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Guias e Dicas
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Calculo I UFRPE, Notas de estudo de Cálculo

Material da Deisciplina de Cálculo I

Tipologia: Notas de estudo

2011

Compartilhado em 16/06/2011

manoel-lima-8
manoel-lima-8 🇧🇷

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Baixe Calculo I UFRPE e outras Notas de estudo em PDF para Cálculo, somente na Docsity! Recife, 2009 Cálculo I Cláudia Dezotti Bruno Lopes Universidade Federal Rural de Pernambuco Reitor: Prof. Valmar Corrêa de Andrade Vice-Reitor: Prof. Reginaldo Barros Pró-Reitor de Administração: Prof. Francisco Fernando Ramos Carvalho Pró-Reitor de Extensão: Prof. Paulo Donizeti Siepierski Pró-Reitor de Pesquisa e Pós-Graduação: Prof. Fernando José Freire Pró-Reitor de Planejamento: Prof. Rinaldo Luiz Caraciolo Ferreira Pró-Reitora de Ensino de Graduação: Profª. Maria José de Sena Coordenação Geral de Ensino a Distância: Profª Marizete Silva Santos Produção Gráfica e Editorial Capa e Editoração: Allyson Vila Nova, Rafael Lira, Italo Amorim, Arlinda Torres e Heitor Barbosa Revisão Ortográfica: Marcelo Melo Ilustrações: Claudia Dezotti e Bruno Lopes Coordenação de Produção: Marizete Silva Santos 5 Cálculo I Capítulo 1 – Limite e Continuidade 1.1 Introdução Para este módulo vamos trabalhar com Limites de Funções. Inicialmente estudaremos a noção intuitiva de um limite partindo de uma função, assunto já estudado na disciplina de Matemática I, analisando gráficos e tabelas até chegar à definição de limite. Também veremos as principais propriedades, características e os tipos de limites. A partir desse estudo definiremos continuidade e sua aplicação a uma função dada. Atividade de Pesquisa Para esse módulo a atividade de pesquisa é sobre produtos notáveis e fatoração de polinômios e frações algébricas. O estudo desses conteúdos é de grande importância para o cálculo de limites de uma função. 1.2 Noção Intuitiva de Limite Observe a função . O domínio desta função é o conjunto dos números reais, , ou seja, para qualquer que seja o número real , o valor de está definido. Vejamos alguns exemplos: 1. Para a função . Quando , temos Dessa forma, dizemos que a imagem de é o valor No gráfico: 6 Cálculo I Figura 1 Agora considere a função . Ela está definida para todo número real, com exceção quando assume o valor 2. Por quê? Quando fazemos a substituição de por 2, teremos uma indeterminação matemática. Observe: é uma indeterminação matemática. Que tal uma pesquisa sobre indeterminações matemáticas? A partir de agora vamos estudar o comportamento do gráfico da função quando assume valores próximos de 2. Através de tabelas, chamadas de tabelas de aproximações, observaremos o comportamento da função quando assume valores próximos (chamaremos de vizinhança) de 2, mas diferente de 2. Começaremos atribuindo a valores próximos de 2, porém, menores que 2: (Tabela 1) x 1 1,5 1,75 1,9 1,99 1,999 1,9999 3 3,5 3,75 3,9 3,99 3,999 3,9999 Atribuindo a valores próximos de 2, porém, maiores do que 2: (Tabela 2) x 3 2,5 2,25 2,1 2,01 2,001 2,0001 5 4,5 4,25 4,1 4,01 4,001 4,0001 7 Cálculo I Através da análise das tabelas 1 e 2, podemos tornar tão próximos de 4 quanto desejarmos, bastando, para isso, tornarmos suficientemente próximo de 2. Podemos escrever: O limite da função quando se aproxima de (tende a) 2 é igual a 4. Utilizando símbolos,escrevemos ou . Esses dois tipos de aproximações que fizemos utilizando as tabelas são chamados de limites laterais. Quando se aproxima (tende a) 2 por valores menores que do 2 (Tabela 1), dizemos que tende a 2 pela esquerda e representamos simbolicamente por . Quando se aproxima (tende a) 2 por valores maiores que do 2 (Tabela 2), dizemos que tende a 2 pela direita e representamos simbolicamente por . Temos então que . É importante deixar claro que o limite da função quando se aproxima de 2, somente existe se os limites laterais são iguais. Se a função se aproximasse de valores diferentes à medida que se aproximasse lateralmente de 2, pela esquerda e pela direita, o limite da função não existiria nesse ponto, e denotávamos simbolicamente: . Sempre que quisermos determinar o limite de uma função, caso ele exista, temos que construir as tabelas de aproximações? A resposta é não. Existe uma forma mais simples e veremos a seguir. 1.3 Cálculo de Limites Na secção anterior, vimos que o limite da função quando tende a 2 é igual a 4. Usaremos o recurso de simplificar a expressão da função envolvida. Para simplificar a expressão podemos fazer uso de racionalização, fatoração, dispositivo prático de Briot- Ruffini... 10 Cálculo I Atividade de Estudo 1. Utilizando os limites laterais, determine o valor de: a. b. c. d. 2. Fatore as expressões e simplifique as frações para obter o valor de: a. b. c. d. 3. Aplicando as propriedades de limites, calcule em cada caso: a. b. c. d. e. 4. Calcule os limites abaixo: a. b. c. d. 5. Dada a função , definida por , calcule . 11 Cálculo I 1.6 Limites Infinitos Seja a função definida por . Iremos analisar o comportamento numérico dessa função através das tabelas de aproximações quando assume valores próximos de 0 (zero), mas diferentes de 0 (zero). Quando tende a 0 (zero) pela esquerda , temos a seguinte tabela (Tabela 3): x -1 -0,5 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 -1 -2 -10 -100 -1000 -10000 Da tabela (tabela 3) acima, podemos observar que à medida que o se aproxima de 0 (zero) pela esquerda, os valores da função decrescem sem limite. Simbolicamente: . Quando tende a 0 (zero) pela direita , temos a seguinte tabela (Tabela 4): x 1 0,5 0,1 0,01 0,001 0,0001 1 2 10 100 1000 10000 Observemos a partir da tabela 4 que à medida que o se aproxima de 0 (zero) pela direita, os valores da função crescem sem limite. Simbolicamente: Como , podemos afirmar que quando tende a 0 (zero) o limite da função não existe. Figura 3 12 Cálculo I Agora vamos analisar o comportamento numérico da função quando x tende a 0 (zero). Mais uma vez faremos uso das tabelas de aproximação: : (Tabela 5) x -1 -0,5 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 1 4 100 10000 1000000 100000000 : (Tabela 6) x 1 0,5 0,1 0,01 0,001 0,0001 1 4 10 10000 1000000 100000000 Observamos pelas tabelas de aproximação (tabelas 5 e 6) que quando tende a 0 (zero), pela esquerda ou pela direita, os valores da função crescem sem limite.Simbolicamente: . Como os limites laterais são iguais, indicamos que o limite da função quando é representado por . Figura 4 1.7 Limites no Infinito Estamos interessados agora em estabelecer o comportamento de uma função quando a variável cresce indefinidamente ou quando a variável decresce indefinidamente Vamos retomar a função , com e . Para , temos a seguinte tabela: (Tabela 7) 15 Cálculo I d. e. f. g. 1.8 Limite Fundamental Exponencial Consideremos a função . À medida que x cresce, tendendo ao infinito, a fração tende a zero, porém essa fração somada a 1 e o seu resultado elevado a não tem tendência para um resultado evidente. Utilizaremos o recurso da tabela de aproximação (tabela 9) para visualizar o valor numérico que assume quando . 1 2 2 2,250000 5 2,488320 10 2,593742 20 2,653298 50 2,691588 100 2,704814 200 2,711517 500 2,715569 1000 2,716924 5000 2,718010 1000000 2,718280 ∞ (também conhecido como número de Euler) é um número irracional compreendido entre 2 e 3. Que tal uma pesquisa sobre o assunto? 16 Cálculo I Então: . Também se pode provar que quando x tende a menos infinito a função também da o número . 1.9 Consequências do Limite Fundamental Exponencial i. ii. . Vamos agora resolver alguns limites: 1. 2. 3. 4. Solução: 1. . 2. Para esse e os exemplos seguintes, iremos usar uma mudança de variável. Se : 3. Fazendo , ficamos com: 4. Para : 17 Cálculo I Atividade de Estudo 1. Calcule os seguintes limites: a. b. c. d. e. f. g. 2. Aplicando o limite exponencial fundamental, calcule: a. b c. d. 3. Calcule: a. Sugestão: Faça b. Sugestão: Faça c. Sugestão: Faça 20 Cálculo I f. g. 1.11 Continuidade Intuitivamente, ideia de uma função contínua decorre da análise do seu gráfico. Quando o gráfico de uma função não apresenta ‘‘saltos’’ (interrupções), dizemos que ela é contínua. Existindo algum ponto em que ocorre um ‘‘salto’’ (interrupção) dizemos que a função é descontínua nesse ponto. Vamos acompanhar alguns gráficos de funções nas figuras abaixo (figuras 7, 8 e 9). Figura 7 Figura 8 Figura 9 Fazendo a construção dos gráficos das funções e , temos as seguintes considerações: » Para a função , o seu gráfico é uma parábola (figura 7) onde o seu domínio é o conjunto dos números reais , ou seja, para qualquer valor real de , é verdade que: ; » Para a função se calcularmos o limite para tendendo a 0 (zero) veremos que e . Como . Temos que a função não é contínua no ponto ; » Para a função quando calculamos o seu limite para , teremos: , ou seja, o limite existe para x tendendo a 1,mas a função não está definida para . 21 Cálculo I Através da construção e análise dos gráficos das funções , e , vemos que, com exceção de , as demais funções apresentam ‘‘saltos’’ (interrupções) em algum ponto. No caso da função , o q caracteriza a ausência desses ‘‘saltos’’ é o fato de existir o limite em qualquer ponto do domínio e, além disso, esse limite ser igual a (imagem de na função ). De outra forma, escrevemos: Seja um ponto do domínio de uma função . Dizemos que é contínua no ponto se . Vejamos outros exemplos: 1. A função é contínua no ponto ? 2. Verificar se a função é contínua para . 3. A função é contínua para ? 4. Determinar o valor de de modo que a função seja contínua em . Solução: 1. Utilizando as tabelas de aproximação, podemos calcular os limites laterais de : e . Como , temos que é contínua no ponto . 2. O (você pode verificar através dos limites laterais ou ainda fatorando e simplificando a expressão e em seguida calculando o limite quando tende a 2). Pela definição, uma função será contínua se . Para esse exemplo e em a função não está definida. Temos que não é contínua para . 3. Ao calcularmos os limites laterais em quando e (você pode usar os limites laterais) obtemos como resultado 7 (sete). Já o valor de , e pela definição, temos que a função não é contínua para . 4. Quando calculamos e através das tabelas de aproximação, achamos que e pela definição de continuidade temos que ter , ou seja, tem valor igual a 2 (dois). Para ser contínua basta . 22 Cálculo I Resumo Vimos nesse módulo que a noção de limite de uma função é derivada do comportamento dessa função em um ponto dado. Definimos Limite usando a ideia de aproximações laterais e, em seguida, estudamos como determinar o Limite de uma função em um ponto. Outro conteúdo trabalhado nesse módulo foi os tipos de Limite, como, Limites no Infinito, Limite Exponencial, Limite Trigonométrico e suas consequências. Por fim, estudamos o conceito de Continuidade de uma função e sua visualização em gráficos. Atividade de Estudo 1. Dada a função . Diga se é continua nos pontos: a. b. c. 2. Dada a função . Diga se é continua nos pontos: a. b. 3. Se e seja a função definida por . Calcule para que contínua em . 4. Mostre se a função é contínua ou descontínua em . 5. Considere a função, definida em por: . Calcular o valor de para que a função seja contínua em . 25 Cálculo I uma reta secante que passa pelos pontos P e Q (figura 2) Figura 2 Fazendo tender a zero pela direita e pela esquerda, a reta secante que passa por P e Q tende a posição limite indicada pela linha tracejada. A reta nesta posição limite é o que se chama de “reta tangente ao gráfico no ponto ”. Na figura 3 temos a representação desta ideia. Figura 3 Das figuras acima, podemos observar que à medida que o valor de de muda, a reta secante determinada por P e Q se aproxima da posição limite representada pela linha tracejada. Da geometria analítica, sabemos que o coeficiente angular das retas secantes é dado pela expressão . A reta tangente, determinada pela posição limite dessas secantes, tem o coeficiente angular expreso por , ou ainda, . Vejamos um exemplo: 1. Dada a função : 26 Cálculo I a. Determinar o coeficiente angular da reta secante em cada caso abaixo. i. c = 1 e = 2 ii. c = 1 e = 1 iii. c = 1 e = 0,5 iv. c =1 e = 0,1 b. Trace o gráfico de de todas as retas secantes obtidas no item anterior. c. Através das observações anteriores, escreva o que acontece com a posição da reta secante quando se aproxima de zero. Solução: a. Vimos que o coeficiente ( ) angular de uma reta secante é dado através da expressão . Vamos agora substituir os valores fornecidos nos itens i, ii, iii e iv na expressão fornecida. i. ii. iii. iv. b. Figura 4 c. Quando se aproxima de zero as retas secantes obtidas no item b tendem à reta tangente da função no ponto c = 1. 27 Cálculo I 2.3 Derivadas Na seção anterior falamos sobre retas tangentes e demos um tratamento gráfico para limites do tipo . A partir deste momento vamos iniciar um estudo mais criterioso desse tipo de limite, o qual será chamado de derivada. Uma definição formal e matemática de derivada de uma função em um ponto c é dada a seguir: Definição: A derivada de uma função em um número c , denotada por , é = , se o limite existe. Para calcular devemos calcular Agora vamos fazer algumas aplicações através de exemplos: 1. Encontrar a derivada da função em um número c qualquer. Solução: = (Definição de derivada em um número c) Substituímos e <?> em <?> na função : Simplificando a expressão e aplicando o limite quando tende a zero: 2. Aplicando a definição, calcule a derivada da função no ponto de abscissa c = 3. Solução: 30 Cálculo I Multiplicando numerador e denominador por Simplificando a expressão acima, ficamos com: Assim a derivada da função para um ponto é b. Pela definição: 2.5 Regras de derivação Até esse momento, sempre que foi pedido para calcular a derivada de uma determinada função, nós sempre fazíamos uso da definição. Nesta seção vamos apresentar fórmulas para o cálculo de derivadas que são úteis, pois facilitam e diminuem a quantidade de cálculos. Vamos apresentar uma regra de derivação por vez e sempre seguida de exemplos para que sua aplicação fique bem clara. 31 Cálculo I 2.5.1 Derivada de uma função constante. Se , onde c é uma constante qualquer, então . Exemplo: Calcular a derivada das seguintes funções: a. b. c. Solução: a. b. c. 2.5.2 Derivada da função potência. Sendo um número inteiro positivo e , então . Exemplo: Determinar a derivada de cada função abaixo: a. b. c. d. Solução: a. b. c. d. Importante: Quando é um número negativo ou racional podemos proceder da mesma forma. Observe: 32 Cálculo I Vamos calcular a derivada das seguintes funções: a. b. c. d. Solução: a. b. c. d. 2.5.3 Derivada de uma soma de função. Se e são funções diferenciávéis em , então a função tem a derivada dada pela expressão: . Vejamos um exemplo: Vamos derivar a função . Observe que a função é composta por outras funções, mostradas a seguir: que possui derivada ; que possui derivada ; que possui derivada ; que possui derivada igual a zero. Desta forma e como foi definida, a derivada de , indicada por , é dada por , ou seja, . De uma forma geral, podemos dizer que a derivada da soma de duas ou mais funções é a soma das derivadas dessas funções. 35 Cálculo I d. e. Solução: a. Vamos separar a função em duas: e e calcular as suas derivadas. Temos que e . Pela definação mostrada, . Fazendo as subtituições, ficamos com: . b. Vamos fazer como sendo a primeira função, ou seja, , e como segunda função, . As derivadas de e , são, respectivamente, e . Já sabemos que “a derivada do produto de duas funções é a primeira função vezes a derivada da segunda mais a segunda função vezes a derivada da primeira”. Então: c. Fazendo como sendo a primeira função, , e como segunda função, podemos determinar através da expressão : 36 Cálculo I d. Como fizemos nos itens anteriores, vamos separar a função em e . A derivada de é e a derivada de é . Substituindo esses valores em : e. Se fizermos e , logo e . Com essas informações podemos calcular : 2.5.5 Derivada de um quociente de funções. Se e são deriváveis em e , então o quociente tem derivada dada pela expressão: Podemos escrever que a derivada de um quociente de duas funções é a derivada do numerador vezes o denominador menos a derivada do denominador vezes o numerador, tudo isso dividido pelo quadrado do denominador. Vamos mostrar agora alguns exemplos onde podemos aplicar essa regra de derivação: Determinar a derivada das funções abaixo: a. b. c. 37 Cálculo I d. e. Solução: a. Vamos utilizar para esse exemplo e . Já sabemos que . Como , temos que 3. Como , temos que . Substituindo esses valores em , ficamos com: b. Observe que a função é composta por duas funções: que possui derivada e que tem como derivada . Nosso próximo passo é fazer a substituição dos valores acima na expreção : c. Se chamarmos e , achamos como derivadas dessas funções e . 40 Cálculo I Resumo Estudamos nesse volume que a noção de derivada de uma função em um ponto está diretamente relacionada com a reta tangente a essa função nesse ponto dado. Definimos derivada e, em seguida, estudamos nesse módulo as regras de derivação mais simples. Atividades de Interação Participe do Fórum “A resolução de derivadas” no Ambiente Moodle. Muitos dos exemplos pesquisados por você na Atividade de Pesquisa devem ser compartilhados com seus colegas nesse Fórum. Essa atividade faz parte da sua avaliação somativa. 41 Cálculo I Capítulo 3 – Derivação 3.1 Introdução Iniciamos nossa disciplina estudando Limites e no primeiro módulo introduzimos o conceito de derivada e estudamos algumas Regras de Derivação. Para esse segundo volume vamos continuar a estudar as Regras de Derivação. De início veremos a Regra da Cadeia e chegaremos as Derivadas das funções trigonométricas. Achando necessário, revejam no primeiro volume do Livro de Cálculo I os conceitos fundamentais sobre Derivadas. Atividade de Pesquisa Desde o primeiro volume do Livro de Cálculo I estudamos a Derivada e suas Regras de Derivação. Que tal montar uma tabela de Derivadas? Uma ótima ideia é divulgar sua tabela no Fórum do seu Polo. 3.2 A Regra da Cadeia (Derivada da Função Composta) Durante o primeiro volume do Livro de Cálculo I vimos como derivar a função e também a função . Agora, fazendo a composição da função com , temos . Como derivar a função ? Uma forma é desenvolver o binômio e em seguida derivar a função. Mas imagine se a função a qual queremos derivar tenha expoente 10. Desenvolver a expressão não é uma das tarefas mais simples. A regra que iremos mostrar agora estabelece uma forma mais simples para se obter a derivada da função composta em termos das funções elementares já estudadas. A função composta tem derivada dada por: 42 Cálculo I Vejamos como aplicar a regra da cadeia na função Inicialmente precisamos identificar quais são as funções elementares envolvidas, a saber: e . Já sabemos que a derivada de uma função composta é dada pela expressão . Como vem que e como vem que a sua derivada é . Substituindo esses valores na expressão , ficamos com: Vejamos mais alguns exemplos onde utilizamos a regra da cadeia: Ex1: Ex2: Ex3: Ex4: Solução: Ex1: . Tomando e e em seguida aplicando a expressão já enunciada anteriormente, a derivada de é: Ex2: . Para esse segundo exemplo vamos tomar e . É importante lembrar que (aqui aplicamos a regra para derivada de um quociente). Mais uma vez, utilizando a expressão e fazendo as devidas substituições: 45 Cálculo I Tutor Virtual, é a seguinte: , então Alguns exemplos onde usaremos as noções que acabamos de enunciar são mostrados abaixo: Ex1: Ex2: Ex3: Solução: Ex1: . Para calcular a derivada dessa função, vamos inicialmente aplicar a regra da derivada de um produto: Ex2: . A sua derivada é Ex3: . Mais uma vez fazendo uso da regra da derivada de um produto de funções: 3.3.3 Derivada das funções trigonométricas Todas as derivadas de funções trigonométricas podem ser demonstradas através da própria definição de derivadas. Em qualquer momento do curso você cursista poderá questionar essa demonstração com o seu tutor virtual. Também em livros de cálculo é possível de se encontrar essas demonstrações. Nesse volume do Livro de Fundamentos de Cálculo iremos focar as aplicações das regras para as derivadas das funções trigonométricas listadas a seguir: Derivadas das Funções Trigonométricas: i. ii. iii. 46 Cálculo I iv. v. vi. vii. Vejamos alguns exemplos onde podemos aplicar as derivadas das funções trigonométricas: 1. Calcular a derivada de cada uma das funções dadas a seguir: a. b. c. d. e. f. As soluções: a. . Sua derivada é b. , possui derivada y’ = -3 sen3x c. . Nesse exemplo inicialmente aplicaremos a regra para a derivada da diferença entre duas funções: d. .Já estudamos a regra para a derivada do produto entre duas funções: ainda e. . Essa função pode ser escrita como . Em seguida podemos aplicar a regra para a derivada do produto: f. . Pela regra da derivada do produto de duas funções: . 47 Cálculo I Atividade de Estudo 1. Calcule a derivada de cada uma das funções dadas a seguir: a. b. c. d. 2. Calcule a derivada das funções abaixo: a. b. c. d. 3. Observando as funções trigonométricas a seguir, encontre suas derivadas: a. b. c. d. e. f. g. h. i. No ambiente está disponível uma tabela com um resumo das principais funções que estudamos no Volume 1. Baixe para seu computador essa tabela e também discuta com outros cursistas a sua aplicação. 50 Cálculo I De outra forma: 3. Se , suas derivadas sucessivas: Ou ainda: 4. Vejamos agora um exemplo de aplicação da derivada segunda: A velocidade (V) é definida como a taxa de variação do espaço (S) em relação ao tempo (t): , ou seja, . (note que indica a derivada de “S” em relação a variável “t”) Da mesma forma, a aceleração (a) que é definida como sendo a taxa de variação da velocidade (V) em relação ao tempo (t): , ou ainda, . (note que indica a derivada de “V” em relação avariável “t”). Atividade de Estudo 1. Calcule o que se pede em cada caso: a. Dado , determine . b. Se , calcule . 2. Calcule : 51 Cálculo I a. b. c. d. 3. A equação horária de um ponto em movimento é , onde S é o espaço em metros e t o tempo em segundos. Determine: a. A velocidade nos instantes e b. A aceleração nos instantes e 4.3 Análise Gráfica das Funções Estudaremos o comportamento das funções através da observação do seu gráfico. Estudaremos também máximos e mínimos dessas funções e observaremos que esses pontos, se existirem, ocorrem em pontos chamados de críticos. 4.3.1 A ideia inicial de máximo e mínimo Considere a função definida por O gráfico que representa essa função é uma parábola que passa pelos pontos (2; 0) e (3; 0) e que possui vértice (2, 5; 0,25). Observe o gráfico: Figura 1 A partir da observação do gráfico da função 52 Cálculo I (Figura 1), notamos que a função assume valor máximo quando (x do vértice). Esse valor máximo é (y do vértice). Também podemos verificar que essa função não possui um valor mínimo, pois tanto para como par , temos que . Vejamos agora o comportamento da função . Sabemos que seu gráfico é uma parábola de Vértice (1, 5; - 0,25). O gráfico de está representado na Figura 2: Figura 2 Da observação do gráfico da Figura 2, percebemos que quando (x do vértice) a função assume seu valor mínimo. Esse valor mínimo é (y do vértice). Também podemos notar que a função não possui um valor mínimo, visto que para e para , . Para a primeira função, , o número 2,5 é chamado de ponto de máximo (ou maximante) e para segunda fincão, , o número 1,5 é chamado de ponto de mínimo (ou minimante). 4.3.2 Máximos e mínimos locais Vamos iniciar o estudo de máximos e mínimos locais partindo do entendimento do gráfico de uma função dada. Dada uma função com domínio , imagem e derivável em . Seu gráfico é mostrado abaixo (Figura 3): 55 Cálculo I A proposição que se segue nos permite encontrar os possíveis pontos máximos ou mínimos relativos (pontos de extremos relativos). Proposição: Seja uma função definida em um intervalo aberto 8. Se tem um extremo relativo (máximo ou mínimo local) em e existe para todo , então . Exemplos: Ex1: Para a função no intervalo determinar seus pontos extremos relativos. Solução: A derivada de é . Pela proposição estudada, se possui um extremo relativo em , com (no nosso exemplo, compreende o intervalo ), então . Fazendo , temos que (e 3 pertence ao intervalo trabalhado no exemplo), logo é o único ponto crítico da função (observe a Figura 7). Figura 7 Já os valores de nesse ponto crítico e nos extremos do intervalo dado, são: 56 Cálculo I Então, temos que a função tem máximo relativo igual a 5 no extremo e mínimo relativo igual no ponto crítico . Ex2: Vejamos agora uma função com grau maior que dois: Seja para . Temos que e quando é o ponto crítico da função. O valor de nesse ponto crítico é calculado abaixo: Então, temos que a função tem mínimo relativo igual a -6 no extremo . Atividade de Estudo 1. Determine os pontos críticos das funções dadas: a. b. c. d. 2. Determine, quando existirem, os extremos das funções abaixo: a. b. c. d. 4.4 Funções Crescentes e Decrescentes O que veremos agora é um critério muito usado na prática que permite verificar se uma função é crescente ou decrescente. Esse critério é baseado no sinal (positivo ou negativo) da derivada de . 57 Cálculo I Observe a seguinte proposição: Seja uma função contínua em um intervalo e derivável no intervalo . Se: a. para todo , então é crescente em ; b. para todo , então é decrescente em . Observe a noção geométrica dessa proposição: a. Se a derivada é positiva para todo , geometricamente a reta tangente tem inclinação ascendente para todo . Figura 8 b. Se a derivada é negativa para todo , geometricamente a reta tangente tem inclinação descendente para todo . Figura 9 Ex1: Vamos determinar os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente. Solução: Como (temos aqui uma função constante), a função será sempre crescente, pois . 60 Cálculo I Figura 13 Vamos procurar entender esse teorema através de aplicação de alguns exemplos e da interpretação geométrica. Ex1: Seja a função no intervalo . Queremos mostrar pelo Teste da Derivada Primeira que a função _ possui um ponto de mínimo. A derivada de é . Fazendo temos que é o único ponto crítico de . Observando o item b do Teorema enunciado nesse tópico (Figura 13), concluímos que é um ponto mínimo (compare as Figuras 13 e 14). Figura 14 4.5.2 Critério da segunda derivada para determinação de extremos Iniciaremos com o enunciado do Teorema. Esse Teorema também é conhecido como Teste da Segunda Derivada: Seja uma função derivável em um intervalo e um ponto crítico de nesse intervalo, isto é, . Então: a. tem um máximo relativo em ; b. tem um mínimo relativo em O Teste da Segunda Derivada é bem simples. De forma resumida, se quisermos saber se uma função derivável em um dado intervalo possui máximo ou mínimo local, basta determinarmos seus pontos críticos e em seguida, na sua segunda derivada aplicar esses pontos críticos. Observe: 61 Cálculo I Ex: Encontrar os pontos de máximos e mínimos da função . Solução: A primeira derivada de é . Lembrando que para determinar os pontos críticos de , basta fazer , ou seja, que possui raízes e (esses são os pontos críticos de ). Aplicando esses pontos críticos na segunda derivada de , que é dada por , teremos: , logo é um ponto de mínimo relativo e , logo é um ponto de máximo relativo. Atividade de Estudo 1. Encontrar, se existirem, os pontos de máximos e mínimos relativos das seguintes funções: a. b. c. d. Resumo Nesse segundo volume do Livro de Cálculo I estudamos algumas aplicações das derivadas. Iniciamos com derivadas sucessivas e em seguida trabalhamos com pontos de máximo e mínimo de uma função através de uma derivada e estudamos os pontos críticos de uma função. E ao final desse volume vimos os testes das derivadas primeira e segunda. 62 Cálculo I Capítulo 5 – A Integral 5.1 Introdução Neste volume 3 do Livro de Cálculo I estaremos iniciando o estudo de Integrais. Partiremos da histórica necessidade de se calcular áreas de figuras não planas até chegar à definição formal de Integral. De início, iremos abordar um conteúdo de grande importância para o estudo de Integrais: As Primitivas. Também neste volume estudaremos a Integral Definida, o Cálculo de Integrais através do Teorema Fundamental do Cálculo. Atividade de Pesquisa Agora já estamos trabalhando com Integrais. O domínio das regras de derivação e até mesmo a noção de Limite de uma Função são essenciais para um maior entendimento sobre Integrais. A sugestão de Atividade de Pesquisa para o terceiro Volume de Cálculo I é uma revisão e reestudo dos Volumes que até o momento disponibilizamos em nosso Ambiente de Aprendizagem. 5.2 Primitivas Nos volumes 1 e 2 do Livro de Cálculo I estudamos alguns problemas do tipo: Dada uma função , determinar a sua derivada . Para resolver esse tipo de problema recorremos à definição de derivadas ou às regras de derivação já estudadas. Agora considere o problema inverso: Dada uma derivada , determinar a função correspondente. Outra forma de enunciar esse problema é: Dada uma função f, queremos encontrar uma função tal que . Observe: 65 Cálculo I Atividade de Estudo 1. Encontre a primitiva mais geral de cada função dada: a. b. c. d. e. f. 2. Determine as primitivas das funções dadas a seguir: a. b. c. d. e. f. 5.3 O Conceito de Integral No Volume 1 do Livro de Cálculo I vimos que o conceito de Derivadas está ligado ao problema de traçar a tangente a uma curva dada. Já o conceito de Integral está diretamente ligado ao problema de determinar a área de uma figura plana qualquer. Durante o Ensino Fundamental, Médio e até mesmo no período de capacitação, aprendemos em Geometria a calcular a área de figuras planas cujos contornos são segmentos de retas, por exemplo, triângulos e retângulos. Imagine agora o problema de calcular a área A da região abaixo do gráfico da função (função com domínio no intervalo fechado e com imagem nos reais). Observe a Figura 1: 66 Cálculo I Figura 1 O que iremos descrever agora é um processo para determinar a área “A” situada sob o gráfico da função destacada na Figura 1. 1. Dividimos o intervalo em subintervalos iguais. Cada subintervalo tem comprimento . Em cada um desses subintervalos, vamos escolher pontos quaisquer: no primeiro, no segundo, no terceiro,... Dessa maneira termos n retângulos, todos com base e altura , com (Figura 2): Figura 2 2. A Figura 2 ilustra esses retângulos para . Observe que para um número maior de retângulos, mais nos aproximamos da real área sob a curva da função dada. Observe a Figura 3: 67 Cálculo I Figura 3 3. A soma das áreas dos retângulos, que representaremos por, é dada por: Na Figura 2: Na Figura 3: 4. Para “ “ retângulos, a soma S é representada por: 5. A medida que cresce acima de qualquer número dado, os valores de S se aproximam de um valor limite e esse valor limite é o que devemos definir como sendo a área delimitada pelo gráfico de , pelas retas e pelo eixo dos (Figura 4): 70 Cálculo I Em geral, a integração f em um intervalo [a, b] é representada pela soma das áreas da figura delimitada pelo gráfico de f, pelo eixo 0x e pelas retas x = a e x = b. Vejamos alguns exemplos de cálculo de áreas a partir de integrais: 1. Temos nesse exemplo uma função constante, definida em no intervalo . Na Figura 6 temos a representação da integral no gráfico: Figura 6 Observamos, a partir da Figura 6, que a integral a representa a área de um quadrado do lado 1. Dessa forma, . 2. Para esse segundo exemplo temos que e que o intervalo de integração é . A representação da função f no intervalo mencionado mostramos na Figura 7: Figura 7 71 Cálculo I Temos, agora, um triângulo com a base de comprimento 1 e de altura 2, portanto, a integral a 3. A Figura 8 ilustra o gráfico da função no intervalo : Figura 8 Você, Cursista, pode observar que para a função no intervalo temos um trapézio de base maior medindo 5, base menor medindo 1 e altura 4. Dessa forma, a integral a (Usamos aqui a fórmula para o cálculo da área de um trapézio) 4. A função a ser estudada nessa integral é no intervalo . Na Figura 9 temos a representação do gráfico de : Figura 9 Mais uma vez temos destacado um trapézio de base maior 4, base menor 1 e altura 1, então a integral a 72 Cálculo I Atividade de Estudo 1. Calcule as integrais indicadas abaixo. Faça gráficos e indique, em cada caso, a área que a integral representa: a. b. c. d. 5.6 Teorema Fundamental do Cálculo Quando estudamos derivadas, iniciamos com a definição a partir do limite e todo o cálculo de derivadas era feito baseando-se na definição. Percebemos que esse meio de se determinar uma derivada não era prático e logo, a partir da definição, conseguimos fazer uso de uma série de regras de derivação o que tornou mais simples o cálculo de derivadas. O mesmo acontece com a integral que tem sua definição como um limite de uma soma (a soma de Riemann). Embora, fazer uso da definição não seja uma forma prática de se calcular uma integral, ela permitirá que nós possamos estabelecer as regras de integração através do chamado Teorema Fundamental do Cálculo. O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece uma relação entre as operações de derivação e integração e, por esse motivo, torna-se a chave de todo Cálculo Diferencial e Integral. Formalmente, o Teorema Fundamental do Cálculo diz: Considere uma função contínua de valores reais definida em um intervalo fechado . Se for a função definida para em por Então, , para todo em . 75 Cálculo I Figura 10 Portanto, a área procurada é dada por: 8. Observado o gráfico da Figura 11, vamos determinar a área compreendida entre a função e Figura 11 Os pontos onde as curvas se interceptam em e em .A área compreendida entre as curvas e é calculada através da integral: 76 Cálculo I Atividade de Estudo 1. Calcule: a. b. c. d. e. 2. Calcule as integrais indicadas abaixo: a. b. c. d. e. f. 3. Calcule as integrais definidas: a. b. c. d. e. f. 4. Calcule a área sob o gráfico de no intervalo . 5. Calcule a área sob o gráfico de entre e . a. b. Cálculo | c flx)=vx+1e [ab] = [0,4] d f(x)=3+senxela,b]= [0.3] 80 Cálculo I (2) Ao isolar na expressão (2): (3) O próximo passo é fazer as substituições de (1) e (3) na integral : A primitiva de é : A nossa substituição foi , assim: 4. Se fizermos: (1) A derivada de em relação a : (2) Pois a derivada de é . Substituindo (1) e (2) na integral : A primitiva de é e a integral Como : 5. Iremos fazer a seguinte substituição: (1) 81 Cálculo I A derivada de em relação a variada : (2) Ao isolar na expressão (2): (3) Na integral vamos substituir as expressões (1) e (3): A primitiva de é: Já sabemos que , logo: Os próximos exemplos são em integrais definidas, ou seja, aquelas onde especificamos o intervalo de integração. 6. A substituição que vamos fazer é: (1) A derivada de em relação a variável : (2) Isolando da igualdade (2): (3) Um ponto muito importante para o método de integração por substituição para integrais definidas é o intervalo de integração. Ao fazermos mudança de variável, também estamos mudando o intervalo de integração. A integral possui intervalo de interação , ou seja, temos variando entre 0 e 1. Quando mudamos a variável de integração de para através da expressão : (1) Também devemos ficar atentos ao novo intervalo de integração: 82 Cálculo I Para , teremos ; Para , teremos . Dessa forma, a integral passa a ser (substituindo (1) e (3)): Como já vimos no exemplo 5, a primitiva de ) é: Assim: Na resolução acima usamos o Teorema Fundamental do Cálculo. 7. A substituição para essa integral é: (1) E a derivada de em relação a : (2) O intervalo de integração, usando a igualdade (1), passa a ser: Para , teremos , e Para , teremos . Substituindo as expressões (1) e (2) na integral e observando o novo intervalo de integração, ficamos com: 8. Tomando (1) e fazendo a derivação de em relação a variável , temos: (2) De onde vem: 85 Cálculo I 2. Tomando: , teremos , , teremos , pois a primitiva de é . Ao substituir esses termos na integral em , ficamos com: 3. Pela igualdade (4): Vamos chamar: e assim e, , logo . Observe, caro(a) Cursista, que a integral tem como solução parcial uma soma onde uma das parcelas é outra integral: Esta última integral também é calculada pelo método de integração por partes. Vejamos: Fazendo: e, 86 Cálculo I . Dessa forma, partindo de : Com esse exemplo nós mostramos que em uma mesma integral é possível usar o método de integração por partes sempre que necessário. Atividade de Estudo 1. Calcule as integrais propostas usando o método de integração por partes: a. b. c. d. e. f. g.
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