Variaveis de Estado

Variaveis de Estado

Representação em espaço de estado de sistemas de enésima ordem Função de perturbação sem termos derivativos.

Considere um sistema de ordem n cuja função de perturbação u (função excitadora), não envolve termos derivativos. O sistema de enésima ordem é descrito pela seguinte equação:

−1(1)

Para este sistema o conhecimento das condições iniciais yyyn(), (),,()()0001 conjuntamente com a entrada ut() para t ≥ 0, são suficientes para determinar o comportamento futuro do sistema. Portanto, um conjunto possível de variáveis de x y x y

x yn n

Portanto a equação (1) pode ser escrita como :

x x x x

x x x a x a x u

xAxB=+u

ou, na forma matricial, como: (4) com x A B= x x

x a a a an n n n

E a resposta do sistema (equação de saída) é:

x x x

y=Cx(7)

ou em forma vetorial onde

[]C=1000(8)

Exemplo: Dado o sistema

yyyyu+++=61166(9)

obter uma representação do sistema no espaço de estado. Escolhendo as variáveis de estado como x y x y x y

pode-se escrever x x x x x x x x u

Utilizando a notação vetorial - matricial x x x x x

e a equação de saída é

Autovalores da matriz A Os autovalores de uma matriz A são os escalares λ que resolvem a equação para x0≠. Portanto, os autovalores de A devem satisfazer

λIA0−=(15)

ou seja, são as raízes da equação característica (27). Por exemplo, para a matriz

a equação característica é

Os autovalores de A são as raízes da equação característica, que neste caso são -1, - 2 e -3.

Função de perturbação com termos derivativos. Seja a equação diferencial do sistema representada por:

y a y a y a y b u bu b u b un n n n n n o conjunto de variáveis yyyyn, , ,, () −1 não serve como conjunto de variáveis de estado pois o conjunto de equações diferenciais de primeira ordem obtidas a partir delas pode não ter solução única. As variáveis de estado devem ser tais que eliminem as derivadas de u na equação de estado.

Assím, uma forma de definir as variáveis de estado para este caso é :

x y u x y u u x u x y u u u x u

x y u u u x un n n n n n n onde

n aaab aaab aab ab b que garante a unicidade da solução da equação de estado. Com esta seleção de variáveis de estado, as equações de estado e saída para o sistema representado pela equação (18) é dado por:

x x

x x a a a a x x x x n n n n n n n

E a equação de saída é:

x x

x un

xAxB=+u(23)
yDu=+Cx(24)

ou onde x x

x a a a an n n n n n

Utilizando transformada de Laplace, a representação em forma de função de transferencia do sistema dado pela equação (18) é:

Y s U s b s b s b s b s a s a s a n n n n n n n n

Resolução da equação de estado invariante no tempo A solução de uma equação diferencial escalar de primeira ordem pode ser dada através de :

Substituindo (28) em (27) tem-se:

( )b b t b t kb t a b b t b t b tk k k k 1 2 3

Igualando coeficientes:

b ab b ab a b b ab a b

b a b x k k

Substituindo t=0 na equação (28) determina-se o valor de b0:

xb()0= Portanto, a solução pode ser escrita como:

xAx=(32)

Para a equação diferencial vetorial - matricial por analogia com o caso monovariável a solução proposta é:

Igualando coeficientes tem-se:

b Ab b Ab A b

b Ab A b b A b k k k !

Substituindo t=0 na equação (34) obtém-se:

x b( )0 0= Portanto, a solução pode ser escrita como:

a expressão entre parêntesis é uma matriz nxn e, devido a sua semelhança com uma série infinita de potências, denomina-se matriz exponencial.

EXEMPLO: Tanque de aquecimento Para um tanque de aquecimento, o modelo dinâmico não-linear é:

As equações do modelo não-linear são linearizadas para obter a forma em espaço de estados onde o os vetores de estado, entrada e saída, em variáveis desvio, são:

Os elementos da Matriz A:

>> A= [-0.4 0.3; 3 –4.5]; e os elementos da Matriz B:

>> B=[0 –7.5 0.1 0; 50 0 0 1.5]; >> B=[0 –7.5 0.1 0; 50 0 0 1.5];

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