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SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS............................................................................................3 LISTA DE TABELAS............................................................................................4 RESUMO.............................................................................................................5 1.0 OBJETIVOS................................................................................................... 6 2.0 INTRODUÇÃO............................................................................................... 7 3.0 METODO EXPERIMENTAL........................................................................10 4.0 RESULTADOS E DISCUSSÃO...................................................................11 5.0 CONCLUSÃO..............................................................................................17 6.0 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................18 ANEXOS............................................................................................................19 PAGE \* MERGEFORMAT 2 PAGE \* MERGEFORMAT 20 LISTA DE FIGURAS Figura 1: Gráfico do quadrado do período e momento de Inércia de cada configuração para Fio 01...................................................................................13 Figura 2: Gráfico do quadrado do período e momento de Inércia de cada configuração para Fio 02...................................................................................14 Figura 3: Gráfico do quadrado do período e momento de Inércia de cada configuração para Fio 03...................................................................................14 Figura 4: Gráfico do módulo de torção contra o inverso do comprimento......................................................................................................16 PAGE \* MERGEFORMAT 20 1.0 – OBJETIVOS: • Oscilações harmônicas de um sistema conservativo. • Verificar a validade da lei de Hooke na torção de um fio. • Relação física entre o período de oscilação e o módulo de torção. • Verificar a dependência do módulo de torção de um fio com seu comprimento, diâmetro e material. • Uso da balança de torção para medir momentos de inércia de qualquer objeto. PAGE \* MERGEFORMAT 20 2.0 - INTRODUÇÃO: Na aula laboratorial de Física Geral e Experimental II estudou-se na prática o conceito de torque, Lei de Hooke e cálculo do momento de inércia utilizando como exemplo um sistema mecânico oscilatório. Nos sólidos é comum que as forças internas sejam muitos intensas para impedir rupturas que podem ser causadas por forças externas. Caso haja uma deformação temporária, a partir do momento que as forças externas cessam o sólido tende a voltar à forma original através de um torque (força) restaurador que se opõe ao torque (força) que o deformou. Se o corpo volta a sua condição original, diz-se que ele se comporta como um sistema elástico. Para um melhor entendimento, pode-se usar como exemplo um cilindro com os extremos fixos em barras metálicas e as laterais sendo submetidas a forças tangenciais que irão provocar uma torção. Na figura abaixo temos uma demonstração deste exemplo: Essas forças que tendem a separar camadas do material recebem o nome de tensões de cisalhamento. Para deformações dentro da elasticidade de torção do cilindro, as tensões de cisalhamento seguem a Lei de Hooke: (08) Onde é o módulo de cisalhamento, representa o raio do cilindro, o comprimento do mesmo e θ é o ângulo de desvio do sistema barra-cilindro em relação a sua posição original. Para um pequeno deslocamento angular, tem-se o seguinte torque restaurador: (09) Sendo e representa a direção do torque. Iniciado o movimento de rotação pode-se representar o torque utilizando o momento de inércia em relação ao eixo de rotação. Portanto, partindo da definição da Segunda Lei de Newton: (10) Esta relação é possível pois o movimento de rotação do cilindro depende da inércia do sistema barra-cilindro. Pela equação acima nota-se que inércia e aceleração angular são inversamente proporcionais, ou seja, o sistema vai girar mais lentamente (baixa aceleração angular), quanto maior for a inércia do sistema. As equações (08) e (09) representam torque, por isso pode-se igualar ambas, obtendo: PAGE \* MERGEFORMAT 20 (11) A equação (11) descreve um sistema oscilador harmônico simples. Através de θ é possível uma percepção da elasticidade do sistema, caso esta elasticidade for ultrapassada, o sistema não retorna ao seu equilíbrio e as deformações são permanentes. O período de um sistema é o tempo necessário para o corpo voltar à posição inicial ou para repetir o movimento oscilatório e é calculado da seguinte maneira: (12) Através de deduções envolvendo a solução geral da equação diferencial (11) e a equação (12), o período também pode ser calculado por: (13) Já na prática laboratorial, usando uma balança de torção e medido: a massa de um jogo de discos metálicos e o comprimento de um fio a ser tencionado, prende-se bem o fio nas duas travas da balança. Na trava superior o fio encontra-se preso ao suporte da balança, enquanto na trava inferior, passa uma barra de latão centrada presa a um suporte já conectado ao fio. Em cada extremidade da barra são colocados pesos equivalentes a fim de modificar o momento de inércia do sistema. Então a barra é utilizada para realizar torção no sistema. O processo foi repetido para três diferentes comprimentos de fio e duas barras também de comprimentos diferentes. Na figura abaixo temos uma ilustração do experimento realizado: Essas torções foram medidas para validar a Lei de Hooke na torção de um fio, correlacionando o período de oscilações harmônicas que o sistema conservativo exerce para encontrar o equilíbrio com o módulo de torção. Pode- se verificar também que o módulo de torção do fio depende de suas características como: comprimento, material e diâmetro. PAGE \* MERGEFORMAT 20 Tabela 1.3 – Tempo de 10 oscilações para o Fio 03: Configuração de Inércia Braço da haste (m) Massas (kg) T10 (s) T10 (s) T10 (s) T10 (s) T10 (s) T¹ (s) Desvio Padrão (s) 1 0,05 0,0680 27,59 27,73 27,19 27,09 27,49 2,742 0,2700 2 0,05 0,1180 35,97 35,97 36,10 36,19 36,02 3,605 0,0946 3 0,1 0,0680 54,03 54,09 54,06 54,19 53,76 5,403 0,1604 4 0,1 0,1180 69,21 69,90 69,90 69,50 69,95 6,969 0,3249 Considerando os valores das massas de cada fio metálico desprezíveis, foi possível calcular o momento de inércia do sistema para cada configuração. Calculou-se também o desvio padrão em relação ao tempo, o período de 1 oscilação e o período ao quadrado. Os dados estão nas tabelas 2.1, 2.2 e 2.3 abaixo: Tabela 2.1: Período do pendulo de torção e sua respectiva incerteza (ΔT²), para cada comprimento de fio metálico e com o fio de comprimento L=0,14m. Configuração de inércia Momento de inércia (kg.m²)10-4 T(s) T²(s²) ΔT²(s²) 1 8,8666 4,1176 16,9546 0,1695 2 5,9500 3,1610 9,9919 0,0999 3 2,2166 2,1294 4,5343 0,0453 4 1,4875 1,6518 2,7284 0,0273 Tabela .2: Período do pendulo de torção e sua respectiva incerteza (ΔT²), para cada comprimento de fio metálico e com o fio de comprimento L=0,20m. Configuração de inércia Momento de inércia (kg.m²)10-4 T(s) T²(s²) ΔT²(s²) 1 8,8666 4,8814 23,8280 0,2383 2 5,9500 3,7560 13,8800 0,1411 3 2,2166 2,4870 6,1851 0,0619 4 1,4875 1,9538 3,8173 0,0382 PAGE \* MERGEFORMAT 20 Tabela 2.3: Período do pendulo de torção e sua respectiva incerteza (ΔT²), para cada comprimento de fio metálico e com o fio de comprimento L=0,25m. Configuração de inércia Momento de inércia (kg.m²)10-4 T(s) T²(s²) ΔT²(s²) 1 8,8666 6,9692 48,5697 0,4857 2 5,9500 5,4028 29,1902 0,2919 3 2,2166 3,6050 12,9960 0,1299 4 1,4875 2,7418 7,5174 0,0752 Bem, notamos a igualdade entre os momentos de inércia para os três fios. Isso se explica pelo fato das configurações das massas para cada fio não ter mudado e principalmente porque a diferença entre as massas dos fios se tornou insignificante para a determinação do momento de inércia de cada sistema. Ou seja, seria necessária a modificação de um parâmetro que interferisse, significativamente, no momento de inércia do sistema, no caso a configuração das massas. Percebemos também, a relação direta entre o comprimento o fio e o período de oscilação. Queremos dizer que com o aumento do comprimento do fio o período para uma oscilação do sistema cresce proporcionalmente. Com os valores do período ao quadrado e do momento de inércia obtidos foi possível plotar os gráficos para os fios 1, 2 e 3 do período ao quadrado x momento de inércia, com isso obtemos o módulo de torção de cada fio. Figura 1: Gráfico do quadrado do período e momento de Inércia de cada configuração para Fio 01. PAGE \* MERGEFORMAT 20 Figura : Gráfico do quadrado do período e momento de Inércia de cada configuração PAGE \* MERGEFORMAT 20 Figura 4: Gráfico do módulo de torção contra o inverso do comprimento. Do ajuste da curva do Gráfico 1.4, determinou-se o módulo de cisalhamento (S) do fio. Para isto, utilizando-se a seguinte equação: onde, S = módulo de cisalhamento; R = raio do fio (m); a = coeficiente linear da curva da Figura 4. O módulo de cisalhamento (S) encontrado foi igual a 7,43.109 (N/m2). A imposição de tensões torcionais induz a um comportamento elástico, esse comportamento pode ser explicado pela lei de Hooke e de Newton. O módulo de cisalhamento representa uma proporção entre a tensão aplicada e a deformação de cisalhamento, o valor desse módulo realmente apresenta-se muito alta e ele varia dependendo do material utilizado e da temperatura em que é submetido. Prováveis fatores responsáveis pela discordância entre o módulo de torção experimental e o módulo de torção teórico bem como o esperado para o módulo de cisalhamento experimental são: • Utilização de cronômetro acionado de forma manual,o que causou incerteza no valor do módulo de torção,visto que causou alguma incerteza no valor do período. • Impossibilidade de deixar os fios completamente esticados,o que também impossibilitou determinar precisamente seu comprimento,causando diferença entre os valores reais e os obtidos para o período de oscilação,e que gerou um certo desvio para o valor do módulo de torção. • Houve alguma oscilação no plano vertical. • Dificuldade para determinar o ângulo entre o ponto de partida da haste e um ponto de referência fixo. • Considerou-se que o período é independente do ângulo de lançamento,o que só é válido se esse ângulo for pequeno(< 30º),sendo ele maior o fio não pode ser considerado totalmente elástico e de acordo com a observação dos dados obtidos o ângulo pode ter sido excedido. Possíveis correções para o método experimental utilizado para a determinação dos módulos de torção e cisalhamento: • Fixação de um ponto para ser tomado como ponto de partida do sistema. PAGE \* MERGEFORMAT 20 • Aumento no número de análises do período para cada configuração. • Utilização de sensor para determinar o período de oscilação da barra. • Utilização de discos com maior momento de inércia, para que os erros sejam menos significantes. • Realização da marcação do período considerando-se maior número de oscilações. PAGE \* MERGEFORMAT 20 5.0 - CONCLUSÃO: A partir de uma balança de torção verificamos, mais uma vez, a aplicação do movimento oscilatório para a determinação de parâmetros físicos importantes como o módulo de torção de fios, no caso, com três comprimentos diferentes. Outra ferramenta de grande ajuda foi a possibilidade do tratamento estatístico dos dados através da regressão linear feita com os mesmos. Enfim, considerando a angulação (30º) constante para os três fios, concluímos que o módulo de torção decresce com o aumento do comprimento do fio. Isto devido a relação: com o aumento do comprimento do fio crescerá também o período de oscilação do sistema de massa montado (base para os cálculos). As leis de Hooke e Newton explicam o esse comportamento elástico na torção. PAGE \* MERGEFORMAT 20