Integrais triplas e duplas ( aplicações), Trabalhos de Economia Agroindustrial

Baixe Integrais triplas e duplas ( aplicações) e outras Trabalhos em PDF para Economia Agroindustrial, somente na Docsity! 0 Priscilla Barros Feitosa Trabalho de aplicações de integrais duplas e triplas Barra do Bugres 2011 0 Priscilla Barros Feitosa Trabalho de aplicações de integrais duplas e triplas Trabalho apresentado para disciplina de cálculo II, do curso de Engenharia de Produção, da Universidade do Estado de Mato Grosso, ministrado pelo professor Diego Piason. Barra do Bugres 2011 2 APLICAÇÕES DE INTEGRAIS DUPLAS A Integral dupla é simplesmente a continuidade, extensão, da integral simples vista em cálculo I. A integral dupla é dada por duas integrações simples, cada uma efetuada sobre uma variável (x e y), e considerando as demais como constantes. Além disso, pode ser vista como o volume sob a superfície descrita pela função a ser duplamente integrada. Temos que, determinar área, centro de massa, momento de massa e momento de inércia, são aplicações de integrais duplas. 1.1 CÁLCULO DE MASSA Antes de adentrar nas fórmulas de cálculo de massa, é importante que se tenha alguns conceitos de centro de massa em mente. Cada disciplina (cálculo, física, mecânica etc) pode representar o centro de massa de formas diferentes. Em física, pode-se dizer que centro de massa é o ponto de aplicação do peso do corpo (p=massa x aceleração da gravidade). Centro de massa é um conjunto de partículas (m1,m2,m3), cujas posições podem ser representadas pelos vetores posição (r1,r2,r3) respectivamente, em relação a um referencial inercial (posições relativas a um observador que seja ele próprio uma partícula ou sistema livre). É uma posição cujo vetor é assim definido: Onde M, é a massa total do sistema, i.e. a soma de m1,m2,m3 ... mi, sendo i o número do conjunto de partículas. PROBLEMA PROPOSTO 3 Três pontos materiais, A, B e D, de massas iguais a m estão situados nas posições indicadas na figura ao lado. Determine as coordenadas do centro de massa do sistema de pontos materiais. RESPOSTA 4 Para uma melhor compreensão do que é CENTRO DE MASSA, podemos analisar o seguinte fato: Se pegar um cilindro e lançá-lo para o alto ele irá girar, há um ponto que não gira, mas define a trajetória parabólica. Veja a figura abaixo. O movimento de um corpo rígido, ou de um sistema de corpos rígidos, pode ser representado pelo movimento do centro de massa desse corpo ou sistema. Pra isso, admite-se que toda a massa do corpo, ou do sistema, esteja concentrada no centro de massa e que nele estejam aplicadas todas as forças externas. Essa imagem é transferida para um plano cartesiano, juntamente com as coordenadas das partículas (como foi feito no exemplo acima), permitindo o cálculo do centro de massa. Outros exemplos: O centro de massa está localizado no bico do pássaro, o que faz com que ele se equilibre. Outra experiência fácil de explicar esse conceito é: Coloque a tampa de uma caneta no chão e escolha dois candidatos a tentar pegar a tampa, de preferência que seja um homem e uma mulher. As regras são: mãos para trás e apoiar apenas as “canelas” no chão. O resultado vai ser que: O homem não irá conseguir, pois seu centro de massa se encontra no tórax, e ao tentar pegar perde o equilíbrio, uma vez que seu centro de massa sai do seu ponto de apoio. Com as mulheres é diferente, pois seu centro de massa se 7 DETERMINAÇÃO DO MOMENTO DE INÉRCIA Assim como um corpo massivo apresenta sua tendência de permanecer em seu estado inicial de movimento com uma velocidade constante, que inclusive pode ser zero, no caso em que o somatório das forças atuantes é nulo, também existe uma resistência à mudança no movimento rotacional. Esta resistência à mudança em sua velocidade angular é conhecida como momento de inércia do respectivo corpo. O momento de inércia da região D em relação ao eixo x e y, respectivamente é: E, em relação a origem temos: Talvez, olhando tudo isso, pareça um “bicho de sete cabeças”. Entretanto, na prática é bem simples. 8 EXEMPLOS Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices (0,0), (1,0) e (0,2), se a função densidade é (x,y) = 1 + 3x + y. RESPOSTA: m=∬ D ρ( x , y )dA=∬ D (1+3 x+ y )dA , uma vez que D= {(x, y)/ 0 < x < 1, 0 < y < 2-2x} Com isso, m=∫ 0 1 ∫ 0 2−2 x (1+3 x+ y )dy dx=∫ 0 1 [ y+3xy+ y 2 2 ]0 2−2 x dx =∫ 0 1 (2−2 x+6x−6 x2+(2−2 x ) 2 2 )dx=∫ 0 1 (2+4 x−6 x2+2−4 x+2x2 )dx =∫ 0 1 ( 4−4 x2 )dx=[4 x−4 x 3 3 ]0 1 =4− 4 3 = 8 3 E, os momentos são: M x=∬ D yρ (x , y )dA=∬ D ( y+3 xy+ y2 )dA =∫ 0 1 ∫ 0 2−2 x ( y+3 xy+ y2)dy dx=∫ 0 1 [ y 2 2 +3 x y2 2 + y3 3 ]0 2−2 x dx =∫ 0 1 ( (2−2x ) 2 2 +3 x (2−2x )2 2 + (2−2x )3 3 )dx =∫ 0 1 (2−4 x+2 x2+6 x−12 x2+6 x3+83 −8 x+8 x 2− 8 x3 3 )dx =∫ 0 1 (143 −6 x−2x 2+ 10 3 x3)dx=[143 x−3 x2− 2 3 x3+ 5 6 x4 ] 0 1 = 14 3 −3− 2 3 + 5 6 =1+ 5 6 = 11 6 9 M y=∬ D xρ( x , y )dA=∬ D (x+3 x2+xy )dA =∫ 0 1 ∫ 0 2−2 x (x+3x2+xy )dydx=∫ 0 1 [ xy+3x2 y+x y 2 2 ]0 2−2 x dx =∫ 0 1 (2x−2 x2+6 x2−6 x3+x (2−2x ) 2 2 )dx =∫ 0 1 (2 x+4 x2−6 x3+2x−4 x2+2 x3)dx =∫ 0 1 (4 x−4 x3 )dx=[2 x2−x4 ]0 1 =2−1=1 Concluimos que, X= M y m = 1 8 3 = 3 8 e Y= M x m = 11 6 8 3 = 11 6 3 8 = 11 16 Logo, o centro de massa da lâmina é o ponto (3/8,11/16). 2 APLICAÇÕES DE INTEGRAIS TRIPLAS A integral tripla envolve uma função f(x,y,z) e um sólido S do espaço tridimensional. E, para resolve-la é necessário fazer uma análise da posição dos diferenciais na integral para que o cálculo seja feito na orden correta. A integração tripla é dada por três integrações simples, cada uma sobre uma variável e considerando as demais como constantes. São ferramentas que podem ser utilizadas para calcular volume, centro de massa, momento de inércia de sólidos, entre outros. 12 CENTRÓIDE (ÁREA) De forma análoga, o centróide para a área da superfície de um objeto, como uma placa ou uma concha, pode ser obtido subdividindo-se a área do objeto em elementos de áreas infinitesimais dA e calculando-se os ‘momentos’ dessas áreas elementares em relação a cada eixo de coordenadas, isto é: CENTRÓIDE (LINHA) Se a geometria do objeto, tal como uma barra fina ou um fio, tem o formato de um fio, o cálculo dos momentos dos elementos infinitesimais dL em relação a cada um dos eixos de coordenadas fornece: 13 Os centróides de algumas formas geométricas devem ser parcial ou completamente especificados por meio das condições de simetria. Nos casos em que a forma geométrica tem um eixo de simetria, o centróide dela ficará sobre esse eixo. Nos casos em que uma forma tem dois ou três eixos de simetria, o centróide se localizará na intersecção desses eixos. Exemplo: Localize o centróide do segmento circular do fio,conforme mostra a figura: RESOLUÇÃO: Como o arco é circular, serão usadas coordenadas polares para resolver o problema. É importante lembrar que, a grade diferença entre integral simples, dupla e tripla, é o número de integrações que deve ser feita (1,2 ou3 simples) seguindo as ordens de 14 integração mais adequadas para cada caso (verificar propriedades), ou seja, deve- se ter em mente qual das incógnitas irá integrar primeiro (x, y, ou z). 2.2 MOMENTOS E CÁLCULO DE MASSA Seja T um corpo sólido delimitado por uma região fechada e limitada do espaço. Vamos supor que a densidade de massa (massa por unidade de volume) em um ponto ( x, y, z ) é dada pela função δ=δ(x, y, z), contínua em T. Para encontrar a massa total desse corpo, vamos subdividir T por planos paralelos aos planos coordenados. Você toma um elemento de massa dm do corpo e determina o momento de inércia z dm deste elemento, com relação a um plano, sendo z a ordenada do elemento dm com relação ao plano. Então, o momento de inércia com relação ao plano citado é: ∫ (sobre V) z dm Onde V é volume englobado pela corpo. Se for no espaço tridimensional, obtemos uma integral tripla do tipo ∫ ∫ ∫ z dx dy dz, onde os limites de integração dependem da forma do corpo. A coordenada do centro de massa com relação ao plano, é (∫ (sobre V) z dm)/M, sendo M a sua massa. Fazendo isto com relação a 2 planos coordenados, você tem as coordenadas do centro de massa. Quando a massa específica do corpo é constante, isto é o mesmo que (∫ 17 A densidade da massa é dada por δ(x, y, z)= kz, onde K é uma constante de proporcionalidade. Logo, para massa total temos: 2x +y +z= 1 Z= -2x –y +1, logo os intervalos em z são ( -2x –y +1, 0) Intervalo de (1,0) em y, pode ser notado na imagem. E, em x temos que: para z=0, Z= -2x –y +1 0= -2x –y +1 X= (-y +1)/2 MOMENTOS XY: 18 Resolvendo esse cálculo obtemos: XZ: Resolvendo esse cálculo obteremos: YZ: O resultado do cálculo é: Jogaremos esses resultados (M, Mxy, Mxz e Myz) na fórmula das coordenadas do centro de massa. Cujo resultado vai ser: 19 EXEMPLO PARA O MOMENTO DE INÉRCIA Encontrar o momento de inércia em relação ao eixo z do sólido delimitado pelo cilindro x²+y²=9 e pelos planos z=2 e z=4, sabendo que a densidade de massa é igual a (x² +y²)kg/m³. Por se tratar de uma forma circular, podemos transformar a equação e seus intervalos para coordenadas cilíndricas. Se, r²= x² +y² a função em questão ficará da seguinte forma: O intervalo em Z pode ser verificado facilmente na figura, que é 4 e 2. O raio é 3, pois x²+y²=9 Logo r²= 9, r=3. (descartar o valor negativo) 22 Cálculo de massa, in: http://www.ebah.com.br/content/ABAAABoGoAC/mecanica- figuras-planas. Acessado no dia 8 de novembro de 2011. Centro de massa, in: http://pt.wikipedia.org/wiki/Centro_de_massa. Acessado no dia 9 de novembro de 2011. Centro de massa, in: http://www.feiradeciencias.com.br/sala06/06_15.asp. Acessado no dia 9 de novembro de 2011. Centro de massa, in: http://www.coladaweb.com/questoes/fisica/cendmas.htm. Acessado no dia 8 de novembro de 2011. Centro de gravidade, in: http://tef2011projetofisica.blogspot.com/2011/06/centro-de- massa-e-centro-de-gravidade.html. Acessado no dia 10 de novembro de 2011. Centro de massa, in: http://www.youtube.com/watch?v=AupXJkENLQs. Acessado no dia 8 de novembro de 2011. Centróide, in: http://www.ebah.com.br/content/ABAAABaE0AL/centro-gravidade- centroide-2-a. Acessado no dia 11 de novembro de 2011. Centro de massa, in: http://www.infoescola.com/mecanica/centro-de-massa/. Acessado no dia 10 de novembro de 2011. Integral dupla, in: www.pucrs.br/famat/beatriz/calculoII/INTEGRAL_DUPLA.doc. Acessado no dia 10 de novembro de 2011. Integral dupla, in: http://pt.scribd.com/doc/51562136/19/Algumas-Aplicacoes-da- Integral-Dupla. Acessado no dia 10 de novembro de 2011. Integrais triplas e duplas, in: http://coquimdownload.net/diva-flemming-calculo-b- 2%C2%AA-ed/. Acessado dia 10 de novembro de 2011. 23