Cascas Cilindricas Salete Bufoni, Notas de estudo de Eletrônica

Baixe Cascas Cilindricas Salete Bufoni e outras Notas de estudo em PDF para Eletrônica, somente na Docsity! Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Salete Souza de Oliveira Buffoni 8.2- Volume de Sólidos de Revolução Uma região tridimensional (S) que possui as propriedades a) e b) a seguir é um sólido: a) A fronteira de S consiste em um número finito de superfícies lisas que se interceptam num número finito de arestas que por sua vez, podem se interceptar num número finito de vértices. b) S é uma região limitada. Exemplos de sólidos (esfera, cone circular, cubo, cilindro) 8.2.1- Sólidos de Revolução - Método do Disco Um sólido de revolução se forma da seguinte maneira: Dada uma região R plana e l uma linha reta que pode tocar ou não em R e que esteja no mesmo plano de R. Girando-se R em torno de l, forma-se uma região chamada de sólido de revolução. Girando o gráfico de uma função f(x) tem-se: R l Área plana 1 S l Sólido gerado pela Rotação. a b x y = f(x) Área plana 2 r=f(x)=y y Cálculo do elemento de volumedV = πr2 dx dV = π[f(x)]2 dx b 141 V = π ∫ a 2 dx)]x(f[ Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Salete Souza de Oliveira Buffoni 142 Exercícios 1) Usando o método do disco circular, calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região sob a função y = f(x) = x3, no intervalo [1,2]. V=π 1 2 7 x dxxdx]x[dx)]x(f[ 72 1 6 2 1 23 2 1 2 πππ ∫∫∫ === =        − 7 1 7 2 77π = π 7 127 =18,143π=56,99(unid vol) 2) Achar o volume gerado pela função f(x) = 22 xa − em [-a, a] V = π a a 3 x xadx]xa[dx]xa[dx)]x(f[ 3 2 2 1 22 a a 222 a a 2 −        −=−=−= ∫∫∫ −− πππ = π                 +−−         − 3 a a 3 a a 3 3 3 3 = π         −+− 3 a a 3 a a 3 3 3 3 = π         − 3 a2 a2 3 3 = π =         − 3 a2a6 33 3 4 πa3 que é o volume da esfera gerada!!! 1 2 x y = x3 (1,1) (2,8) R y Área plana 3 (1,1) (2,8) x r Elemento de volume Sólido gerado pela rotação do semi-círculo -a a x y y = 22 xa − = r Semi-círculo em rotação Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Salete Souza de Oliveira Buffoni 145 x2 - x - 2 = 0 (x' = -1 e x'' = 2) e (y' = 1 e y'' = 4) V = [ ] [ ]∫∫ ∫ −− −++=−+= 2 1 42 b a 2 1 222 )x()4x4x(dx)x()2x(dV ππ == ∫ − −++ 2 1 42 dx]x4x4x[π = = −        −++ 1 2 5 x x4 2 x4 3 x 523π =                 − −−+−+ − −        −++ 5 )1( )1(4)1(2 3 )1( 5 2 2.42.2 3 2 52 35 2 3 π =             +−−−      −+=            +−+−−      −++ 5 1 2 3 1 5 32 16 3 8 5 1 42 3 1 5 32 88 3 8 ππ logo V = 5 72π = 45,2389 (unid. de vol.) Se a revolução for em torno do eixo y, como por exemplo para as funções x = F(y) e x = G(y), tem-se: dV = π { [F(y)]2 - [G(y)]2} dy de forma que o volume todo é dado por: V = { }dy)]y(G[)]y(F[dV b a b a 22∫ ∫ −= π As vezes, o sólido de revolução é gerado em torno de um eixo externo que pode ser paralelo a "x" ou a "y". O método dos anéis circulares, pode ser aplicado, desde que se identifique o raio do giro. x x=g(y) x=f(y) y Área entre curvas, em revolução x dV dy y Sólido gerado pela área em revolução ππππ 5 72 15 216 15 32 15 184 15 3305 15 9624040 ==            −−     =            +−−−      −+= D P Exercícios Achar o volume do sólido gerado pela revolução da região R em torno do eixo x = 6. R é limitada pelos gráficos de y2 = 4x e x = 4. S T O V V = = y2 = 4x (4,4) (-4,4) R x dy dV (6 – y2/4 ) 26 x=y2/4 Parabolóide gerado pela rotação 6 6 - 4 y2Parábola girando em torno de um eixo externoisciplina de Cálculo Diferencial e Integral I rof. Salete Souza de Oliveira Buffoni 146 ol: Para isolarmos x fazemos: y2 = 4x → x = 4 y2 ambém temos: se x = 4 → y2 = 4.4 → y2 = 16→ y = ± 4 bs: rE = raio externo = 6 - 4 y2 e rI = raio interno = 2 = ( )dyrrdV 4y 4y 4 4 2 I 2 E∫ ∫ = −= − −= π = dy2 4 y 6 4 4 2 22 ∫ −         −        −π = dy4 16 y y336 4 4 4 2∫ −         −+−π = dy32y3 16 y 4 4 2 4 ∫ −         +−π π 4 4 y32y 80 y 3 5 −        +− = π                 −+−− − −         ×+− )4(32)4( 80 )4( 4324 80 4 3 5 3 5 π             −− 5 384 5 384 = π 5 768 = 153,6π = 482,548 (unid. vol.) Di Pr 2) Dados os gráficos y = x3 e x = 2, determine o volume da região, para o caso da área plana girar em y. De Se F( G( V= Ma 58 En 8.2 y x y=x3 x=2 0 2 x y dy x 2 dVCurva do 3o grau girando em ysciplina de Cálculo Diferencial e Integral I of. Salete Souza de Oliveira Buffoni 147 y = x3 → x = y1/3 jam: y) = 2 r E = 2 (raio externo) y) = y1/3 r I = x = y 1/3 (raio interno) dyy4 8 0 2 3 1 ∫            −π = dyy4 8 0 3 2 ∫       −π = π 0 8 35 y y4 35         − = π 0 35 8 8.4 35 −         − = π     − 358 5 3 32 s 363 63 233 23 233 53 2.828)2(888888 ====== =8.4 = 32 tão V = π     − 358 5 3 32 = π     ×− 32 5 3 32 = π 5 64 = 12,8π = 40,212 (unid. vol.) .2- Método do Invólucro Cilíndrico Este método usa cascas cilíndricas ao invés de discos. Casca cilíndrica gerada x h Cilindro x dx dV Casca cilíndrica Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Salete Souza de Oliveira Buffoni 150 3) Determinar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da região limitada por y = x2, x = 2 e o eixo x. .v.u 5 .32 V 5 x V dxxV dx)x(V 2 0 5 2 0 4 2 0 22 π π π π =         = = = ∫ ∫ 4) Determinar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da região limitada por y2 = 2.x, eixo x e x = 2. ( ) .v.u4V xV xdx2V dxx2V 2 0 2 2 0 22 0 π π π π = = = = ∫ ∫ 5) Determinar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da área limitada pelas curvas y2 = 2x e y = x. 2 x = 2 y = x2 x y x2y ±= x x = 2 x2y2 =y 0 2 x2y = x2y 2 = y = x y x Disciplina de Cálculo Difere Prof. Salete Souza de Olivei - Pontos de interseção - Volume 8.3- Comprimento de Arco Seja y = f (x) contínua e y Li ∆yi P1 a ∆x 2 i i i 2 i 2 ii 2 i 2 i 2 i 1 x y L xyL xyL ∆ ∆ ∆∆ ∆∆ +      = += += Seja x = f (y) y = = x2y 2 2 22  y b ncial e Integral I ra Buffoni s de Curvas derivável em [a, b]. P2 y = f (x) b x i ix∆⋅ ∑ ∑ =∞→ = +      = ⋅+      ≅ n 1i 2 i i n n 1i i 2 i i 1 x y limL x1 x y L ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∫ ⋅+    = b a 2 dx1 dx dy L a e y = b.    = = =− = 2x 0x 0x2x xy 2 L 151 ⋅ ix∆ ( ) ( ) .v.u 3 4 V 3 8 4V 3 x 2 x2 V dxxx2V dxxx2V 2 0 32 2 0 2 0 π π π π π =       −= −= −=  −= ∫ ∫ Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Salete Souza de Oliveira Buffoni 152 ∫ ⋅+      = b a 2 dy1 dy dx L Exercícios 1) Determinar o comprimento do arco da curva 3 2 x)x(f = entre os pontos P1 (8, 4) e P2 (27, 9). dx1 dx dy L 27 8 2 ⋅+     = ∫ 3 2 xy =• 3 1 3 1 x.3 2 x 3 2 dx dy ==• − 3 2 2 x.9 4 dx dy =     • 3 2 3 2 3 2 2 x9 x94 1 x.9 4 1 dx dy + =+=+     • 3 1 2 1 3 2 2 x 3 x94 1 dx dy − ⋅         + =+     •         −= ⋅        += ⋅⋅⋅        +⋅= ∫ − 2 3 2 3 27 8 2 3 3 2 27 8 3 12 1 3 2 4085 27 1 L 3 2 x.94 18 1 L dx6xx.94 3 1 6 1 L 2) Calcular o comprimento de uma circunferência de raio r.