Baixe Máximos e Mínimos - Exercícios Respondidos e Comentados e outras Exercícios em PDF para Economia, somente na Docsity! Matemática Econômica Máximos e Mínimos 1.º Derivada 2.º Iguala a derivada a zero Exercícios 1. O custo total associado a produção de em bem é CT = 2q + 17 e a equação de demanda é q = 20 – p. Determine: a) O preço que maximiza a receita b) O preço que maximiza o lucro a) Primeiro analisamos os dados existentes: CT = 2q + 17 q = 20 – p p = ? Se q = 20 – p, logo: q = 20 – p Pv = 20 – q RT = Pv . q RT = (20 – q) . q RT = 20q – q2 1.º passo: Derivar RT = 20q – q2 RT’ = 20 – 2q ou Rmg = 20 – 2q 2.º passo: Igualar a derivada a zero Rmg = 0 20 – 2q = 0 20 = 2q q = 20 2 q = 10 A quantidade que maximiza a receita é 10, então substituímos na fórmula do preço, temos: Pv = 20 – q Pv = 20 – 10 Pv = 10 O preço que maximiza a Receita é $ 10,00. b) LT = RT – CT Já de posse dos dados, substituímos: LT = (20q – q2) – (2q + 17) LT = - q2 + 20q – 2q – 17 LT = - q2 + 18q – 17 1.º Passo: Derivar LT = - q2 + 18q – 17 LT’ = - 2q + 18 ou Lmg = - 2q + 18 2.º Passo: Igualar a derivada a zero Lmg = 0 - 2q + 18 = 0 18 = 2q q = 18 2 q = 9 A quantidade que maximiza o lucro é 9, então substituímos na fórmula do preço, temos: Pv = 20 – q Pv = 20 – 9 Pv = 11 O preço que maximiza o Lucro é $ 11,00. Prova-se 1. Para Pv = 10, temos: RT10 = 20q – q2 RT10 = 20 . 10 – 102 RT10 = 200 – 100 RT10 = 100 Pv = 20 – q q = 20 – Pv q = 20 - 10 q = 10 2. Para Pv = 15, temos: RT15 = 20q – q2 RT15 = 20 . 5 – 52 RT15 = 100 – 25 RT15 = 75 Pv = 20 – q q = 20 – Pv q = 20 - 15 q = 5 4. A função de utilidade de um consumidor é u(x) = 10x . e-0,1x em que x é o número de garrafadas de cervejas consumidas por mês. Quantas garrafas ele deve consumir para maximizar sua utilidade ou satisfação? u(x) = 10x . e-0,1x Deriva, u`(x) = u . v` + u` . v u`(x) = 10 x . -0,1e-0,1x + 10 . e-0,1x u`(x) = -xe-0,1x + 10e-0,1x Iguala a zero, -xe-0,1x + 10e-0,1x = 0 10e-0,1x = xe-0,1x x = 10e-0,1x e-0,1x x = 10 Exercícios: 1. A função demanda mensal de um produto é P = 20e-x/2. Qual o preço que maximiza a receita mensal? R=7,36 P = 20e-x/2 RT = Pv . x RT = (20e-x/2) . x RT = 20qe-x/2 Rmg = RT` u= 20x u` = 20 v = e-x/2 v`= - 1e -x/2 2 Rmg = u . v` + u` . v Rmg = 20x . (- 1e-x/2) + 20 . e-x/2 2 Rmg = - 10xe-x/2 + 20.e-x/2 Rmg = 0 0 = - 10xe-x/2 + 20e-x/2 10xe-x/2 = 20e-x/2 x = 20e-x/2 10e-x/2 x = 2 Pv = 20e-x/2 Pv = 20e-2/2 Pv = 20e-1 Pv = 20. 1 e Pv = 20 2,71739 Pv = $ 7,36 2. Dada a função custo anual CT = x3 – 20x2 + 400x: a) Obtenha o custo médio e o custo marginal b) Mostre que, no ponto mínimo do custo médio, o custo médio é igual ao custo marginal. CT = x3 – 20x2 + 400x a) CM = CT x CM = x3 – 20x2 + 400x x CM = x2 – 20x + 400 Cmg = CT` CT = x3 – 20x2 + 400x Cmg = 3x2 – 40x + 400 b) CM = x2 – 20x + 400 Para x = 0 (no ponto mínimo) CM = x2 – 20x + 400 CM = 02 – 20.0 + 400 CM = 400 Cmg = 3x2 – 40x + 400 Cmg = 3.02 – 40.0 + 400 Cmg = 400 CM = 400 = Cmg (no ponto mínimo) 3. A receita mensal de vendas de um produto é RT = 30x – x2 o seu custo é CT = 20 + 4x: a) Obtenha a quantidade que maximiza o lucro. Resp. x = 13 b) Mostre, para o resultado obtido acima, que o custo marginal é igual a receita marginal. a) q = ? Max LT = RT – CT LT = 30x – x2 – (20 + 4x) LT = 30x – x2 – 20 – 4x LT = – x2 + 26x – 20 Lmg = – 2x + 26 Lmg = 0 0 = – 2x + 26 2x = 26 x = 26 2 x = 13 b) Cmg = CT` CT = 20 + 4x Cmg = 4 Rmg = RT` RT = 30x – x2 RMg = 30 – 2x Rmg p/ x = 13 Rmg = 30 – 2. 13 Rmg = 30 – 26 Rmg = 4 = Cmg 4. O preço de venda de um produto é Pv = 50,00. Se o custo é CT = 1.000 + 3x + 0,5x2, determine a quantidade que maximiza o lucro. Resp. x = 47 LT = RT – CT RT = Pv . x RT = 50 . x RT = 50x LT = 50x – (1.000 + 3x + 0,5x2) LT = 50x – 1.000 – 3x – 0,5x2 LT = 47x – 1.000 – 0,5x2 Lmg = LT` Lmg = 47 – 1x Lmg = 0 0 = 47 – 1x x = 47. 5. Se a função receita de um produto é RT = -2x2 + 400x, obtenha o valor de x que maximiza a receita. Resp. x = 100 RT = -2x2 + 400x Rmg = RT` Rmg = - 4x + 400 Rmg = 0 0 = - 4x + 400 4x = 400 x = 400 4 x = 100
