o investidor, além dos juros, recebe uma atualização monetária que pode ser prefixada ou pós-fixada. Nas aplicações sujeitas à atualização mo- netária prefixada, o investidor conhece antecipadamente o valor final do seu in- vestimento. A atualização monetária é fixada tendo em vista a inflação estimada para o período. Nas aplicações sujeitas à atualização mo- netária pós-fixada, o investidor desconhe- ce o valor final do seu investimento. A atualização monetária varia de acordo com algum índice medidor da inflação previamente estabelecido, mas cujos valo- res dependem da inflação que ocorrerá durante o período em que o capital ficar aplicado. Os principais investimentos procurados em épocas de inflação são a caderneta de poupança, o certificado de depósito ban- cário - eDB -, o recibo de depósito bancá- rio - RDB -, os fundos de investimento financeiro - FIF - ou fundos de aplicação financeira - FAF -, as letras de câmbio - Le - e as aplicações em open market (over- night, se por um dia). As principais carac- terísticas desses investimentos são: Caderneta de Poupança - De to- dos os investimentos existentes no mercado financeiro, a caderneta de poupança é o mais popular e co- nhecido. Foi criada exatamente com a finalidade de preservar da infla- ção a poupança popular. É o único dos investimentos sem limite míni- mo para o valor aplicado e também o único cujos rendimentos são isen- tos de imposto de renda. É um in- vestimento nominal. Seu rendimen- to é mensal e compõe-se de juros fixos de 0,5% a.m. e correção mo- netária pós-fixada variável de acor- do com um índice determinado. Os juros são calculados sobre o capital corrigido. Sua liquidez é imediata, NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA 39 1 2(1 )(1 )...(1 ) 1ac ni i i i= + + + − Exemplo 1: Os valores do BTN, para os seis primeiros meses do ano de 1990, eram: a) Se a atualização monetária de um in- vestimento foi fixada pela variação do BTN, qual a taxa de atualização monetária de janeiro, fevereiro, março, abril e maio? b) Qual a taxa acumulada de atualização monetária para esse período de cinco me- ses? a) . . 17,09681 1 0,5611 . 10,9518jan fevBTNi janBTN = − = = − = . . 29,53991 1 0,7278 . 17,0968fev marBTNi fevBTN = − = = − = . . 41,73401 1 0,4128 . 29,5399mar abrBTNi marBTN = − = = − = . 41,73401 1 0 . 41,7340abr maioBTNi abrBTN = − = = − = . 43,97931 1 0,0538 . 41,7340maio junBTNi maioBTN = − = = − = b) . 43,97931 1 3,0157 . 10,9518ac junBTNi janBTN = − = = − = outra solução: . . .(1 )(1 )(1 )(1 )(1 )ac jan fev mar abr maioi i i i i i= + + + + + = 1,5611.1,7278.1,4128.1.1,0538-1=3,0157 Resposta: a)56,11%, 72,78%, 41,28%, 0% e 5,38% b) 301,57% janeiro 10,9518 fevereiro 17,0968 março 29,5399 abril 41,7340 maio 41,7340 junho 43,9793 NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA 40 Quadro de tabelas Juros Demonstralção dos efeitos dos critérios de cálculo (juros legais ou capitalizados) sobre o efeito das próprias taxas de ju- ros. Observe-se no quadro comparativo os resultados obtidos com o uso dos ju- ros legais e com o uso dos juros capita- lizados, variando-se a taxa de juros mensais entre 1% e 12%: Fluxo de caixa é um objeto matemático que pode ser representado graficamente com o objetivo de facilitar o estudo e os efeitos da análise de uma certa aplicação, que pode ser um investimento, emprésti- mo, financiamento, etc. Normalmente, um fluxo de caixa contém Entradas e Saídas de capital, marcadas na linha de tempo com início no instante t=0. Um típico exemplo é o gráfico: Fluxo de Caixa da pessoa Eo 0 1 2 3 ... n-1 n S1 S2 S3 ... Sn-1 Sn que representa um empréstimo bancário realizado por uma pessoa de forma que ela restituirá este empréstimo em n par- celas iguais nos meses seguintes. Obser- vamos que Eo é o valor que entrou no caixa da pessoa (o caixa ficou positivo) e S1, S2, ..., Sn serão os valores das parce- las que sairão do caixa da pessoa (negati- vas). No Fluxo de Caixa do banco, as setas têm os sentidos mudados em relação ao senti- dos das setas do Fluxo de Caixa da Pesso- a. Assim: Fluxo de Caixa do banco E1 E2 E3 ... En-1 En 0 1 2 3 ... n-1 n So O fato de cada seta indicar para cima (po- sitivo) ou para baixo (negativo), é assu- mido por convenção, e o Fluxo de Caixa dependerá de quem recebe ou paga o Ca- pital num certo instante, sendo que: t=0 indica o dia atual; Ek é a Entrada de capital num momento k; Sk é a Saída de capital num momento k. Juros após 1 ano (doze meses) Juros após 5 anos (60 me- ses) Juros Mensais Juros Legais Juros Capitaliz. Juros Legais Juros Capitaliz. 1% 12% 12,7% 76,2% 81,8% 5% 60% 79,6% 948,6% 1.767,9% 8% 96% 151,8% 2.792,5% 10.025,7% 10% 120% 213,8% 5.053,6% 30.348,2% 12% 144% 289,6% 8.548,7% 89.659,7% NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA 41 Observação: Neste trabalho, o ponto prin- cipal é a construção de Fluxos de Caixa na forma gráfica e pouca atenção é dada à resolução dos problemas. Caso você tenha algum Fluxo de Caixa interessante que valha a pena ser tratado, envie a sua sugestão. TABELA PRICE E CADERNETA DE POU- PANÇA Informação Price PES Taxa Mensal de Referência (TR) 0,50% 0,50% Taxa Efetiva Anual de Juros 11,020000%11,020000% Taxa Efetiva Mensal de Ju- ros 0,8750% 0,8750% Percentual do Seguro sobre o Valor do Imóvel 0,0164% 0,0164% Percentual do Seguro sobre o Valor do Empréstimo 0,0648% 0,0648% Número de Pagamentos mensais 36 36 Valor Total do Empréstimo 10.000,00 10.000,00 Valor da Pres- tação - 1o. ano 325,02 365,28 Valor da Prestação - 2o. ano 325,02 355,70 Valor da Prestação - 3o. ano 325,02 341,46 Valor Médio das 36 Presta- ções 325,02 354,15 Taxa Real mensal de juros: 1o. ano 1,378886% 1,5622% Taxa Real a- nual de juros: 1o. ano 17,86102% 20,4442% Taxa Real mensal de juros: 2o. ano 1,378886% 1,5848% Taxa Real a- nual de juros: 2o. ano 17,86102% 20,7663% Taxa Real mensal de juros: 3o. ano 1,378886% 1,5705% Taxa Real a- nual de juros: 3o. ano 17,86102% 20,5620% Valor do Se- guro sobre o Imóvel (R$15.000,00) 2,46 2,46 Valor do Se- guro sobre o Empréstimo (R$10.000,00) 6,48 6,48 Valor da Soma dos Seguros (1a. parcela) 8,94 8,94 Saldo Final após 36 pa- gamentos 1.353,45 -52,32 Valor mensal necessário para zerar o Saldo Final 354,28 354,15 Quadro Comparativo: Juros Compostos (Tabe- la Price) X Juros Simples equivalência básica Seja uma taxa i para um período T. A taxa equivalente it , para um período t, é tal que: 1 + it = (1 + i)t/T ou it = (1 + i)t/T - 1. Pelas multiplicações sucessivas que resultam na exponenci- al, o método é algumas vezes chamado de "juro sobre juro". Exemplo: uma taxa de 12% ao ano (i = 0,12) é e- quivalente a Mensal (t = T/12): (1 + 0,12)1/12 - 1 ≅ 0,009489 ou 0,9489%. Trimestral (t = T/4): (1 + 0,12)1/4 - 1 ≅ 0,02874 ou 2,874%. Semestral (t = T/2): (1 + 0,12)1/2 - 1 ≅ 0,0583 ou 5,83%. E uma taxa de 1% ao mês (i = 0,01) é equivalente a