Equações, Inequações e Desigualdades

Equações, Inequações e Desigualdades

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Equacoes, Inequacoes e Desigualdades

Adan J. Corcho & Krerley Oliveira 25 de setembro de 2006

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Prefacio

Estas notas abordam um tema matematico extremamente importante devido a suas aplicacoes em diversos problemas de ordem pratica. Resolver equacoes e inequacoes e muitas vezes ensinado no colegio mediante aplicacao de regras e formulas, sem a preocupacao de ilustrar a importancia de deduzi-las. Nossa proposta neste texto e discutir as tecnicas envolvidas na resolucao dos problemas e nao somente resolve-los mecanicamente. Uma parte importante deste trabalho consiste em entender a traducao matematica de problemas que encontramos em nosso cotidiano e que podem ser modelados mediante equacoes e inequacoes.

A apostila e dividida em 4 capıtulos, contendo varios exemplos e problemas resolvidos, expostos de acordo com o grau de dificuldade. Os dois primeiros capıtulos tratam sobre equacoes e inequacoes do primeiro e do segundo grau e sao destinados a alunos do Ensino Fundamental (grupo 1) e do Ensino Medio (grupo 2), entretanto e importante que o professor instrutor tome o cuidado necessario para separar alguns exemplos mais complicados, que sao destinados somente para o grupo 2. O capıtulo 3 trata sobre desigualdades classicas e aplicacoes das mesmas, sendo destinado somente ao grupo 2, assim como a maior parte do capıtulo 4, que e um pouco mais avancado e aborda propriedades das equacoes polinomiais. Incluımos tambem um apendice tratando do Teorema Fundamental da Algebra, cuja

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No final de cada capıtulo sao propostos varios exercıcios, que recomendamos sejam todos discutidos, e cujas algumas solucoes e sugestoes sao dadas no final do material, apesar de que nao se espera que o estudante resolva todos.

Finalmente, gostarıamos de agradecer aos alunos de iniciacao cientıfica Isnaldo Isaac, Karla Barbosa e Adriano Oliveira, pela a ajuda na escolha dos problemas. Agradecemos tambem a Marcela Oliveira pela leitura cuidadosa, que evitou muitos desprazeres dos leitores com os erros de nosso portugues.

Esperamos que divirtam-se e aguardamos sugestoes e crıticas.

Maceio, 24 de Agosto de 2006 Adan Corcho & Krerley Oliveira

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Sumario

1.1 Equacoes do Primeiro Grau1

1 Equacoes 9

Primeiro Grau19
1.3 Exercıcios24
1.4 Equacao do Segundo Grau26
1.4.1 Completando Quadrados26
1.4.2 Relacao entre coeficientes e Raızes31
1.4.3 Equacoes Biquadradas34
1.4.4 O Metodo de Vieti35
1.5 Exercıcios36

1.2 Sistemas de Equacoes do

2.1 Inequacao do Primeiro Grau41
2.2 Inequacao do Segundo Grau47
2.2.1 Maximos e Mınimos52
2.3 Exercıcios54
3.1 Desigualdades Classicas56
3.2 Aplicacoes62
3.3 Exercıcios65

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SUMARIO 5

4.1 Operacoes com Polinomios67
4.1.1 Algoritmo de Euclides71
4.2 Exercıcios75
5.1 Numeros complexos e raızes de polinomios81
5.1.1 Operacoes com numeros complexos82

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Introducao

Na antiguidade, todo conhecimento matematico era passado de geracao para geracao atraves de receitas.A falta de sımbolos e notacao adequada complicava substancialmente a vida de quem precisava usar a matematica e de quem apreciava sua beleza. Por exemplo, o uso de letras (x, y, z, etc) para representar numeros desconhecidos nao tinha sido inventado ainda. Isso so veio ocorrer por volta dos meados do seculo XVI, ou seja, a menos de 500 anos atras.

Apesar disso, o conhecimento matematico das antigas civilizacoes era surpreendente. Os egıpcios, babilonios, mesopotamians, gregos e varios outros, tinham conhecimentos de metodos e tecnicas que sao empregadas hoje, como solucoes de equacoes do primeiro e segundo graus, inteiros que sao soma de quadrados e varios outros conhecimentos. Especialmente os gregos, cuja cultura matematica resistiu aos tempos com a preservacao dos Os Elementos de Euclides, tinham desenvolvido e catalizado muitos dos avancos da epoca.

Entretanto, todos os resultados tinham uma linguagem atraves dos elementos de geometria, mesmo aqueles que so envolviam propriedades sobre os numeros. Essa dificuldade deve-se em parte ao sistema de numeracao romano, utilizado tambem pelos gregos, que era muito pouco pratico para realizar operacoes matematicas.

Por volta de 1.100, viveu na India Bhaskara, um dos mais importantes matematicos de sua epoca. Apesar de suas contribuicoes terem sido muito profundas na matematica, incluindo-se aı resulta-

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SUMARIO 7 dos sobre equacoes diofantinas, tudo indica que Bhaskara nao foi o primeiro a descobrir a formula, que no Brasil chamamos de formula de Bhaskara, assim como Pitagoras nao deve ter sido o primeiro a descobrir o Teorema que leva o seu nome, ja que 3.0 a.C os Babilonios tinham conhecimento de ternas pitagoricas de numeros inteiros bem grandes.

Apesar de ter conhecimento de como solucionar uma equacao do segundo grau, a formula que Bhaskara usava nao era exatamente igual a que usamos hoje em dia, sendo mais uma receita de como encontrar as raızes de uma equacao. Para encontrar essas raızes, os indianos usavam a seguinte regra:

Multiplique ambos os membros da equacao pelo numero que vale quatro vezes o coeficiente do quadrado e some a eles um numero igual ao quadrado do coeficiente original da incognita. A solucao desejada e a raiz quadrada disso.

O uso de letras para representar as quantidades desconhecidas so veio a se tornar mais popular com os arabes, que tambem desenvolveram um outro sistema de numeracao. Destaca-se tambem a participacao do matematico frances Francois Vieti, aprimorou esse uso dos sımbolos algebricos em sua obra In artem analyticam isagoge e desenvolveu um outro metodo para resolver a equacao do segundo grau.

Na mesma epoca, um outro grande desafio estava perturbando as mentes matematicas de toda Europa, em especial as da Italia. As olucao explicita utilizando as operacoes elementares (soma, subtracao, multiplicacao, divisao, radiciacao e potenciacao) da equacao do terceiro grau nao era conhecida e muitos dos melhores matematicos da epoca trabalharam neste problema, destacando-se entre eles Nicolo Fontana, o Tartaglia (gago, em italiano). A historia da solucao desta equacao esta repleta de intrigas, disputas e acusacoes, envolvendo Tartaglia e Cardano. Hoje os historiadores atribuem a Tartaglia a

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8 SUMARIO primazia na descoberta da solucao da equacao do terceiro grau como conhecemos. Ed esta epoca tambem a solucao da equacao do quarto grau, atribuıda a Ludovico Ferrari.

Entretanto, apesar dos muitos esforcos empreendidos na direcao de encontrar a solucao geral da equacao do quinto grau, mais de duzentos anos se passaram sem nenhum sucesso. Ate que em 1824, o matematico noruegues Niels Abel mostrou que e impossıvel resolver as equacoes de grau cinco em sua forma geral. Ou seja, nem todas as equacoes de grau cinco podem ser resolvidas com as operacoes elementares. Mais ainda, em 1830 o matematico Frances Evariste Galois descobre um metodo que determina quando uma equacao de grau qualquer e resoluvel com as operacoes elementares e encerrando um belıssimo capıtulo da historia da matematica.

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Capıtulo 1 Equacoes

Para entender algumas das coisas que tratamos nesta breve introducao, vamos comecar este capıtulo estudando um objeto matematico de muita importancia e que aparece em situacoes onde a matematica e aplicada: os polinomios. Reveremos um pouco das suas propriedades, estudadas no primeiro grau e veremos como podemos aplicar essas propriedades para resolver e obter informacoes sobre algumas equacoes algebricas. Primeiramente, vamos relembrar o que eu m polinomio:

Definicao 1.1. Um polinomio na variavel x e uma expressao do

a0,a1,...,a n sao seus coeficientes. O coeficiente an e chamado de coeficiente lıder do polinomio.

Observacao 1.2. Nao se define o grau do polinomio nulo, que tem todos os coeficientes iguais a zero.

Por exemplo, • p(x)=3 x − 1e um polinomio de grau 1;

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Uma equacao polinomial de grau n, ou simplesmente uma equacao de grau n,e uma sentenca p(x) = 0 onde p(x)e um polinomio de grau n com coeficientes reais. Por exemplo, 2x−1=0 e uma equacao do primeiro grau, enquanto, −x5 +4 x3 +5 x − 1=0 e uma equacao de grau 5. Note que nem todos os coeficientes precisam ser diferentes de zero.

Para obtermos o valor do polinomio p(x)= anxn + an−1xn−1 +

· +a1x+a0 no numero real r devemos substituir x por r para obter on umero real

Nas secao seguinte estudaremos com detalhe a equacao do primeiro grau, e como podemos utiliza-la para resolver alguns problemas em matematica.

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1.1 Equacoes do Primeiro Grau

Para ilustrar o tema que iremos discutir, comece pensando no seguinte problema:

Exemplo 1.3. Qual eon umero cujo dobro somado com sua quinta parte e igual a 121?

Solucao: Vamos utilizar uma letra qualquer, digamos a letra x, para designar esse numero desconhecido. Assim, o dobro de x e2 x es ua quinta parte e x

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